Sức bền vật liệu (Bài giảng)

SỨC BỀN VẬT LIỆU

Nội dung: 6 chương

1. Những khái niệm cơ bản 2. Kéo(nén) đúng tâm 3. Trạng thái ứng suất-Các thuyết bền 4. Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 5. Uốn phẳng 6. Xoắn thanh tròn 7. Thanh chịu lực phức tạp 8. Ổn định thanh thẳng chịu nén đúng tâm 9. Tải trọng động

Chương 1

NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Nội dung

1. Khái niệm 2. Các giả thiết và NL Độc lập tác dụng của lực 3. Ngoại lực và nội lực

1.1 Khái niệm 1. Mục đích:Là môn KH nghiên cứu các phương

pháp tính toán công trình trên 3 mặt:

1) Tính toán độ bền: Bền chắc lâu dài 2) Tính toán độ cứng: Biến dạng < giá trị cho phép 3) Tính toán về ổn định: Đảm bảo hình dáng ban đầu

Kinh tế

Nhằm đạt 2 điều kiện:

Kỹ thuật

2. Phương pháp nghiên cứu:

Kết hợp giữa lý thuyết và thực nghiệm

Quan sát thí nghiệm

Đề ra các giả thiết

Sơ đồ thực

Đưa ra các phương pháp tính toán công trình

Sơ đồ tính toán Công cụ toán cơ lý

Thực nghiệm kiểm tra lại

Kiểm định

công trình

3. Đối tượng nghiên cứu: 2 loại 1) Về vật liệu: + CHLT: Vật rắn tuyệt đối

+ SBVL: VL thực:Vật rắn có biến dạng:VLdh

P P P P

a) b)

dhD

D  D

D  D

d h

VL đàn hồi

VL dẻo

2) Về vật thể: Dạng thanh = mặt cắt + trục thanh: Thẳng, cong, gẫy khúc – mặt cắt không đổi, mặt cắt thay đổi

Thanh thẳng

Thanh gẫy khúc

Thanh cong

1.2 Các GT và NLĐLTD của lực

1. Các giả thiết : 1) VL liên tục (rời rạc), đồng chất (không đồng chất) và

đẳng hướng (dị hướng)

2) VL làm việc trong giai đoạn đàn hồi 3) Biến dạng do TTR gây ra< so với kích thước của vật 4) VL tuân theo định luật Hooke: biến dạng TL lực TD 2. Nguyên lý độc lập tác dụng của lực 1) Nguyên lý: Tác dụng của hệ lực = tổng tác dụng của

các lực thành phần

2) Ý nghĩa: BT phức tạp = tổng các BT đơn giản

 Ví dụ:

q P

C A B

yC = y1 + y2

C A B y1

A B

C y2

1.3 Ngoại lực và nội lực 1. Ngoại lực :

Định nghĩa: Lực các vật ngoài TD vào Vật thể Phân loại:

1) Theo tính chất TD: lực tĩnh, lực động 2) Theo PP truyền lực: lực phân bố: Truyền qua diện tích tiếp xúc (PB thể tích, PB mặt, PB đường) – cường độ q – Lực tập trung: Truyền qua một điểm

2. Nội lực :

1) Định nghĩa: Độ tăng của lực phân tử 2) Cách xác định: phương pháp mặt cắt

3. Nội dung của phương pháp mặt cắt : + Vật thể cân bằng - mặt cắt 2 phần + Bỏ 1 phần, giữ 1 phần để xét. Tại mặt cắt thêm lực để

cân bằng - nội lực – nội lực là lực phân bố, cường độ: ứng suất

Hợp nội lực = véc tơ chính + mô men chính N,Q,M P1

Mx

Mz

Qx Nz

A BK

My

Qy

P2 P2

P3 y

Hình 1-7 Hình 1-6

4. Mối liên hệ giữa nội lực và ngoại lực:



=  =



 Z P i

n  i = 1

lực dọc



=  =



 X P i

S P1 x

n  = 1 i



Y 0

=  =



 Y P i

n  = 1 i

zx lực cắt A z K z



=  =

zy P2



m 0 x

 m P x i

n  i 1 =



= 



m 0 y

 m P y i

n  = i 1



Mô men uốn Hình 1-9

=  =



m 0 z

 m P z i

n  i 1 =

Mô men xoắn

5. Mối liên hệ giữa nội lực và ứng suất

Trên phân tố

Trên toàn mặt cắt

P1 x

zx

d N

= 

d F



d F



d F

z x

d Q

= 

d F

z x

z

= F = F

zy dF



d F

d Q

= 

d F

z y



y d F

d M

= 

yd F



d M



= F = F = F  

z x

z y

M 

x d F  x d F

dM z

=   =   y zx zy

x d F  x dF

= F

6. Các loại liên kết và phản lực liên kết

4 loai liên kết thường gặp: Gối cố định, gối di động, ngàm và ngàm trượt

Dầm

 R H =



 A

 V A

Dầm

B HA Dầm

a) b)

Dầm

Khớp cố định ( khớp đôi ) Khớp di động ( khớp đơn )

Ngàm trượt

Ngàm

Chương 2

KÉO NÉN ĐÚNG TÂM

Nội dung:

1. Định nghĩa và nội lực 2. Ứng suất 3. Biến dạng 4. Đặc trưng cơ học của vật liệu 5. Điều kiện bền và ứng suất cho phép 6. Bài toán siêu tĩnh

2.1 Định nghĩa và nội lực

1. Định nghĩa:  Theo nội lực: trên mặt cắt ngang: Nz Lực dọc  Theo ngoại lực: + Hợp lực của ngoại lực trùng z

+ Thanh 2 đầu nối khớp giữa thanh không có lực tác dụng

2. Nội lực:

+ Một thành phần: lực dọc: Nz > 0 - kéo, Nz< 0 - Nén

Nz < 0 Nz > 0

+ Biểu đồ nội lực: Đồ thị Nz = f(z)

 Cách vẽ: 4 bước:

1. Xác định phản lực (nếu cần) 2. Chia đoạn: Cơ sở: Sự biến đổi của ngoại lực 3. Xét từng đoạn: dùng PP mặt cắt ->Nz = f(z) 4. Vẽ đồ thị của các hàm số trên: Biểu đồ nội lực

 VD1: Vẽ BĐNL cho thanh sau:

q=5KN/m

P2=10KN 2

P3=12KN

(1)

 1 Z

P= 1

(2)

 2 Z

- P P 1 2

(3)

 3 Z

= -  P 3

8KN

12KN

2KN

P1= 8KN a)

Hình 2-2

 Quy ước vẽ biểu đồ nội lực: 1. Trục chuẩn // trục thanh (mặc định) 2. Trục nội lực vuông góc với trục chuẩn(mặc định) 3. Đề các trị số cần thiết 4. Đề tên biểu đồ trong dấu tròn sát với biểu đồ 5. Đề dấu của biểu đồ trong dấu tròn 6. Kẻ các đường vuông góc với trục chuẩn

mặt cắt

 =

thớ dọc

2.2 Ứng suất 1. Ứng suất trên mặt cắt ngang: 1) Quan sát thí nghiệm: Kẻ ĐT //z và vuông góc 2) Các giả thiết: GT mặt cắt phẳng,GT các thớ dọc 3) Tính ứng suất:

  z

dz / dz

 =  z

 =  zE



= 

 = z

=  F

N z F

 + D

const

 = z

N z F

z

dz  

Hình 2-3

2. Ứng suất trên mặt nghiêng

u

z

u 0

cos

a  =

sin 2

 =   =  z

0a  z uv

v 0

sin

sin 2

 =   =  z

a  = - vu

dFcosa

 z 2  z 2



const

+ Bất biến của TTUS    =  = v



+ Luật đối ứng của ứng suất tiếp

 = -  uv

2.3 Biến dạng 1. Biến dạng dọc

h 

 D =

 dz



 n

  0

 i  o

N z EF

b 

 

const, EF co

nst



 D =

 N z F E

 = z

 dz dz

2. Biến dạng ngang và hệ số Poisson Phương dọc:z Phương ngang:x, y

 = x

 = y

 =  = - x y

 b b

 h h



Hệ số BD ngang-Hệ số Poisson-HS nở hông

 VD2: Vẽ biểu đồ Nz và tính biến dạng dọc toàn phần:



/ 2 

zN P qz =  -

=  =  P  =

q / 4 0 q / 4 qz 0 -

   z   z

/ 2

A =  P q / 4

/ 2

= 

 D = 1

q / 4

   D = D  D 2 1   . q N z 1 .EF . EF 2

 q 8EF





 D = 2

/ 2  0

2 N z EF



 =  0



D = D  D =  1

 q 8EF

D 

D 

Thanh bị dãn,

Thanh bị co

q / 4

Đồng hồ áp lực N

o Hình 2-8

E = 

M (mẫu)

2.4 Đặc trưng cơ học của vật liệu  Mẫu thí nghiệm +Mẫu thép,gang +GĐ ĐH:OA:  = P / F tl tl 0

P Pmax Pch

 = c

P / F c 0

Hình 2-9

D

Hình 2-10

 = B

P / F B 0

Pmax

+GĐ Chảy +GĐ củng cố: Độ dãn tỷ đối :



Hình 2-11

 =

100%



- 



C D

Độ thắt tỷ đối:

B

B A

ch

B

đh

ch

F 0

F 1

 =

100%



t

0,2%

- F 0



Hình 2-12

Hình 2-13

+ Bảng 2.1(T23), 2.2(T27): Các đặc trưng cơ học của vật



liệu( giáo trình)

CT.3

B

k

đh ch

B



n

đh ch

CT3

A C

+ Nén: +Dạng phá hỏng của vật liệu: + Một số yếu tố ảnh hưởng tới ĐTCH

B

Gang

Hình 2-14

Hình 2-15

Hình 2-16

Hình 2-17

2.5 Điều kiện bền và US cho phép 1. Điều kiện bền:PP tải trọng phá hoại, PP US cho

phép,PP trạng thái giới hạn.

