Slide bài giảng toán A 3 Đại học

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH TOÁN CAO CẤP A 3 ðẠI HỌC

Tài liệu tham khảo:

1. Giáo trình Toán cao cấp A3 – Nguyễn Phú Vinh – ðHCN TP. HCM. 2. Ngân hàng câu hỏi Toán cao cấp – Nguyễn Phú Vinh – ðHCN TP.HCM. 3. Giải tích hàm nhiều biến (Toán 3) – ðỗ Công Khanh (chủ biên) – NXBðHQG TP. HCM. 4. Giải tích hàm nhiều biến (Toán 4) – ðỗ Công Khanh (chủ biên) – NXBðHQG TP. HCM. 5. Phép tính Vi tích phân (tập 2) – Phan Quốc Khánh – NXB Giáo dục. 6. Phép tính Giải tích hàm nhiều biến – Nguyễn ðình Trí (chủ biên) – NXB Giáo dục. 7. Tích phân hàm nhiều biến – Phan Văn Hạp, Lê ðình Thịnh – NXB KH và Kỹ thuật. 8. Bài tập Giải tích (tập 2) – Nguyễn Thủy Thanh – NXB Giáo dục.

D (cid:204) ℝ . Tương ứng

:f D ﬁ ℝ , =֏ z x y

)

ℝ

{

Hình b

là miền giá trị.

˛ " ˛

Chương 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ §1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. ðịnh nghĩa • Cho ( , f x y ( , duy nhất, ñược gọi là hàm số 2 biến x và y. • Tập D ñược gọi là MXð của hàm số và } f D (

x y D ( , )

f x y ( ,

= z

)

Hình a

2ℝ sao cho – Nếu M(x, y) thì D là tập hợp ñiểm M trong f(M) có nghĩa, thường là miền liên thông (nếu M, N thuộc miền D mà tồn tại 1 ñường nối M với N nằm hoàn toàn trong D thì D là liên thông-Hình a)).

D = ℝ , D thường ñược giới hạn bởi 1

VD 1. Hàm số z = f(x, y) = x3y + 2xy2 – 1 xác ñịnh trên

2ℝ .

(biên) hoặc không. Miền liên thông D

có MXð là hình

)

f x y ( ,

2ℝ sao cho – Nếu M(x, y) thì D là tập hợp ñiểm M trong f(M) có nghĩa, thường là tập liên thông. (Tập liên thông D là tồn tại ñường cong nối 2 ñiểm bất kỳ trong D nằm hoàn toàn trong D). – Trừ trường hợp ñường cong kín D¶ là ñơn liên nếu D ñược giới hạn bởi 1 ñường cong kín (Hình a); ña liên nếu ñược giới hạn bởi nhiều ñường cong kín rời nhau từng ñôi một (Hình b).

- -

⇒ ˛

, miền mở

– D là miền ñóng nếu M D M D

có MXð là

ln(4

)

⇒ ˇ

có MXð là nửa

+ - y

ln(2

)

˛ ¶ - - ˛ ¶

y VD 2. Hàm số tròn ñóng tâm O(0; 0), bán kính R = 2. VD 3. Hàm số f x y ( , ) hình tròn mở tâm O(0; 0), bán kính R = 2. VD 4. Hàm số f x y ( , mp mở biên d: 2x + y – 3 không chứa O(0; 0).

Nhận xét • Nếu khi

trên 2 ñường khác nhau mà dãy

Mﬁ

2ℝ ,

Mﬁ

(

)

(

)

ﬁ

nếu M D M D Chú ý • Khi cho hàm số f(x, y) mà không nói gì thêm thì ta hiểu MXð D là tập tất cả (x, y) sao cho f(x, y) có nghĩa. • Hàm số n biến f(x1, x2,…, xn) ñược ñịnh nghĩa tương tự. 1.2. Giới hạn của hàm số hai biến – Hàm số liên tục • Dãy ñiểm Mn(xn; yn) dần ñến ñiểm M0(x0; y0) trong , khi n ﬁ +¥ ; ký hiệu x

; x y 0

f M

)

0 {f(xn, yn)} có hai giới hạn khác nhau thì

lim ( M M

+ 2

nM (

hay )

nếu

)

(

= 2 )

d M M n

lim n

lim ( n

, tính

$ ﬁ - - ﬁ ¥ ﬁ ¥ - -

VD 5. Cho

f x y ( ,

)

f x y ( ,

)

lim )

( , x y

(1, 1)

3 +

x 3

2 x y xy

ﬁ -

, tính

VD 6. Cho

= . L

• Cho hàm số f(x, y) xác ñịnh trong miền D (có thể không chứa M0), ta nói L là giới hạn của f(x, y) khi ñiểm M(x, y) dần ñến M0 nếu mọi dãy ñiểm Mn (Mn khác M0) thuộc D dần ñến M0 thì lim ( f x )

( , x y

(0,0)

n =

Ký hiệu:

= .

f x y ( ,

)

f M L )

x y ( ,

)

lim ( M M

n lim x ) ( 0

y 0

f x y ( , ) f x y ( , ) ﬁ ﬁ ¥ lim ) xy + 2 x y ﬁ ﬁ

VD 7. Cho hàm số

không tồn tại.

Chứng tỏ

( , x y

(0,0)

f x y ( , ) 3 xy + 2 y x f x y ( , ) ﬁ lim )

• Hàm số f(x, y) liên tục trong D nếu liên tục tại mọi ñiểm M thuộc D. Hàm số f(x, y) liên tục trong miền ñóng giới nội D thì ñạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong D. VD 8. Xét tính liên tục của hàm số:

2 , ( ,

và

• Hàm số f(x, y) xác ñịnh trong D chứa M0, ta nói f(x, y) liên tục tại M0 nếu tồn tại

( , x y

)

  =   

, y 0 =

)

( , x y

y 0

Trang 1

„ x y ) (0, 0) xy + f x y ( , ) f x y ( , ) ﬁ lim ) ( x 0 = x y y x 0, ( , ) (0,0) f x y ( , ) ( , ) f x y 0 ﬁ lim ) ( x 0

+ D

(

)

• Tương tự ta có ñạo hàm riêng theo y tại (x0, y0) là: f x ( 0

f x y 0

(

)

x y , 0

/ y

lim y 0

) y y

- D ﬁ D

VD 1. Tính các ñạo hàm riêng của z = x4 – 3x3y2 + 2y3 – 3xy tại (–1; 2). VD 2. Tính các ñạo hàm riêng của f(x, y) = xy (x > 0).

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH §2. ðẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN 2.1. ðạo hàm riêng a) ðạo hàm riêng cấp 1 • Cho hàm số f(x, y) xác ñịnh trên D chứa M0(x0, y0). Nếu hàm số 1 biến f(x, y0) (y0 là hằng số) có ñạo hàm tại x = x0 thì ta gọi ñạo hàm ñó là ñạo hàm riêng theo biến x của f(x, y) tại (x0, y0).

¶ =

VD 3. Tính các ñạo hàm riêng của

p tại ( ; 4)

Ký hiệu:

hay

(

)

(

)

(

)

x y , 0

+ D

(

)

x y ,

f x f x y , 0

f x ( 0

2 x y

Vậy

(

)

/ x

x y , 0

cos z ¶ x y • Với hàm n biến ta có ñịnh nghĩa tương tự. - = D ﬁ

VD 4. Tính các ñạo hàm riêng của

lim 0 x

) 0 x

f x y z ( , , ) e sin z D

- -

VD 5. Tính các ñạo hàm riêng cấp hai của z

2 x y

3 x e

tại ( 1; 1)

)

) xe - f x y ( , ¶ ¶ ¶ = = = =

b) ðạo hàm riêng cấp cao • Các hàm số fx, fy có các ñạo hàm riêng (fx)x, (fy)y, (fx)y, (fy)x ñược gọi là các ñạo hàm riêng cấp hai của f. Ký hiệu: (

/ / 2 x

(

)

// 2 y

     

     

(

)

// xy

(

)

/ / yx

f f f f 2 ¶ ¶ ¶ x f x x 2 ¶ ¶ ¶ = = = = f f f f 2 ¶ ¶ ¶ y f y y ¶ ¶ ¶ = = = = f f f ¶ ¶ ¶ ¶ y f x f y x 2 ¶ ¶ ¶ = = = = f f f

VD 6. Tính các ñạo hàm riêng cấp hai của • Các ñạo hàm riêng cấp hai của hàm n biến và ñạo hàm riêng cấp cao hơn ñược ñịnh nghĩa tương tự. ðịnh lý (Schwarz) • Nếu hàm số f(x, y) có các ñạo hàm riêng fxy và fyx liên tục trong miền D thì fxy = fyx.

+ D

¶ ¶ ¶ ¶ x f y f x y            

y D

2.2. Vi phân a) Vi phân cấp 1 • Cho hàm số f(x, y) xác ñịnh trong )

+ D 0

có

0 ( f x

D˛ = ) y

0 ,

D (cid:204) ℝ và , x y + D , x y 0

Nếu số gia thể biểu diễn dưới dạng:

( M x y , ) D - ( f x ) ( f x , ) ( M x + D 0 D

• Hàm số f(x, y) khả vi trên miền D nếu f(x, y) khả vi tại mọi (x, y) thuộc D. Nhận xét • Nếu f(x, y) khả vi tại M0 thì f(x, y) liên tục tại M0. a D + D + D + D • Từ . . A x B y

a D + D + D + D . . A x B y

= ) + D

, ta suy ra: xa

y D + D . A x

0 ( f x

y , x

, y

+ D

0 , y

= y 0 )

(0, 0)

và , ta nói f khả vi tại M0.

ñược gọi là vi phân cấp 1 (toàn

= ) trong ñó A, B là những số không phụ thuộc a b y , .

x ) , D + D A x B y

khi ( .

0 ) 0 x + D

tương tự

, x

( f x , D , ( f x - , x y ) ( f x ) , D D - ( f x , x y ( f x ﬁ D D ﬁ ⇒ D ﬁ lim x 0 D - ( f x , ( f x , ) D D D ﬁ lim y 0 D ) y y

hay

• Biểu thức phần) của f(x, y) tại M0(x0, y0) ứng với Ký hiệu df(x0, y0). Vậy

D + x

y ,

(

)

(

df x ( 0

x 0

/ x

/ y

). y 0 +

, y =

(

)

/ x

x 0

y dx ) 0

/ y

x 0

y dy ) 0

df x ( 0 Tổng quát:

)

df x y ( , )

x y dx ( , )

x y dy ( , )

, ( ,

x y D )

˛ =

b) Vi phân cấp cao • Vi phân cấp 2: ( d f x y ( , )

/ x

/ y

// xy

/ / 2 x

// 2 y

x y

d df x y ( , ) = + + f x y dx ( , ) 2 f x y dxdy ( , ) f x y dy ( , ) - -

VD 7. Tính vi phân cấp 1 của

tại (–1; 1).

