Luận văn Thạc sĩ: Về Phức Koszul

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:53

Thêm vào BST

Báo xấu

51
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phức Koszul là một đối tượng quan trọng của đại số đồng điều. Phức này được đặt theo tên của nhà toán học người Pháp Jean-Louis Koszul, nó có mối liên hệ mật thiết với các dãy chính quy và độ sâu của một iđêan. Nội dung chính của luận văn là trình bày lại một số kiến thức cơ bản về dãy chính quy, độ sâu, phức Koszul và nêu ra một vài ứng dụng cơ bản của phức Koszul.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ: Về Phức Koszul

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN-CƠ-TIN HỌC NGUYỄN THỊ QUỲNH VỀ PHỨC KOSZUL LUẬN VĂN THẠC SĨ HÀ NỘI- 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN-CƠ-TIN HỌC NGUYỄN THỊ QUỲNH VỀ PHỨC KOSZUL LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Giảng viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Phụ Hoàng Lân HÀ NỘI- 2015
LỜI CẢM ƠN Nhân dịp này, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS.Nguyễn Phụ Hoàng Lân, thầy đã trực tiếp hướng dẫn, tận tình chỉ bảo cũng như tạo điều kiện về nhiều mặt để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Đồng thời, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán-Cơ-Tin học, trường Đại học Khoa học Tự Nhiên- Đại học Quốc gia Hà Nội, những người đã dạy bảo tôi tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô trong Hội đồng bảo vệ luận văn của tôi. Các thầy, cô đã đọc, góp ý, và giúp đỡ để tôi có thể chỉnh sửa luận văn này được tốt hơn. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều kiện và động viên cổ vũ tôi để tôi có thể hoàn thiện nhiệm vụ của mình. Xin chúc mọi người sức khỏe, đạt được nhiều thành tích cao trong công tác, học tập cũng như nghiên cứ khoa học. Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2015. Học viên Nguyễn Thị Quỳnh 1
Mục lục DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 4 LỜI MỞ ĐẦU 5 1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Các phức và đồng điều của phức . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Các phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Đồng điều của phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Các cách xây dựng một phức khác từ các phức đã cho 13 1.2 Các dãy giải và các môđun mở rộng . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.1 Các dãy giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2 Các môđun mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài . . . . . . . . . . 17 1.3.1 Đại số tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.2 Đại số đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.3 Đại số ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 Độ sâu 28 3 Phức Koszul 35 3.1 Cách xây dựng Phức Koszul theo tích ngoài . . . . . . . . . 35 3.2 Cách xây dựng Phức Koszul bằng cách lấy tenxơ các phức . 37 3.3 Một số tính chất cơ bản của phức Koszul . . . . . . . . . . 39 4 Ứng dụng của phức Koszul 41 2
