Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tính toán hiệu ứng hấp thụ quang bởi quá trình hấp thụ hai photon trong hố lượng tử bán dẫn parapol

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:67

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của đề tài "Tính toán hiệu ứng hấp thụ quang bởi quá trình hấp thụ hai photon trong hố lượng tử bán dẫn parapol" là xác định biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ quang trong FSPQW và khảo sát tính số để tìm các tích chất quan trong vật liệu nghiên cứu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tính toán hiệu ứng hấp thụ quang bởi quá trình hấp thụ hai photon trong hố lượng tử bán dẫn parapol

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------- Phạm Thị Khánh Huyền TÍNH TOÁN HIỆU ỨNG HẤP THỤ QUANG BỞI QUÁ TRÌNH HẤP THỤ HAI PHOTON TRONG HỐ LƢỢNG TỬ BÁN DẪN PARAPOL LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2018
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- Phạm Thị Khánh Huyền TÍNH TOÁN HIỆU ỨNG HẤP THỤ QUANG BỞI QUÁ TRÌNH HẤP THỤ HAI PHOTON TRONG HỐ LƢỢNG TỬ BÁN DẪN PARAPOL Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 8440130.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LƢƠNG VĂN TÙNG GS.TS. NGUYỄN QUANG BÁU Hà Nội - 2018
LỜI CẢM ƠN Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến PGS.TS Lương Văn Tùng và GS.TS Nguyễn Quang Báu - người đã trực tiếp huớng dẫn và chỉ bảo tận tình cho tôi trong quá trình thực hiện luận văn tốt nghiệp này. Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ và dạy bảo tận tình của các thầy cô giáo trong bộ môn Vật lý lý thuyết, Khoa Vật lý, phòng Đào tạo sau Đại học, Truờng Ðại học Khoa học Tự nhiên – Ðại học Quốc Gia Hà Nội trong suốt thời gian vừa qua, để tôi có thể học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp này một cách tốt nhất. Qua đây, tôi cũng gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, góp ý và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn tốt nghiệp. Hà Nội, ngày 28 tháng 12 năm 2018 Học viên Phạm Thị Khánh Huyền
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1 1. Tổng quan tình hình nghiên cứu ............................................................................. 1 2. Tính cấp thiết của đề tài ............................................................................................. 1 3. Mục tiêu nghiên cứu ................................................................................................... 2 4. Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu ................................................................ 2 5. Nội dung nghiên cứu .................................................................................................. 3 CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ DỐI TƢỢNG VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU .............................................................................................................................. 4 1.1. Tổng quan về hố lƣợng tử bán dẫn parabol ....................................................... 4 1.1.1. Hố lượng tử bán dẫn parabol .............................................................................. 4 1.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong FSPQW ................................. 5 1.2. Tổng quan về phƣơng pháp nghiên cứu.............................................................. 6 1.2.1. Phương pháp nhiễu loạn phụ thuộc thời gian...................................................... 6 1.2.2. Sự chuyển dời của hệ sang các trạng thái mới dưới ảnh hưởng của nhiễu loạn….. .. ......................................................................................................................... 7 1.2.3. Tương tác electron-phonon-photon ..................................................................... 9 1.2.4. Phương pháp profile ........................................................................................... 12 CHƢƠNG 2. TÍNH TOÁN GIẢI TÍCH HỆ SỐ HẤP THỤ QUANG TRONG HỐ LƢỢNG TỬ BÁN DẪN PARABOL ................................................................. 14 2.1. Hố thế bán Parabolic hữu hạn ......................................................................... 14 2.1.1. Khái niệm hố thế bán Parabolic hữu hạn ......................................................... 14 2.1.2. Hàm sóng của hạt chuyên động trong hố thế bán Parabolic hữu hạn .............. 15 2.1.3. Chuẩn hóa hàm sóng .......................................................................................... 17 2.1.4. Đồ thị hàm sóng ................................................................................................. 20 2.1.5. Năng lượng ......................................................................................................... 21 2.2. Hệ số hấp thụ quang- từ .................................................................................... 21 2.3. Tính tích phân theo tọa độ và số sóng phonon trong hố thế bán Parabolic hữu hạn ......................................................................................................................... 31 2.3.1. Miền thứ nhất -∞ < z < 0 ................................................................................... 31
2.3.2. Miền thứ hai và thứ ba 0 < z < B ....................................................................... 32 2.3.3. Miền thứ tư z > B ............................................................................................... 33 CHƢƠNG 3. KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN.......................................... 35 KẾT LUẬN .................................................................................................................. 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................................... 48 PHỤ LỤC ..................................................................................................................... 52
CÁC TỪ VIẾT TẮT 1. MOAC (magneto-optical absorption coefficient) -Hệ số hấp thụ quang-từ. 2. FSPQW ( finite semi-parabol quantum well) - Hố thế bán parabol hữu hạn. 3. FWHM (full width at half maximum) - Độ rộng vạch phổ.