2 x e

)

sin(

f x y ( ,

• Vi phân cấp n:

n k

(

)

k C f n

( n ) k n k x y

- - = - d f x y ( , ) d df x y ( , ) x y dx dy ( , ) = ∑

VD 8. Tính vi phân cấp 1 của ðịnh lý • Nếu hàm số f(x, y) có các ñạo hàm riêng liên tục tại M0 trong miền D chứa M0 thì f(x, y) khả vi tại M0.

Trang 2

f x y ( ,

2 x y

3 x y

)

2.3. ðạo hàm của hàm số hợp • Cho hàm số f(u, v), trong ñó u = u(x) và v = v(x) là những hàm số của x. Nếu f(u, v) khả vi của u, v và u(x), v(x) khả

f x y ( ,

ln(

)

vi của x thì

là các

. Với

/ u

/ v

du dx

df dx

dv dx

df dx ñạo hàm toàn phần theo x. • Nếu hàm số f(x, y) khả vi của x, y và y = y(x) là hàm số

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH VD 9. Tính vi phân cấp 2 của tại (2; –1). VD 10. Tính vi phân cấp 2 của c) Ứng dụng vi phân cấp 1 vào tính gần ñúng giá trị hàm số

+ D

khả vi của x thì

f x (

x y ,

)

/ x

/. y

df dx

dy dx

+ D 0 y ,

+ )

f x (

(

D + ). x

(

/ x

/ y

» D - -

VD 12. Cho

. Tính

+ uv

22 , v

= u

= v ,

sin

dz dx

VD 11. Tính gần ñúng

0 1,02 0,97

arctg

VD 13. Cho

. Tính

f x y ( ,

)

ln(

sin

df dx

VD 17. Cho

arctg

. Tính y¢ .

y x

, ) 0

ta có: =

• Cho hàm số ẩn hai biến z = f(x, y) xác ñịnh bởi zF x y z „ / ( , F(x, y, z)) = 0, với • F x y z z x y ( , , ).

F x y z ( , , )

( ,

)

/ x

/ z

= -

⇒

)

/ z x y ( , x

/ x / z

•

/ x ( , F x y z , ) F x y z , ) ( , =

F x y z ( , , )

F x y z z , ).

( ,

x y ( ,

)

/ y

/ z

/ y

= ⇒ = -

F x y y ( ,

F x y ( ,

) 0

)

/ x

/ y

) )

F x y z ( , , )

¢ ¢ „

2.4. ðạo hàm của hàm số ẩn • Cho hai biến x, y thỏa phương trình F(x, y) = 0 (). Nếu y = y(x) là hàm số xác ñịnh trong 1 khoảng nào ñó sao cho khi thế y(x) vào () ta ñược ñồng nhất thức thì y = y(x) là hàm số ẩn xác ñịnh bởi (). VD 14. Xác ñịnh hàm số ẩn y(x) trong phương trình x2 + y2 – 4 = 0. • ðạo hàm hai vế () theo x, ta ñược: / x / y

= -

⇒

x y ( ,

)

/ y

+ x

= y

VD 15. Cho

xy 3

e +

0 +

VD 18. Cho

. Tính

/ y / F x y z ( , , ) z + + y

)

xyz

cos(

( , F x y ( , F x y . Tính y¢ . x 0

(

= . Tính y¢ .

, x

/ z . y

= ñược gọi

(

)

/ y

x y , 0

= A f

(

)

x y , 0

/ / xy

/ f 0 ( Chú ý. ðiểm M0 thỏa x là ñiểm dừng, có thể không là ñiểm cực trị của z. b) ðiều kiện ñủ. Giả sử f(x, y) có ñiểm dừng là M0 và có ñạo hàm riêng cấp hai tại lân cận ñiểm M0. = // ðặt C f B 2 y

// 2 x

VD 16. Cho §3. CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ 3.1. ðịnh nghĩa • Hàm số z = f(x, y) ñạt cực trị (ñịa phương) tại ñiểm M0(x0; y0) nếu với mọi ñiểm M(x, y) khá gần nhưng khác M0 thì hiệu f(M) – f(M0) có dấu không ñổi. • Nếu f(M) – f(M0) > 0 thì f(M0) là cực tiểu và M0 là ñiểm cực tiểu; f(M) – f(M0) < 0 thì f(M0) là cực ñại và M0 là ñiểm cực ñại. Cực ñại và cực tiểu gọi chung là cực trị. VD 1. Hàm số f(x, y) = x2 + y2 – xy ñạt cực tiểu tại O(0; 0). 3.2. ðịnh lý a) ðiều kiện cần • Nếu hàm số z = f(x, y) ñạt cực trị tại M0(x0, y0) và tại ñó hàm số có ñạo hàm riêng thì: =

Khi ñó: + Nếu AC – B2 > 0 và A > 0 thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm M0; AC – B2 > 0 và A < 0 thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm M0. + Nếu AC – B2 < 0 thì hàm số không có cực trị (ñiểm M0 ñược gọi là ñiểm yên ngựa). + Nếu AC – B2 = 0 thì chưa thể kết luận hàm số có cực trị hay không (dùng ñịnh nghĩa ñể xét).

(

)

(

)

= . 0

/ y

x y , 0

/ x

x y , 0

< 0 thì kết luận hàm số không ñạt cực trị. = 0 thì không thể kết luận (trong chương trình hạn

)

3.3. Cực trị tự do Cho hàm số z = f(x, y). ðể tìm cực trị của f(x, y) trên MXð D, ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Tìm ñiểm dừng M0(x0; y0) bằng cách giải hệ: / ( x

)

(

x y , 0 , x y 0

/ y

Bước 2. Tính

= A f

(

)

    x y , 0

/ / xy

x y , 0

// 2 x

⇒ D =

= C f

(

)

AC B

x y , 0

/ / 2 y

> 0 và A > 0 thì kết luận hàm số ñạt cực tiểu tại

> 0 và A < 0 thì kết luận hàm số ñạt cực ñại tại

+ Nếu D + Nếu D chế loại này). VD 2. Tìm ñiểm dừng của hàm số z = xy(1 – x – y). VD 3. Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8. VD 4. Tìm cực trị của hàm số z = x3 + y3 – 3xy – 2. VD 5. Tìm cực trị của hàm số z = 3x2y + y3 – 3x2 – 3y2 + 2.

Bước 3. + Nếu D M0 và cực tiểu là f(M0); + Nếu D M0 và cực ñại là f(M0).

Trang 3

)

x y ( ,

)

= . 0

+ lj

, λ là nhân tử Lagrange.

)

f x y ( ,

= , ta rút x hoặc y thế vào f(x, y)

)

x y ( ,

' L x ' L

ñiểm dừng M0(x0; y0) ứng với λ0.

' Ll

VD 7. Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = xy với ñiều kiện: 2x + 3y – 5 = 0. Phương pháp nhân tử Lagrange Bước 1. Lập hàm Lagrange: x y L x y ( , ( , Bước 2. Giải hệ:  0  = ⇒ 0   

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH 3.4. Cực trị có ñiều kiện • Cho hàm số z = f(x, y) xác ñịnh trên lân cận của ñiểm = . Nếu tại ñiểm M0 M0(x0; y0) thuộc ñường cong hàm số f(x, y) ñạt cực trị thì ta nói ñiểm M0 là ñiểm cực trị của f(x, y) với ñiều kiện x y ( , • ðể tìm cực trị có ñiều kiện của hàm số f(x, y) ta dùng phương pháp khử hoặc nhân tử Lagrange. Phương pháp khử Từ phương trình và tìm cực trị hàm 1 biến. VD 6. Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = x2 + y2 – xy + x + y với ñiều kiện x + y + 3 = 0. Bước 3 Tính

d L x y (

)

Bước 4 Từ ñiều kiện (1) và (2), ta có: , + Nếu

) 0

(

+ Nếu

(

) 0

(

)

(

)

x y dy 0 0

0 '' L x y dx , 0 x

'' '' L x y dxdy L ) xy 0 y

) 0

(

d L x y > thì hàm số ñạt cực tiểu tại M0. d L x y < thì hàm số ñạt cực ñại tại M0. d L x y = thì ñiểm M0 không là ñiểm cực trị.

j = ⇒

ðiều kiện ràng buộc: d

) 0

(

)

(

)

= (1) 0

x y , 0

/ x

j x y dx 0 0

/ y

x y dy 0 0

+ Nếu VD 9. Tìm cực trị của hàm số z = 2x + y với ñiều kiện x2 + y2 = 5. VD 10.

và (dx)2 + (dy)2 > 0 (2).

Tìm cực trị của hàm số z = xy với ñiều kiện

= . 1 x 8 y+ 2

Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI §1. TÍCH PHÂN BỘI HAI (KÉP) 1.1. Bài toán mở ñầu (thể tích khối trụ cong) • Xét hàm số z = f(x, y) liên tục, không âm và một mặt trụ có các ñường sinh song song Oz, ñáy là miền phẳng ñóng D trong Oxy. ðể tính thể tích khối trụ, ta chia miền D thành n phần không dẫm lên nhau, diện tích mỗi phần là D Si (i=1,2,…,n). Như vậy khối trụ cong ñược chia thành n khối trụ nhỏ. Trong mỗi D Si ta lấy ñiểm Mi(xi; yi) tùy ý. Ta có thể tích D Vi của khối trụ nhỏ là:

}

Gọi

˛ D

là ñường kính của

max

{ d A B A B )

(

iSD

(

)

⇒ » V

(

)

∑

V i

f x y ; i i

f x y , i i

= 1

Ta có:

(

)

∑

f x y i

lim d

max

= 1

Ký hiệu

f x y dS

( ,

)

= ∫∫

D » D D D ﬁ

1.2. ðịnh nghĩa • Cho hàm số z = f(x, y) xác ñịnh trên miền ñóng giới nội, ño ñược D trong Oxy. Chia miền D một cách tùy ý thành n phần không dẫm lên nhau, diện tích mỗi phần là D Si (i=1,2,…,n). Trong mỗi D Si ta lấy ñiểm Mi(xi; yi) tùy ý. Khi

ñó

ñược gọi là tổng tích phân của hàm

(

)

∑

, f x y i

= 1

f(x, y) trên D (ứng với phân hoạch D Si và các ñiểm Mi).

tồn tại hữu hạn, không phụ

Nếu

(

)

∑

, f x y i

ðịnh lý. Hàm f(x, y) liên tục trong miền bị chặn, ñóng D thì khả tích trong D. • Nếu tồn tại tích phân, ta nói f(x, y) khả tích; f(x, y) là hàm dưới dấu tích phân; x, y là các biến tích phân. Chú ý 1) Nếu chia D bởi các ñường thẳng song song với các trục tọa ñộ thì D Si = D xi.D yi hay dS = dxdy. f x y dxdy ) ) Vậy .

f x y dS

( ,

lim d

max

∫∫

= 1

f x y dxdy )

( ,

f u v dudv

( , )

∫∫

thuộc vào phân hoạch D Si và cách chọn ñiểm Mi thì số I ñược gọi là tích phân bội hai của f(x, y) trên D.

