ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài ging Toán A2ðH
Trang 1
TOÁN CAO CP A2 ðI HC
Tài liu tham kho
1. Giáo trình Toán cao cp A2 – Nguyn Phú Vinh – ðHCN TP. HCM.
2. Ngân hàng câu hi Toán cao cp – ðHCN TP.HCM.
3. Toán cao cp A2 – ð Công Khanh – NXBðHQG TP. HCM.
4. Toán cao cp A2 – Nguyn ðình Trí – NXB Giáo dc.
5. Toán cao cp A2 – Nguyn Vit ðông – NXB Giáo dc.
6. Toán cao cp ði s Tuyn tính – Lê Sĩ ðng – NXB Giáo dc.
7. Bài tp Toán cao cp ði s Tuyn tính – Hoàng Xuân Sính – NXB Giáo dc.
8. ði s tuyn tính – Bùi Xuân Hi (ch biên) – ðHKHTN TP. HCM.
Chương 1. MA TRN – ðNH THC – H PHƯƠNG TRÌNH TUYN TÍNH
§1. MA TRN
1.1. ðnh nghĩa
a) Ma trn A cp
m n
×
trên
ℝ
là 1 h thng gm m.n s
(
)
1, ; 1,
ij
a i m j n
∈ = =ℝ
và ñưc sp xp thành bng:
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
=
(gm m dòng và n ct).
• a
ij
là các phn t ca A dòng th i và ct th j.
• Cp s (m, n) là kích thưc ca A.
• Khi m = 1, A = (a
11
a
12
… a
1n
) là ma trn dòng; n = 1,
11
1
...
m
a
A
a
=
là ma trn ct; m = n = 1, A = (a
11
) (1 phn t).
• Tp hp các ma trn A là
,
( )
m n
M
ℝ
, ñ cho gn ta vit
( )
ij m n
A a
×
=.
b) Hai ma trn A và B bng nhau, ký hiu A = B khi và ch
khi chúng cùng kích thưc và a
ij
= b
ij
.
VD 1.
1 1 0 1
0; 1; 2; 2; 3
2 2 3
x y
x y z u t
z t u
−
= ⇔ = = − = = =
.
c) Ma trn
(0 )
ij m n
×
Ο =
gm tt c các phn t ñu bng 0 là
ma trn không.
d) Khi m = n: A là ma trn vuông cp n, ký hiu
( )
ij n
A a
=
.
Các ma trn vuông ñc bit:
• ðưng chéo cha a
11
, a
22
, …, a
nn
là ñưng chéo chính ca
A, ñưng chéo còn li là ñưng chéo ph.
• Ma trn vuông có tt c các phn t nm ngoài ñưng
chéo chính ñu bng 0 là ma trn chéo.
• Ma trn chéo cp n gm tt c các phn t trên ñưng
chéo chính ñu bng 1 là ma trn ñơn v cp n, ký hiu I
n
.
VD 2.
2
1 0
0 1
I
=
,
3
100
0 1 0
0 0 1
I
=
.
• Ma trn tam giác trên (dưi) cp n là ma trn có các phn
t nm phía dưi (trên) ñưng chéo chính ñu bng 0.
VD 3.
1 0 2
0 1 1
0 0 0
A
−
= −
là ma trn tam giác trên;
3 0 0
4 1 0
1 5 2
B
=
−
là ma trn tam giác dưi.
• Ma trn ñi xng cp n là ma trn có các phn t ñi xng
qua ñưng chéo chính bng nhau (a
ij
= a
ji
).
• Ma trn phn ñi xng cp n là ma trn có các phn t ñi
xng qua ñưng chéo chính ñi nhau (a
ij
= –a
ji
) và tt c các
phn t trên ñưng chéo chính ñu bng 0.
VD 4.
3 4 1
4 1 0
1 0 2
A
−
=
−
là ma trn ñi xng;
0 4 1
4 0 0
1 0 0
B
−
=
−
là ma trn phn ñi xng.
1.2. Các phép toán trên ma trn
a) Phép cng và tr
Cho
( )
ij m n
A a
×
=
,
( )
ij m n
B b
×
=
ta có:
( )
ij ij m n
A B a b
×
± = ±
.
VD 5.
1 0 2 2 0 2 1 0 4
2 3 4 5 3 1 7 0 3
−
+ =
− − −
;
1 0 2 2 0 2 3 0 0
2 3 4 5 3 1 3 6 5
− −
− =
− − − −
.
