Lý thuyết thặng dư

Chia sẻ: Tran Khanh Nhat | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

700
lượt xem 80
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Lý thuyết thặng dư trình bày các nội dung chính: chuỗi hàm biến phức, lý thuyết thặng dư, ứng dụng lý thuyết thặng dư. Đây là tài liệu tham khảo dành cho sinh viên chuyên ngành Toán học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết thặng dư

MỤC LỤC LÝ THUYẾT THẶNG DƯ 1.1 Chuỗi hàm biến phức …………………………………………………………2 1.1.1 Chuỗi Taylor của hàm giải tích …………………………………………2 1.1.2 Không điểm của hàm giải tích …………………………………………..2 1.1.3 Chuỗi Laurent …………………………………………………………...3 1.1.4 Phân loại điểm bất thường của hàm giải tích ……………………………4 1.2 Lý thuyết thặng dư …………………………………………………………….5 1.2.1 Định nghĩa ……………………………………………………………….5 1.2.2 Cách tính thặng dư của hàm giải tích …………………………………… 5 1.2.3 Thặng dư tại cực điểm …………………………………………………...5 1.3 Ứng dụng lý thuyết thặng dư ………………………………………………….6 1.3.1 Tính tích phân của hàm f(z) theo một chu tuyến L ……………………. 6 1.3.2 Tính tích phân dạng I = ………………………………7 1.3.3 Tính tích phân dạng I = …………………………………….12 1.3.3.1 Bổ đề 1 Jordan …………………………………………………..12 1.3.3.2 Ứng dụng của bổ đề 1 Jordan …………………………………...13 Tài liệu tham khảo ………………………………………………………………..17 LÝ THUYẾT THẶNG DƯ 1.1 Chuỗi hàm biến phức 1.1.1 Chuỗi Taylor của hàm giải tích Giả sử f(z) là hàm giải tích tại lân cận điểm a.Có th ể bi ểu di ễn f(z) d ưới d ạng chuỗi lũy thừa của z-a. HỌC VIÊN: TRẦN KHÁNH NHẬT 1
Mọi hàm f(z) giải tích trong hình tròn L: | z-a | < R đ ều có th ể khai tri ển m ột cách duy nhất thành chuỗi lũy thừa của z-a như sau f(z) = Co + C1 (z-a) + ………………+ Cn (z-a)n Trong đó hệ số Cn được xác định như sau Cn = Chú ý: = Suy ra Cn = Tóm lại ta có f(z) = Ví dụ : Khai triển Taylor của hàm f(z) = ez tại điểm 0 ( = a ) Ta có f(z) = trong đó Cn = = Vậy e = 1+ z + ………………… z 1.1.2 Không điểm của hàm giải tích a. Định nghĩa: Giả sử f(z) là hàm giải tích trong G.Điểm a được gọi là không điểm của hàm f(z) nếu f(a) = 0 Nếu khai triển Taylor của hàm f(z) tại lân cận điểm a có dạng f(z) = với ≠ 0 f(z) = m được gọi là cấp của không điểm hay ta nói a là không đi ểm c ấp m c ủa hàm f(z) m = 1: a được gọi là không điểm cấp 1 ( không điểm đơn ) * Điều kiện cần và đủ để a là không điểm cấp m của hàm f(z) là: f(a) = f/(a) = f//(a) …………………= f(m-1)(a) = 0 và f(m)(a) ≠ 0 Định lý : Điều kiện cần và đủ để điểm a là không điểm cấp m c ủa hàm f(z) là f(z) có thể biểu diễn dưới dạng f(z) = (z-a)m ở đây là hàm giải tích tại a và ≠ 0 Ví dụ Xét hàm f(z) = 1- cosz Ta đã biết Cosz = Vậy f(z) = Vậy z = 0 là không điểm cấp 2 1.1.3 Chuỗi Laurent * Nếu f(z) là hàm giải tích,đơn trị trong hình vành khăn r < < R.Khi đó v ới m ọi z G ta có f(z) = Trong đó các hệ số: Cm = m = 0,+1,………….. L là chu tuyến bao quanh điểm a và nằm hoàn toàn trong G Chuỗi trên được gọi là chuỗi Laurent của hàm giải tích Lưu ý: Chuỗi Laurent khác với chuỗi Taylor ở điểm có lũy thừa nguyên âm f(z) = + Phần chính Phần đều HỌC VIÊN: TRẦN KHÁNH NHẬT 2
