PhÇn thø nhÊt Lý thuyÕt vµ c¸c ph¬ng ph¸p tÝnh tÊm

Ch¬ng 1 Lý thuyÕt tÝnh tÊm chÞu uèn

TÊm lµ vËt thÓ h×nh khèi cã chiÒu cao h (chiÒu dµy) rÊt nhá so víi hai kÝch thíc cßn l¹i h<

MÆt ph¼ng trung b×nh lµ mÆt ph¼ng c¸ch ®Òu mÆt trªn vµ mÆt díi

cña tÊm.

H×nh 1-1. H×nh d¹ng vµ kÝch thíc tÊm

TÊm chÞu uèn ®îc ph©n lo¹i thµnh tÊm mángvµ tÊm dÇy. TÊm ®îc gäi lµ tÊm máng khi [12,17]:

vµ

(wmax lµ chuyÓn vÞ ph¸p lín nhÊt).

w ‚ l 1 10 £max h 1 10 h £ min

1 5 TÊm ®îc gäi lµ tÊm dµy khi: 1 10 l h > min

TÊm máng ®îc tÝnh theo lý thuyÕt Kirchhoff (bá qua biÕn d¹ng c¾t trong mÆt ph¼ng ph¸p tuyÕn) cßn tÊm dµy ®îc tÝnh theo lý thuyÕt Reissner-Mindlin (cã xÐt biÕn d¹ng c¾t trong mÆt ph¼ng ph¸p tuyÕn). 1.1. tÝnh tÊm chÞu uèn theo lý thuyÕt Kirchhoff 1.1.1. C¸c gi¶ thiÕt tÝnh to¸n TÝnh to¸n tÊm máng theo lý thuyÕt Kirchhoff dùa trªn 03 gi¶ thiÕt:

1. Bá qua øng suÊt ph¸p vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng tÊm

.

z

s 0=

2. Khi tÊm chÞu uèn, chuyÓn vÞ ngang trªn mÆt ph¼ng trung b×nh

yx ,(

)0,

yx ,(

)0,

b»ng kh«ng

.

3. PhÇn tö th¼ng m-n vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng trung b×nh tríc biÕn d¹ng th× sau biÕn d¹ng vÉn th¼ng, vÉn vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng

= = u v 0

z

xz

yz

trung b×nh vµ kh«ng thay ®æi ®é dµi. Tõ ®ã rót ra:

.

e = g = g 0=

zyxu ), ,(

Tõ c¸c gi¶ thiÕt cña Kirchhoff, chuyÓn vÞ

, biÕn d¹ng,

)yxw , (

øng suÊt, néi lùc ®îc x¸c ®Þnh qua chuyÓn vÞ

vµ bµi to¸n 03 chiÒu

; v ,( ), zyx

trë thµnh bµi to¸n 02 chiÒu. 1.1.2. C¸c ph¬ng tr×nh c¬ b¶n Nãi chung, bµi to¸n c¬ häc ®îc gi¶i trªn c¬ së 3 nhãm ph¬ng tr×nh c¬ b¶n: h×nh häc, vËt lý, c©n b»ng kÕt hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn biªn. - Nhãm ph¬ng tr×nh h×nh häc biÓu thÞ quan hÖ gi÷a biÕn d¹ng vµ chuyÓn vÞ. - Nhãm ph¬ng tr×nh vËt lý biÓu thÞ quan hÖ gi÷a biÕn d¹ng vµ øng suÊt. - Nhãm ph¬ng tr×nh c©n b»ng biÓu thÞ ®iÒu kiÖn c©n b»ng (tÜnh, ®éng) cña ph©n tè hoÆc toµn hÖ. 1. Ph¬ng tr×nh h×nh häc XÐt tÊm máng cã chiÒu dµy h=const, vËt liÖu ®µn håi tuyÕn tÝnh. T¸ch tõ tÊm mét ph©n tè VCB cã c¸c c¹nh dx, dy, h×nh 1-2.

