intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Lý Thuyết Đàn Hồi - Chương 3

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST
Báo xấu
185
lượt xem 57
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG Dưới tác dụng của các lực ngoài, vật thể đàn hồi thay đổi hình dáng. Sự thay đổi hình dáng này có thể định lượng thông qua chuyển vị của các điểm vật chất của vật thể. Giả thuyết liên tục (the continuum hypothesis) tạo cơ sở cho sự tồn tại của một trường chuyển vị trong vật thể đàn hồi. Mỗi trường chuyển vị tương ứng với một trường biến dạng xác định. Mục đích của chương này là đưa ra các định nghĩa cơ bản của chuyển vị và biến dạng, xác...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý Thuyết Đàn Hồi - Chương 3

  1. Lý Thuyết Đàn Hồi Chương III LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG Dưới tác dụng của các lực ngoài, vật thể đàn hồi thay đổi hình dáng. Sự thay đổi hình dáng này có thể định lượng thông qua chuyển vị của các điểm vật chất của vật thể. Giả thuyết liên tục (the continuum hypothesis) tạo cơ sở cho sự tồn tại của một trường chuyển vị trong vật thể đàn hồi. Mỗi trường chuyển vị tương ứng với một trường biến dạng xác định. Mục đích của chương này là đưa ra các định nghĩa cơ bản của chuyển vị và biến dạng, xác lập các quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị cũng như nghiên cứu các yêu cầu bảo đảm tính liên tục và duy nhất của chuyển vị. Các quan hệ cơ bản của lý thuyết đàn hồi tuyến tính được xây dựng trên cơ sở của lý thuyết biến dạng bé. §3.1 Chuyển vị và biến dạng Khảo sát vật thể đàn hồi dưới tác dụng của lực ngoài. Trước khi tác dụng lực, vật thể có cấu hình xác định. Sau khi chịu lực tác dụng, cấu hình vật thể thay đổi chút ít. Lấy minh họa từ trường hợp dầm conson chịu tác dụng của các lực ngoài (H3.1 biểu thị): Cấu hình không biến dạng thể hiện ở lưới hình chữ nhật, bên trái. Tác dụng của lực ngoài làm cho các điểm của dầm di chuyển, khiến cho dầm biến dạng, như trên hình vẽ. So sánh các hình chữ nhật con trong hai cấu hình cho thấy cách thức mà các phân tố bên trong vật thể biến dạng: chúng bị căng và bị lệch dạng (trượt). Biến dạng của vật thể đàn hồi phát sinh là do có chuyển vị tương đối giữa các điểm bên trong vật thể. Chuyển vị loại này tương phản với chuyển vị rắn, là chuyển vị bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm của vật thể. Để định lượng biến dạng, hãy xét hình H3.2. Trong cấu hình không biến dạng, chú ý đến hai điểm P0 và P cạnh nhau, xác định vector định vị tương đối r. Trong cấu hình biến dạng, các điểm này chiếm các vị trí P0' và P ' . Trong lý thuyết biến dạng lớn/ hữu hạn, sự sai khác giữa cấu hình không biến dạng và cấu hình biến dạng là đối tượng xem xét. Tuy nhiên, trong phạm vi của lý thuyết đàn hồi truyến tính, ta chỉ sử dụng lý thuyết biến dạng bé, nên sự sai khác giữa cấu hình không biến dạng và cấu hình biến dạng được bỏ qua. Sử dụng hệ tọa độ Đề-Các và định nghĩa vector chuyển vị tương đối của các điểm P0 và P, tương ứng, bởi u0 và u. Chuyển vị của các điểm trong vật thể đàn hồi là hàm liên tục của các tọa độ, do đó, chuyển vị r (u , v, w) của điểm P lân cận với điểm P0 có thể xác định qua chuyển vị u0 (u 0 , v0 , w0 ) của điểm P0 nhờ khai triển Taylor, bỏ qua các số hạng bậc cao vì các thành phần của r là bé: 36
  2. Lý Thuyết Đàn Hồi ∂u ∂u ∂u u = u0 + rx + ry + rz ; ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v v = v0 + rx + ry + rz ; (3.1) ∂x ∂y ∂z ∂w ∂w ∂w w = w0 + rx + ry + rz . ∂x ∂y ∂z ( ) Sự thay đổi của vector vị định tương đối r rx , ry , rz do biến dạng được xác định bởi ∆r = r' − r = u − u0 . Từ đó, ∂u ∂u ∂u ∆rx = u − u 0 = rx + ry + rz ; ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v ∆ry = v − v0 = rx + ry + rz ; (3.2) ∂x ∂y ∂z ∂w ∂w ∂w ∆rz = w − w0 = rx + ry + rz . ∂x ∂y ∂z Có thể viết (3.2) gọn hơn, dưới dạng ký hiệu chỉ số: ∆ri = ui , j r j . (3.3) Tensor ui , j có tên là tensor gradient chuyển vị và có thể được viết dưới dạng  ∂u ∂u ∂u   ∂x ∂y ∂y     ∂v ∂v ∂v  . (3.4) ui , j =  ∂x ∂y ∂z   ∂w ∂w ∂w     ∂x ∂y ∂z    Trên cơ sở các phép tính tensor, có thể phân tích tensor gradient chuyển vị thành tổng của hai thành phần đối xứng và phản xứng như sau ui , j = e ij + ωij , (3.5) trong đó, 37