• Phép cng ma trn có tính giao hoán và kt hp.
b) Nhân vô hưng
Cho
( )
ij m n
A a
×
=
,
λ
∈
ℝ
ta có:
( )
ij m n
A a
λ λ
×
=
.
VD 6.
1 1 0 3 3 0
3
2 0 4 6 0 12
− −
− =
− −
;
2 6 4 1 3 2
2
4 0 8 2 0 4
=
− −
.
• Phép nhân vô hưng có tính phân phi ñi vi phép cng
ma trn.
• Ma trn –A là ma trn ñi ca A.
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài ging Toán A2ðH
Trang 2
c) Nhân hai ma trn
• Cho
( )
ij m n
A a
×
=,
( )
jk n p
B b
×
= ta có:
( )
1
( ) , 1, ; 1,
n
ik m p ik ij jk
j
AB c c a b i m k p
×=
= = = =
∑
.
VD 7. Tính a)
( )
1
1 2 3 2
5
−
−
; b)
1 0 0 0
4 0 3 2
−
;
c)
2 0 1
1 1 1
1 1 2
2 0 3
1 3 2
−
−
−
− −
.
• Phép nhân ma trn có các tính cht:
1) (AB)C = A(BC);
2) A(B + C) = AB + AC;
3) (A + B)C = AC + BC;
4) λ(AB) = (λA)B = A(λB);
5)
n m
AI A I A
= =
, vi
,
( )
m n
A M∈
ℝ
.
VD 8. Tính
a)
1 1 2 0 1 3 2 1 2 1
2 3 0 1 2 1 1 0 2 1
1 1 4 2 1 3 3 1 0 2
− − −
− − − −
− − − −
;
b)
1 0 1 1 2 1
2 2 0 0 3 1
3 0 3 2 1 0
− − −
− −
− −
và
1 2 1 1 0 1
0 3 1 2 2 0
2 1 0 3 0 3
− − −
− −
− −
.
• Phép nhân ma trn không có tính giao hoán.
• ðc bit, khi
( )
ij n
A a
=
và
*
p∈
ℕ
ta có:
A
0
= I
n
; A
p
= A
p–1
A (lũy th"a ma trn).
VD 9. a) Cho
1 1
0 1
A
−
=
, tính A
2009
;
b) Cho
2 0
1 2
B
=
, tính (I
2
– B)
2009
.
VD 10. Cho A = (a
ij
) là ma trn vuông cp 100 có các phn
t dòng th i là (–1)
i
. Tìm phn t a
36
ca A
2
.
d) Phép chuyn v
• Cho
( )
ij m n
A a
×
=
, ma trn chuyn v ca A là:
( )
T
ji n m
A a
×
=
(chuyn tt c dòng thành ct).
• Tính cht:
1) (A + B)
T
= A
T
+ B
T
;
2) (λA)
T
= λA
T
;
3) (A
T
)
T
= A;
4) (AB)
T
= B
T
A
T
;
5)
T
A A
= ⇔
A ñi xng;
6)
T
A A
= − ⇔
A phn xng.
1.3. Phép bin ñi sơ cp trên dòng ca ma trn
a) ðnh nghĩa
• Cho
( )
ij m n
A a
×
=
( 2)
m
≥
. Các phép bi
n
ñ#
i s
ơ
c
p dòng
e trên A là:
– (e
1
): Hoán v
hai dòng cho nhau
i k
d d
A A
↔
′
→
.
– (e
2
): Nhân 1 dòng v
i s
0
λ
≠
,
i i
d d
A A
λ
→
′′
→
.
– (e
3
): Thay 1 dòng b
i t
#
ng c
a dòng
ñ
ó v
i tích
λ
dòng
khác
i i k
d d d
A A
λ
→ +
′′′
→
.
Chú ý
1) Trong th
$
c hành ta th
ư
ng làm
i i k
d d d
A B
µ λ
→ +
→
.
2) Sau 1 s
h
%
u h
n các PB
ð
SC dòng ta
ñư
c ma tr
n
B t
ươ
ng
ñươ
ng v
i A, ký hi
u
B A
∼
.
3) T
ươ
ng t
$
, ta c
ũ
ng có các phép bi
n
ñ#
i s
ơ
c
p trên
c
t c
a ma tr
n.
VD 11.
Cho
1 2 3
2 1 1
3 1 2
A
−
= −
−
và
1 2 3
0 1 7 / 5
0 0 0
B
−
= −
.
Ch
ng t
A B
∼
.
b) Ma trn sơ cp
• Ma tr
n thu
ñư
c t
"
I
n
b
i
ñ
úng 1 phép bi
n
ñ#
i s
ơ
c
p
dòng (c
t) là ma tr
n s
ơ
c
p.
