CHƯƠNG 5 : PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH

CH NG 5 : PH ƯƠ Ơ Ả Ả

LÝ THUY T ĐÀN H I TUY N TÍNH NG PHÁP C B N GI I BÀI TOÁN ƯƠ Ế Ế Ồ

Ơ Ả

§5.1. CÁC PH CÁC CÁCH GI I BÀI TOÁN ĐÀN H I TUY N TÍNH NG TRÌNH C B N- Ồ ƯƠ Ả Ế

5.1.1. Các ph ng trình c b n : ươ

ơ ả ng trên ta đã l n l ươ

ậ ủ ườ Trong ba ch h c và v t lý c a môi tr ọ ọ ẩ ồ ư

t xác đ nh ba m t tĩnh h c, hình ặ ị ng đàn h i tuy n tính và đ a ra 15 hàm n g m : z, Txy, Tyz, Tzx.

ể

ế

zx. ươ

ng trình sau : ầ ượ ế ồ ấ s y, s x, s - Sáu thành ph n ng su t : ầ ứ - Ba thành ph n chuy n v : u, v, w. ầ ị e x, e y, e z, g xy, g yz, g - Sáu thành ph n bi n d ng : ạ ầ Đ xác đ nh m i lăm hàm n này ta có các ph ẩ ườ ể ị

ề ặ

2

1. V m t tĩnh h c : a. H ph H (2.1) ệ

(cid:236)

s

¶ ¶ ¶ ¶ + + = + r fx 0 ( ;) (cid:239) u 2 ¶ ¶ ¶ ¶ ọ ng trình cân b ng Navier-Cauchy: ệ ươ x x ằ Tzx z (cid:239) t 2 (cid:239) Tyx y s ¶ ¶ ¶ ¶ + + + = r (cid:237) fy 0 ( )1( ;) v 2 ¶ ¶ ¶ ¶ y y Tzy z Txy x (cid:239) t 2 (cid:239)

s

¶ ¶ ¶ ¶ z + + + = r (cid:239) fz 0 ( .) w 2 ¶ ¶ ¶ ¶ (cid:238) Tyz y z

b. Các ph ng trình đi u ki n biên theo ng su t: H (2.3) Txz x ươ t ứ ề ệ ệ ấ

ề ặ

2. V m t hình h c : a. H ph ệ ươ ạ ế ệ

=

=

+

;

;

xy

x

+

=

=e

;

;

)2(

yz

y

¶ ¶ ¶ (cid:236) g e (cid:239) ¶ ¶ ¶ (cid:239) ¶ ¶ ¶ (cid:239) g (cid:237) ¶ ¶ ¶ (cid:239)

+

=

=e

;

.

zx

z

u x v y w z

(cid:239) ¶ ¶ ¶ g (cid:239) ¶ ¶ ¶ (cid:238)

u y v z w x ạ

b. Các ph ng trình liên t c c a bi n d ng : H (3.12) và (3.13). ọ ng trình bi n d ng Cauchy-Navier : H (3.1) v x w y u z ế ụ ủ ệ ươ

32

3.V m t v t lý : ề ặ ậ

m+

1(2

)

ể ế ấ

a. Bi u th c bi n d ng bi u di n qua ng su t : s

s [

+

=

m

e

=

y

x

z

Txy

Txy

x

E m+

1(2

)

m

- ể ]) ạ s ( ễ ứ g xy = ; ;

s

+

s [

=

-

s (

x

y

]) z

Tyz

Tyz

E m+

1(2

)

m

; g yz = ; (3a) e y =

s

+

=

-

s (

x

z

])

y

Tzx

Tzx

zx =

1 G 1 G 1 G

E

; g . e z=

ứ 1 E 1 E s 1 [ E ứ ứ b. Bi u th c ng su t bi u di n qua bi n d ng : ể ể ễ ạ ế s q

s q

s q

x = l y = l z = l 5.1.2. Các cách gi

Txy = Gg xy ; Tyz = Gg yz ; Tzx = Gg zx. ế

ả * V nguyên t c 15 ph ặ ươ

ị ươ ầ

ươ

ữ

ấ + 2Ge x ; + 2Ge y ; + 2Ge z ; i bài toán đàn h i tuy n tính : ồ ắ ượ ề ộ ố ng trình thu g n này là nh ng ph i s tìm đ ượ

