Một số phƣơng pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
- 1 -
SỞ GIÁO DỤC &
ð
ÀO TẠO
ð
Ồ
NG NAI
Trƣờng THPT BC Lê Hồng Phong
Giáo viên thực hiện
NGUYỄN TẤT THU
Năm học: 2008 – 2009
Một số phƣơng pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
- 2 -
MỤC LỤC
MỤC LỤC.................................................................................................................................... 1
LỜI MỞ
ð
ẦU.............................................................................................................................. 3
I. SỬ DỤNG CSC – CSN
ðỂ
XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ DẠNG
DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI
ð
ẶC BIỆT. ............................................................ 4
II. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƢỢNG GIÁC
ðỂ
XÁC
ð
Ị
NH CTTQ CỦA DÃY SỐ........... 24
III. ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI
TOÁN VỀ DÃY SỐ - TỔ HỢP............................................................................................... 30
BÀI TẬP ÁP DỤNG ................................................................................................................. 41
KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ ...................................................................................................... 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................................ 46
Một số phƣơng pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
- 3 -
LỜI MỞ
ð
ẦU
Trong chƣơng trình toán học THPT các bài toán liên quan ñến dãy số là một phần
quan trọng của ñại số và giải tích lớp 11 , học sinh thƣờng gặp nhiều khó khăn khi giải
các bài toán liên qua ñến dãy số và ñặc biệt là bài toán xác ñịnh công thức số hạng tổng
quát của dãy số . Hơn nữa ở một số lớp bài toán khi ñã xác ñịnh ñƣợc công thức tổng
quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần nhƣ ñƣợc giải quyết. Do ñó xác ñịnh công
thức tổng quát của dãy số chiếm một vị trí nhất ñịnh trong các bài toán dãy số.
Chuyên ñề “Một số phƣơng pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số ”
nhằm chia sẻ với các bạn ñồng nghiệp một số kinh nghiệm giải bài toán xác ñịnh CTTQ
của dãy số mà bản thân ñúc rút ñƣợc trong quá trình học tập và giảng dạy.
Nội dung của chuyên ñề ñƣợc chia làm ba mục :
I: Sử dụng CSC – CSN ñể xây dựng phƣơng pháp tìm CTTQ của một số dạng dãy số
có dạng công thức truy hồi ñặc biệt.
II: Sử dụng phƣơng pháp thế lƣợng giác ñể xác ñịnh CTTQ của dãy số
III: Ứng dụng của bài toán xác ñịnh CTTQ của dãy số vào giải một số bài toán về
dãy số - tổ hợp .
Một số kết quả trong chuyên ñề này ñã có ở một số sách tham khảo về dãy số, tuy
nhiên trong chuyên ñề các kết quả ñó ñƣợc xây dựng một cách tự nhiên hơn và ñƣợc sắp
xếp từ ñơn giản ñến phức tạp giúp các em học sinh nắm bắt kiến thức dễ dàng hơn và
phát triển tƣ duy cho các em học sinh.
Trong quá trình viết chuyên ñề, chúng tôi nhận ñƣợc sự ñộng viên, giúp ñỡ nhiệt
thành của BGH và quý thầy cô tổ Toán Trƣờng THPT BC Lê Hồng Phong. Chúng tôi
xin ñƣợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc.
Vì năng lực và thời gian có nhiều hạn chế nên ở chuyên ñề sẽ có những thiếu sót. Rất
mong quý Thầy – Cô và các bạn ñồng nghiệp thông cảm và góp ý ñể chuyên ñề ñƣợc tốt
hơn.
- 4 -
Một số phƣơng pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP XÁC
ð
Ị
NH
CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY S
Ố
I. SỬ DỤNG CSC – CSN
ðỂ
XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT S
Ố
DẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI
ð
ẶC BI
Ệ
T.