DANH MỤC BẢNG BIỂU VÀ HÌNH VẼ Bảng 1. Kết quả xác định các tham số ................................................ 39 Bảng 2. Kết quả xác định các tham số .............................................. 44 Hình 1.1. Hố thế Parabolic hữu hạn khi U 0 228meV , z 0.4 L0 ...................... 4 Hình 1.2. Độ rộng vạch phổ ..................................................................................... 12 Hình 2.1. Hố thế Parabolic hữu hạn khi U 0 228meV , z 0.4 L0 .................... 14 Hình 2.2. Hàm sóng trạng thái n=0 ứng với U 0 228meV , z 0.4 L0 , và tính được L0 = 15.35 nm, B = 49.71 nm .......................................................................... 20 Hình 2.3. Hàm sóng trạng thái n=1 khi chọn U 0 228meV , z 0.4 L0 , và tính được L1 = 23.46 nm, B = 49.71nm. ......................................................................... 21 Hình 3.1. Sự phụ thuộc của tích f0,0 (1 f1,1 ) vào nồng độ Al. ................................35 Hình 3.2. Sự phụ thuộc của năng lượng ngưỡng ∆E vào nồng độ Al đối với các giá trị nhất định của bề rộng hố thế L, và từ trường B. ................................................... 36 Hình 3.3. Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ quang – từ vào năng lượng photon với các nồng độ nhôm khác nhau khi B=10T, L=15nm, T=77K. Hình chèn nhỏ cho thấy sự phụ thuộc của vị trí đỉnh theo nồng độ nhôm s trong quá trình hấp thụ một photon (trục tung bên trái) và yếu tố - (trục tung bên phải). ................................................................................................................... 36 Hình 3.4. Sự phụ thuộc của FWHM vào nồng độ Al tại B =10 T, L =15 nm và T= 77 K. Các ký hiệu màu xanh và trống là các quá trình hấp thụ một và hai photon tương ứng ............................................................................................................................. 38 Hình 3.5. MOAC phụ thuộc năng lượng photon tới đối với các giá trị khác nhau của nhiệt độ khi s= 0.3, B=10T, T=77K.......................................................................... 40 Hình 3.6. Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ vào bề rộng hố thế khi từ trường B=10T, nồng độ nhôm s=0.3 ở nhiệt độ T=77K. ...................................................... 41 Hình 3.7. Sự phụ thuộc của hệ sô hấp thụ quang – từ vào năng lượng photon với các giá trị từ trường khác nhau khi độ rộng hố thế L=15nm, nồng độ nhôm s=0.3,
nhiệt độ K=77K. Hình chèn nhỏ mô tả sự phụ thuộc của đỉnh đồ thị vào từ trường B (trục trái) và yếu tố G (trục phải) cho quá trình hấp thụ một photon ........................ 42 Hình 3.8. Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ vào từ trường B khi s=0.3, L=15nm và T=77K. ................................................................................................................. 43 Hình 3.9. Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ quang – từ vào năng lượng photon với các nhiệt độ khác nhau khi L=15nm, s=0.3 và B=10T. ............................................ 44 Hình 3.10. Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ vào nhiệt độ khi s=0.3, L=15nm; B=10T. ...................................................................................................................... 45