VL dẻo



max

C







     0 =



  =

      0 n

VL dòn

B



  

BT kiểm tra bền

2. Ba bài toán cơ bản:



F 

BT chọn TTR cho phép

N F  N F  N   

BT chọn mặt cắt

 VÍ DỤ 3: Cho thanh AB, mặt cắt thay đổi, chịu lực như hình a. Biết : F1 = 4cm2 F2 = 6cm2, P1 = 5,6 kN, P2 = 8,0kN, P3 = 2,4kN . Vật liệu làm thanh có ứng suất cho phép kéo []k = 5MN/m2, ứng suất cho phép nén []n = 15MN/m2. Kiểm tra bền cho thanh ?

 DB:



3 4.10 kN / m

3 5.10 kN / m





   =



max

 AC:



3 14.10 kN / m

3 15.10 kN / m





   =



max

N DB F 2 N AC F 1

2, 4 6.10- 4 5, 6 4.10- 4 A

2,4

NZ

5,6

4,0

Z

9,33

103KN/m2

 Các ứng suất pháp đều nhỏ hơn ứng suất cho phép, thanh thỏa

mãn điều kiện bền.

 VÍ DỤ 4 : Xác định kích thước mặt cắt ngang của thanh AB và BC của một giá treo trên tường (hình 2-21), biết rằng: Trên giá treo một vật nặng có trọng lượng P = 10KN. Thanh AB làm bằng thép mặt cắt tròn có ứng suất cho phép []t = 60 MN/m2. Thanh BC làm bằng gỗ có ứng suất cho phép khi nén dọc thớ []g = 5 MN/m2, mặt cắt ngang hình chữ nhật có tỷ số kích thước giữa chiều cao (h) và chiều rộng (b) là h / b =1,5.

 = x

0 N



N cos =0

m m B A

NAB a

NBC

y 0 P N sin =0 a 15kN

 P cot g

BC a =

= -

P / sin

a = -

18kN

 = ABN = BCN

n P n P

b) C

Hình 2-21

- 4

2,5.10 m

 =

d 1,8cm

F AB

15 3 60.10

N AB  



- 4

= 36.10 m h.b 1,5b.b

 =

b 5cm h

7,5cm

F BC

18 3 5.10

N BC  



2.6. Bài toán siêu tĩnh

P/2

 Bài toán tĩnh định: Đủ liên kết  Bài toán siêu tĩnh: Thừa liên kết.

/2

Bậc ST=số liên kết thừa

/2

B VB

P/2 Nz

Hình 2-28

 Cách giải: + Bỏ liên kết thừa thay bằng PL liên kết (Thanh tương đương - Hệ cơ bản) + Thêm PT bổ sung: Buộc ĐK BD của

hệ thay thế = ĐK BD của hệ ST (PT Bổ sung -Hệ PT chính tắc)

(1) - PTCB

+ Giải PT CB + PT bổ sung  phản lực và nội lực V

-=



(2) - PTBD bổ sung

 D =



=  =

V V A

 V B EF

 P 2EF

P 2

 Cần nhớ:

 Nội lực: NZ Xác định bằng phương pháp mặt cắt

 Ứng suất:

const

 = z

N z F

Tại mọi điểm trên mặt cắt ngang

 Biến dạng:

 D =

 dz



 n

  0

 i  o

  0

N z EF

 Điều kiện bền:



  















N z F

Chương 3

TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT VÀ CÁC THUYẾT BỀN

Nội dung

1. Khái niệm 2. Nghiên cứu trạng thái ứng suất phẳng 3. Liên hệ giữa ứng suất và biến dạng 4. Lý thuyết bền

3.1 Khái niệm 1. TTUS tại một điểm: Tập hợp tất cả các ứng suất

theo mọi phương tại điểm đó – Tập hợp tất cả các thành phần US trên các mặt của phân tố bao quanh điểm đó.

y

yz yx

xy

x

zx

xz

zy

z

Hình 3-1

         yz

 =  xy

 =  zx

 =  zy

 Luật đối ứng của ứng suất tiếp:  Còn 6 biến độc lập

 =

     2

2. Mặt chính, Phương chính, Ứng suất chính, Phân loại TTUS:  Mặt chính: Mặt có  Phương chính: Pháp tuyến ngoài của mặt chính  US chính: ứng suất pháp trên mặt chính  Phân tố chính:Cả 3 mặt là mặt chính  Phân loại TTUS:Cơ sở để PL: Dựa vào USC

Phân loại: 3 loại: Khối (a), Phẳng (b), Đường (c)

2

3

1



1



1

3

2

Hình 3-3

   x

 - x



u 0 v 0 

=   =

cos2 -

sin 2

a 



3.2. Nghiên cứu TTƯS phẳng: Có 2PP 1. Bằng giải tích:  US trên mặt nghiêng

2  -  x

sin 2

a  

cos2

 = uv

2    x y

 - x y

a  cos2 + sin 2

 = v

dt(ABCD)=dF dt(ABFE)=dFcosα dt(EFCD)=dFsinα  Bất biến của TTUS

2  - x y

sin 2

a - 

cos2

 = - uv

   =    =

const

u

xy



Luật đối ứng của US tiếp

x

a uv

uv

C dx

yx

y

 = - uv

Hình 3-4

 ƯSC và Phương chính  Mặt chính: Mặt mặt chính 



=  a = - tg2

= b  a = 

k90

a=a

b 2

xy  - x

= -  2

=   

max, mi

v u

a=a

ud  a d

   x

 -  x





 

2 xy

max i n m

  

  

=   

max, min

= a



0 k45

 d uv a d



a g

= -

max

xy - 



max

xy   - x

min

2. Bằng PP Đồ thị (vòng Mo)

   x

 -  x

 



 - u

2   = uv

2 xy

 =  - u

2   = uv

  

  

  

  

   

   

 -  x

   x

 

2 xy

, 0

Vòng tròn

  

  

xy

  

  

xy

u

uv

uv xy

xy

 // x



A y



yx

= -

max

xy - 



max

xy  -  x

min

P’

min

y x+y 2

x max

x

Hình 3-7

Hình 3-6

Xác định ứng suất trên mặt nghiêng, ứng suất chính

 Ví dụ : Phân tố cho trên hình 3-5 nằm trong trạng thái ứng suất phẳng. Hãy xác định các ứng suất trên mặt nghiêng m-m và các ứng suất chính.