4.1 Phức Koszul và dãy chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2 Phức Koszul và độ sâu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.3 Phức Koszul và dãy giải tự do của đại số đối xứng . . . . . 44 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 3
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Sau đây là những ký hiệu được dùng trong luận văn. k một trường. R một vành giao hoán có đơn vị. M một R-môđun. I một R-iđêan. M ⊗R N tích tenxơ của M và N với hệ số trên R. T (M ) một R-đại số tenxơ của môđun M . S(M ) một R-đại số đối xứng của môđun M . ∧(M ) một R-đại số ngoài của môđun M . HomR (M, N ) tập các R-đồng cấu môđun từ M vào N . C• ⊗ K• tích tenxơ của hai phức C• và K• . ExtnR (M, N ) môđun mở rộng thứ n của M và N . R[x1 , . . . , xn ] vành đa thức n biến với hệ số trên R. (x1 , x2 , . . . , xn ) một R-iđêan được sinh bởi các phần tử x1 , x2 , . . . , xn . (R, m) vành địa phương R với iđêan cực đại m. depth(I, M ) Độ sâu của iđêan I trên môđun M . K• (x) phức Koszul của dãy x. K• (x; M ) phức Koszul của dãy x với hệ số trên M . Ann(M ) linh tử của M . 4
MỞ ĐẦU Phức Koszul là một đối tượng quan trọng của đại số đồng điều. Phức này được đặt theo tên của nhà toán học người Pháp Jean-Louis Koszul, nó có mối liên hệ mật thiết với các dãy chính quy và độ sâu của một iđêan. Nội dung chính của luận văn là trình bày lại một số kiến thức cơ bản về dãy chính quy, độ sâu, phức Koszul và nêu ra một vài ứng dụng cơ bản của phức Koszul. Bố cục của luận văn được trình bày như sau. Chương 1: Trình bày lại một số kiến thức cơ bản của đại số đại cương và đại số đồng điều như: các phức, đồng điều của phức, tích tenxơ của hai phức, đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài, các dãy giải và các môđun mở rộng. Chương 2: Trình bày lại một số kiến thức cơ bản về dãy chính quy, dãy chính quy cực đại, từ đó đi đến khái niệm độ sâu của một iđêan. Chương 3: Trình bày các cách xây dựng phức Koszul và một số tính chất cơ bản của nó. Chương 4: Nêu ra một vài ứng dụng cơ bản của phức Koszul như: phức Koszul của một dãy chính quy cho ta một dãy giải tự do của iđêan sinh bởi dãy đó, kiểm tra khi nào một dãy các phần tử trong iđêan cực đại của một vành địa phương là dãy chính quy, tính độ sâu của một iđêan, xây dựng một phức với đồng điều của nó ở vị trí 0 chính là đại số đối xứng của một iđêan. 5
