Ụ
Ụ Ế
ỗ
M C L C LÝ THUY T TH NG D Ư Ặ 1.1 Chu i hàm bi n ph c …………………………………………………………2 ứ i tích …………………………………………2 ủ tích hàm
ỗ Không ả đi m gi i ả
ng c a hàm gi ỗ Phân th đi m b t ấ lo i ạ ườ i ả ủ
ế 1.1.1 Chu i Taylor c a hàm gi 1.1.2 c a ủ ể …………………………………………..2 1.1.3 Chu i Laurent …………………………………………………………...3 1.1.4 tích ể ……………………………4
Lý d thuy t ế th ng ặ ư
1.2 …………………………………………………………….5
ị
1.2.1 Đ nh nghĩa ……………………………………………………………….5 1.2.2 Cách tính th ng d c a hàm gi i tích …………………………………… ặ ư ủ ả
5
1.2.3 d Th ng ặ ư c c ự ể đi m
ng lý d d ng ụ Ứ thuy t ế th ng ặ ư
t i ạ …………………………………………………...5 1.3 ………………………………………………….6
1.3.1 Tính tích phân c a hàm f(z) theo m t chu tuy n L ……………………. ủ ế ộ
6
………………………………7
1.3.2 Tính tích phân d ng I = 1.3.3 Tính tích phân d ng I = …………………………………….12 ạ ạ
1.3.3.1 B đ 1 Jordan ổ ề
1.3.3.2 …………………………………………………..12 ng b đ 1 Jordan c a ủ Ứ ổ ề
tham li u ệ ả kh o
d ng ụ …………………………………...13 Tài ………………………………………………………………..17
LÝ THUY T TH NG D
Ặ
Ế
Ư
ế ỗ ứ
ả
i lân c n đi m a.Có th bi u di n f(z) d ạ i tích ậ ể ể ể ễ ướ ạ i d ng
1.1 Chu i hàm bi n ph c 1.1.1 Chu i Taylor c a hàm gi ủ ỗ s f(z) là hàm gi Gi i tích t ả ả ử chu i lũy th a c a z-a. ỗ
ừ ủ
H C VIÊN: TR N KHÁNH NH T
1
Ọ
Ầ
Ậ
ộ i tích trong hình tròn L: | z-a | < R đ u có th khai tri n m t ề ể ể ọ ả
ấ ư ừ ủ
n =
c xác đ nh nh sau C ị ư ượ ệ ố n đ
z t
i ta có f(z) =
i đi m 0 ( = a ) ủ ể ể ạ
i tích trong G.Đi m a đ c g i là không M i hàm f(z) gi cách duy nh t thành chu i lũy th a c a z-a nh sau ỗ f(z) = Co + C1 (z-a) + ………………+ Cn (z-a)n Trong đó h s C Chú ý: = Suy ra Cn = Tóm l ạ Ví d : Khai tri n Taylor c a hàm f(z) = e ụ Ta có f(z) = trong đó Cn = = V y eậ z = 1+ z + ………………… 1.1.2 Không đi m c a hàm gi ể ả : Gi a. Đ nh nghĩa ể ượ ọ i tích ủ s f(z) là hàm gi ả ả ử
ị ể ế ủ
ạ i lân c n đi m a có d ng ể ậ ạ ủ
ớ
ượ ọ ấ ủ ủ c g i là c p c a không đi m hay ta nói a là không đi m c p m c a ể ể ấ
đi m c a hàm f(z) n u f(a) = 0 N u khai tri n Taylor c a hàm f(z) t ể ế f(z) = v i ≠ 0 f(z) = m đ hàm f(z)
ơ ể ể ượ ọ
ấ ề ể ủ ủ ể m = 1: a đ ệ ầ
ị ể ủ ủ ể ể
i tích t i a và ≠ 0 i d ng là hàm gi ở ạ ả
ế
ậ
ậ ấ
m =
ọ i tích,đ n tr trong hình vành khăn r < < R.Khi đó v i m i ả ơ ớ ị
ệ ố
ể ằ
i tích ủ ỗ ỗ
đi m có lũy th a nguyên âm ừ ả ở ể ớ ỗ