ị

ng trình trên v ba ph ng trình (1); (2) và (3a) ho c (3b) hoàn toàn i 15 ph ng trình đó ta c n thu c 15 hàm n. Đ gi ể ả ẩ ng ng v i m t s hàm n chính. ng trình t ớ ứ ẩ ộ ố ươ ng trình đ gi i c a bài ọ ể ả ủ ươ ữ c sau khi bi t các n s chính. ẩ ố ế ạ ẽ ể ế ấ ị ể ươ ề i bài toán theo chuy n v : N u l y chuy n v làm các ố ng trình đ i ươ ệ ẩ ọ

ị

ề cho phép xác đ nh đ g n chúng v m t s ph ọ Nh ng ph ươ toán. Nh ng n s còn l ữ ẩ ố 1. Cách gi ả hàm n chính, c n thu g n h ph ầ v i ba hàm chuy n v u, v, w. ể ớ ả ứ ấ

n chính, c n thu g n h trên thành sáu ph i bài toán theo ng su t: N u l y ng su t làm các hàm ấ ế ấ ứ ẩ ứ ng trình đ i v i sáu n ng ố ớ ươ 2. Cách gi ầ ệ ọ

ẩ su t.ấ

i h n h p: Ngoài hai cách gi ả ỗ ộ ố

ẩ ợ ộ

i trên, trong m t s bài 3. Cách gi ả ợ i h n h p, dùng m t ph n các hàm n chính là toán, ta s d ng cách gi ử ụ ầ ả ỗ chuy n v và m t ph n các hàm n chính là ng su t. ấ ị ứ ể ầ ẩ ộ

§5.2. CÁCH GI I BÀI TOÁN LÝ THUY T ĐH THEO CHUY N V Ả Ế Ể Ị

ẩ ơ ả

s q + 2Ge x Ch n u, v, w là hàm n c b n : ọ 5.2.1.V m t v t lý: ề ặ ậ u t Hooke t ng quát : T đ nh l ổ ậ ừ ị

x = l Txy = Gg xy Tzx = Gg zx

(a)

ề ặ ọ

33

ng trình quan h hình h c Cauchy : 5.2.2. V m t hình h c: T ph ệ ừ ươ ọ

u

¶

+

;

(b)

e x = x g yx =

¶ ¶ ¶

¶ ¶

+

;

zx =

v x w x

x = l

u x

¶ ¶ g ¶ ¶ ¶ ¶ q Thay (b) vào (a) ta có : s + G + G ¶ ¶

+

(cid:246) (cid:230) ¶ ¶ (cid:247) (cid:231) Tyx = G (c) (cid:247) (cid:231) ¶ ¶ ł Ł

+

; u y u z u x v x w x

u y u z

¶ ¶ (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) Tzx = G ¶ ¶ ł Ł

ọ

2

u

+

+

+

fx

r= (0

;)

2

x x

t

2

2

2

2

2

2

3.V m t tĩnh h c: T ph ng trình cân b ng tĩnh h c Navier-Cauchy : ề ặ ừ ươ ¶ ¶ ¶ ¶ s (d) ¶ ¶ ¶ ¶ ằ Tyx y ọ Tzx z

u

+

+

+

+

+

+

+

G

G

G

G

G

G

fx

r= 0

2

2

2

2

2

u x

x

v yx

u y

w zx

u z

t

2

2

2

2

¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ q ¶ (cid:246) (cid:230) l (cid:247) (cid:231) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ł Ł Thay (c) vào (d) ta có: 2 u x

+

+

+

+

+

=

G

+ Gu

fx

0

(*)

+œ

2

2

2

2

x

x

u x

v y

w z

x

u t

z

y

2

2

2

ø Ø (cid:246) (cid:230) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ q ¶ (cid:246) (cid:230) r l (cid:219) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) Œ (cid:247) (cid:231) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ł Ł ß º ł Ł

