Phương trình và bất phương trình mũ logarit

Chia sẻ: Trần Hoàng Thao | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

599
lượt xem 343
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo Phương trình và bất phương trình mũ logarit

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương trình và bất phương trình mũ logarit

PT-BPT MŨ LÔGARIT *** log 2 ( x 2 + y 2 ) = 1 + log 2 ( xy )  1. ĐH-A-2009. Giải hệ phương trình:  2 2 3x + y − xy = 81  2. *CĐ-2009. Cho 0
 x −1+ 2− y = 1  25. *ĐH-B-2005 Giải hệ  3log 9 (9x ) − log 3 y = 3. 2 3  x x x  12   15   20  26. ***ĐH-D-2005 CMR   +   +   ≥ 3x + 4 x + 5 x  5 4  3  2x − x 2 2 −2x  1 27. Tham khảo-2005 Giải 9x − 2  ≤3  3 28. ***Tham khảo-2005 Cho x +y +z = 0. CMR: 2 + 4x + 2 + 4y + 2 + 4z ≥ 3 3.  1 log 1 (y − x) − log 4 y = 1 29. ĐH-A-2004 Giải HPT:  4  x 2 + y 2 = 25  30. 4   2  Tham khảo-2004 Giải BPT log π log 2 x + 2x − x  < 0.  ( ) 1 3 31. Tham khảo-2004 Giải BPT: 2.x 2 log2 x ≥ 2 2 log2 x ***Tham khảo-2004 CMR phương trình sau có nghiệm duy nhất x x +1 = ( x + 1) x 32. ( x > 0) ln 2 x 33. ĐH-B-2004 Tìm GTNN của hàm số: y = x ∈ 1; 3   e x 2 x −1 + 6 x − 11 34. ***Tham khảo 2004 Giải BPT: >4 x−2 35. ***Tham khảo 2004 x2 Cho hàm số y = e x − sin x + Tìm GTNN của hàm số và CMR f(x)=3 có đúng 2 nghiệm. 2 36. *Tham khảo 2004 Giải BPT log 3 x > log x 3  2 x + y = y + x 2 37. ***Tham khảo 2004 Giải HPT  x + y 2 − 2x −1 = x − y.  38. Tham khảo 2003 Giải BPT 15.2 x +1 + 1 ≥ 2 x − 1 + 2 x +1 39. Tham khảo 2003 Tìm m để PT có nghiệm thuộc (0;1): 4 log 2 x ( ) 2 − log 1 x + m = 0 2 40. ĐH-D-2003 Giải PT: 2 x2 − x 2 + x − x2 −2 =3 41. Tham khảo 2003 Giải PT: log 5 5 − 4 = 1 − x x ( ) 42. ĐH-A2002 Cho PT log 3 x + log 3 x + 1 − 2m − 1 = 0 2 2 1) Giải PT khi m=2 2) Tìm m để PT có nghiệm trên [1 ; 3 3 ] Tham khảo 2002 Giải PT 16 log 27 x2 x − 3log 3 x x = 0 2 43.  x − 13 − 3x − k < 0  44. Tham khảo 2002 Tìm k để hệ BPT sau có nghiệm:  1 1  log 2 x + log 2 ( x − 1) ≤ 1 2 3 2 3 45. ( ĐH-B2002 Giải BPT log x log 3 ( 9 − 72 ) ≤ 1 x ) 2