MỞ ĐẦU 1. Tổng quan tình hình nghiên cứu Nghiên cứu quá trình hấp thụ đa photon trong bán dẫn đã được nhóm H.J. Lee, N.L. Kang, J.Y. Sug, S.D. Choi nghiên cứu và công bố trong danh mục các công trình từ công trình [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] trong danh mục tài liệu tham khảo. Trong những công trình này nhóm tác giả chủ yếu sử dụng phương pháp toán tử chiếu để thu được độ dẫn quang phi tuyến. Tính toán hệ số hấp thụ quang phi tuyến trong bán dẫn thấp chiều trong trường hợp hấp thụ một photon cũng đã được nhiều nhóm tác giả nghiên cứu và công bố kết quả được liệt kê từ các công trình [8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21]. Bài toán hấp thụ đa photon trong vật liệu bán dẫn nói chung bán dẫn thấp chiều nói riêng là rất phức tạp. Trong những năm gần một số nhóm tác giả đã áp dụng thành công phương pháp nhiễu loạn kết hợp với phương pháp hàm Green và đã bước đầu thu được một số kết quả về hấp thụ quang phi tuyến trong trường hợp hấp thụ hai photon cho một số vật liệu bán dẫn thấp chiều và đã được công bố trong các công trình [22, 23, 24, 25]. 2. Tính cấp thiết của đề tài Nghiên cứu các hiệu ứng quang trong các bán dẫn nói chung, bán dẫn thấp chiều nói riêng đang được các nhà nghiên cứu vật liệu trong nước và thế giới quan tâm một cách đặc biệt vì khả năng ứng dụng của nó trong tương lai là hết sức to lớn. Chính vì những lý do trên mà trong những năm gần đây, quá trình hấp thụ đa photon, trong đó có quá trình hấp thụ hai photon đã được quan tâm nghiên cứu [1–7]. Trong những công trình này, độ dẫn quang phi tuyến bậc nhất và bậc hai đã được thu nhận bằng phương pháp chiếu toán tử. Mặc dù những kết quả thu được có ý nghĩa vật lý rất rõ ràng và hữu ích trong việc nghiên cứu độ dẫn quang trong các hệ bán dẫn thấp chiều, nhưng các tính toán giải tích là rất phức tạp. Vì vậy những kết quả này ít được áp dụng để khảo sát các quá trình phi tuyến, đặc biệt là áp dụng để tính số. Do đó, các nhà nghiên cứu thường áp dụng các phương pháp khác nhau và đã nghiên cứu thành công trong việc khảo sát hiệu ứng hấp thụ 1
quang phi tuyến trong các hệ bán dẫn thấp chiều [8–20]. Kết quả của các công trình này cho thấy rằng hệ số hấp thụ phụ thuộc mạnh vào thế giam giữ [11,14], cấu trúc của hệ [8–10,13–18], áp suất thủy tỉnh [16,17,19], cũng như trường ngoài [12,20]. Tuy nhiên, những công trình này chỉ giới hạn ở việc khảo sát hiệu ứng hấp thụ quang thông qua quá trình hấp thụ một photon, còn vấn đề hấp thụ hai photon vẫn chưa được quan tâm nghiên cứu. Trong thời gian gần đây, chúng tôi đã thành công trong việc áp dụng phương pháp nhiễu loạn kết hợp với phương pháp hàm Green để đưa ra được biểu thức tường minh cho công suất hấp thụ và hệ số hấp thụ quang, trong đó bao hàm được quá trình hai photon [21]. Áp dụng kết quả thu được, chúng tôi đã thành công trong việc khảo sát hiệu ứng hấp thụ quang phi tuyến nhờ vào quá trình hai photon trong hố lượng tử parabol khi có điện trường [22] và khi không có điện trường [23], cũng như trong hố lượng tử với thế Gauss [24]. Trong thời gian gần đây, đã có những nghiên