  3. Lý Thuyết Đàn Hồi ( ) 1 eij = ui , j + u j , i . ; (3.6) 2 ( ) 1 ωij = ui , j − u j ,i (3.7) 2 Tensor e ij được gọi là tensor biến dạng còn tensor ωij là tensor xoay. Như vậy là theo lý thuyết biến dạng bé, sự thay đổi của vector vị trí tương đối giữa các điểm lân cận nhau có thể biểu diễn dưới dạng tổng của các thành phần biến dạng và các thành phần xoay. Với việc chọn chuyển vị ri ≡ dxi , trên cơ sở của các công thức (3.3) và (3.5) có thể biểu diễn dưới dạng tổng quát ui = ui0 + eij dx j + ωij dx j . (3.8) Chuyển vị kết quả trên bao gồm cả các biến dạng lẫn chuyển động - vật rắn. Để xác định phần chuyển động - vật rắn, hãy sử dụng kết quả ở bài tập 1-13, trong đó, vector đối ngẫu (dual vector) ωi của tensor xoay ωij được xác định bởi 1 ωi = − ε ijk ω jk . 2 Nhờ đó tìm được 1  ∂u ∂u  ω1 = ω32 =  3 − 2 ; 2  2 ∂x3   ∂x  ∂u  1  ∂u ω 2 = ω13 =  1 − 3 ; (3.9) 2  ∂x3 ∂x 2    1  ∂u ∂u  ω3 = ω 21 =  2 − 1  2  ∂x1 ∂x 2    Các thành phần của vertor trên biểu thị chuyển vị xoay-vật rắn của các phần tử quanh các trục tọa độ. Các phương trình (3.9), xác định phần chuyển động-vật rắn, còn có thể biểu diễn cô đọng dưới dạng vector như sau ω = (1 2)(∇Xu) (3.10). Các kết quả thu được trên đây cho thấy rằng biến dạng của vật thể được biểu thị qua tensor biến dạng e ij , còn tensor này lại được tính theo gradient chuyển vị. Điều này xác lập mối quan hệ giữa các thành phần của tensor biến dạng với các yếu tố hình học của chuyển vị của các điểm trên vật thể. §3.2 Lý thuyết biến dạng bé Các biến đàn hồi và các phương trình là những trường được định nghĩa tại từng điểm trong môi trường liên tục. Tuy nhiên, việc xác lập các phương trình thường bắt đầu bằng việc khảo sát dáng điệu của một phân tố có các cạnh vô cùng ngắn, sau đó, bằng kỹ thuật qua giới hạn, co phân tố về một điểm. Theo cách này, ta khảo sát biến dạng của một phân tố hình chữ nhật, như trên hình H3.3. Chuyển vị tổng hợp của phân tố bao gồm: • chuyển vị xoay vật rắn, • biến dạng căng và • biến dạng cắt, như minh họa trên hình vẽ. Chuyển động vật rắn không tham gia vào trường biến dạng, và do đó, chúng không có ảnh hưởng đến ứng suất. Vì thế, ta chỉ tập trung vào biến dạng căng và biến dạng trượt. 38
  4. Lý Thuyết Đàn Hồi Hình 3.4 minh họa trợ giúp cho việc định lượng các biến dạng nói trên. Vị trí ban đầu (chưa biến dạng) là ABCD còn vị trí sau biến dạng là A’B’C’D’. Tọa độ của điểm A là (x, y). Tọa độ của điểm B là (x, y+dy), … .Các thành phần chuyển vị tại điểm bất kỳ là hàm liên tục của các tọa độ điểm này. Chẳng hạn, các thành phần chuyển vị của điểm A: u A = u ( x, y ); v A = v( x, y ) . Theo lý thuyết biến dạng bé, các thành phần chuyển vị của điểm B có thể tính theo dạng khai triển Taylor, bỏ qua các số hạng bậc cao: ∂u u B = u ( x + dx, y ) = u ( x, y ) + dx . ∂x Tương tự như vậy cho thành phần còn laị cũng như cho các thành phần của các điểm còn lại. Thành phần biến dạng dạng đường (hay biến dạng căng, biến dạng pháp tuyến), theo phương n, được định nghĩa là sự thay đổi chiều dài trên một đơn vị chiều dài của một sợi vật chất theo phương n. Biến dạng pháp đường là dương khi chiều dài của sợi dài ra, là âm khi ngắn lại. Trên hình H3.4, có thể xác định biến dạng pháp tuyến tại điểm A theo phương x như sau A' B '− AB εx = . AB Cũng với những ký hiệu trên hình H3.4, tính được 39