H×nh 1-2. BiÕn d¹ng cña ph©n tè tÊm

Theo lý thuyÕt ®µn håi vµ gi¶ thiÕt 3:

. Tõ ®ã rót ra

z

,( ), zyx z

theo chiÒu dÇy tÊm: =

¶ w = e = 0 ¶

,( ), zyx

),( yx

(1.1)

= cos w w nt

2

zyxu ), ,(

zyxv ), ,(

Tõ gi¶ thiÕt 2 vµ 3, chuyÓn vÞ

,

t¹i ®iÓm K bÊt kú

yxw ),(

c¸ch mÆt trung b×nh kho¶ng c¸ch z ®îc biÓu diÔn qua chuyÓn vÞ

,

h×nh 1-3, cã d¹ng:

(1.2)

,( ), zyx

),( yx x

¶ w -= . u z ¶

(1.3)

,( ), zyx

),( yx y

H×nh 1-3. X¸c ®Þnh chuyÓn vÞ ngang qua chuyÓn vÞ ph¸p tuyÕn

C¸c thµnh phÇn biÕn d¹ng cña tÊm ®îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc:

2

¶ w -= . v z ¶

(1.4)

x

(x,y,z) x

2

¶ ¶ u w = - z. z.k e = x ¶ ¶ = ( x,y) 2 x

(1.5)

y

(x,y,z) y

2

¶ ¶ v w = - z. z.k e = y ¶ ¶ = ( x,y) 2 y

(1.6)

1

2

xy

lµ ®é cong uèn vµ ®é cong xo¾n.

trong ®ã, xk , yk , xyk

2

2

2

¶ ¶ ¶ v u 2.z. z.k g = b + b = xy ¶ ¶ ¶ ¶ + ( x,y,z) x = - ( x,y,z) y w = ( x,y) x y

;

;

(1.7)

y

x

xy

),( yx 2

),( yx 2

),( yx yx

2

2

¶ ¶ ¶ w w w -= -= -= k k k 2 ¶ ¶ ¶ ¶ y x

(

)

(1.8)

y

x

x

2

2

(cid:246) (cid:230) ¶ ¶ (cid:247) (cid:231) -= + + = me m e s (cid:247) (cid:231)

2. Ph¬ng tr×nh vËt lý C¸c thµnh phÇn øng suÊt cña tÊm, ®îc x¸c ®Þnh theo lý thuyÕt ®µn håi víi c¸c thµnh phÇn biÕn d¹ng x¸c ®Þnh theo (1.4 ‚ 1.6), h×nh 1-4: . zE m

2

2

E m ¶ ¶ - - 1 w 2 x w 2 y 1 ł Ł

(

)

(1.9)

y

y

x

2

2

(cid:246) (cid:230) ¶ ¶ (cid:247) (cid:231) s = e + me -= + m (cid:247) (cid:231) E m . zE m ¶ ¶ - - 1 w 2 y w 2 x 1 ł Ł

3

2

xy

yx

xy

(1.10)

(

)

trong ®ã:

¶ t = t = = - g G Ez + m ¶ ¶ 1 w x y

(1.11)

( 12

§èi víi kÕt cÊu tÊm thêng x¸c ®Þnh néi lùc: m« men uèn

yM ,

H×nh 1-4 vµ 1-5 C¸c thµnh phÇn øng suÊt vµ m« men xM ,

m« men xo¾n

xyM , lùc c¾t

yQ thay cho x¸c ®Þnh øng suÊt. M« men

xQ ,

uèn vµ m« men xo¾n ph©n bè trªn mét ®¬n vÞ chiÒu dµi x¸c ®Þnh qua øng suÊt ®îc x¸c ®Þnh b»ng biÓu thøc, h×nh 1-5:

h

2/

2

2

= G E - m« ®un ®µn håi cña vËt liÖu; m - hÖ sè Poisson; G - m« ®un trît cña vËt liÖu. E )m+

(1.12)

x

x

p

h

2/

h

2/

2

2

(cid:246) (cid:230) ¶ ¶ (cid:247) (cid:231) = -= + m M s . z dz D (cid:242) (cid:247) (cid:231) ¶ ¶ w 2 x w 2 y ł Ł -

(1.13)

y

y

p

h

2/

h

2/

2

(cid:246) (cid:230) ¶ ¶ (cid:247) (cid:231) = -= + m M s . z dz D (cid:242) (cid:247) (cid:231) ¶ ¶ w 2 y w 2 x ł Ł -

)

(

(1.14)

xy

yx

xy

p

h

2/

trong ®ã:

pD - ®é cøng trô.