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Mục đích của chương này là trình bày lại một số kiến thức cơ bản của đại số đại cương và đại số đồng điều: các phức, đồng điều của phức, tích tenxơ của các phức, đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài, các dãy giải và các môđun mở rộng. Nội dung chương này dựa trên các tài liệu [2], [7], [6], [8], [10], [11], [12], [14], [15]. Trong suốt luận văn, chúng tôi luôn giả sử R là một vành giao hoán có đơn vị. Các môđun và các đồng cấu đều được hiểu là các R-môđun và các đồng cấu R-môđun. 1.1 Các phức và đồng điều của phức 1.1.1 Các phức Các nghiên cứu về các môđun và đồng cấu giữa chúng có thể được diễn tả thông qua các phức. Định nghĩa 1.1. Một dãy các môđun và các đồng cấu ∂n+1n ∂ M• : · · · → Mn+1 −−→ Mn −→ Mn−1 → . . . (1.1) được gọi là một phức nếu ∂n ∂n+1 = 0, ∀n ∈ Z. Tương tự, một dãy các môđun và các đồng cấu ∂ n−1 ∂n M • = · · · → M n−1 −−→ M n −→ M n+1 → . . . , (1.2) được gọi là một đối phức nếu ∂ n ∂ n−1 = 0, ∀n ∈ Z. Một phức được gọi là khớp ở vị trí thứ n nếu Ker ∂n = Im ∂n+1 . Một phức được gọi là khớp nếu nó khớp tại mọi vị trí. 6
Lưu ý rằng, một phức (khớp) cũng có thể hữu hạn, đó là khi dãy (1.1) hữu hạn. Ví dụ 1.2. Cho hai phần tử x, y ∈ R. Khi đó dãy sau là một phức (−y x ) (x y) 0 → R −−→ R2 −−→ R → 0. Hơn nữa, nếu x không là ước của không trên R và y không là ước của không trên R/(x) thì phức trên là khớp. Nhận xét 1.3. Theo định nghĩa, ta có (i) M là một môđun tự do khi và chỉ khi ∃n ∈ N∗ : Rn → M → 0 là dãy khớp, f (ii) f : A → B là đơn ánh khi và chỉ khi 0 → A → − B là dãy khớp, g (iii) g : B → C là toàn ánh khi và chỉ khi B → − C → 0 là dãy khớp. Việc kết hợp các dãy khớp trên tạo nên một loại dãy khớp rất quan trọng, được gọi là dãy khớp ngắn. Định nghĩa 1.4. Một dãy khớp với 5 môđun có dạng 0 00 0→M →M →M →0 được gọi là một dãy khớp ngắn. n ∂n+1 ∂ Nhận xét 1.5. Mọi dãy khớp dài · · · → Mn+1 −−→ Mn − → Mn−1 → . . . đều có thể phân tích thành các dãy khớp ngắn 0 −−→ ker ∂n −−→ Mn −−→ im ∂n −−→ 0 k 0 −−→ ker ∂n+1 −−→ Mn+1 −−→ im ∂n+1 −−→ 0 Để liên kết các phức, ta sử dụng khái niệm đồng cấu giữa các phức. 0 Định nghĩa 1.6. Một đồng cấu giữa hai phức M• và M• là một họ các 0 đồng cấu f• := {fn : Mn → Mn }n∈Z sao cho biểu đồ sau giao hoán ∂n+2 ∂n+1 ∂ ∂n−1 . . . −−→ Mn+1 −−→ Mn −−n→ Mn−1 −−→ . . .    f f f y n+1 yn y n−1 0 0 0 0 ∂n+2 0 ∂n+1 0 ∂n 0 ∂n−1 . . . −−→ Mn+1 −−→ Mn −−→ Mn−1 −−→ . . . 7