Trang 4

ﬁ

(diện tích miền D).

S D= (

dxdy

)

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH Nhận xét ∫∫

• Tính chất 3

2) f(x, y) > 0, liên tục "

(x, y) ˛

D thì

là thể

f x y dxdy )

( ,

∫∫

Nếu chia D thành D1 và D2 bởi ñường cong có diện tích bằng 0 thì:

tích hình trụ có các ñường sinh song song với Oz, hai ñáy giới hạn bởi các mặt z = 0 và z = f(x, y). 1.3. Tính chất của tích phân kép • Tính chất 1. Hàm số f(x, y) liên tục trên D thì f(x, y) khả tích trên D. • Tính chất 2. Tính tuyến tính:

;

[

f x y ( ,

)

= g x y dxdy )]

( ,

fdxdy

gdxdy

∫∫

D 1

D 2

– – = + f x y dxdy ) ( , f x y dxdy ) ( , f x y dxdy ) ( ,

D ℝ .

kf x y dxdy )

( ,

f x y dxdy k )

( ,

∫∫

thì:

Tương tự,

(

)

(

)

x 2

= £ £ £ £ D {( , x y ) : x x y ( ), c y d } x y ( ) 1

1.4. Phương pháp tính tích phân kép 1.4.1. ðưa về tích phân lặp ðịnh lý (Fubini)

∫

∫∫

(

)

(

)

x 1

• Giả sử tích phân

tồn tại, với

∫∫

= = f x y dxdy ) ( , f x y dx dy ) ( , f x y dx ( , ) dy         f x y dxdy ) ( ,

và với mỗi

{( ,

x y

) :

( )}

b y x , ( ) 1

y x 2

(

)

{( ,

x y

b c ,

a b } [ , ]

c d [ ,

]

cố ñịnh

tồn tại thì:

a b [ , ]

∫

£ £ £ £ £ £ £ £ · ˛ f x y dy ( , )

Chú ý 1) Khi ) : (hình chữ nhật) thì:

(

)

y 1

(

)

(

)

y 2

∫∫

∫

∫∫

∫

(hoán vị cận).

(

)

(

)

y 1

= = f x y dxdy ) ( , dx f x y dy ( , ) dy f x y dx ( , ) = = f x y dxdy ) ( , f x y dy dx ) ( , f x y dy ( , ) dx        

= £ £ £ £

VD 1. Xác ñịnh cận ở tích phân lặp khi tính tích phân

và

x y 2) f(x, y) = u(x).v(y) thì:

trong các trường hợp sau:

(

)

{( , ) : D a x y ( )} b y x , ( ) 1 y x 2 f x y dxdy ) ( , I = ∫∫

∫∫

∫

(

)

y 1

= f x y dxdy ) ( , u x dx ( ) v y dy ( )

thì:

Tương tự,

= £ £ £ £ D {( , x y ) : x x y ( ), c y d } x y ( ) 1

1) D giới hạn bởi các ñường y = 0, y = x và x = a. 2) D giới hạn bởi các ñường y = 0, y = x2 và x + y = 2. VD 2.

(

)

x 2

Tính

với D giới hạn bởi y = x – 4, y2 = 2x.

∫∫

∫

(

)

x 1

= f x y dxdy ) ( , v y dy ( ) u x dx ( ) I xydxdy = ∫∫

3) Nếu D là miền phức tạp thì ta chia D ra thành những miền ñơn giản như trên. ðổi thứ tự lấy tích phân

(

)

x 2

(

)

∫

(

)

x 1

(

)

y 1

Trang 5

I dy f x y dx ( , ) = ∫ I dx f x y dy ( , ) = ∫

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH VD 3. ðổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân sau:

;

∫

- = = = ˛ I dx f x y dy ( , ) y u v ( , ), ( , ) x u v y ( , ), u v D {( , x y ) : D } x = ∫

1.4.2. Phương pháp ñổi biến a) Công thức ñổi biến tổng quát ðịnh lý. Giả sử x = x(u, v), y = y(u, v) là hai hàm số có các ñạo hàm riêng liên tục trên miền ñóng giới nội Duv trong mp Ouv. Gọi . Nếu hàm f(x, y) khả tích trên Dxy và ñịnh thức Jacobi

;

f x y dx

( ,

)

trong Duv thì:

= ∫

∫

1 1

0 x

f x y dxdy )

( ,

f x u v y u v

( ( , ),

( , ))

J dudv

¶ = „ J 0 ¶

∫∫

∫

x 9

+ = x y ) ( , ( , ) u v ∫∫ I dx f x y dy ( , ) dx f x y dy ( , )

Trong ñó:

( , ) x y ( , ) u v

/ x u y

/ v y

/ x

/ y

/ u

/ v

1 ( , ) u v x y ) ( ,

/ x

/ y

¶ ¶ ¶ ¶

b) ðổi biến trong tọa ñộ cực

VD 4. Cho miền Duv là hình tam giác O(0;0), A(2;0), B(0;2) trong mpOuv. Gọi miền Dxy là ảnh của Duv qua phép biến hình g: (x, y) = g(u, v) = (u+v, u2–v).

Tính tích phân của hàm

trên miền

f x y ( ,

)

1 + 1 4 x

biến hình Dxy = g(Duv). VD 5. Cho miền Duv là phần tư hình tròn ñơn vị trong mpOuv. Gọi miền Dxy là ảnh của Duv qua phép biến hình g: (x, y) = g(u, v) = (u2–v2, 2uv). Tính tích phân của hàm

trên miền biến hình Dxy.

• ðổi biến:

, với

0, 0

p 2

= f x y ( , ) 1 + j x y r ‡ £ £ cos j

VD 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi bốn Parapol: y = x2, y = 2x2, x = y2 và x = 3y2.

hoặc

Khi ñó, miền Dxy trở thành: = j

= x  = y p - £ £ sin r .

j j ) :

j 1

£ £ £ £ r {( , ) r ( )} r 2 r , ( 1 j - ¶

Chú ý 1) ðổi biến trong tọa ñộ cực thường dùng khi biên D là ñường tròn hoặc elip.

và

cos j

sin

j sin j cos

( , x y j r ( ,

) )

/ x j / y j

/ x r / y r

ta thay

vào phương

j (

)

r 2) ðể tìm 1

j r ( 2

r r

cos j sin

= x  = y

Vậy ta có:

trình của biên D. 3) Nếu cực O nằm trong D và mỗi tia từ O cắt biên D không quá 1 ñiểm thì:

f x y dxdy )

( ,

f r

( cos

j , sin ) r

j rdrd

∫∫

(

)

p 2

D j r

= j

f r

( cos

j , sin ) r

j rdrd

j ( cos , sin ) r f r

rdr

)

j r ( 2

∫

∫∫

D j r

f r

r ( cos , sin )

rdr

∫

)

j r ( 1

2 +

(

)

4) Nếu cực O nằm trên biên D thì:

với D là hình tròn

VD 9. Tính tích phân

dxdy

= ∫∫

j (

)

= j

f r

( cos

j , sin ) r

j rdrd

j ( cos , sin ) r f r

rdr

∫∫

∫

D j r

x VD 10. Tính diện tích miền D giới hạn bởi:

y = –x,

và

y ‡

r {( ,

) : 0

2 , 0

5) Nếu biên D là elip thì ñặt: j cos j sin

r a r b

= x  = y

- £ £ £ £ ⇒ = D j r

Công thức Walliss

trong tọa ñộ cực.

VD 7. Biểu diễn tích phân

f x y dxdy )

( ,

∫∫

(

leû

sin

xdx

cos

xdx

∫

1)!! !! n n (

Biết miền D là miền phẳng nằm ngoài (C1): (x – 1)2 + y2 = 1 và nằm trong (C2): (x – 2)2 + y2 = 4.

chaün

1)!! !!

   =   

VD 8. Tính diện tích hình ellip:

x a

y b

Trang 6

(nón eliptic);

2 = 2

+ - 0 z c

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH MỘT SỐ MẶT BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN Oxyz • Trong không gian Oxyz, mặt bậc hai là tập hợp tất cả các ñiểm M(x; y; z) có tọa ñộ thỏa phương trình: Ax2 + 2Bxy + 2Cxz+ Dy2 + 2Eyz + Fz2 + 2Gx + 2Hy+ 2Kz + L = 0.

(parabolit eliptic);

= + 2 z

(parabolit hyperbolic – yên ngựa);

2 = 2

(mặt cầu);

Trong ñó A, B, C, D, E, F không ñồng thời bằng 0. • Các dạng chính tắc của mặt bậc hai: 2 R 1)

- 2 z

+ + + = (mặt trụ eliptic); 1 = (mặt elipxoit); 1

(mặt trụ hyperbolic);

(hyperboloit 1 tầng);

2 = 2

(mặt trụ parabolic).

- + - 1 1

(hyperboloit 2 tầng);

2 = - 2

Trang 7

x a x a x a x a x a 10) y b y b y b y b y b = 2 y px + - 1 x a x a x a y b y b y b z c z c z c

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH

= r

x y z ( , , )

= r )

(

2.2. ðịnh nghĩa • Cho hàm số f(x, y, z) xác ñịnh trong miền ño ñược V của không gian Oxyz. Chia miền V một cách tùy ý thành n phần không dẫm lên nhau, thể tích mỗi phần là D Vi (i=1,2,…,n). Trong mỗi D Vi ta lấy Pi(xi; yi; zi) tùy ý và lập tổng tích phân

= :

(

)

∑

f x y z , i i

V i

§2. TÍCH PHÂN BỘI BA 2.1. Bài toán mở ñầu (khối lượng vật thể) • Giả sử ta cần tính khối lượng của vật thể V không ñồng chất, biết mật ñộ (khối lượng riêng) tại P(x, y, z) là r . Ta chia V tùy ý thành n phần không dẫm lên nhau, thể tích mỗi phần là D Vi (i=1,2,…,n). Trong mỗi D Vi ta lấy ñiểm Pi(xi; yi; zi) và ñường kính của D Vi là di. Khối lượng V xấp xỉ:

= 1

(

)

∑

D = ) P V i i

x y z i i i

V i

tồn tại hữu hạn, không

Nếu

(

)

∑

f x y z , i i

V i

lim d

max

= 1

n ∑ r = 1

= 1

» D D ﬁ

thì ñó là khối lượng m

Nếu tồn tại

(

)

∑

x y z i i

V i

lim d

max

phụ thuộc vào cách chia V và cách chọn ñiểm Pi thì số thực I ñược gọi là tích phân bội ba của f(x, y, z) trên V.

