Nghiên cứu trạng thái ứng suất biến dạng tấm tròn theo lý thuyết phi cổ điển bằng phương pháp sai phân hữu hạn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

29
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết trình bày ứng dụng phương pháp sai phân hữu hạn để nghiên cứu trạng thái ứng suất biến dạng của tấm tròn theo lý thuyết phi cổ điển. Mô hình tính toán trạng thái ứng suất biến dạng đối với tấm tròn được xây dựng trên cơ sở hệ tọa độ 3 chiều, là hệ phương trình vi phân bậc 2 với các hệ số thay đổi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Nghiên cứu trạng thái ứng suất biến dạng tấm tròn theo lý thuyết phi cổ điển bằng phương pháp sai phân hữu hạn

TNU Journal of Science and Technology 227(08): 250 - 257 RESEARCH THE STRESS-DEFORMED STATE OF CIRCULAR PLATE BY NON-CLASSICAL THEORY USING FINITE DIFFERENCE METHOD Doan Quy Hieu* Vietnam-Russia Tropical Center ARTICLE INFO ABSTRACT Received: 13/3/2022 This paper presents the application of the finite difference method to study the stress-deformed state of the circular plate according to the Revised: 12/5/2022 non-classical theory. The stress-deformed state calculation model for Published: 19/5/2022 a circular plate was built based on the basis of a 3-dimensional coordinate system, which is a system of second-order differential KEYWORDS equations with variable coefficients. To solve this problem, it is possible to use approximation methods, and numerical methods such Circular plate as the finite element method, and finite difference. In this paper, the Local load author presents the application of the finite difference method to solve the problem of the circular plate subjected to local loads. Based on the Finite difference method calculation results, a comparison of the results obtained by classical Stress-deformed state and non-classical theory has been made. Non-classical theory NGHIÊN CỨU TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT BIẾN DẠNG TẤM TRÒN THEO LÝ THUYẾT PHI CỔ ĐIỂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN Doãn Quý Hiếu Trung tâm Nhiệt đới Việt Nga THÔNG TIN BÀI BÁO TÓM TẮT Ngày nhận bài: 13/3/2022 Bài báo trình bày ứng dụng phương pháp sai phân hữu hạn để nghiên cứu trạng thái ứng suất biến dạng của tấm tròn theo lý thuyết phi cổ Ngày hoàn thiện: 12/5/2022 điển. Mô hình tính toán trạng thái ứng suất biến dạng đối với tấm Ngày đăng: 19/5/2022 tròn được xây dựng trên cơ sở hệ tọa độ 3 chiều, là hệ phương trình vi phân bậc 2 với các hệ số thay đổi. Để giải bài toán này, có thể sử TỪ KHÓA dụng các phương pháp tính gần đúng, phương pháp số như phương pháp phần tử hữu hạn, sai phân hữu hạn. Trong bài báo này, tác giả Tấm tròn trình bày ứng dụng phương pháp sai phân hữu hạn để giải bài toán Tải trọng cục bộ tấm tròn chịu tải trọng cục bộ. Dựa trên kết quả tính toán đã đưa ra so Phương pháp sai phân hữu hạn sánh kết quả thu được bằng lý thuyết cổ điển và phi cổ điển. Trạng thái ứng suất biến dạng Lý thuyết phi cổ điển DOI: https://doi.org/10.34238/tnu-jst.5674 Email: dqhieu57@gmail.com http://jst.tnu.edu.vn 250 Email: jst@tnu.edu.vn