0 tức là fn−1 ◦ ∂n = ∂n ◦ fn , ∀n. 0 Ta kí hiệu f• : M• → M• . Kết quả tiếp theo nói lên mối liên hệ giữa các đồng cấu thành phần trong đồng cấu giữa hai dãy khớp ngắn. Bổ đề 1.7 (Bổ đề 5 đẳng cấu). Cho biểu đồ giao hoán của hai dãy khớp ngắn f g 0 −−→ A −−→ B −−→ C −−→ 0    ϕ ψ ρ y y y 0 0 0 f 0 g 0 0 −−→ A −−→ B −−→ C −−→ 0 Nếu ϕ và ρ là các đẳng cấu thì ψ cũng là một đẳng cấu. Chứng minh. Giả sử u ∈ ker ψ , sử dụng tính giao hoán của biểu đồ ta 0 0 được ρ(g(u)) = g (ψ(u)) = g (0) = 0. Vì ρ là đơn cấu nên g(u) = 0, do đó u ∈ ker g . Tính khớp tại B chỉ ra rằng u ∈ ker g ⇒ u ∈ im f , do đó ∃a ∈ A : f (a) = u. Sử dụng một lần nữa tính giao hoán của biểu đồ, ta 0 0 được f (ϕ(a)) = ψ(f (a)) = 0, và do f là đơn cấu nên ϕ(a) = 0, lại do ϕ là đơn cấu nên a = 0. Do đó, u = f (0) = 0. Vậy ψ là một đơn cấu. 0 0 0 0 0 Xét b ∈ B . Khi đó g (b ) ∈ C . Do ρ là toàn cấu nên ∃c ∈ C : 0 0 ρ(c) = g (b ), và do g là toàn cấu nên ∃b ∈ B : g(b) = c. Sử dụng tính 0 0 0 0 0 giao hoán của biểu đồ ta được g (ψ(b)) = g (b ), do đó g (ψ(b) − b ) = 0, 0 0 0 0 0 hay ψ(b) − b ∈ ker g . Tính khớp tại B chỉ ra rằng ψ(b) − b ∈ im f , tức 0 0 0 0 0 0 là ∃a ∈ A : f (a ) = ψ(b) − b , do ϕ là toàn cấu nên ∃α ∈ A : ϕ(α) = a , và sử dụng tính giao hoán của biểu đồ ta được 0 0 0 0 ψ(b) − b = f (a ) = f (ϕ(α)) = ψ(f (α)). 0 Do vậy, b = ψ(b) − ψ(f (α)) = ψ(b − f (α)), hay ψ là một toàn cấu. 1.1.2 Đồng điều của phức Việc nghiên cứu tính khớp của các phức được quy về việc nghiên cứu các đồng điều của chúng. 8
Định nghĩa 1.8. Môđun thương Hn (M• ) := ker ∂n /im ∂n+1 được gọi là môđun đồng điều thứ n của phức M• . Một cách tương tự, môđun thương H n (M • ) := ker ∂ n /im ∂ n−1 được gọi là môđun đối đồng điều thứ n của đối phức M • . Như vậy, phức M• khớp tại vị trí thứ n khi và chỉ khi Hn (M• ) = 0. Một đồng cấu giữa hai phức sẽ cảm sinh một dãy các đồng cấu giữa các môđun đồng điều của hai phức đó. 0 Mệnh đề 1.9. Cho một đồng cấu f• giữa hai phức M• và M• ∂n+1 ∂ . . . −−→ Mn+1 −−→ Mn −−n→ Mn−1 −−→ . . .    f f f y n+1 yn y n−1 0 0 0 ∂n+1 0 ∂n 0 . . . −−→ Mn+1 −−→ Mn −−→ Mn−1 −−→ . . . 0 Khi đó với mỗi n sẽ có một đồng cấu (f∗ )n : Hn (M• ) → Hn (M• ) được cảm sinh bởi fn như sau (f∗ )n ([m]) = [fn (m)] , ∀m ∈ ker ∂n . Chứng minh. Có thể xem chứng minh này trong [7, tr. 778]. Ta sẽ nghiên cứu kĩ hơn về đồng cấu giữa hai phức. Trước tiên ta nhắc lại khái niệm dãy khớp ngắn của các phức. 0 00 0 Định nghĩa 1.10. Cho các phức M• , M• , M• và các đồng cấu f• : M• → M• , 00 g• : M• → M• . Nếu với mỗi n, dãy 0 fn gn 00 0 → Mn − → Mn − → Mn → 0 là một dãy khớp ngắn, thì ta gọi dãy 0 f• g• 00 0 → M• − → M• − → M• → 0 0 00 là một dãy khớp ngắn của các phức M• , M• , M• . Dãy khớp ngắn nói trên được viết cụ thể như sau, trong đó các hàng ngang là các dãy khớp ngắn và các hàng dọc là các phức 9