3

1

P’

 // x

50 MN/m2

A -25

B 50

B 50E

 // x

12,5 MN/m2

m 60

uv

u

-300

25 MN/m2

3= 27

N 1=52

u= 20

uv= 39

Hình 3-5

Hình 3-9

 = 

 = -

12,5

a = -

 = - xy



20, 4MN / m



= -

27,3MN / m tg

0,1617

0 9 11'

max

min

max

3.3 Liên hệ giữa US và BD

1. Định luật Hooke tổng quát:

 = x

  -    



 

  -    



 = y

 

 

 = z

  -    



 

 

1   E 1 E 1 E

2. Định luật Hooke khi trượt:

 =  G

E    2 1



3.4 Lý thuyết bền



   =



min

   =



max

 0 N n

1. Khái niệm: + Khó khăn về LT và TN + TB là các giả thiết về độ bền của vật liệu 2. Các thuyết bền: 1) TB US pháp lớn nhất: 2) TB US tiếp lớn nhất:



    =

max

 2  =     



 0K n  0 n

3) TB Thế năng BĐHD:

 2  =     



 =  -

   



4) TB Mo:

 

0 N

Chương 4

ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA HÌNH PHẲNG

Nội dung:

1. Khái niệm 2. Mô men tĩnh và mô men quán tính 3. Công thức chuyển trục SS của MMQT 4. Các bước giải bài toán xác định mô men

quán tính chính trung tâm của hình phẳng

4.1 Khái niệm

 =

N  Ở chương 2 ta biết: F  Các chương sau: F và các đại lượng đặc trưng cho

hình dạng mặt cắt ảnh hưởng đến khả năng chịu lực của kết cấu: Các ĐTHH của mặt cắt

x y x y

a) b)

Hình 5-1

4.2 Mô men tĩnh và MMQT 1. Mô men tĩnh của F đối với trục x, trục y:

ydF

= F

  xdF S m = F =   = S 0, 0, 0 S S i n 0= 0xS

 Tính chất:  Trục x0 là trục trung tâm khi:  Trọng tâm C(xc, yc) của mặt cắt:



y F

S x x C F 2. MMQT của F đối với trục x, y:

0 x x

Hình 5-2 4

y dF J

x dF J , J



0, m

 F

J= n

3. MMQT cực:

= dF J





0 m



=  F

4. MMQT ly tâm:

xydF J

  =

0, 0, 0 m

= F

 Hệ trục xy – hệ trục quán tính chính:

xyJ

một hình có vô số HTQTC.

 Hệ trục xCy – Hệ trục quán tính chính trung tâm:2 điều kiện: 1) Là Hệ trục quán tính chính 2) Gốc tọa độ tại trọng tâm C.

Một hình nói chung chỉ có một hệ trục QTCTT. MMQT của F đối với HTQTCTT gọi là MMQTCTT

 Ví dụ: Tính MMQT của một số hình đơn giản:

y y dy

dy y

o 

d

h dD h x x y

x F b b

Hình 5-8

Hình 5-7

Hình 5-6

h 3 2

4 - 

 =



 1



2 y dF

2 y b

d D

4  D 32

 F

by 2

bh 2 1

h 2  h - 2

h 2



0,1d



 d 32

bh 12 3 bh 36

4.3 Công thức CTSS của MMQT

y

Y

A

dF

Y

y

Hình 5-10

F

 Hệ xoy: Biết Jx,Jy,Jxy,Sx, Sy  Hệ XO’Y Tìm JX,JY, JXY=?  X=x+a Y=y+b

o

x

b

x

O’

a

X

2 Y dF



y dF 2b ydF b dF



2 y b dF



 F 

 F a F J

 F J



2bS

2 b F J

2aS



abF

 F J

 F 

 Hệ xCy:



2 b F



F b a

4.4 Các bước giải BT xác định MMQTCTT của hình phẳng 1. Xác định C(xc,yc):  Chia F n hình đơn giản Chọn hệ trục ban đầu Tọa độ

. Fx Ci i

. Fx n Cn

)

Ci(xci,yci) x C y ; (  Tính : x c

y F

. ...   FxFx 2 2 C C FF  ...  F 1 2 n

y F Ci i

C1 1

... y F Cn n

   n

S x F

 

 y F y F C2 2  F F 1 2

  ... F n

F i

 n

2. Kẻ xCy và tính MMQTCTT = J J



i y

2 i a F i

i xi

i x

i y

.2 Fb i

;= J

= n

b1=14cm

C1

x1

h1=2cm

 Ví dụ: Tính MMQTCTT của hình sau  Chia F=F1+F2  Chọn hệ trục ban đầu x1C1y1 C1(0,0), C2(0,8)

a1=4cm x a2=4cm

h2=14cm

8.2.14

C1 1

0.b h 1 1

4cm

  2.14 2.14

 y F y F C2 2  F F 1 2

Kẻ hệ trục xCya1=4cm, a2=4cm.

b2=2cm

Hình 5-17

3 2



1362, 66cm



1 J x

2 x

2 a b h 2 2

2 a b h 1 1 1

3 b h 1 1 12

  

  

3 2



466, 66cm

1 J y

2 y

   3 h b 1 1 12

b h 2 12  h b 2  12 

  

  

  

CÔNG THỨC ĐÁNG NHỚ

b y

C h

x a1=yc

bh 12

hb 12



2 2

2 1

Lượng chuyển trục

= y F a F

S X

Chương 5

UỐN PHẲNG

Nội dung:

1. Khái niệm 2. Mối liên hệ vi phân giữa M,Q,q 3. Uốn thuần túy phẳng 4. Uốn ngang phẳng 5. Chuyển vị của dầm chịu uốn

5.1 Khái niệm 1. Định nghĩa

+ Dầm: Thanh chủ yếu chịu uốn + Theo ngoại lực:Ngoại lực (P,q) trùng với trục y hoặc x

2. Nội lực trên mặt cắt ngang: Mx, Qy hoặc My,Qx

+ Nếu Qx =Qy =0 Uốn thuần túy + Nếu Qx, Qy ><0  Uốn ngang phẳng

x Mx>0

 Cách xác định nội lực: PP mặt cắt  Quy ước dấu của nội lực

Qy>0

Mx>0 y

Qy>0 Qy>0

 Biểu đồ nội lực: + BĐNL: Đồ thị Mx, Qy = f(z) + Cách vẽ: 4 bước:

1. Xác định phản lực (nếu cần) 2. Chia đoạn: Cơ sở: Sự biến đổi của ngoại lực 3. Xét từng đoạn: dùng PP mặt cắt ->Mx, Qy = f(z), 4. Vẽ đồ thị của các hàm số trên hoặc vẽ bằng

nhận xét: Biểu đồ nội lực

Quy tắc lấy mô men đối với một điểm(A)

r A

r A Q=qa

q C

1. Lực tập trung(P):  mA(P)=PxTay đòn(r) 2. Lực phân bố(q):  mA(q)=Hợp lực(Q) xTay đòn(r)  Hợp lực(Q) = diện tích của biểu đồ phân bố

Q=qa/2 r A

 Điểm đặt: Tại trong tâm C của biểu đồ 3. Mô men tập trung(M):  mA(M)=M

C a

 Ví dụ: Vẽ biểu đồ nội lực của các dầm cho trên h.vẽ

q B

B A Qy

A Qy qℓ

Pℓ

Mx qℓ2/2 P Mx B A

Qy P/2 q

P/2 B

Pℓ/4

A Qy Mx

qℓ/2 qℓ/2 M A B

Qy M/ℓ

qℓ2/8 M/2

Mx M/2

Quy ước vẽ biểu đồ nội lực: 1. Trục chuẩn // trục thanh (mặc định) 2. Trục nội lực vuông góc với trục chuẩn(mặc định) 3. Đề các trị số cần thiết 4. Đề tên biểu đồ trong dấu tròn sát với biểu đồ 5. Đề dấu của biểu đồ trong dấu tròn 6. Kẻ các đường vuông góc với trục chuẩn

 Các nhận xét: 1. Trên đoạn: q=0 bđQ=const bđM=bậc nhất

q=constbđQ= bậc nhất bđM=bậc 2, q Q M

2. Tại điểm có lực tập trung P tác dụng: bđQ có bước nhẩy: Chiều, độ lớn bđM có mũi gẫy: Chiều MG theo chiều P

3. Tại điểm có mô men tập trung tác dụng:

bđQ không có dấu hiệu gì bđM có bước nhẩy: Chiều, độ lớn

5.2 Mối liên hệ vi phân giữa M,Q,q  =  

- Q dQ Q qdz

=  0

y 0

dQ dz

q(z)>0



M 0 M dM M Qdz q

=  

=  0

dM dz

dz 2

dz q



Mx+dMx Mx

2 d M 2 dz

Qy+dQy Qy

* Nhận xét: q – bậc n Q-bậc n+1, M-bậc n+2 +Tại MC có Q=0M cực trị +Hệ số góc của đường Q bằng q +Hệ số góc của đường M bằng Q * Ý nghĩa của mối LHVP: 1. kiểm tra biểu đồ:Dạng,các bước nhẩy, cực trị… 2. Vẽ nhanh biểu đồ 3. Giải bài toán ngược:Biết 1 biểu đồ tìm các biểu đồ và TTR

Hình 7-10

 Các nhận xét: 1. Trên đoạn:q bậc nbđQ bậc n+1 bđM bậc n+2 q=constbđQ= bậc nhất bđM=bậc 2, q Q M

2. Tại điểm có lực tập trung P tác dụng: bđQ có bước nhẩy: Chiều, độ lớn bđM có mũi gẫy: Chiều MG theo chiều P

3. Tại điểm có mô men tập trung tác dụng:

bđQ không có dấu hiệu gì bđM có bước nhẩy: Chiều, độ lớn

4. Tại mặt cắt có Q=0 M cực trị:Tiếp tuyến với bđ M

tại mặt cắt đó nằm ngang

 Ví dụ:Vẽ biểu đồ nội lực của dầm

M=qa2

E C P=qa

a VA

qa/2

M/l

P.b l

b) qa/2

M/l

Ma/l

3qa/2

Qy P.a l Mx

qa2/2

Mb/l

H×nh 7-9

Pab/l H×nh 7-8

qa2

qa2/2

9qa2/16

H×nh 7-11

6.3 Uốn thuần túy phẳng

M 0, Q 0  =

1. Định nghĩa: 2. Tính ứng suất trên mặt cắt ngang + Quan sát TN

x y

Mx Mx

A c)

Hình 7-12

Nhận xét: 1. Các đường thẳng//zcong nhưng vẫn //z 2. Các đường thẳng vuông góc với zvẫn vuông góc với z

Các góc vuông vẫn vuông

 Các giả thiết: 2 giả thiết

1. GT về mặt cắt phẳng: Trước và sau biến dạng mặt cắt phẳng và

vuông góc với trục thanh.