c g i là không đi m c p 1 ( không đi m đ n ) ấ * Đi u ki n c n và đ đ a là không đi m c p m c a hàm f(z) là: f(a) = f/(a) = f//(a) …………………= f(m-1)(a) = 0 và f(m)(a) ≠ 0 : Đi u ki n c n và đ đ đi m a là không đi m c p m c a hàm f(z) là Đ nh lý ệ ấ ầ ề f(z) có th bi u di n d ễ ướ ạ ể ể f(z) = (z-a)m đây Ví d Xét hàm f(z) = 1- cosz ụ Ta đã bi t Cosz = V y f(z) = V y z = 0 là không đi m c p 2 ể 1.1.3 Chu i Laurent ỗ * N u f(z) là hàm gi ế z G ta có f(z) = Trong đó các h s : C m = 0,+1,………….. L là chu tuy n bao quanh đi m a và n m hoàn toàn trong G ế Chu i trên đ c g i là chu i Laurent c a hàm gi ượ ọ L u ýư : Chu i Laurent khác v i chu i Taylor ỗ f(z) = + Ph n chính Ph n đ u ề ầ ầ
H C VIÊN: TR N KHÁNH NH T
2
Ọ
Ầ
Ậ
ng c a hàm gi ả ấ ườ
ể ng ng n u f(z) không ọ ấ ườ ủ ượ ườ : Đi m z = a đ ể i tích c g i là đi m b t th ể ế
n = 0
ả
ứ
ng b đ c ể ượ ọ ọ
ữ ạ
ạ ố ạ i a mà ph n chính có h u h n s h ng ể ự ự ủ ể ấ
i a vô s s h ng thì đi m a ố ố ạ ế ể
ầ c g i là đi m b t th ể ể ng c t y u ố ế ấ
1.1.4 Phân lo i đi m b t th ạ a. Đi m b t th ấ ể gi i a i tích t ạ b. Phân lo i: ạ i a không có ph n chính t c là c + Căn c vào khai tri n Laurent f(z) t ầ ạ ứ c g i là đi m b t th v i m i n.Khi đó a đ ỏ ượ ườ ấ ể ớ + N u khai tri n Laurent c a f(z) t ầ ủ ể ế suy ra a là c c đi m c a hàm f(z) ( c c đi m c p m) + N u ph n chính c a khai tri n Laurent f(z) t ạ ủ đ ườ ượ ọ Ví d : ụ
ng ấ ườ ượ ọ c g i là đi m b t th ể
c ng b đ ấ ậ ể ừ ườ ỏ ượ
ậ
ườ ể ể ng c t y u ố ế
i lân c n đi m a.L là chu tuy n bao quanh i tích t ế ạ ể ậ
ọ
ộ
i a là m t s xác đ nh b ng ộ ố ặ ằ ọ ị
i tích ư ủ
ả t các h s trong khai tri n Laurent c a hàm f(z) nh sau ủ ư ể ế
-1
ệ ố ừ ể
i đi m b t th ng a ta chuy n v tìm ườ ặ ả ạ ấ ể ề
* f(z) = Ta có đi m a = 0 đ ể f(z) = = = Không ch a lũy th a âm v y z = 0 là đi m b t th ứ * f(z) = = = V y z = 0 là c c đi m c p 3 ấ ự * f(z) = là đi m b t th ấ 1.2 Lý thuy t th ng d ư ế ặ : N u f(z) gi 1.2.1 Đ nh nghĩa ị ả ế a và l t hoàn toàn trong lân c n trên ậ : không ph thu c vào L ụ G i th ng d c a hàm f(z) t ư ủ ạ Kí hi u = Res f(a) = ệ 1.2.2 Cách tính th ng d c a hàm gi ặ Ta đã bi ệ ố sau Cn = Xét n= -1 C-1 : h s lũy th a – 1 trong khai tri n Laurent C-1 = = V y: Res f(a) = = C ậ Đ tính th ng d c a hàm gi ể ư ủ ể ệ ố -1 trong khai tri n Laurent c a hàm f(z) h s C ể i tích f(z) t ủ
1.2.3 Th ng d t ặ
ể a. N u a là c c đi m đ n c a hàm f(z) thì i c c đi m ư ạ ự ể ự ơ ủ
b. N u a là c c đi m c p m c a hàm f(z) thì ấ
ự ể
ế [ Resf(z),a ] = (z-a).f(z) ế ủ [ Resf(z),a ] = f(z)]
H C VIÊN: TR N KHÁNH NH T
3
Ọ
Ầ
Ậ
