Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số bất đẳng thức về hàm lồi và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

43
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của đề tài luận văn là trình bày các kiến thức cơ bản về tập lồi, hàm lồi một biến, hàm lồi nhiều biến, hàm 7-lồi, hàm s-lồi, bất đăng thức Hermite Hadamard cho hàm lỗi, hàm lồi khả vị, hàm s-lồi và ứng dụng trong chứng minh một số bất đăng thức trong toán phố thông, đánh giá các giá trị trung bình.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số bất đẳng thức về hàm lồi và ứng dụng

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o NGUYN THÀ HÇNG HOA MËT SÈ BT NG THÙC V HM LÇI V ÙNG DÖNG LUN VN THC S TON HÅC THI NGUYN, 10/2018
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o NGUYN THÀ HÇNG HOA MËT SÈ BT NG THÙC V HM LÇI V ÙNG DÖNG Chuy¶n ng nh: Ph÷ìng ph¡p to¡n sì c§p M¢ sè: 8460113 LUN VN THC S TON HÅC GIO VIN H×ÎNG DN PGS.TS. NGUYN THÀ THU THÕY THI NGUYN, 10/2018
iii Möc löc B£ng kþ hi»u 1 Mð ¦u 2 Ch÷ìng 1. H m lçi v b§t ¯ng thùc HermiteHadamard 4 1.1 H m lçi mët bi¸n v b§t ¯ng thùc HermiteHadamard . . . 4 1.1.1 B§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m lçi . . . 4 1.1.2 B§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m lçi kh£ vi 7 1.2 Ùng döng cõa b§t ¯ng thùc HermiteHadamard . . . . . . 14 1.2.1 Ùng döng trong ¡nh gi¡ c¡c gi¡ trà trung b¼nh . . . 14 1.2.2 Ùng döng chùng minh mët sè b§t ¯ng thùc trong ch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng . . . . . . . . . . . . . . 17 Ch÷ìng 2. H m lçi suy rëng v ùng döng 21 2.1 H m J -lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.1 H m lçi tr¶n Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.2 H m J -lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 H m s-lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1 ành ngh¾a. V½ dö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.2 T½nh ch§t cõa h m s-lçi . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 B§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m s-lçi . . . . . . 33 2.3.1 B§t ¯ng thùc HermiteHadamard . . . . . . . . . . 33 2.3.2 Mët sè b§t ¯ng thùc mîi ÷ñc thi¸t lªp tø b§t ¯ng thùc HermiteHadamard . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.3 Mët sè ùng döng cho gi¡ trà trung b¼nh °c bi»t . . . 40
iv K¸t luªn 41 T i li»u tham kh£o 42
1 B£ng kþ hi»u R tªp sè thüc Lp [a, b] khæng gian c¡c h m kh£ t½ch bªc p tr¶n o¤n [a, b] Co ph¦n trong cõa tªp C A trung b¼nh cëng G trung b¼nh nh¥n H trung b¼nh i·u háa L trung b¼nh lægarit Lp trung b¼nh p-lægarit
2 Mð ¦u H m lçi v tªp lçi ¢ ÷ñc nghi¶n cùu tø l¥u bði Holder, Jensen, Minkowski. °c bi»t vîi nhúng cæng tr¼nh cõa Fenchel, Moreau, Rock- afellar v o c¡c thªp ni¶n 1960 v 1970 ¢ ÷a gi£i t½ch lçi trð th nh mët trong nhúng l¾nh vüc ph¡t triºn nh§t cõa to¡n håc. B¶n c¤nh â, mët sè h m khæng lçi theo ngh¾a ¦y õ nh÷ng công chia s´ mët v i t½nh ch§t n o â cõa h m lçi. Chóng ÷ñc gåi l c¡c h m lçi suy rëng (generalized convex function). . . Möc ti¶u cõa · t i luªn v«n l tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc cì b£n v· tªp lçi, h m lçi mët bi¸n, h m lçi nhi·u bi¸n, h m J -lçi, h m s-lçi, b§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m lçi, h m lçi kh£ vi, h m s-lçi v ùng döng trong chùng