Slide bài giảng toán a2 đại học

Chia sẻ: Nguyen Thi Gioi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

2.778
lượt xem 1.025
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Toán cao câp A2 – Nguyen Phú Vinh – ĐHCN TP. HCM. 2. Ngân hàng câu hỏi Toán cao câp – ĐHCN TP.HCM. 3. Toán cao câp A2 – ðo Công Khanh – NXBĐHQG TP. HCM. 4. Toán cao câp A2 – Nguyen ðình Trí – NXB Giáo dục. 5. Toán cao câp A2 – Nguyen Viêt ðông – NXB Giáo dục. 6. Toán cao câp đại số Tuyên tính – Lê Sĩ Đông – NXB Giáo dục.

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Slide bài giảng toán a2 đại học

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH TOÁN CAO C P A2 ð I H C Tài li u tham kh o 1. Giáo trình Toán cao c p A2 – Nguy n Phú Vinh – ðHCN TP. HCM. 2. Ngân hàng câu h i Toán cao c p – ðHCN TP.HCM. 3. Toán cao c p A2 – ð Công Khanh – NXBðHQG TP. HCM. 4. Toán cao c p A2 – Nguy n ðình Trí – NXB Giáo d c. 5. Toán cao c p A2 – Nguy n Vi t ðông – NXB Giáo d c. 6. Toán cao c p ð i s Tuy n tính – Lê Sĩ ð ng – NXB Giáo d c. 7. Bài t p Toán cao c p ð i s Tuy n tính – Hoàng Xuân Sính – NXB Giáo d c. 8. ð i s tuy n tính – Bùi Xuân H i (ch biên) – ðHKHTN TP. HCM. Chương 1. MA TR N – ð NH TH C – H PHƯƠNG TRÌNH TUY N TÍNH §1. MA TR N 1.1. ð nh nghĩa • Khi m = 1, A = (a11 a12 … a1n) là ma tr n dòng; n = 1, a) Ma tr n A c p m × n trên ℝ là 1 h th ng g m m.n s  a11  ( ) A =  ...  là ma tr n c t; m = n = 1, A = (a11) (1 ph n t ). aij ∈ ℝ i = 1, m; j = 1, n và ñư c s p x p thành b ng:   a   m1   a11 a12 ... a1n  a  • T p h p các ma tr n A là M m ,n (ℝ ) , ñ cho g n ta vi t  21 a22 ... a2 n  (g m m dòng và n c t). A= A = ( aij )m×n .  ... ... ... ...     am1 am 2 ... amn  b) Hai ma tr n A và B b ng nhau, ký hi u A = B khi và ch • aij là các ph n t c a A dòng th i và c t th j. khi chúng cùng kích thư c và aij = bij. • C p s (m, n) là kích thư c c a A. VD 1. Các ma tr n vuông ñ c bi t: y   1 0 −1  • ðư ng chéo ch a a11, a22, …, ann là ñư ng chéo chính c a 1 x =  ⇔ x = 0; y = −1; z = 2; u = 2; t = 3 . z 2 A, ñư ng chéo còn l i là ñư ng chéo ph .  t  2 u 3  • Ma tr n vuông có t t c các ph n t n m ngoài ñư ng chéo chính ñ u b ng 0 là ma tr n chéo. c) Ma tr n Ο = (0ij )m×n g m t t c các ph n t ñ u b ng 0 là • Ma tr n chéo c p n g m t t c các ph n t trên ñư ng chéo chính ñ u b ng 1 là ma tr n ñơn v c p n, ký hi u In. ma tr n không.  1 0 0 1 0   d) Khi m = n: A là ma tr n vuông c p n, ký hi u A = ( aij ) n . VD 2. I 2 =   , I3 =  0 1 0  . 0 1 0 0 1   • Ma tr n tam giác trên (dư i) c p n là ma tr n có các ph n • Ma tr n ph n ñ i x ng c p n là ma tr n có các ph n t ñ i t n m phía dư i (trên) ñư ng chéo chính ñ u b ng 0. x ng qua ñư ng chéo chính ñ i nhau (aij = –aji) và t t c các  1 0 −2  ph n t trên ñư ng chéo chính ñ u b ng 0. VD 3. A =  0 −1 1  là ma tr n tam giác trên;   4 −1  3 0 0 0    VD 4. A =  4 1 0  là ma tr n ñ i x ng;    3 0 0  −1  0 2  B =  4 1 0  là ma tr n tam giác dư i.   −4 1  0  −1 5 2    B= 4 0 0  là ma tr n ph n ñ i x ng.   • Ma tr n ñ i x ng c p n là ma tr n có các ph n t ñ i x ng  −1  0 0  qua ñư ng chéo chính b ng nhau (aij = aji). b) Nhân vô hư ng 1.2. Các phép toán trên ma tr n Cho A = ( aij )m×n , λ ∈ ℝ ta có: a) Phép c ng và tr Cho A = ( aij )m×n , B = (bij ) m×n ta có: λ A = (λ aij ) m×n . A ± B = ( aij ± bij )m×n .  −1 1 0   3 −3 0  VD 6. −3  = ;  −1 2  2 0 2 1 4 0 0  −2 0 −4   6 0 12  + = VD 5.  ; 3 −4   5 −3 1   7 0 −3  2  2 6 4  1 3 2  −4 0 8  = 2  −2 0 4  .  −1 0 2   2 0 2   −3 0 0     − = . 2 3 −4   5 −3 1   −3 6 −5   • Phép nhân vô hư ng có tính phân ph i ñ i v i phép c ng ma tr n. • Ma tr n –A là ma tr n ñ i c a A. • Phép c ng ma tr n có tính giao hoán và k t h p. Trang 1
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH c) Nhân hai ma tr n • Phép nhân ma tr n có các tính ch t: • Cho A = ( aij )m×n , B = (b jk )n× p ta có: 1) (AB)C = A(BC); ( ) n AB = ( cik )m× p , cik = ∑ aij b jk i = 1, m; k = 1, p . 2) A(B + C) = AB + AC; 3) (A + B)C = AC + BC; j =1 4) λ(AB) = (λA)B = A(λB);  −1  5) AI n = A = I m A , v i A ∈ M m ,n (ℝ ) .  1 0 0 0 VD 7. Tính a) (1 2 3)  2  ; b)  ;    4 0   −3 2   −5   VD 8. Tính  1 −1 2   0 1 3   2 −1 2   −1  2 0 1  1 1 −1    2 −3 0   −1 −2 1   1 0 −2   1  ;  1 −1 2  . c)  a)  −2 0 3         −1 3 −2   −1 1 4   2 −1 −3   3 1 0   −2          1 −1  1 0 −1   −1 −2 1  VD 9. a) Cho A =  2009  , tính A ; b)  2 −2 0   0 −3 1  và  0 1     3 0 −3   2 −1 0   2 0    b) Cho B =  2009  , tính (I2 – B) .  −1 −2 1   1 0 −1   1 2  0 −3 1   2 −2 0  . VD 10. Cho A = (aij) là ma tr n vuông c p 100 có các ph n    dòng th i là (–1)i. Tìm ph n t a36 c a A2.  