11
Chương 1
Mạch điện-thông số mạch
Các định luật cơ bản của mạch điện
Tóm tắt lý thuyết
Một số thuật ngữ và định nghĩa
Các nguồn trong mạch điện gọi là các tác động, các điện áp và dòng điện
ở các nhánh gọi là các phản ứng của mạch. Điện áp và dòng điện gọi các đại
lượng điện (không gọi công suất là đại lượng điện).
Các thông số mạch thụ động bao gồm điện trở, điện cảm và điện dung.
Điện trở có thể ký hiệu là R hoặc r. Điện dung và điện cảm phải ký hiệu là các
chữ in hoa tương ứng L và C.
Giá trị tức thời của điện áp và dòng điện ký hiệu tương ứng là chữ u, i
thường (không viết hoa) hoặc có viết thêm biến thời gian như u(t), i(t). Giá thị
hiệu dụng ký hiệu tương ứng là U và I, giá trị biên độ ký hiệu là Um và Im. Tương
ứng sẽ có ký hiệu trong miền phức là m
..
m
.. I,U;I,U
Quan hệ dòng - áp trên các thông số mạch:
Trên điện trở R: Hình 1.1a.
Định luật Ôm u=i. R hay u(t)=i(t).R (1.1)
Công suất tức thời p hay p(t)=u2R=
R
i
2
≥0 (1.2)
Năng lượng tiêu hao ở dạng nhiệt năng trong khỏang thời gian t1÷t2:
WT=∫
2
1
t
t
dt)t(p (1.3)
H×nh 1.1
R L C
ii i
uuu
a) b) c)
Trên điện cảm L: Hình 1.1b
Định luật Ôm:
u=
dt
di
L
hay
∫+=
t
t
Lo
Iudt
L
i
0
1
(1.4)
Trong đó IL0 [hay IL(t0) hay iL0] là giá trị của dòng điện qua L tại thời
điểm ban đầu t=t0.
Năng lượng tích luỹ ở dạng từ trường tại thời điểm bất kỳ là:
12
WM=
2
2
i
L
(1.5)
Công suất tức thời:
p=
dt
di
L.i
dt
dW
u.i
M
==
(1.6)
Trên điện dung C: Hình 1.1.c
Định luật Ôm i=
(1.7)
Trong đó UC0 [hay UC(t0) hay uC0] là giá trị của điện áp trên C tại thời
điểm ban đầu t=t0.
Năng lượng tích luỹ ở dạng điện trường tại thời điểm bất kỳ:
WE=
2
2
u
C
(1.8)
Công suất tức thời:
p=
dt
du
C.u
dt
dW
i.u
E
==
(1.9)
Lưu ý: Các công thức (1.1), (1.4) và (1.7) ứng với trường hợp điện áp và
dòng điện ký hiệu cùng chiều như trên hình 1.1. Nếu chiều của dòng điện và điện
áp ngược chiều nhau thì trong các công thức trên sẽ có thêm dấu “-” vào một
trong hai vế của phương trình.
Thông số nguồn: Nguồn điện áp hay nguồn suất điện động (sđđ) lý tưởng,
nguồn điện áp thực tế (không lý tưởng) ký hiệu tương ứng ở hình 1.2a, b. Nguồn
dòng điện lý tưởng, nguồn dòng điện thực tế (không lý tưởng) ký hiệu tương ứng
ở hình 12c, d.
H×nh 1.2
a) b) c)
e hay u e hay u
R
0
R
0
d)
e)
E
R
0
R
0
i hay i0
i hay i00
I
0
0
R
E
I=
00 IRE =
Khi phân tích mạch điện có thể biến đổi tương đương giữa 2 loại nguồn
có tổn hao như ở hình 1.2e. Phép biến đổi rất đơn giản: thực hiện theo định luật
Ôm.
Định luật Kieckhop 1: Định luật cho nút thứ k trong mạch được viết:
)'.(
i
ihay).(i
k
r
vk
k
k
1011010
∑∑∑
==
13
Trong (1.10) ik là tất cả các dòng điện nối với nút thứ k, dòng hướng vào
nút mang dấu “+”, dòng rời khỏi nút mang dấu “-”. Trong (1.10)’ iVk là tất cả các
dòng điện hướng vào nút thứ k, ir k là tất cả các dòng rời khỏi nút k, chúng đều có
dấu “+”.