+

+

2 =

2

2

2

¶ ¶ ¶ (cid:209) : Toán t vi phân Laplace. V iớ ử ¶ ¶ ¶

+

+

: Bi n d ng th tích t

y z =e x+e y+e z =q

w z

u x

x v y

2

¶ ¶ ¶ ế ạ ể ươ ng đ i ố ¶ ¶ ¶

r

2u + fx = 0

u 2

t 2

(cid:246) (cid:230) ¶ (cid:247) (cid:231) (l (*)(cid:219) + G) + G(cid:209) ; (cid:247) (cid:231) ¶ ł Ł

r

2v + fy = 0

v 2

t

¶ q x¶ ¶ q y¶

34

(cid:246) (cid:230) ¶ (cid:247) (cid:231) ; T ng t + G) + G(cid:209) (5.1) ươ ự (l (cid:247) (cid:231) ¶ ł Ł

2

r

2w + fz = 0

w 2

t

(cid:246) (cid:230) ¶ (cid:247) (cid:231) ; (l + G) + G(cid:209) (cid:247) (cid:231) ¶ ł Ł

ằ l ng su t và bi n d ng nên h (5.1) v n ch a các h ng s LaMê ằ ạ ứ

¶ q z¶ H (5.1): H ph ệ ươ ệ t l p (5.1) xu t phát t ấ ế ậ ệ ế ổ

ượ

và G. ọ ế ả

ng trình LaMê : đi u ki n cân b ng và quan h gi a ệ ữ ệ ừ ề ứ ố ẫ c các yêu c u v tĩnh h c, hình ng trình LaMê t ng h p đ ề ầ ạ i (5.1) ta tìm đ c u, v, w sau đó xác đ nh các bi n d ng ị ng trình quan h hình h c Cauchy và xác đ nh các ng su t theo ệ ợ ượ ọ ứ ấ ị

ươ ự ể

ả

t theo Khi thi ấ Ph ươ h c và v t lý. Gi ậ ọ theo ph ươ đ nh lu t Hooke. ậ ị 4.H qu : ả T ph ệ ừ là h ng s ta có các h qu sau: ố ằ ả ng trình c a h (5.1) l n l ủ ệ ầ ượ ươ

2

u 2 x

ệ các bi n x, y, z ta có : ng trình LaMê trong bài toán tĩnh, khi các l c th tích ệ a. H qu 1 : Đ o hàm các ph ạ ế ¶ ¶ ¶ + G) + G(cid:209) = 0 ; (l

¶

v 2 y

¶ + + G) + G(cid:209) = 0 ; (l

¶

2 q x¶ ¶ q 2y¶ ¶ q 2z¶

w 2 z 2q

¶

= 0 . = 0 + G(cid:209) + G(cid:209) (l (l (cid:219) + G) + G). (cid:209) 2q (cid:209) (5.2)

2q = 0 ổ ứ

Do q t v i hàm t ng ng su t S nên ta cũng có : l ỷ ệ ớ ấ (cid:209) (5.3)

ể ế

2S = 0 ả ể

ẳ Phát bi u h qu 1: Trong bài toán tĩnh, đàn h i tuy n tính và đ ng ng, khi các l c th tích là h s thì hàm bi n d ng th tích và hàm ồ ạ ệ ự ể ế

ề ng trình 1 c a (5.2) : h ướ ệ ố ng su t t ng là nh ng hàm đi u hòa. ữ ấ ổ ứ b. H qu 2 : ệ ả Xét ph ươ ủ

2u +fx = 0 (a)

¶ q x¶

(l + G) + G(cid:209)

3

2

x

2

t theo các bi n x, y, z ta có : L y đ o hàm b c 2 c a (a) l n l ậ ấ ạ ế ¶ ¶ ầ ượ 2 u 2 ¶ + G) + G(cid:209) = 0 ; (l ủ 3 q x¶

u 2

2

¶ ¶

2

y

3 q yx¶

35

¶ ¶ + + G) + G(cid:209) = 0 ; (l

2

u 2

2

2

¶ ¶

z

3 q zx¶

2q

2(cid:209)