1.1.4 Phân loại điểm bất thường của hàm giải tích a. Điểm bất thường: Điểm z = a được gọi là điểm bất th ường nếu f(z) không giải tích tại a b. Phân loại: + Căn cứ vào khai triển Laurent f(z) tại a không có ph ần chính t ức là c n = 0 với mọi n.Khi đó a được gọi là điểm bất thường bỏ được + Nếu khai triển Laurent của f(z) tại a mà ph ần chính có h ữu h ạn s ố h ạng suy ra a là cực điểm của hàm f(z) ( cực điểm cấp m) + Nếu phần chính của khai triển Laurent f(z) tại a vô s ố s ố hạng thì đi ểm a được gọi là điểm bất thường cốt yếu Ví dụ: * f(z) = Ta có điểm a = 0 được gọi là điểm bất thường f(z) = = = Không chứa lũy thừa âm vậy z = 0 là điểm bất thường bỏ được * f(z) = = = Vậy z = 0 là cực điểm cấp 3 * f(z) = là điểm bất thường cốt yếu 1.2 Lý thuyết thặng dư 1.2.1 Định nghĩa: Nếu f(z) giải tích tại lân cận điểm a.L là chu tuy ến bao quanh a và lọt hoàn toàn trong lân cận trên : không phụ thuộc vào L Gọi thặng dư của hàm f(z) tại a là một số xác định bằng Kí hiệu = Res f(a) = 1.2.2 Cách tính thặng dư của hàm giải tích Ta đã biết các hệ số trong khai triển Laurent của hàm f(z) như sau sau Cn = Xét n= -1 C-1 : hệ số lũy thừa – 1 trong khai triển Laurent C-1 = = Vậy: Res f(a) = = C-1 Để tính thặng dư của hàm giải tích f(z) tại điểm bất th ường a ta chuy ển v ề tìm hệ số C-1 trong khai triển Laurent của hàm f(z) 1.2.3 Thặng dư tại cực điểm a. Nếu a là cực điểm đơn của hàm f(z) thì [ Resf(z),a ] = (z-a).f(z) b. Nếu a là cực điểm cấp m của hàm f(z) thì [ Resf(z),a ] = f(z)] HỌC VIÊN: TRẦN KHÁNH NHẬT 3
1.3 Ứng dụng lý thuyết thặng dư 1.3.1 Tính tích phân của hàm f(z) theo một chu tuyến L Nếu f(z) là hàm giải tích trong miền kín giới hạn bởi biên C trừ một s ố h ữu h ạn các điểm (n hữu hạn) thì • Ví dụ: Tính với C là vòng tròn Xét f(z) = f(z) có 3 cực điểm Chỉ có hai cực điểm ,nằm trong miền giới hạn bởi L I =2i[Resf(z),i] +2i[Resf(z),-i] [Resf(z),i] = = [Resf(z),-i] = = Vậy I = 1.3.2 Tính tích phân dạng I = Tích phân thực ,trong đó R là một hàm h ữu tỉ,được đưa v ề tích phân ph ức b ằng cách sau * Đặt z = , ta có z = = cos x + isin x (1) = = cos x – isinx (2) Từ (1) và (2) ta có cos x = sin x = * dz = idx dx = -i * x : 0 2 |z| = 1 Từ đó : I = • Ví dụ 1: Tính = * Đặt z = , ta có z = = cos x + isin x (1) = = cos x – isinx (2) Từ (1) và (2) ta có cos x = sin x = * dz = idx dx = -i * x : 0 2 |z| = 1 Từ đó : = = -2i = - 2i Xét hàm f(z) = HỌC VIÊN: TRẦN KHÁNH NHẬT 4
Hàm f(z) có 2 cực điểm là và .Chỉ có cực điểm nằm trong miền giới h ạn b ởi |z| = 1 vậy = 2[Resf(z),-2+] Mặt khác: [Resf(z),-2+] = . == Vậy = 2.= Tóm lại: = -2i.= • Ví dụ 2: Tính tích phân = * Đặt z = , ta có z = = cos x + isin x (1) = = cos x – isinx (2) Từ (1) và (2) ta có cos x = sin x = * dz = idx dx = -i *x:- |z| = 1 Từ đó : = = -i-2i = - 2i Xét hàm f(z) = Hàm f(z) có 2 cực điểm là và .Chỉ có cực điểm nằm trong miền giới h ạn b ởi |z| = 1 vậy = 2[Resf(z),-2+] Mặt khác: [Resf(z),-2+] = . == Vậy = 2.= Tóm lại: = -2i.= • Ví dụ 3: Tính tích phân = Ta nhận thấy hàm f(x) = là hàm chẵn nên ta có = = == • Ví dụ 4: Tính tích phân = * Đặt z = , ta có z = = cos x + isin x (1) = = cos x – isinx (2) Từ (1) và (2) ta có cos x = sin x = * dz = idx dx = -i * x : 0 2 |z| = 1 = = -i-16i Xét hàm f(z) = HỌC VIÊN: TRẦN KHÁNH NHẬT 5