2 −1 0   3 0 −3  t    d) Phép chuy n v • Phép nhân ma tr n không có tính giao hoán. • Cho A = ( aij )m×n , ma tr n chuy n v c a A là: • ð c bi t, khi A = ( aij ) n và p ∈ ℕ* ta có: AT = (a ji )n ×m (chuy n t t c dòng thành c t). A0 = In; Ap = Ap–1A (lũy th a ma tr n). – (e1): Hoán v hai dòng cho nhau A  A′ . di ↔ d k → • Tính ch t: 1) (A + B)T = AT + BT; di → λ di – (e2): Nhân 1 dòng v i s λ ≠ 0 , A → A′′ . 2) (λA)T = λAT; – (e3): Thay 1 dòng b i t ng c a dòng ñó v i tích λ dòng 3) (AT)T = A; di → di + λ d k khác A → A′′′ . 4) (AB)T = BTAT; 5) AT = A ⇔ A ñ i x ng; Chú ý 6) AT = − A ⇔ A ph n x ng. di → µ d i + λ d k 1) Trong th c hành ta thư ng làm A  B . → 2) Sau 1 s h u h n các PBðSC dòng ta ñư c ma tr n 1.3. Phép bi n ñ i sơ c p trên dòng c a ma tr n B tương ñương v i A, ký hi u B ∼ A . a) ð nh nghĩa 3) Tương t , ta cũng có các phép bi n ñ i sơ c p trên • Cho A = ( aij )m×n (m ≥ 2) . Các phép bi n ñ i sơ c p dòng c t c a ma tr n. e trên A là:  1 −2 3   1 −2 1.4. Ma tr n b c thang và ma tr n b c thang rút g n 3  2 1 −1 và B =  0 1 −7 / 5  . VD 11. Cho A =     a) Ma tr n b c thang  3 −1 2  0 0  0    • Hàng có t t c các ph n t ñ u b ng 0 ñư c g i là hàng b ng 0. Ch ng t A ∼ B . • Ph n t khác 0 ñ u tiên tính t trái sang c a 1 hàng ñư c b) Ma tr n sơ c p g i là ph n t cơ s c a hàng ñó. • Ma tr n thu ñư c t In b i ñúng 1 phép bi n ñ i sơ c p dòng (c t) là ma tr n sơ c p. • Ma tr n b c thang là ma tr n khác 0 c p m × n (m, n ≥ 2) 0 0 1 1 0 0  1 0 0  0 1 0  ,  0 −5 0  và  2 1 0  là các ma th a: VD 12.      1) Các hàng b ng 0 dư i các hàng khác 0; 1 0 0 0 0 1 0 0 1      2) Ph n t cơ s c a 1 hàng b t kỳ n m bên ph i tr n sơ c p. ph n t cơ s c a hàng trên nó. Trang 2
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH VD 13. b) Ma tr n b c thang rút g n 1 0 2 0 1 2 3 +  0 0 3 ,  0 0 4 5  và In là các ma tr n b c thang; • Ma tr n b c thang rút g n là ma tr n b c thang có ph n t    cơ s c a m t dòng b t kỳ ñ u b ng 1 và là ph n t khác 0 0 0 0 0 0  0 1   duy nh t c a c t ch a nó. 0 2 7 2 3 5  0 3 4  và  0 0 0  không là ma tr n b c thang. VD 14. +    1 3 0 0  0 1 0 3 0 0 5 0  I n,  0 0  và  0 0 1 2  là các ma tr n b c 1 3    1 0    0 0  0 0 0 0 0 1    ð nh lý thang rút g n. • M i ma tr n ñ u có th ñưa v b c thang b ng h u h n phép bi n ñ i sơ c p trên dòng. 1.5. Ma tr n kh ngh ch VD 15.  3 −5   2 5 A=  và B =  −1 2  là ngh ch ñ o c a nhau vì a) ð nh nghĩa  1 3   AB = BA = I2. • Ma tr n A ∈ M n (ℝ ) ñư c g i là kh ngh ch n u t n t i B ∈ M n ( ℝ ) sao cho AB = BA = In. Nh n xét Ma tr n B là duy nh t và ñư c g i là ma tr n ngh ch ñ o 1) N u ma tr n vuông A có 1 dòng (ho c 1 c t) c a A, ký hi u A–1. Khi ñó: b ng 0 thì không kh ngh ch. A–1A = AA–1 = In; (A–1)–1 = A. 2) M i ma tr n sơ c p ñ u kh ngh ch và ma tr n ngh ch ñ o cũng là ma tr n sơ c p. 3) (AB)–1 = B–1A–1. • N u B là ma tr n ngh ch ñ o c a A thì A cũng là ma tr n ngh ch ñ o c a B. 1) N u A′ có 1 dòng (c t) b ng 0 ho c A′ ≠ I n thì A b) Tìm ma tr n ngh ch ñ o b ng phép bi n ñ i sơ c p dòng không kh ngh ch. • Cho A ∈ M n (ℝ ) , ta tìm A–1 như sau: 2) N u A′ = I n thì A kh ngh ch và A–1 = B. Bư c 1. L p ma tr n ( A I n ) (ma tr n chia kh i) b ng cách ghép In VD 16. Tìm ma tr n ngh ch ñ o (n u có) c a:  1 −1 0 1  vào bên ph i A.  1 1 −1   0 −1 1 0  Bư c 2.  và B =  1 0 1  . A= Dùng phép bi n ñ i sơ c p dòng ñ ñưa ( A I n ) v d ng   0 0 1 1 2 1 0      ( A′ B ) ( A′ là ma tr n b c thang dòng rút g n). 0 0 0 1 §2. ð NH TH C 2.1. ð nh nghĩa b) ð nh th c • ð nh th c c p n c a ma tr n vuông A = ( aij ) ∈ M n ( ℝ ) , a) Ma tr n con c p k n • Cho ma tr n vuông A = ( aij ) ∈ M n ( ℝ ) . Ma tr n vuông ký hi u detA hay A , là 1 s th c ñư c ñ nh nghĩa: n c p k ñư c l p t các ph n t n m trên giao k dòng và k c t 1) A c p 1: A = ( a11 ) ⇒ det A = a11 ; c a A ñư c g i là ma tr n con c p k c a A. a a12  2) A c p 2: A =  11  ⇒ det A = a11a22 − a12 a21 ; • Ma tr n Mij c p n–1 thu ñư c t A b ng cách b ñi dòng  a21 a22  th i và c t th j là ma tr n con c a A ng v i ph n t aij. 3) A c p n: det A = a11A11 + a12A12 + … + a1nA1n, trong ñó Aij = (–1)i+jdet(Mij) là ph n bù ñ i s c a ph n t aij. Trang 3
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH 2.2. Các tính ch t cơ b n c a ñ nh th c Chú ý • Cho ma tr n vuông A = ( aij ) ∈ M n ( ℝ ) , ta có các tính a11 a12 a13 n a23 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a21a32 a13 • a21 a22 ch t cơ b n sau: Tính ch t 1 a31 a32 a33 det ( AT ) = det A . −a31a22 a13 − a12 a21a33 − a23a32 a11 (quy t c 6 ñư ng chéo). −1 ð c bi t. 1 3 2 1 2 det In = 1, det 0n = 0. −2 1 = 3 −2 VD 2. 2 1; VD 1. Tính các ñ nh th c c a: −1 1 1 2 1 1 1 0 2 0   1 2 −1   4 1 2 −1   3 −2  1 3 2 1 0 0 , B =  3 −2 1  và C =  . A=    0 −2 1 = 3 −2 0 . 3 1 0 2  1 4  2 1 1      0 0 1 2 1 1 2 3 3 5  Tính ch t 2. Hoán v hai dòng (c t) cho nhau thì ñ nh th c Tính ch t 3. Nhân 1 dòng (c t) v i s th c λ thì ñ nh th c ñ i d u. tăng lên λ l n. 3 0 −3 1 0 −1 VD 3. −1 1 1 1 −1 1 132 VD 5. 