ụ Ứ ng d ng lý thuy t th ng d ư
ế ủ ế
i tích trong mi n kín gi ộ ớ ạ ề ế ở ừ ộ ố ữ ạ i h n b i biên C tr m t s h u h n
ả ữ ạ
ặ 1.3 1.3.1 Tính tích phân c a hàm f(z) theo m t chu tuy n L N u f(z) là hàm gi các đi m (n h u h n) thì ể
ụ
ể
• Ví d : Tính v i C là vòng tròn ớ Xét f(z) = f(z) có 3 c c đi m ự Ch có hai c c đi m ,n m trong mi n gi ể I =2i[Resf(z),i] +2i[Resf(z),-i]
i h n b i L ự ề ằ ỉ ớ ạ ở
[Resf(z),i] =
=
[Resf(z),-i] = =
ậ
ữ ỉ ượ ư ề ứ ằ c đ a v tích phân ph c b ng ộ ự
ặ
ừ
• Ví d 1: Tính =
V y I = 1.3.2 Tính tích phân d ng I = ạ Tích phân th c ,trong đó R là m t hàm h u t ,đ cách sau * Đ t z = , ta có z = = cos x + isin x (1) = = cos x – isinx (2) T (1) và (2) ta có cos x = sin x = * dz = idx dx = -i * x : 0 2 |z| = 1 T đó : I = ừ
ụ
ặ
ừ
ừ
* Đ t z = , ta có z = = cos x + isin x (1) = = cos x – isinx (2) T (1) và (2) ta có cos x = sin x = * dz = idx dx = -i * x : 0 2 |z| = 1 T đó : = = -2i = - 2i Xét hàm f(z) =
H C VIÊN: TR N KHÁNH NH T
4
Ọ
Ầ
Ậ
i h n b i |z| ể ể ự ự ề ằ ớ ạ ở
Hàm f(z) có 2 c c đi m là và .Ch có c c đi m n m trong mi n gi ỉ = 1 v y ậ = 2[Resf(z),-2+] M t khác: [Resf(z),-2+] = . ặ = = V y = 2.= ậ Tóm l
iạ : = -2i.= • Ví d 2: Tính tích phân = ụ
ặ
ừ
ừ
i h n b i |z| ự ự ể ể ề ằ ớ ạ ở
* Đ t z = , ta có z = = cos x + isin x (1) = = cos x – isinx (2) T (1) và (2) ta có cos x = sin x = * dz = idx dx = -i * x : - |z| = 1 T đó : = = -i-2i = - 2i Xét hàm f(z) = Hàm f(z) có 2 c c đi m là và .Ch có c c đi m n m trong mi n gi ỉ = 1 v y ậ = 2[Resf(z),-2+] M t khác: [Resf(z),-2+] = . ặ = = V y = 2.= ậ Tóm l
Ví d 3: Tính tích phân = ụ
Ta nh n th y hàm f(x) = là hàm ch n nên ta có iạ : = -2i.= • ậ ẵ
ấ = = = = • Ví d 4: Tính tích phân = ụ ặ
ừ
* Đ t z = , ta có z = = cos x + isin x (1) = = cos x – isinx (2) T (1) và (2) ta có cos x = sin x = * dz = idx dx = -i * x : 0 2 |z| = 1 = = -i-16i Xét hàm f(z) =
H C VIÊN: TR N KHÁNH NH T
5
Ọ
Ầ
Ậ
ỉ ấ ể ể ự ề ằ ớ i
ở ạ
• Ví d 5: Tính tích phân =
Hàm f(z) có 2 c c đi m c p hai là và .Ch có c c đi m n m trong mi n gi ự h n b i |z| = 1 v y ậ = 2[Res,,] M t khác: [Res,] = . ặ = = = = V y = 2.= ậ Và =
ụ
ặ
ừ
* Đ t z = , ta có z = = cos x + isin x (1) = = cos x – isinx (2) T (1) và (2) ta có cos x = sin x = * dz = idx dx = * x : 0 2 |z| = 1
ỉ ấ ể ự ề ể ằ ớ i
ở
ạ
Xét hàm f(z) = Hàm f(z) có 2 c c đi m c p hai là và .Ch có c c đi m n m trong mi n gi ự h n b i |z| = 1 v y ậ ạ Res[ V i Res[ = = ớ V y ậ 1.3.3 Tính tích phân d ng I = 1.3.3.1 B đ 1 Jordan ổ ề B đ 1: Gi s hàm f(x) liên t c trong lân c n đi m vô cùng và th a mãn ổ ề ả ử ụ ể ậ ỏ