Hàm f(z) có 2 cực điểm cấp hai là và .Chỉ có cực điểm nằm trong mi ền gi ới hạn bởi |z| = 1 vậy = 2[Res,,] Mặt khác: [Res,] = . === = Vậy = 2.= Và = • Ví dụ 5: Tính tích phân = * Đặt z = , ta có z = = cos x + isin x (1) = = cos x – isinx (2) Từ (1) và (2) ta có cos x = sin x = * dz = idx dx = * x : 0 2 |z| = 1 Xét hàm f(z) = Hàm f(z) có 2 cực điểm cấp hai là và .Chỉ có cực điểm nằm trong mi ền gi ới hạn bởi |z| = 1 vậy Res[ Với Res[ = = Vậy 1.3.3 Tính tích phân dạng I = 1.3.3.1 Bổ đề 1 Jordan Bổ đề 1: Giả sử hàm f(x) liên tục trong lân cận điểm vô cùng và thỏa mãn khi đó ta có Trong đó C(R) là nửa trên của đường tròn |z| = R 1.3.3.2 Ứng dụng của bổ đề 1 Jordan Ứng dụng định lý cơ bản về thặng dư và bổ đề 1 ta có thể tính tích phân suy rộng như sau Giả sử hàm f(z) giải tích trong nửa mặt phẳng trên kể cả trục thực trừ một số hữu hạn điểm nằm trong nửa mặt phẳng trên và f(z) thỏa mãn bổ đề 1 HỌC VIÊN: TRẦN KHÁNH NHẬT 6
Ta vẽ một đường cong kín L bao gồm đoạn thẳng [-R,R] của trục th ực và nửa trên đường tròn |z| = R ,kí hiệu là C(R).Với chiều đi trên L là ngược chi ều kim đ ồng h ồ.Ch ọn R đủ lớn để L bao bọc tất cả các điểm a( hình bên). Từ ứng dụng lý thuyết thặng dư ta có = 2Res [f(z),a] Khi cho R và để ý tới bổ đề 1 Jordan ta thu được = 2Res [f(z),a] ( * ) * Vậy nếu f(z) =,trong đó P(z) và Q(z) là các đa th ức và b ậc c ủa Q(z) P(z) +2. Phương trình Q(z) = 0 có n ngiệm nằm trong nửa mặt ph ẳng trên thì ta có công thức (*) • Ví dụ 6: Tính tích phân I = Hàm f(z) = = có hai cực điểm là và = -i.Nhưng ch ỉ có cực đi ểm là n ằm trong nửa mặt phẳng trên vậy I = = Res[,i] mà Res[,i] = = Vậy I = = .= • Ví dụ 7: Tính tích phân I = Vì hàm f(z) = là hàm chẵn nên I = = = • Ví dụ 8: Tính tích phân I = Vì hàm f(z) = có hai cực điểm cấp 2 là và = -3i.Nhưng chỉ có cực điểm là nằm trong nửa mặt phẳng trên vậy I = = Res[,3i] Mà Res[,3i]= = == Vậy I = = = • Ví dụ 9 Tính tích phân I = Vì hàm f(z) = có hai cực điểm là và =1-.Nhưng chỉ có cực điểm là n ằm trong nửa mặt phẳng trên vậy I = = Res[,1+] Mà Res[,1+ ] = == Vậy I = = = • Ví dụ 10: I = Vì hàm f(z) = có 4 cực điểm là .Nhưng chỉ có 2 cực điểm là và nằm trong n ửa mặt phẳng trên vậy I==Res[,i] +Res[,2i] HỌC VIÊN: TRẦN KHÁNH NHẬT 7
Mà ta lại có * Res[,i] = = == * Res[,i] = = == Vậy I= = () = TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Võ Thanh Tùng – Toán lý nâng cao, Trường ĐHKH Huế 2. Võ Đăng Thảo – Hàm phức và toán tử Laplace, Trường ĐHKT TP.HCM 2000 3. Đậu Thế Cấp – Bài tập hàm biến phức, NXB Giáo dục TP. HCM 2000 4. Bùi Tuấn Khang – Giáo trình toán chuyên đề, Trường ĐHĐN 2004 HỌC VIÊN: TRẦN KHÁNH NHẬT 8