Khóa luận tốt nghiệp đại học: Ứng dụng tích phân vào bài toán cực trị

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:67

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khóa luận tốt nghiệp đại học "Ứng dụng tích phân vào bài toán cực trị" được nghiên cứu với mục tiêu: Làm rõ mối quan hệ giữa tích phân với bài toán cực trị, mà cụ thể là việc ứng dụng được tích phân vào giải quyết các bài toán cực trị trong toán học, sau đó mới mở rộng ra ở thực tiễn đời sống. Muốn làm được điều đó trước tiên phải xây dựng được hệ thống kiến thức về tích phân một cách vững chắc thông qua các định nghĩa, tính chất, định lý, mệnh đề.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Ứng dụng tích phân vào bài toán cực trị

UBND TỈNH QUẢNG NAM ̉ TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUANG NAM KHOA TOÁN ---------- MAI THỊ THANH THẢO ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀO GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 4 năm 2017
UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ Sinh viên thực hiện MAI THỊ THANH THẢO MSSV: 2113010148 CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN KHÓA: 2013 – 2017 Cán bộ hướng dẫn ThS. TRẦN ANH DŨNG MSCB: T34-15111-14099 Quảng Nam, tháng 4 năm 2017
LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sự tri ân đến các thầy cô khoa Toán cùng với toàn thể thầy cô trường Đại học Quảng Nam đã cùng với tri thức, tâm huyết của mình truyền đạt cho tôi vốn kiến thức quý báu trong suốt 4 năm học, qua đó tôi có được nền tảng kiến thức thực hiện khóa luận này. Đặc biệt tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn tôi là ThS Trần Anh Dũng, người đã tận tình chỉ bảo giúp đỡ và tạo điều kiện về nhiều mặt để tôi có thể hoàn thành khóa luận của mình. Do kiến thức và thời gian còn hạn hẹp nên không tránh khỏi những sai sót trong cách hiểu, lỗi trình bày… Tôi rất mong muốn nhận được nhiều sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô để khóa luận của tôi hoàn thiện hơn và đạt được kết quả tốt. Xin chúc tất cả thầy cô sức khỏe dồi dào và hạnh phúc trong cuộc sống. Tôi xin chân thành cảm ơn! Quảng Nam, ngày 25 tháng 04 năm 2017 Sinh viên thực hiện Mai Thị Thanh Thảo
MỤC LỤC MỞ ĐẦU......................................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................................... 1 2. Mục tiêu của đề tài ...................................................................................................... 1 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ............................................................................... 2 4. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................................. 2 5. Đóng góp của đề tài ..................................................................................................... 2 6. Cấu trúc đề tài .............................................................................................................. 2 CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ..................................................... 3 1.1. Tích phân xác định ................................................................................................... 3 1.1.1. Định nghĩa ............................................................................................................. 3 1.1.2. Điều kiện khả tích. Lớp các hàm khả tích ............................................................. 