2 1 −2 = 3 2 1 −2 ; −2 1 = − 2 −2 1 = −2 2 2 1. 31 7 31 7 −1 1 1 1 3 2 3 1 2 x +1 x 3 x3 1x x H qu ( x + 1) 1 y y3 = x +1 y y3 . • ð nh th c có ít nh t 2 dòng (c t) gi ng nhau thì b ng 0. x +1 z z3 z3 1z VD 4. x x2 x3 1 y2 y5 331 H qu 1) ð nh th c có ít nh t 1 dòng (c t) b ng 0 thì b ng 0. y =0; 1 y y =0. 2 2 1 =0; 1 2 5 2 5 y 2) ð nh th c có 2 dòng (c t) t l v i nhau thì ñ nh th c y2 y5 1 y2 y5 117 1 b ng 0. Tính ch t 4 Chú ý 1 5 d1 →d 2 − 2 d1 0 −7 • N u ñ nh th c có 1 dòng (c t) mà m i ph n t là t ng c a = • Phép bi n ñ i là sai do dòng 1 ñã 2 s h ng thì có th tách thành t ng 2 ñ nh th c. 23 13 x + 1 x x3 x x x3 1 x x3 nhân v i s –2. VD 6. x + 1 y y3 = x y3 + 1 y3 . y y x −1 z −1 z 2.3. ð nh lý Laplace z3 z3 z3 x z • Cho ma tr n vuông A = ( aij ) ∈ M n ( ℝ ) , ta có các khai Tính ch t 5 n • ð nh th c s không ñ i n u ta c ng vào 1 dòng (c t) v i λ tri n det A sau: l n dòng (c t) khác. a) Khai tri n theo dòng th i det A = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ... + ain Ain 123 x11 VD 7. Tính các ñ nh th c: −1 2 −1 ; 1 x 1. n . = ∑ aij Aij , Aij = ( −1)i + j det( M ij ) 2 3 4 11 x j =1 VD 9. Áp d ng tính ch t và ñ nh lý Laplace, tính ñ nh th c: b) Khai tri n theo c t th j det A = a1 j A1 j + a2 j A2 j + ... + anj Anj 1112 2 −1 1 3 . n = ∑ aij Aij , Aij = ( −1)i + j det( M ij ) . 1 2 −1 2 i =1 3 3 2 1 1002 Các k t qu ñ c bi t: 2112 VD 8. Tính ñ nh th c a11 a12 ... a1n a11 0 ... 0 1223 0 a22 ... a2 n a21 a22 ... 0 3021 = = a11a22 ...ann 1) ... ... ... ... ... ... ... ... b ng cách khai tri n theo dòng 1; c t 2. 0 0 ... ann an1 an 2 ... ann (d ng tam giác). Trang 4
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH 2) det(AB) = detA.detB (ñ nh th c c a tích hai ma tr n).  1 1 −1   2 1 4   −3 1 4  T c)  2 0 3   2 1 3   0 1 2  = AB = det A.det C , v i A, B, C ∈ M n ( ℝ) 3)     0n C  1 2 −3   1 2 1   1 2 1      (ñ nh th c chia kh i). 1 1 −1 2 1 4 −3 1 4 1234 =2 0 3 2 1 3 0 1 2. 0 −2 7 19 1 2 3 0 = VD 10. a) ; 1 2 −3 1 2 1 1 2 1 0 −2 0 −1 0030 0 −1 0 0 2.4. ng d ng ñ nh th c tìm ma tr n ngh ch ñ o  1 1 −1   2 1 4  1 1 −1 2 1 4 a) ð nh lý b)  2 0 3   2 1 3  = 2 0 3 2 1 3 ; • Ma tr n vuông A kh ngh ch khi và ch khi det A khác 0.     1 2 −3   1 2 1  1 2 −3 1 2 1    b) Thu t toán tìm A–1 VD 11. Tìm ma tr n ngh ch ñ o (n u có) c a: 1 2 1 1 2 1  1 1 2  và B =  0 1 1 . • Bư c 1 A=    Tính det A. N u det A = 0 thì k t lu n A không kh ngh ch, 3 5 4 1 2  3    ngư c l i làm ti p bư c 2. • Bư c 2 Nh n xét L p ma tr n ( Aij ) ⇒ A = ( Aij ) (ma tr n ph h p c a A). T T • N u ac − bd ≠ 0 thì: n n −1 −b   a b c 1 d c = • Bư c 3. Ma tr n ngh ch ñ o là:  −d . ac − bd    a 1 T A−1 = .A . det A c) Phương pháp tìm h ng c a ma tr n 2.5. H ng c a ma tr n a) ð nh th c con c p k ð nh lý • Cho ma tr n A = ( aij ) • H ng c a ma tr n b c thang (dòng) b ng s dòng khác 0 . ð nh th c c a ma tr n con c p m×n c a ma tr n ñó. k c a A ñư c g i là ñ nh th c con c p k c a A. • Cho A là ma vuông c p n, r ( A) = n ⇔ det A ≠ 0 . ð nh lý Phương pháp • N u trong ma tr n A t t c các ñ nh th c con c p k ñ u • Bư c 1. Dùng PBðSC dòng ñưa ma tr n A v b c thang. b ng 0 thì các ñ nh th c con c p k + 1 cũng b ng 0. • Bư c 2. S dòng khác 0 c a A sau bi n ñ i là r(A).  2 1 −1 3  b) H ng c a ma tr n  0 −1 0 0  • H ng c a ma tr n A là c p cao nh t c a ñ nh th c con VD 12. Tìm h ng c a ma tr n A =  . 0 1 2 0  khác 0 c a A, ký hi u r(A). Ta có: 1 ≤ r ( A) ≤ min{m, n} .    0 −1 1 −4  • N u A là ma tr n không thì ta quy ư c r(A) = 0. VD 13. Tìm h ng c a ma tr n −3 4 2  1 A = 2 −5 1 4  .   3  −8 5 6   VD 14. Tùy theo giá tr m, tìm h ng c a ma tr n  −1 2 1 −1 1   m −1 1 −1 −1 A= . 1 m 0 1 1   −1 1  1 2 2 Trang 5
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH §3. H PHƯƠNG TRÌNH TUY N TÍNH 3.1. ð nh nghĩa  b1  B =  ...  = ( b1 ... bm ) (ma tr n c t t do) • H phương trình tuy n tính g m n n và m phương trình T  có d ng: b   m a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a x + a x + ... + a x = b  x1   21 1 22 2 và X =  ...  = ( x1 ... xn ) là ma tr n c t n. 2n n 2  (1). T  ................................................. x  am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm  n  Khi ñó, h (1) tr thành AX = B .  a11 ... a1n  ð t A =  ... ... ...  = ( aij ) (ma tr n h s ), • B s α = (α1 ... α n ) ñư c g i là nghi m c a (1) n u   T m×n a   m1 ... amn  Aα = B .  x1 − x2 + 2 x3 + 4 x4 = 4 3.2. ð nh lý Crocneker – Capelli  VD 1. Cho h phương trình: 2 x1 + x2 + 4 x3 = −3 • Cho h phương trình tuy n tính AX = B. Xét ma tr n m 2 x − 7 x = 5 2  a11 a12 ... a1n b1  3   r ng A = ( A B ) =  ... ðưa h v d ng ma tr n: ... ... ... ...  .  x1  a   1 −1 2 4     4   m1 am 2 ... amn bm   2 1 4 0   x2  =  − 3  . () H có nghi m khi và ch khi r A = r ( A) = r .     