Số phương trình viết theo định luật Kieckhop1 cho mạch có n nút là
N=n-1 (1.11)
Định luật Kieckhop I1: Định luật cho vòng thứ k trong mạch được viết:
)'.(euhay).(u
kkk
1211210
∑∑∑
==
Trong (1.12) uk là điện áp của tất cả các đoạn mạch thuộc vòng thứ k,
cùng chiều mạch vòng lấy với dấu “+”, ngược chiều mạch vòng lấy với dấu “-”.
Trong (1.12)’ uk là tất cả điện áp nhánh, ek là tất các các sđđ nhánh thuộc vòng k;
cùng chiều mạch vòng lấy với dấu “+”, ngược chiều mạch vòng lấy với dấu “-”.
Số phương trình viết theo định luật Kieckhop 2 cho mạch điện có n nút và
m nhánh là:
N=m-(n-1)=m-n+1 (1.13)
Nguyên lý xếp chồng: Với một mạch có nhiều
nguồn cùng tác động đồng thời như trên hình
1.3, để tính phản ứng ở nhánh thứ k nào đó, ví
dụ iK thì sẽ sử dụng nguyên lý này như sau:
Đầu tiên cho nguồn e1 tác động, các
nguồn còn lại đều dừng tác động (bằng 0), tính
được ik1 (chỉ số 1 chỉ lần tính thứ nhất). Tiếp
theo cho e2 tác động, các nguồn còn lại đều
dừng tác động, tính được ik2…Lần cuối cùng cho nguồn thứ N tác động, các
nguồn còn lại đều dừng tác động, tính được ikN thì dòng phải tìm
ik=ik1+ik2+…+ikN
Nguyên lý tương hỗ: có thể ứng dụng tính để tính trong trường hợp mạch chỉ có
một tác động duy nhất.
Định lý nguồn tương đương:
Cho phép rút gọn mạch để tính
toán ở mọi chế độ. Cách thực
hiện mô tả trên hình 1.4. Đoạn
mạch a-b tuyến tính có nguồn,
được thay thế bằng:
- Nguồn điện áp có trị số
bằng điện áp hở mạch tính
được giữa 2 điểm a-b mắc nối tiếp với điện trở tương đương “nhìn” từ a-b khi
cho các nguồn tác động bằng 0. (hình 1.4b)
- Nguồn dòng điện có trị số bằng dòng điện ngắn mạch tính được khi chập
2 điểm a-b, mắc song song với điện trở tương đương “nhìn”từ a-b khi cho các
nguồn tác động bằng 0. (hình 1.4c)
H×nh 1.3
1
i
e
N
e
2k
i
Nh¸nh k
M¹ch ®iÖn
tuyÕn tÝnh
...
Đoạn
mạch
tuyến
tính
còn lại
Hình 1.4
a) b)
a
b
Đoạn
mạch
tuyến tính
còn lại
a
b
U
Rt®
h
Đoạn
mạch
tuyến tính
còn lại
a
b
I
t®
ng
R
c)
Đoạn mạch
tuyến tính có 1
hoặc nhiều
nguồn
14
Hệ phương trình trạng thái.
- Toán tử nhánh: Trong một nhánh thứ k trong mạch có mặt cả 3 thông số
Rk, Lk, Ck mắc nối tiếp sẽ có:
∫
++=++= dti
C
1
dt
di
LiRuuuu
k
k
k
kkkCkLkRkk
(1.14)
(1.14)-ký hiệu cho gọn là uk=Lk ik.
Trong đó:
ℒ
k=
∫
++ dt
C
1
dt
d
LR
k
kk
(1.15)
Lk - gọi là toán tử nhánh hình thức, tức là “nhân hình thức” Lk với ik để
được uk.