khi đó ta có
ng tròn |z| = R ủ ườ
ng d ng đ nh lý c b n v th ng d và b đ 1 ta có th tính tích phân suy ề ặ ổ ề ể
Trong đó C(R) là n a trên c a đ ử 1.3.3.2 ng d ng c a b đ 1 Jordan ủ ổ ề ụ Ứ Ứ ư ơ ả ị ụ r ng nh sau ộ ư
ả
ả ử ử
ạ
ử
s hàm f(z) gi Gi i tích trong n a m t ph ng trên ẳ ặ ừ ộ m t k c tr c th c tr ự ể ả ụ ằ s h u h n đi m n m ố ữ trong n a m t ph ng trên ặ và f(z) th a mãn b đ 1 ể ẳ ổ ề ỏ
H C VIÊN: TR N KHÁNH NH T
6
Ọ
Ầ
Ậ
ử ng cong kín L bao g m đo n th ng [-R,R] c a tr c th c và n a ẳ ủ ụ ự ồ ạ
ượ c chi u kim đ ng h .Ch n R ồ ề ọ ồ ề
t c các đi m a( hình bên). ể
ư
i b đ 1 Jordan ta thu đ c ớ ổ ề ượ
Ta v m t đ ẽ ộ ườ ng tròn trên đ ườ |z| = R ,kí hi u là C(R).V i chi u đi trên L là ng ệ ớ đ l n đ L bao b c t ọ ấ ả ể ủ ớ T ng d ng lý thuy t th ng d ta có ặ ế ụ ừ ứ = 2Res [f(z),a] Khi cho R và đ ý t ể = 2Res [f(z),a] ( * )
* V y n u f(z) =,trong đó P(z) và Q(z) là các đa th c và b c c a Q(z) P(z) ậ ủ ứ ế ậ
ng trình Q(z) = 0 có n ngi m n m trong n a m t ph ng trên thì ta có công ử ệ ẳ ằ ặ
• Ví d 6: Tính tích phân I =
+2. Ph ươ th c (*) ứ
ụ
ể ự ư ể ằ ỉ
• Ví d 7: Tính tích phân I =
Hàm f(z) = = có hai c c đi m là và = -i.Nh ng ch có c c đi m là n m trong ự n a m t ph ng trên v y ậ ẳ ặ ử I = = Res[,i] mà Res[,i] = = V y I = = .= ậ
ụ
Vì hàm f(z) = là hàm ch n nên I = = = ẵ
• Ví d 8: Tính tích phân I = ự
ụ
ấ ự ư ể ỉ
ẳ
• Ví d 9 Tính tích phân I =
ậ
ằ Vì hàm f(z) = có hai c c đi m c p 2 là và = -3i.Nh ng ch có c c đi m là n m ể trong n a m t ph ng trên v y ậ ặ ử I = = Res[,3i] Mà Res[,3i]= = = = V y I = = = ụ
ỉ ể ư ự ể ằ
ậ
ậ
Vì hàm f(z) = có hai c c đi m là và =1-.Nh ng ch có c c đi m là n m trong ự n a m t ph ng trên v y ẳ ặ ử I = = Res[,1+] Mà Res[,1+ ] = = = V y I = = = • Ví d 10: I = ụ ử có 4 c c đi m là .Nh ng ch có 2 c c đi m là và n m trong n a Vì hàm f(z) = ự ư ự ể ể ằ ỉ
ẳ ặ ậ
m t ph ng trên v y I==Res[,i] +Res[,2i]
H C VIÊN: TR N KHÁNH NH T
7
Ọ
Ầ
Ậ
i có ạ
ậ
Mà ta l * Res[,i] = = = = * Res[,i] = = = = V y I= = () =
1. Võ Thanh Tùng – Toán lý nâng cao, Tr 2. Võ Đăng Th o – Hàm ph c và toán t
TÀI LI U THAM KH O Ả Ệ
ườ ử ng ĐHKH Hu ế ng ĐHKT TP.HCM Laplace, Tr ườ ứ ả
3. Đ u Th C p – Bài t p hàm bi n ph c, NXB Giáo d c TP. HCM 2000 ậ 4. Bùi Tu n Khang – Giáo trình toán chuyên đ , Tr
2000 ậ ứ ụ ế
ng ĐHĐN 2004 ế ấ ấ ườ ề