  5. Lý Thuyết Đàn Hồi ∂u   ∂v  ∂u  ∂u   ∂u  2 2 2  A' B ' =  dx + dx  +  dx  = 1 + 2 +   dx ≈ 1 + dx ∂x   ∂x  ∂x  ∂x   ∂x   trong đó các số hạng bậc cao được bỏ qua, dựa trên lý thuyết biến dạng bé. Với AB = dx, có thể tính được biến dạng pháp tuyến theo phương x. Cũng tiến hành tương tự theo phương y. Kết quả, thu được: ∂u εx = (3.11) ∂x ∂v εy = (3.12) ∂y Thành phần biến dạng thứ hai, biến dạng cắt hay còn gọi biến dạng trượt được định nghĩa là sự thay đổi của góc giữa hai hướng vốn vuông góc nhau trên vật thể. Một cách chính xác, đây là định nghĩa biến dạng cắt kỹ thuật. Trong lý thuyết đàn hồi, nhằm mục đích tensor hóa cách thức trình bày, biến dạng cắt được định nghĩa bằng một nửa, (1/2), sự thay đổi góc giữa hai trục vuông góc nhau [xem công thức (3.7)]. Đơn vị đo biến dạng cắt là radian. Biến dạng cắt là dương khi góc giữa hai hướng dương của hai trục giảm, âm khi ngược lại. Vậy là dấu của biến dạng cắt phụ thuộc vào hệ tọa độ trong khi dấu của biến dạng đường là độc lập. Như trên hình H3.4, biến dạng cắt kỹ thuật có thể xác định bởi ∂u ∂v dy dx π ∂u ∂v ∂y ∂x γ xy = − ∠C ' A' B ' = α + β ≈ + = + (3.13) ∂u ∂v ∂y ∂x 2 dx + dx dy + dy ∂x ∂y trong quá trình biến đổi đã sử dụng các quan hệ gần đúng trên: α ≈ tan α , β ≈ tan β và các số hạng bậc cao trong gradient cũng được bỏ qua, dựa trên cơ sở giả thiết biến dạng bé. Lưu ý thấy rằng, các đạo hàm riêng trên đây là dương khi các cạnh AB và AC xoay vào trong, như trên H3.4. Nếu như, chỉ đơn giản, đổi chỗ hai trục x và y cũng như u và v, biến dạng cắt là không đổi, tức γ xy = γ yx . Trong trường hợp 3D, cũng bằng các lập luận và tính toán tương tự như đã làm trên đây, ta thu được các kết quả tổng quát sau:  ∂v ∂u  ∂u ε x = ; γ xy =  ∂x + ∂y ;     ∂x ∂v  ∂w ∂v  εy = γ yz =   ∂y + ∂z ; (3.14) ;  ∂y   ∂w ; γ zx =  ∂u + ∂w . εz =   ∂z  ∂z ∂x  Sử dung ký hiệu chỉ số (tensor), có thể biểu diễn các quan hệ trên dưới dạng ∂u ∂v ∂w ex = , e y = , ez = ; ∂x ∂y ∂z 1  ∂u ∂v  1  ∂v ∂w  1  ∂w ∂u  exy =  ∂y − ∂x , e yz = 2  ∂z − ∂y , ezx = 2  ∂x + ∂z       2    hay dưới dạng tensor: ( ) 1 e ij = ui , j + u j , i , (3.15) 2 trong khi nếu sử dụng cách viết dưới dạng vector/ma trận, có [ ] e = ∇u + (∇u ) . 1 T (3.16) 2 40
  6. Lý Thuyết Đàn Hồi trong đó, e là ma trận biến dạng , ∇u là ma trận gradient chuyển vị còn (∇u ) là chuyển vị của ma trận T này. Biến dạng e là tensor cấp 2 đối xứng ( e ij = e ji ) và thường được viết dưới dạng ma trận  ex e zx  e xy   e = e xy (3.17) ey e yz   e zx e yz e z    Cần lưu ý nhận biết sự khác nhau về định lượng giữa các thành phần biến dạng kỹ thuật (3. 14) , ( γ xy , γ yz , γ zx ), và các thành phần tương ứng, ( e12 , e23 , e31 ), của tensor biến dạng (3.17). Quay lại chuyển vị xoay-vật rắn trong mặt phẳng x-y (H3.5). ∂u ∂v = − . Từ đó, thành phần biến dạng Góc xoay (vật rắn) của cạnh trái và của cạnh đáy là như nhau và ∂y ∂x 1  ∂u ∂v  1 γ xy = e xy =  −  = 0 . 2  ∂y ∂x    2 1  ∂v   ∂u  Thành phần xoay có thể tính theo công thức ω z =   −   , phù hợp với công thức thứ 3 2  ∂x   ∂y   của (3.9) trên đây. Các thành phần xoay khác cũng xác định được theo cách tương tự. 1  ∂v   ∂u  Thành phần xoay có thể tính theo công thức ω z =   −   , phù hợp với công thức thứ 3 của 2  ∂x   ∂y   (3.10) trên đây. Các thành phần xoay khác cũng xác định được theo cách tương tự. Với thành phần xoay ω z không đổi (tức như nhau tại mọi điểm trên phân tố), có thể thực hiện tích phân để thu được công thức tổng quát xác định chuyển vị vật rắn trong miền 2 chiều. u* = u 0 − ω z y ; (3.18) v* = v0 + ω z x, trong đó, u 0 , v0 - các hằng số chuyển vị tịnh tiến theo phương x và y. Trong không gian 3 chiều, dạng chuyển động vật rắn tổng quát có thể biểu diễn như sau: u* = u 0 − ω z y + ω y z; v* = v 0 − ω x z + ω z x; (3.19) w* = w0 − ω zy x + ω x y; 41