4 b 1.1.2.1. Điều kiện khả tích ( Điều kiện để tồn tại tích phân I   f ( x ) dx ) ................... 4 a 1.1.2.2. Lớp các hàm khả tích ......................................................................................... 7 1.1.3. Liên hệ giữa tích phân xác định và nguyên hàm ................................................... 9 1.1.3.1. Liên hệ giữa tích phân xác định và nguyên hàm ................................................ 9 1.1.3.2. Công thức Newton – Leibniz ............................................................................. 9 1.2. Một số tính chất của tích phân................................................................................ 10 1.2.1. Ý nghĩa hình học của tích phân ........................................................................... 10 1.2.1.1. Tính diện tích hình phẳng ................................................................................. 10 1.2.1.2. Tính thể tích vật thể trong không gian ............................................................. 13 1.2.1.3. Tính thể tích vật thể tròn xoay.......................................................................... 14 1.2.2. Các tính chất của tích phân.................................................................................. 15 1.3. Một số phương pháp tính tích phân xác định ......................................................... 16 1.3.1. Sử dụng các tính chất của một số hàm thường gặp và tính chất của tích phân ... 16 1.3.2. Phương pháp đổi biến .......................................................................................... 16 1.3.3. Phương pháp tính tích phân từng phần – công thức truy hồi .............................. 17 1.3.4. Phương pháp lượng giác hóa ............................................................................... 18 1.3.5. Phương pháp ứng dụng tính chẵn lẻ của hàm số ................................................. 19 1.3.6. Phương pháp ứng dụng tính chất tuần hoàn của hàm số ..................................... 20 1.3.7. Sử dụng các tính chất đặc biệt khác .................................................................... 20 1.4. Giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số ......................... 21 1.4.1. Định nghĩa ........................................................................................................... 21 1.4.2. Phương pháp cơ bản tìm GTLN, GTNN của hàm số .......................................... 22 1.4.2.1. Phương pháp biến đổi đại số ............................................................................ 22
1.4.2.2. Phương pháp dùng đạo hàm ............................................................................. 22 1.4.2.3. Phương pháp dùng bất đẳng thức ..................................................................... 23 1.4.2.4. Phương pháp lượng giác hóa ............................................................................ 25 1.5. Ứng dụng tích phân vào một số bài toán cực trị .................................................... 26 1.5.1. Định lý I ............................................................................................................... 26 1.5.2. Định lý II ............................................................................................................. 28 1.5.3. Định lý III ............................................................................................................ 