¶ m = = -= - M M t . z dz 1 D (cid:242) ¶ ¶ w yx -

4

3

(1.15)

)2

víi:

h - chiÒu dµy tÊm; BiÓu diÔn m« men uèn vµ m« men xo¾n (1.12 ‚ 1.14) díi d¹ng ma

{

}

} M =

trËn qua ®é cong uèn vµ ®é cong xo¾n: [ ]{ f kC

c

(1.16)

trong ®ã:

{

}T

} M =

(1.17)

= D p m - hE . ( 112

y

xy

{

}

MM x

{ {

(1.18)

c

x

y

xy

= M }T k k k k

3

[

]

(1.19)

f

p

2

)

( 112

Lùc c¾t ph©n bè trªn mét ®¬n vÞ chiÒu dµi

yQ lµ hîp lùc cña

xQ ,

ø Ø ø Ø m m 0 0 œ Œ œ Œ Eh œ Œ œ Œ = 1 m = 1 m C 1 0 D 1 0 œ Œ œ Œ m - m m - - 1 1 œ Œ œ Œ 0 0 0 0 ß º ß º 2 2

zy

øng suÊt

,

do biÕn d¹ng uèn g©y ra ®îc x¸c ®Þnh tõ ®iÒu kiÖn c©n

zx

b»ng. C¸c thµnh phÇn néi lùc cña tÊm ®îc biÓu diÔn trªn h×nh 1.6.

t t

H×nh 1-6. C¸c thµnh phÇn néi lùc cña tÊm

3. Ph¬ng tr×nh c©n b»ng XÐt c©n b»ng cña mét ph©n tè tÊm díi t¸c dông cña c¸c thµnh phÇn néi lùc

yxq ),(

vµ ngo¹i lùc ph©n bè

, h×nh 1-6.

ChiÕu c¸c lùc lªn trôc OZ vµ gi¶n íc cho dxdy :

5

(1.20)

),( yx

y y

LÊy tæng m« men ®èi víi trôc x, y vµ bá qua c¸c ®¹i lîng VCB bËc cao, gi¶n íc cho dxdy :

¶ ¶ Q + + = q 0 ¶ ¶ Q x x

x

(1.21)

x

xy y

¶ ¶ M + = - - Q 0 ¶ ¶ M x

y

(1.22)

y

xy x

)

,x yw (

Tõ (1.21 ‚ 22) vµ kÕt hîp víi m« men uèn vµ m« en xo¾n biÓu diÔn qua yQ ®îc x¸c ®Þnh b»ng

theo (1.12 ‚ 14), lùc c¾t

hµm mÆt vâng

xQ ,

c«ng thøc:

¶ ¶ M M + = - - Q 0 ¶ ¶ y

2

(1.23)

;

)

p

x y ,

2

)

y

p

(1.24)

x y ,

2(cid:209)

víi

lµ to¸n tö Laplat

2

2

¶ = - (cid:209) D w ( Q x ¶ x ¶ = - (cid:209) Q D w ( ¶ y

2

(1.25)

2

2

Thay (1.23), (1.24) vµo (1.20) vµ chó ý ®Õn (1.12 ‚ 14), ph¬ng tr×nh c©n b»ng cña tÊm cã d¹ng:

4

4

4

¶ ¶ = + (cid:209) ¶ ¶ x y

)

(1.26)

2

x y , D

p

¶ ¶ ¶ q ( + + = 2 ¶ ¶ ¶ ¶ w 4 x w 2 x y w 4 x

Ph¬ng tr×nh nµy gäi lµ ph¬ng tr×nh Sophi-Giecman. 1.2. tÝnh tÊm chÞu uèn theo lý thuyÕt Reissner-mindlin 1.2.1 Gãc xoay cã kÓ ®Õn biÕn d¹ng trît Khi tÝnh tÊm chÞu uèn theo lý thuyÕt Kirchhoff ®· bá qua biÕn d¹ng c¾t ( g

zx

zy

) vµ c¸c thµnh phÇn biÕn d¹ng, øng suÊt, néi lùc ®îc x¸c ®Þnh

yxw ),(

qua chuyÓn vÞ

.