VD 12.
0 0 1
010
100
,
1 0 0
0 5 0
0 0 1
−
và
1 0 0
2 1 0
0 0 1
là các ma
tr
n s
ơ
c
p.
1.4. Ma trn bc thang và ma trn bc thang rút gn
a) Ma trn bc thang
• Hàng có t
t c
các ph
n t
ñ
u b
ng 0
ñư
c g
i là hàng
b
ng 0.
• Ph
n t
khác 0
ñ
u tiên tính t
"
trái sang c
a 1 hàng
ñư
c
g
i là ph
n t
cơ s
c
a hàng
ñ
ó.
• Ma tr
n b
c thang là ma tr
n khác 0 c
p
m n
×
( , 2)
m n
≥
th
a:
1) Các hàng b
ng 0
d
ư
i các hàng khác 0;
2) Ph
n t
c
ơ
s
c
a 1 hàng b
t k
ỳ
n
m bên ph
i
ph
n t
c
ơ
s
c
a hàng trên nó.
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài ging Toán A2ðH
Trang 3
VD 13.
+
1 0 2
0 0 3
0 0 0
,
0 1 2 3
0 0 4 5
0 0 0 1
và I
n
là các ma trn bc thang;
+
0 2 7
0 3 4
0 0 5
và
2 3 5
0 0 0
0 1 3
không là ma trn bc thang.
ðnh lý
• Mi ma trn ñu có th ñưa v bc thang bng h%u hn
phép bin ñ#i sơ cp trên dòng.
b) Ma trn bc thang rút gn
• Ma trn bc thang rút gn là ma trn bc thang có phn t
cơ s ca mt dòng bt kỳ ñu bng 1 và là phn t khác 0
duy nht ca ct cha nó.
VD 14.
I
n
,
1 3 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
và
0 1 0 3
0 0 1 2
0 0 0 0
là các ma trn bc
thang rút gn.
1.5. Ma trn kh nghch
a) ðnh nghĩa
• Ma trn
( )
n
A M∈
ℝ
ñưc gi là kh nghch nu tn ti
( )
n
B M∈
ℝ
sao cho AB = BA = I
n
.
Ma trn B là duy nht và ñưc gi là ma trn nghch ño
ca A, ký hiu A
–1
. Khi ñó:
A
–1
A = AA
–1
= I
n
; (A
–1
)
–1
= A.
• Nu B là ma trn nghch ño ca A thì A cũng là ma trn
nghch ño ca B.
VD 15.
2 5
1 3
A
=
và
3 5
1 2
B
−
=
−
là nghch ño ca nhau vì
AB = BA = I
2
.
Nhn xét
1) Nu ma trn vuông A có 1 dòng (hoc 1 ct)
bng 0 thì không kh nghch.
2) Mi ma trn sơ cp ñu kh nghch và ma trn
nghch ño cũng là ma trn sơ cp.
3) (AB)
–1
= B
–1
A
–1
.
b) Tìm ma trn nghch ño bng phép bin ñi sơ cp
dòng
• Cho
( )
n
A M∈
ℝ
, ta tìm A
–1
như sau:
Bưc 1.
Lp ma trn
(
)
n
A I
(ma trn chia khi) bng cách ghép I
n
vào bên phi A.
Bưc 2.
Dùng phép bin ñ#i sơ cp dòng ñ ñưa
(
)
n
A I
v dng
(
)
A B
′
(
A
′
là ma trn bc thang dòng rút gn).
1) Nu
A
′
có 1 dòng (ct) bng 0 hoc
n
A I
′
≠
thì A
không kh nghch.
2) Nu
n
A I
′
=
thì A kh nghch và A
–1
= B.
VD 16. Tìm ma trn nghch ño (nu có) ca:
1 1 0 1
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1
A
−
−
=
và
1 1 1
1 0 1
2 1 0
B
−
=
.
§2. ðNH THC
2.1. ðnh nghĩa
a) Ma trn con cp k
• Cho ma trn vuông
(
)
( )
ij n
n
A a M= ∈
ℝ
. Ma trn vuông
cp k ñưc lp t" các phn t nm trên giao k dòng và k ct
ca A ñưc gi là ma trn con cp k ca A.