cứu thành công hiệu ứng hấp thụ quang phi tuyến trong nhiều loại hố lượng tử khác nhau như hố lượng tử parabolic, bán parabol bất đối xứng, hố thế tam giác,… Tuy nhiên, hầu hết các công trình chỉ nghiên cứu cho các hố thế vô hạn. Các hố thế hữu hạn hầu như chưa được nghiên cứu. Trong đề tài này chúng tôi khảo sát hiệu ứng hấp thụ quang bởi quá trình hấp thụ hai photon với hố lượng tử bán parabol hữu hạn. Biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ được thu nhận từ phương pháp nhiễu loạn kết hợp với phương pháp hàm Green. Kết quả tính số được áp dụng cho vật liệu GaAs/AlGaAs. Đây là một cấu trúc dễ chế tạo và có nhiều ứng dụng trong công nghệ. Vì vậy việc nghiên cứu hiệu ứng hấp thụ quang qua quá trình hấp thụ hai photon trong hố lượng tử bán parabol hữu hạn có ý nghĩa cả về mặt lý thuyết lẫn ứng dụng, và cần được quan tâm nghiên cứu. 3. Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu của đề tài là: xác định biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ quang trong FSPQW và khảo sát tính số để tìm các tích chất quan trong vật liệu nghiên cứu. 4. Cách tiếp cận và phƣơng pháp nghiên cứu 2
Đề tài chủ yếu sử dụng phương pháp nhiễu loạn kết hợp với phương pháp hàm Green. Đây là một phương pháp hiện đại, đáng tin cậy trong nghiên cứu vật lý lý thuyết để tìm biều thức giải tích của hệ số hấp thụ photon. Chúng tôi sử dụng phần mềm Mathematica, Matlab để khảo sát số, vẽ đồ thị. 5. Nội dung nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu những nội dung chủ yếu sau: a. Tính toán, thu biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ photon trong FSPQW khi có mặt của trường điện từ. b. Sử dụng các phần mềm toán học, khảo sát số để phát hiện hiệu ứng hấp thụ quang và từ đó tính độ rộng vạch phổ (FWHM) của quang phổ hấp thụ. c. Giải thích kết quả của hiệu ứng và dự đoán khả năng ứng dụng của nó trong kỹ thuật, công nghệ. Đề tài nghiên cứu đã được nhận đăng trên tạp chí chuyên ngành. Tên bài báo : “ Two – photon induced magneto- optical absorption in finite semi- parabolic quantum wells.” gửi đăng trên tạp chí : “ Superlatives and Microstructures.” 3
CHƢƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ DỐI TƢỢNG VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1.1. Tổng quan về hố lƣợng tử bán parabol hữu hạn. 1.1.1. Hố lượng tử bán dẫn parabol hữu hạn. Hình 1.1. Hố thế Parabolic hữu hạn khi U 0 228meV , z 0.4L0 Thế Finite semi-parabolic quantum well ( FSPQW) có thế năng phân bố theo quy luật: 2 m z B2 U 0 , z 0; 2 2 m z B2 V( z ) ,B z 0; 2 (1.1) 2 2 m z B U0 ,z B. 2 * Ở đây m 0.067m0 là khối lượng hiệu dụng của electron, z là tần số của thế giam giữ, B là bề cao của thành hố thế. 4
1.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong FSPQW Khi một từ trường tĩnh B được đặt theo trục z, trong chuẩn Landau với thế véc tơ A (0, Bx, 0) , Hamiltonian của một electron là: 1 H * ( p eA)2 V ( z ) (1.2) 2m Trong đó p là toán tử xung lượng của electron dẫn. Hàm riêng và trị riêng của Hamiltonian ở công thức (1.2) được xác định như sau : 1 N ,n,k y (r ) exp(ik y y) N ( x x0 ) n ( z) (1.3) Ly 1 EN , n , k y N c n ,N 0,1, 2,..., (1.4) 2 Trong đó N, n là chỉ số mức Landau, c