Khi tÝnh tÊm dÇy hoÆc tÊm Sandwich cÇn ph¶i kÓ ®Õn biÕn d¹ng

c¾t nµy.

Gi¶ thiÕt cña Mindlin kh¸c víi gi¶ thiÕt Kirchhoff lµ: phÇn tö th¼ng m- n vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng trung b×nh tríc biÕn d¹ng th× sau biÕn d¹ng kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng trung b×nh vµ gãc xoay

= g = 0

6

tÝnh theo lý thuyÕt Kirchhoff ®îc bæ sung mét lîng b»ng gãc xoay

x

f

f

q q , y

cña c¸c ph¸p tuyÕn quanh c¸c trôc x vµ y lµ

(t¹i tiÕt diÖn

),

y

x

y =

const

(t¹i tiÕt diÖn

) do lùc c¾t g©y ra, h×nh 1.7.

x = const

(1.27)

y

x

¶ q = - f ¶

y

(1.28)

H×nh 1-6 Gãc xoay ph¸p tuyÕn 1- §êng th¼ng ®øng; 2. VÞ trÝ ph¸p tuyÕn cña ®êng th¼ng ®øng 3. VÞ trÝ nghiªng cña ®êng th¼ng ®øng 4. TiÕp tuyÕn víi mÆt trung b×nh; 5. MÆt trung b×nh

¶ q f - = - x ¶ w + x w + y

(1.29)

x

y

Tõ (1.27 ‚ 1.28), gãc xoay cña c©c ph¸p tuyÕn: w x

¶ = q + f ¶

y

(1.30)

¶ f = - + q x ¶ w y

1.2.2. BiÓu thøc néi lùc

y

zy

øng suÊt tiÕp

vµ

g©y ra do biÕn d¹ng c¾t

,

x

zx

híng x¸c ®Þnh b»ng c«ng thøc:

t t f f ®èi víi tÊm ®¼ng

xz

x

(1.31)

)

( 2 1

yz

y

Lùc c¾t

yQ ®îc x¸c ®Þnh b»ng c«ng thøc:

xQ ,

t f (cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:252) Ø ø 1 0 = (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:253) Œ œ t f E + m 0 1 º ß (cid:238) (cid:254) (cid:238) (cid:254)

7

/ 2h t

/ 2h t

;

(1.32)

x

y

xz

yz

/ 2h

/ 2h

Díi d¹ng ma trËn:

= = Q dz Q dz (cid:242) (cid:242) - -

x

(1.33)

)

y

y

hay

f (cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:252) Ø ø 1 0 Q x = (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:253) Œ œ f m Q 0 1 a Eh ( + 2 1 º ß (cid:238) (cid:254) (cid:238) (cid:254)

{

}

[

} Q

] { C f

(1.34)

s

trong ®ã:

{

}T

} Q =

(1.35)

=

{

}

{ Q { f

x Q y } T

(1.36)

y

f = f x

[

]

(1.37)

)

yM , m« men xo¾n

xyM ®îc x¸c ®Þnh

Néi lùc m« men uèn

Víi a lµ hÖ sè hiÖu chØnh biÓu thÞ sù chèng vªnh cña mÆt c¾t ngang. Thêng a lÊy b»ng 5/6 nhng còng cã thÓ lÊy tõ gi¸ trÞ 2/3 ®èi víi mÆt c¾t kh«ng cã kh¶ n¨ng chèng vªnh ®Õn gi¸ trÞ 1 ®èi víi mÆt c¾t hoµn toµn cã kh¶ n¨ng chèng vªnh. xM ,

theo lý thuyÕt Kirchhoff vµ lùc c¾t

yQ do biÕn d¹ng trît x¸c ®Þnh

xQ ,

theo (1.34) díi d¹ng tæ hîp:

ø Ø 01 = œ Œ C s m 10 aEh ( + 12 ß º

3

x

x

2

)

