Lý thuyết và các dạng bài tập số phức

Chia sẻ: Xuan Trung | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

870
lượt xem 120
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lý thuyết và các dạng bài tập số phức dưới đây là tài liệu tổng hợp 2 phần: phần 1 lý thuyết về số phức, phần 2 các dạng bài tập về số phức theo từng dạng cụ thể. Ngoài ra tài liệu này còn chứa các đáp án hướng dẫn trả lời câu hỏi bài tập, giúp việc tham khảo ôn tập của các bạn được dễ dàng hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết và các dạng bài tập số phức

Học 24H SỐ PHỨC A. Lý thuyết: 1). Định nghĩa: Số phức có dạng: z = a + bi ( trong đó: a là phần thực, b là phần ảo) + Phần thực: Re ( z ) = a + Phần ảo: Im ( z ) = b 2). Các phép toán: Cho z1 = a1 + b1i ; z2 = a2 + b2i ( Với a1; a2 ; b1; b2 ﾡ ). Khí đó ta có: >z1 + z2 = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i >z1 − z2 = (a1 − a2 ) + (b1 − b2 )i > z1.z2 = ( a1a2 − b1b2 ) + (a1b2 + a2b1 )i z1 a1a2 − b1b2 a2b1 − a1b2 > = + 2 i ; ∀ z2 0. z2 a2 + b22 2 a2 + b22 3). Số phức liên hợp: Cho z = a + bi ; với a; b ﾡ . Khi đó: z = a − bi được gọi là số phức liên hợp với z . *). Tính chất: >z = z , ∀z � ; z = z , ∀z � ; z = − z , ∀z �ﾡﾡﾡ i >z + z = 2 Re( z ); z − z = 2 Im( z )i ; z.z = ( Re( z ) ) + ( Im( z ) ) 2 2 � � z z >z1 + z2 = z1 + z2 ; z1.z2 = z1.z2 ; �1 � 1 ∀ z1 ,( z2 = 0) ﾡ z �2 � z2 4). Mô đun của số phức: Cho z = a + bi . Khi đó mô đun của z là z = a 2 + b 2 *). Tính chất: 2 > z = z. z ; z = z ; z � z = 0 � z = 0 0, z1 z >∀z1 , z2 � : z1.z2 = z1 . z2 ; ﾡ = 1 , z2 �0 z2 z2 > z1 + z2 z1 + z2 , z1 − z2 z1 − z2 B. Các dạng bài tập của số phức: Dạng 1: Tìm mô đun, căn bậc hai của số phức, giải phương trình, hệ phương trình trên tập số phức: Phương phap: Cho số phức: z = a + bi , (a, b ﾡ ) . + Mô đun của số phức z là: z = a 2 + b 2 . + Gọi w = x + yi ,( x, y ﾡ ) là căn bậc hai của số phức z x2 − y 2 = a Ta có: w = z � w = z � ( x + yi ) = a + bi � 2 2 , giải hệ tìm x và y. 2 xy = b 1
Học 24H + Việc giải phương trình, hệ phương trình được giải tương tự như giải trên trường số thực, nhưng chú ý đến việc tìm căn bậc hai của số âm hoặc căn bậc hai của số phức. Bài 1: Tìm mô đun của số phức z = 1 + 4i + (1 − i )3 . Giải: Ta có: (1 − i )3 = −2 − 2i . Suy ra: z = −1 + 2i � z = (−1) 2 + 22 = 5 z1 z Bài 2: Cho số phức z1 = 3 − 5i ; z2 = 3 − i . Tính và 1 . z2 z2 Bài giải: Ta có: z1 = 3 − 5i = ( 3 − 5i)( 3+i ) = 8−4 3i = 2 − 3i z2 3 −i ( 3 − i) ( 3+i ) 4 z1 ( ) 2 Suy ra: = 22 + − 3 = 7 z2 Bài 3: Gọi z1; z2 là hai nghiệm phức của phương trình: z 2 + 2 z + 10 = 0 . Tính giá trị của 2 2 biểu thức A = z1 + z2 . Bài giải: Ta có: ∆ ' = 12 − 10 = −9 = 9i 2 . Suy ra phương trình có 2 nghiệm: z1 = −1 − 3i ; z2 = −1 + 3i 2 2 Do đó: A = z1 + z2 = (−1) 2 + (−3) 2 + (−1) 2 + 32 = 20 Dạng 1: Tìm phần thực, phần ảo của một số