• Ma trn M
ij
cp n–1 thu ñưc t" A bng cách b ñi dòng
th i và ct th j là ma trn con ca A ng vi phn t a
ij
.
b) ðnh thc
• ðnh thc cp n ca ma trn vuông
(
)
( )
ij n
n
A a M= ∈
ℝ
,
ký hiu detA hay
A
, là 1 s th$c ñưc ñnh nghĩa:
1) A cp 1:
11 11
( ) det
A a A a
=
⇒
=
;
2) A cp 2:
11 12
11 22 12 21
21 22
det
a a
A A a a a a
a a
=
⇒
= −
;
3) A cp n: det A = a
11
A
11
+ a
12
A
12
+ … + a
1n
A
1n
, trong
ñó A
ij
= (–1)
i+j
det(M
ij
) là phn bù ñi s ca phn t a
ij
.
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài ging Toán A2ðH
Trang 4
Chú ý
•
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13
31 32 33
a a a
a a a a a a a a a a a a
a a a
= + +
31 22 13 12 21 33 23 32 11
a a a a a a a a a
− − −
(quy tc 6 ñưng chéo).
ðc bit.
det I
n
= 1, det 0
n
= 0.
VD 1. Tính các ñnh thc ca:
3 2
1 4
A
−
=
,
1 2 1
3 2 1
2 1 1
B
−
= −
và
1 0 2 0
4 1 2 1
3 1 0 2
2 3 3 5
C
−
=
.
2.2. Các tính cht cơ bn ca ñnh thc
• Cho ma trn vuông
(
)
( )
ij n
n
A a M= ∈
ℝ
, ta có các tính
cht cơ bn sau:
Tính cht 1
(
)
det det
T
A A
=
.
VD 2.
1 3 2 1 2 1
2 2 1 3 2 1
1 1 1 2 1 1
−
− = −
−
;
1 3 2 1 0 0
0 2 1 3 2 0
0 0 1 2 1 1
− = −
.
Tính cht 2. Hoán v hai dòng (ct) cho nhau thì ñnh thc
ñ#i du.
VD 3.
1 3 2 1 1 1 1 1 1
2 2 1 2 2 1 2 2 1
1 1 1 1 3 2 3 1 2
− −
− = − − = −
−
.
H qu
• ðnh thc có ít nht 2 dòng (ct) ging nhau thì bng 0.
VD 4.
3 3 1
2 2 1 0
1 1 7
=
;
2 3
2 5
2 5
1 0
1
x x x
y y
y y
=
;
2 5
2 5
2 5
1
1 0
1
y y
y y
y y
=
.
Tính cht 3. Nhân 1 dòng (ct) vi s th$c λ thì ñnh thc
tăng lên λ ln.
VD 5.
3 0 3 1 0 1
2 1 2 3 2 1 2
3 1 7 3 1 7
− −
− = −
;
3 3
3 3
3 3
1 1
( 1) 1 1
1 1
x x x x x
x y y x y y
z z x z z
+
+ = +
+
.
H qu
1) ðnh thc có ít nht 1 dòng (ct) bng 0 thì bng 0.
2) ðnh thc có 2 dòng (ct) t l vi nhau thì ñnh thc
bng 0.
Tính cht 4
• Nu ñnh thc có 1 dòng (ct) mà m)i phn t là t#ng ca
2 s hng thì có th tách thành t#ng 2 ñnh thc.
VD 6.
3 3 3
3 3 3
3 3 3
1 1
1 1
1 1
x x x x x x x x
x y y x y y y y
x z z x z z z z
+
+ = +
− −
.
Tính cht 5
• ðnh thc s* không ñ#i nu ta cng vào 1 dòng (ct) vi λ
ln dòng (ct) khác.
VD 7. Tính các ñnh thc:
123
1 2 1
2 3 4
− −
;
1 1
1 1
1 1
x
x
x
.
Chú ý
• Phép bin ñ#i
1 2 1
2
1 5 0 7
2 3 1 3
d d d→ −
−
=
là sai do dòng 1 ñã
nhân vi s –2.
2.3. ðnh lý Laplace
• Cho ma trn vuông
(
)
( )
ij n
n
A a M= ∈
ℝ
, ta có các khai
trin det A sau:
a) Khai trin theo dòng th i
1 1 2 2
1
det ...
, ( 1) det( )
i i i i in in
n
i j
ij ij ij ij
j
A a A a A a A
a A A M
+
=
= + + +
= = −
∑
.
b) Khai trin theo ct th j
1 1 2 2
1
det ...
, ( 1) det( )
j j j j nj nj
n
i j
ij ij ij ij
i
A a A a A a A
a A A M
+
=
= + + +
= = −
∑
.
