Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
1 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
Luận văn
Phép biến đổi
Laplace
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
2 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
Mục lục
PHẦN 1: MỞ ĐẦU.......................................................................................................... 3
1. Lý do chọn đề tài........................................................................................................... 3
2. Mục đích nghiên cứu.................................................................................................... 4
3. Đối tượng nghiên cứu.................................................................................................. 4
4. Phương pháp nghiên cứu............................................................................................. 4
5. Cấu trúc khóa luận....................................................................................................... 4
PHẦN 2: NỘI DUNG...................................................................................................... 5
Chương 1 ......................................................................................................................... 5
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES............................ 5
1. GRADIEN CỦA TRƯỜNG VÔ HƯỚNG.................................................................. 5
1.1 Trường vô hướng và đạo hàm theo đường (cung)...................................................... 5
1.2 Gradien của trường vô hướng .................................................................................... 7
1.3 Các tính chất của Gradien........................................................................................ 10
1.4 Ý nghĩa vật lý của gradien ........................................................................................ 10
2. DIVE CỦA TRƯỜNG VECTƠ ................................................................................ 11
2.1 Trường vectơ-đường vectơ........................................................................................ 11
2.1.1 Trường vectơ – đường vectơ ................................................................................... 11
2.1.2 Thông lượng của trường vectơ qua một mặt............................................................ 12
2.1.2.1 Thông lượng........................................................................................................ 12
2.1.2.2 Ý nghĩa vật lý của thông lượng ............................................................................ 13
2.2 Dive của trường vectơ............................................................................................... 14
2.2.1 Dive của trường vectơ............................................................................................. 14
2.2.2 Trường hình ống..................................................................................................... 15
2.2.3 Ý nghĩa vật lý của dive............................................................................................ 16
3. ROTA CỦA TRƯỜNG VECTƠ............................................................................... 16
3.1 Lưu thông của trường vectơ theo chu tuyến............................................................. 16
3.2 Rota của trường........................................................................................................ 17
3.3 Định lý stokes dưới dạng vectơ................................................................................. 19
3.4 Ý nghĩa vật lý của rota.............................................................................................. 19
4. CÁC PHÉP TÍNH ĐỐI VỚI DIVE VÀ ROTA........................................................ 20
4.1 Dive và rota của vectơ hằng số bằng không ............................................................. 20
4.2 Dive và rota có tính chất tuyến tính.......................................................................... 20
4.3 Các phép tính đối với tích......................................................................................... 21
CHƯƠNG 2 ................................................................................................................... 22
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TOẠ ĐỘ CONG ..................................... 22
1. HỆ TỌA ĐỘ CONG.................................................................................................. 22
1.1 Định nghĩa................................................................................................................ 22
1.2 Các ví dụ................................................................................................................... 23
1.3 Hệ tọa độ cong trực giao........................................................................................... 24
1.4 Hệ số Lame............................................................................................................... 24
1.5 Điều kiện cần và đủ để hệ tọa độ cong trực giao...................................................... 26
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
3 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
2. GRADIEN CỦA TRƯỜNG VÔ HƯỚNG TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG.............. 28
3. DIVE TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG........................................................................ 30
4. ROTA TRONG TỌA ĐỘ CONG............................................................................. 32
5. TOÁN TỬ VI PHÂN CẤP HAI................................................................................ 35
5.1 Toán tử “Nabla”....................................................................................................... 35
5.2 Toán tử “Laplace”.................................................................................................... 36
Chương 3 ....................................................................................................................... 38
PHẦN 3: KẾT LUẬN.................................................................................................... 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................. 49
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một ngành khoa học không những nó phục vụ cho chính nó,
mà nó đặc biệt trở thành một công cụ hữu ích cho việc phát triển các ngành
khoa học khác, trong đó có vật lý học. Tính chất cơ bản của vật lý học là tính
thực nghiệm. Nhưng muốn trình bày những định luật định lượng của vật lý
học một cách chính xác ta thường phải sử dụng phương pháp toán học.