2u = 0

x¶

2q

¶ ¶ + G) + G(cid:209) = 0 . (l ¶ (cid:209) + G). + G(cid:209) (b) (l

(cid:209) = 0 thay vào (b) ệ (cid:209)

2(cid:209) 2(cid:209) 2(cid:209)

ng t (5.4) ự (cid:209) (cid:209)

Theo h qu 1 ta có : ả (b) (cid:219) 2u = 0 2v = 0 T ươ 2w = 0 ả ồ

ẳ Phát bi u h qu 2: Trong bài toán tĩnh, đàn h i tuy n tính và đ ng ng, khi l c th tích là h ng s thì các hàm chuy n v là nh ng hàm ệ ể ế ị ữ ể ằ ố

ể h ự ướ trùng đi u hòa. ề

ệ ả ậ

ệ c. Ý nghĩa : H qu này cho phép ta đoán nh n đ ớ

ị ủ ủ ấ ả ể ệ ể ỏ

c s b d ng ượ ơ ộ ạ nghi m chuy n v c a bài toán đàn h i. T t nhiên đây m i ch là đi u ki n ệ ỉ ề ồ c n, đi u ki n đ là các chuy n v ph i th a mãn các ph ơ ng trình c ươ ị ề ầ b n đã nêu trên. ả

z, Txy, Tyz, Tzx làm hàm n chính.

y, s

5.3. GI I BÀI TOÁN LÝ THUY T ĐÀN H I THEO NG SU T Ế Ồ Ứ Ấ Ả

ẩ ấ s Ch n các ng su t ứ

I. Tr ườ ợ ự

ậ ị

s

+

-

x, s ọ ng h p các l c th tích là h ng s : ố ằ ể D a vào đ nh lu t Hooke ự s (

]) z

x

y

z

(*)

1 E x + s

m

1. V m t v t lý : ề ặ ậ s [ m e y = S = s Có

-

sm + )

1(

y

]S

(*) (cid:219) e y =

[

m

-

sm + )

1(

z

T ng t (a) ươ ự e z =

]S m+

)

1(2

y + s 1 [ E 1 E g yz =

E

Tyz = Tyz

=

+

1 G 2. V m t hình h c :D a vào ph ọ e 2 z 2

y 2

z

y

ươ ng trình liên t c c a bi n d ng : ụ ủ ế ạ ề ặ e 2 ¶ ¶ ¶ (b) ¶ ¶ ¶ ¶ ự g2 yz zy

2

2

2

2

Thay (a) vào (b) ta có :

s

¶ 2

¶ ¶

s

y

Tyz

y

2

2

zy

S 2 y

y

S 2 z

z

36

¶ ¶ (1 + m ) - m +(1 + m ) - m = 2(1 + m ) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

2

2

2

2

¶ 2

Tyz

y

z

+

m

+

2

2

ø Ø ø Ø ¶ ¶ ¶ ¶ - (cid:219) œ Œ œ Œ (1 +m ) = 2(1 + m ) (c) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

s y

ß º ß º

s S 2 z y 3. V m t tĩnh h c : D a vào h

ự ọ

S 2 z ệ ph ươ

zy ọ ng trình cân b ng tĩnh h c ằ

¶ ¶ ¶

s

Tyx

Tyx

+

+

+

+

-=

fx

0=

fx

y s

¶ ¶ ¶ - (cid:222) ; (1) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

Tzx z s

y

Tzx z Tzy

+

+

+

-=

fy

0=

fy

x

z

x x Txy x

y y

¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ề ặ Navier- Cauchy. ys x Txy - - (cid:222) ; (2) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

¶ ¶

s

s

y Tyz

y Tzy z Tyz

+

+

+

-=

fz

0=

fz

z z

y

Txz x t theo y và z ta có :