2. GT về các thớ dọc không đẩy và ép lẫn nhau

 =  =

+ Nhận xét: Các thớ dọc có thớ bị co, có thớ bị dãn có thớ kg co cũng kg dãn: Thớ trung hòa Lớp Trung hòaĐường trung hòa.  = GT1  xy

GT2  x 0 ?

0    = z



 D

z  Tính  OO1=dz, AA1=

=  j d

 D =  



 y d



D d z d z

 N

= =

 

= d F

y  E y  =

y d F

 F

E 

 Trục trung hòa là trục trung tâm. y là trục đ/xxy-HTQTCTT



y d F

2 y d F



 F

E 

1 

M E J

M J



max

xnk

min

xnn

M J

M w

J y

M J

M w

J y

xnk

xnn

4 - 

 1

 4 -  

 3 0,1D 1



Wx- mô đun chống uốn của mặt cắt ngang

 D 32

z

 =

bh 6

d D

Z

min

m in

Z

Wx- của một số hình đơn giản

Mx x

m ax





  



max

min



 max    z



 = 



min

 = 



max

3. Kiểm tra bền:  Vật liệu dòn:  Vật liệu dẻo: 4. Hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang:  Định nghĩa: Cùng F mà khả năng chịu lực lớn nhất.  Chọn hình dáng:

Jx càng lớn càng tốt->Hình rỗng



Vật liệudòn: Trục x không là trục đối xứng

y y

K xn N xn

Vât liệu dẻo: Trục x là trục đối xứng = 1

y y



    

    

K xn N xn

Kiểm tra bền

5. Ba bài toán cơ bản:

Chọn mặt cắt

Chọn tải trọng cho phép

6.4 Uốn ngang phẳng

 M 0 Q



1. Định nghĩa: 2. Ứng suất trên mặt cắt ngang: • US pháp:



M J

• US tiếp: công thức Jurapski:

z c) y

 = zy

Hình 7-15

h/2

max

c SQ x y b

x C

x

y

h/2



max

Q3 y 2 F

c S x

y F= c

y

b



 = zy

max

y 2J

h 4

3 y 2 F

  

  

CÔNG THỨC ĐÁNG NHỚ

b y

C h

x a1=yc

bh 12

hb 12



2 a F 2

2 a F 1

= y F a F





  



max

min



 K  max    z

 2  =     



3. Kiểm tra bền: 1. Vật liệu dòn: 2. Vật liệu dẻo: • Theo thuyết bền: • TB US tiếp lớn nhất: • TB thế năng biến đổi hình dáng:

 2  =     









• Chú ý: Với phân tố trượt thuần túy: • Theo TB US tiếp lớn nhất:



    =

max

• Theo TB thế năng:







    =

max

 3

 Ví dụ:Vẽ biểu đồ nội lực:  Xác định phản lực :

qa / 2

=  =  V A

 m 0 B 5qa / 2



m 0 A

M=qa2

3 3

V , V A B

C P=qa

=  =  V B  Kiểm tra: Đúng  =  y 0  Vẽ biểu đồ nội lực:  AC 1-1 gốc tại A



  A z 0 z 2 - - =

a qaz / 2

= -

V M M V z qa

qa/2

x 

A z a

A   z 3a

3qa/2

 CB 2-2 = - Q

qa / 2 qz

qa2/2



 - V P qz  M M V a

= 

qa / 2 qaz / 2 qz / 2 c)

qa2

qa2/2

9qa2/16

z D 0 z

 



 DB: 3-3

H×nh 7-11

Q qz M

= -

2 qz / 2

 Vẽ bằng nhận xét

5. Hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang: 1. Định nghĩa: Cùng diện tích chịu được lực lớn nhất. 2. Điều kiện:2 



 = 



 = 



k xn

max

min

N xn

M max J



  *

y y



 

K xn N xn

  N vật liệu dẻo: (*)=1 mặt cắt đ/x; vật liệu dòn (*) MC kg đ/x

Wx càng lớn càng tốt : mặt cắt rỗng, chữ I, T…

6. Quỹ đạo ứng suất chính:

Định nghĩa:Các đường cong mà tiếp tuyến tại mỗi điểm trùng với phương ứng suất chính tại điểm đó

1

3

3 = Nmax amax= 90o

z

3

zy

amax> 45o 1

Mx

max

3

1

amax= 45o 1 = max

Qy z

zy

3

amax< 45o 1

1 = Kmax amax=0 o

Hình 7-20

Hình 7-21

Vẽ:

Ý nghĩa của quỹ đạo ứng suất chính:Bố trí vật liệu

6.5. chuyển vị của dầm chịu uốn

j =

1. Khái niệm:  Các thành phần chuyển vị: 2 thành phần y ' Độ võng y; góc xoay

 Đường đàn hồi y = y(z)  Mục đích: Tính độ cứng, Giải BTST 2. Phương trình vi phân đường ĐH:

,,=

)z(y

2y ''

1

=

1 



,, )z(y , ))z(y(1[

2/32 ]

= 

y ''



y ''

1 

M EJ

Hình 1

Hình 2

Hình 3

= -

y ''

3. Thiết lập phương trình đường ĐH của dầm: 1) PP tích phân trực tiếp:

M EJ

 dz dz Cz D





y '

= j =

= -

 dz C



M EJ

  

  

dy dz

M EJ

Ví dụ: xác định yA:

M Pz y ''

= -

j =

y '

dz C

 =





Pz EJ

Pz 2EJ

A’

y 'dz



 Cz D



=

3Pz 6EJ

ĐKB:Tại B



j =  = -

, D

 P 2EJ 3

y '

= j =



= 

j = - A

Pz 2EJ

 P 2EJ

Pz 6EJ

2  P z 2EJ

 P 2EJ

 P 3EJ

 P 3EJ 3  P 3EJ

z EJ=const z

= -

2) PP Đồ toán:

2 d y 2 dz

j d dz

M EJ

d M dQ = dz dz

d M dQ g

 y M

j 

Đặt:

M = -  EJ

g dz

Mgt=0 Qgr0

y=0 0

Mgt=0 Qgr0

y0 0

y=0 =0

Mgt0 Qgr0

Mgt=0 Qgr=0

Mgt0 Qgr0

y0 0

B Mgt=0 Qgr0

y=0 0

Mgt=0 Qgr0

y=0 0

Yêu cầu: Dầm,điều kiện biên của dầm thật phải tương đương với dầm và điều kiện biên của đầm giả. Diện tích và trọng tâm Của một số hình (Xem Giáo trình)

y0 0

Mgt0 Qgr0

y0 0

Mgt0 Qgr0

y=0 0

y=0 q0

Mgt=0 Qgr0

Dầm giả Dầm thật

 Ví dụ:Tính yA, dầm có EJ=const.



P / EJ



P



= y M

  0

A g

 2 1 P 2 EJ 3

 P 3EJ

qi+1(z)

qi(z)

(i)

(i+1)

 D

yi(z )

  y z

yi+1( z)

Dya

Dy( z)

3) Phương pháp thông số ban đầu:     = y z z  i 1 i   y zD Khai triển theo chuỗi Taylo tại z=a Thay vào được:

Dja

)

(

)

z )(

(

- az

)

Hình 8-5

 1

zy )( i

DD y a

j a

- az !2

D Q a EJ

- az !3



...