( 12 1

y

y

(

)

xy

xy

(1.38)

x

)

( 2 1

y

y

hay

Ø ø m Ø ø Ø ø 0 0 0 Œ œ (cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:252) Œ œ Œ œ Eh k M 1 m 1 0 0 Œ œ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) Œ œ Œ œ m - k M Œ œ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) Œ œ Œ œ 0 m - 0 0 1 / 2 0 0 º ß º ß Œ œ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) k M (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Œ œ (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:253) - - - - Œ œ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) a Ø ø Ø ø 0 0 0 Œ œ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) f Q x Œ œ Œ œ Œ œ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) 0 a Eh + m 0 0 0 0 º ß º ß f Œ œ Q (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:238) (cid:254) (cid:238) (cid:254) Œ œ º ß

[

]

f

c

(1.39)

{ {

{ {

} }

} M } Q

]

[

]

s

x 5 1

x 5 1

x 5 5

Ø ø Ø ø (cid:236) (cid:252) (cid:236) (cid:252) 0 (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) º ß = Œ œ (cid:237) (cid:253) (cid:237) (cid:253) k f (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) Œ œ C [ (cid:238) (cid:254) (cid:238) (cid:254) 0 C º ß

8

y

x

y

xy

trong ®ã

x¸c ®Þnh theo (1.29 ‚ 30) vµ

x¸c ®Þnh theo c«ng

thøc:

, , k k k f f ,x

(1.40)

;

;

y

xy

x

x y

x x

y x

y y Cã thÓ biÓu diÔn (1.38 ‚ 1.39) t¬ng tù nh quan hÖ øng suÊt-biÕn d¹ng:

}

[

{ s

q ¶ q ¶ q ¶ q ¶ -= = - = k k k ¶ ¶ ¶ ¶

(1.41)

] { } C e p

p

p

Trong ®ã:

}

{ s

}T

=

(1.42)

xy

x

y

p

{ MM= x ] [

M Q Q

[

]

[

(1.43)

p

y ] 0 ]

[

f ] 0

5x5s

e

=

f

f

}

ø Ø = C œ Œ C [ C ß º

{

} T

(1.44)

k

k

k

x

y

xy

x

y

p

{ BiÓu diÔn { } e

p

qua w , x

T

q q , y

{ } e

(1.45)

y

x

p

y x

x y

y y

x x

q q ¶ ¶ (cid:252) (cid:236) q q ¶ ¶ ¶ ¶ = q + q + - - - (cid:253) (cid:237) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ w x w y (cid:254) (cid:238)

1.3. ®iÒu kiÖn biªn 1.3.1. Biªn ngµm cøng §iÒu kiÖn biªn lµ chuyÓn vÞ vµ gãc xoay b»ng kh«ng.

- t¹i x=0 vµ x=a

0w = vµ

(1.46.1)

- t¹i y=0 vµ y=b

¶ 0 ¶ w = x

0w = vµ

(1.46.2)

¶ 0 ¶ w = y

1.3.2. Biªn tùa khíp §iÒu kiÖn biªn lµ chuyÓn vÞ vµ m« men uèn b»ng kh«ng.

- t¹i x=0 vµ x=a

2

2

2

0w = vµ

(1.47.1)

x

p

- t¹i y=0 vµ y=b

2

2

2

(cid:246) (cid:230) ¶ ¶ ¶ (cid:247) (cid:231) -= + n = = M D 0 (cid:247) (cid:231) w 2 w 2 w 2 ¶ ¶ ¶ x y x ł Ł

0w = vµ

(1.47.2)

y

p

(cid:246) (cid:230) ¶ ¶ ¶ (cid:247) (cid:231) -= + m = M D 0 =(cid:247) (cid:231) ¶ ¶ ¶ w 2 y w 2 x w 2 y ł Ł

9

1.3.3. Biªn tù do

§iÒu kiÖn biªn tù do, vÝ dô t¹i y=b, h×nh 1.7, m« men uèn

yM , m« men

xo¾n

xyM , lùc c¾t (

(

yQ b»ng kh«ng: ( =

)

xy

) byy =

) byy =

= by

Song ph¬ng tr×nh vi ph©n mÆt uèn cña tÊm (1.26) lµ ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 4 nªn chØ cÇn 02 ®iÒu kiÖn biªn trªn mçi c¹nh lµ ®ñ x¸c ®Þnh yQ thµnh mét ®iÒu

nghiÖm. Kirchhoff ®· gép hai ®iÒu kiÖn biªn

xyM vµ

kiÖn.