eB / m* là tần số cyclotron, N ( x x0 ) là hàm sóng dao động điều hòa, có tâm tại vị trí x0 ac2 k y , Ly và k y lần lượt độ dài chuẩn hóa và véc tơ sóng của electron theo chiều y; và x0 ( k y / m* c ) là bán kính quỹ đạo trong mặt phẳng (x,y). Các thành phần hàm riêng và trị riêng theo phương trục z trong các công thức (1.3) và (1.4) tìm được bằng cách giải phương trình Schrodinger cho thế Parabol hữu hạn là: z2 1 k2 2 2 2 4 z z n (z) An e 2 HermiteH 2 n 1, z (1.5) z Ở đây An là hệ số chuẩn hóa Biểu thức tính năng lượng cho hạt electron chuyển động trong hố lượng tử bán dẫn parabol khi năng lượng nhỏ hơn hàng rào thế là: 3 En 2n z ; n = 0,1,2……. (1.6) 2 5
1.2. Tổng quan về phƣơng pháp nghiên cứu 1.2.1. Phương pháp nhiễu loạn phụ thuộc thời gian Trong phương pháp này, ta kí hiệu toán tử nhiễu loạn là một hàm của thời gian Vˆ (t ) . Hamiltonian của hệ có dạng: Hˆ Hˆ 0 Vˆ (t ) (1.7) Trong trường hợp này, năng lượng của hệ không bảo toàn, do đó không có các trạng thái dừng. Ta cần phải tính gần đúng các hàm sóng của hệ nhiễu loạn theo hàm sóng trạng thái dừng của hệ không nhiễu loạn dựa vào việc ứng dụng phương pháp biến thiên các hằng số để giải các phương trình vi phân tuyến tính do Dirac (0) (0) iEnt / đưa ra năm 1926. Gọi n ( x, t ) n ( x)e là các hàm sóng trạng thái dừng đã biết của hệ không nhiễu loạn. Các hàm này thỏa mãn phương trình không nhiễu loạn: (0) n ( x, t) (0) H0 n (x). (1.8) t Giới hạn ở trường hợp khi các trạng thái của hệ thống không nhiễu loạn ứng với phổ gián đoạn. Giả sử có nhiễu loạn nhỏ Vˆ (t ) tác dụng lên hệ. Hàm sóng cần tìm của hệ nhiễu loạn thỏa mãn phương trình: i ( Hˆ Vˆ ) , trong đó ak (t ) (0) k ( x, t ) (1.9) t k Các hệ số khai triển ak (t ) chỉ phụ thuộc vào t và không phụ thuộc vào tọa độ. Thay biểu thức của vào (1.8) và chú ý đến (1.9) ta thu được: dak i (0) k akVˆ (0) k , (1.10) k dt k (0)* Nhân trái hai vế của đẳng thức với k rồi lấy tích phân ta thu được: dam i akVkm (t ) (1.11) dt k 6
Trong đó: Vˆ (t ) i Em En t / Vmk (t ) e (0)* m (0) k ( x)dV vmk (t )ei mk t , mk ( Em(0) Ek(0) ) / , vmk (t ) m Vˆ (t ) (0)* (0) k ( x)dV . Để đơn giản hóa phương trình (1.11), ta dùng tính chất nhiễu loạn Vˆ là nhỏ. (0) Giả sử, ban đầu khi t 0 hệ ở trạng thái ứng với hàm n . Khi đó: ak (0) kn , (1.12) (0) Khi t 0 hệ chịu tác dụng của một nhiễu loạn nhỏ, do đó hàm sóng n phụ thuộc ít vào thời gian. Vì vậy các hệ số ak (t ) tại thời điểm t 0 được tìm dưới dạng: ak (t ) ak(0) (t ) ak(1) (t ) ak(2) (t ) ..., (1.13) (0) Trong đó ak (t ) ak(0) kn . (1) Hiệu chỉnh ak (t ) có cùng cấp độ bé với (2) nhiễu loạn, ak (t ) là bậc hai đối với nhiễu loạn,…Thay (1.13) vào (1.11) ta được: dam(1) i ak0Vmk (t )ei mn t dt (1.14) dt k Khi đó bỏ tất cá số hạng có độ bé cấp hai và cao hơn của nhiễu loạn, lấy tích phân (1.14) ta được: 1 t (1) a (t ) m vmn (t )ei mnt (1.15) i 0 1 t (2) a (t ) m vmn (t )ei mnt am(1) (t ). (1.16) i 0 1.2.2. Sự chuyển dời của hệ sang các trạng thái mới dưới ảnh hưởng của nhiễu loạn Nhiễu loạn là nguyên nhân gây ra sự dịch chuyển của hệ từ một trạng thái lượng tử này sang trạng thái lượng tử khác. Sự chuyển dời này không được thực hiện bằng bước nhảy mà diễn ra trong thời gian. Xác xuất chuyển dời được xác 7