0 2 −7 0   x3   5   x      4 Khi ñó: 1) r = n: H phương trình tuy n tính có nghi m duy nh t; Khi ñó, (1; –1; –1; 1) là 1 nghi m c a h . 2) r < n: H phương trình tuy n tính có vô s nghi m ph thu c vào n – r tham s . 3.3. Phương pháp gi i h phương trình tuy n tính a11 ... b j ... a1n a) Phương pháp ma tr n ngh ch ñ o ∆ j = ... ... , j = 1, n (thay c t j trong A b i ... ... ... • Cho h pttt AX = B, A là ma tr n vuông c p n kh ngh ch. an1 ... b j ... ann Ta có AX = B ⇔ X = A−1 B . 2 x + y − z = 1 c t t do).  VD 2. Gi i h phương trình  y + 3z = 3 . Khi ñó, ta có các trư ng h p:   2 x + y + z = −1 ∆j 1) N u ∆ ≠ 0 thì h có nghi m duy nh t x j = , ∀j = 1, n . b) Phương pháp ñ nh th c (Cramer) ∆ • Cho h pttt AX = B, A là ma tr n vuông c p n. 2) N u ∆ = ∆ j = 0, ∀j = 1, n thì h có vô s nghi m (thay a11 ... a1 j ... a1n tham s vào h và tính tr c ti p). ð t ∆ = det A = ... ... ... ... ... , 3) N u ∆ = 0 và ∃∆ j ≠ 0, j = 1, n thì h vô nghi m. an1 ... anj ... ann c) Phương pháp Gauss • Bư c 1. ðưa ma tr n m r ng ( A B ) v d ng b c thang VD 3. Gi i h phương trình sau b ng ñ nh th c: 2 x + y − z = 1 b i PBðSC trên dòng.   y + 3z = 3 . • Bư c 2. Gi i ngư c t dòng cu i cùng lên trên.  2 x + y + z = −1  Chú ý Trong quá trình th c hi n bư c 1, n u: VD 4. Tùy theo tham s m, gi i và bi n lu n h phương 1) Có 2 dòng t l thì xóa ñi 1 dòng; trình: 2) Có dòng nào b ng 0 thì xóa dòng ñó; mx + y + z = 1 3) Có 1 dòng d ng ( 0 ... 0 b ) , b ≠ 0 thì k t lu n h vô   x + my + z = m . nghi m.  x + y + mz = m 2 4) G p h gi i ngay ñư c thì không c n ph i ñưa ( A B ) v  b c thang. Trang 6
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH 3.4. H phương trình tuy n tính thu n nh t a) ð nh nghĩa VD 5. Gi i h phương trình:  x1 + 6 x2 + 2 x3 − 5 x4 − 2 x5 = −4 • H pttt thu n nh t là h pttt có d ng:  a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0 2 x1 + 12 x2 + 6 x3 − 18 x4 − 5 x5 = −5 . a x + a x + ... + a x = 0 3x + 18 x + 8 x − 23x − 6 x = −2  21 1 22 2 1 ⇔ AX = θ (2). 2n n  2 3 4 5 ............................................. am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = 0 VD 6. Gi i h phương trình:  5x1 − 2 x2 + 5 x3 − 3x4 = 3 Nh n xét  () 4 x1 + x2 + 3x3 − 2 x4 = 1 . • Do r A = r ( A) nên h pttt thu n nh t luôn có nghi m. 2 x + 7 x − x = −1 1 Nghi m (0; 0;…; 0) ñư c g i là nghi m t m thư ng. 2 3 b) ð nh lý • H (2) ch có nghi m t m thư ng ⇔ r ( A) = n ⇔ det A ≠ 0 . c) Liên h v i h pttt t ng quát ð nh lý • Xét h pttt t ng quát AX = B (1) và h pttt thu n nh t AX = θ (2). Khi ñó: 1) Hi u hai nghi m b t kỳ c a (1) là nghi m c a (2); 2) T ng 1 nghi m b t kỳ c a (1) và 1 nghi m b t kỳ c a (2) là nghi m c a (1). Chương 2. KHÔNG GIAN VECTOR §1. KHÁI NI M KHÔNG GIAN VECTOR VD 1. T p nghi m c a h phương trình tuy n tính thu n 1.1. ð nh nghĩa nh t là không gian vector. T p V = { A ∈ M n (ℝ )} các ma tr n vuông c p n là kgvt. • Không gian vector V trên ℝ là c p (V, ℝ ) trang b hai phép toán { } V = u = ( x1 , x2 ,..., xn ) xi ∈ ℝ, ∀i ∈1, n là kgvt Euclide ℝ n . V ×V → V ℝ ×V → V th a 8 tính ch t sau: (λ , y ) ֏ λ x ( x, y ) ֏ x + y 1.2. Không gian con c a kgvt • Cho kgvt V, t p W ⊂ V là kgvt con c a V n u (W, ℝ ) 1) x + y = y + x; cũng là m t kgvt. 2) (x + y) + z = x + (y + z); • Cho kgvt V, t p W ⊂ V là kgvt con c a V n u: 3) ∃!θ ∈V : x + θ = θ + x = x ; ( x + λ y ) ∈ W , ∀x , y ∈ W , ∀λ ∈ ℝ . 4) ∃( − x ) ∈V : ( − x ) + x = x + ( − x ) = θ ; VD 2. T p W = {θ } là kgvt con c a m i kgvt V. 5) (λ1λ2 ) x = λ1 (λ2 x ) ; 6) λ ( x + y ) = λ x + λ y ; 7) (λ1 + λ2 ) x = λ1 x + λ2 x ; 8) 1.x = x. Trong ℝ n , t p W = {u = ( x1 ,0,...,0) x1 ∈ ℝ} là kgvt con. ð C L P TUY N TÍNH VÀ PH THU C TUY N TÍNH §2. S 2.1. ð nh nghĩa ð nh lý • H n vector ph thu c tuy n tính ⇔ ∃ 1 vector là t h p Trong kgvt V, cho n vector ui (i = 1, 2,…, n). n tuy n tính c a n – 1 vector còn l i. ∑λ u ,λ ∈ℝ ñư c g i là m t t h p tuy n tính c a • T ng VD 2. N u x1 = 2x2 – 3x3 thì h {x1, x2, x3} là ph thu c ii i i =1 tuy n tính. n vector ui. H qu • H n vector {u1, u2,…, un} ñư c g i là ñ c l p tuy n tính • H có 1 vector không thì ph thu c tuy n tính. n ∑λ u = θ thì λi = 0, ∀i = 1, n . • N u có 1 b ph n c a h ph thu c tuy n tính thì h ph n u có ii thu c tuy n tính. i =1 • H n vector {u1, u2,…, un} không là ñ c l p tuy n tính thì ñư c g i là ph thu c tuy n tính. 2.2. H vector trong ℝ n VD 1. Trong ℝ 2 , h {u1 = (1;–1), u2 = (2; 3)} là ñltt. ð nh nghĩa Trong ℝ n , h {ui = (0; 0;…; 1; 0;…; 0)} (v trí th i là 1) • Trong ℝ n cho m vector ui = ( ai1 , ai 2 ,..., ain ), i = 1, m . Ta g i A = ( aij ) là ñltt. là ma tr n dòng c a m vector ui. Trong ℝ3 , h {u1=(–1;3;2), u2=(2;0;1), u3=(0;6;5)} là pttt. m×n Trang 7