D q a EJ

D M EJ - !5

- !4 D

, D q a EJ D



Trong đó là bước nhẩy của mô men, lực cắt,

D M , Q , q , q a

' a

lực phân bố và số gia của đạo hàm lực phân bố tại z=a. D

Dj D a

y , a

' a

D , M , Q , q , q  Các hệ số là các thông số đầu mỗi a

D đoạn, do đó phương pháp này còn được gọi là phương pháp thông số ban đầu. Có được y ta xác định được

y '

= j

, M EJy '', Q

= -

EJy '''

 Ví dụ: Viết phương trình y, và tính yB, Aj

M=qa2

P=4qa

VC=11qa/4

VA=9qa/4

Hình 8-8

Bảng thông số ban đầu:

Các thông số

Đoạn AB: z = 0

Đoạn BC: z = a

Đoạn CD: z = 2a

j = 0

M = qa2

P = 9qa/4

-4qa

11qa/4

-q

q 'D

 Viết phương trình độ võng: 3

0 z

 

y 1

= j  z 0

3





  z

= j  z 0

- z a 3!

2 qa z 9qa z - EJ 2! 4EJ 3! 9qa z 4EJ 3! 3

2 qa z EJ 2! 2











 

z 3a

= j  z 0

2 qa z EJ 2!

9qa z 4EJ 3!

4qa EJ

11qa 4EJ

q EJ

- z 2a 4!

4qa EJ - a z 3!

=  j = 

= z 2a

- z 2a 3! 3 qa 6EJ

0j  Xác định Tại C:  Phương trình độ võng: 3



0 z

 

y 1

3





  z

qa 6EJ qa 6EJ











 

z 3a

qa 6EJ

2 qa z EJ 2!

2 9qa z qa z - EJ 2! 4EJ 3! 2 2 qa z 9qa z - EJ 2! 4EJ 3!  3 4qa EJ

9qa z 4EJ 3!

4qa EJ  - a 3!

- z a 3! 11qa 4EJ

- z 2a 3!

q EJ

- z 2a 4!

 Phương trình góc xoay:



0 z

 

j = 1

qa 6EJ

2 qa z EJ 1!

9qa z 4EJ 2!



2



  z

j = 2

qa 6EJ

2 qa z EJ 1!

9qa z 4EJ 2!

4qa EJ

- z a 2!













 

z 3a

j = 3

qa 6EJ

2 qa z EJ 1!

9qa z 4EJ 2!

4qa EJ

- z a 2!

11qa 4EJ

- z 2a 2!

q EJ

- z 2a 3!

 Xác định độ võng tại B và góc xoay tại A:

= 



y 1 z a =



j = j

= 

1 z 0 =

7qa 24EJ qa 24EJ

j = y '

4. Phương pháp năng lượng bằng cách nhân biểu đồ vêrêsaghin  Các bước tiến hành: 1. Vẽ biểu đồ mô men uốn ở trạng thái “m” do tải trọng gây ra. Có thể dùng nguyên lý cộng tác dụng. 2. Vẽ biểu đồ mô men uốn ở trạng thái “k” do tải trọng

đơn vị gây ra:

 Chuyển vị thẳng đặt Pk = 1 theo phương cần tính.  Chuyển vị góc đặt Mk = 1 tại mặt cắt cần tính. 3. Chuyển vị cần tính bằng tích của diện tích hình phẳng của biểu đồ ở trạng thái “m” với tung độ tương ứng của trọng tâm hình phẳng đó trên biểu đồ ở trạng thái “k”

Diện tích và hoành độ trọng tâm của một số hình thường gặp



  f

max

max 

f       

5. Bài toán tính toán độ cứng: 6. Bài toán siêu tĩnh: * Dầm tĩnh định: Đủ liên kết : Giải: Chỉ cần dùng các phương trình

cân bằng tĩnh học.

* Dầm ST: “thừa” liên kết. Bậc ST của dầm=số liên kết thừa tính

chuyển đổi thành liên kết đơn. * Cách giải: PT cân bằng+PT bổ sung. 1) Bỏ LK thừa thay bằng phản lực liên kết: dầm tương đương. 2) Buộc điều kiện biến dạng dầm TĐ=biến dạng của dầm ST Đưa

thêm phương trình bổ sung.

3) Giải các phương trình cân bằng và các phương trình bổ sung phản lực và nội lực của dầm tương đương=phản lực và nội lực của dầm Siêu tĩnh.

 Ví dụ: Vẽ biểu đồ nội lực của dầm cho trên hình vẽ.EJ=const. Dầm 1 bậc ST.



 y



q, V B 

0=   q





 q, V B

 y V B B

q2 8

= 

=  0

 V B 3EJ

5q 8

= 



V B

 q 8EJ  3q 8

3q 8

Hình 8-13

Chương 6

XOẮN THANH TRÒN

Nội dung:

1. Khái niệm 2. Ứng suất trên mặt cắt ngang 3. Biến dạng 4. Điều kiện bền và điều kiện cứng 5. Tính lò xo hình trụ bước ngắn 6. Bài toán siêu tĩnh

6.1 Định nghĩa:

 Thanh tròn chịu xoắn thuần túy: Trên mặt cắt ngang Mz .

MZ>0

M1 m2

MZ<0

  = zM f z



 Quy ước dấu của nội lực:  Biểu đồ nội lực: Đồ thị  Công thức kỹ thuật: 

 M Nm 9950

 M Nm 7029



  w kw   n v/ph

 w maluc   n v/ph

Hình 6-1

Ví dụ: Vẽ biểu đồ nội lực của thanh tròn chịu lực như hình sau M1=15kNm

M2= 20kNm M3= 10 kNm 3 2 1 m=5kNm/m

0,2

0,5m

MzAB

1 0,5m 3 0,8m

MzBC

MzCD

z1 b)

z2 z3

10 10kNm

MZ c) 10 15

Hình 6-2

6.2 Ứng suất trên mặt cắt ngang

   = tg

AA' AB

 j d dz



o 

o A  dj

A 

G G

 =  = 

A’

 j d dz

- Góc trượt

Hình 6-4

=    F d



 = 

 F

M J



- Góc xoắn tỷ đối:

max

q =

max

Hình 6-5



- 

 =

max



 1



j d zM = dz GJ M w

 D 16

d D



d D Hình 6-6

M= 1kNm



j =

const =

dz M , GJ z



 n   = i 1 0

m=1kNm/m

6.3 Biến dạng M z GJ

M z GJ



2kNm



2kNm

VÍ DỤ: dCB = 2dAC = 10cm. Tính max

1kNm

max

Hình 6-7



= 4kN / cm 40MN / m

AC max



max



= 1kN / cm 10MN / m

CB max

M w M w





j = j  j = AC

1.10 3 0, 2.5 2.10 0, 2.10 1  0

AC M z GJ

CB  z GJ





= 0, 01 0, 025 0, 0125rad



- 8

1  0

1.z GJ

2.1 8.10 .0,1.10 .10



6.4 Điều kiện bền và điều kiện cứng 1. Điều kiện bền:



    =

max

BT kiểm tra bền

M w

 0 n



BT chọn tải trọng cho phép







Theo TB thế năng:

   =

 3







Theo TB ứng suất tiếp lớn nhất:

   =

BT chọn mặt cắt

 2. Điều kiện cứng: q

   q

max

M z max GJ

6.5. Tính lò xo hình trụ bước ngắn

D- đường kính lò xo; d- đường kính dây LX

Bước: khoảng cách giữa 2 vòng LX





=(vòng LX, trục LX)>800- LX bước ngắn

   =

MZ=PR

 2

Q P=  

= M P

  1

Q=P

D 2

R=D/2



=    =



max

D 2 0, 2d

n- số vòng LX

Hình 6-10

P  d 4





 = 2





  

1, 6d    D

Q F

   =

PD 0, 4d 4

Gd 8nD

Độ cứng LX:

Hình 6-11

 =

P C

Độ co dãn LX:

6.6. Bài toán siêu tĩnh

Cách giải: tương tự như kéo nén đúng tâm. Ta xét các ví dụ sau:

Ví dụ 1: Cho hệ như hình vẽ. 1) Vẽ biểu đồ nội lực theo M. M    2) Xác định , biết: = 4500

N cm

Ví dụ 2: Cho hệ như hình vẽ. Biết: M = 10 Nm, d1 = 15 cm, d2 = 10 cm. 1) Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong thanh 2) Cho G = 108 kN/cm2, l = 1 m. Tính góc xoắn ACj tương đối tại mặt cắt giữa thanh ( )

Chương 7

THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP

I/ INTRODUCTION

 Biaxial Flexure (or Unsymmetrical Bending)  Traction (Compression) & Bending  Torsion and bending  General loadings

I/ INTRODUCTION (cont.)  PRINCIPLE OF SUPERPOSITION

“The internal forces, stresses, strains, displacements,.., due to multiple causes are the sum of these quantities due to each one acting independently”

S(P1,P2,..,Pn,D,.) = S(P1)+S(P2)+..+S(Pn)+..S(D)+.

I/ INTRODUCTION (cont.)  Condition of application (Ñieàu kieän aùp

duïng)  Material is linearly elastic  Small displacements

II/ BIAXIAL FLEXURE (UNSYMETRICAL BENDING)

 Definition: when there are two bending moments and two shear forces in two principal planes Mx, My, Qx, Qy

Mx>0

My>0

II/ BIAXIAL FLEXURE (UNSYMETRICAL BENDING) (cont.)