= 1

của vật thể V.

Ký hiệu

f x y z dV

, )

( ,

= ∫∫∫

D ﬁ

ðịnh lý. Hàm f(x, y, z) liên tục trong miền bị chặn, ñóng V thì khả tích trong V. • Nếu tồn tại tích phân, ta nói f(x, y, z) khả tích; f(x, y, z) là hàm dưới dấu tích phân; x, y, z là các biến tích phân. Nhận xét 1) Nếu chia V bởi các ñường thẳng song song với các trục tọa ñộ thì D Vi = D xi.D yi.D zi hay dV = dxdydz. f x y z dxdydz , ) Vậy

f x y z dV

, )

( ,

∫∫∫

3) Tích phân bội ba có các tính chất như tích phân kép. 2.3. Phương pháp tính tích phân bội ba 2.3.1. ðưa về tích phân lặp a) Giả sử miền V có giới hạn trên bởi mặt z = z2(x, y), giới hạn dưới bởi z = z1(x, y), giới hạn xung quanh bởi mặt trụ có ñường sinh song song với trục Oz. Gọi D là hình chiếu của V trên mpOxy. Khi ñó:

x y ( ,

)

2) Nếu

trên V thì

là

f x y z dxdydz , )

( ,

f x y z ‡ ( , , )

f x y z dxdydz , )

( ,

f x y z dz dxdy

, )

( ,

= ∫∫∫

∫∫

∫

∫∫∫

x y ( ,

)

z 1

   

   

x y ( ,

)

dxdy

f x y z dz

, )

( ,

∫∫

∫

khối lượng vật thể V, với khối lượng riêng vật chất chiếm thể tích V là f(x, y, z). Nếu f(x, y, z) = 1 thì I là thể tích V.

x y ( ,

)

z 1

x z ( , )

£ £ £ £

• Nếu

thì:

{( ,

x y

) :

( )}

b y x , ( ) 1

y x 2

(

)

x y ( ,

)

∫∫

∫

∫∫∫

x z ( , )

y 1

   

   

∫∫∫

∫

x z ( , )

x y ( ,

= f x y z dxdydz , ) ( , f x y z dy dxdz , ) ( , = f x y z dxdydz , ) ( , dx dy f x y z dz , ) ( ,

∫∫

∫

V • Nếu

thì:

a x

) y

y 1 x

z ( ) x 1 c y ( ),

x z ( , )

y 1

(

)

x y ( ,

)

x 2

= dxdz f x y z dy , ) ( , = £ £ £ £ D {( , x y ) : d } x y ( ) 1

• Nếu

thì:

∫∫∫

∫

(

)

x z ( , )

(

)

x y ( ,

)

y 2

x 1

z 1

= £ £ £ £ = z D x z {( , ) : a x ( )} x , z ( ) b 1 z x 2 f x y z dxdydz , ) ( , f x y z dz , ) ( , dy dx

∫

∫∫∫

∫

= f x y z dxdydz , ) ( , dx dz f x y z dy , ) ( ,

thì:

( , ) x z z

V D • Nếu

( ) x y z 1 1 x z ( ), e 2

z ( )

x z ( , )

x 2

= £ £ £ £ x z {( , ) : x f } x z ( ) 1

∫

∫∫∫

x z ( , )

b) Gọi D là hình chiếu của V trên mpOxz. Giả sử miền V có giới hạn (theo chiều ngược với tia Oy) bởi hai mặt y = y2(x, z) và mặt y = y1(x, z), giới hạn xung quanh bởi mặt trụ có ñường sinh song song Oy. Khi ñó:

x z ( ) 1

y 1

Trang 8

= dz dx f x y z dxdydz , ) ( , f x y z dy , ) ( ,

• Nếu thì:

y z , )

z ( )

(

x 2

= £ £ £ £ y z {( , ) : ( ), e D } y z f y z ( ) 1 y z 2

∫∫∫

∫

= f x y z dxdydz , ) f x y z dx , ) ( , ( , dy dz

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH c) Gọi D là hình chiếu của V trên mpOyz. Giả sử miền V có giới hạn (theo chiều ngược với tia Ox) bởi hai mặt x = x2(y, z) và mặt x = x1(y, z), giới hạn xung quanh bởi mặt trụ có ñường sinh song song Ox. Khi ñó:

z ( )

(

y z , )

y 1

x 1

(

y z , )

x 2

f x y z dxdydz , )

( ,

f x y z dx dydz

, )

( ,

∫∫

∫

∫∫∫

(

y z , )

x 1

   

   

(

y z , )

x 2

x y z

, e

}

• Nếu

, )

( ,

dydz

f x y z dx

∫∫

∫

= =

£ £ £ £ £ £ · ·

ðặc biệt D

{( , a b [ , ]

a , ) : c d [ ,

]

b , c x e f [ , ]

(

y z , )

x 1

thì:

• Nếu

y z {( , ) :

y ( )}

y , z ( ) 1

(

)

(

y z , )

x 2

f x y z dxdydz , )

( ,

dx dy f x y z dz

, )

( ,

∫∫∫

∫

£ £ £ £

∫

∫∫∫

(

)

(

, ) y z

z 1

x 1

= f x y z dxdydz , ) ( , f x y z dx , ) ( , dy dz

x x x

VD 1. Tính tích phân

với

xyzdxdydz

= ∫∫∫

• ðặt

và

V = [1, 2] ·

[0, 2].

¶ = = J y ¶ x y z , ) ( , u v w ( , ) , z z z

2.3.2. ðổi biến tổng quát x u v w ( , , ) ( , y u v w ) , z u v w ) , ( ,

= x  = y  = z

/ u / y u / u

/ v / y v / v

/ w / w / w

[–1, 3] · 1

VD 2. Tính tích phân lặp

và dựng

z dz )

∫

1 ∫ dx dy x

Giả sử các hàm x, y, z có ñạo hàm riêng liên tục trong miền ñóng, giới nội ño ñược Vuvw trong không gian Ouvw và J „

f x y z dxdydz , )

( ,

miền lấy tích phân V.

với V giới hạn bởi

0 thì: ∫∫∫

VD 3. Tính tích phân

ydxdydz

= ∫∫∫

V =

f x u v w y u v w z u v w J dudvdw

), ( ,

( ( ,

( ,

)).

∫∫∫

uvw

x + y + z – 1 = 0 và 3 mặt phẳng tọa ñộ.

Ta có:

VD 4. Tính tích phân

với

(

+ + y

z dxdydz )

∫∫∫

/ x j / y j

y y V

- + + + - + + + - x

/ z j

/ r / r / r

Khi ñó ta có:

x ¶ q = = = J y r sin ¶ x y z ( , , ) jq , r ) ( , £ z x q y q z q

+ + £

VD 5. Tính thể tích của khối elipxoit

j z r drd dz

∫∫∫

j r z

R V : x a y b z c = f x y z dxdydz , ) ( , f r r ( cos , sin , ). .

2.3.3. ðổi biến trong tọa ñộ trụ j cos j

, với

ðặt

và z = 0.

r sin + ‡

VD 6. Tính thể tích khối V giới hạn bởi các mặt 2 x

= - 4 y+ y x z

với V là

+ =

VD 7. Tính tích phân

hoặc

p 2

V miền hình trụ giới hạn bởi:

, z = 0 và z = 1.

Ta có:

I z x y dxdydz 2 ∫∫∫ z j ‡ £ £ = x  = y  = z 0, 0 p j - £ £ + = x y 2 y

với V là

+ + =

VD 8. Tính tích phân

2 z dxdydz

∫∫∫

j cos j

và z = 1.

j sin j cos

/ x j / y j

/ z j

/ r / y r / r

/ z / z / z

I ( x y ) - x x r 0 ¶ + = = = = = x y z J y sin r 0 r ¶ ( , , ) x y z j z r , ) ( , z z 0 0 1

, với

ðặt

Khi ñó ta có: ∫∫∫

r r ( , f x y z dxdydz , )

miền hình nón giới hạn bởi các mặt: 2.3.3. ðổi biến trong tọa ñộ cầu j q sin cos j q sin sin q

V =

hoặc

∫∫∫

V jq r

Trang 9

‡ £ £ £ £ q j q j r cos q p j 2 , 0 q r f r r r drd d q ( sin cos , sin sin , cos ). j q sin . = x  = y  = z 0, 0 p j - £ £

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH §3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI

1 =

VD 9. Tính tích phân

với V là

∫∫∫

f x y dxdy )

( ,

= và 1

= . 4

1 S D (

I dxdydz + + x y z

miền giới hạn bởi các mặt cầu: +

£ £

VD 10. Tính tích phân

với V là

(

y dxdydz

)

, 0

∫∫∫

£ £

và

z ‡

V + z

f x y z dxdydz , )

( ,

là:

miền giới hạn bởi:

3.1. Diện tích, thể tích (xem nhận xét tích phân bội hai, ba). 3.2. Giá trị trung bình của hàm số trên miền ñóng • Giá trị trung bình của hàm số f(x, y) trên miền ñóng D là: ∫∫ ) D VD 1. Tính giá trị trung bình của f(x, y) = xcosxy trong hình chữ nhật 0 • Giá trị trung bình của hàm số f(x, y, z) trên miền ñóng W ∫∫

1 (

)

W W

VD 2. Tính giá trị trung bình của f(x, y, z) = xyz trong hình lập phương [0, 2] · [0, 2].