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH §3. CƠ S – S CHI U – T A ð ð nh lý 3.1. Cơ s c a kgvt {u1 , u2 ,..., um } • Trong ℝ n , h ñ c l p tuy n tính khi và ch ð nh nghĩa khi r(A) = m (b ng s ph n t c a h ). • Trong kgvt V, h B = {u1, u2,…, un} ñư c g i là m t cơ s • Trong ℝ n , h {u1 , u2 ,..., um } ph thu c tuy n tính khi và c a V n u h B ñltt và m i vector c a V ñ u bi u di n tuy n ch khi r(A) < m. tính qua B. VD 3. Xét s ñltt hay pttt c a các h : B1 = {(–1;2;0), (1;5;3), (2;3;3)}, B2 = {(–1; 2; 0), (2; 1; 1)}. VD 1. – Trong ℝ n , h H qu E = {e1 = (1; 0;…; 0), e2 = (0; 1;…; 0), …, en = (0;…; 0; 1)} • Trong ℝ n , h có nhi u hơn n vector thì ph thu c tuy n là cơ s chính t c. tính. – Trong ℝ 2 , h B = {u1 = (1;–1), u2 = (2; 3)} là cơ s . • Trong ℝ n , h n vector ñ c l p tuy n tính ⇔ det A ≠ 0 . 3.3. T a ñ 3.2. S chi u c a kgvt a) ð nh nghĩa ð nh nghĩa • Trong kgvt V cho cơ s B = {u1, u2,…, un}. Khi ñó, m i x ∈V có bi u di n tuy n tính duy nh t x = x1u1+…+xnun. • Kgvt V ñư c g i là có n chi u, ký hi u dimV = n, n u trong V có ít nh t 1 h g m n vector ñltt và m i h g m n+1 Ta nói x có t a ñ ñ i v i B là (x1,…, xn). vector ñ u pttt.  x1  Ký hi u [ x ]B =  ...  .  ð nh lý x   n • dimV = n khi và ch khi trong V t n t i 1 cơ s g m n vector. • ð c bi t, t a ñ c a vector x ñ i v i cơ s chính t c E là [x]E = [x] (t a ñ c t thông thư ng c a x). H qu VD 2. Trong ℝ 2 cho cơ s B = {u1 = (2;–1), u2 = (1; 1)} và • Trong ℝ n , m i h g m n vector ñltt ñ u là cơ s . x = (3;–5). Tìm [x]B. b) ð i cơ s VD 3. Trong ℝ 2 cho 2 cơ s B1 = {u1 = (1; 0), u2 = (0;–1)}, • Ma tr n chuy n cơ s 1 B2 = {v1 = (2;–1), v2 = (1; 1)} và [ x ]B =   . – Trong kgvt V cho 2 cơ s  2 2 B1 = {u1, u2,…, un} và B2 = {v1, v2,…, vn}. ([ v ] [v2 ]B ... [vn ]B ) b) Tìm [ x ]B . a) Tìm PB1 → B2 ; ñư c g i là ma tr n chuy n Ma tr n 1 1 B1 1 1 ð nh lý cơ s t B1 sang B2. Ký hi u PB1 → B2 . Trong kgvt ℝ n cho 3 cơ s B1, B2 và B3. Khi ñó: – ð c bi t, n u E là cơ s chính t c thì: 1) PBi → Bi = I n (i = 1, 2, 3); PE → B1 = ([u1 ] [u2 ] ... [un ]) . 2) PB1 → B3 = PB1 → B2 .PB2 → B3 ; ( ) −1 3) PB1 → B2 = PB2 → B1 • Công th c ñ i t a ñ . [ x ]B1 = PB1 → B2 [ x ]B2 . • Trong kgvt ℝ n , ta có: H qu u1 , u2 ,..., um = {x ∈ ℝ n : x = λ1u1 + λ2 u2 + ... + λm um , λi ∈ ℝ} . ( ) −1 PB1 → B2 = PB1 → E PE → B2 = PE → B1 PE → B2 . Khi ñó: VD 4. Gi i l i VD 3. 1) dim = r(S) (h ng ma tr n dòng m vector c a S); 2) N u dim = r thì m i h con g m r vector ñltt c a S 3.4. Không gian con sinh b i 1 h vector ñ u là cơ s c a spanS. • Trong kgvt V cho h m vector S = {u1,…, um}. T p t t c VD 5. các t h p tuy n tính c a S ñư c g i là không gian con sinh Trong ℝ 4 cho h vector b i S trên ℝ . Ký hi u spanS ho c . S = {u1 =(–2; 4;–2;–4), u2 = (2;–5;–3; 1), u3 = (–1; 3; 4; 1)}. Tìm 1 cơ s và dimspanS. Trang 8
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH §4. ÁNH X TUY N TÍNH f(x1; x2) = (x1 – x2; 2 + 3x2) không là PBðTT t ℝ 2 → ℝ 2 . 4.1. ð nh nghĩa • Ánh x f : ℝ n → ℝ m th a Chú ý  f ( x + y) = f ( x) + f ( y) ∀x , y ∈ ℝ n , ∀λ ∈ ℝ  f ( x + y) = f ( x) + f ( y)   f (λ x ) = λ f ( x ) ði u ki n   f (λ x ) = λ f ( x ) ñư c g i là ánh x tuy n tính. ⇔ f ( x + λ y ) = f ( x ) + λ f ( y ) ∀x , y ∈ ℝ n , ∀λ ∈ ℝ . • Ánh x f : ℝ n → ℝ n th a VD 2. Các PBðTT thư ng g p trong m t ph ng:  f ( x + y) = f ( x) + f ( y) ∀x , y ∈ ℝ n , ∀λ ∈ ℝ  1) Phép chi u vuông góc xu ng tr c Ox, Oy:  f (λ x ) = λ f ( x ) f(x; y) = (x; 0), f(x; y) = (0; y). ñư c g i là phép bi n ñ i tuy n tính. 2) Phép ñ i x ng qua Ox, Oy: VD 1. f(x; y) = (x;–y), f(x; y) = (–x; y). f(x1; x2; x3) = (x1–x2 +x3; 2x1 +3x2) là AXTT t ℝ 3 → ℝ 2 . 3) Phép quay góc φ quanh g c t a ñ O: f(x1; x2) = (x1 – x2; 2x1 + 3x2) là PBðTT t ℝ 2 → ℝ 2 . f(x; y) = (xcosφ – ysinφ; xsinφ + ycosφ).  a11 an 1  4.2. Ma tr n c a ánh x tuy n tính a12 ... a a22 ... an 2  a) ð nh nghĩa [ f ]B12 =  21 . • Cho AXTT f : ℝ n → ℝ m và hai cơ s l n lư t là  ... ... ... ...  B   B1 = {u1, u2,…, un} và B2 = {v1, v2,…, vm}. ([ f (u ) ] ) ñư c  a m1 am 2 ... amn  [ f (u2 )]B ... [ f (un )]B Ma tr n c p m × n • Cho PBðTT f : ℝ → ℝ n 1 B2 n và cơ s B = {u1, u2,…, un}. 2 2 g i là ma tr n c a AXTT f trong c p cơ s B1, B2. ([ f (u )] [ f (u )] ... [ f (u )] ) ñư c Ma tr n vuông c p n Ký hi u [ f ]B12 ho c A. 1 2 n B B B B g i là ma tr n c a PBðTT f trong cơ s B.  f ( u1 ) = a11v1 + a21v2 + a31v3 + ... + am1vm Ký hi u [ f ]B ho c [f] ho c A.   f ( u2 ) = a12 v1 + a22 v2 + a32 v3 + ... + am 2 vm Chú ý C th , n u  thì • N u A là ma tr n c a AXTT f trong c p cơ s B1, B2 thì ....................................................................  f ( u ) = a v + a v + a v + ... + a v f ( x1 , x2 ,..., xn ) = A( x1 x2 ... xn )T .  