phức Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng Dạng 3: Giải phương trình trên trường số phức với hệ số thực Dạng 4: Các bài toán về mô đun số phức -------------------------****------------------------- Dạng 1: Tìm phần thực, phần ảo của một số phức Phương pháp: Sử dụng các phép toán về số phức, biến đổi số phức về dạng: z = a + bi + Phần thực: Re ( z ) = a + Phần ảo: Im ( z ) = b Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ Phương pháp: Sử dụng các phép toán về số phức, biến đổi một biểu thức phức tạp về số phức đơn giản: z = a + bi , hoặc một đẳng thức biểu diễn dạng đường cong trên mặt phẳng tọa độ. Lưu ý: Số phức z = a + bi được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ Oxy bởi điểm M ( a; b ) -------------------------------------------------- MỘT SỐ BÀI TẬP SỐ PHỨC QUA CÁC KY THI 2
Học 24H 1). Giải phương trình: 2 x 2 − 5 x + 4 = 0 trên ﾡ . (TN THPT 2006) 5 7 ĐS: x1,2 = i 4 4 2). Giải phương trình: x 2 − 4 x + 7 = 0 trên ﾡ . (TN THPT 2007) ĐS: x1,2 = 2 3i 3). Giải phương trình: x 2 − 6 x + 25 = 0 trên ﾡ . (TN THPT 2007) ĐS: x1,2 = 3 4i ( ) ( ) 2 2 4). Tìm giá trị của biểu thức: P = 1 + 3i + 1 − 3i (TN THPT 2008) . ĐS: P = −4 5). Giải phương trình: x − 2 x + 2 = 0 trên ﾡ . (TN THPT 2008) 2 ĐS: x1,2 = 1 i 6). Giải phương trình: 8 z 2 − 4 z + 1 = 0 trên ﾡ . (TN THPT 2009) 1 1 ĐS: z1,2 = i 4 4 7). Giải phương trình: 2 z 2 − iz + 1 = 0 trên ﾡ . (TN THPT 2009_NC) 1 ĐS: z1 = i; z2 = − i 2 8). Giải phương trình: 2 z 2 + 6 z + 5 = 0 trên ﾡ . (TN BTTH 2010) 3 1 ĐS: z1,2 = − i 2 2 9). Cho hai số phức: z1 = 1 + 2i ; z 2 = 2 − 3i . Xác định phần thực, phần ảo của số phức z1 − 2 z2 (TN THPT 2010) ĐS: Số phức z1 − 2 z2 có phần thực bằng −3 và phần ảo bằng 8. 10). Cho hai số phức: z1 = 2 + 5i ; z 2 = 3 − 4i . Xác định phần thực, phần ảo của số phức z1.z2 (TN THPT 2010_NC) ĐS: Số phức z1.z2 có phần thực bằng 26 và phần ảo bằng 7. 11) .Tìm phần thực, phần ảo và mô đun của số phức: z = (2 + 3i)(1 − i ) − 4i (TN BTTH 2012). ĐS: Re( z ) = 5; Im( z ) = −3; z = 34 12). Cho số phức: z = 3 − 2i . Xác định phần thực và phần ảo của số phức z 2 + z . (TN BTTH 2009). ĐS: Số phức z 2 + z có phần thực bằng 8 và phần ảo bằng –14 . 13). Cho số phức: z = (2 + 4i) + 2i (1 − 3i ) . Tìm số phức liên hợp và tính mô đun của số phức z. (TN BTTH 2011). ĐS: z = 8 − 6i và z = 10 14). Giải phương trình: (1 − i ) z + (2 − i) = 4 − 5i trên tập số phức. (TN THPT 2011_CB) ĐS: z = 3 − i 15). Giải phương trình: ( z − i ) + 4 = 0 trên tập số phức. (TN THPT 2011_NC) 2 ĐS: z1 = 3i; z2 = −i 25i 16). Tìm các số phức: 2z + z và , biết z = 3 − 4i . (TN THPT 2012_CB) z 3