x − 4 y + 3 = 0  46. Tham khảo 2002 Giải HPT   log 4 x − log 2 y = 0  1− x 2 47. Tham khảo 2002 Tìm m để PT sau có nghiệm: 91+ 1− x 2 − ( a + 2 ) 31+ + 2a + 1 = 0 1 1 Tham khảo 2002 Giải PT: log 2 ( x + 3) + log 4 ( x − 1) = log 2 ( 4 x ) 8 48. 2 4  23 x = 5 y 2 − 4 y  49. ĐH-D-2002 Giải HPT  4 x + 2 x +1  x =y  2 +2 ( log x x3 + 2 x 2 − 3 x − 5 y = 3  ) 50. Tham khảo 2002 Giải PT :   3 2 ( log y y + 2 y − 3 y − 5 x = 3 ) 51. Tham khảo 2002 Giải BPT ( ) ( log 1 4x + 4 ≥ log 1 22x +1 − 3.22 . ) 2 2 PT-BPT MŨ LÔGARIT *** log 2 ( x 2 + y 2 ) = 1 + log 2 ( xy )  1. ĐH-A-2009. Giải hệ phương trình:  2 2 3x + y − xy = 81  HD: HPT tương đương  xy > 0  xy > 0  2   x = 2  x = −2  x + y = 2 xy ⇔  x = y 2 ⇔ ∨  x 2 + y 2 − xy = 4  2  y = 2  y = −2  x + y − xy = 4 2  2. *CĐ-2009. Cho 0
5 5 Do ĐK ta chỉ nhận x = . ĐS: x=2, x = 4 4  x2 + x  4. ĐH-B- 08 Giải bất phương trình: log 0,7  log 6 0  x+4 >0  x +x 2  x+4 x2 + x  x2 + x HD: log 0,7  log 6 1⇔  2 ⇔ >6  x+4  log x2 + x x+4 x + x > 6 x+4 >1  6  x+4  x+4  ⇔ −4 < x < −3 ∨ x > 8 x 2 − 3x + 2 5. ĐH-B-08 Giải bất phương trình: l 1 og ≥0 2 x  x 2 − 3x + 2  >0 0 < x < 1 ∨ x > 2 0 < x < 1 ∨ x > 2 x 2 − 3x + 2  x  2  HD: l 1 og ≥0 ⇔ 2 ⇔  x − 4x + 2 ⇔  x2 − 4 x + 2 2 x  x − 3x + 2 ≤ 1  ≤0  ≤0   x  x  x 0 < x < 1 ∨ x > 2 ) ( ) ( )  ⇔ ⇔ 2− 2 ≤ x HD: BPT tương đương  4 log (4 x − 3) 2 − log (2 x + 3) ≤ 2  3 3  3  3  3 x > 4  x > 4    x> 3 x > 4  3 ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ 4 ⇔ ⇔ < x≤3 log (4 x − 3) ≤ 2  (4 x − 3) ≤ 9 8 x 2 − 21x − 9 ≤ 0  − 3 ≤ x ≤ 3 4  3  2x + 3   8  2x + 3   ( ) ( ) x x 7. *ĐH-B-07 Giải phương trình: 2 −1 + 2 +1 − 2 2 = 0 ( ) x HD: Đặt t = 2 + 1 ta được PT: 1 t + = 2 2 ⇔ t 2 − 2 2t + 1 = 0 ⇔ t = 2 − 1 ∨ t = 2 + 1 ⇔ x = −1 ∨ x = 1 t x x 1 8. *ĐH-D-07 Giải phương trình: log 2 (4 + 15.2 + 27) + log 2 =0 4.2 x − 3 HD: Đặt t=2x, t>0 ta được:  4  4 1 t > t > 2 log 2 (t + 15t + 27) + log 2 =0⇔ 3 ⇔ 3 4t − 3 t 2 + 15t + 27 = 4t − 3 t 2 + 11t + 30 = 0   Phương trình vô nghiệm t nên phương trình đã cho vô nghiệm x 4