n 1n 1 2n 2 3n 3 mn m b) Ma tr n ñ ng d ng VD 3. a) Cho AXTT f(x, y, z, t) = (3x + y – z; x – 2y + t; y + 3z – 2t). ð nh nghĩa Tìm [ f ]E3 . E4 • Hai ma tr n vuông A, B c p n ñư c g i là ñ ng d ng v i E3 b) Cho AXTT f(x, y) = (3x; x – 2y; –5y). Tìm [ f ] . nhau n u t n t i ma tr n kh ngh ch P th a B = P–1AP. E2 c) Cho PBðTT f(x, y, z) = (3x + y – z; x – 2y; y + 3z). ð nh lý Tìm [ f ]E3 . • N u AXTT f : ℝ n → ℝ m có ma tr n trong các c p cơ s VD 4. Cho AXTT f : ℝ 2 → ℝ 3 có ma tr n c a f trong hai (B , B ) , (B , B ) tương ng là A1, A2 và P = PB1 → B2 , / /  1 −3  1 1 2 2 cơ s chính t c E2 và E3 là A =  0 2  . P′ = PB / → B / thì A2 = ( P ′) A1 P . −1   1 2 4 3  • ð c bi t, n u PBðTT f : ℝ n → ℝ n có ma tr n trong hai   cơ s B1, B2 l n lư t là A, B và P = PB1 → B2 thì B = P–1AP. Tìm ma tr n f trong hai cơ s B1 = {u1 = (1; 1), u2 = (1; 2)} và B2 = {v1 = (1; 0; 1), v2 = (1; 1; 1), v3 = (1; 0; 0)}. c) Thu t toán tìm ma tr n c a AXTT • Cho AXTT f : ℝ n → ℝ m và hai cơ s l n lư t là VD 5. Cho PBðTT f(x, y) = (x + y; x – 2y). Tìm ma tr n c a f B1 = {u1, u2,…, un} và B2 = {v1, v2,…, vm}. trong cơ s chính t c E và trong B={u1=(2;1),u2=(1;–1)}. – Ký hi u: VD 6. S = ([ v1 ] [ v2 ] ... [vm ]) (ma tr n c t các vector c a B2), Cho AXTT f(x, y, z) = (x + y – z; x – y + z). Tìm ma tr n Q = ([ f (u1 ) ] [ f (u2 ) ] ... [ f (un )]) . c a f trong c p cơ s : B = {u1 = (1;1;0), u2 = (0;1;1), u3 = (1;0;1)} và B′ = {u1/ = (2;1), u2 = (1;1)} . ( ) / – Dùng PBðSC dòng ñưa ma tr n ( S Q ) → I [ f ]B2 . B 1 VD 7. Tìm l i các ma tr n f trong VD 4 và VD 6. Trang 9
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH §5. CHÉO HÓA MA TR N 5.1. Giá tr riêng, vector riêng c a PBðTT Cách tìm giá tr riêng và vector riêng: a) ð nh nghĩa • Bư c 1. Gi i phương trình ñ c trưng A − λ I = 0 ñ tìm Cho PBðTT f : ℝ n → ℝ n có ma tr n trong cơ s B = {u1, u2,…, un} là A. giá tr riêng λ. • S λ ∈ ℝ ñư c g i là giá tr riêng c a A (hay f) n u: • Bư c 2. Gi i h phương trình ( A − λ I ) x = θ , nghi m ∃x ∈ ℝ n , x ≠ θ : Ax = λ x . không t m thư ng là vector riêng.  0 0 1 VD 1. Cho A =  0 1 0  . • Vector x ñư c g i là vector riêng c a A (hay f) ng v i giá tr riêng λ .   1 0 0   • ða th c PA(λ) = det(A – λI) ñư c g i là ña th c ñ c trưng c a A (hay f) và λ là nghi m c a pt ñ c trưng PA(λ) = 0. Tìm giá tr riêng và vector riêng c a A. 5.2. Chéo hóa ma tr n 1 3 3 VD 2. Cho B =  −3 −5 −3  .   a) ð nh nghĩa 3 3 1   • Cho PBðTT f : ℝ n → ℝ n , n u có m t cơ s sao cho ma Tìm giá tr riêng và vector riêng c a B. tr n c a f là ma tr n ñư ng chéo thì ta nói f chéo hóa ñư c. b) Tính ch t • Các vector riêng ng v i giá tr riêng λ cùng v i vector • Ma tr n vuông A là chéo hóa ñư c n u nó ñ ng d ng v i không t o thành 1 không gian vector con riêng E(λ) c a ma tr n ñư ng chéo D, nghĩa là P–1AP = D. ℝn . Khi ñó, ta nói P làm chéo hóa A. • Các vector riêng ng v i giá tr riêng khác nhau thì ñ c l p tuy n tính. b) ði u ki n chéo hóa ñư c  0 0 0 VD 3. Cho A =  0 1 0  , xét ma tr n: ð nh lý   • N u A có n giá tr riêng ñôi phân bi t thì A chéo hóa ñư c. 1 0 1   • A chéo hóa ñư c khi và ch khi A có n giá tr riêng k c b i và s chi u c a t t c không gian con riêng b ng s b i  1 0 0 1 0 0  0 1 0  ⇒ P −1 =  0 1 0  . c a giá tr riêng tương ng. P=     −1 0 1    1 0 1   c) Thu t toán chéo hóa ma tr n • Bư c 1. Gi i phương trình ñ c trưng ñ tìm các giá tr  0 0 0  0 0 0 riêng c a A. Khi ñó: P −1 AP =  0 1 0  ⇒ A = P  0 1 0  P −1 .     1) N u A không có giá tr riêng nào thì A không chéo  0 0 1 0 0 1     hóa ñư c. • Bư c 3. L p ma tr n P có các c t là các vector cơ s c a E(λi). Khi ñó, P–1AP = D v i D là ma tr n ñư ng chéo có 2) Gi s A có k giá tr riêng phân bi t λ1, λ2,…, λk v i s b i tương ng n1, n2,…, nk. Khi ñó: các ph n t trên ñư ng chéo chính l n lư t là λi (xu t hi n a) n1 + n2 +…+ nk < n thì A không chéo hóa ñư c. liên ti p ni l n). b) n1 + n2 +…+ nk = n thì ta làm ti p bư c 2. VD 4. Chéo hóa các ma tr n: 3 0  1 0  A=  , B =  6 −1  . • Bư c 2. V i m i λi tính r(A – λiI) = ri. 8 −1     Khi ñó dimE(λi) = n – ri. VD 5. Chéo hóa các ma tr n : 1) N u có m t λi mà dimE(λi) < ni thì A không chéo hóa  0 0 0 1 3 3 ñư c.  0 1 0  , B =  −3 −5 −3  . A= 2) N u dimE(λi) = ni v i m i λi thì k t lu n A chéo hóa    1 0 1 3 3 1 ñư c. Ta làm ti p bư c 3.     Trang 10
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH Chương 3. D NG TOÀN PHƯƠNG §1. KHÁI NI M D NG TOÀN PHƯƠNG 1.1. D ng toàn phương t ng quát VD 1. Tìm d ng toàn phương Q(x) hai bi n x1, x2.  1 −1  ð nh nghĩa Bi t ma tr n c a Q(x) là A =  . • Hàm s n bi n s x = (x1, x2,…, xn)  −1 2  Q : ℝ n → ℝ cho b i bi u th c n n Q ( x ) = [ x ] A [ x ] = ∑∑ aij xi x j (A là ma tr n ñ i x ng) T VD 2. Cho d ng toàn phương 3 bi n i =1 j =1 Q ( x ) = 2 x12 + 3x2 − x3 − x1 x2 + 6 x2 x3 . 