 Notations:

 Bending moments are positive if they have tendency to extend the correspond ing positive fibers  Expressing bending moment by a two- arrow vector  the resulting moment M of Mx and My lies on an arbitrary plane called loading plane(maët ph. taûi troïng)

II/ BIAXIAL FLEXURE (UNSYMETRICAL BENDING) (cont.)

Loading plane 1

q P1

a/ Loadings are in two principal planes

Loading plane 2

x z P2

y qy P1y

P2y Mx qx

My P1x P2x

x z

II/ BIAXIAL FLEXURE (UNSYMETRICAL BENDING) (cont.)

Loading plane

q P1

b/ Loadings are in 1 arbitrary plane containing its axis

x z

 Unsymmetrical Bending

y qy P1y

Mx qx

My P1x

x z

II/ BIAXIAL FLEXURE (UNSYMETRICAL BENDING) (cont.)

 Stress at a point (x,y): Normal Stress, z

M

y

x

y

x



 = z

M I

I

x

y

Or (hay)

M

y

x

y

x

 = 



z

M I

x

I y

My z

II/ BIAXIAL FLEXURE (UNSYMETRICAL BENDING) (cont.)

 Neutral Axis (Truïc trung hoøa): set of point (x,y) having (taäp hôïp caùc ñieåm (x,y) coù) z (x,y) = 0

M

y

x

y

x

y

a x





0 = 

z

M I

I

x

y

x

with

a

ta n

.

:

= -

1 ta n

M I y x . M I x

I I y

.

x

whe

re

ta

n

slope of loa d line

:

y slope of N.A M M

y

II/ BIAXIAL FLEXURE (UNSYMETRICAL BENDING) (cont.) – Normal Stress

 Properties:

ta n . ta n a

b = -

I x I y

 In general, Ix  Iy: tana.tanb -1  load line (L.L.) is not  N.A.  If Ix = Iy (square, circular sections,..):

tana.tanb=-1

 all axes become the principal axes  uniplanar bending under

M

M M 

u

2 x

2 y

II/ BIAXIAL FLEXURE (UNSYMETRICAL BENDING) (cont.) – Normal Stress

 Normal Stress Distribution

 Arbitrary uniaxially symmetric section

M

y

x

min Mu

y

x





ma x

A

B My

M I

x

I y



M

y

x

y

x





min

B

max

M I x

I y

II/ BIAXIAL FLEXURE (UNSYMETRICAL BENDING) (cont.) – Normal Stress



 yM ma x

 yM min

xM  min

min

min M

B My

 max



 max

 xM  ma x

II/ BIAXIAL FLEXURE (UNSYMETRICAL BENDING) (cont.) – Normal Stress



M

x

 Biaxially symmetric sections  yM ma x

yM  min



= 

ma x

 xM min

M y  W W y

x

min

M

x



= -

min

M y - W W y

x

I

x

with

W x

y

a

x



 xM  ma x

m I y



W y

x

m x a

max

II/ BIAXIAL FLEXURE (UNSYMMETRICAL BENDING) (cont.) – Displacements

 Displacements in Unsymmetric Bending

 f

w

i th

f



 f x

 f y

2 f x

2 f y

 Example 1:

PPy

Px = P.cosj

Py = P.sinj

Compute the deflection of point B?

II/ BIAXIAL FLEXURE (UNSYMMETRICAL BENDING) (cont.) – Displacements

 Deflection of point B only due to Py 



f y

3 P L y 3EI

3 Psin L j 3EI

x

 Deflection of point B only due to Px 

f x

3 P L x 3EI y

 3 Pcos L 3EI y

 Total deflection of the free end B

f



2 f x

2 f y

II/ BIAXIAL FLEXURE (UNSYMMETRICAL BENDING) (cont.) –

 Example 2:

P q

A wood of cantiliver beam of rectangular cross section supports a inclined load P at its free end. Calculate the maximum tensile stress max due to the load P?  Data for the beam: b = 75 mm, h = 150 mm, L = 1.4 m, P = 800 N, and q = 300

II/ BIAXIAL FLEXURE (UNSYMMETRICAL BENDING) (cont.) –Example 2

 Solution:

 Bending moments at the fixed end section: b

Mx= -800x(1.4)xcos300= -969.95 N.m My= -800x(1.4)xsin300= - 560 N.m  Geometrical properties:

2

4

3 2.8x10 m

W x

2

4

3 1.4x10 m

W y

2 bh 6 hb 6

(0.075)(0.15) 6 (0.15)(0.075) 6

II/ BIAXIAL FLEXURE (UNSYMMETRICAL BENDING) (cont.) – Example 2

 Maximum Stress

75mm

min





ma x

4 560 1.4x10

6 969.95 4 - 2.8x10 7.46x10 Pa

7.46MPa

m m 0 5 1

= 7.46MPa



= -



= -

min

ma x





max

II/ BIAXIAL FLEXURE (UNSYMMETRICAL BENDING) (cont.) – Example 3

 Example 3:

P, 2P

160 200

 =160 MPa; a = 0.5m

a/ Calculate the allowable load value P b/ Determine the N.A. position

II/ BIAXIAL FLEXURE (UNSYMMETRICAL BENDING) (cont.) – Example 3

3Pcos600

2Pcos600 Pcos600

3P P, 2P HA = 0 A HB = 0 B z D C x Psin600 y

VA = 1.2P VB = 1.8P a E 2Psin600 a a 3Psin600 2a 160 200

1.737 Pa

1.8Pa

2.6 Pa 1.2Pa Mx

II/ BIAXIAL FLEXURE (UNSYMMETRICAL BENDING) (cont.) – Example 3

 Solution

 Critical section at D:

M = 2.6Pa ,

x

M

3.

124 P a

M M 

u

2 x

2 y

= 3Pa

M y

   

 Strength condition:

5.655Pa

5.655x0.5xP

160MPa



4 M u W u

 32

d D

 32

0.16 .2 0

  

  

  

  

   

 3 x0.2 1   

   

P 0.0475 MN 47.5

kN

 3 D 1     

II/ BIAXIAL FLEXURE (UNSYMMETRICAL BENDING) (cont.) – Example 3

 Neutral Axis

ta n

0.666

= -

3 . 2 6

M I y x . M I x

y

0 3, 3 6

b

= -

III/ COMBINED BENDING AND TENSION OR COMPRESSION (UOÁN VAØ KEÙO HOAËC NEÙN)

 Internal forces:

 Normal force: Nz  Bending moment(s): Mx and/or My  Shear forces: Qy and/or Qx

x z y

III/ COMBINED BENDING AND TENSION OR COMPRESSION (UOÁN VAØ KEÙO HOAËC NEÙN) – Normal stress

 Normal stress due to normal force and

bending moments:

M

y

x

y

x



 = z

N M z  I A

x

I y

M

y

z

x

y

x

 = 



z

N z A

M I

I

x

y

III/ COMBINED BENDING AND TENSION OR COMPRESSION (UOÁN VAØ KEÙO HOAËC NEÙN) – Normal stress

 Neutral Axis – Normal Stress Diagram M

y

x

 Biaxially symmetric sections

y

0



N M z  I A

x

I y

min



=



max

M N M y x z  A W W x y





min

N A

M N M y x z - A W W x y



max

III/ COMBINED BENDING AND TENSION OR COMPRESSION (UOÁN VAØ KEÙO HOAËC NEÙN) – Eccentric tension

 Special case: Eccentric tension (or

compression) (keùo hay neùn leäch taâm)

When the bar is acted upon by two equal and opposite forces P which act along KK parallel to its axis

 OK = e  eccentricity

eO K

III/ COMBINED BENDING AND TENSION OR COMPRESSION (UOÁN VAØ KEÙO HOAËC NEÙN) – Eccentric tension

 Internal forces:

Nz = P; Mx = PyK; My = PxK

Nz = P Mx = PyK My y

O xK

z

III/ COMBINED BENDING AND TENSION OR COMPRESSION (UOÁN VAØ KEÙO HOAËC NEÙN) – Eccentric tension

 Neutral Axis Equation (P/t ñ trung hoøa)

K

y

x

y

x

0





z

y K 2 r x

x K 2 r y

   

Px I y ; a nd

P Py  I A x 2 with I r A x

x

I y

 P 1   A  2 r A = y

rx , ry – radii of gyration of section about the principal axes (baùn kính quaùn tính)

III/ COMBINED BENDING AND TENSION OR COMPRESSION (UOÁN VAØ KEÙO HOAËC NEÙN) – Eccentric tension



1 y

x

0 or

0



y b

y K 2 r x

x K 2 r y

with

a

; b

= -

2 r y x

x a 2 r x y

K

b O

 Properties of neutral axis ?