29 CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG TICH PHAN GIẢI CAC BAI TOAN CỰC TRỊ ....... 31 2.1. Dạng 1: Những bài toán áp dụng định lý I ............................................................. 31 2.2. Dạng 2: Những bài toán giải dựa vào tính chất của tích phân ............................... 37 2.3. Dạng 3: Những bài toán áp dụng định lý II ............................................................ 45 2.4. Dạng 4: Những bài toán áp dụng định lý III .......................................................... 52 Bài tập đề xuất ............................................................................................................... 58 KẾT LUẬN .................................................................................................................. 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................... 60 PHỤ LỤC ..................................................................................................................... 61
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Nhìn lại các giai đoạn phát triển của toán học, có thể nói việc ra đời phép tính tích phân là một trong những thành tựu quan trọng nhất của toán học bởi khả năng giải quyết những vấn đề khoa học và thực tiễn đời sống của nó. Trong chương trình toán 12, tích phân được đưa vào giảng dạy, đây là một khái niệm cơ bản, quan trọng của giải tích. Theo giáo sư Nguyễn Bá Kim: “Nguyên hàm, tích phân có mặt trong chương trình phổ thông chỉ với tư cách là những kiến thức thực hành, là công cụ tính toán để sử dụng trong hình học, vật lý và kĩ thuật”. Tuy nhiên tích phân là nội dung không những mới đối với học sinh mà còn là nội dung khó, trừu tượng. Do đó việc ứng dụng tích phân vào trong đời sống thực tế là chưa đủ rộng, chưa xứng với vai trò của nó trong toán học. Để làm cho tích phân thực sự trở nên hữu ích hơn cần xác định các mối quan hệ giữa nó với những kiến thức khác. Trong nội bộ toán học, có thể xem xét mối quan hệ giữa tích phân với các vấn đề đẳng thức, bất đẳng thức, giới hạn, việc tồn tại nghiệm việc tính thể tích, diện tích…. và cả trong những bài toán về cực trị. Bài toán cực trị thuộc vào một trong những dạng toán gần gũi với ứng dụng thực tế nhất. Đó là những yêu cầu về đường đi dài nhất, ngắn nhất, hay yêu cầu về tính góc, thời gian, chi phí, lợi nhuận nhiều nhất, ít nhất… Chính vì vậy, bài toán cực trị xứng đáng có được vai trò quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Đây là dạng toán khó nhưng hay và lôi cuốn học sinh. Trên phương diện phương pháp, ngoài phương pháp dùng bất đẳng thức thì phương pháp giải tích cũng là một cách tiếp cận lời giải bài toán cực trị khá mạnh mẽ. Dù vậy nhưng trong chương trình toán trung học phổ thông chủ yếu chỉ thấy dùng phép tính đạo hàm để giải quyết bài toán cực trị mà không hề nhắc đến việc dùng phép tính tích phân. Liệu tích phân có thể làm tốt được nhiệm vụ của mình đối với những bài toán cực trị hay không, em xin chọn đề tài: “Ứng dụng tích phân vào bài toán cực trị” để nghiên cứu trong khóa luận của mình. Đồng thời qua đó cũng củng cố, hệ thống lại định nghĩa, tính chất cơ bản của tích phân và một số kiến thức khác liên quan… 2. Mục tiêu của đề tài Mục tiêu của đề tài là làm rõ mối quan hệ giữa tích phân với bài toán cực trị, mà cụ thể là việc ứng dụng được tích phân vào giải quyết các bài toán cực trị trong 1