định bằng đặc tính của nhiễu loạn và sự phụ thuộc vào thời gian. Khi hệ chuyển từ (0) (0) trạng thái dừng m ( x) sang trạng thái dừng n ( x) , n m trong khoảng thời gian từ 0 t có nhiễu loạn tác động thì xác suất chuyển dời của hệ là: t 2 (1) 2 1 i mn t Wnm a (t) 2 vnm (t)e dt . (1.17) 0 Nếu Vˆ0 Vˆt 0 thì (1.17) có thể được biến đổi bằng cách lấy tích phân từng phần: t t i mn t 1 i mn t t 1 dvmn i mnt vnm (t)e dt e e dt. (1.18) 0 i mn 0 i mn 0 dt Ta có thể viết: t 2 1 dvmn i mnt Wnm 2 2 e dt . (1.19) nm 0 dt Nếu Vˆ (t) là hàm điều hòa theo thời gian thì phần tử ma trận của toán tử nhiễu loạn cũng là một hàm tuần hoàn theo thời gian: Vvn (t) Vvn (0) cos t , (1.20) Trong đó thỏa mãn En En(0) . Thực hiện một số tính toán, ta thu được: 2 2 2 avn(1) 2 Vvn (0) t vn Vvn (0) t Ev En(0) . (1.21) 4 2 2 Xác xuất chuyển dời từ trạng thái lượng tử có năng lượng En(0) sang trạng thái có phổ liên tục trong khoảng dv tính cho một đơn vị thời gian được xác định bởi: 1 (1) 2 2 dWvn avn Vvn (0) Ev En(0) dv (1.22) t 2 8
Công thức trên chứng tỏ, dưới tác dụng của nhiễu loạn phụ thuộc thời gian, hệ chỉ có thể thực hiện chuyển dời sang trạng thái có mức năng lượng thỏa mãn điều kiện: Ev En(0) . (1.23) Khoảng các giá trị năng lượng dE tương ứng với khoảng các giá trị chỉ số v: dv g ( E )dE, (1.24) Trong đó g(E) là hàm mật độ trạng thái, g(E)dE là số các trạng thái năng lượng trong khoảng E và E+dE. Lấy tích phân theo các thông số còn lại, phương trình (1.22) trở thành: 2 dWEn VEn (0) g ( E ) Ev En(0) dE , (1.25) 2 Trong đó đã đưa ký hiệu: 2 dv 2 dE vvn VEn g ( E )dE. (1.26) dE Lấy tích phân theo năng lượng, ta tìm được xác xuất dời chuyển toàn phần trong một đơn vị thời gian từ trạng thái có năng lượng En(0) sang trạng thái của phổ năng lượng dưới ảnh hưởng của nhiễu loạn điều hòa: 2 W VEn (0) g ( E ), (1.27) 2 Trong đó Ev En(0) . Nếu phần tử nhiễu loạn khác với (1.17) và ta lấy ký hiệu phần tử nhiễu loạn bằng cách đưa vào hàm mũ như: Vkn (t ) Vkn (0) ei t e i t , (1.28) Thì hệ số bằng số trong các công thức trên sẽ thay đổi gấp bốn lần. Cụ thể, công thức (1.22) sẽ được viết dưới dạng: 2 2 dWvn Vvn (0) Ev En(0) dv. (1.29) 1.2.3. Tương tác electron-phonon-photon 9
Trong mục này, chúng tôi trình bày tóm tắt phương pháp để thu được hàm mật độ trạng thái của khí electron chuẩn 2 chiều (2 dimension electron gas-DEG) khi có mặt đồng thời cả từ trường mạnh và trường laser trong mô hình Faraday [30]. Chúng ta xét trường hợp mà trong đó (i) 2DEG chuyển động trong mặt phẳng (xy) và bị giam giữ theo trục z, (ii) Từ trường B được đặt dọc trục z, (iii) Trường laser Ax t được đặt dọc trục z và bị phân cực dọc theo x. Trong mô hình này, hiệu ứng cộng hưởng cyclotron được thể hiện rõ rệt. Đối với trường hợp này, ta có ( R, t ) 0 và A( R, t ) ( Ax (t ) Bx ,0) , với R (r , z ) ( x, y, z) là véc tơ vị trí. Ở đây chúng ta đã sử dụng chuẩn Landau và chuẩn Coulomb cho vectơ và thế vô hướng gần như gây ra bởi từ trường dừng và trường bức xạ điện từ. Chú ý thêm rằng chuẩn Coulomb cho trường bức xạ cũng được thỏa mãn cho electron tự do, cũng như mật độ điện tích và mật độ dòng sẽ bằng không khi trường ngoài kích thích và