  7. Lý Thuyết Đàn Hồi Như sẽ thấy về sau, việc lấy tích phân các quan hệ biến dạng-chuyển vị để xác định trường chuyển vị dẫn đến sự xuất hiện các hằng số tích phân và các hàm tùy ý, tương ứng với các chuyển động vật rắn xác định bởi (3.18) và (3.19). Do đó, ta cần nhận biết các số hạng này để loại trừ vì chúng không ảnh hưởng đến trường ứng suất hay biến dạng. Quan hệ ưs-bd (3.14) là một trong các cơ sở rất quan trọng trong việc giải các bài toán đàn hồi. Tuy nhiên, cần nhớ rằng, đây là kết quả của việc sử dụng giả thiết biến dạng bé, trong đó, các số hạng bậc 2 trở lên của các đạo hàm biến dạng theo tọa độ được đồng loạt bỏ qua. Trong một số trường hợp, không thể bỏ qua bình phương và tích các đạo hàm của tất cả các thành phần chuyển vị. Nếu như, chẳng hạn, kích thước của vật thể theo một phương nào đó là bé hơn nhiều so với hai phương còn lại thì có thể là bình phương hoặc tích các đạo hàm của chuyển vị theo phương nói trên sẽ cùng cỡ (cùng cấp) với bản thân đạo hàm bậc 1 của các chyển vị còn lại. Một ví dụ cụ thể của trường hợp nêu ra trên đây gặp phải khi nghiên cứu biến dạng của các tấm mềm. Nếu như truc Oz là vuông góc với mặt phẳng tấm thì chuyển vị theo phương này lớn vượt trội so với chuyển vị trong mặt phẳng tấm. Vì thế cho nên các biến dạng đường theo các hướng Ox và Oz cũng như các biến dạng góc giữa các trục này có thể xác định theo các công thức 2 ∂u 1  ∂w  εx = +   ; ∂x 2  ∂x  2 ∂v 1  ∂w  εy = +   ; (3.14*) ∂y 2  ∂y   ∂u ∂v ∂w ∂w γ xy = + + . ∂y ∂x ∂x ∂y Ta sẽ có dịp qay lại với quan hệ (4.14*) trong chương VII. §3.3 Phép biến đổi các thành phần biến dạng Cũng giống như ứng suất, biến dạng là một tensor cấp 2 (đối xứng). Phép biến đổi hệ tọa độ, vì thế, cũng áp dụng được cho các thành phần của tensor biến dạng. Tức ta có thể viết: e ij = Qip Q jq e pq , (3.20) ( ) trong đó,ma trận xoay xác định theo công thức quen thuộc Q ij = cos xi, , x j . Ma trận xoay hệ tọa độ trong trường hợp tổng quát, 3 chiều, có dạng:  l1 m1 n1  Qij = l 2 m2 n2  . (3.21)     l 3 m3 n3  Phép biến đổi (3.20) có dạng khai triển : e x ' = e x l12 + e y m12 + e z n12 + 2e xy l1m1 + 2e yz m1 n1 + 2e zx n1l1 ; e y ' = e x l 2 + e y m2 + e z n 2 + 2e xy l 2 m2 + 2e yz m2 n 2 + 2e zx n2 l 2 ; 2 2 2 e z ' = e x l32 + e y m3 + e z n3 + 2e xy l 3 m3 + 2e yz m3 n3 + 2e zx n3l 3 ; 2 2 (3.22) e x ' y ' = e x l1l 2 + e y m1m2 + e z n1 n 2 + e xy (l1 m2 + m1l 2 ) + e yz (m1 n 2 + n1m2 ) + e zx (n1l 2 + l1 n2 ); e y ' z ' = e x l 2 l3 + e y m2 m3 + e z n 2 n3 + e xy (l 2 m3 + m2 l 3 ) + e yz (m2 n3 + n 2 m3 ) + e zx (n 2 l3 + l 2 n3 ); e z ' x ' = e x l3l1 + e y m3 m1 + e z n3 n1 + e xy (l3 m1 + m3l1 ) + e yz (m3 n1 + n3 m1 ) + e zx (n3l1 + l 3 n1 ); Trong các tài liệu kỹ thuật, phép biến đổi (3.22) thường được viết theo các biến dạng kỹ thuật, dưới dạng sau đây: 42
  8. Lý Thuyết Đàn Hồi 1  1  1  ε x ' = ε x l12 + ε y m12 + ε z n12 + 2 γ xy l1 m1 + 2 γ yz m1 n1 + 2 γ zx n1l1 ; 2  2  2  1  1  1  ε y ' = ε x l 22 + ε y m2 + ε z n2 + 2 γ xy l 2 m2 + 2 γ yz m2 n2 + 2 γ zx n2 l 2 ; 2 2 2  2  2  1  1  1  ε z ' = ε x l 32 + ε y m32 + ε z n3 + 2 γ xy l 3 m3 + 2 γ yz m3 n3 + 2 γ zx n3 l3 ; 2 2  2  2  (3.23) γ x ' y ' = ε x l1l 2 + ε y m1 m2 + ε z n1 n2 + γ xy (l1m2 + l 2 m1 ) + γ yz (m1 n2 + m2 n1 ) + γ zx (n1l 2 + n2 l1 ); 1 1 1 1 2 2 2 2 γ y ' z ' = ε x l 2 l 3 + ε y m2 m3 + ε z n2 n3 + γ xy (l 2 m3 + l 3 m2 ) + γ yz (m2 n3 + m3 n2 ) + γ zx (n2 l 3 + n3 l 2 ); 1 1 1 1 2 2 2 2 γ z ' x ' = ε x l3 l1 + ε y m3 m1 + ε z n3 n1 + γ xy (l1 m3 + l3 m1 ) + γ yz (m1n3 + m3 n1 ) + γ zx (n1l3 + n3 l1 ). 1 1 1 1 2 2 2 2 Trong trường hợp hai chiều (2D), (H3.6), ma trận biến đổi (ma trận xoay) có dạng  cosθ sin θ 0 Qij = − sin θ cosθ 0 (3.24)   0 1 0   Với phép xoay hệ tọa độ này, các thành phần (của tensor) biến dạng phẳng biến đổi theo qui luật: e x ' = e x cos 2 θ + e y sin 2 θ + 2e xy sin θ cos θ ; e y ' = e x sin 2 θ + e y cos 2 θ − 2e xy sin θ cos θ ; (3.25) ( ) e x ' y ' = −e x sin θ cos θ + e y sin θ cos θ + e xy cos 2 θ − sin 2 θ . Từ đó: ex + e y ex − e y cos 2θ + e xy sin 2θ ; ex' = + 2 2 ex + e y ex − e y cos 2θ − e xy sin 2θ ; ey' = + (3.26) 2 2 e y − ex sin 2θ + e xy cos 2θ . ex' y ' = 2 43