[0, 2] ·

3.3. Khối lượng • Cho một bản phẳng chiếm miền D ñóng trong Oxy có khối lượng riêng (mật ñộ khối lượng) tại ñiểm M(x, y) thuộc D là hàm

liên tục trên D. Khối lượng của bản phẳng là:

x y ( ,

)

3.4. Momen tĩnh ðịnh nghĩa • Momen tĩnh của một chất ñiểm có khối lượng m ñặt tại ñiểm M(x, y) trong Oxy ñối với trục Ox, Oy theo thứ tự là: My=0 = my, Mx=0 = mx.

x y dxdy ( , )

= ∫∫

• Momen tĩnh của một chất ñiểm có khối lượng m ñặt tại ñiểm M(x, y, z) trong Oxyz ñối với các mặt phẳng tọa ñộ Oxy, Oyz, Oxz theo thứ tự là:

Mz=0 = mz, Mx=0 = mx, My=0 = my.

x y z dxdydz ( ,

, )

• Cho một vật thể chiếm miền V ñóng trong Oxyz có khối lượng riêng tại ñiểm M(x, y, z) thuộc V là hàm x y z ( , , ) liên tục trên V. Khối lượng của vật thể là: = ∫∫∫

x y ( ,

)

và

x y dxdy M ( ,

x y dxdy ( , )

r x

)

Công thức tính • Momen tĩnh của bản phẳng chiếm diện tích D trong Oxy có khối lượng riêng tại ñiểm M(x, y) là hàm liên tục trên D là: = ∫∫

∫∫

x ‡ .

)

4 , = xy

y+ x y ( ,

liên tục trên D. Khi

liên tục

x y ( ,

)

x y z ( , , )

VD 3. Tính khối lượng bản phẳng chiếm miền D giới hạn y ‡ x bởi . Biết khối lượng riêng là r hàm • Momen tĩnh của vật thể chiếm miền V trong Oxyz có khối lượng riêng tại ñiểm M(x, y, z) là hàm trên V là:

3.5. Trọng tâm • Cho bản phẳng chiếm diện tích D trong Oxy có khối lượng r riêng tại ñiểm M(x, y) là hàm ñó, tọa ñộ trọng tâm G của bản phẳng là: x y dxdy ( , )

x y z dxdydz ( ,

, )

∫∫

∫∫∫

x y dxdy ( , )

x G

∫∫

1 m

x y dxdy ( , )

x y z dxdydz ( ,

, )

∫∫

∫∫∫

x y dxdy ( , )

x y z dxdydz ( ,

, )

∫∫

∫∫∫

x y dxdy ( , )

∫∫

1 m

x y dxdy ( , )

∫∫

Khi bản phẳng ñồng chất thì

là hằng số nên:

Khi vật thể ñồng chất thì

là hằng số nên:

x y ( ,

)

x y z ( , , )

xdxdydz

ydxdy

xdxdy

, y

x G

∫∫∫

∫∫

)

1 S D (

1 V

ydxdydz

∫∫∫

liên tục trên V.

1 V

zdxdydz

∫∫∫

x y z dxdydz ( ,

, )

1 V

x G

∫∫∫

1 S D ( • Cho vật thể chiếm thể tích V trong Oxyz có khối lượng riêng tại ñiểm M(x, y, z) là hàm x y z ( , , ) Khi ñó, tọa ñộ trọng tâm G của vật thể là: 1 m

. Biết

+ £ x

+ . y

x y ( ,

)

x y z dxdydz ( ,

, )

∫∫∫

1 m

z ‡

x y z dxdydz ( ,

, )

z G

∫∫∫

1 m

‡ ‡

V VD 4. Tìm tọa ñộ trọng tâm hình phẳng D giới hạn bởi x VD 5. Tìm tọa ñộ trọng tâm của vật thể ñồng chất chiếm thể 2 z tích V giới hạn bởi mặt nón và mặt cầu = . 1

Trang 10

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH 3.4. Momen quán tính ðịnh nghĩa • Momen quán tính của một chất ñiểm có khối lượng m ñặt tại ñiểm M(x, y) ñối với trục Ox, Oy và gốc tọa ñộ O theo thứ tự là:

liên tục trên D.

x y ( ,

)

Công thức tính • Cho bản phẳng chiếm diện tích D trong mpOxy có khối lượng riêng tại ñiểm M(x, y) là hàm Khi ñó:

x y dxdy ( , )

∫∫

Ix = my2, Iy = mx2 và IO = Ix + Iy = m(x2 + y2). • Momen quán tính của một chất ñiểm có khối lượng m ñặt tại ñiểm M(x, y, z) ñối với trục Ox, Oy, Oz và gốc tọa ñộ O theo thứ tự là:

x y dxdy ( , )

Ix = m(y2 + z2), Iy = m(x2 + z2), Iz = m(x2 + y2)

∫∫

(

)

x y dxdy ( , )

∫∫

và IO = Ix + Iy + Iz = m(x2 + y2 + z2). • Momen quán tính của một chất ñiểm có khối lượng m ñặt tại ñiểm M(x, y, z) ñối với các mặt phẳng tọa ñộ Oxy, Oyz, Oxz thứ tự là:

Iz=0 = mz2, Ix=0 = mx2, Iy=0 = my2.

x y z dxdydz ( ,

, )

∫∫∫

liên tục trên V. Khi

• Cho vật thể chiếm miền V trong Oxyz có khối lượng riêng tại ñiểm M(x, y, z) là hàm x y z ( , , ) ñó:

và

x y z dxdydz ( ,

, )

∫∫∫

(

)

x y z dxdydz ( ,

, )

∫∫∫

x y z dxdydz ( , .

, )

∫∫∫

(

)

x y z dxdydz ( ,

, )

∫∫∫

(

)

x y z dxdydz ( ,

, )

∫∫∫

= . y

VD 6. Tính Ix, Iy của hình D giới hạn bởi y2 = 1 – x, x = 0, y = 0. Biết khối lượng riêng là 2

) x y ( , 2 2

- £

VD 7. Tính IO của hình tròn

(

)

x y z dxdydz ( ,

, )

∫∫∫

Biết

x y ( ,

)

Giới hạn

tồn tại ñược gọi là tích

(

)

∑

f x y , i i

s i

lim max s i

= 1

phân ñường loại 1 của f(x, y) trên ñường cong L.

D D ﬁ

Ký hiệu là

f x y ds

( ,

)

và f(x, y) là

với a

x t ( )

∫

£ £

Chương 3. TÍCH PHÂN ðƯỜNG – TÍCH PHÂN MẶT §1. TÍCH PHÂN ðƯỜNG LOẠI I 1.1. ðịnh nghĩa • Giả sử ñường cong L trong mặt phẳng Oxy có phương trình tham số y t ( ) hàm số xác ñịnh trên L. Chia L thành n cung không dẫm lên nhau bởi các ñiểm chia ứng với

...

t 0

= . < < b t 1 . Trên cung thứ i lấy ñiểm

Gọi ñộ dài cung thứ i là

Nhận xét 1) Tích phân ñường loại 1 có tất cả các tính chất của tích phân xác ñịnh. 2) Tích phân ñường loại 1 không phụ thuộc vào chiều của

ñược gọi là tổng tích

(

)

isD ∑

M x y . Tổng ) i

f x y , i

s i

f x y ds

( ,

)

f x y ds

( ,

)

= 1

∫

(cid:3) AB

(cid:3) BA

£ £

b) ðường cong L trong Oxy có phương trình tổng quát • Nếu L có phương trình

thì:

với a

y x ( )

với a

y t ( )

x t ( )

(

/ x

b £ £ = + x )2 f x y ds ( , ) f x y x ( , ( )) 1 y dx

phân ñường (loại 1) của hàm f(x, y) trên ñường cong L. 1.2. Phương pháp tính a) ðường cong L có phương trình tham số • Nếu L có phương trình thì:

∫

(

)

(

)

/ t

∫

thì:

• Nếu L có phương trình

x y ( )

x t ( )

= + f x y ds ( , ) f x t y t ( ( ), ( )) x y dt £ £

với a (

/ y

a • Nếu L trong không gian có phương trình với a y

z t= ( )

y t ( )

∫

= + f x y ds ( , ) f x y y ( ( ), x ) dy 1 £ £ b t

)

(

)

(

)

thì: (

/ t

∫

Trang 11

= + + f x y z ds , ) ( , f x t y t ( ( ), z t ( ), ( )) z y x dt

thì:

£ £

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH ðặc biệt • Nếu L có phương trình y

với L là ñường xoắn ốc trụ tròn xoay có

VD 1. Tính

zds

∫

(hằng số) với a b

, 0

p 2

cos

, z

bt=

sin

∫

= a f x y ds ( , ) f x ( , ) dx £ £

L phương trình

thì:

• Nếu L có phương trình x

với L là tam giác có các ñỉnh

£ £

VD 2. Tính

(

y ds )

a (hằng số) với a b

∫

L O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1).

= f x y ds ( , ) a ( f , y dy )

với a

r j= (

)

với L là phần giao tuyến giữa mặt

£ £

VD 3. Tính

xyds

∫

nằm trong góc phần tám thứ

L 2

= - 2

và:

, a

- £ £

L c) ðường cong L trong tọa ñộ cực b • Nếu L ñược cho trong tọa ñộ cực r thì ta xem j là tham số. Khi ñó, phương trình của L là j ) sin x

j ) cos

r j (

y b

z và nhất từ ñiểm A(0; 1; 0) ñến B(1; 0; 1).

f x y ds

( ,

)

j ( ( f r

j ) cos , ( r

j ) sin )

( j r j

∫

Trọng tâm G của L là:

1.3. Ứng dụng

1) ðộ dài cung L là

, với f(x, y) = 1 hoặc f(x, y, z) = 1.

x y z ds ( , , )

ds∫

x G

y G

∫

1 m

x y z ds ( , , )

z G

2) Nếu dây vật dẫn có hình dạng L và hàm mật ñộ khối lượng

phụ thuộc vào ñiểm M(x, y) trên L thì khối

x y ( ,

)

∫

1 m 1 m

lượng của dây vật dẫn là

x y ds ( , )

r= ∫

nằm trong

VD 4. Tính ñộ dài cung tròn

2 2

= x

Trọng tâm G của L là:

góc thứ nhất từ A(2; 0) ñến

;

3 2

1 2

  

x y ds ( , )

x G

y G

∫

1 m

= , 1

3) Nếu dây vật dẫn có hình dạng L và hàm mật ñộ khối lượng

phụ thuộc vào ñiểm M(x, y, z) trên L thì

x y z ( , , )

= - 2

   VD 5. Cho một dây thép dạng nửa ñường tròn trong mpOyz z ‡ y với phương trình . Biết mật ñộ khối lượng r . ( , , ) z x y z

khối lượng của dây vật dẫn là

x y z ds ( , , )

Tìm khối lượng và trọng tâm của dây thép.

r= ∫

tác dụng lên chất

(cid:4)(cid:5) (cid:4)(cid:5) F F M=

(

)

(

Khi ñó, công W sinh ra: ∑ ∑ = W i

(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:5) (cid:4)(cid:5) F M A A ) i i

» -

§2. TÍCH PHÂN ðƯỜNG LOẠI II 2.1. Bài toán mở ñầu • Tính công sinh ra do lực ñiểm M(x, y) di chuyển dọc theo ñường cong L. Nếu L là ñoạn thẳng AB thì công sinh ra là