toán học, sau đó mới mở rộng ra ở thực tiễn đời sống. Muốn làm được điều đó trước tiên phải xây dựng được hệ thống kiến thức về tích phân một cách vững chắc thông qua các định nghĩa, tính chất, định lý, mệnh đề…. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Về đối tượng nghiên cứu: tích phân – các tính chất, định lý của tích phân trong mối quan hệ với bài toán cực trị. Về phạm vi nghiên cứu: nghiên cứu tích phân Reimann trong việc ứng dụng để giải các bài toán cực trị ở chương trình toán trung học phổ thông. 4. Phương pháp nghiên cứu Khóa luận sử dụng các phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu đọc tài liệu - Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết - Phương pháp phân loại và hệ thống hóa lý thuyết - Phương pháp sơ đồ - Phương pháp đặt vấn đề - Phương pháp so sánh 5. Đóng góp của đề tài Qua khóa luận này có thể: - Hệ thống lại được các kiến thức liên quan đến tích phân như định nghĩa, tính chất, các định lý, … và phương pháp tính tích phân - Trình bày được ứng dụng cơ bản của tích phân - Hệ thống lại được kiến thức về bài toán cực trị và các cách giải thường sử dụng. - Cung cấp một công cụ mới để giải các bài toán cực trị đó là việc ứng dụng tích phân. 6. Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phụ lục thì khóa luận có thêm 2 chương: Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2. Ứng dụng tích phân giải các bài toán cực trị 2
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Tích phân xác định Cho hàm f ( x) xác định trên  a ; b  . Chia đoạn  a ; b  một cách tùy ý thành n đoạn nhỏ bởi các điểm a  x0  x1  ...  xn  b . Đặt xi  xi  xi 1 , với i  1, n . Và d  max xi . Ta gọi bộ các điểm T   xi  là một phân hoạch của đoạn  a ; b  và đại lượng là đường kính phân hoạch. Trên mỗi đoạn  xi 1 ; xi  lấy điểm  i   xi 1 ; xi  tùy ý, tính giá trị f ( i ) và lập tổng : n In   f ( )  x . i 1 i i Ta thấy tổng I n không phụ thuộc vào phân hạch T   xi  và vào cách chọn điểm  i và được gọi là tổng tích phân Reimann của hàm f ( x) theo phân hoạch  xi  của đoạn  a; b  . 1.1.1. Định nghĩa n Nếu tổng tích phân I n   f (i )xi có giới hạn khi d  0 không phụ thuộc i 1 vào phân hoạch  xi  của đoạn  a ; b  và cách chọn các điểm  i thì giới hạn I được gọi là tích phân xác định (theo định nghĩa Reimann) của hàm f ( x) trên đoạn  a ; b  và b được kí hiệu: I   f ( x ) dx . a b  n  Như vậy, theo định nghĩa ta có : I   f ( x)dx  lim   f (i )xi  . a d 0  i 1  Trong trường hợp này, hàm f ( x) được gọi là khả tích theo Reimann trên đoạn  a; b  và x   a; b  gọi là biến lấy tích phân, số là cận dưới và là cận trên của tích phân. 2 Ví dụ: Dùng định nghĩa để tính tích phân : I   x 2 dx 1 Giải: Với n  * xét phân hạch chia đoạn 1;2 thành n điểm chia. i 1 x0  1 ; xi  1  ; xn  2 ( với i  1; n ). Ta có xi  xi  xi 1  . n n 2 i2 f (i )  f ( xi )  xi 2   1    1   2 . i 2i    n n n 3
n n n  2i i 2  1 n  1 2i i 2  Lập tổng:  i 1 f ( i ) xi   f ( xi ) xi    1   2 .     2  3  i 1 i 1  n n  n i 1  n n n  n n n 1 2 1 2 1    2 i  3  i 2  1  2 (1  2  ...  n)  3 12  22  ...  n 2  i 1 n n i 1 n i 1 n n 2 n ( n  1) 1  n ( n  1)(2n  1)  =1+ 2 + 3 . n 2 n  6   n   n   2 n(n  1) 1 n(n  1)(2n  1)  I  lim   f (i )xi   lim   f (i )xi   lim 1  2 .  3.  d 0  i 1  n  i 1  n  n 2 n 6  1 7 =1  1   . 3 3 2 7 Vậy I   x 2 dx  . 