.. .. .. . . .       y y y 0 fn+1 gn+1 00 0 −−→ Mn+1 −−→ Mn+1 −−→ Mn+1 −−→ 0       y y y 0 fn gn 00 0 −−→ Mn −−→ Mn −−→ Mn −−→ 0       y y y 0 fn−1 gn−1 00 0 −−→ Mn−1 −−→ Mn−1 −−→ Mn−1 −−→ 0       y y y .. .. .. . . . Một dãy khớp ngắn của các phức sẽ cảm sinh dãy khớp dài trên đồng điều. Định lý 1.11. Cho một dãy khớp ngắn của các phức 0 f• g• 00 0 → M• −→ M• − → M• → 0 Dãy này sẽ cảm sinh ra một dãy khớp dài trên các đồng điều 0 (f∗ )n n (g∗ )n 00 δ 0 · · · → Hn (M• ) −−−→ Hn (M• ) −−→ Hn (M• ) − → Hn−1 (M• ) (f∗ )n−1 (g∗ )n−1 00 δn−1 0 −−−−→ Hn−1 (M• ) −−−−→ Hn−1 (M• ) −−→ Hn−2 (M• ) → . . . (1.3) Chứng minh. Các đồng cấu (f∗ )n và (g∗ )n đã được xây dựng như trong Mệnh đề 1.9. Ta cần xây dựng đồng cấu δn và kiểm tra tính khớp của dãy (1.3). Ta bắt đầu với việc xây dựng δn dựa vào biểu đồ giao hoán sau gn y −−→ x   ∂  00 yn y∂n fn−1 gn−1 z −−→ ∂n (y) −−→ 0    0 ∂ y∂n−1 y n−1 fn−2 0 −−→ 0 00 Xét x ∈ ker ∂n” ⊆ Mn . Do gn là toàn cấu nên ∃y ∈ Mn : gn (y) = x. Sử 00 dụng tính giao hoán của biểu đồ, ta được 0 = ∂n (x) = gn−1 (∂n (y)), cho 10
0 nên ∂n (y) ∈ ker gn−1 = im fn−1 . Do đó ∃z ∈ Mn : fn−1 (z) = ∂n (y) (do 0 fn−1 là đơn cấu nên với mỗi y ∈ Mn xác định duy nhất một z ∈ Mn ). 0 Hơn nữa, fn−2 (∂n−1 (z)) = ∂n−1 (fn−1 (z)) = ∂n−1 (∂n (y)) = 0 (sử dụng tính giao hoán của biểu đồ và giả thiết M• là một phức), và do fn−2 là đơn cấu 0 0 nên ta có ∂n−1 (z) = 0, tức là z ∈ ker ∂n−1 . Vì vậy, với mỗi x ∈ ker ∂n” , sẽ 0 cho tương ứng với một z ∈ ker ∂n−1 , cho nên ta xác định δn bởi công thức δn ([x]) = [z]. Tiếp theo ta sẽ kiểm tra rằng δn được định nghĩa tốt. • Việc chọn ra [z] không phụ thuộc vào việc chọn phần tử y ∈ gn−1 (x). 0 Cho phần tử yˆ ∈ gn−1 (x) khác, khi đó tồn tại duy nhất zˆ ∈ ker ∂n−1 sao cho fn−1 (ˆ z ) = ∂n (ˆ y ). fn gn w −−→ y − yˆ −−→ 0     0 ∂  00 y∂n yn y∂n fn−1 gn−1 z − zˆ −−→ ∂n (y − yˆ) −−→ 0 Ta có gn (y − yˆ) = x − x = 0, do đó y − yˆ ∈ ker gn = im fn , và 0 do vậy ∃w ∈ Mn : fn (w) = y − yˆ. Sử dụng tính giao hoán của 0 biểu đồ ta được fn−1 (∂n (w)) = ∂n (fn (w)) = ∂n (y − yˆ) = ∂n (y) − y ) = fn−1 (z) − fn−1 (ˆ ∂n (ˆ z ) = fn−1 (z − zˆ), và do fn−1 là đơn cấu nên 0 0 ∂n (w) = z − zˆ, hay z − zˆ ∈ im ∂n , tức là [z] = [ˆ z ]. • Việc chọn ra [z] không phụ thuộc vào phần tử đại diện của [x]. Giả 00 sử [x] = [ˆx], hay x − xˆ ∈ im ∂n+1 , ta phải chỉ ra [z] = [ˆ z ], hay 0 00 00 z − zˆ ∈ im ∂n . Thật vậy, do x − xˆ ∈ im ∂n+1 nên ∃v ∈ Mn+1 : 00 ∂n+1 (v) = x − xˆ. gn+1 u −−→ v   ∂  00 y n+1 y∂n+1 gn y − yˆ −−→ x − xˆ  ∂ yn fn−1 z − zˆ −−→ 0 Lại do gn+1 là toàn cấu nên ∃u ∈ Mn+1 : v = gn+1 (u), và ta có 11