9. *Tham khảo 2007. Giải BPT: ( log x 8 + log 4 ) x 2 log 2 2 x ≥ 0 HD: ĐK: x>0, x≠1 1 1 6 Đưa về 3log x 2 + log 2 x = + log 2 x ⇔ + 2t = 1 + t (t = log 2 x) 2 2 t 1 ⇔ t 2 − t + 6 = 0 ⇔ t = 3 ∨ t = −2 ⇔ x = 8 ∨ t = 4 1 1 10. *Tham khảo 2007. Giải PT: log 4 ( x − 1) + = + log 2 x + 2 . log 2 x +1 4 2 1 1 1 1 HD: ĐK: x>1 Đưa về log 2 ( x − 1) + = + log 2 ( x + 2) 2 2 log 2 x +1 2 2 2 ⇔ log 2 ( x − 1) + log 2 (2 x + 1) = 1 + log 2 ( x + 2) ⇔ log 2 ( x − 1)(2 x + 1) = log 2 2( x + 2) 5 5 ⇔ 2 x 2 − 3 x − 5 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = Do ĐK, chỉ nhận nghiệm x = 2 2 2 11. Tham khảo 2007. Giải PT: log 3 ( x − 1) + log 3 (2 x − 1) = 2 HD: ĐK x>1 Đưa về 2log 3 ( x − 1) + 2log 3 (2 x − 1) = 2 1 ⇔ log 3 ( x − 1)(2 x − 1) = 1 ⇔ ( x − 1)(2 x − 1) = 3 ⇔ 2 x 2 − 3 x − 2 = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = − . 2 Do ĐK chỉ nhận x=2 4 12. *Tham khảo 2007. Giải PT: (2 − log 3 x )log 9 x 3 − =1 1 − log 3 x 1 HD: ĐK x>0, x≠ 9 1 4 2 − log 3 x 4 Đưa về (2 − log 3 x ) − =1 ⇔ − =1 log 3 9 x 1 − log 3 x 2 + log 3 x 1 − log 3 x 2−t 4 ⇔ − = 1 (t = log 3 x) 2 + t 1− t ⇔ (2 − t )(1 − t ) − 4(2 − t ) = (2 + t )(1 − t ) −1 − 17 −1 + 17 Do ĐK chỉ nhận −1 + 17 ⇔ t2 + t − 4 = 0 ⇔ t = ∨t = t= 2 2 2 1 1 Tham khảo 2007. Giải BPT: log 1 2 x − 3 x + 1 + log 2 ( x − 1) ≥ 2 2 13. 2 2 2 1 HD: ĐK x < ∨ x >1 2 ( x − 1) ( x − 1) 2 2 1 1 1 Đưa về − log 2 ( x − 1)(2 x − 1) + log 2 ( x − 1) ≥ ⇔ log 2 2 ≥1 ⇔ ≥2 2 2 2 ( x − 1)(2 x − 1) ( x − 1)(2 x − 1) −3 x 2 + 4 x − 1 ( x − 1)( −3x + 1) −3 x + 1 1 1 ⇔ ≥0 ⇔ ≥0 ⇔ ≥0 ⇔ ≤x< ( x − 1)(2 x − 1) ( x − 1)(2 x − 1) 2x −1 3 2  1 x < 2 ∨ x > 1  1 1 Kết hợp ĐK:  ⇔ ≤x< 1 ≤ x < 1 3 2 3  2 5
14. Tham khảo 2007. Giải BPT: 23x +1 − 7.22x + 7.2 x − 2 = 0 HD: 2t − 7t + 7t − 2 = 0 (t = 2 , t > 0) 3 2 x 1 ⇔ (t − 1)(2t 2 − 5t + 2) = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = 2 ∨ t = ⇔ x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = −1 2 15. *ĐH-A-2006 Giải phương trình 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0 HD: 3.23 x + 4.3x 22 x − 32 x 2 x − 2.33 x = 0 3x 2x x 2 2 2 Chia 2 vế của PT cho 3 ta đươc: 3.   + 4   −   − 2 = 0 3x 3 3 3 x 2 2 Đặt t =   , t>0 ta có: 3t 3 + 4t 2 − t − 2 = 0 ⇔ t = −1 ∨ t = 3 3 2 Do ĐK ta chỉ nhận t = ⇔ x=1 3 16. Tham khảo 2006 Giải PT: log x 2 + 2log 2 x 4 = log 2 x 8 1 1 2 1 HD: ĐK x>0, x≠1, x≠ . PT tương đương với: + = 2 log 2 x log 4 2 x log8 2 x 1 4 6 1 2 ⇔ + = ⇔ = ⇔ 1 + log 2 x = 2log 2 x log 2 x 1 + log 2 x 1 + log 2 x log 2 x 1 + log 2 x ⇔ 2x = x 2 ⇔ x = 2 17. ( ) ĐH-B-2006 Giải BPT: log 5 4 + 144 − 4log 5 2 < 1 + log 5 2 x x −2 + 1 ( ) HD: Biến đổi BPT  4 x + 144  4x + 144 log 5  16 (  < log 5 5.2 x −2 +5 ) ⇔ < 5.2 x −2 + 5 ⇔ 4x -20.2x + 64 < 0   16 ⇔ t 2 -20.t + 64 < 0(t=2 x > 0) ⇔ (t − 4)(t − 16) < 0 ⇔ 4 < t < 16 ⇔ 2 < x < 4 18. Tham khảo 2006: log 2 x + 1 − log 1 (3 − x) − log 8 ( x − 1)3 = 0 2 ( x + 1)(3 − x) HD: ĐK 10 hệ sau có nghiệm duy nhất:  y − x = a e x+ a − e x − ln(1 + x + a ) + ln(1 + x) = 0 HD: Biến đổi  y = x + a Xét hàm số 6
f ( x) = e x + a − e x − ln(1 + x + a ) + ln(1 + x ), x > −1 a f ′( x) = e x (e a − 1) + > 0 (vì a>0 và x>−1) (1 + x)(1 + x + a) lim f ( x) = +∞, lim f ( x) = −∞ , f(x) liên tục trên (−1; +∞) . Từ hai kết quả trên, f(x)=0 có nghiệm  x →+∞ t →−1 + x0 trên (−1; +∞)  Do f ′( x) > 0, ∀x > −1 nên f(x)=0 có không quá 1 nghiệm  Kết luận f(x)=0 có nghiệm duy nhất x0 và HPT có nghiệm duy nhất.(x=x0;y=x0+a) 2 2 ĐH-D-2006 Giải PT: 2 x +x −x 21. − 4.2 x − 22 x + 4 = 0 u = 2 x2 + x  HD: Đặt  Suy ra u.v = 22 x (u>0,v>0) v = 2 x − x  2 Phương trình thành: u − 4v − uv + 4 = 0 ⇔ u(1-v)+4(1-v)=0 ⇔ (u+4)(1-v)=0 ⇔ v=1 ⇔ x 2 − x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 1 x +1 22. Tham khảo 2006 Giải PT: log 3 3 − 1 log 3 3 − 3 = 6 x ( ) ( ) HD: Đưa về: ( ) ( ) ( log 3 3x − 1 log 3 3(3x − 1) = 6 ⇔ log 3 3x − 1 1+log 3 3x − 1  = 6   ) ( ) ( ( )) ⇔ t (1 + t ) = 6 t = log 3 3 − 1 ⇔ t 2 + t − 6 = 0 ⇔ t = 2 ∨ t = −3 x 1 ( ) ⇔ log 3 3x − 1 = 2 ∨ log 3 ( 3 − 1) = −3 ⇔ 3 x x − 1 = 9 ∨ 3x − 1 = 27 28 28 ⇔ 3x = 10 ∨ 3x = ⇔ x = log 3 10 ∨ x = log 3 27 27 ln(1 + x ) − ln(1 + y ) = x − y 23. ***Tham khảo 2006 Giải HPT:  2 2  x − 12 xy + 20 y = 0. HD:  Xét PT thứ nhất ln(1+x)-x=ln(1+y)− y Đặt f(t)=ln(1+t)− (t>− t 1) 1 −t f ′(t ) = −1 = t +1 t +1 N ếu − 10 thì f’(t)0 thì x=10y hay x=2y đều cho x>0, y>0 N ếu − 1