Học 24H 25i ĐS: 2 z + z = 9 − 4i và = −4 + 3i z 1 + 9i 17). Tìm các căn bậc hai của số phức: z = − 5i . (TN THPT 2012_NC) 1− i ĐS: Các căn bậc hai của z là: −2i ; 2i 18). Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z + 2 z + 10 = 0 .2 2 2 Tính giá trị của biểu thức: A = z1 + z2 (ĐH KA-2009) ĐS: A = 20 19). Tìm số phức z thỏa mãn z − (2 + i) = 10 và z.z = 25 (ĐH KB-2009) ĐS: z = 3 + 4i hoặc z = 5 20). Trong mp (Oxy), tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: z − (3 − 4i) = 2 (ĐH KD-2009) ĐS: Đường tròn tâm I (3; −4) , bán kính R = 2 21). Cho số phức z thỏa mãn: (1 + i ) (2 − i ) z = 8 + i + (1 + 2i ) z . 2 Xác định phần thực, phần ảo của số phức z. (CĐ Khối A,B,D-2009). ĐS: Re( z ) = −2; Im( z ) = 5 4z − 3 − 7i 22). Giải phương trình: = z − 2i trên ﾡ . (CĐ Khối A,B,D-2009). z −i ĐS: z1 = 1 + 2i ; z2 = 3 + i ( ) ( 1 − 2i ) . (ĐH KA-2010). 2 23). Tìm phần ảo của số phức z, biết: z = 2 +i ĐS: Phần ảo: − 2 ( 1 − 3i ) 3 24). Cho số phức z thỏa mãn: z = . Tìm mô đun của z + iz (ĐH KA-2010). 1− i ĐS: z + iz = 8 2 25). Trong mp (Oxy), tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z − i = (1 + i ) z (ĐH KB-2010). ĐS: Đường tròn x 2 + ( y + 1) 2 = 2 26). Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: z = 2 và z 2 là số thuần ảo. (ĐH KD-2010). ĐS: z1 = 1 i ; z2 = −1 i 27). Cho số phức z thỏa mãn: (2 − 3i) z + (4 + i) z = −(1 + 3i) 2 . Xác định phần thực , phần ảo của z. (CĐ Khối A,B,D-2010). ĐS: Phần thực bằng –2 , phần ảo bằng 5. 28). Giải phương trình: z − (1 + i) z + 6 + 3i = 0 , trên ﾡ . (CĐ Khối A,B,D-2010). 2 ĐS: z1 = 1 − 2i ; z2 = 3i 2 29). Tìm tất cả các số phức z, biết: z 2 = z + z . (ĐH KA-2011). 1 1 1 1 ĐS: z = 0 �z = − + i �z = − − i 2 2 2 2 30). Tính mô đun của số phức z, biết: (2 z − 1)(1 + i ) + ( z + 1)(1 − i) = 2 − 2i . (ĐH KA-2011). 4
Học 24H 2 ĐS: z = 3 5 + 3i 31). Tìm số phức z, biết: z − − 1 = 0 . (ĐH KB-2011). z ĐS: z = −1 − i 3 �z = 2 − i 3 3 �+ i 3 � 1 32). Tìm phần thực, phần ảo của số phức z = � �. (ĐH KB-2011). � 1+ i � ĐS: Phần thực bằng 2, phần ảo bằng 2. 33). Tìm số phức z, biết: z − (2 + 3i ) z = 1 − 9i . (ĐH KD-2011). ĐS: z = 2 − i 34). Cho số phức z thỏa man: (1 + 2i) 2 z + z = 4i − 20 . Tính mô đun của z. (CĐ Khối A,B,D- 2010). ĐS: z = 5 35). Cho số phức z thỏa mãn: z − 2(1 + i ) z + 2i = 0 . 2 1 Tìm phần thực, phần ảo của .(CĐ Khối A,B,D-2011). z �� 1 1 �� 1 1 ĐS: Re � � ; Im � � − = = �� 2 z �� 2 z 36). Cho số phức z thỏa mãn: ( 5 z +i ) = 2 − i . Tính mô đun 1 + z + z 2 (ĐH KA-2012). z +i ĐS: 1 + z + z = 13 2 z (1 + 2i) 37). Cho số phức z thỏa mãn: (2 + i) z + = 7 + 8i . 1+ i Tìm mô đun số phức z + 1 + i . (ĐH KD-2012). ĐS: z + 1 + i = 5 38). Giải phương trình: z + 3(1 + i ) z + 5i = 0 , trên tập số phức. (ĐH KD-2012). 2 ĐS: z = −1 − 2i �z = −2 − i 2−i 39). Cho số phức z thỏa mãn (1 − 2i ) − = (3 − i ) z . Tìm tọa độ biểu diễn của z trong 1+ i mặt phẳng tọa độ Oxy.(CĐ Khối A,B,D-2012). ĐS: Điểm tọa độ biểu diễn của z là � 7� 1 M� ; � � 10 � 10 40). Gọi z1 ; z2 là hai nghiệm phức của phương trình: z 2 − 2z + 1 + 2i = 0 . Tính z1 + z2 . (CĐ Khối A,B,D-2012). ĐS: z1 + z2 = 1 + 5 5