1 3 Chú ý: b  Định nghĩa tích phân I   f ( x ) dx được phát biểu với a  b . Trong trường a hợp a  b để phù hợp với việc xậy dựng định nghĩa trên, ta định nghĩa: a b a I   f ( x)dx  0 ; I   f ( x)dx    f ( x)dx . a a b b  Từ định nghĩa tích phân, ta thấy  f ( x)dx a chỉ phụ thuộc vào f và đoạn  a; b  chứ không phụ thuộc vào biến lấy tích phân. Nói cách khác, ta có tính chất : b b b  f ( x)dx   f (u )du   f (t )dt … a a a 1.1.2. Điều kiện khả tích. Lớp các hàm khả tích b 1.1.2.1. Điều kiện khả tích ( Điều kiện để tồn tại tích phân I   f ( x ) dx ) a  Điều kiện cần Định lý 1: Nếu f khả tích trên đoạn  a ; b  thì f bị chặn trên đoạn  a ; b  , tức tồn tại hằng số M  0 sao cho : f ( x)  M , x   a; b  . Chứng minh: Giả sử ngược lại rằng hàm f không bị chặn trên đoạn  a ; b  . Vì f không bị chặn trên đoạn  a ; b  nên với mọi điểm bất kỳ của đoạn  a ; b  hàm không bị chặn ít nhất trên một đoạn con nào đó. Giả sử nó không bị chặn trên 4
 x0 ; x1  . Khi đó các đoạn còn lại  x1 ; x2  ,  x2 ; x3  , …,  xn1; xn  ta chọn các điểm tùy ý n  i và kí hiệu :  '   f ( i ) xi . i2 Do f không bị chặn trên đoạn  x0 ; x1  nên với mọi , ta chọn được 1   x0 ; x1  sao cho : f ( 1 )  'M .  x1 Khi đó: f (1 ) x1   '  M Và tổng tích phân tương ứng : I n  f (1 )x1   '  f (1 ) x1   '  M Do đó tổng tích phân I n không có giới hạn hữu hạn, điều này nghĩa là tích phân xác định của f không tồn tại (trái giả thiết). Hay nếu f khả tích trên đoạn  a ; b  thì f bị chặn trên đoạn  a ; b  . Nhận xét: Điều kiện f bị chặn trên đoạn  a ; b  chỉ là điều kiện cần chứ không phải là điều kiện đủ của tính khả vi của f trên đoạn  a; b   . Nghĩa là nếu f khả tích trên đoạn  a ; b  thì f bị chặn trên đoạn  a ; b  . Điều ngược lại chưa chắc. Ví dụ sau chứng tỏ điều đó: 1 (x  ) Xét hàm Dirichlet f :  cho bởi f ( x )   . 0 (x  \ ) f ( x) bị chặn trên đoạn bất kì  a; b   Nhưng f ( x) không khả tích trên  a; b  . Thật vậy, cho p là một phân hạch bất kì trên  a ; b  và   1 ;  2 ;...;  n  là một 1 i   cách chọn ứng với p . Khi đó : f (i )   . 0 i  \   n n   f (i )xi   xi  b  a  i 1 i 1  i    f ( x)   n  f ( ) x  0  i i  i  \   i 1 n b  a  i    lim  f (i )xi   n i 1  0   i  \  n  lim  f (i )xi không tồn tại. n i 1  f ( x) không khả tích. 5
 Tổng Darboux Giả sử f xác định và bị chặn trên  a ; b  . Khi đó tồn tại các hằng số m, M sao cho x   a; b  thì : m  f ( x)  M . Ta xét phân hoạch điểm T   xi  của đoạn  a ; b  . Kí hiệu : mi  inf f ( x ) ; M i  sup f ( x ) . x xi 1 ; xi  x x i  1 ; x i  i  M i  mi gọi là dao động của f trên đoạn  xi 1 ; xi  . Do f bị chặn trên  a ; b  nên các số mi ; M i đều hữu hạn. n n Lập các tổng : S n   m . x i 1 i i ; S n   M i . xi . i 1 S n ; S n lần lượt là tổng tích phân Darboux dưới và tổng tích phân Darboux trên của hàm f trên  a ; b  ứng với phân hoạch của đoạn  a ; b  . Ta có: n Sn  Sn    x i 1 i i Chú ý: Nếu  xi  là một phân hoạch của đoạn  a ; b  ta luôn có bất đẳng thức sau: Sn  In  Sn  Điều kiện cần và đủ của khả tích Định lý 2: Giả sử f :  a; b   là một hàm bị chặn. Điều kiện cần và đủ để f khả tích trên  a ; b  với d  max xi ( i  1; n ) là : lim  S n  S n   lim   i  xi  0 . n d 0 d 0 i 1 Nghĩa là :   0,    ( x)  0 sao cho d   thì S n  S n   không phụ thuộc vào cách chọn  i   xi 1 ; xi  . Chứng minh: i. Chứng minh điều kiện cần b Giả sử f khả tích trên đoạn  a ; b  , tức tồn tại tích phân I   f ( x ) dx  lim I n . d 0 a Khi đó với   0 tùy ý, tồn tại   0 sao cho:  hay   (  T   x i  ). I  In  I   In  I  2 2 2 6