minh mët sè b§t ¯ng thùc trong to¡n phê thæng, ¡nh gi¡ c¡c gi¡ trà trung b¼nh. Luªn v«n công tr¼nh b y mët sè b§t ¯ng thùc suy rëng cõa b§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m kh£ vi n-l¦n, h m J -lçi, h m s-lçi, h m s-lãm trong c¡c cæng tr¼nh [7], [8] cæng bè n«m 2012 v 2017. Nëi dung cõa luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng. Ch÷ìng 1 tr¼nh b y v chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m lçi mët bi¸n, h m lçi kh£ vi bªc nh§t, bªc hai, bªc n v ùng döng ¡nh gi¡ mët sè gi¡ trà trung b¼nh v chùng minh mët sè b i tªp b§t ¯ng thùc trong ch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng. Ch÷ìng 2 tr¼nh b y kh¡i ni»m v· h m J -lçi v mët sè t½nh ch§t cõa lîp h m J -lçi, kh¡i ni»m h m s-lçi, t½nh ch§t cõa h m s-lçi, v½ dö v· h m s-lçi. Tr¼nh b y c¡c b§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m s-lçi, tr¼nh b y
3 chi ti¸t c¡c chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc n y, còng mët sè ùng döng cho gi¡ trà trung b¼nh °c bi»t. Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n. Trong qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n n y, Tr÷íng ¤i håc Khoa håc ¢ t¤o måi i·u ki»n tèt nh§t º t¡c gi£ håc tªp, nghi¶n cùu. T¡c gi£ xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh ¸n c¡c th¦y, cæ trong Khoa To¡n - Tin, trong Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n. °c bi»t, t¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi PGS.TS. Nguy¹n Thà Thu Thõy - Ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n t¡c gi£ ho n th nh luªn v«n n y. Xin c£m ìn nhúng ng÷íi th¥n trong gia ¼nh ¢ h¸t sùc thæng c£m, chia s´ v t¤o i·u ki»n tèt nh§t cho tæi º tæi câ thº håc tªp, nghi¶n cùu v ho n th nh nhúng cæng vi»c cõa m¼nh. Tæi công xin gûi nhúng líi c£m ìn °c bi»t nh§t tîi t§t c£ nhúng ng÷íi b¤n th¥n y¶u, nhúng ng÷íi ¢ y¶u m¸n, chia s´ vîi tæi nhúng khâ kh«n trong khi tæi thüc hi»n luªn v«n. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 10 n«m 2018 T¡c gi£ luªn v«n Nguy¹n Thà Hçng Hoa
4 Ch÷ìng 1 H m lçi v b§t ¯ng thùc HermiteHadamard Ch÷ìng n y giîi thi»u kh¡i ni»m v· h m lçi; tr¼nh b y mët sè b§t ¯ng thùc d¤ng HermiteHadamard cho h m lçi, h m lçi kh£ vi v ùng döng ¡nh gi¡ mët sè gi¡ trà trung b¼nh °c bi»t v chùng minh mët sè b i tªp b§t ¯ng thùc trong ch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng. Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc têng hñp tø c¡c t i li»u [1], [3], [4], [7], [8] v [10]. 1.1 H m lçi mët bi¸n v b§t ¯ng thùc HermiteHadamard 1.1.1 B§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m lçi ành ngh¾a 1.1.1 H m f : [a, b] ⊂ R → R ÷ñc gåi l h m lçi n¸u vîi måi x, y ∈ [a, b] v λ ∈ [0, 1] th¼ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y). H m f ÷ñc gåi l h m lãm n¸u h m (−f ) l lçi. H» qu£ 1.1.2 ([11, H» qu£ 2.1]) H m f (x) kh£ vi hai l¦n tr¶n kho£ng mð (a, b) ⊆ R l h m lçi n¸u v ch¿ n¸u ¤o h m c§p hai cõa nâ khæng ¥m tr¶n to n kho£ng (a, b). R§t nhi·u b§t ¯ng thùc quan trång ÷ñc thi¸t lªp tø lîp c¡c h m lçi. Mët trong nhúng b§t ¯ng thùc nêi ti¸ng nh§t l b§t ¯ng thùc Hermite