TNU Journal of Science and Technology 227(08): 250 - 257 1. Giới thiệu Ngày nay nhiều chi tiết kết cấu trong lĩnh vực hàng không và tên lửa - vũ trụ, trong đó tại các vị trí khớp nối, liên kết được chế tạo dưới dạng vỏ, tấm và dầm với các đặc trưng độ cứng, chiều dày thay đổi. Do đó, nhiệm vụ tăng độ tin cậy cho các phương pháp tính toán tấm bằng cách tính đến trạng thái ứng suất biến dạng (TTUSBD) trong các vùng biên của nó, tức là vị trí ngàm chặt, tải cục bộ, v.v., nơi diễn ra TTUSBD kiểu "lớp biên". Trong tài liệu [1] trình bày các phương pháp tính toán các kết cấu thành mỏng của cơ học kết cấu theo lý thuyết cổ điển. Với sự phát triển vượt bậc của công nghệ thông tin và các phần mềm mô phỏng số, tích hợp các phương pháp tính (FEM, FDM, FVM) cho kết quả đạt được là tối ưu. Bên cạnh đó cũng có nhiều phương pháp phi cổ điển được sử dụng để nghiên cứu độ bền của tấm, vỏ và các loại kết cấu theo các hướng khác nhau [2]-[4], đặc biệt tại các vị trí ngàm chặt, lực tập trung, tải trọng cục bộ. Trạng thái ứng suất biên của tấm chữ nhật có độ dày thay đổi dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều và tải trọng cục bộ được giới thiệu trong [5], [6]. Phương trình trạng thái của tấm được xây dựng trên cơ sở lý thuyết đàn hồi 3 chiều. Các chuyển vị theo hướng vuông góc với mặt phẳng trung bình của tấm được biểu diễn dưới dạng đa thức, cao hơn 2 bậc so với lý thuyết cổ điển của Kirchhoff-Love. Hệ phương trình cân bằng và các điều kiện biên thu được bằng cách sử dụng phương pháp biến phân Lagrange. Theo hướng nghiên cứu này, trạng thái ứng suất biến dạng của vỏ nón, vỏ cầu được trình bày trong tài liệu [7], [8]. Để giải hệ phương trình vi phân bậc cao với hệ số thay đổi có thể sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn [9], [10]. Bài báo này trình bày các kết quả nghiên cứu trạng thái ứng suất biến dạng tấm tròn theo lý thuyết phi cổ điển bằng phương pháp sai phân hữu hạn. Phương pháp này cho phép chúng ta không chỉ giải các bài toán về tấm mỏng, mà còn cả các tấm có độ dày trung bình. Trên cơ sở đó, đưa ra so sánh các kết quả tính toán trạng thái ứng suất - biến dạng của tấm tròn theo các lý thuyết cổ điển và phi cổ điển. 2. Hệ phương trình cân bằng của tấm tròn theo lý thuyết phi cổ điển Nghiên cứu tấm tròn có độ dày thay đổi đối xứng với mặt phẳng trung tuyến, chịu tải trọng q ( r , ) , trong hệ tọa độ trụ không thứ nguyên ( r , , z ) (Hình 1). Gọi a và b là bán kính bên ngoài và bên trong của tấm, độ dày thay đổi là 2h(r). Các cạnh bên ngoài và bên trong của tấm với điều kiện biên có thể tự do, tựa hoặc được ngàm chặt. Hình 1. Tấm tròn có độ dày thay đổi Theo tài liệu [2], sử dụng xấp xỉ sau đối với trường chuyển vị của tấm: z2 z3 U1 ( r, , z ) = u0 ( r, ) + u1 ( r , ) z + u2 ( r , ) + u3 ( r , ) , 2! 