Trong mục này chúng tôi xây dựng phƣơng pháp xác ñịnh CTTQ của một số dạng dãy
số có công thức truy hồi dạng ñặc biệt. Phƣơng pháp này ñƣợc xây dựng dựa trên
các kết quả ñã biết về CSN – CSC , kết hợp với phƣơng pháp chọn thích hợp. Trƣớc hết
chúng ta nhắc lại một số kết quả ñã biết về CSN – CSC .
1. Số hạng tổng quát của cấp số cộng và cấp số nhân
1.1: Số hạng tổng quát của cấp số cộng
ð
ịnh nghĩa: Dãy số
(u
n
)
có tính chất un
gọi là cấp số cộng .
un 1 d n 2 , d là số thực không ñổi
d : gọi là công sai của CSC; u1 : gọi số hạng ñầu, un gọi là số hạng tổng quát của cấp số
ð
ịnh lí 1: Cho CSC
(u
n
)
. Ta có : un u1
(n
1)d
(1).
ð
ịnh lí 2: Gọi Sn là tổng n số hạng ñầu của CSC
(u
n
)
có công sai d. Ta có:
n
S
[
2
u
n 2 1 (n 1)d
]
(2).
1. 2: Số hạng tổng quát của cấp số nhân
ð
ịnh nghĩa: Dãy số
(u
n
)
có tính chất un 1
bội q .
q.un n ℕ * gọi là cấp số nhân công
n 1
ð
ịnh lí 3: Cho CSN
(u
n
)
có công bội q . Ta có: un u1q (3).
ð
ịnh lí 4: Gọi Sn là tổng n số hạng ñầu của CSN
(u
n
)
có công bội q . Ta có:
1 - qn
S u (4).
n 1 1 -
q
- 5 -
Một số phƣơng pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
2. Áp dụng CSC – CSN ñể xác ñịnh CTTQ của một số dạng dãy số ñặc biệt
Ví dụ 1.1: Xác ñịnh số hạng tổng quát của dãy số
(u
n
)
ñƣợc xác ñịnh bởi:
Giải:
u1 1, un un 1 2 n 2 .
Ta thấy dãy
(u
n
)
là một CSC có công sai d 2 . Áp dụng kết quả (1) ta có:
un 1 2
(
n
1)
2n 3 .
Ví dụ 1.2: Xác ñịnh số hạng tổng quát của dãy số
(u
n
)
ñƣợc xác ñịnh bởi:
Giải:
u1 3, un 2un 1 n 2 .
n 1
Ta thấy dãy
(u
n
)
là một CSN có công bội q 2 . Ta có:un 3.2 .
Ví dụ 1.3: Xác ñịnh số hạng tổng quát của dãy
(u
n
)
ñƣợc xác ñịnh bởi:
Giải:
u1 2, un 3un 1 1 n 2 .
Trong bài toán này chúng ta gặp khó khăn vì dãy
(u
n
)
không phải là CSC hay CSN! Ta
thấy dãy
(u
n
)
không phải là CSN vì xuất hiện hằng số 1 ở VT. Ta tìm cách làm mất
1 ñi và chuyển dãy số về CSN.
Ta có: 1 3 1 nên ta viết công thức truy hồi của dãy nhƣ sau:
2 2
1 3
un 2 3un 1 2
3(un 1 1) (1).
2
1 5
ð
ặt vn u v
n 2 1 2 và vn 3vn 1 n 2 . Dãy (vn ) là CSN công bội q 3
v v .q
n 1 5 .3n
1 . Vậy u v 1 5 .3n 1
n 1, 2, ..., ...
n 1 2 n n 2 2 2
Nhận xét: Mẫu chốt ở cách làm trên là ta phân tích 1 3 1 ñể chuyển công thức
2 2
truy hồi của dãy về (1), từ ñó ta ñặt dãy phụ ñể chuyển về dãy (vn ) là một CSN. Tuy
nhiên việc làm trên có vẻ không tự nhiên lắm! Làm thế nào ta biết phân tích
1 3 1 ? Ta có thể làm nhƣ sau:
2 2