- Công thức biến đổi nút. Một nhánh thứ k nằm giữa hai nút a-b có điện
thế tương ứng là ϕa và ϕb (dòng điện có chiều từ a sang b) với 3 thông số Rk,
Lk, Ck mắc nối tiếp và có thêm nguồn s. đ. đ. là ek thì có thể viết quan hệ:
kk
k
k
kkkbak
edti
C
1
dt
di
LiRu
∫
++=ϕ−ϕ=
hay
kbak
k
k
kkk
edti
C
1
dt
di
LiR ±ϕ−ϕ=++ ∫
. (1.16)
Trong công thức cuối ek lấy với dấu “+” nó cùng chiều dòng ik, dấu
“-” ngược chiều ik. Phép giải phương trình vi phân cuối để tìm ik ta ký hiệu một
cách hình thức là ik=Lk -1(ϕa-ϕb ± ek). Như vậy có thể tìm được dòng nhánh ik
bất kỳ theo điện thế nút. Công thức này gọi là công thức bíên đổi nút; Lk-1-gọi là
toán tử nhánh đảo.
-Công thức bíến đổi vòng: Người ta quy ước dòng mạch vòng là một dòng
điện hình thức chạy trong một vòng kín. Nếu một nhánh có nhiều dòng mạch
vòng đi qua thì dòng nhánh đó là tổng đại số của tất cả các dòng mạch vòng đi
qua nó, dòng nào cùng chiều dòng nhánh thì được lấy với dấu “+”, ngược chiều –
dấu “-”, tức
∑
=
=
m
j
Vjk
Ii
1
. Công thức cuối gọi là công thức biến đổi vòng.
-Hệ phương trình (trạng thái) dòng nhánh:
Mạch có n nút và m nhánh sẽ phải viết (n-1) phương trình theo định luật
Kieckhop 1 dạng
0
1
1
=
∑
=
nóti¹T
j
j
i; và (m-n+1) phương trình theo định luật Kieckhop 2
dạng
∑∑ ==
=
11 i
i
j
jei
j
L
.
-Hệ phương trình (trạng thái) dòng mạch vòng: có dạng tổng quát
15
∑
∑
∑
=++++
=++++
=++++
ei....iii
.......................................................................
ei....iii
ei....iii
NvNvvv
vNvvv
vNvvv
NNN3N2N1
2N232221
1N131211
LLLL
LLLL
LLLL
321
2321
1321
(1.17)
Trong đó:- N=m-n+1-số vòng độc lập với các dòng mạch vòng tương ứng iVk
-
kk
L
- tổng các toán tử nhánh thuộc mạch vòng thứ k, dấu “+”.
- lk
L với k≠1– Tổng các toán tử nhánh chung của vòng thứ k và vòng
thứ l, dấu có thể “+” hoặc “-” tuỳ theo hai dòng vòng ik và il qua nhánh này cùng
chiều hay ngược chiều.
-
∑e
k
-tổng đại số các sđđ thuộc vòng thứ k, dấu có thể “+” hoặc “-”
tuỳ theo nguồn cùng chiều hay ngược chiều dòng mạch vòng.
-Hệ phương trình (trạng thái) điện thế nút: có dạng tổng quát
∑
∑
∑
=ϕ+−ϕ−ϕ−ϕ
=ϕ−−ϕ−ϕ+ϕ
=ϕ−−ϕ−ϕ−ϕ
J....
.......................................................................
J....
J....
NNNNNNN
NN
NN
1-1-1-1-
1-1-1-1-
1-1-1-1-
LLLL-
LLLL-
LLLL
432211
22323222121
11313212111
(1.18)
Trong đó:
- N=(n-1) - số nút ứng các điện thế nút ϕ1, ϕ2,…ϕN
-
-1
L
kk
- tổng các toán tử nhánh đảo của các nhánh nối với nút thứ k
thứ k, luôn mang dấu “+”.
- -1
L
lk với k≠1 - toán tử nhánh đảo của nhánh nối trực tiếp giữa nút
thứ k và nút thứ 1, luôn có dấu “-”.
-
∑J
k
-tổng các nguồn dòng và nguồn dòng tương đương nối với
nút thứ k.
Mạch thuần trở: Khi trong mạch chỉ có điện trở thì uk=RkiK,
ik=
)e(g
kbak
±ϕ−ϕ
-Hệ phương trình dòng mạch vòng: có dạng tổng quát