Vì Sn  I n  Sn nên : I    S n  I   và I    S n  I   . 2 2 2 2 Suy ra : S n  I   ; S n  I   . 2 2  Do đó : Sn  Sn  Sn  I  Sn  I  2.    lim Sn  Sn  0 . 2 d 0 ii. Chứng minh điều kiện đủ d 0   Giả sử ta có lim S n  S n  0 , khi đó ta suy ra được : lim S n  lim Sn . d 0 d 0 Suy ra :   (vì I*  sup S n và I * =inf S n ).   Đặt . Ta nhận được : Sn  I  Sn . Mặc khác ta có bất đẳng thức Sn  I n  Sn do đó Sn  Sn  I n  I  Sn  Sn .   Hay  S n  S n  I n  I  S n  S n  0  I n  I  Sn  Sn  0 (khi d  0 ). Do đó I n  I  0 hay I n  I nên lim I n  lim I  I . d 0 d 0 Vậy f khả tích trên đoạn  a ; b  . 1.1.2.2. Lớp các hàm khả tích Định lý 3: Nếu f liên tục trên  a ; b  thì f khả tích trên  a ; b  . Chứng minh: Vì f liên tục trên  a ; b  nên theo định lý Cantor thì f liên tục đều trên  a ; b  . Như vậy ,   0,   0 với hai điểm x, x ' bất kì của đoạn  a; b  mà x  x '   thì:  f ( x )  f ( x ')  (*). 2(b  a ) T   xi  là một phân hoạch của đoạn  a ; b  sao cho d  max xi   ( i  1, n ). n  n  Từ (*) ta có: Sn  Sn   i xi   x i   i 1 2(b  a) i 1 2  Vậy suy ra: lim S n  S n  0 . d 0  Theo định lý điều kiện cần và đủ của khả tích, ta có f khả tích trên  a ; b  . 7
Định lý 4: Giả sử f là hàm bị chặn trên  a; b  . Nếu f chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn thì f khả tích trên  a; b  . Chứng minh: Ta chứng minh với trường hợp f chỉ có một điểm gián đoạn x0   a; b  . Trường hợp f có hữu hạn điểm gián đoạn cũng chứng minh tương tự. Gọi M  sup f ( x) và m  inf f ( x) với x   a; b  , M  m .    0 bất kì, ta có bao điểm x0 bởi đoạn con  c; d  sao cho :  d e   1 . 3( M  m) Vì f liên tục trên  a; c  và  d ; b  nên theo định lý 1 của các lớp hàm khả tích ta có f khả tích trên các đoạn này. Như vậy 1 ,  2  0 sao cho với T1   x1i  và  T2   x2i  mà d1  max x1i  1 ; d 2  max x2 i   2 thì ta có : S n (T1 )  S n (T1 )  , 3  S n (T2 )  S n (T2 )  . 3   min(1 ;  2 ) , khi đó T   xi  sao cho d  max xi   , ta bổ sung vào các điểm chia cắt c, d và ta gọi phép phân hạch này là T và d  max xi   . Và cảm sinh ra 2 phép phân hạch theo thứ tự của các đoạn  a; c  và  d ; b  với d  max x1i   và d  max x2 i   . Khi đó: . . . . a c d b n    Sn  Sn  i xi  Sn (T1 )  Sn (T1 )  Sn (T2 )  Sn (T2 )  (M  m)(d  c)     . i 1 3 3 3 Vậy f khả tích trên  a; b  . Định lý 5: Nếu f đơn điệu trên  a; b  thì f khả tích trên  a; b  . Chứng minh: Giả sử f đơn điệu tăng trên  a; b  và f ( a )  f (b)  Cho   0 bất kì, lấy T   xi  sao cho d  max xi thỏa mãn: d  . f (b)  f (a) 8
n n n  Sn  Sn  i xi   f ( xi )  f ( xi 1 )xi   f ( xi )  f ( xi 1 ).  . i 1 i 1 i 1 f (b)  f (a) Vậy f khả tích trên  a; b  . 1.1.3. Liên hệ giữa tích phân xác định và nguyên hàm 1.1.3.1. Liên hệ giữa tích phân xác định và nguyên hàm Định lý 1: x Nếu f liên tục trên  a; b  , x   a; b  ta đặt : F ( x )   f (t ) dt . Khi đó F khả a ' vi trên  a; b  và F '( x )   f ( t ) d t   f ( x ) , x   a; b  . x    a  Chứng minh: Lấy x   a; b  tùy ý, xét h  0 đủ bé sao cho x  h   a; b  .  xh x  Khi đó ta có : F '( x )  lim F ( x  h )  F ( x )  lim 1   f ( t ) dt   f ( t ) dt  h0 h h0 h a a   1 xh  1  lim   f (t ) dt   lim f ( c ) h  f ( x ) . h 0 h h0 h  a  (Ta có được vì f liên tục trên  a; b  nên theo định lý về giá trị trung bình thì b xh c   a; b  thỏa mãn :  f ( x ) dx  f (c )(b  a ) . Do đó ta có :  f (t ) dt  f (c) h ). a a Suy ra : F '( x)  f ( x) . Vậy f khả vi trên  a; b  . 1.1.3.2. Công thức Newton – Leibniz Định lý 2: Giả sử hàm f liên tục trên  a; b  , và F là một nguyên hàm của f trên  a; b  . b Khi đó ta có công thức :  f ( x ) dx  F (b )  F ( a ) : F ( x ) b . a a Chứng minh: b Đặt  ( x )   f ( x ) dx . a Từ định lý 1 về liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm ta có  ( x) là một nguyên hàm của f trên  a; b  nên c  a; b ( c là hằng số) sao cho: F ( x)   ( x)  c , x   a; b . a Khi đó  ( x)  F ( x)  c   (a )   f (t )dt  0  F (a)  c  c   F ( a) . a 9