3! z2 z3 U 2 ( r, , z ) = v0 ( r, ) + v1 ( r, ) z + v2 ( r , ) + v3 ( r , ) , (1) 2! 3! 2 z U 3 ( r , , z ) = w0 ( r , ) + w1 ( r , ) z + w2 ( r , ) . 2! Phương trình hình học theo lý thuyết đàn hồi 3 chiều có dạng: http://jst.tnu.edu.vn 251 Email: jst@tnu.edu.vn
TNU Journal of Science and Technology 227(08): 250 - 257 U1 1 U U 3 r = ,   = ( 2 + U1 ),  z = , r r  z (2)  U 1 U1 U 3 U1 1 U 3 U 2  r = r ( 2 ) + ,  rz = + ,  z = + . r r r  r z r  z Ứng suất của tấm được tính theo các biểu thức:  r = (2G0 +  ) r +  +  z ,   =  r + (2G0 +  ) +  z , (3)  z =  r +  + (2G0 +  ) z ,  r = G0 r ,  rz = G0 rz ,   z = G0  z , Trong đó, các hệ số G0 ,  là các hằng số đàn hồi vật liệu của tấm. Thay các biểu thức (1), (2), (3) vào phương trình vi phân cân bằng của tấm theo phương pháp biến phân Lagranger [6], thu được hệ phương trình cân bằng của tấm tròn theo lý thuyết phi cổ điển:  2 2 2 2 ( K1u 00 + K1u 01 + K1u 011 2 + K1u 022 2 )u0 + K1v 02 2 v0 + K1v 012 v0 + r r   r  2 2 2 2 +( K1u 20 + K1u 21 + K1u 211 2 + K1u 222 2 )u2 + K1v 22 2 v2 + K1v 212 v2 + r r   r  + K1w10 w1 + K1w11 w1 + K1q13 p 0  q13 p + K1q13m 0  q13m = 0, r   2 2 2 2 ( K 2u10 + K 2u11 + K 2u111 2 + K 2u122 2 )u1 + K 2v12 2 v1 + K 2v112 v1 + r r   r  2 2 2 2 +( K 2u 30 + K 2u 31 + K 2u 311 2 + K 2u 322 2 )u3 + K 2v 32 2 v3 + K 2v 312 v3 + r r   r   + K 2w 20 w2 + K 2w 21 w2 + K 2w01 w0 = 0, r r   2  2 2 2 ( K3u 00 + K3u 01 + K3u 011 2 + K3u 022 2 )u0 + K 3v 02 2 v0 + K3v 012 v0 + r r   r (4)  2 2 2 2 +( K + K u 20 u 21 + K3u 211 2 + K3u 222 2 )u2 + K3v 22 2 v2 + K3v 212 v2 + r r   r 3 3  + K3w 20 w1 + K3w 21 w1 = 0, r   2  2 2 2 ( K 4u10 + K 4u11 + K 4u111 2 + K 4u122 2 )u1 + K 4v12 2 v1 + K 4v112 v1 + r r   r  2 2 2 2 +( K 4u 30 + K 4u 31 + K 4u 311 2 + K 4u 322 2 )u3 + K 4v 32 2 v3 + K 4v 312 v3 + r r   r   + K 4w 20 w2 + K 4w 21 w2 + K 4w01 w0 = 0, r r   2  2 2 ( K5u 02 + K5u 012 )u0 + K5v 011 2 v0 + K5v 022 2 v0 +  r r   2 2 2  +( K5u 22 + K5u 212 )u2 + K5v 211 2 v2 + K5v 222 2 v2 + K5w12 w1 = 0,  r r   http://jst.tnu.edu.vn 252 Email: jst@tnu.edu.vn
TNU Journal of Science and Technology 227(08): 250 - 257  2 2 2  ( K6u12 + K6u112 )u1 + K6v10v1 + K6v111 2 v1 + K6v122 2 v1 + K6w 02 w0 +  r r    2 2 2  +( K6u 32 + K6u 312 )u3 + K6v 30v3 + K6v 311 2 v3 + K6v 322 2 v3 + K6w 22 w2 = 0,  r r    2 2 2 ( K7u 02 + K7u 012 )u0 + K7v 011 2 v0 + K7v 022 2 v0 +  r r   2 2 2  +( K7u 22 + K5u 212 )u2 + K7v 20v2 + K7v 211 2 v2 + K7v 222 2 v2 + K 7w12 w1 = 0,  r r    2 2 2  ( K8u12 + K8u112 )u1 + K8v10v1 + K8v111 2 v1 + K8v122 2 v1 + K8w 02 w0  r r    2 2 2  +( K8u 32 + K8u 312 )u3 + K8v 