Phương pháp toán học được sử dụng từ lâu trong vật lý. Nó là sự giao thoa
giữa toán học và vật lý học.
Những quy luật đơn giản của vật lý đã được cơ học cổ điển giải quyết
gần như trọn vẹn. Nhưng những quy luật vi mô, vĩ mô dưới tác dụng của
nhiều trường khác nhau thì nó lại hoàn toàn bất lực. Cùng với điều đó là sự
phát triển mạnh mẽ của toán học cả về bề rộng và bề sâu. Dẫn tới sự ra đời
của một ngành vật lý mới vật lý lý thuyết.
Người ta dùng phương pháp toán học để tìm ra những quy luật mới.
Những quy luật tổng quát hơn những quy luật đã biết, đoán trước được mối
quan hệ giữa những hiện tượng vật lý mà thực tế chưa quan sát được. Nó tìm
được những quy luật tổng quát nhất, phản ánh được bản chất vật lý của nhiều
hiện tượng xét một cách tổng quát nhất.
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
4 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
Những phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại thì rất
phong phú và đa dạng. Nó gồm một khối lượng kiến thức lớn thuộc các ngành
như: hàm thực, hàm phức, các phương trình vi phân, các phép tính tích
phân…Các kiến thức toán này nó không những cần thiết cho các bạn sinh
viên để tiếp thu, thực hành cũng như nghiên cứu đối với các môn học khác
trong khi học tại trường, mà còn là các công cụ toán hữu ích cho công tác của
họ sau khi ra trường.
Bước đầu khám phá và đi sâu vào các công cụ toán học cũng như ứng
dụng của nó trong vật lý. Đề tài: “Phép biến đổi Laplace” cũng là một trong
số những công cụ toán có nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý. Nó giúp
chúng ta giải quyết các bài toán vật lý một cách đơn giản hơn. Vì vậy khi
chọn đề tài này tôi muốn đi sâu vào nghiên cứu, tìm hiểu các công cụ toán
dùng trong vật lý nói chung và vật lý lý thuyết nói riêng.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nâng cao kiến thức toán học và sử dụng chúng một cách linh hoạt trong
nghiên cứu vật lý.
- Tìm hiểu các phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes.
- Tìm hiểu các phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong, đặc biệt là hai hệ
tọa độ thường gặp trong vật lý đó là: hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu.
3. Đối tượng nghiên cứu
- Các phép biến đổi Laplace và ý nghĩa của chúng.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Vật lý lý thuyết
- Phương pháp giải tích toán học
- Đọc tài liệu và tra cứu
5. Cấu trúc khóa luận
Đề tài nghiên cứu gồm:
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
5 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
- Chương 1: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes.
- Chương 2: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong.
- Chương 3: Bài tập
PHẦN 2: NỘI DUNG
Chương 1
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES
1. GRADIEN CỦA TRƯỜNG VÔ HƯỚNG
1.1 Trường vô hướng và đạo hàm theo đường (cung)
Trường vô hướng là một phần của không gian mà mỗi điểm M của nó
ứng với một giá trị của một đại lượng vô hướng nào đó f (M). Cho một trường
vô hướng có nghĩa là cho một hàm vô hướng u = f (M) có giá trị phụ thuộc
vào từng điểm M của miền V. Trong tọa độ Descartes Oxyz ta có:
u = f (M) = f (x, y, z)
Ví dụ 1: Xét sự phân bố nhiệt độ trong một vật thể nào đó. Tại mỗi
điểm được cho tương ứng với một đại lượng vô hướng đó là nhiệt độ tại điểm
này.
Ta xét trường vô hướng u = f (x, y, z). Nếu hàm vô hướng u = f (M) của
trường không thay đổi theo thời gian, ta có trường dừng. Nếu f còn phụ thuộc
cả vào thời gian thì ta có trường không dừng hay trường thay đổi f (M, t). Để
biểu diễn hình học trường vô hướng ta dùng khái niệm mặt mức. Tập hợp tất
cả các điểm sao cho đại lượng u nhận cùng một giá trị C được gọi là mặt mức