  9. Lý Thuyết Đàn Hồi Khi viết theo các biến dạng kỹ thuật, công thức (3.26) có dạng: 1 ε x ' = ε x cos 2 α + ε y sin 2 α + γ xy sin 2α ; 2 1 ε y ' = ε x sin α + ε y cos α − γ xy sin 2α ; 2 2 2 (3.27) γ x ' y ' = (ε y − ε x )sin 2α + γ xy cos 2θ . 1 2 Từ (3.26)/(3.27) thấy rằng, trong trạng thái biến dạng 2 chiều, chỉ cần biết được biến dạng đường theo 3 phương khác nhau (trong mạt phẳng) là có thể xác định được toàn bộ các thành phần biến dạng tại một điểm. Đây chính là cơ sở cho việc đo biến dạng phẳng theo sơ đồ “hoa thị” (ví dụ cho ở H3.7). §3.4 Biến dạng chính Giống như tensor ứng xuất và mọi tensor cấp 2 đối xứng khác, mỗi tensor biến dạng eij xác định một hệ trục chính và các trị chính tương ứng (xem §1.6 và §2.5). Để xác định các trị chính và hướng chính của biến dạng, cần thiết lập và giải phương trình đặc trưng của biến dạng [ ] det e ij − eδij = −e 3 + I1e e 2 − I 2 e + I 3 = 0 (3.28). e e Ba nghiệm e1 , e2 , e3 của phương trình trên chính là 3 trị chính của tensor biến dạng, có tên gọi tương ứng là các biến dạng chính. Các đại lượng I 1e , I 2 , I 3e là các bất biến cơ bản của tensor biến dạng, được biểu e diễn theo các biến dạng chính và hệ tọa độ thông thường (x,y,z) như sau: I 1e = e1 + e2 + e3 = e x + e y + e z ; I 2 = e1e2 + e2 e3 + e3 e1 = e x e y + e y e z + e z e x − e xy − e yz − e zx ; e 2 2 2 (3.29) I 3e = e1e2 e3 = e x e y e z + 2e xy e yz e zx − 2e x e yz − 2e y e zx − 2e z e xy . 2 2 2 Bất biến thứ nhất I 1e chính bằng độ co giãn thể tích, có ký hiệu thông dụng là ϑ , tức I 1e = ϑ . Để xác đinh hướng chính của tensor biến dạng e ij cần giải hệ phương trình eij n k = e k ni ứng với từng j biến dạng chính e k rồi chuNn hóa, kết hợp với đồng nhất thức (n1k ) + (n 2 ) + (n3 ) = 1 . 2 2 2 k k Ma trận biến dạng trong hệ tọa độ chính của biến dạng có dạng đường chéo, với các biến dạng chính nằm trên đường chéo chính: 44
  10. Lý Thuyết Đàn Hồi e1 0 0  eij =  0 e2 0  . (3.30)    0 0 e3    Trong hệ tọa độ chính của biến dạng, không tồn tại các biến dạng cắt mà chỉ có các biến dạng đường. Hình hộp phân tố theo định hướng của các trục chính của biến dạng chỉ bị căng ra theo các cạnh và không bị xô lệch, tức vẫn giữ nguyên dạng hình hộp chữ nhật. §3.5 Tensor biến dạng cầu và tensor biến dạng lệch Cũng như với tensor ứng suất, để cho tiện lợi trong ứng dụng, tensor biến dạng thường được phân tích thành tổng của tensor biến dạng cầu và tensor biến dạng lệch. Tensor biến dạng cầu được định nghĩa bởi 1 ) e ij = e kk δij = I 1e δij , (3.31) 3 còn tensor biến dạng lệch có dạng: 1 ~ e ij = e ij − e kk δij . (3.32) 3 ) ~ e ij = e ij + e ij . Và như vậy, (3.33) Biến dạng cầu đặc trưng chỉ cho sự co giãn thể tích và có tính chất đẳng cấp, tức không thay đổi theo các phép biến đổi hệ tọa độ. Biến dạng lệch phản ảnh sự thay đổi chỉ về hình dáng của phân tố vật chất mà không kèm theo co giãn thể tích. Có thể chứng tỏ rằng các hướng chính của tensor biến dạng lệch trùng với hướng chính của tensor biến dạng. §3.6 Sự tương thích của biến dạng Từ các quan hệ biến dạng-chuyển vị (3.14) hay, dưới dạng ký hiệu chỉ số (3.15), trong trường hợp tổng quát, có thể xác định 6 thành phần biến dạng qua 3 thành phần chuyển vị. Theo đó, nếu cho trước 3 hàm chuyển vị đơn trị và liên tục u , v, w thì bằng các phép tính đạo hàm (riêng) tất yếu thu được 6 thành phần biến dạng. Ngược lại, nếu cho trước 6 thành phần biến dạng, việc tích phân các quan hệ biến dạng- chuyển vị (3.14) không phải lúc nào cũng cho phép thu được các thành phần chuyển vị liên tục và đơn trị. Điều này cũng dễ hiểu vì ta đã dùng đến 6 thành phần biến dạng chỉ để tìm 3 thành chuyển vị chưa biết. Để bảo đảm tính chất đơn trị và liên tục của các chuyển vị cần bổ sung các điều kiện có tên là các phương trình tương thích hay phương trình liên tục. Trước hết