2 2 n ñư c g i là d ng toàn phương trong ℝ . Tìm ma tr n A. • Ma tr n A và r(A) ñư c g i là ma tr n và h ng c a d ng toàn phương Q. 1.2. D ng chính t c c a d ng toàn phương 1.3. D ng toàn phương xác ñ nh d u ð nh nghĩa a) ð nh nghĩa • D ng chính t c là d ng toàn phương trong ℝ n ch ch a • D ng toàn phương Q(x) là xác ñ nh dương n u: n bình phương c a các bi n Q ( x ) = ∑ aii xi2 . Q ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ n ( x ≠ θ ) . i =1 • D ng toàn phương Q(x) là xác ñ nh âm n u: • Ma tr n A c a d ng chính t c là ma tr n ñư ng chéo. Q ( x ) < 0, ∀x ∈ ℝ n ( x ≠ θ ) . VD 3. Tìm d ng chính t c Q(x) hai bi n x1, x2. 1 0  • D ng toàn phương Q(x) là n a xác ñ nh dương (âm) n u: Bi t ma tr n c a Q(x) là A =  .  0 −2  Q ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ n (Q ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ n ) . VD 4. Cho d ng chính t c 3 bi n Q ( x ) = x12 − 5 x2 − 3x3 . 2 2 • D ng toàn phương Q(x) là không xác ñ nh n u nó nh n c giá tr dương l n âm. Tìm ma tr n A. b) các tiêu chu n xác ñ nh d u ð nh lý 2 (Sylvester) Cho ma tr n vuông c p n A = ( aij ) . ð nh th c: ð nh lý 1 n a11 ... a1k n • D ng toàn phương Q(x) c a ℝ xác ñ nh dương khi và Dk = ... ... ... (1 ≤ k ≤ n ) ñư c g i là ñ nh th c con ch khi t t c các h s d ng chính t c c a nó ñ u dương. ak 1 ... akk • D ng toàn phương Q(x) c a ℝ n xác ñ nh âm khi và ch chính c a A (A có n ñ nh th c con chính). khi t t c các h s d ng chính t c c a nó ñ u âm. • D ng toàn phương Q(x) c a ℝ n xác ñ nh dương khi và ch khi t t c các ñ nh th c con chính Dk > 0. • D ng toàn phương Q(x) c a ℝ n xác ñ nh âm khi và ch khi các ñ nh th c con chính c p ch n dương, c p l âm. §2. ðƯA D NG TOÀN PHƯƠNG V D NG CHÍNH T C a) Trư ng h p 1 (có 1 h s aii ≠ 0) Phương pháp chung • Bư c 1. Gi s a11 ≠ 0 , ta tách t t c các s h ng ch a x1 ð i bi n x ∈ ℝ n b ng bi n y ∈ ℝ n : [ x ] = P [ y ] ⇔ [ y ] = P −1 [ x ] trong Q(x) và thêm (b t) ñ có d ng: 1 ( a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn ) + Q1 ( x2 , x3 ,..., xn ) , (P là ma tr n vuông không suy bi n, det P ≠ 0 ) sao cho Q( x) = 2 a11 D = PTAP có d ng chéo. Khi ñó: Q ( x ) = [ x ] A [ x ] = [ y ] D [ y ] (d ng chính t c theo bi n y). Q1 ( x2 , x3 ,..., xn ) có n – 1 bi n. T T ( ) ð i bi n y1 = a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn , yi = xi i = 2, n . 2.1. Thu t toán Lagrange 1 ( y1 − a12 y2 − ... − a1n yn ) , ð i bi n ngư c x1 = Cho d ng toàn phương a11 n n n Q ( x ) = ∑∑ aij xi x j = ∑ aii xi2 + 2 ∑ ( ) aij xi x j (aij = aji). xi = yi i = 2, n . i =1 j =1 i =1 1≤ i < j ≤ n 12 V i bi n m i thì Q ( y ) = y1 + Q1 ( y2 ,..., yn ) . a11 Trang 11
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH • Bư c 2. Ti p t c làm như bư c 1 cho Q1(y2,…, yn), sau 1 2.2. Thu t toán Jacobi Cho d ng toàn phương Q ( x ) có ma tr n A = ( aij ) th a s h u h n bư c thì Q(x) có d ng chính t c. b) Trư ng h p 2 (các h s aii = 0) n Dk ≠ 0, ∀k ∈1, n . V i j > i, ta ñ t Dj–1,i là ñ nh th c c a ma  x1 = y1 + y2  Gi s a12 ≠ 0 , ta ñ i bi n  x2 = y1 − y2 tr n có các ph n t n m trên giao c a các dòng 1, 2,…, j–1 . Khi ñó, và các c t 1, 2, …, i–1, i+1,…, j (b c t i) c a A.  x = y (i = 3,..., n ) i i Q = 2a12 y1 − 2a12 y2 + ... có h s c a y12 là a12 ≠ 0 . 2 2 • ð i bi n theo công th c:  x1 = y1 + b21 y2 + b31 y3 + b41 y4 + ... + bn1 yn Tr l i trư ng h p 1. x = y2 + b32 y3 + b42 y4 + ... + bn 2 yn VD 1. ðưa d ng toàn phương 2  Q = − x2 + 4 x3 + 2 x1 x2 + 4 x1 x3 v d ng chính t c. Tìm P. , 2 2 ............................................................ VD 2. ðưa d ng toàn phương Q = 2 x1 x2 + 2 x1 x3 − 6 x2 x3 v  xn = yn  d ng chính t c. Tìm P. 2.3. Thu t toán chéo hóa tr c giao D j −1,i v i b ji = ( −1)i + j . D j −1 a) ð nh nghĩa • Ma tr n vuông P ñư c g i là ma tr n tr c giao n u: PT = P–1 hay PTP = In. D2 2 D3 2 D • Khi ñó, Q = D1 y12 + y2 + y3 + ... + n yn . 2 • N u có ma tr n tr c giao P làm chéo hóa ma tr n A thì ta D1 D2 Dn −1 g i P chéo hóa tr c giao ma tr n A. VD 3. ðưa d ng toàn phương Chú ý Q = 2 x12 + x2 + x3 + 3x1 x2 + 4 x1 x3 v d ng chính t c. Tìm P. 2 2 – N u P = ( aij ) là ma tr n tr c giao thì : n n ∑a = 1 (t ng bình phương c t). 2 ij i =1 b) ð nh lý u3 v1 u3 v2 v3 = u3 − v1 − v2 ,… • M i d ng toàn phương Q(x) c a ℝ n ñ u ñưa ñư c v v1 v1 v2 v2 d ng chính t c Q = λ1 y12 + λ2 y2 + ... + λn yn b ng phép ñ i 2 2 (ký hi u u v là tích vô hư ng c a u và v). bi n [x] = P[y], v i P là ma tr n làm chéo hóa tr c giao A và các λi là các giá tr riêng c a A. vi 2) Chu n hóa wi = , v i vi là ñ dài vector vi. vi c) Thu t toán • Bư c 3. • Bư c 1. Ma tr n P = ([w1] [w2] … [wn]). Tìm các giá tr riêng λi và vector riêng ui (i = 1,…,n). • Bư c 2. Tr c chu n hóa ui như sau: VD 4. ðưa d ng toàn phương Q = 6 x12 + 6 x2 + 5 x3 − 4 x1 x2 − 2 x1 x3 − 2 x2 x3 v d ng chính 1) ð t 2 2 t c. Tìm P. Cho bi t A có λ1 = 3, u1 = (1;1;1); u2 v1 v1 = u1 , v2 = u2 − v1 , λ2 = 6, u2 = ( −1; −1; 2); λ3 = 8, u3 = ( −1;1;0) . v1 v1 §3. RÚT G N QUADRIC 2.4. Thu t toán bi n ñ i sơ c p ma tr n ñ i x ng 3.1. ðư ng b c hai trên m t ph ng t a ñ Oxy • Bư c 1. Bi n ñ i sơ c p dòng ( A I ) và ñ ng th i l p l i a) ð nh nghĩa • Trên mpOxy, ñư ng b c hai là t p h p t t c các ñi m các bi n ñ i cùng ki u trên các c t c a ( A I ) ñ ñưa A v M(x; y) có t a ñ th a phương trình: Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (1). d ng chéo. Khi ñó, I s tr thành PT và Trong ñó, A2 + B2 + C2 > 0.  