Txz x ấ

z z ậ

¶ ¶ ¶ ¶ - - (cid:222) ; (3) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

2

2

y L y đ o hàm b c nh t (2) và (3) l n l ầ ượ s 2

Tzy

Txy

-=

2

yz

yx

+

2

2

ạ ¶ ¶ ¶ ấ y - ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

y s 2

Tyz

z

-=

2

zy

2

z 2

2

2

2

¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

z

z

2

2

Txz zx s z

(cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ y (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) -= - - - 2 (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231)  (4) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ł Ł ł Ł

s y

2

2

Txy y x Tx z

(cid:246) (cid:230) Tzy yz Thay (1) vào (4) ta có : s 2 ¶ ¶

s

s

Tyz

y

z

-=

+

+

+

2

fx

2

2

zy

x x

x

2

2

2

2

¶ ¶ ¶ (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (4) (cid:219) (cid:247) (cid:231) ¶ ¶ ¶ ¶ ł Ł ¶ ¶ ł Ł

z s

x

z

=

2

2

y 2

2

Tyz zy

y

(cid:246) (cid:230) ¶ ¶ ¶ ¶ (cid:247) (cid:231) - - (cid:219) (d) (cid:247) (cid:231) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

s z

2

2

2

2

2

2

ł Ł

y

y

x

z

z

+

+

m

+

+

+

0

2

2

2

2

2

y s x Thay (d) vào (c) ta có : s 2 z

(cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) - - (cid:231) (cid:247) (cid:231) (1 + m ) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ł Ł ł Ł

s x

s z

s y

S 2 z

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

+

+

+

+

+(cid:247)

+(cid:247)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

ø Ø (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) - - - (cid:219) œ Œ (cid:247) (cid:231) (cid:231) (cid:231) (1 + m ) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ł Ł

s y s y

s z

s y

s y

s y

S 2 y s z

s z

=(cid:247) s z

s x

2

2

ł Ł ł Ł ß º

+

S 2 z

S 2 y

2

2

2

(cid:246) (cid:230) ¶ ¶ (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) - m = 0 (**) ¶ ¶ ł Ł

+

+

2

2

2

2 =

z

x x + s

y y + s

z.

¶ ¶ ¶ (cid:209) Trong đó : ¶ ¶ ¶

37

S = s

2

2

2

2

2

ø Ø ø Ø ¶ ¶ ¶ ¶

s

+

+

+

=

m

x

0

S 2

S 2

S 2

S 2

y

z

z

y 2

2

2

2

2

2

- (cid:209) - œ Œ œ Œ (**) (cid:219) (1 + m ) ¶ ¶ ¶ ¶ œ Œ œ Œ ß º ß º

+

+

m

m

+

2s

0

=œ

S 2

S 2

x +

S 2

S 2

S 2 y

z

z

S 2 y

z 2

y 2

2

2

¶ ¶ ø Ø ø Ø ¶ ¶ ¶ ¶ - (cid:219) Œ œ Œ - (1 + m )(cid:209) + ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ß º ß º

+

2s

S 2

S 2

x +

S 2

S 2

y

z

x

x 2

¶ ¶ ¶ ¶ - (cid:219) - (1 + m )(cid:209) + = 0. ¶ ¶ ¶ ¶

2

2s

S

x +

S 2

x

¶ (cid:209) - (cid:219) (1 + m )(cid:209) = 0 ¶

2S = 0

2

2s

x +

x 2

(cid:209) ệ ¶ (cid:219) (1 + m )(cid:209) = 0 Theo H qu (1) ta có ả S 2 ¶

2s

S 2

y +

y 2

¶ (1 + m )(cid:209) = 0 (5.5) ¶

2s

z +

S 2

z ¶ 2

¶ (1 + m )(cid:209) = 0 ¶

2Txy +

S yx ¶ 2

(1 + m )(cid:209) = 0 ¶ ¶

2Tyz +

S zy ¶ 2

(1 + m )(cid:209) = 0 (5.6) ¶ ¶

2Tzx +

= 0 (1 + m )(cid:209) ¶ ¶

ể ả

S zx i bài toán đàn ng trình (5.5) và (5.6) là ph ươ ọ ấ , đã t ng h p các đi u ki n v m t tĩnh h c, hình h c ọ ệ c các ng su t sau đó ệ