ta hãy minh họa hình học cho quan niệm trên thông qua một hệ hai chiều làm ví dụ (H 3.8). Trích tra 4 phần tử từ mô hình rời rạc hóa (a). Cấu hình không biến dạng (của 4 phần tử) thể hiện trên hình (b). Tiến hành biến dạng đối với 4 phần tử trên, theo hai cách. Trước hết, tạo biến dạng cho từng phần tử một cách cNn thận, quan tâm bảo đảm tính tương thích giữa hai phần tử cạnh nhau. Khi ghép các phần tử sau biến dạng theo cách trên lại với nhau, ta được cấu hình (c) với biên các phần tử trùng khít nhau. Cách thứ hai, cho từng phần tử biến dạng một cách riêng rẽ, không cần quan tâm đến các phần tử lân cận, rồi ghép lại với nhau, được cấu hình (d). Thấy ngay rằng, hệ thu được không thể ghép khít với nhau mà không có các khoảng trống và điểm gẫy. Trường hợp này, ta có được trường biến dạng không liên tục. Có thể kết luận một lần nữa rằng các thành phần biến dạng phải có quan hệ nhất định với nhau thì mới bảo đảm được tính liên tục của các chuyển vị. 45
  11. Lý Thuyết Đàn Hồi Việc thiết lập các quan hệ ràng buộc biến dạng dựa trên cơ sở loại trừ các thành phần chuyển vị ra khỏi quan hệ biến dạng–chuyển vị. Ta thực hiện việc này theo ký hiệu chỉ số. Trước tiên, đạo hàm hai lần quan hệ (3.15) theo x k và xl : e ij ,kl = (ui , jkl + u j , ikl ) . 1 2 Thực hiện việc hoán vị các chỉ số, ta thu được các quan hệ tương đương sau đây: ( ) 1 e kl ,ij = u k , lij + ul , kij ; 2 ( ) 1 e jl ,kl = u j , lik + ul , j ik ; 2 e ik , jl = (ui , kjl + uk , ijl ) . 1 2 Với giả thiết về tính liên tục của chuyển vị, có thể thay đổi thứ tự của các đạo hàm đối với chuyển vị u và nhờ đó có thể loại trừ chuyển vị này ra khỏi các biểu thức để được e ij ,kl + e kl , ij − e ik , jl − e jl , ik = 0 (3.34) Quan hệ (3.34) có tên là các phương trình tương thích Saint Venant. Dạng ký hiệu chỉ số trên đây dẫn đến 81 phương trình riêng biệt nhưng phần lớn là trùng lặp, hoặc phụ thuộc nhau, chỉ còn 6 phương trình là có ý nghĩa. Cho k = l , ta tìm được 6 phương trình này dưới dạng vô hướng như sau: ∂  ∂e yz ∂e zx ∂e xy  ∂ 2 ex ∂ e y ∂ 2 e xy ∂ 2 ex 2 = − + + ; + =2 ; ∂y∂z ∂x  ∂x ∂z  ∂y ∂x∂y ∂y 2 ∂x 2   ∂ 2ey ∂ 2 e yz ∂ 2ey ∂  ∂e zx ∂e xy ∂e yz ∂ 2 ez  + =2 = − + + ; ; (3.35) ∂y  ∂y  ∂y∂z ∂z∂x ∂z ∂x ∂z ∂y 2 2   ∂ 2 ez ∂ 2 ex ∂ 2 e zx ∂  ∂e xy ∂e yz ∂e zx  ∂ 2 ez + 2 =2 = − + + . ; ∂x∂y ∂x  ∂z ∂y  ∂z∂x ∂x 2 ∂z ∂x   Phương trình tương thích Saint Venant còn được được viết theo các ký hiệu biến dạng kỹ thuật như sau: 46
  12. Lý Thuyết Đàn Hồi ∂ 2 ε x ∂ ε y ∂ γ xy ∂ 2 ε x 1 ∂  ∂γ xy ∂γ zx ∂γ yz  2 2 + = = + −  ; ; ∂y∂z 2 ∂x  ∂z ∂x  ∂x∂y ∂y ∂y 2 ∂x 2   ∂ ε y 1 ∂  ∂γ xy ∂γ yz ∂γ zx  ∂ 2ε x ∂ 2ε z ∂ 2 γ zx 2 + = = + −  ; ; ∂x∂z 2 ∂y  ∂z ∂y  ∂x∂z ∂x ∂z 2 ∂x 2 (3.35*)   ∂ 2 ε y ∂ 2 ε z ∂ 2 γ yz ∂γ yz ∂γ zx ∂γ xy  ∂ εz 1∂ 2 + = = + −  . ; 2 ∂z  ∂x ∂z  ∂y∂z ∂x∂y ∂y ∂z 2 ∂y 2   Bằng việc sử dụng tính chất liên tục của chuyển vị như trên, ta đã thu được điều kiện tương thích Saint Venant, (3.35), do đó, (3.35) mới chỉ được chứng minh là điều kiện cần chứ chưa phải là đủ. Để chứng minh rằng điều kiện này còn đồng thời là đủ, ta xét hai điểm P0 và P bất kỳ trên vật thể đàn hồi (H3.9), với P0 được chọn làm gốc. C là đường cong bất kỳ hoàn toàn thuộc không gian chiếm chỗ của vật thể. Với ký hiệu ui0 và uiP , tương ứng, là vector chuyển vị của các điểm P0 và P, có thể xác định chuyển vị của điểm P như sau ∂u uiP = ui0 + ∫ dui = ui0 + ∫ i dx j . (3.36) C ∂x j C Sử dụng công thức gradient chuyển vị (3.5)/(3.8), có thể viết lại (3.36) dưới dạng sau ( ) uiP = ui0 + ∫ e ij + ωij dx j (3.37) C Tích phân từng phần đối với thành phần thứ 2 trong (3.37) cho kết quả ∫ ωij dx j = ωij x j − ∫ x j ωij ,k dx k , (3.38) PP C C P Trong đó, là tensor xoay tại điểm P. ωij Tiếp đến, sử dụng quan hệ (3.7) tính thành phần ωij ,k trong (3.38): ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ωij ,k = ui , jk − u j ,ik = ui , jk − u j ,ik + u k , ji − u k , ji 2 2 2 47