30v3 + K8v 311 2 v3 + K8v 322 2 v3 + K8w 22 w2 = 0,  r r   2 w 022  2 w 211  2 w 222  2 ( K9w011 + K ) w + ( K + K ) w2 + r 2  2 r 2  2 9 0 9 9     + K9u11 u1 + K9v12 v1 + K9u 31 u3 + K9v 32 v3 + K9q 33 p 0  q33 p + K 9q 33m 0  q33m = 0, r  r   2  2  2 2 ( K10w10 + K10w111 2 + K10w122 2 ) w1 + ( K10w 211 2 + K10w 222 2 ) w2 + K10u 00u0 + K10q 33 p 0  q33 p r  r      + K10u 01 u0 + K10v 02 v0 + K10u 20u2 + K10u 21 u2 + K10v 22 v2 + K10q 33m 0  q33m = 0, r  r   2  2  2 2 ( K11w011 2 + K11w022 2 ) w0 + ( K11w20 + K11w211 2 + K11w222 2 ) w2 + K11u10u1 + K11q33 p 0  q33 p r  r      + K11u11 u1 + K11v12 v1 + K11u 30u3 + K11u 31 u3 + K11v 32 v3 + K11q 33m 0  q33m = 0. r  r  Ở đây các hệ số K với ký hiệu trên và dưới là các tham số thay đổi, phụ thuộc vào độ dày tấm và các hằng số đàn hồi vật liệu của tấm. Đây là hệ phương trình vi phân bậc 2, không thuần nhất với các hệ số thay đổi. Do đó có thể sử dụng phương pháp biến đổi lượng giác để chuyển về hệ phương trình vi phân thuần nhất. 3. Hệ phương trình vi phân thuần nhất cho bài toán biên Khảo sát tấm tròn đẳng hướng, độ dày h( r ) , trong đó −h  z  h , tọa độ z = 0 tương ứng với mặt phẳng trung bình của tấm. Giả sử tấm tròn trên hình 1 có biên ngàm chặt tại các cạnh r = a, r = b , khi đó tải trọng và chuyển vị của tấm được biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác.   q ( r, ) =  Qm ( r ) sin ( m ) , ui ( r, ) = U im ( r ) sin ( m ) , m =1 m =1   (5) vi ( r, ) = Vim ( r ) cos ( m ) , w j ( r, ) = W jm ( r ) sin ( m ) , i = 0,3, j = 0,2. m =1 m =1 Thay (5) vào hệ phương trình cân bằng (4), thu được hệ phương trình vi phân thuần nhất đối với các hàm chuyển vị U im , Vim , W jm , i = 0,3, j = 0, 2 , m = 1,2,3,... có dạng như sau: http://jst.tnu.edu.vn 253 Email: jst@tnu.edu.vn
TNU Journal of Science and Technology 227(08): 250 - 257  u 00 u 01 d d2   d d2   K1 + K1 + K1u 011 2 − K1u 022  m2 U 0 m ( r ) +  K1u 20 + K1u 21 + K1u 211 2 − K1u 222  m2 U 2 m ( r ) −  dr dr   dr dr  d d d −m( K1v 02 + K1v 012 )V0 m ( r ) − m( K1v 22 + K1v 212 )V2 m ( r ) + ( K1w10 + K1w11 )W1m ( r ) = 0, dr dr dr  u10 u11 d d2   d d2   K2 + K2 + K2u111 2 − K 2u122  m2  U1m ( r ) +  K 2u 30 + K 2u 31 + K 2u 311 2 − K 2u 322  m2 U 3m ( r ) −  dr dr   dr dr  d d d d −m( K 2v12 + K 2v112 )V1m ( r ) − m( K 2v 32 + K 2v 312 )V3m ( r ) + ( K 2w20 + K 2w21 )W2 m ( r ) + K 2w01 W0 m ( r ) = 0, dr dr dr dr  u 00 u 01 d d2   d d2   K3 + K3 + K3u 011 2 − K3u 022  m2 U 0 m ( r ) +  K3u 20 + K3u 21 + K3u 211 2 − K3u 222  m2 U 2 m ( r ) −  dr dr   dr dr  v 012 d v 212 d w11 d − m( K 3 + K 3 v 02 )V0 m ( r ) − m( K 3 + K 3 v 22 )V2 m ( r ) + ( K 3 + K 3 w10 )W1m ( r ) = 0, dr dr dr  u10 u11 d d2   d d2   K4 + K4 + K4u111 2 − K4u122  m2 U1m ( r ) +  K 4u 30 + K 4u 31 + K 4u 311 2 − K 4u 322  m2 U 3m ( r ) −  dr dr   dr dr  d d d d −m( K 4v12 + K 4v112 )V1m ( r ) − m( K 4v 32 + K 4v 312 )V3m ( r ) + S 2  ( K 4w 20 + K 4w 21 )W2 m ( r ) + K 4w01 W0 m ( r ) = 0, dr dr dr dr  d   d  m  K5u 02 + K5u 012  U 0m ( r ) + m  K5u 22 + K5u 212 U 2 m ( r ) +  dr   dr  2 2 d d +( K5v 011 2 − m2 K5v 022 )V0m ( r ) + ( K5v 211 2 − m2 K5v 222 )V2 m ( r ) + m  K5w12W1m ( r ) = 0, dr dr  d   d  d2 m  K6u12 + K6u112  U1m ( r ) + m  K6u 32 + K6u 312  U 3m ( r ) + ( K6v111 2 − m 2 K 6v122 + K 6v10 )V1m ( r ) +  dr   dr  dr (6) 2 d +( K6v 311 − m 2 K6v 322 + K6v 30 )V3m ( r ) + m  K6w 02W0 m ( r ) + m  K 6w 22W2 m ( r ) = 0, dr 2  d   d  m  K7u 02 + K7u 012  U 0 m ( r ) + m  K7u 22 + K7u 212 U 2 m ( r ) +  dr   dr  2 2 d d +( K7v 011 2 − m2 K7v 022 )V0 m ( r ) + ( K7v 211 2 − m 2 K7v 222 + K7v 20 )V2 m ( r ) + m  K7w12W1m ( r ) = 0, dr dr  u12 d   d  m  K8 + K8u112 U1m ( r ) + m  K8u 32 + K8u 312 U 3m ( r ) + m  K8w02W0 m ( r )  dr   dr  2 2 d d +( K8v111 2 − m2 K8v122 + K8v10 )V1m ( r ) + ( K8v 311 2 − m2 K8v 322 + K8v30 )V3m ( r ) + m  K8w22W2 m ( r ) = 0, dr dr d d K 9u11 U1m ( r ) + K 9u 31 U 3m ( r ) − m  K 9v12V1m ( r ) − m  K 9v 32V3m ( r ) + dr dr 2 d d2 +( K 9w011 2 − m 2 K 9w022 )W0 m ( r ) + ( K 9w 211 2 − m 2 K 9w 222 )W2 m ( r ) + K 9Q 330Q 33m ( r ) = 0, dr dr u 01 d u 21 d ( K10 + K10 )U 0 m ( r ) + ( K10 u 00 + K10u 20 )U 2 m ( r ) − m  K10v 02V0 m ( r ) − dr dr d2 −m  K10v 22V2 m ( r ) + ( K10w111 2 − m 2 K10w122 + K10w10 )W1m ( r ) = 0, dr d d ( K11u11 + K11u10 )U1m ( r ) + ( K11u 31 + K11u 30 )U 3m ( r ) − m  K11v12V1m ( r ) − m  K11v 32V3m ( r ) + dr dr 2 d d2 +( K11w011 2 − m 2 K11w022 )W0 m ( r ) + ( K11w 211 2 − m 2 K11w 222 + K11w 20 )W2 m ( r ) + K11Q 330Q 33m ( r ) = 0. dr dr http://jst.tnu.edu.vn 254 Email: jst@tnu.edu.vn
TNU Journal of Science and Technology 227(08): 250 - 257 Để giải hệ phương trình (6), ta sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn để chuyển về hệ phương trình đại số. Các xấp xỉ bậc 1 và bậc 2 được tính gần đúng bằng công thức: y yi +1 − yi −1  2 y yi +1 − 2 yi + yi −1 = + O( s 2 ); = + O( s 2 ) x 2s x 2 s2 Sau khi biến đổi thu được hệ phương trình đại số sau: K1u 011 K1u 01 i −1 K1v 012 i −1 K1w11 i −1 K1w 21 i −1 K1u 211 K1u 21 i −1 K1v 212 i −1 ( − )u0 + v0 − w1 − w2 + ( 2 − ) u2 + v2 + s2 2s 2s 2s 2s s 2s 2s 2 K u 011 2 K u 211 K u 011 K u 01 +( K1u 00 − 12 − K1u 022 )u0i − K1v 02 v0i + K1w10 w1i + ( K1u 20 − 12 − K1u 222 )u2i + ( 1 2 + 1 )u0i +1 − s s s 2s v 012 w11 u 211 u 21 v 212 K K K K K − 1 v0i +1 + 1 w1i +1 + ( 1 2 + 1 )u2i +1 − 1 v2i +1 = 0, 2s 2s s 2s 2s w 01 u111 u11 v112 w 21 K K K K K K v112 K w21 − 2 w0i −1 + ( 22 − 2 )u1i −1 + 2 v1i −1 − 2 w2i −1 − 2 v1i +1 + 2 w2i +1 + 2s s 2s 2s 2s 2s 2s u 311 u 31 u111 K K 2K2 2 K 2u 311 +( 2 2 − 2 )u3i −1 + ( K 2u10 − 2 − K 2u122 )u1i − K 2v12 v1i + K 2w 20 w2i + ( K 2u 30 − − K 2u 322 )u3i + s 2s s s2 K w 01 K u111 