= 1

)

(

(cid:4)(cid:5) (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:5) . W F AB

(cid:4)(cid:5) (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:5) F AB

(cid:4)(cid:5) (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:5) , F AB

cos

[

)

] .

x h ( , i

x h D + x Q ( i

∑

= 1

,...,

A A , 0 1

A . n

Vậy

lấy ñiểm Mi(xi, yi) tùy ý. Chiếu

[

]

)

∑

x h ( , i

x h D + ( x Q i

lim (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:5) max A A i

= 1

= D

và

Chia L thành n cung nhỏ bởi các ñiểm chia Trên mỗi cung (cid:6) A A- 1i i (cid:4)(cid:5) ( )i F M và (cid:4)(cid:5) = F M (

(cid:5) x h + ). i Q (

(cid:5) j

)

D ﬁ -

lên trục Ox, Oy ta ñược: (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:5) A A 1 i i

(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:5) A A- 1i i x h ( , i

(cid:5) + D . x i i

(cid:5) y j . i

Ký hiệu là

+ P x y dx Q x y dy

( ,

)

∫

,...,

A . n

A A , 0 1

lấy ñiểm Mi(xi, yi) tùy ý. Gọi

. Tổng

y i

D -

2.2. ðịnh nghĩa • Cho hai hàm P(x, y), Q(x, y) xác ñịnh trên ñường cong L. Chia L thành n cung nhỏ bởi các ñiểm chia Trên mỗi cung (cid:6) A A- 1i i (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:5) ( ) = D A A x 1 i i i

]

[

ñược gọi là tổng tích

)

∑

x h ( , i

x h D + ( x Q i

= 1

( = D

)

D -

Nhận xét 1) Tích phân ñường loại 2 có tất cả các tính chất như tích phân xác ñịnh. 2) Tích phân ñường loại 2 phụ thuộc vào chiều của L vì khi ñổi dấu, do ñó khi viết thay ñổi chiều thì x i

(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:5) A A 1 i i tích phân ta cần ghi rõ ñiểm ñầu và cuối:

phân ñường (loại 2) của hàm P(x, y) và Q(x, y) trên ñường cong L. Giới hạn

tồn tại ñược gọi là tích phân ñường

lim (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:5) max A A i

= -

+ P x y dx Q x y dy

( ,

)

P x y dx Q x y dy

( ,

)

∫

loại 2 của P(x, y) và Q(x, y) trên ñường cong L.

(cid:3) AB

(cid:3) BA

Trang 12

ﬁ -

+ P x y dx Q x y dy

Q x y dy

P x y dx

( ,

)

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH 3) Từ ñịnh nghĩa tổng tích phân, ta có thể viết: ∫

∫

2.3. Phương pháp tính a) ðường cong L có phương trình tham số • Nếu L có phương trình

thì:

y t ( )

x t ( )

(cid:3) AB

∫

(cid:3) AB

+ P x y dx Q x y dy ( , ( , ) )

• Nếu L là ñường cong phẳng, kín lấy theo chiều dương (ngược chiều kim ñồng hồ) thì ta dùng ký hiệu:

/ t

∫

+ P x y dx Q x y dy

( ,

)

∫(cid:7)

x t ( )

y t ( )

z t= ( )

= + P x t y t x Q x t y t y dt ( ( ), ( ( ), ( )) ( )) .    

• Nếu L trong không gian có pt ∫

(cid:3) AB

, )

( ,

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz

, )

( ,

+ + P x y z dx Q x y z dy R x y z dz , ) , ) , ) ( , ( , ( ,

• ðịnh nghĩa tương tự: + ∫

/ t

/ z t

(hằng số) thì:

+ ( ), ( )) P x t y t ( ( ), z t x Q x t y t ( ( ), ( ), ( )) z t y dt . + R x t y t ( ( ), z t ( ), ( ))  =  ∫      

ðặc biệt • Nếu L có phương trình y

b) ðường cong L trong Oxy có phương trình tổng quát • Nếu L có phương trình

thì:

y x ( )

∫

(cid:3) AB

∫

(cid:3) AB

• Nếu L có phương trình x

x (hằng số) thì: y

= a + P x y dx Q x y dy ( , ( , ) ) P x ( , ) dx = + + Pdx Qdy P x y x ( , ( )) Q x y x ( , ( )).  / y dx  x  

• Nếu L có phương trình

thì:

x y ( )

∫

(cid:3) AB

= + P x y dx Q x y dy ( , ( , ) ) Q a ( , y dy )

/ y

∫

với L là elip

= + Pdx Qdy + P x y y x Q x y y dy ( ( ), ( ( ), ). )     + - = lấy theo

VD 1. Tính

(cid:3) AB

∫(cid:7)

L chiều dương.

1 xdy ydx x a y b

với L là ñường nối

VD 2. Tính

∫

( x + y dx ) + x ( y dy )

2.4. Công thức Green (liên hệ với tích phân kép) • Cho miền D là miền liên thông, bị chặn, có biên L Jordan kín trơn từng khúc. Chiều dương của L là chiều mà khi di chuyển ta thấy miền D nằm về phía tay trái.

ñiểm O(0; 0) với A(1; 1) trong các trường hợp: a) ñường thẳng y = x; b) ñường y = x2; x= c) ñường y

với L là ñường xoắn ốc trụ tròn

VD 3. Tính

+ ydy dz

∫

từ ñiểm

t= 2

sin

cos .

)

P x y dx Q x y dy

( ,

)

• Nếu các hàm số P(x, y) và Q(x, y) có các ñạo hàm riêng cấp 1 liên tục trên D thì: ) ( = / Q P dxdy y

/ x

∫∫

∫(cid:7)

x xoay có phương trình p A(1; 0; 0) ñến (0; 1; Hệ quả

xdy

ydx

S D (

)

1 ∫(cid:7) 2 D

- ¶

VD 4. Tính diện tích của elip

= . 1

x a

y b

" ˛

2.5. ðiều kiện tích phân ñường không phụ thuộc ñường lấy tích phân ðịnh lý • Giả sử các hàm số P(x, y), Q(x, y) và các ñạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trong miền ñơn liên D. Khi ñó, bốn mệnh ñề sau tương ñương: 1)

( , ) x y D

/ , x

/ y

dọc theo mọi ñường kín L

+ P x y dx Q x y dy

( ,

)

( ,

= P Q ∫(cid:7)

, với L

VD 5. Tính

(

xarctgx

2 y dx )

(

2 y e

∫(cid:7)

nằm trong D.

là

L 2 2

, trong ñó (cid:3)AB nằm trong D, chỉ

+ P x y dx Q x y dy

( ,

)

∫

(cid:3) AB

trong các trường hợp:

- -

VD 6. Tính

∫(cid:7)

= y 0 xdy 2 x

ydx 2 y a) L là ñường cong kín không bao gốc O; b) L là ñường cong kín bao gốc O.

phụ thuộc vào hai mút A, B mà không phụ thuộc vào ñường nối A với B. 4) Biểu thức P(x, y)dx + Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x, y) nào ñó trong miền D.

Trang 13

" ˛

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH §3. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I Hệ quả • Nếu P(x, y)dx + Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của hàm x y D ) ( , u(x, y) nào ñó trong miền D, nghĩa là

= P Q

/ , x

/ y

M x h z ( ,

3.1. ðịnh nghĩa • Cho hàm số f(x, y, z) xác ñịnh trên mặt S. Chia S một cách tùy ý thành n phần không dẫm lên nhau, diện tích mỗi phần là D Si (i=1,2,…,n). Trong mỗi D Si ta lấy ñiểm )

thì:

+ P x y dx Q x y dy

( ,

)

u B (

)

u A ( )

tùy ý và lập tổng tích phân

)

∫

∑

x h z ( , i

(cid:3) AB

= 1

- D

Nếu

tồn tại hữu hạn, không

)

∑

x h z ( , i

max (

)

lim S d i

= 1

D - D ﬁ

VD 7. Tính

với L là ñường trơn

∫

x 2 x

y y

+ x 2 x

y y

phụ thuộc vào cách chia S và cách chọn ñiểm Mi thì số I ñược gọi là tích phân mặt loại 1 của f(x, y, z) trên S.

Ký hiệu

f x y z dS

, )

( ,

= ∫∫

từng khúc nối A(1; 1) và B(2; 2) nằm trong miền D không chứa gốc tọa ñộ O.

)

(

f x y z y z ( ( , ),

f x y z dS

, ) 1

dydz

, )

( ,

/ y

/ z

c) Chiếu S lên Oyz • Nếu S có phương trình x = x(y, z) và S có hình chiếu trên Oyz là D thì: ∫∫

∫∫

)

(

)

(

f x y z x y

f x y z dS

, ( ,

dxdy

)) 1

, )

( ,

/ y

/ x

3.2. Phương pháp tính a) Chiếu S lên Oxy • Nếu S có phương trình z = z(x, y) và S có hình chiếu trên Oxy là D thì: ∫∫

∫∫

, trong ñó S là phần mặt nón

VD 1. Tính

zdS

= ∫∫

£ £

VD 2. Tính

, trong ñó S là phần mặt

2 ( z x

2 ) y dS

S với 0 ∫∫

)

(

f x y x y z ( ,

f x y z dS

), ) 1

dxdz

, )

( ,

/ x

/ z

b) Chiếu S lên Oxz • Nếu S có phương trình y = y(x, z) và S có hình chiếu trên Oxz là D thì: ∫∫

∫∫

cầu

= với

x ‡

y ‡

§4. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 3.3. Ứng dụng của tích phân mặt loại 1

1) Diện tích mặt S là

∫∫

thì

x y z ( , , )

hướng từ chân lên

x y z dS ( , , )

S 2) Nếu mặt S có hàm mật ñộ khối lượng là khối lượng của mặt S là: = ∫∫

4.1. ðịnh nghĩa 4.1.1. Mặt ñịnh hướng • Mặt trơn S ñược gọi là mặt ñịnh hướng nếu pháp vector (cid:5) ñơn vị n xác ñịnh tại mọi ñiểm M thuộc S (có thể trừ biên S) biến ñổi liên tục khi M chạy trên S. Mặt ñịnh hướng có (cid:5) hai phía, phía mà nếu ñứng trên ñó thì n ñầu là phía dương, ngược lại là phía âm.

x y z dS ( , , )

, y

r y

x y z dS ( , , )

x G

Khi ñó, tọa ñộ trọng tâm G của mặt S là: ∫∫

∫∫

1 m

x y z dS ( , , )

z G

∫∫

1 m

lập với

)

Lập tổng tích phân

Gọi Di là hình chiếu của D Si lên Oxy kèm theo dấu dương nếu D Si có ñịnh hướng trên, ngược lại là dấu âm. = ∑

( S D i

x h z ( , i

= 1

)

Nếu

tồn tại hữu hạn,

∑

x h z ( , i

( S D i

max (

)

lim S d i

= 1

không phụ thuộc vào cách chia S và cách chọn ñiểm Mi thì số I ñược gọi là tích phân mặt loại 2 của f(x, y, z) trên mặt ñịnh hướng S.