  13. Lý Thuyết Đàn Hồi 1∂ (ui,k + uk ,i ) − 1 ∂ u j,k + uk , j = eik , j − e jk ,i ( ) = (3.39) 2 ∂x j 2 ∂x i Thay (3.38) và (3.39) vào (3.37) ta được uiP = ui0 + ωij x P + ∫ U ik dx k P (3.40) j C ( ) trong đó, U ik = eik − x j eik , j − e jk ,i . Dễ thấy rằng, nếu như chuyển vị là hàm liên tục và đơn trị thì tích phân đường trong (3.40) phải không phụ thuộc vào đường cong C. Nói cách khác, khi đó, hàm dưới dấu tích phân là một vi phân toàn phần và do đó, giá trị của tích phân chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đầu và điểm cuối. Sử dụng định lý Stoke, có thể chứng minh rằng, trong miền đơn liên [sẽ được giải thích bên dưới (*)], điều kiện cần và đủ để giá trị của tích phân đường độc lập với đường lấy tích phân là U ik ,l = U il ,k . Sử dụng kết quả này, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) e ik ,l − δ ji e ik , j − e jk ,i − x j e ik , jl − e jk ,il = e il ,k − δ ji e il , j − e jl ,i − x j e il , jk − e jl ,ik . Rút gọn kết quả trên, được ( ) x j e ik , jl = e jk ,il − e il , jk + e jl ,ik = 0 Vì phương trình phải nghiệm đúng với mọi x j nên biểu thức trong ngoặc phải triệt tiêu, từ đó, sau khi đổi tên gọi một số chỉ số, ta có được kết quả đồng nhất với (3.34) e ij , kl + e kl ,ij − e ik , jl − e jl ,ik = 0 và đây chính là điều cần chứng minh.. Như vậy, quan hệ (3.34) hay (3.35) là điều kiện cần và đủ để các chuyển vị trong miền đơn liên là liên tục và đơn trị. (*)Bây giờ, quay lại khái niệm miền đơn liên (simply connected region) đã đề cập trên đây. Khái niệm này liên quan đến cấu hình của vật thể. Trong lý thuyết đàn hồi, sự khác nhau về hình dáng kiểu này nhiều khi dẫn ảnh hưởng đến việc thiết lập bài toán cũng như lời giải các bài toán đó. Một miền được gọi là đơn liên khi mọi đường cong đơn giản vẽ trong miền đều có thể co liên tục về một điểm mà không đi qua mặt bao giới hạn miền. Miền không có được tính chất trên gọi là miền đa liên (multiply connected region). Trên hình H3.10 trình bày một số ví dụ về miền đơn liên và đa liên. Hình (a) và (c) là đơn liên vì bên trong hình không có khoảng trống nào và do đó mọi đường cong đơn giản vẽ trong nó đều có thể co liên tục về một điểm mà không cắt đường/mặt biên. Hình (d) là một hình trụ tròn, bên trong khoét một lỗ hình cầu, cũng là đơn liên vì mọi đường cong đơn giản đều có cách để co liên tục về một điểm, tránh được lỗ hình cầu bên trong. Hình (e), là ống trụ tròn, là một miền đa liên vì không có cách nào thực hiện phép co nói trên mà tránh được mặt biên trong. 48
  14. Lý Thuyết Đàn Hồi Như đã chứng minh, các quan hệ (3.34) hay (3.35) là các điều kiện cần và đủ cho tính liên tục và đơn trị của chuyển vị trong miền đơn liên. Đối với miền đa liên, điều kiện nói trên là cần và đủ cho tính liên tục nhưng không là đủ cho tính chất đơn trị của chuyển vị. Trong trường hợp này, để thể hiện điều kiện đơn trị, cần đưa vào các “nhát cắt” tưởng tượng, biến miền đa liên thành đơn liên đồng thời với việc thay tác dụng của phía bên này nhát cắt lên phía bên kia bằng các thành phần lực tương tác (trực đối nhau), rồi thiết lập các điều kiện bổ sung bảo đảm tính duy nhất của chuyển vị, với các lực tương tác là các đại lượng chưa biết bổ sung. §3.7 Hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu Trong nhiều ứng dụng kỹ thuật cần đến việc sử dụng các hệ tọa độ cầu và hệ tọa độ trụ trong việc thiết lập và giải các bài toán. Xuất phát từ quan hệ (3.16) [ ] ∇u + (∇u ) 1 e= T (1.29) 2 Quan hệ biến dạng-chuyển vị trong hệ tọa độ cong tìm được nhờ biểu diễn gradient chuyển vị ∇u dưới dạng thích hợp. 3.7.1 Hệ tọa độ trụ Với hệ tọa độ trục định nghĩa qua H1.4, vector chuyển vị và tensor biến dạng có dạng sau u = ur e r + uθ eθ + u z e z ;  er erθ erz  (3.41) e = erθ eθ eθz     erz eθz e z    Sử dụng các qui tắc tính (1.66) và (1.59), ta có thể biểu diễn ∂u ∂u ∂u ∇u = r e r e r + θ e r eθ + z e r e z ∂r ∂r ∂z ∂u  1  ∂u 1 ∂u r 1  +  r − uθ eθ e r +  u r + θ eθ eθ + eθ e r (3.42) r  ∂θ ∂θ  r ∂θ  r ∂u ∂u r ∂u e z e r + θ e z eθ + z e z e z + ∂z ∂z ∂z Thay kết quả trên vào quan hệ biến dạng-chuyển vị, ta có được kết quả cần tìm cho hệ tọa độ trụ. Các thành phần biến dạng trong hệ tọa độ trụ (dưới dạng các vô hướng) được biểu diễn theo (đạo hàm của) các thành phần chuyển vị như sau: ∂u  ∂u ∂u 1 er = r ; eθ =  u r + θ ; e z = z ; ∂θ  ∂r ∂z r 1  1 ∂u r ∂uθ uθ  e rθ = + − ;  2  r ∂θ ∂r r (3.43) 1  ∂u 1 ∂u z  eθz =  θ + ; 2  ∂z r ∂θ  1  ∂u r 1 ∂u z  eθz = +  . 2  ∂z r ∂r  3.7.2 Hệ tọa độ cầu 49
  15. Lý Thuyết Đàn Hồi Với hệ tọa độ trụ (H1.5), quan hệ biến dạng-chuyển vị và ma trận ma trận biến dạng như sau: u = u R e R + uφ eφ + uθ eθ ;  eR e Rθ  e Rφ   (3.44). e =  e Rφ eφ eφθ  e Rθeφθ eθ    Cũng bằng các bước biến đổi như đã tiến hành đối với hệ tọa độ trụ, ta có các kết quả cho hệ tọa độ cầu. Các thành phần biến dạng trong hệ tọa độ cầu có thể biểu diễn theo các thành phần chuyển vị qua bằng các công thức dưới đây: ∂uφ  ∂u 1 e R = R ; eφ =  u R + ;  ∂φ  ∂R R  1  ∂uθ  + sin φ u R + cos φ .uφ ; eθ =  R sin φ  ∂θ  1  1 ∂u R ∂uφ uφ  e Rφ = + − ;  (3.45) 2  R ∂φ R ∂R   1  1 ∂uφ ∂uθ   sin φ ∂θ + ∂φ − cos φ .uθ ; eφθ =   2R   1  1 ∂u R ∂u R ∂uθ uθ  eθR =  + − . 2  R ∂φ ∂θ R ∂R   Có nhận xét là với các hệ tọa độ cong nói chung, trong quan hệ trên thường chứa các số hạng bổ sung, không phải là đạo hàm của các chuyển vị. Ví dụ như trong vế phải của các biểu thức eφ và eθ trong công thức trên đều có mặt thành phần chuyển vị u R . Chính thành phần cnày làm phát sinh biến dạng u ngang ∆eφ = ∆eθ = R . Các số hạng bổ sung này có liên quan đến độ cong của các tọa độ không gian mà R độ cong này không có trong hệ tọa độ Đề-Các. Có thể quan sát thấy rõ biến dạng nói trên khi quan sát sự giãn ra xa nhau của các điểm trên bề mặt một quả bóng hình cầu được thổi căng. Về hình thức, các quan hệ (3.45) và (3.43) phức tạp hơn các quan hệ tương ứng trong hệ tọa độ Đề-Các. Tuy nhiên, trong một số bài toán nhất định, các quan hệ trên cùng với các phương trình tương ứng cho phép thu được các lời giải giải tích mà nếu dùng các quan hệ trong hệ tọa độ Đề-Các không thể có được. 50
  16. Lý Thuyết Đàn Hồi TÓM LƯỢC CHƯƠNG III Lý thuyết biến dạng bé thiết lập mối quan hệ giữa các thành phần biến dạng tại các điểm bên trong vật thể đàn hồi. Tại mỗi điểm có 6 thành phần biến dạng độc lập nhau được định nghĩa. Các thành phần biến dạng tại một điểm tạo thành một tensor cấp 2 đối xứng, phản ảnh trạng thái biến dạng tại điểm khảo sát, gọi là tensor biến dạng. Khi xoay hệ tọa độ, các thành phần biến dạng sẽ thay đổi theo qui luật tổng quát về sự thay đổi của các thành phần của một tensor cấp 2 đối xứng. Giữa các thành phần biến dạng và các chuyển vị tồn tại một quan hệ xác định, theo đó, các thành phần biến dạng được tính theo gradient của chuyển vị. Để bsỏ đảm tính liên tục của vật thể khảo sát, giữa các thành phần biến dạng còn tồn tại một quan hệ, đó là quan hệ liên tục của biến dạng, hay quan hệ Saint Venant. Qua hệ Saint Venant là điều kiện cần vad đủ đối với tính chất liên tục và đơn trị của vật thể đơn liên. Đối với vật thể đa liên, quan hệ này chỉ là cần và đủ chotính chất liên tục nhưn gkhông đủ bảo đảm tính đơn trị của chuyển vị. Trong trường hợp vật thể đa liên, để thể hiện điều kiện đơn trị của chuyển vị, cần đưa vào các “nhát cắt” tưởng tượng, biến miền đa liên thành đơn liên đồng thời với việc thay tác dụng của phía bên này nhát cắt lên phía bên kia bằng các thành phần lực tương tác (trực đối nhau), rồi thiết lập các điều kiện bổ sung bảo đảm tính duy nhất của chuyển vị, với các lực tương tác là các đại lượng chưa biết bổ sung. 51
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí
65 tài liệu
2430 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2