λ1 0 ... 0  • Các d ng chính t c c a ñư ng b c hai:  0 λ ... 0  P AP =  . x2 y2 2 T 1) 2 + 2 = 1 (ñư ng elip);  ... ... ... ...  a b    0 0 0 λn  x2 y2 2) 2 − 2 = 1 (ñư ng hyperbol); • Bư c 2. ð i bi n [x] = P[y] ta có a b Q = λ1 y12 + λ2 y2 + ... + λn yn . 2 2 3) y 2 = 2 px (parabol); VD 5. ðưa d ng toàn phương Q = 2 x1 x2 − 4 x1 x3 + 6 x2 x3 v 4) x 2 − y 2 = 0 (c p ñư ng th ng c t nhau); d ng chính t c. Tìm P. Trang 12
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH 5) y 2 = a , a > 0 (c p ñư ng th ng song song); • Cho (C) là ñư ng b c hai không suy bi n (Conic) có phương trình (1). 6) y = 0 (c p ñư ng th ng trùng nhau). 2  A B ð t Q= • Các ñư ng b c hai có phương trình d ng 1), 2) và 3) ñư c  , khi ñó: B C g i là không suy bi n. 1) (C) là ñư ng elip ⇔ det Q > 0 ; 2) (C) là ñư ng hyperbol ⇔ det Q < 0 ; b) Nh n bi t các ñư ng Conic • Cho (C) là ñư ng b c hai có phương trình (1). 3) (C) là ñư ng parabol ⇔ det Q = 0 ;  A B D 4) (C) là ñư ng tròn ⇔ A = C ≠ 0, B = 0 . ð t Q =  B C E  , khi ñó:   c) Phương pháp l p phương trình chính t c c a ñư ng D E F   b c hai () • Gi s ñư ng b c hai (C) có phương trình (1) trong Oxy. (C) không suy bi n ⇔ det Q ≠ 0 ⇔ r Q = 3 . Xét d ng toàn phương: Q(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 xác ñ nh b i ph n ñ ng c p trong (1). • Bư c 1. Chính t c hóa tr c giao Q(x, y) nh phép quay VD 2. L p phương trình chính t c c a (C): 5x2 + 4xy + 8y2 – 32x – 56y + 80 = 0 trong Oxy. thích h p trong h t a ñ ñang xét. Gi i. Xét d ng toàn phương Q(x, y) = 5x2 + 4xy + 8y2. • Bư c 2. T nh ti n h t a ñ m t cách thích h p ñ phương trình (C) có d ng chính t c. 5 2 Ta có Q =   VD 1. Xác ñ nh d ng c a ñư ng b c hai 2 8 (C): x2 – 4xy + 4y2 + 4x – 3y – 7 = 0.  2 −2 1 1 2 −  5 () Ta có Q =  −2 4 −3 / 2  ⇒ r Q = 3 5 ⇒P=  là ma tr n tr c giao chéo hóa Q.    1  −3 / 2 E  2 −7      5 5 ⇒ (C) không suy bi n.  cos ϕ sin ϕ   1 −2  Quay quanh O m t góc ϕ sao cho P =  , Q=  ⇒ det Q = 0 ⇒ (C) là ñư ng parabol.  − sin ϕ cos ϕ   −2 4   1 2  x = 5 x′ − y′ 2 2  8  1  5  x′ −   y′ +  nghĩa là ta ñ i t a ñ :  .  5  5  y = 2 x′ + 1 ⇔ + =1. y′  4 9  5 5  8 Khi ñó, (C) có phương trình:  X = x′ −  144 8 5 9 x ′2 + 4 y ′2 − x′ + y ′ + 80 = 0 Dùng phép t nh ti n h t a ñ :  thì 1 5 5 Y = y ′ +   2 2 5  8  1 ⇔ 9  x′ −  + 4  y′ +  = 36 2 2 X Y  5  5 + = 1 (elip). (C ) : 4 9 3.2. M t b c hai trong không gian t a ñ Oxyz x2 y 2 z2 + − = 0 (nón eliptic); 4) a) ð nh nghĩa a2 b2 c 2 • Trong không gian Oxyz, m t b c hai là t p h p t t c các x2 y2 + 2 = 2 z (parabolit eliptic); ñi m M(x; y; z) có t a ñ th a phương trình: 5) a2 Ax2 + 2Bxy + 2Cxz + Dy2 + 2Eyz + Fz2 + 2Gx + 2Hy + b x2 y2 2Kz + L = 0(2). − 2 = 2 z (parabolit hyperbolic – yên ng a); 6) Trong ñó A, B, C, D, E, F không ñ ng th i b ng 0. a2 b • Các d ng chính t c c a m t b c hai: x2 y2 + 2 = 1 (m t tr eliptic); x2 y2 z2 7) 1) 2 + 2 + 2 = 1 (m t elipxoit); a2 b a b c x2 y2 − 2 = 1 (m t tr hyperbolic); 8) 2 2 z2 x y 2) 2 + 2 − 2 = 1 (hyperboloit 1 t ng); a2 b a b c = 2 px (m t tr parabolic). y2 9) 2 2 z2 x y 3) 2 + 2 − 2 = −1 (hyperboloit 2 t ng); a b c Trang 13
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH 22x2 + 8xy + 28y2 + 15z2 – 112x – 184y – 30z + 343 = 0. b) Nh n bi t các m t b c hai • Cho (S) là m t b c hai có phương trình (2). Gi i. Ta có A B C G  A B C B D E H 0 −56   22 4 ð t Q =  B D E  và Q =   , ta có:  22 4 0  4 0 −92    28 Q =  4 28 0  và Q =  C E F K  . C E F        15 −15  0 0  0 0 15  G H K L       −56 −92 −15 343  () (S) không suy bi n ⇔ det Q ≠ 0 ⇔ r Q = 4 . Khi ñó: () Do r Q = 4 nên (S) không suy bi n. 1) (S) là m t elipxoit ⇔ Q xác ñ nh dương ho c xác ñ nh âm. Theo ñ nh lý Sylvester, Q có 2) (S) là m t parabolic ⇔ det Q = 0 . D1 = 22 > 0; D2 = 600 > 0; D3 = 9000 > 0 nên Q xác ñ nh VD 3. Xác ñ nh d ng c a m t b c hai sau ñây r i l p dương. V y (S) là m t elipxoit. phương trình chính t c (S): 480 40   1 2 30 x ′2 + 20 y ′2 + 15z ′2 − x′ − y ′ − 30 z ′ + 343 = 0 − 0  5 5 5 5    22 4 0  2 2  4 28 0  ⇒ P =    8  1 2 1 Ta có: Q =   x′ −   y′ − 0  là ma   5  ( z ′ − 1)  2  5  5 5  0 0 15    ⇔ + + =1.    1 0 0 2 3 4      8  X = x′ − 5 tr n tr c giao chéo hóa Q.    1 2 1  x = 5 x′ − 5 y ′ Dùng phép t nh ti n h t a ñ : Y = y ′ − 5   Z = z′ − 1  2 1 x′ + y′ . ð i t a ñ : y =   5 5   z = z′ X 2 Y 2 Z2 + + = 1 (m t elipxoit).  thì ( S ) :  2 3 4 Khi ñó, (S) có phương trình: ……………………………H t……………………………. Trang 14