Ký hiệu

f x y z dxdy , )

( ,

∫∫

tùy ý.

M x h z ( ,

)

D ﬁ

• Hướng của biên S là hướng ngược chiều kim ñồng hồ khi (cid:5) nhìn từ ngọn của n (cid:5) • Khi mặt S không kín, ta gọi phía trên là phía mà n tia Oz góc nhọn, ngược là là phía dưới. Khi mặt S kín ta gọi phía trong và phía ngoài. • Mặt trơn từng khúc S là ñịnh hướng ñược nếu hai phần trơn bất kỳ của S nối với nhau bởi ñường biên C có ñịnh hướng ngược nhau. 4.1.2. ðịnh nghĩa tích phân mặt loại 2 • Cho hàm số f(x, y, z) xác ñịnh trên mặt ñịnh hướng, trơn từng khúc S. Chia S một cách tùy ý thành n phần không dẫm lên nhau, diện tích mỗi phần là D Si (i=1,2,…,n). Trong mỗi D Si ta lấy ñiểm ,

Trang 14

và

f x y z dydz , )

f x y z dzdx , )

( ,

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH • Tương tự, khi chiếu S lên Ozx và Oyz ta có ∫∫ ∫∫

với các tia

. Gọi

(cid:5) lần lượt là góc hợp bởi n

a b g ,

Pdydz Qdzdx Rdxdy

4.2. Liên hệ với tích phân mặt loại 1 • Cho mặt ñịnh hướng trơn từng khúc S có pháp vector ñơn (cid:5) vị n Ox, Oy, Oz. Khi ñó: ∫∫

• Kết hợp cả 3 dạng trên ta ñược tích phân mặt loại 2 của các hàm P, Q, R trên S: +

P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy , )

, )

( ,

∫∫

P ( cos

b cos

g cos )

∫∫

Trong ñó:

a = , cos + +

Nhận xét • Nếu ñổi hướng của mặt S thì tích phân ñổi dấu. • Nếu S kín thì tích phân còn ñược ký hiệu là:

(

)

/ y

/ z

Pdydz Qdzdx Rdxdy

∫∫(cid:8)

1 ) 2 1 x x

(

)

(

)

/ x

/ z

/ x

/ y

= = b cos g , cos . + + + + 1 ) 2 1 ) 2 1 y y 1 z z

4.3. Phương pháp tính a) Nếu S có hình chiếu ñơn trị lên Oxy là miền Dxy và có phương trình z(x, y) thì:

, với S là phía ngoài của mặt cầu

VD 1. Tính

∫∫

= –

R x y z dxdy , )

( ,

R x y z x y dxdy , ( ,

( ,

))

∫∫

S =

zdxdy

- - -

VD 2. Cho

y dxdy

+ ) z dydz

+ ) x dzdx

∫∫

(dấu + hay – tùy thuộc vào mặt ở phía trên hay dưới). b) Nếu S có hình chiếu ñơn trị lên Oxz là miền Dxz và có phương trình y(x, z) thì:

( ( ( )

, 0

∫∫

S với S là phía ngoài của mặt nón Chuyển tích phân về loại 1 rồi tính I.

D c) Nếu S có hình chiếu ñơn trị lên Oyz là miền Dyz và có phương trình x(y, z) thì:

= – Q x y z dzdx , ) ( , Q x y x z ( , ), ) ( , z dzdx £ £

∫∫

trơn

= – P x y z dydz , ) ( , P x y z y z dydz ( ( , ), , )

4.4. Công thức Stokes • Cho S là mặt ñịnh hướng trơn từng khúc có biên S¶ từng khúc và không tự cắt. Giả sử P, Q, R là các hàm có ñạo hàm riêng liên tục trong miền mở chứa S. Khi ñó:

4.5. Công thức Gauss – Ostrogradski • Cho V là một khối giới nội với biên S trơn từng khúc. Giả sử P, Q, R là các hàm có ñạo hàm riêng liên tục trong miền mở chứa V. Khi ñó:

Pdx Qdy Rdz

(cid:7) ∫

(

)

Pdydz Qdzdx Rdxdy

/ P Q R dxdydz x

/ y

/ z

(cid:8) ∫∫

∫∫∫

S =

- - -

(

)

) + / R Q dydz z

/ y

/ P z

( / R dzdx Q P dxdy x

/ y

/ x

∫∫

(Tích phân

∫∫(cid:8) lấy theo phía ngoài của S).

là hướng dương phù hợp với hướng của S).

, với C là ñường tròn giao

VD 3. Tính

ydx

zdy

xdz

(Hướng của S¶ ∫(cid:7)

, với S là phía

VD 4. Tính

3 x dydz

y dzdx

3 z dxdy

∫∫(cid:8)

và mặt phẳng

C x

+ + = z 0

ngoài của mặt cầu

• Dạng tổng quát của ptvp cấp n là F(x, y, y’,…, y(n)) = 0(*), nếu từ (*) ta giải ñược theo y(n) thì ptvp có dạng:

(x + y)dy – 2ydx = 0;

của mặt cầu và hướng tích phân trên C là hướng dương khi nhìn từ ngọn tia Oz. Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I §1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN • Một phương trình chứa ñạo hàm hoặc vi phân của 1 hoặc vài hàm cần tìm ñược gọi là phương trình vi phân. VD 1. y’ – 2y = 1;

2y’’ – 3y’ + y = 0;

= . 0

dy dx

dz dx

là ptvp cấp 1;

VD 2. y’ = 3x và

• Cấp cao nhất của ñạo hàm chứa trong phương trình vi phân (ptvp) ñược gọi là cấp của ptvp ñó. dy dx y’’ + 4y’ – 3y = 0 là ptvp cấp 2.

y(n) = f(x, y, y’,…, y(n–1)). • Nghiệm của ptvp F(x, y, y’,…, y(n)) = 0 trên khoảng K là 1 hàm số y = φ(x) xác ñịnh trên K sao cho khi thay y = φ(x) vào ptvp ta ñược ñồng nhất thức trên K. Phương trình vi phân có vô số nghiệm sai khác hằng số C. • Giải phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó. • ðồ thị của nghiệm y = φ(x) ñược gọi là ñường cong tích phân. VD 3. Các hàm số y = ex, y = e–x, y = C1ex + C2e–x ñều là nghiệm của y’’ – y = 0.

Trang 15

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH §2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 2.1. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp 1 • Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng tổng quát F(x, y, y’) = 0 (), nếu từ () ta giải ñược theo y’ thì

y’ = f(x, y).

• Nghiệm của ptvp chứa hằng số C là nghiệm tổng quát, nghiệm chứa hằng số C0 cụ thể là nghiệm riêng và nghiệm không nhận ñược từ nghiệm tổng quát là nghiệm kỳ dị. VD 2.

¢ =

, biết ñường cong tích phân ñi

- = x

Tìm nghiệm kỳ dị của ptvp VD 3. Tìm ptvp của họ ñường cong y = Cx2.

+ = (1’) ñược ñưa về 0 ( ) ( ) ( ) f x g y dy 2 2

• Giải ptvp cấp 1 với ñiều kiện ñầu y(x0) = y0 là ñi tìm nghiệm thỏa ñiều kiện ñầu, hay tìm 1 ñường cong tích phân của ptvp ñi qua ñiểm M0(x0; y0). y VD 1. Giải ptvp qua ñiểm M(2; 1). 2.2. Một số phương trình vi phân cấp 1 cơ bản 2.2.1. Phương trình vi phân cấp 1 có biến phân ly • Ptvp có biến phân ly có dạng:

+ f x dx g y dy

( )

(1)

( )

„ „ 0, 0 g y ( ) 1

Phương pháp giải • Lấy tích phân hai vế (1) ta ñược nghiệm tổng quát:

⇒

= (dạng (1)).

(1')

f x dx ( )

g y dy C

( )

∫

VD 5. Giải ptvp

Chú ý f x g y dx ( ) Ptvp 1 1 dạng (1) như sau: + Nếu g1(y0) = 0 thì y = y0 là nghiệm của (1). + Nếu f2(x0) = 0 thì x = x0 là nghiệm của (1). + Nếu x ( ) f 2 f x ( ) 1 ( ) f x 2 ¢ = y

thì: g y ( ) 2 g y ( ) 1 + 2) +

xy y ( +

- -

VD 6. Giải ptvp

(

1)(

= dy

+ =

VD 4. Giải ptvp

0 xdx + 2 x 1 ydy + y 1

VD 7. Giải ptvp xy’ + y = y2 thỏa ñiều kiện ñầu

(1)

1 = . 2

Phương pháp giải

• ðặt

= ⇒ = + y

u xu

y x

¢ ¢

2.2.2. Phương trình vi phân ñẳng cấp cấp 1 • Hàm hai biến f(x, y) ñược gọi là ñẳng cấp bậc n nếu với mọi k > 0 thì f(kx, ky) = knf(x, y). Chẳng hạn, các hàm

)

( j

• (2)

u xu

u ( )

du u ( )

dx x

, f(x, y) = x2 + xy là

)

f x y ( ,

)

x x

xy y 3

(ptvp có biến phân ly).

x y x 2 3 ñẳng cấp bậc 0, 1, 2 tương ứng.

¢ j - „ „ ⇒ + ⇒ - - - j

¢ =

VD 9. Giải ptvp

• Cho hàm f(x, y) ñẳng cấp bậc 0 hay

f x y ( ,

)

y x

j  =  

  

¢ =

với ñiều kiện ñầu y(1) = 0.

VD 10. Giải ptvp

+ xy xy y y

x x

¢ =

Khi ñó, ptvp ñẳng cấp có dạng: f x y ( ,

) (2)

Bước 3. ðạo hàm (3c) theo y: +

với ñiều

0 (3)

+ P x y dx Q x y dy

( ,

)

(3d).