b b  (b )   a f (t ) dt   f ( x ) dx F (b )  c  F (b )  F ( a ) . a b Vậy  f ( x ) dx  F (b )  F ( a ) : F ( x ) b a . a 1.2. Một số tính chất của tích phân 1.2.1. Ý nghĩa hình học của tích phân 1.2.1.1. Tính diện tích hình phẳng Cho D  2 là một miền bị chặn được giới hạn bởi một cung đơn kín. Bài toán: Tính diện tích S của miền phẳng giới hạn bởi đường cong y  f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x  a ; x  b (xét f ( x)  0 ). Chia S thành n miền con S1 , S 2 ,…, S n . Xấp xỉ mỗi miền con bằng các hình chữ nhật. Trên mỗi điểm con đó lấy một điểm tùy ý như hình vẽ: 10
Khi đó ta có: S  S1  S 2  ...  S n . n Hay: S f ( x1 )( x1  x0 )  f ( x2 )( x2  x1 )  ...  f ( xn )( xn  xn1 ) * * *  f ( x )x i 1 * i i  n  Nếu giới hạn I  lim   f ( xi* )xi  tồn tại không phụ thuộc vào cách chia S và cách xi o  i 1  chọn điểm xi* thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong y  f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x  a ; x  b là: b  n  S  lim   f ( xi* ) xi    f ( x) dx . xi  o  i 1  a Trường hợp f ( x)  0 hoặc đổi dấu trên  a; b  thì bằng cách thay thế phần của miền D nằm dưới trục hoành bởi phần đối xứng qua trục hoành ta được công thức: b S   f ( x) dx . a Chú ý: Để tính tích phân, ta xét dấu của f ( x) trên  a; b  . - Nếu f ( x) không đổi dấu trên  c; d    a; b  thì: d d  c f ( x) dx   f ( x)dx . c - Nếu f ( x) vừa lớn hơn 0 vừa nhỏ hơn 0 trên  a; b  thì diện tích hình phẳng được tính bằng công thức: b c d b S  a f ( x ) dx   a f ( x ) dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx . c d - Tương tự nếu miền D là hình thang giới hạn bởi x  a ; x  b và các đồ thị của hai hàm khả tích trên  a; b  là y  f ( x) và y  g ( x) ta có công thức: b S  a f ( x )  g ( x ) dx . - Nếu D giới hạn bởi y  c; y  d và đồ thị của hai hàm khả tích trên  c; d  : x  f ( y ) và x  g ( y ) thì bằng cách đổi vai trò của x cho y từ công thức trên ta có công thức: d S   f ( y )  g ( y ) dy . c 11
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y  2 x 2  3 x  2 ; y  0 và x   1 ; x  2 . Giải:  3 2 7 Ta có: 2 x 2  3 x  2  2  x      0 , x  .   4  16   Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  2 x 2  3 x  2 , y  0 , x   1 , x  2 là: 2 2 2 3 3  15 S   2 x  3x  2 dx   (2 x  3x  2)dx   x3  x  2 x   2 2 (đvdt). 1 1 2 2  1 2 Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y  x( x  1)( x  2) và y  0 . Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của y  x( x  1)( x  2) và y  0 là:  x0 x( x  1)( x  2)  0   x  1 .    x2 Vậy diện tích cần tìm là: 0 2 S  1 x ( x  1)( x  2) dx   x( x  1)( x  2) dx 0 0 2  ( x  x  2 x)dx   (x  x  2 x)dx 3 2 3 2 = 1 0 0 2  x 4 x3 2  x 4 x3  15 8 61 =    x      x2     (đvdt).  4 3  1  4 3 0 2 3 6 Ví dụ 3: Cho parabol (P): y 2  2 x và đường tròn (C): x 2  y 2  8 . Đồ thị của (P) chia (C) thành hai phần. Tính tỉ số diện tích hai phần đó. Giải: Đường tròn (C) có tâm O (0;0) và bán kính R  2 2. Diện tích đường tròn là: S( c )   R 2  8 . Phương trình tung độ giao điểm của (P) và (C) là: y2 y2 8  y2   8  y2   0  y4  4 y2  32  0 2 2 y  2  y2  4   .  y  2 12