1 2 ( log 2 x + 1) log 4 x + log 2 =0 24. Tham khảo 2006 Giải: 4 HD: Đưa về ( log 2 x + 1) log 2 x − 2 = 0 . Đặt t=log2x 1 ⇔ x=2 ∨ x= t +t − 2 = 0 ⇔ t=1 ∨ t= − 2 2 4  x −1+ 2− y = 1  25. *ĐH-B-2005 Giải hệ:  3log 9 (9x ) − log 3 y = 3. 2 3   x −1+ 2− y = 1  x −1+ 2− y = 1   HD: Với điều kiện x≥1, 0 0 ta có t2− 3≤0 ⇔ − 2t− 1≤t≤3 BPT thành 3x2 −2 x ≤ 3 ⇔ x 2 − 2 x ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 28. ***Tham khảo-2005 Cho x +y +z = 0. CMR: 2 + 4x + 2 + 4y + 2 + 4z ≥ 3 3. HD: Môt bài toán hay. Dự đoán x=y=z=0 thì “=” xảy ra. Ta dùng BĐT Côsi với chú ý x=0 thì 4x=1. x 2 + 4 x = 1 + 1 + 4 x ≥ 3 3 4 x ⇒ 2 + 4 x ≥ 32 3 Tương tự với y,z ta có: 8
 x y z  x + y+z 2 + 4x + 2 + 4y + 2 + 4z ≥ 3 23 + 23 + 23    ≥ 3 3 2 3 = 3 3 (vì x+y+z=0) 3    1  log 1 (y − x) − log 4 = 1 29. ĐH-A-2004 Giải HPT:  4 y  x 2 + y 2 = 25   y > 0, y > x  y > 0, y > x  1   log 1 (y − x) − log 4 y = 1 − log 4 (y − x) + log 4 y = 1  y  y HD:  4 ⇔ 2 ⇔ log 4 = 1⇔  =4  x 2 + y 2 = 25  x + y = 25 2  y−x y − x   x 2 + y 2 = 25  x 2 + y 2 = 25    y > 0, y > x  y > 0, y > x    y > 0, y > x  y > 0, y > x  4x  4x   x = 3 ⇔ y = ⇔ y = ⇔ y = 4 ∨  y = −4 ⇔  3  3 x = 3  x = −3 y = 4  x + y = 25  x = 9 2 2 2     30. 4   2  ( Tham khảo-2004 Giải BPT: log π log 2 x + 2x − x  < 0. ) ( ) ( log x + 2x 2 − x > 0 ) HD: log π log x + 2x 2 − x  < 0.  2 ⇔ ⇔ log 2 x + 2x 2 − x > 1 ( ) ( )   2   4 log 2 x + 2x − x > 1 2   x + 2x 2 − x > 0  2 − x < 0 2 − x ≥ 0 ⇔ ⇔ x + 2x 2 − x > 2 ⇔ 2x 2 − x > 2 − x ⇔  2 ∨ 2 2x − x ≥ 0 2x − x > x − 4x + 4 2  x + 2x 2 − x > 2  x > 2 x ≤ 2 x ≤ 2 ⇔ ∨ 2 ⇔ x > 2∨  ⇔ ( x < −4) ∨ ( 1 < x )  x ≤ 0 ∨ x ≥ 2  x + 3x − 4 > 0  x < −4 ∨ x > 1 1 3 31. Tham khảo-2004 Giải BPT: 2.x 2 log2 x ≥ 2 2 log2 x 1 3  1 log2 x  3 log x 1 3 2.x 2 log 2 x ≥ 22 log 2 x ⇔ log 2  2.x 2  ≥ log 2 2 2 2 ⇔ 1 + log 2 x ≥ log 2 x ⇔ 1 ≥ log 2 x ⇔ 0 < x ≤ 2 HD:   2 2 ***Tham khảo-2004 CMR phương trình sau có nghiệm duy nhất: x x +1 = ( x + 1) x 32. ( x > 0) HD: x x +1 = ( x + 1) ⇔ ln x x +1 = ln ( x + 1) ⇔ ( x + 1) ln x = x ln ( x + 1) ⇔ ( x + 1) ln x − x ln( x + 1) = 0 x x Đặt f ( x) = ( x + 