K u11 K u 311 K u 31 K v 312 + K 2v 32 v3i + 2 w0i +1 + ( 22 + 2 )u1i +1 + ( 2 2 + 2 )u3i +1 − 2 v3i +1 = 0, 2s s 2s s 2s 2s K3u 011 K3u 01 i −1 K3v 012 i −1 K3w11 i −1 K3u 211 K3u 21 i −1 K3w11 i +1 K3u 211 K3u 21 i +1 ( − )u0 + v0 − w1 + ( 2 − )u2 + w1 + ( 2 + )u2 s2 2s 2s 2s s 2s 2s s 2s K v 212 K w21 2 K u 011 + 3 v2i −1 − 3 w2i −1 + ( K3u 00 − 32 − K3u 022 )u0i − K3v 02 v0i + K3w10 w1i + 2s 2s s u 211 u 011 2K K K u 01 K v 012 K v 212 +( K3u 20 − 32 − K3u 222 )u2i − K3v 22 v2i + ( 3 2 + 3 )u0i +1 − 3 v0i +1 − 3 v2i +1 = 0, (7) s s 2s 2s 2s K w 01 K u111 K u11 K v112 K w 21 K v112 K w21 − 4 w0i −1 + ( 42 − 4 )u1i −1 + 4 v1i −1 − 4 w2i −1 − 4 v1i +1 + 4 w2i +1 + 2s s 2s 2s 2s 2s 2s K 4u 311 K 4u 31 i −1 K 4v 312 i −1 2 K u111 K 4v 312 i +1 +( 2 − )u3 + v3 + ( K 4u10 − 4 − K u122 4 ) u1 i − K v12 i 4 v 1 + K 4 w 20 i w 2 − v3 + s 2s 2s s2 2s 2 K4u 311 K4w01 i +1 K4u111 K4u11 i +1 K4u 311 K4u 31 i +1 +( K4u 30 − − K u 322 4 )u i 3 + K v 32 i 4 v3 + w0 + ( 2 + )u1 + ( 2 + )u3 = 0, s2 2s s 2s s 2s K u 012 K v 011 K u 212 K v 211 K u 012 K v 011 − 5 u0i −1 + 5 2 v0i −1 − 5 u2i −1 + 5 2 v2i −1 + + 5 u0i +1 + 5 2 v0i +1 + K 5u 02u0i − 2s s 2s s 2s s v 011 v 211 u 212 2K 2K K K v 211 − ( 52 + K5v 022 )v0i + K5w12 w1i + K5u 22u2i − ( 52 + K5v 222 )v2i + 5 u2i +1 + 5 2 v2i +1 = 0, s s 2s s u112 v111 u 312 v 311 v111 K K K K 2K − 6 u1i −1 + 62 v1i −1 − 6 u3i −1 + 5 2 v3i −1 + K6w02 w0i + K6u12u1i − ( 62 + K6v122 − K6v10 )v1i + 2s s 2s s s v 311 u112 v111 2K K K K u 312 K v 311 + K6w22 w2i + K6u 32u3i − ( 62 + K6v 322 − K6v 30 )v3i + 6 u1i +1 + 62 v1i +1 + 6 u3i +1 + 6 2 v3i +1 = 0, s 2s s 2s s K 7u 012 i −1 K 7v 011 i −1 K 7u 212 i −1 K 7v 211 i −1 K 7u 012 i +1 K 7v 011 i +1 − u0 + 2 v0 − u2 + 2 v2 + u0 + 2 v0 + K 7u 02u0i − 2s s 2s s 2s s v 011 v 211 2K 2K K u 212 K v 211 −( 72 + K 7v 022 )v0i + K 7w12 w1i + K 7u 22u2i − ( 72 + K 7v 222 − K 7v 20 )v2i + 7 u2i +1 + 7 2 v2i +1 = 0, s s 2s s http://jst.tnu.edu.vn 255 Email: jst@tnu.edu.vn
TNU Journal of Science and Technology 227(08): 250 - 257 K8u112 i −1 K8v111 i −1 K8u 312 i −1 K8v 311 i −1 2 K8v 311 K u112 − u1 + 2 v1 − u3 + 2 v3 − ( 2 + K8v 322 − K8v 30 )v3i + 8 u1i +1 + K8w 02 w0i + 2s s 2s s s 2s v111 v111 u 312 2K K K K v 311 + K8u12u1i − ( 82 + K8v122 − K8v10 )v1i + K8w 22 w2i + K8u 32u3i + 8 2 v1i +1 + 8 u3i +1 + 8 2 v3i +1 = 0, s s 2s s w 011 u11 w 211 u 31 w 011 u11 w 011 K9 K K K K K 2K 2 w0i −1 − 9 u1i −1 + 9 2 w2i −1 − 9 u3i −1 + 9 2 w0i +1 + 9 u1i +1 − ( 92 + K 9w 022 ) w0i − s 2s s 2s s 2s s w 211 w 211 u 31 2K K K − K9v12 v1i − −( 92 + K 9w 222 ) w2i − K 9v 32v3i + 9 2 w2i +1 + 9 u3i +1 + K 9q 33Qm = 0, s s 2s K10u 01 i −1 K10w111 i −1 K10u 21 i −1 K10u 00 i 2 K w111 − u0 + 2 w1 − u2 + u0 − K10v 02 v0i − ( 102 + K10w122 − K10w10 ) w1i + 2s s 2s 2s s u 01 w111 u 21 K K K + K10u 20u2i − K10v 22 v2i + 10 u0i +1 + 102 w1i +1 + 10 u2i +1 + K10q 33Qm = 0, 2s s 2s K11w011 i −1 K11u11 i −1 K11w 211 i −1 K11u 31 i −1 K w 011 i +1 K11u11 i +1 2 K11w011 w 0 − u 1 + w 2 − u3 − K v 32 i 11 v3 + 11 w 0 + u1 − ( 2 + K11w022 ) w0i + s2 2s s2 2s s2 2s s w 211 w 211 u 31 2K K K + K11u10u1i − K11v12v1i − ( 112 + K11w 222 − K11w 20 ) w2i + K11u 30u3i − + 112 w2i +1 + 11 u3i +1 + K11q 33Qm = 0, s s 2s Trong đó, i = 1,( N 0 − 1), và s – tương ứng là số nút chia và bước chia theo sơ đồ sai phân. Tại các vị trí gần biên, vị trí tải trọng cục bộ, có thể tăng số lượng các điểm chia, giúp cho độ chính xác đạt được cao hơn. Chương trình tính toán được lập trình bằng phần mềm Maple. 4. Tính toán trạng thái ứng suất của tấm tròn dưới ảnh hưởng tải trọng cục bộ Khảo sát tấm tròn có độ dày thay đổi, chịu ảnh hưởng của tải trọng cục bộ: 0, b  r  r1    3 (r − r1 )  q ( r , ) = Q0 sin   sin( ), r1  r  r2 , r1 = (5a + 7b) / 12, r2 = (5b + 7 a) / 12. (8)   r2 − r1  0, r2  r  a  Các cạnh r = a, r = b của tấm được ngàm chặt. Kích thước chiều dài, chiều rộng của tấm là: a = 1( m ) , b = 0,5 ( m ) , hm = 0,025 ( m ) , h0 = 0,01( m ) , độ dày tấm xác định theo công thức: h( r ) = hm − tg ( )  (a − r ) , tg ( ) = (hm − h0 ) / a , 2  − góc nghiêng của tấm (Hình 1). Hệ số Poisson  = 0,3 , môđun đàn hồi E = 2 1011 Pa. Kết quả tính ứng suất của tấm tròn theo lý thuyết phi cổ điển được thể hiện trên đồ thị Hình 2 và Hình 3. Trên các hình này, ký hiệu “PCĐ” tương ứng với lý thuyết phi cổ điển và “CĐ” tương ứng với lý thuyết cổ điển. Phân tích các kết quả thu được, ta thấy ngoài vùng biên, các giá trị ứng suất thu được theo lý thuyết cổ điển và phi cổ điển hầu như trùng với nhau. Điều này khẳng định được độ chính xác của phương pháp phi cổ điển. Sai khác giữa các kết quả tại vùng biên lớn nhất là trên Hình 3, tại vị trí tải trọng cục bộ, ứng suất   theo hai lý thuyết chênh lệch nhau 40% tại vị trí r = 0,75 m. Khi xác định trạng thái ứng suất của tấm tròn theo phương pháp phi cổ điển, ứng suất tại lớp biên gần vị trí ngàm chặt có sự thay đổi: ứng suất  r tăng thêm khoảng 25%,   tăng thêm khoảng 28,5% tại vị trí biên r = b (Hình 2 và Hình 3). Như vậy, tại các vị trí ngàm chặt, vị trí tải trọng cục bộ, phương pháp PCĐ cho kết quả tính toán ứng suất của tấm cao hơn đáng kể so với phương pháp CĐ. http://jst.tnu.edu.vn 256 Email: jst@tnu.edu.vn
TNU Journal of Science and Technology 227(08): 250 - 257 Hình 2. Đồ thị  r theo bán kính Hình 3. Đồ thị   theo bán kính 5. Kết luận Trên cơ sở tính toán lý thuyết và ví dụ cụ thể trình bày trên có thể rút ra những kết luận sau: 1. Sử dụng phương pháp biến phân Lagrange và phân tích các thành phần chuyển vị của tấm dưới dạng đa thức, cao hơn 2 bậc so với lý thuyết cổ điển, đã xây dựng được bài toán biên xác định TTUSBD của tấm tròn có độ dày thay đổi. 2. Bằng phương pháp biến đổi lượng giác, đã chuyển hệ phương trình cân bằng của tấm về dạng thuần nhất. Sau đó sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn để chuyển về dạng hệ phương trình đại số để giải bằng phần mềm MAPLE. 