ổ ng. Gi ng trình đ gi ề ặ ượ ợ ề i (5.5) và (5.6) có đ ả ườ ứ

ấ ị ể ậ ị

H ph ươ ệ ng su t h i theo ứ ồ và v t lý c a môi tr ủ ậ tìm các bi n d ng theo đ nh lu t Hooke và tìm các chuy n v theo h ế ph ạ ế ươ

ng trình bi n d ng Cauchy. ạ H (5.5) và (5.6) g i là h ph ng trình Beltrmi ệ ọ ệ ươ

c các ả ằ ố: ta cũng nh n đ ậ ượ

m

fz

+

+

=

2

2s

x +

m

m

1(

)

1

x

y

z

x x

x 2

ự ng trình t ươ (cid:246) (cid:230) ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ả fy (cid:247) (cid:231) - (cid:209) (cid:247) (cid:231) ; II. Khi l c th tích không ph i là h ng s nh ng có v ph i khác 0 : ph ế ự ư 2 fx S 2 ể ng t ươ 1 + ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ł Ł

m

fx

fy

fz

y

=

+

+

2

2s

S 2

y +

1 +

m

m

1(

)

1

x

y

z

y

y

38

(cid:246) (cid:230) ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ (cid:247) (cid:231) - (cid:209) (cid:247) (cid:231) ; (5.7) ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ł Ł

2

m

fx

fy

fz

=

+

+

2

2s

z +

S 2

1 +

m

m

z z

x

1

y

z

) z ng trình Beltrami-Michell. ng h p f

(cid:246) (cid:230) ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ (cid:247) (cid:231) - (cid:209) (cid:247) (cid:231) ; ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ł Ł

ợ x, fy, fz = const. ườ

c 1 h qu v tính

1( (5.7) : Ph ươ * H qu 3 ệ ả : Tr T ph ừ

ượ ả ề ệ

ươ ch t c a các n ấ ủ ấ

2s

x +

S 2

Xét ph ng trình (5.5) Beltrmi, ta cũng suy ra đ 0 ng su t ứ ng trình (1) c a h ph ng trình (5.5) : ươ ủ ệ ươ 2 ¶ (1 + m ) (cid:209) = 0 (1) ¶

x L y đ o hàm b c 2 ph ươ

2

t theo x,y,z ta có : ấ ạ ậ ầ ượ ng trình (1) l n l 4

s

x

2

S 4

2

¶ ¶

x

2

4

x s

¶ ¶ (1 + m )(cid:209) + = 0

x

S

2

2

2

¶ ¶

2

x

y

2

4

y s

¶ ¶ ¶ + (1 + m )(cid:209) + = 0

x

S

2

2

2

2

¶ ¶

z

z

x 2

¶ ¶ ¶ (1 + m )(cid:209) + = 0

2(cid:209)

2s

x +

2S = 0

S 2

x

¶ (cid:209) (1 + m ) (cid:209) ả (cid:209) 2S = 0 Theo h qu 1 ệ ¶

ij = 0. y, s

z, Txy, Tyz, Tzx).

(cid:209) Ta có : (cid:209) ng t T ươ s s

fi ề ề

2s 2(cid:209) x = 0. 4s ta có : ự x, s ij g m có ( ồ ấ ữ ấ ỉ ệ ớ

ề ng su t là nh ng hàm đi u hòa kép (trùng đi u hòa, bi đi u v i bi n d ng nên bi n d ng cũng là nh ng hàm ữ ế ế ạ ạ

Ứ hòa). Vì ng su t t l ứ đi u hoà kép. ề

(cid:222) ủ ế ạ ị

4e

4s

ể ố ề ể ế ữ ồ

(cid:209) Phát bi u : Các nghi m ng su t , chuy n v , bi n d ng c a bài ấ ề toán đàn h i tuy n tính khi l c th tích là h ng s đ u là nh ng hàm đi u hòa kép: ệ ứ ể 4ui = 0 ; (cid:209) ự ij = 0 ; (cid:209) ằ ij = 0. (5.8)