VD 8. Tính ñnh thc
1 0 0 2
2 1 1 2
1 2 2 3
3 0 2 1
bng cách khai trin theo dòng 1; ct 2.
VD 9. Áp dng tính cht và ñnh lý Laplace, tính ñnh thc:
1 1 1 2
2 1 1 3
1 2 1 2
3 3 2 1
−
−
.
Các kt qu ñc bit:
1)
11 12 1 11
22 2 21 22
11 22
1 2
... 0 ... 0
0 ... ... 0
...
... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 ... ...
n
n
nn
nn n n nn
a a a a
a a a a
a a a
a a a a
= =
(dng tam giác).
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài ging Toán A2ðH
Trang 5
2) det(AB) = detA.detB (ñnh thc ca tích hai ma trn).
3)
det .det
0
n
A B
A C
C=
, vi
, , ( )
n
A B C M∈
ℝ
(ñnh thc chia khi).
VD 10. a)
1 2 3 4
0 2 7 19 1 2 3 0
0 0 3 0 0 2 0 1
0 0 0 1
−=
− −
−
;
b)
1 1 1 2 1 4 1 1 1 2 1 4
2 0 3 2 1 3 2 0 3 2 1 3
1 2 3 1 2 1 1 2 3 1 2 1
− −
=
− −
;
c)
1 1 1 2 1 4 3 1 4
2 0 3 2 1 3 0 1 2
1 2 3 1 2 1 1 2 1
T
− −
=
−
1 1 1 2 1 4 3 1 4
2 0 3 2 1 3 0 1 2
1 2 3 1 2 1 1 2 1
− −
=
−
.
2.4. ng dng ñnh thc tìm ma trn nghch ño
a) ðnh lý
• Ma trn vuông A kh nghch khi và ch khi det A khác 0.
b) Thut toán tìm A
–1
• Bưc 1
Tính det A. Nu det A = 0 thì kt lun A không kh nghch,
ngưc li làm tip bưc 2.
• Bưc 2
Lp ma trn
(
)
(
)
T
T
ij ij
n n
A A A
⇒=
(ma trn ph hp ca A).
• Bưc 3. Ma trn nghch ño là:
1
1
.
det
T
A A
A
−
=
.
VD 11. Tìm ma trn nghch ño (nu có) ca:
1 2 1
1 1 2
3 5 4
A
=
và
1 2 1
0 1 1
1 2 3
B
=
.
Nhn xét
• Nu
0
ac bd
− ≠
thì:
1
1
a b c b
d c d a
ac bd
−
−
=
−
−
.
2.5. H ng ca ma trn
a) ðnh thc con cp k
• Cho ma trn
(
)
ij
m n
A a
×
=
. ðnh thc ca ma trn con cp
k ca A ñưc gi là ñnh thc con cp k ca A.
ðnh lý
• Nu trong ma trn A tt c các ñnh thc con cp k ñu
bng 0 thì các ñnh thc con cp k + 1 cũng bng 0.
b) H ng ca ma trn
• Hng ca ma trn A là cp cao nht ca ñnh thc con
khác 0 ca A, ký hiu r(A). Ta có:
1 ( ) min{ , }
r A m n
≤ ≤
.
• N
u A là ma tr
n không thì ta quy
ư
c r(A) = 0.
c) Phương pháp tìm h ng ca ma trn
ðnh lý
• H
ng c
a ma tr
n b
c thang (dòng) b
ng s
dòng khác 0
c
a ma tr
n
ñ
ó.
• Cho A là ma vuông c
p n,
( ) det 0
r A n A
= ⇔ ≠
.
Phương pháp
• B
ư
c 1. Dùng PB
ð
SC dòng
ñư
a ma tr
n A v
b
c thang.
• B
ư
c 2. S
dòng khác 0 c
a A sau bi
n
ñ#
i là r(A).
VD 12.
Tìm h
ng c
a ma tr
n
2 1 1 3
0 1 0 0
0 1 2 0
0 1 1 4
A
−
−
=
− −
.
VD 13.
Tìm h
ng c
a ma tr
n
1 3 4 2
2 5 1 4
3 8 5 6
A
−
= −
−
.
VD 14.
Tùy theo giá tr
m, tìm h
ng c
a ma tr
n
1 2 1 1 1
1 1 1 1
1 0 1 1
1 2 2 1 1
m
Am
− −
− − −
=
−
.
![Bài giảng Hình học họa hình: Bài mở đầu - Giới thiệu [Chuẩn SEO]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250823/kimphuong1001/135x160/99131755935505.jpg)