a yK

III/ COMBINED BENDING AND TENSION OR COMPRESSION (UOÁN VAØ KEÙO HOAËC NEÙN) – Core of section

 Core of section (Loõi cuûa tieát dieän)







III



ÖÙng vôùi 1 ñöôøng trung hoøa i – i (truøng vôùi 1 caïnh cuûa ña giaùc), toïa ñoä cuûa ñieåm ñaët löïc I:

I I I



x

= -

I



I

;





y

= -

I

Core of section

2  r y   a  2 r  y  b I = 1, soá ca ïnh lo

ài

III/ COMBINED BENDING AND TENSION OR COMPRESSION (UOÁN VAØ KEÙO HOAËC NEÙN) – Core of section

 Core of a rectangular cross-section

; b

a



core

h 2

y

;

0 Neutral axis 1-1 b 2 = -

I

b 6

 I x  

  

Neutral axis 2-2

h 6 b 6

b 6

h 2

a

; b

= 

b 2

I

0 ;y

h 2 = -

II

h 6

 I x  

  

IV/ COMBINED BENDING AND TORSION (UOÁN VAØ XOAÉN ÑOÀNG THÔØI)

 Introduction: Circular Shaft and pulleys

(P1)y

(b) Free body diagram

(a) Circular shaft and pulleys

IV/ COMBINED BENDING AND TORSION (UOÁN VAØ XOAÉN ÑOÀNG THÔØI)

Bending moment in x-z plane

Torsion Moment about z-axis

Bending moment in y-z plane

IV/ COMBINED BENDING AND TORSION (UOÁN VAØ XOAÉN ÑOÀNG THÔØI)

 Moment Components and Sign convention

Mt > 0

Mx > 0

Mx z

My > 0

IV/ COMBINED BENDING AND TORSION (UOÁN VAØ XOAÉN ÑOÀNG THÔØI)

 Stresses distribution due to moments

t

min

.





=

ma x

min

M M D = W I 2

M u W u

t

max

max

z

max v

max

IV/ COMBINED BENDING AND TORSION (UOÁN VAØ XOAÉN ÑOÀNG THÔØI)

 Strength condition

M M 

2 y



ma x

A

 Critical point: Point A 2 x W u

M u W u

t



A

ma x

M M t = W 2W u

t

2

























A

t3

IV/ COMBINED BENDING AND TORSION (UOÁN VAØ XOAÉN ÑOÀNG THÔØI)

 Example: The shaft in fig.a is supported by

smooth journal bearings at A and B. Determine the smallest diameter of the shaft using the maximum-shear-stress theory with allow= 50MPa

150N

7.5Nm

475N

0.25m

500N

650N

B C 950N

0.25m

475N

7.5Nm

0.15m

(b)Free-body diagram (a) Real scheme

IV/ COMBINED BENDING AND TORSION (UOÁN VAØ XOAÉN ÑOÀNG THÔØI)

 Solution

500N

7.5Nm

7.5Nm B

150N

B 0.15m

650N 0.25m

475N

950N

475N

Mt(Nm)

7.5

0.25m 0.25m 0.15m 0.25m

37.5

z x

118.75

Mx(Nm)

Bending moment diagrams

Torsion moment diagram

IV/ COMBINED BENDING AND TORSION (UOÁN VAØ XOAÉN ÑOÀNG THÔØI)

500N

7.5Nm

7.5Nm B

150N

B 0.15m

650N 0.25m

475N

950N

475N

Mt(Nm)

7.5

0.25m 0.25m 0.15m 0.25m

37.5

z x

118.75

Mx(Nm)

118.75Nm; M

37 .5

N

m

IV/ COMBINED BENDING AND TORSION (UOÁN VAØ XOAÉN ÑOÀNG THÔØI) =

xM

y

 Critical point:

C

Nm

M 7.5 =

t

  

2 M

37.5 124.53Nm

M M 



 118.75







u

2 x

2 y

2

4 M M 2













2 u

2 t

a llow

t3

1 W u



2







2 t

3

8 d

124.75x10



W  = u

6  32

M M  2

2 u 

a llow

  124.53  2 50x10

7.5 

8 32x124.75x1

0

3 d

0.0233m

Answer:

d = 23.3mm





V/ GENERAL COMBINED LOADING

Example

1.8m

 The solid rod ABC has a radius of d = 50mm. Verify the strength condition using the maximum-shear-stress theory if  = 160 MPa

800N

1.4m

500N

V/ GENERAL COMBINED LOADING – (continued)

 SOLUTION

1440 Nm

1120 Nm

700 Nm

800N

500N

(a) Bending moment diagrams

(b) Torsion moment diagram

V/ GENERAL COMBINED LOADING – (continued)

 Internal forces at built-up section A (Noäi

löïc taïi tieât dieän ngaøm A)

500 N

Mt =1120Nm

Mx = 1440 Nm

y z

Nz = 500 N

My = 700 Nm

(d) Internal forces at section A

V/ GENERAL COMBINED LOADING – (continued)

max = 45.6 MPa

45.6 MPa



max 45.6 MPa

Shear Stress Distribution

V/ GENERAL COMBINED LOADING – (continued)

109.25 MPa



(N)

109 MPa

108.75MPa

(M)

109 MPa

z

Normal stress distribution

V/ GENERAL COMBINED LOADING – (continued)

(N)

0.25 MPa



Point A N A

109 MPa



(M ) A

(Mu) ma x

M u W u

(N)

10 9.25 MPa





0.25 109 

A

a 45.6 MP



A

ma x

(M )  A M t W p

2

4 a 142.3 MP

160 MPa























t

3 A

Chương 8

ỔN ĐỊNH THANH

CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM

Nội dung:

1. Khái niệm 2. Điều kiện ổn định và tính toán

ổn định

1. Hình dáng hợp lý khi chịu nén

8.1 Khái niệm

 Trạng thái cân bằng ổn

định

 Trạng thái tới hạn  Trạng thái cân bằng

không ổn định (trạng thái mất ổn định)

8.1 Khái niệm

 Khi mất ổn định, công trình hay chi tiết máy làm việc không

bình thường.

 Khi vượt quá tr.thái tới hạn, công trình hay chi tiết có thể bị phá hoại một cách bất ngờ vì biến dạng tăng rất nhanh. Khi thiết kế cần đảm bảo: độ bền, độ cứng và độ ổn định, nên Giải b.toán ổn định là phải xác định Pth

P 

P th k

ôđ

8.2 Điều kiện ổn định

- Tính toán ổn định  Xác định lực tới hạn của thanh chịu nén đúng tâm (bài toán Ơle)- Tính ổn định trong miền đàn hồi.

 Tính ổn định ngoài miền đàn hồi

Xác định lực tới hạn của thanh chịu nén đúng tâm (bài toán Ơle)

  zM

 zyP

th=





  zy "

  0 zy =

  zy "

P th EJ

min

  zM EJ

min





2 a

  zyP th-= EJ   0 zy =

  zy "

sin

cos

a

  zy

C 1

2 =a

Pth EJ

min

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đường đàn hồi

sin

cos

a

  zy

C 1

zKhi

thì

 01C0Cy

 a

. 1

sin

= thìLzKhi

a

 b0L =a

= Cy 1

sin

= C

, 0

cos  c

= Cy 1

  a   b

 sin C 1

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đường đàn hồi asin1= z

Thanh đang bị cong



C 1



sin

a L

nL ===

aa

 n

...3,2,1

 n L

sin

  zy

 d

C 1

 n L



min

Pth EJ

min

 2  a 

  

 e

P th

EJ 2 L



min

P th

n=1/2 bước sóng hình sin của đường đàn hồi

EJ 2 L



min

P th

EJ 2 L



min

P th

EJ 2 L

2 3



min

P th

EJ 2 L



min

P th

EJ 2 L

  

EJ 2



mvà

1 

Là các hệ số phụ thuộc vào loại liên kết ở hai đầu thanh

Ứng suất trong thanh

2 min

= th

P th F

  

EJ min  2 FL

2

=

i2 min =

min F

   L mini

= th

 E 2 

Ứng suất trong thanh

2 

==

 th

P th

2 E  2 

P th F

EF 2 

 th càng lớn thì tính ổn định của thanh càng cao  th càng bé thì thanh càng dễ mất ổn định  th phụ thuộc vào E, 

( độ mảnh của thanh là hệ số phụ thuộc vào đặc trưng hình học mặt cắt ngang và liên kết của thanh)

Giới hạn của công thức Ơle



=

= th

 

 E 2 

0

Điều kiện để áp dụng công thức Ơle

>0 : thanh có độ mảnh lớn <0 : thanh có độ mảnh vừa và bé 0 hoàn toàn phụ thuộc vào vật liệu

Ví dụ 1

Kiểm tra độ ổn định của cột làm bằng thép CT3 có: tl=210MN/m2, E=2.1011N/m2, kôđ=3, P=150kN

Ví dụ 1

 Đặc trưng thép I24a: F=37,5cm2, Jy=Jmin=260cm4, iy=imin=2,63cm

750

 =0,5 (thanh ngàm 2 đầu)  Độ mảnh thanh

=

142

 i

, x50 , 632

min  Độ mảnh giới hạn của thép CT3

2 

10.