1) ln x − x ln( x + 1) 1 1 − x2 − x −1 f ′( x) = ln x − ln( x + 1) + + f ′′( x) = 2 < 0 Suy ra f’(x) nghịch biến trên R+ x x +1 x ( x + 1) 2  x 1 1  Mà: xlim f ′( x ) = xlim  ln + +  = 0 ⇒ f’(x)>0 với mọi x>0 ⇒ f(x) đồng biến trên R + →+∞ →+∞  x +1 x x +1  lim f ( x) = −∞ f(e)=e+1− eln(e+1)>0 x → 0+ Vậy có x0 thuộc (0;e) để f(x0)=0 và x0 là nghiệm duy nhất. 9
ln 2 x 33. ĐH-B-2004 Tìm GTNN của hàm số: y = x ∈ 1; 3   e x ln 2 x ln x(2 − ln x) HD: y = f (x) = x ∈ 1; 3  f ′(x) =  e 2 f ′(x) = 0 ⇔ x = 1∨ x = e2 x x 4 9 4 f(1)=0; f (e ) = f (e 3 ) = 3 GTNN là f(1)=0; GTLN là f (e ) = 2 2 2 ; e e e2 2 x −1 + 6 x − 11 34. ***Tham khảo 2004 Giải BPT: >4 x−2 2 x −1 + 2 x − 3 HD: >0 x−2  2 x −1 + 2 x − 3 < 0  x 0 2  Suy ra f’(x) đồng biến trên R, f’(0)=0  Suy ra f’(x)>0 khi x>0 và f’(x)
   x > 0, x ≠ 1  x > 0, x ≠ 1  x > 0, x ≠ 1      x > 0, x ≠ 1 HD: Đưa về t = log 3 x ⇔ t = log 3 x ⇔ t = log 3 x ⇔  1  2  −1 < t < 0 ∨ t > 1 −1 < log 3 x < 0 ∨ log 3 x > 1 t >  t −1  >0  t   t 1 ⇔ < x < 1∨ x > 3 3  2 x + y = y + x 2 37. ***Tham khảo 2004 Giải HPT  x + y 2 − 2x −1 = x − y.  HD: Xét PT thứ nhất: (x− y)(x+y− 1)=0  Thay y=x vào PT thứ hai 22 x − 2 x−1 = 0 ⇔ 2 x = x − 1 ⇔ x = −1 (y=− 1) x −1  Thay y=1− vào PT thứ hai 2 + 2 x − 3 = 0 Hàm số f ( x) = 2 + 2 x − 3 đồng biến trên R và f(1)=0 x x −1 nên f(x)=0 có nghiệm duy nhất x=1 (y=0)  Kết luận (x=− 1;y=− (x=1;y=0) 1), 38. Tham khảo 2003 Giải BPT 15.2 x +1 + 1 ≥ 2 x − 1 + 2 x +1 HD: Đặt t=2x ta được 30t + 1 ≥ t − 1 + 2t  t=1 thỏa BPT t > 1 t > 1  t>1 ta được 30t + 1 ≥ 3t − 1 ⇔  ⇔ 2 ⇔1< t ≤ 4 30t + 1 ≥ 9t − 6t + 1 t − 4t ≤ 0 2 t < −1  −1 ≤ t < 1 −1 −1 ≤ t < 1  t0 ta có 0 < t ≤ 4 ⇔ 0 < 2 x ≤ 4 ⇔ x ≤ 2 39. Tham khảo 2003 Tìm m để PT có nghiệm thuộc (0;1) : 4 log 2 x ( ) 2 − log 1 x + m = 0 2 ( HD: 4 log 2 x ) 2 − log 1 x + m = 0 ⇔ ( log x ) 2 + log x + m = 0 ⇔ m = − ( log x ) 2 − log x 2 2 2 2 2  Với 0