Trªn biªn tù do y=b lÊy 03 ®iÓm a, b, c víi kho¶ng c¸ch b»ng dx.

H×nh 1.7 §iÒu kiÖn biªn tù do

= = M M Q 0

xy

T¹i D1 m« men xo¾n lµ

xyM , t¹i D2 m« men xo¾n lµ

xy

(D1 vµ D2 lµ ®iÓm gi÷a cña c¸c ®o¹n ab vµ ac). C¸c m« men nµy cã thÓ biÓu diÔn díi d¹ng c¸c lùc tËp trung ngîc chiÒu nhau. Gi¸ trÞ cña c¸c lùc

¶ M + M dx ¶ x

1 MT =

xy

tËp trung t¹i ®Çu c¸c ®o¹n ab vµ bc lµ

vµ

.

2

xy

xy x

¶ M + = MT dx ¶

ChiÕu c¸c lùc tËp trung t¹i ®iÓm b lªn ph¬ng OZ:

,

y

xy x

yQD

lµ lùc tËp trung nªn sau khi chia cho dx ®îc lùc ph©n bè

v×

¶ M D = = - Q dx T 2 T 1 ¶

y MQ ,

xy

. Nh vËy, ®iÒu kiÖn biªn khi kÕt hîp

cã d¹ng:

y

x = vµ 0

¶ M D = Q ¶

xy x - t¹i biªn

x = : a

10

2

2

3

3

(

)

;

(1.48.1)

- t¹i biªn

2

2

3

3

¶ ¶ ¶ ¶ + = m = = + m = - 0 2 0 M x Qx ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ w 3 x w 2 yx

(

)

;

(1.48.2)

¶ ¶ ¶ ¶ = + m = = + m = - 0 2 0 M y Q y ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ w 2 x y = vµ 0 w 2 y w 2 y y = : b w 2 x w 3 y w 2 xy

1.3.4. Biªn tùa ®µn håi VÝ dô dÇm ®ãng vai trß lµ biªn tùa ®µn håi. XÐt ®iÒu kiÖn biªn t¹i x=a, h×nh 1.8, ®iÒu kiÖn biªn t¬ng thÝch gi÷a dÇm vµ tÊm cã d¹ng: 1. §iÒu kiÖn biªn thø nhÊt §é vâng cña dÇm b»ng ®é vâng cña tÊm. §é vâng cña dÇm g©y ra do t¶i

träng ph©n bè lµ lùc c¾t t¬ng ®¬ng

xQ cña tÊm.

Ngµm

H×nh 1.8 Biªn tùa ®µn håi

Do vËy:

4

3

2

DÇm

(

)

(1.49.1)

p

= ax

= ax

ø Ø ¶ ¶ ¶ = + - EJ D 2 m œ Œ ¶ ¶ ¶ ¶ w 4 y w 3 x w 2 yx ß º

2. §iÒu kiÖn biªn thø hai

M« men xo¾n cña dÇm b»ng m« men uèn

xM cña tÊm.

2

2

2

(1.49.2)

p

p

= ax

= ax

NÕu dÇm kh«ng chÞu xo¾n:

2

2

(cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) ¶ ¶ ¶ ¶ (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) = + m - GJ D (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ y w yx w 2 x w 2 y ł Ł ł Ł

(1.49.3)

x

p

=ax

(cid:246) (cid:230) ¶ ¶ (cid:247) (cid:231) = + m = M D 0 (cid:247) (cid:231) ¶ ¶ w 2 x w 2 y ł Ł

11

1.4. ThÕ n¨ng toµn phÇn cña tÊm chÞu uèn ThÕ n¨ng toµn phÇn P cña tÊm chÞu uèn b»ng tæng thÕ n¨ng biÕn d¹ng cña néi lùc vµ ngo¹i lùc khi hÖ chuyÓn tõ tr¹ng th¸i ban ®Çu kh«ng biÕn d¹ng sang tr¹ng th¸i biÕn d¹ng.