Từ hình vẽ, diện tích phần tô đậm là: 2 y2 2  y2  2 2 S1  2  8 y  dy  2   8  y  dy  2  8  y dy   y dy . 2 2 2 2 0 2 0  2  0 0 2 2 y y 2  y3  8 6  4 .  2 8  y 2  4 arcsin     2(2   )   2 4  0  3 0 3 3 18  4 Diện tích phần không tô đậm là: S 2  S ( c )  S1  8   2    4   .  3 3 Tỉ số diện tích cần tìm là S 1  6   4 . S2 18  4 1.2.1.2. Tính thể tích vật thể trong không gian Xét H  3 là một miền bị chặn, ta gọi E là một vật thể trong không gian. Nếu E là hình trục đứng có diện tích S ( D ) và chiều cao h thì thể tích của vật thể là: V  S ( D ).h Mỗi mặt phẳng song song với (Oxy ) có độ cao z cắt E theo thiết diện có diện tích H ( z ) , vật có cao độ thấp nhất là z  a và cao độ cao nhất là z  b . Ta giả thiết S ( z ) là miền liên tục trên  a; b  .   Bộ các điểm T   zi  i  0; n là một phân hoạch trên  a; b  thì mỗi mặt phẳng   song song với (Oxy ) có cao độ z  zi i  0; n chia vật thành n mảnh Ei i  1; n .   Trên mỗi đoạn  z ; z   i  1; n  lấy điểm z i 1 i * i khi đó tại zi* ta có S ( zi* ) . Khi đó: n H  E1  E 2  ...  E n  S (z i 1 * i ). z i .  n  Nếu tồn tại giới hạn I  lim   f ( zi* ).zi  và giới hạn đó không phụ thuộc vào zi 0  i1  cách chia của vật và cách chọn điểm zi* thì thể tích của vật thể trong không gian là: b  n  V  lim   f ( zi* ).zi    S ( z ) dz . zi 0  i 1  a Nếu vật thể E được xét dọc theo trục Ox (hay Oy ) thì ta có công thức như sau: b b V   S ( x)dx hay V   S ( y ) dy . a a 13
Ví dụ: Cho hình cầu đơn vị : x 2  y 2  z 2  1 . Tính thể tích của hình cầu này. Giải: Mặt phẳng song song với (Oxy ) có độ cao z là một thiết diện hình tròn có phương trình: x 2  y 2  1  z 2 . Diện tích của hình tròn này là: S   R 2   (1  z 2 ) . 1 1  z3  4 Thể tích của hình cầu đơn vị là: V    (1  z )dz    z     (đvtt). 2 1  3  1 3 1.2.1.3. Tính thể tích vật thể tròn xoay Xét một cung đơn AB trong mặt phẳng (0 xy ) và là đồ thị của hàm số: y  f ( x) , với x   a; b  . Bằng cách quay AB quanh trục Ox ta được một mặt (P) gọi là mặt tròn xoay (có trục Ox ). Mặt tròn xoay (P) giới hạn là một vật thể gọi là vật thể tròn xoay. Thiết diện của mặt phẳng vuông góc trục Ox cắt vật thể là một hình tròn có bán kính f ( x) . Vậy diện tích của hình tròn này là: S ( x )    f ( x)  . 2 Theo công thức về thể tích của vật thể trong không gian ta có thể tích của vật thể tròn xoay cho bởi AB quanh trục Ox là: b V     f ( x)  dx . 2 a Tương tự nếu vật thể quay quanh trục Oy (hay Oz ) thì ta có: b b V     f ( y )  dy V     f ( z ) dz . 2 2 hay a a 14
Ví dụ: Tính thể tích của khối tròn xoay có hình phẳng giới hạn bởi đường: 5  y  0 ; y  cos 6 x  sin 6 x  và x  0 ; x  . 8 24 Giải: cos6 x  sin6 x   cos2 x    sin 2 x    cos2 x  sin 2 x   3cos2 x sin 2 x  cos2 x  sin 2 x  3 3 3 3 3  1  3cos 2 x sin 2 x  1  sin 2 2 x  1  1  cos 4 x  . 4 8 5 3 5 3 Suy ra: y 2  cos 6 x  sin 6 x   1  1  cos 4 x    cos 4 x . 8 8 8 8 Thể tích khối tròn xoay cần tìm là:    24 3 3 24 24 3  V    y2dx    cos4xdx   cos4xdx  sin 4x 0 24 0 0 8 8 0 32 3  3  sin  (đvtt). 32 6 64 1.2.2. Các tính chất của tích phân Giả sử các hàm số f , g liên tục trên khoảng X và a, b, c  X . Ta có những tính chất sau của tích phân: b b b i)   f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx . a a a b b ii)  af ( x)dx  k  f ( x)dx ( k  a a ). c b c iii)  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx . a a b b iv) f ( x)  0 trên đoạn  a; b    f ( x )dx  0 . a b b v) f ( x)  g ( x) trên đoạn  a; b    f ( x ) dx   g ( x ) dx . a a b vi) m  f ( x)  M trên đoạn  a; b   m(b  a )   f ( x)dx  M (b  a ) . a b 1 vii) c   a; b  sao cho f (c )  ba f ( x ) dx . a b b viii)  f ( x)dx   a a f ( x) dx. 15