trường tán xạ có mặt không đồng thời. Sử dụng gần đúng lưỡng cực cho trường điện từ, chúng ta có thể viết Ax (t ) A0 sin( t ) với là tần số sóng điện từ (trường laser) và A0 F0 / , F0 là cường độ điện trường của trường điện từ. Do đó, Hamiltonian của electron cho 2DEG có thể được viết như sau: H (t ) H xy (t ) H z , (1.30) 1 H xy (t ) * ( px eAx (t )) 2 ( p y eBx ) 2 , (1.31) 2m pz2 Hz U ( z ), (1.32) 2m* Ở đây m* là khối lượng hiệu dụng của electron, px i / x là toán tử xung lượng dọc theo phương x và U z là thế năng giam giữ của 2DEG. Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian có dạng như sau 10
( R, t ) i H (t ) ( R, t ). (1.33) t Giải phương trình ta được: N ,k y ,n ( R, t ) N ,k y ,n (r, t ) n (z), (1.34) ik y iEem t / i EN Eem t / ix0 x X / ac2 N , k y , n (r , t ) e e e N ( x X )e y 0 (1.35) Ở đây k y là vectơ sóng của electron dọc theo phương X X (t ) ac2k y x1 (t ) với ac ( / eB)1/2 là bán kính cyclotron và EN ( N 1/ 2) c là năng lượng mức Landau thứ N với N=0,1,2,… và c eB / m* là tần số cycclontron. Các đại lượng khác trong phương trình (1.35) có dạng sau : eF0 c sin( t ) sin( ct ) x0 x0 (t ) , m* 2 2 c eF0 cos( t ) cos( ct ) x1 x1 (t) m* 2 c 2 2 2 2 c / 3 c 2 2 2 sin(2 t ) sin 2 ct 4sin( t ) cos( t ) c 2 c c 2 2 2 c / 3 c 0 (t ) 2 2 2 sin(2 t ) sin(2 ct ) 4sin( t ) cos( t ) (1.36) c 2 c c (eF )2 Với Eem là năng lượng gây ra bởi trường bức xạ và từ trường, 4m* ( c) và: x / ac2 /2 N ( x) (2N N ! 1/2 ac ) 1/2 e H N ( x / ac ), (1.37) Với H N ( x) là đa thức Hermite. Hơn nữa, vì từ trường và trường laser không liên kết để tạo nên thế giam giữ cho hệ electron hai chiều nên hàm sóng electron theo phương z là n ( z ) và năng lượng mức điện tử thứ n là n được xác định bởi phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian theo phương z. 11
Hz n n (z) 0. (1.38) 1.2.4. Phương pháp profile Độ rộng vạch phổ được xác định bởi khoảng cách giữa hai giá trị của biến phụ thuộc (tần số và năng lượng photon) mà tại đó giá trị của công suất hấp thụ bằng một nửa giá trị cực đại của nó. Độ rộng vạch phổ liên quan mật thiết đến tốc độ hồi phục, chúng phụ thuộc vào tính chất cụ thể của cơ chế tán xạ của hạt tải chất rắn. Vì vậy việc nghiên cứu độ rộng vạch phổ cho phép ta thu được các thông tin về cơ chế tán xạ này. Hình 1.2. Độ rộng vạch phổ Về nguyên tắc, độ rộng vạch phổ chỉ được thu nhận từ đồ thị của công suất hấp thụ (hoặc hệ số hấp thụ) như là một hàm năng lượng của photon. Ý tưởng của phương pháp tìm độ rộng vạch phổ là đầu tiên tìm giá trị cực đại của công suất hấp thụ từ đó kẽ đường thẳng P Pmax / 2 song song với trục hoành cắt đồ thị của công suất hấp thụ tại hai điểm. Khoảng cách giữa hai điểm này là độ rộng vạch phổ. Như vậy, để tìm sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ vào một đại lượng x nào đó, trước hết ta vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng của photon theo các giá trị khác nhau của x . Sau đó xác định giá trị công suất cực đại Pmax bằng lệnh FindMaxValue, từ đó dùng lệnh FindRoot Pmax ( ) / 2 để tìm hai giá trị của năng lượng photon 1 và 2 ứng với một nửa giá trị công suất cực đại và tính 1 2 , đây chính là độ rộng vạch phổ. Mỗi cặp giá trị 12