ThÕ n¨ng biÕn d¹ng cña néi lùc ®îc ®o b»ng c«ng cña néi lùc U . C«ng néi lùc lu«n lu«n d¬ng, b»ng nöa tÝch cña néi lùc (øng suÊt) trªn chuyÓn vÞ (biÕn d¹ng) t¬ng øng.

ThÕ n¨ng cña ngo¹i lùc ®îc ®o b»ng c«ng cña ngo¹i lùc. C«ng cña ngo¹i lùc lu«n ©m (cã xu híng ng¨n c¶n biÕn d¹ng ®a hÖ vÒ tr¹ng th¸i c©n b»ng) b»ng tÝch cña ngo¹i lùc víi chuyÓn vÞ cña c¸c ®iÓm ®Æt lùc t¬ng øng.

(1.50)

Khi kÓ ®Õn biÕn d¹ng trît:

P = - U . . wq dxdy (cid:242) (cid:242)

(1.51)

s

trong ®ã:

bU - n¨ng lîng do biÕn d¹ng uèn. sU - n¨ng lîng do biÕn d¹ng c¾t.

N¨ng lîng

2

= UU + b U

)

(

sU do biÕn d¹ng c¾t ®îc x¸c ®Þnh b»ng c«ng thøc: ) 2

(

x

y

s

(1.52)

S

Ø ø + f = a f dxdy G S . . U (cid:242) (cid:242) Œ œ º ß 1 2

y

thay

vµ

theo (1.29 ‚ 1.30), ®èi víi tÊm ®¼ng híng, [12]:

x

2

2

2

f f

3

)

( 24 1

s

y

x

3

2

)

( 24 1

S

(1.53)

Thay G theo (1.11) vµo (1.52):

2

2

3

Ø ø Ø ø m - (cid:230) (cid:246) ¶ ¶ (cid:230) (cid:246) Eh Œ œ = a + + q - Œ œ U GS dxdy (cid:231) ‚ (cid:231) ‚ (cid:242) (cid:242) ¶ ¶ m - Ł ł Œ œ Œ œ Eh 1 2 w x w q y Ł ł º ß º ß

(

)

(1.54)

s

y

x

2

)

( 24 1

S

N¨ng lîng biÕn d¹ng chÞu uèn cña tÊm ®¼ng híng ®îc x¸c ®Þnh

b»ng c«ng thøc [12]:

Ø ø m - (cid:230) (cid:246) ¶ ¶ (cid:230) (cid:246) a 6 Eh = + + q q - Œ œ U dxdy (cid:231) ‚ (cid:231) ‚ (cid:242) (cid:242) 1 2 ¶ ¶ m - Ł ł Œ œ h w x w y Ł ł º ß

12

2

2

2

3

q

q

m

q

q

(

)

q

1

Eh

=

+

m

+

+

q +

U

2

dxdy

b

2

m

)

x x

x x

y y

y y

2

x y

y x

( 24 1

S

(1.55)

T

(cid:236) (cid:252) ¶ ¶ ¶ - (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) ¶ ¶ ¶ (cid:239) (cid:239) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:237) (cid:253) (cid:231) ‚ (cid:231) ‚ (cid:231) ‚ (cid:231) ‚ (cid:231) ‚ (cid:242) (cid:242) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ - Ł ł Ł ł Ł ł Ł ł Ł ł (cid:239) (cid:239) (cid:238) (cid:254)

}

{

}

{

{

+ = f

(

)

NÕu biÓu diÔn n¨ng lîng biÕn d¹ng qua néi lùc: } { T M k

} Q

c

(1.56.1)

S

T

T

dxdy U (cid:242) (cid:242) 1 2

}

{

}

}

}

[

] { f

thay (1.16), (1.38) vµo (1.56.a): ( { {

Ø ø = + f

)

f

c

c

s

(1.56.2)

S

U C k k C dxdy (cid:242) (cid:242) º ß 1 2

13