100

 0

xx 2 210

  th

Ví dụ 1

 > 0 nên thanh có độ mảnh lớn, dùng công thức Ơle để

tính Pth

2 

367

Pth

4 5,37.10.2. 2

EF 2 

142

122

  P

 Tải trọng cho phép theo điều kiện ổn định P th k

367 3

ôđ  P > [P] nên thanh không đảm bảo độ ổn định

Tính ổn định ngoài miền đàn hồi

Thanh có độ mảnh vừa và bé (<0): khi bị mất ổn định vật liệu làm việc ngoài giới hạn đàn hồi, 1 là trị số giới hạn của thanh có độ mảnh vừa

 Thanh có độ mảnh vừa 1≤<0

th=a - b (công thức Iaxinski)

a, b: hằng số phụ thuộc vào vật liệu

 Thanh có độ mảnh bé ≤1

th= 0= ch vật liệu dẻo th= 0= b vật liệu dòn

Ví dụ 2

Tính lực tới hạn của cột làm bằng thép CT3, mặt cắt ngang chữ I22a. Cột có liên kết khớp 2 đầu, E=2,1x104kN/cm2. Xét hai trường hợp:

 Cột cao 3m  Cột cao 2,25m Thép CT3 có 0=100; a=33,6kN/cm2; b=0,147kN/cm2

Ví dụ 2

Đặc trưng thép I22a: F=32,4cm2, iy=imin=2,5cm Thanh khớp 2 đầu nên =1

=

120



 i

300 , 52

min

1. Cột cao 3m  Độ mảnh thanh  Ứng suất tới hạn



, 314

= th

 E 2 

, 10x12x 2 120

kN 2 cm

 Lực tới hạn

=

. F

, 432x314

463

P th

=



 i

225 , 52

min

Ví dụ 2 2. Cột cao 2,25m  Độ mảnh thanh  Ứng suất tới hạn

, kN633

, 147 0

=-= a

, 0633 147

90x

, kN420

=

, 432x420

660

 Lực tới hạn

P th

Tính thanh chịu nén

 a

  = n

 Điều kiện bền của thanh chịu nén

bằng phương pháp thực hành  0 n

P F

 Đ.kiện ổn định của thanh chịu nén

'a 

  

ôđ

P F

 k

ôđ

j

 th 

n k

     

ôđ

hay

 b

  

  j=

  j

ôđ

P F

Nhận xét

 j gọi là hệ số giảm ứng suất cho phép, phụ thuộc vào: vật liệu, độ mảnh, hệ số an toàn về bền và ổn định

hay



 b

 Từ (a), (b) ta thấy do j<1 nên nếu điều kiện ổn định thỏa thì điều kiện bền đương nhiên thỏa  chỉ cần tính thanh chịu nén theo điều kiện ổn định theo (b)     = j

  j

ôđ

P F

 Từ (b) có 3 bài toán cơ bản

Ba bài toán cơ bản  Định tải trọng cho phép [P]=jF[]  Kiểm tra điều kiện ổn định P≤jF[]  Định kích thước mặt cắt ngang

Xác định kích thước mặt cắt ngang

 Giả thuyết j0  F theo



   n j =

ôđ

P F

 Từ F   theo công thức



i min

J F

 L i min

 Từ  tra bảng được trị số j0’ + Nếu j0’  j0 giả thuyết ban đầu thì

j 1

tính lại từ đầu với :

 jj '0 2

+ Nếu j0’  j0 tiến hành kiểm tra theo

điều kiện ổn định.

Ví dụ 3

Kiểm tra điều kiện ổn định của cột AB. Cột bằng thép CT3 có []=16kN/cm2, mc ngang chữ I N030

Ví dụ 3

=

, 5 148

x1 400 , 692

 i

min

, . 0 326

242



Thép I30 : F=46,5cm2, Jy=Jmin=337cm4, iy=imin=2,29cm Thanh khớp 2 đầu nên =1  Độ mảnh cột  Tra bảng và nội suy đường thẳng được j=0,326  Lực nén cho phép cột    ., =j= N F 16546  Lực nén trong cột do tải trọng gây ra

. 480



. 40



. 20

. 510

215

10 8

NN  

Đảm bảo điều kiện ổn định

Ví dụ 4 Cột có chiều dài 1,5m; một đầu ngàm, một đầu tự do (=2). Lực nén 300kN. Mặt cắt ngang có dạng hình vẽ. Cột làm bằng thép CT3 có []n=16kN/cm2. Chọn kích thước a để cột không mất ổn định

Ví dụ 4

Bước 1: Giả thuyết chọn j0=0,5

5,37

tính

300 x 165,0

 Công thức

P   j 0

2 ,5 Ja

4 , ia

696

min

29 12

29 60

 Mặt cắt ngang của cột cho

, 696 0

, 742x

cm190

74,2

cm ,

min

F 5

5,37 5

Ví dụ 4

158

= 0

250 , 91

 i min Tra bảng j0’=0,296 khác j0=0,5, cần chọn lại

Bước 2: Giả thuyết

296

398,0

j 1

jj  '0 2

 ,05,0 2

can

300 x 16 398,0

P   j 1

cm073

F 5

47 5

696

07,3

14,2

140

i min

 = 1

x 2 150 14,2

Tra bảng j’1=0,36 khác j1=0,398 (chọn lại lần 3)

Bước 3: giả thuyết

398

360

38,0

=j 2

 2

4,49

cân

300 x 16

38,0

P   j 3

, cm143

F 5

, 449 5

696

14,3

19,2

137

Ví dụ 4 i = ,0 min

 = 2

x 2 250 19,2

 L i min

 Tra bảng j‘2=0,372 0,38=j2

 Ta chọn a=3,14cm và kiểm tra lại điều kiện ổn

định. Ta có lực nén cho phép của cột

, 372 = 0F

143x5x16x

293

 N



  j=

 Lực tác dụng N=300kN > [N]=293kN nhưng

không vượt quá 2% nên chấp nhận

Ví dụ 5

Một cột gỗ mặt cắt ngang chữ nhật 8x28cm2 chịu lực nén P và liên kết 2 đầu ngàm. Định lực P để cột không mất ổn định, []=10MN/m2

Ví dụ 5  bxh=8x28 có

h 12

28 12

 bxh=28x8 có

b 12

8 12

5,0

 Độ mảnh thanh trong mp

 Y

có độ cứng bé nhất:

 y i

300 . 8

 Độ mảnh thanh trong mp

3,74

có độ cứng lớn nhất

 X

 x i

.300 28

Ví dụ 5

x>y nên thanh sẽ cong trong mp có độ cứng bé, dùng x để tính toán ổn định

x=74,3 nên j=0,548 Lực nén cột [P]= j[]F=0,548x10x8x28x10-4=0,123MN

Hình dáng hợp lý của mặt cắt khi chịu nén

 Thanh chịu nén thỏa bền: cần mặt cắt ngang có F tối thiểu, hình dáng mặt cắt nói chung không quan trọng.  Thanh chịu nén thỏa ổn định: cần chú ý đến hình dáng

mặt cắt, thỏa điều kiện sau:

+ imin=imax hay Jmin=Jmax thanh sẽ chống lại sự mất ổn định theo mọi phương. Mặt cắt hợp lý là tròn hoặc đa giác đều.

+ Các mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang càng lớn càng tốt, thường chọn mặt cắt rỗng.

Ví dụ 6

Cột ghép 2 thép chữ U số 5 dài 2m, liên kết khớp hai đầu. Vật liệu có []=16kN/cm2. Xác định khỏang cách a sao cho mặt cắt hợp lý và lực nén cho phép [P]

Ví dụ 6  Đặc tính hình học của mặt cắt

Jx0x0=8,41cm4, Jy0y0=26,1cm4, F=6,9cm2;z0=1,36cm

 Mômen quán tính đối với các trục

, 4182



, 96



, 361

a 2

  

  

   

    . , 1262

, cm252

 Điều kiện mặt cắt hợp lý a

,==

cm480

Ví dụ 6  Định tải cho phép

, 941

min

=

103

 Độ mảnh

yy F . 1 200 , 941

 i

min

, 576 0F

, 96x2x16x

, kN18 127

 Tra bảng chọn j = 0,576  Lực nén cột là     =j= P