5.4. CÁC PH NG PHÁP GI I ƯƠ Ả

ng pháp thu n : ươ ậ ự ươ

ng trình Lamê (5.1) khi gi 1. Ph ươ i theo chuy n v hay ph ể ị là ph ả

39

các ph Beltrami (5.5) và (5.6) hay Beltrami Michell (5.7) khi gi ng pháp tr c ti p tính tích phân ế ng trình ươ ấ i theo ng su t ứ ả

ng pháp này rõ ràng, minh b ch vê ạ ệ ề

ươ ự ị ứ ạ

c : ọ ươ

ấ ể 2.Ph ị

ị ồ ằ ể ơ ả ớ v i các đi u ki n biên xác đ nh . Ph ớ m t toán h c nh ng ph c t p khi th c hi n. ệ ư ặ Theo ph ươ ạ ự ươ

ệ ứ ng pháp này đ tìm đ ượ

ầ ướ c ng pháp này ta cho tr ươ ng trình c b n, r i b ng các ng ng v i các chuy n v hay ả c nghi m đúng thì ph i ệ ượ ươ ể ộ

ế ố ề ệ ả

ươ ướ còn l ằ ẻ

ượ ự ồ ắ ậ ữ ề ủ ọ

ng pháp ng ượ chuy n v hay ng su t th a mãn các ph ỏ ứ đi u ki n biên (2.3) tìm các ngo i l c t ệ ề c. Ph ng su t cho tr ể ướ ứ ươ ấ c. th nhi u hàm ch n, r t c ng k nh và có khi không th c hi n đ ề ấ ồ ự ọ ề ử ng pháp c Saint - Venant : ng pháp n a ng Theo ph 3. Ph ượ ử c m t ph n các ngo i l c và m t ph n các chuy n v , tìm này ta cho tr ị ầ ạ ự ộ ươ các đi u ki n biên, chúng ph i th a mãn các ph các y u t i t ng ỏ ạ ừ c nh ng khó trình cân b ng. Ph ng pháp này m m d o, kh c ph c đ ề ụ ươ ủ ng pháp thu n và s c ng k nh c a khăn mang tính toán h c c a ph ươ ph ượ ươ

ề ồ

ỏ i bài toán v ườ ề ề ặ ả

ả ỏ

ự ầ ằ ạ

ộ ủ ể ệ ự ủ ế ầ ỏ

ẽ ắ ầ ữ ứ ở

ng pháp ng c. 4. Nguyên lý Saint-Venant : i hoàn toàn th a mãn Nhi u bài toán c a lý thuy t đàn h i khi gi ả ế ủ ề đi u ki n biên th t cách gi ng g p nhi u khó khăn, đ c bi ặ ệ ệ thanh, t m, v . Khi gi i ta có th s d ng nguyên lý Saint-Venant đó là ể ử ụ ấ nguyên lý v hi u ng c n b ng c c b c a ngo i l c.theo nguyên lý ụ ề ệ ứ này, n u trên 1 ph n nh nào đó c a v t th có tác d ng c a 1 h l c cân ụ ủ ậ b ng thì ng su t phát sinh s t ề nh ng đ m xa mi n t d n khá nhanh ể ấ ằ đ t l c. ặ ự

Ví d : Khi dùng kìm đ c t 01 s i dây thép, ta th y trên s i dây t ợ ụ ấ ợ ạ i

ch c t tác d ng 1 h l c cân b ng. ể ắ ằ ụ ổ ắ

ụ ộ

ệ ố ể

D a vào qui lu t đ i v i v t r n tuy t đ i, nguyên lý c c b có th ự ể ặ ự ủ ủ ậ ậ ắ ụ ữ ế ứ ể ạ

ệ ự ể ậ ố ớ ậ ắ phát bi u theo cách khác nhau: “T i nh ng đi m c a v t r n cách xa ạ đi m đ t l c thì tr ng thái ng su t, bi n d ng c a v t ph thu c r t ít ộ ấ ấ vào cách tác d ng c a l c”. ụ ạ ủ ự