00 x − xˆ = ∂n+1 (gn+1 (u)) = gn (∂n (u)). Do đó ta có thể chọn y ∈ gn−1 (x) và yˆ ∈ gn−1 (ˆ x) : y − yˆ = ∂n+1 (u), khi đó ∂n (y) − ∂n (ˆ y ) = ∂n (y − yˆ) = 0 0 ∂n (∂n+1 (u)) = 0. Theo cách xây dựng δn thì ∃z, zˆ ∈ ker ∂n ⊆ Mn : fn−1 (z) = ∂n (y), fn−1 (ˆ y ), suy ra fn−1 (z − zˆ) = 0, hay z − zˆ ∈ z ) = ∂n (ˆ 0 ker fn−1 , mà fn−1 là đơn cấu nên z − zˆ = 0 ∈ im ∂n . Do với mỗi x, sự lựa chọn phần tử y không làm ảnh hưởng đến sự chọn ra [z] nên x] ⇒ [z] = [ˆ [x] = [ˆ z ]. Do đó δn được định nghĩa tốt, và ta có thể kiểm tra rằng δn là một đồng cấu. Tiếp theo ta sẽ kiểm tra tính khớp của dãy (1.3) tại Hn (M• ). Cho [w] ∈ Hn (M• ), thì tính khớp ở mỗi hàng trong dãy khớp ngắn của các phức cho ta đẳng thức sau (g∗ )n ((f∗ )n ([w])) = (g∗ )n ([fn (w)]) = [gn (fn (w))] = [0], do đó im ((f∗ )n ) ⊆ ker ((g∗ )n ). Ngược lại, giả sử [y] ∈ ker ((g∗ )n ), tức là 00 00 00 [gn (y)] = [0] hay gn (y) ∈ im ∂n+1 , khi đó ∃v ∈ Mn+1 : gn (y) = ∂n+1 (v), và do gn+1 là toàn cấu nên ∃u ∈ Mn+1 : v = gn+1 (u). Do vậy, gn (y) = 00 ∂n+1 (gn+1 (u)) = gn (∂n+1 (u)), suy ra y − ∂n+1 (u) ∈ ker gn = im fn , do đó 0 ∃w ∈ Mn : y − ∂n+1 (u) = fn (w). Sử dụng tính giao hoán của biểu đồ, ta được 0 fn−1 (∂n (w)) = ∂n (fn (w)) = ∂n (y − ∂n+1 (u)) = ∂n (y) = 0 (do y ∈ ker ∂n thuộc một phần của định nghĩa [y] ∈ Hn (M• )), và do fn−1 là 0 0 đơn cấu nên ∂n (w) = 0, hay w ∈ ker ∂n , do đó (f∗ )n ([w]) = [fn (w)] = [y], hay [y] ∈ im ((f∗ )n ). Do vậy ker ((g∗ )n ) ⊆ im ((f∗ )n . 0 00 Việc kiểm tra tính khớp của dãy (1.3) tại Hn (M• ) và Hn (M• ) được làm tương tự. 00 0 Định nghĩa 1.12. Các đồng cấu δn : Hn (M• ) → Hn−1 (M• ) được xây dựng như trong chứng minh của Định lý 1.11 gọi là các đồng cấu nối. 12
1.1.3 Các cách xây dựng một phức khác từ các phức đã cho ∂n+1 n ∂ Cho C• : · · · → Cn+1 −−→ Cn − → Cn−1 → . . . là một phức và M là một môđun tùy ý. Ta có thể tạo ra các phức từ C• và M như sau HomR (M, C• ) : dn+1 d n · · · → HomR (M, Cn+1 ) −−→ HomR (M, Cn ) −→ HomR (M, Cn−1 ) → . . . , trong đó, dn = ∂n ◦ . HomR (C• , M ) : ϕn−1 ϕn · · · → HomR (Cn−1 , M ) −−→ HomR (Cn , M ) −→ HomR (Cn+1 , M ) → . . . , , trong đó, ϕn = ◦ ∂n . Đây là một đối phức . C• ⊗R M : ∂n+1 ⊗R idM ∂n ⊗R idM · · · → Cn+1 ⊗R M −−−−−−→ Cn ⊗R M −− −−−→ Cn−1 ⊗R M → . . . Ngoài ra, ta còn có thể xây dựng một phức mới từ hai phức đã cho. C• ⊗R K• Cho (C• , ∂• ) và (K• , λ• ) là hai phức. Ta xét biểu đồ sau .. .. .. . . .       y y y . . . −−→ Cn+1 ⊗ Km+1 −−→ Cn ⊗ Km+1 −−→ Cn−1 ⊗ Km+1 −−→ . . .       y y y . . . −−→ Cn+1 ⊗ Km −−→ Cn ⊗ Km −−→ Cn−1 ⊗ Km −−→ . . .       y y y . . . −−→ Cn+1 ⊗ Km−1 −−→ Cn ⊗ Km−1 −−→ Cn−1 ⊗ Km−1 −−→ . . .       y y y .. .. .. . . . trong đó các hàng dọc là các phức với các đồng cấu (−1)n idCn ⊗ λm : Cn ⊗ Km → Cn ⊗ Km−1 , và các hàng ngang cũng là các phức với các đồng cấu ∂n ⊗ idKm : Cn ⊗ Km → Cn−1 ⊗ Km . 13