C y ( )

/ y

kiện

trong miền phẳng D. Nếu tồn tại hàm u(x, y)

2.2.3. Phương trình vi phân toàn phần • Cho ptvp có dạng: ) P=

/ x

/ y

Bước 4. So sánh (3b) và (3d) ta tìm ñược C(y), thay vào (3c) ta ñược u(x, y). VD 11. Cho phương trình vi phân: xy 6

= (*). 0

(

x dx

2 ) a) Chứng tỏ (*) là ptvp toàn phần. b) Giải ptvi (*).

sao cho du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy thì (3) ñược gọi là ptvp toàn phần. • Nghiệm tổng quát của (3) là u(x, y) = C. Phương pháp giải Bước 1. Từ (3) ta có

(3a) và

(3b).

yu Q=

+ y

+ - y

+ dx

(

= x dy )

(3c),

P x y dx

u x y ( ,

( ,

)

+ x y C y ( , ( )

)

Bước 2. Lấy tích phân (3a) theo x: = ∫

VD 12. Giải ptvp (

với C(y) là hàm theo biến y.

Trang 16

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH 2.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng:

¢ +

p x y ( )

q x

( ) (4)

Chú ý • Khi tính các tích phân trên, ta chọn hằng số là 0. • Phương pháp biến thiên hằng số là ñi tìm nghiệm tổng quát của (4) dưới dạng:

p x dx )

(

- ∫

( ) y C x e

• Khi f(x) = 0 thì (4) ñược gọi là ptvp tuyến tính cấp 1 thuần nhất. Phương pháp giải (phương pháp biến thiên hằng số Lagrange)

thỏa ñiều kiện x = 3, y = – e9.

= 2 x y

p x dx )

(

Bước 1. Tìm biểu thức

A x ( )

- ∫= e

sin

p x dx )

(

¢ +

∫

cos

Bước 2. Tìm biểu thức

B x ( )

q x e ( ).

]

= ∫ [ y A x B x C

( )

Bước 3. Nghiệm tổng quát là

¢ -

VD 13. Giải pt VD 14. Giải pt VD 15. Giải pt

y x (

)

= . y

q x ya ( )

2.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli • Phương trình vi phân Bernoulli có dạng: ¢ + (5) .

Chú ý • Phương trình Bernoulli luôn có nghiệm kỳ dị là y = 0. VD 16.

¢ +

Giải ptvp

với ñiều kiện x = 1, y = 1.

y x

, biến ñổi:

p x y ( ) • Khi a = 0 hoặc a = 1 thì (5) là tuyến tính cấp 1. • Khi p(x) = q(x) = 1 thì (5) là phương trình có biến phân ly. Phương pháp giải (với a khác 0 và 1) + Với

y „

= xy

3 x y

a 1

¢ - 2 ¢ - - ¢ + = = ⇒ q x ( ) y y p x y ( ) q x ( ) (5) p x ( )

VD 17. Giải ptvp

- - ¢ ¢

VD 18. Giải ptvp

3 sin

+ ðặt

thì

dy dx

(pt tuyến tính cấp 1).

0 y ⇒ + a y = z y ¢⇒ + - z (1

- y y y a y ⇒ = z a ) a - (1 = p x z ( ) ) (1 q x ) ( )

3.1.2. Phương trình khuyết y • Dạng phương trình:

) (2)

¢ = y

( , f x y

f x ( ) (1)

¢ ¢ ¢ (5) §3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 3.1. Các dạng phương trình cơ bản 3.1.1. Phương trình khuyết y và y’ • Dạng phương trình: ¢

Phương pháp giải • ðặt z = y’ ñể ñưa (2) về phương trình tuyến tính cấp 1.

¢ ¢

VD 3. Giải ptvp

¢ = - y x

¢ = y

y x

¢ ¢

Phương pháp giải • Lấy tích phân hai vế (1) hai lần. VD 1. Giải ptvp

với

¢ ¢ - -

VD 4. Giải ptvp

- = ( x x

2 x

= -

với

- ¢

VD 2. Giải ptvp

¢ = y

(0)

y¢ ,

= (0)

y(2) = 1 và y’(2) = –1.

7 4

3 2

3.1.3. Phương trình khuyết x • Dạng phương trình:

) (3)

( , f y y

¢ ¢ ¢

0 (4)

¢ ¢

3.2. Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính với hệ số hằng 3.2.1. Phương trình thuần nhất • Dạng phương trình: a y 2

¢+ a y 1

Phương pháp giải

(a1, a2 là các hằng số).

= ⇒ =

• ðặt

ñể ñưa về pt

dz dx

dz dy . dy dx

dz dy

+ a k a 1

biến số phân ly.

¢ ¢ ¢ ¢

( ¢=

¢ ¢

VD 5. Giải ptvp

k x 2

k x 1

và

yy ¢+

¢ ¢ -

VD 6. Giải ptvp

+ . 1 = y 2 (1 2 )

k x 2

k x 1

Phương pháp giải = (5). • Xét phương trình ñặc trưng của (4): 1) Trường hợp 1: (5) có hai nghiệm thực phân biệt k1, k2. Khi ñó, (4) có hai nghiệm riêng +

nghiệm tổng quát là

y 1 C e 2

= y C e 1

(0)

y¢ 0,

(0)

với 1 2

Trang 17

và

f x

(a1, a2 là các hằng số).

¢ ¢

3.2.2. Phương trình không thuần nhất • Dạng phương trình: ¢+ = a y 1

a y 2

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH 2) Trường hợp 2: (5) có nghiệm kép thực k. = Khi ñó, (4) có hai nghiệm riêng +

y 1 C xe 2

= y C e 1

( ) (6)

= – a

nghiệm tổng quát là 3) Trường hợp 3: (5) có hai nghiệm phức liên hợp k

b i

y C x y x C x y x ( ) ( )

( )

. Khi ñó, (4) có hai nghiệm riêng b b sin

cos

y 1

Phương pháp giải • Nếu (4) có hai nghiệm riêng y1(x), y2(x) thì (6) có nghiệm + tổng quát là • ðể tìm C1(x) và C2(x), ta giải hệ Wronsky:

x b

và nghiệm tổng quát: ) + x C

b sin

cos

¢ = ( ) ( ) ( ) 0 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ = - ( ) ( ) ( ) f x ( )

VD 7. Giải ptvp

¢+  C x y x C x y x ( )  ¢ + C x y x C x y x ( )  ¢ ¢ ¢ -

VD 8. Giải ptvp

= y = y

VD 10. Giải ptvp

¢ + = y y

2 1 cos

a x y , e 2 ( a = x e C 1 ¢+ y 2 + y 6 ¢+ 2

0 . = . 0

¢ ¢

q x y ( )

p x y ( )

f x 2

f x ( ) 1

¢ ¢ ¢

p x y ( )

q x y ( )

f x ( ) 2

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢

¢ ¢ ¢ -

VD 9. Giải ptvp ðịnh lý • Nghiệm tổng quát của (6) bằng tổng nghiệm tổng quát của (4) với 1 nghiệm riêng của (6). VD 11. Cho phương trình vi phân: y

+ (2

+ y

= y

) x 2 x e =

(*). 2 x x e

= y

2 cos

¢ ¢ ¢ -

có nghiệm riêng

có

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ - -

ðịnh lý (nguyên lý chồng nghiệm) ( ) (9) • Cho ptvp Giả sử y1(x) và y2(x) lần lượt là nghiệm riêng của q x y ( ) f x y ( ) 1 thì y(x) = y1(x) + y2(x) là nghiệm riêng của (9). VD 14. Tìm nghiệm tổng quát của ptvp Biết: = y y

= y

cos 2

¢ ¢

a) Chứng tỏ () có 1 nghiệm riêng là b) Tìm nghiệm tổng quát của (). VD 12. Tìm nghiệm tổng quát của ptvp: ¢+

= -

nghiệm riêng

cos 2

sin 2

x= - 1 10

2 10

= 2sin 2 = -

4 cos 2 .

x cos 2

(

)

(

ñều có thể

¢ = f x y y ,..., ( , y ) , y -

y biết 1 nghiệm riêng là §4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 4.1. Khái niệm cơ bản • Hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp 1 có dạng:

(

• Mọi ptvp cấp n dạng ñưa về dạng hệ ptvp chuẩn tắc cấp 1 bằng cách ñặt = y y

n y

/ y 1 y

/ 2

2 y

/ y 1 y

Khi ñó, ta ñược hệ:

¢ = = ,..., y y y y , 1 = ) , y ( , ,..., = ) ( , ,..., , f x y y 1 2 f x y y 2

/ n

1 =

n ( ,

f x y y

,...,

)

/ n

  /  2  ..........   =   

= f , ) y y ,...,     .................................    -

thỏa hệ ptvp

= , ,..., ), C 1, n i x C C ( , 1

b) Phương pháp ma trận

/ y 1 y

+ + ... + + ...

/ 2

a y 11 1 a y 21 1

a y n n 1 a y 2 n

•

x y y ( , 1 trong ñó x là biến số ñộc lập và y1(x), y2(x),…, yn(x) là các hàm số cần tìm. y • Bộ n hàm số là nghiệm. 4.2. Phương pháp giải a) Phương pháp khử ñưa về phương trình vi phân cấp cao (cid:219)

VD 1. Giải hệ phương trình:

+ +

5 4

y y

z 5

¢ =  y  ¢ = z 

y 1 y 2 ... y

     

     

+ + ...

      

 / y 1  / y  = 2  ...   / y  n

 a y 12 2   a y 22 n  ...............................................   

a y 2 n

a y nn

/ n

với

a y 1 1 n ( )ij a=

VD 2. Giải hệ phương trình:

z y

¢ = y  ¢ = z

có n nghiệm

Giả sử phương trình ñặc trưng det(

= )

phân biệt

, i i

l n l có vector riêng

Với mỗi

(

,...,

)

p 1 i

p 2

Trang 18

VD 3. Giải hệ phương trình:

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH Khi ñó, hệ ptvp có hệ nghiệm cơ bản là: l x

21 y

n y

l p e 1 n l = p e 2 n

= = = ¢ = + 2 y + , y y ,..., 4 y 3 z  y  ¢ = z  = = ,..., , y 11 y 12 p e 11 p e 12

ðặc biệt • Hệ ptvp có dạng 0

l  p e 21  l  p e 22  ................................................................   

l p e 2 n

11 0

C y

22 ...

2 ...

1 11 C y

= y C y 1 = y

l p e nn + + ... + + ...

C y 1 n n C y n

1 21

và nghiệm tổng quát là

/ y 1 / y 2 ... / n

+ + ...

 2 12  C y  2 n  .................................................   

C y n

C y 2

C y 1

... 0 y 1 y 1 = = = ,..., y y , p e 1 n y 1 n ... 0 y y = (cid:219) ... ... C e 11 C e 22 ... l ... l 0 ... 0 y y                            = 2  ...                               C e nn

VD 4. Giải hệ phương trình:

y z 3 u 2

…………………………………..Hết…………………………………

Trang 19

     y  n ¢ = -  y  ¢ = z  ¢ = u