Ví d :ụ

40

F : Di n tích m t c t ngang. ặ ắ ệ

Ị Ủ Ấ

5.5. Đ NH LÝ DUY NH T NGHI M C A BÀI TOÁN LÝ THUY T Ế Ệ ĐÀN H IỒ

ệ ế

ị ấ ộ ấ ể

ỉ ọ ượ ấ ậ ệ ứ ề ặ ứ ị

ậ ể ệ ượ i ả ồ ớ ả i ứ c m t h ng su t hay ấ ộ c vài h nghi m khác nhau v i cùng ớ ệ

ề fi c m t vài h nghi m thì nghi m c a bài toán lý ộ ế ệ ệ ượ ủ ệ

ế M t v n đ đ t ra là nghi m c a bài toán lý thuy t đàn h i gi ủ theo chuy n v hay ng su t có duy nh t không. Có nghĩa ng v i t tr ng hay chuy n v đã cho ta ch nh n đ ể chuy n duy nh t hay ta nh n đ ấ đi u ki n đã cho. ệ * N u nh n đ ậ ồ

ậ

thuy t đàn h i đã cho là đa tr . ị ấ ề ậ ừ ủ ự ề ạ ệ ế ụ ộ ậ

ự ệ nhiên c a v t và đinh lu t đ c l p tác d ng c a l c thì nghi m bài toán lý thuy t đàn h i là duy nh t. ồ ấ

zf

ự ậ ế * * * * Đ nh lý duy nh t v nghi m : N u th a nh n v tr ng thái t ị ủ ậ ế Th c v y xét bài toán c b n th nh t c a lý thuy t đàn h i. D i ướ ồ x, fy, fz đã cho. Giả

, c 2 h nghi m ng su t khác nhau. ứ ấ ủ . L c th tích f ể ự ấ ơ ả , yf xf ệ ứ ề ặ ệ ế s

z, Txy, Tyz, Tzx z, Txy, Tyz, Tzx ệ ứ

s tác d ng c a l c b m t ủ ự thi ậ ượ y, s y, s

ệ ề ằ ả ấ ề

x

ụ t ta nh n đ x, s x, s C hai h ng su t này đ u ph i th a mãn đi u ki n cân b ng tĩnh ả ọ ệ ¶ s ¶ ¶ T + + + 0= f ¶ ¶ ¶

x x s

yx y T

* x

* x

* yx y

¶ ¶ ¶ + + + = 0 f (a) ¶ ¶ ¶ ỏ h c c a Cauchy và đi u ki n biên tĩnh h c. ề ọ ủ T zx z * T zx z x

x.l + Tyx.m + Tzx.n

x.l + Tyx.m + Tzx.n

* ... xf * = s = s (b)

ng t i. Tr ươ ừ ạ

vi ự ế ng ng cho nhau, ta nh n đ ng trình còn l ươ ng trình các ph ươ ng trình và đi u ki n m i. Ví ớ ệ ề

xf ... T ươ ứ t cho ph s s ( x

+

x

y

z¶

x - s

c h ph ệ ng trình th nh t ta có : t cho các ph ậ ượ ứ ấ t ươ d vi ụ ế - ¶ ¶ ¶ ươ ) x (Txy – Tyx) + (Tzx - Tzx)= 0 ¶ ¶

x).l + (Tyx - Tyx).m + (Tzx - Tzx).n = 0 ể

(c)

ụ

41

ph (s ệ Theo nguyên lý c ng tác d ng ta có th xem các ng su t trong h ự ng trìnhh (c) là m t h ng su t m i khi không có l c th tích và l c ớ ộ ộ ệ ứ ấ ể ứ ự ấ ươ

t v tr ng thái t thi ế ề ạ ự ấ nhiên c a v t li u, các ng su t ủ ậ ệ ứ ả

y - s

y = 0 ; Tyx - Tyx = 0; ...

s

x - s x = s

y = s

s

y ; Tyx = Tyx ấ

42

Hay Có nghĩa 2 h ng su t này trùng nhau. Đó là đi u c n ch ng minh! b m t. Theo gi ề ặ này ph i b ng 0. Do đó : ả ằ x = 0 ; s x ; s ệ ứ ề ầ ứ