Do cách chọn dấu của các đồng cấu theo chiều dọc nên biểu đồ trên giao hoán. Ta có thể tạo ra tích tenxơ của hai phức (C• , ∂• ) và (K• , λ• ), kí hiệu P C• ⊗R K• , theo cách sau: (C• ⊗R K• )n := i Ci ⊗ Kn−i , và đồng cấu gn : (C• ⊗R K• )n → (C• ⊗R K• )n−1 được xác định trên từng thành phần Ci ⊗ Kn−i là ∂i ⊗ idKn−i + (−1)i idCi ⊗ λn−i . Ta kiểm tra tính phức của dãy C• ⊗R K•
i gn−1 ◦ gn
= gn−1 ∂i ⊗ idKn−i + (−1) idCi ⊗ λn−i
Ci ⊗Kn−i = ∂i−1 ◦ ∂i ⊗ idKn−i + (−1)i−1 ∂i ⊗ λn−i + (−1)i ∂i ⊗ λn−i + (−1)i (−1)i idCi ⊗ λn−i−1 ◦ λn−i =0 Ta có một đẳng cấu C• ⊗R K• ∼ = K• ⊗R C• cho bởi x⊗y 7→ (−1)i(n−1) y⊗x với x ⊗ y ∈ Ci ⊗ Kn−i . Ví dụ 1.13. Cho hai phức x G• (x; M ) :0→M → − M → 0, 1 0 y G• (y) :0→R → − R → 0. 1 0 Khi đó, phức G• (x, y; M ) := G• (x; M ) ⊗ G• (y) có dạng như sau 2 ∂ 1 ∂ 0→M ⊗R− → M ⊗R⊕M ⊗R− → M ⊗ R → 0. 1 1 1 0 0 1 0 0 Ta xác định các đồng cấu ∂2 và ∂1 ∂2 (m1 ⊗ r1 ) = (xm1 ) ⊗ r1 − m1 ⊗ (yr1 ), và ∂1 (m1 ⊗ r0 + m0 ⊗ r1 ) = (xm1 ) ⊗ r0 + m0 ⊗ (yr1 ). Do đó (−y x ) (x y) G• (x, y; M ) : 0 → M ⊗ R −−→ M ⊗ R ⊕ M ⊗ R −−→ M ⊗ R → 0 ∼ (−y x ) (x y) = 0 → M −−→ M 2 −−→ M → 0. 14
1.2 Các dãy giải và các môđun mở rộng 1.2.1 Các dãy giải Ta có thể nghiên cứu một môđun thông qua việc nghiên cứu dãy giải của môđun đó. Định nghĩa 1.14. Một dãy giải của một môđun M là một phức ϕ2 ϕ1 − M2 −→ M1 −→ M0 → M• : . . . → − 0, (1.4) với Hi (M• ) = 0, ∀i > 0 và H0 (M• ) = M . Hơn nữa, nếu tồn tại n ≥ 0 sao cho Mn 6= 0 và Mk = 0, ∀k > n thì dãy giải được gọi là có độ dài bằng n. Nhận xét 1.15. Đôi khi, một dãy giải của M còn được viết dưới dạng ϕ2 ϕ1 ... → − M2 −→ M1 −→ M0 → − M → 0. Khi đó phức trên là một dãy khớp. Định nghĩa 1.16. Dãy giải (1.4) được gọi là một dãy giải xạ ảnh (tự do) của M nếu Mi là môđun xạ ảnh (tự do) với mọi i. Về khái niệm môđun xạ ảnh, người đọc có thể tham khảo thêm trong [10, tr. 180]. Ví dụ 1.17. Giả sử x không là ước của không trong R. Khi đó phức x 0→ − R→ − R→ − 0 (đồng cấu x biểu thị cho phép nhân bởi x) là một dãy giải tự do của R/(x). Mệnh đề sau đây đóng vai trò quan trọng trong đại số đồng điều. Mệnh đề 1.18. Mọi môđun M đều có một dãy giải tự do. Chứng minh. Người đọc có thể xem chứng minh này trong [10, tr. 182]. Ngoài khái niệm dãy giải xạ ảnh và dãy giải tự do, trong luận văn này chúng tôi còn cần thêm khái niệm dãy giải nội xạ của một môđun. Về khái niệm môđun nội xạ, xin tham khảo thêm trong [10, tr. 183]. 15