t = 5 x  t = 5 x  t = 5 x (x ) HD: log 5 5 − 4 = 1 − x ⇔ 5 x − 4 = 51− x ⇔ 5 ⇔ 2 ⇔ ⇔ x =1 t − 4 = t − 4t − 5 = 0  t = 5  t 42. ĐH-A2002 Cho PT : log 3 x + log 3 x + 1 − 2m − 1 = 0 2 2 1) Giải PT khi m=2 2) Tìm m để PT có nghiệm trên [1 ; 3 3 ] HD: t = log 2 x + 1  t = log 2 x + 1  log 3 x + log 3 x + 1 − 5 = 0 ⇔  2 ⇔ ⇔ log 3 x = 3 ⇔ log 3 x = ± 3 ⇔ x = 3± 2 2 3 3 2 1) 3 t + t − 6 = 0  t = 2  2) Xét 1 ≤ x ≤ 3 3 ⇔ 0 ≤ log 3 x ≤ 3 t = log 2 x + 1  3 log 3 x + log 3 x + 1 − 2m − 1 = 0 ⇔  2 2 1 2 m = f (t ) = t + t − 2  2 ( )  PT ban đầu có nghiệm x thỏa 1 ≤ x ≤ 3 3 khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của f(t) với 1 ≤ t ≤ 2  Khảo sát hàm số ta được 0 ≤ m ≤ 2 Tham khảo 2002 Giải PT: 16 log 2 x − 3log 3 x x = 0 2 43. 27 x 1 1 HD: Với ĐK x > 0, x ≠ , x ≠ 3 3 8log 3 x 3log 3 x  Đưa về dạng = 3 + 2 log 3 x 1 + log 3 x  Hoặc log 3 x = 0 ⇔ x = 1 8 3 1  Hoặc = ⇔ log 3 x = ⇔ x = 3 3 + 2 log 3 x 1 + log 3 x 2  x − 13 − 3x − k < 0  Tham khảo 2002 Tìm k để hệ BPT sau có nghiệm:  1 1  log 2 x + log 2 ( x − 1) ≤ 1 2 3 2 3 1 1 log 2 x 2 + log 2 ( x − 1) ≤ 1 3 HD: Xét BPT ta có 2 3  Giải xong được −1 ≤ x ≤ 2 3 3  Xét BPT x − 1 − 3 x − k < 0 ⇔ k > f ( x) = x − 1 − 3 x Xét −1 ≤ x ≤ 1 , k > f ( x) = ( 1 − x ) − 3 x 3   44. ĐH-B2002 Giải BPT : log x log 3 9 − 72 ≤ 1 x ( ( )) 0 < x < 1 x > 1   ( ( ))  ( ) HD: log x log 3 9 − 72 ≤ 1 ⇔ log 3 9 − 72 > 0 ∨ log 3 9 − 72 > 0 x x x ( )   ( ) log 3 9 − 72 ≥ x log 3 9 − 72 ≤ x  x  x ( ) 12
x > 1 x > 1 0 < x < 1   x 0 < x < 1  ⇔ ∨ 9 − 72 > 1 ⇔  x ∨ 3x > 6 2  ( log 3 9 − 72 ≥ x  x x ) 9 − 72 ≤ 3x 9 − 72 ≥ 3  x x x  9 − 3 − 72 ≤ 0 0 < x < 1 x > 1  ⇔ x ∨ 3 ≤ −8 ∨ 3 ≥ 9 6 2 ≤ 3 ≤ 9 x x ⇔ log 3 6 2 < x ≤ 2 ( )  x − 4 y + 3 = 0  45. Tham khảo 2002 Giải HPT   log 4 x − log 2 y = 0  HD:  x ≥ 1, y ≥ 1  x ≥ 1, y ≥ 1  x ≥ 1, y ≥ 1 x − 4 y + 3 = 0     x = 1 x = 9  ⇔ x = 4 y − 3 ⇔ x = 4 y − 3 ⇔ x = 4 y − 3 ⇔ ∨  log 4 x − log 2 y = 0  log x = log y x = y2  y2 − 4 y + 3 = 0 y =1 y = 3  4 2   1− x 2 46. Tham khảo 2002 Tìm m để PT sau có nghiệm: 91+ 1− x 2 − ( a + 2 ) 31+ + 2a + 1 = 0 HD:  t = 3 1− x 2 1+ 1− x 2 9 1+ 1− x 2 − ( a + 2) 3 + 2a + 1 = 0 ⇔  2 9t − 3(a + 2)t + 2a + 1 = 0  1 Với −1≤x≤1 ta có ≤t ≤3 3 1 Ta tìm a để PT 9t 2 − 3(a + 2)t + 2a + 1 = 0 có nghiệm t thỏa ≤t ≤3 3 9t 2 − 6t + 1 9(3t 2 − 4t + 1) 1 Biến đổi PT a = f (t ) = f ′(t ) = , f ′(t ) = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = 3t − 2 (3t − 2) 2 3 x -∞ 1/3 2/3 1 +∞ f’(t) + 0 − − 0 + f(t) 0 +∞ -∞ 4 PT có nghiệm khi a≤0 V a≥4 1 1 Tham khảo 2002 Giải PT: log 2 ( x + 3) + log 4 ( x − 1) = log 2 ( 4 x ) 8 47. 