3. Đưa ra so sánh kết quả tính toán TTUSBD của tấm tròn theo lý thuyết cổ điển và phi cổ điển. Khi thiết kế, tính toán độ bền, ứng suất biến dạng của các chi tiết dạng tấm vỏ có các điều kiện biên như ngàm chặt, lực tập trung, tải trọng cục bộ, nên ưu tiên sử dụng phương pháp PCĐ vì tại các vị trí đó kết quả tính toán ứng suất cao hơn đáng kể so với phương pháp CĐ. Phương pháp PCĐ cho phép chúng ta không chỉ giải các bài toán về tấm mỏng, mà còn cả các tấm có độ dày trung bình. TÀI LIỆU THAM KHẢO/ REFERENCES [1] S. P. Timoshenko and S. Voinovsky-Krieger, Plates and shells, (in Russian), Moscow, 1966, p. 636. [2] V. V. Vasiliev and S. A. Lurie, “On the problem of constructing a non-classical theory of plates,” (in Russian), Izv. AN. MTT, no. 2, pp. 158-167, 1990. [3] V. V. Firsanov, “Study of stress-Deformed State of Rectangular Plates Based on Nonclassical Theory,” Journal of Machinery Manufacture and Reliability, vol. 45, no. 6, pp. 515-522, 2016. [4] V. V. Firsanov, “The stressed state of the “boundary layer” type cylindrical shells investigated according to a nonclassical theory,” Journal of machinery, manufacture and reliabitity, vol. 47, no. 3, pp. 241-248, 2018. [5] Q. H. Doan and V. V. Firsanov, “Edge stress state of a rectangular plate with variable thickness based on a refined theory,” (in Russian), MAI Proceedings, Moscow, no. 110, 2020, doi: 10.34759/trd-2020-110-10. [6] Q. H. Doan, “Study on the stress-deformed state of rectangular plate with variable thickness according to the non-classical theory” TNU Journal of Science and Technology, vol. 226, no. 11, pp. 124-130, 2021, doi: 10.34238/tnu-jst.4521. [7] V. V. Firsanov and V. T. Pham, “Research of the stress-strain state of conical shell under the action of local load based on the non-classical theory,” Journal of Mechanical Engineering Research and Developments, vol. 43, no. 4, pp. 24-32, 2020. [8] V. V. Firsanov and V. T. Pham, “Stress-strain state of the spherical shell exposed to an arbitrary load based on a non-classical theory,” (in Russian), Problems of Strength and Plasticity, vol. 81, no. 3, pp. 359-368, 2019. [9] Md. Roknuzzaman, B. Hossain, R. Haque, and T. U. Ahmed, “Analysis of Rectangular Plate with Opening by Finite Difference Method,” American Journal of Civil Engineering and Architecture, vol. 3, pp. 165-173, 2015, doi: 10.12691/ajcea-3-5-3. [10] P. Katarina, H. Marko, and B. Zlatko, “Finite difference solution of plate bending using Wolfram Mathematica,” Tehnički glasnik, vol. 13, pp. 241-247, 2019, doi: 10.31803/tg-20190328111708. http://jst.tnu.edu.vn 257 Email: jst@tnu.edu.vn