5 Hadamard (cán gåi l b§t ¯ng thùc Hadamard). B§t ¯ng thùc k²p n y ÷ñc ph¡t biºu trong ành lþ sau. ành lþ 1.1.3 ([3, The HermiteHadamard Integral Inequality]) Cho f l mët h m lçi tr¶n [a, b] ⊂ R, a 6= b. Khi â a + b Z b 1 f (a) + f (b) f ≤ f (x)dx ≤ . (1.1) 2 b−a a 2 B§t ¯ng thùc (1.1) câ thº vi¸t l¤i d÷îi d¤ng: Zb a+b f (a) + f (b) (b − a)f ≤ f (x)dx ≤ (b − a) . (1.2) 2 2 a Chùng minh. V¼ h m f lçi tr¶n o¤n [a, b], n¶n vîi måi λ ∈ [0, 1] ta câ f λa + (1 − λ)b ≤ λf (a) + (1 − λ)f (b). L§y t½ch ph¥n hai v¸ theo λ tr¶n o¤n [0, 1], ta nhªn ÷ñc Z1 Z1 Z1 (1.3) f λa + (1 − λ)b dλ ≤ f (a) λdλ + f (b) (1 − λ)dλ. 0 0 0 V¼ Z1 Z1 1 λdλ = (1 − λ)dλ = 2 0 0 v b¬ng ph²p êi bi¸n x = λa + (1 − λ)b, suy ra Z1 Zb 1 f λa + (1 − λ)b dλ = f (x)dx. b−a 0 a K¸t hñp vîi (1.3) ta nhªn ÷ñc b§t ¯ng thùc thù hai cõa (1.1). Công do t½nh lçi cõa h m f , 1 f (λa + (1 − λ)b) + f ((1 − λ)a + λb) 2 λa + (1 − λ)b + (1 − λ)a + λb ≥f 2 a+b =f . 2
6 T½ch ph¥n hai v· b§t ¯ng thùc n y theo λ tr¶n o¤n [0, 1] ta nhªn ÷ñc  1  Z Z1 a+b 1 f ≤  f (λa + (1 − λ)b)dλ + f ((1 − λ)a + λb)dλ 2 2 0 0 Zb 1 = f (x)dx. b−a a B§t ¯ng thùc thù nh§t cõa (1.1) ÷ñc chùng minh. H» qu£ 1.1.4 (xem [3]) N¸u g : [a, b] → R l h m kh£ vi hai l¦n tr¶n [a, b] ⊆ R v m ≤ g 00 (t) ≤ M vîi måi x ∈ [a, b], m, M l h¬ng sè x¡c ành, th¼ Zb m 1 a+b M (b − a)2 ≤ g(x)dx − g ≤ (b − a)2 . (1.4) 24 b−a 2 24 a m 2 Chùng minh. °t f (x) = g(x) − x vîi måi x ∈ [a, b]. Khi â, 2 f 00 (x) = g 00 (x) − m ≥ 0, ∀x ∈ (a, b) chùng tä h m f l lçi tr¶n kho£ng mð (a, b). p döng b§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m f ta nhªn ÷ñc 2 a+b m a+b a+b g − =f 2 2 2 2 Zb h 1 m 2i = g(x) − x dx b−a 2 a Zb 1 m b3 − a3 = g(x)dx − b−a 2 3(b − a) a Zb 1 m a2 + ab + b2 = g(x)dx − . b−a 2 3 a Do â, 2 Zb m a2 + ab + b2 m a+b 1 a+b − ≤ g(x)dx − g . 2 3 2 2 b−a 2 a
7 Hay Zb a2 + ab + b2 a2 + 2ab + b2 m 1 a+b − ≤ g(x)dx − g . 2 3 4 b−a 2 a B§t ¯ng thùc n y t÷ìng ÷ìng vîi Zb m 1 a + b (b − a)2 ≤ g(x)dx − g . 24 b−a 2 a Nh÷ vªy, b§t ¯ng thùc thù nh§t cõa (1.4) ÷ñc chùng minh. º chùng minh b§t ¯ng thùc thù hai cõa (1.4), ta ¡p döng c¡ch chùng minh t÷ìng tü nh÷ vîi b§t ¯ng thùc thù nh§t cho h m M 2 h(x) = x − g(x), x ∈ [a, b]. 2 B§t ¯ng thùc thù nh§t trong b§t ¯ng thùc k²p (1.1) câ thº mð rëng nh÷ sau. ành lþ 1.1.5 ([4, ành lþ 18]) Gi£ sû f : R → R l h m lçi tr¶n o¤n [a, b] vîi a < b. Khi â vîi måi x ∈ [a, b] v måi λ ∈ [f 0 − (t), f 0 + (t)], t ∈ [a, b] ta câ Zb a+b 1 f (t) − λ −t ≤ f (x)dx. (1.5) 2 b−a a 1.1.2 B§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m lçi kh£ vi Kþ hi»u Lp [a, b] l khæng gian c¡c h m kh£ t½ch bªc p (1 ≤ p < ∞) tr¶n o¤n [a, b], ngh¾a l n¸u f (x) ∈ Lp [a, b] th¼ Z b |f (x)|p dx < ∞. a Nhªn x²t 1.1.6 (xem [4]) Gi£ sû f : [a, b] ⊂ R → R l h m kh£ vi tr¶n [a, b] vîi a < b. N¸u f 0 ∈ L1 [a, b] th¼ Zb Zb f (a) + f (b) 1 1 a+b − f (t)dt = t− f 0 (t)dt. (1.6) 2 b−a b−a 2 a a
8 ành lþ 1.1.7 ([4, ành lþ 24]) N¸u f l h m kh£ vi tr¶n [a, b] ⊂ R v h m a+b ϕ(x) := x− f 0 (x) 2 lçi tr¶n [a, b], th¼ Zb b−a 0 f (a) + f (b) 1 f (a) − f 0 (b) ≥ − f (x)dx ≥ 0. (1.7) 8 2 b−a a Chùng minh. p döng b§t ¯ng thùc cho h m ϕ (xem [10]): Z b 1 a+b ϕ(a) + ϕ(b) 1 a+b ϕ + ≥ ϕ(x)dx ≥ ϕ . 2 2 2 b−a a 2 Sû döng ành ngh¾a cõa h m ϕ ta thu ÷ñc: " # b−a 0 0 Z b 1 2 (f (b) − f (a)) f (a) + f (b) 1 ≥ − f (x)dx ≥ 0. 2 2 2 b−a a ành lþ 1.1.8 ([4, ành lþ 26]) Gi£ sû f : [a, b] ⊂ R → R l h m kh£ vi tr¶n [a, b] v p > 1. N¸u |f 0| l q-kh£ t½ch tr¶n [a, b], trong â p1 + 1q = 1, th¼
 b  1q
Zb
1
1 (b − a) p Z
f (a) + f (b) 1
− f (t)dt
≤ 1  |f 0 (t)|q dt . (1.8)