2 4  x > 0, x ≠ 1 1 1  x > 0, x ≠ 1   ( x + 3) + log 4 ( x − 1) = log 2 ( 4 x ) ⇔ log x + 3 + log x − 1 = log (4 x) ⇔  8 HD: log 4x  2( ) log 2 x − 1 = log 2 x + 3 2 2 4  2 2   x > 0, x ≠ 1 0 < x < 1 x > 1    0 < x < 1 x > 1 ⇔ 4x ⇔  4x ∨  4x ⇔  2 ∨ 2  x −1 = x + 3  − x + 1 = x + 3  x − 1 = x + 3   − x − 2 x + 3 = 4 x  x + 2 x − 3 = 4 x 0 < x < 1 x > 1 ⇔ 2 ∨ 2 ⇔ x = −3 + 2 3 ∨ x = 3 x + 6x − 3 = 0 x − 2x − 3 = 0  23 x = 5 y 2 − 4 y  48. ĐH-D-2002 Giải HPT  4 x + 2 x +1  x =y  2 +2 HD: 13
 23 x = 5 y 2 − 4 y  23 x = 5 y 2 − 4 y  x   23 x = 5 y 2 − 4 y   y = 2x   y = 2x  4 + 2 x +1 ⇔  (2 x + 2)2 x ⇔ x ⇔ 3 ⇔ 2 =y =y 2 = y y − 5y + 4y = 0  y − 5y + 4 = 0 2  x  x     2 +2  2 +2  y = 2x x = 0 x = 2 ⇔ ⇔ ∨  y = 1∨ y = 4 y =1 y = 4 log x ( x3 + 2 x 2 − 3 x − 5 y ) = 3  49. Tham khảo 2002 Giải PHƯƠNG TRÌNH :  log y ( y + 2 y − 3 y − 5 x ) = 3 3 2  HD: log x ( x3 + 2 x 2 − 3 x − 5 y ) = 3  x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ 1  x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ 1   3   ⇔  x + 2 x − 3x − 5 y = x ⇔ 2 x 2 − 3 x − 5 y = 0 2 3 log y ( y + 2 y − 3 y − 5 x ) = 3 3 2   y3 + 2 y 2 − 3 y − 5x = y3 2 y 2 − 3 y − 5 x = 0    x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ 1  x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ 1  2  ⇔ 2( x − y ) − 3( x − y ) − 5( y − x) = 0 ⇔ ( x − y )( x + y + 1) = 0 2 4( x 2 + y 2 ) − 3( x + y ) − 5( x + y ) = 0 4( x 2 + y 2 ) − 8( x + y ) = 0    x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ 1  x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ 1   x = 2 ⇔ x = y ∨  y = −1 − x ⇔ 8 x 2 − 16 x = 0 8 x 2 + 8 x + 13 = 0 y = 2   50. x Tham khảo 2002 Giải BPT: log 1 4 + 4 ≥ log 1 2 2x +1 ( − 3.22 . ) ( ) 2 2 x ( HD: log 1 4 + 4 ≥ log 1 2) 2x +1 ( − 3.22 . ⇔ 2   x ) 2 x +1 − 3.22 > 0 2 x +1 ⇔ 4 x ≥ 16 ⇔ x ≥ 2 4 + 4 ≤ 2 − 3.2 2 2 2  14