Tài liệu Chương 4: Ánh xạ tuyến tính

C. IV ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

1. ĐỊNH NGHĨA:

a. Định nghĩa:

:f E

F được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu có các tính

Cho hai không gian vectơ E, F trên  . Một ánh xạ chất sau:

i.

f x (

x

 )

f x ( )

f x (

 )



 x x E , 









ii.

x E

f

x

f x ( )

( )   

,

 Ánh xạ tuyến tính còn được gọi là đồng cấu không gian vectơ.  Tập hợp tất cả ánh xạ tuyến tính từ E đến F được ký hiệu là .

Hom E F hay ,

(

)

)E FL (

 Đặc biệt, một ánh xạ tuyến tính từ E đến E được gọi là phép biến đổi

    

)

,

Hom E E . (

Hom E thay cho

)

tuyến tính của E. (

Ta ghi  Một ánh xạ tuyến tính đơn ánh được gọi là đơn cấu.  Một ánh xạ tuyến tính toàn ánh được gọi là toàn cấu  Một ánh xạ tuyến tính song ánh được gọi là đẳng cấu.

b. Thí dụ:

E

 Td1: Ánh xạ đồng nhất

E là 1 phép biến đổi tuyến tính

:EId

 Td2: Ánh xạ không

của E.

0 :

 Td3: Ánh xạ

2

3





g

:



x

y

x x

x y ( ,

)

(

, 2 ,

y 3 )

  |



E   x F 0F

là một ánh xạ tuyến tính. Vì:

 ))

 )] y y 

2 x y     ( ( , u ) , ), v x y       [( )] ) , ( [( , ( ) , x y x y g x g x y g u v           y x x ), ( x x y y x x ) 3( ), 2( ( ) =((            , 2 , ( 3 ) , 2 , 3 ) ( x x x y x x y x y y       ( ) ( ) g v g u  

1

2



3

)

x



y 

x y ( , ) u    ( ) u g   

     [( )] , x y g    x x y x , 2 , (  

, ( , 2 x y x       g u y ( ) 3 )  

2. TÍNH CHẤT

a. Mệnh đề 1:

(

)

, khi đó: f O )

f O O )



(0 ) 0 ( 



(

f Hom E F , ) Cho  f O ( (0) 0 f  ( vì i) ) f x x f ( )    ii) iii)





,

,

,

,

E  



x  1

x n

   n

1

n

n

f

(

)

)



 i

x i

 i

f x ( i





i

i

1 

1 

b. Mệnh đề 2:

,

)

(



1f  cũng là đẳng cấu (từ F vào E).

f Hom E F . Cho Nếu f là 1 đẳng cấu thì

c. Mệnh đề 3:

Cho hai không gian vectơ E, F trên  .

b là n vectơ nào đó của F.

b

a 1,...,

n

Giả sử a là 1 cơ sở của E, và 1,..., n Khi đó, có một ánh xạ tuyến tính duy nhất từ E vào F thỏa

)



b i

n

( f a  i  1,..., i 

Chứng minh:

n



x E x

 

  , t a i i

i

1 

n

f x ( )

.

đặt

f Hom E F

(

,

)



t b i i

  . Dễ thấy

i

1 

)



thì :

 Nếu có

g Hom E F

(

,

)

thỏa



b i n

g a (  i  i 1,..., 

n

n

n

n

,

(

)

)

x E x

g x ( )

g

f x ( )

 











t a i i

t a i i

t g a ( i i

t b i i









i

i

i

i

1 

1 

1 

1 

.

.

và

thì

f Vậy g d. Mệnh đề 4: Nếu

g f Hom E G

(

,

)

,

,

)

(

)

(

g Hom F G





3 , cho các vectơ



 ( 1, 0, 0)

f Hom E F  Thí dụ: Trong không gian vectơ (1, 0, 1), c a  và v  

(1,1, 0), u 

(0,1, 2) .

3 .

b  (1, 1, 0),  a) Chứng minh a,b,c là cơ sở của

2

3

u v f c ( ) ,

b) Gọi f là phép biến đổi tuyến tính của  . u

 

 ( ,

f a mà ( ) Tính

v f b , ( ) f x y z . , )

Bài làm: a) ta có

1

1

0

1

1

0

nên a, b, c độc lập tuyến tính.

1 0

D 

  



1 0

0 1 1 2

0 0

1 1 1 2



 

, nên a, b, c là cơ sở của

3 .

dim

3 3

(2

x

2

y

z b )

(

x

z c )







y  

z f c ) ( )

z c ) ) y x f (( z a y ) 2 x (2 y 2 x z b ( )           y z f a y x y x z f b x ( ) 2 (2 ( ) ( ) ) 2 (           z u v 2 (2 ) 2 x )[ z v ( z u ) y x y x y ( ]            z y x z y x 3 , 0) 3 2 , 3 3 (2      

Mà b) 3   , ) ( , x y z u   z a y x u ) 2 (      nên f x y z , ) ( ,

3. ẢNH VÀ HẠT NHÂN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH.

.

f Hom E F

,

)

a. Ảnh của ánh xạ tuyến tính. (  x E }

) { ( ) /



 được gọi là ảnh của ánh xạ tuyến

Cho ánh xạ tuyến tính f x f E ( Tập hợp tính f.



E

 , Im EId

Ký hiệu: Im f Thí dụ: Im 0 {0} 0

 Mệnh đề 5:

Im f là một không gian con của F.

 Mệnh đề 6:

)

.

,

(

),...,

f a là một họ sinh của

(

a là một họ sinh của E thì n

)n

f a 1(

f Hom E F Cho  a 1,..., Nếu Im f .

f



),..., f

. f x ( )

Chứng minh: Hiển nhiên 1( f a y Im Ngoài ra,  

( f a ) n x E y  

Im 

n

n

(

)

x

y

f x ( )



.

Vì x E nên

a i i

f a i i

  , suy ra

 

i

i

1 

),...,

(

1  f a là một họ sinh của Im f .

f a 1(

)n

Vậy

3

F

3

:f

 

2 ,

)

 x y z , )

y y

z x ,

z

3  x ( 



y  

NHẬN XÉT: f toàn ánh  Im f Thí dụ: Cho phép biến đổi tuyến tính ( , Tìm một cơ sở của Im f .

(0, 0,1)

(1, 0, 0),







e 3

)

(1, 0,1),

( 2,1, 1),

(0,1,1)

)







f e ( 3

(0,1,1)

)

)

)

sẽ là 1 cơ sở của Im f .

 





f e ( 2

f e ( 3

,



1 0 1 0 1 1 0 0 0

Giải: Vì cơ sở tự nhiên e e (0,1, 0), 1 2 3 nên là 1 họ sinh của f e f e ) ( (   1 2 là một họ sinh của Im f . Do đó, một bộ phận độc lập tuyến tính tối đại của f e ( 2,1, 1), ( (1, 0,1),  1 Ta có: f e ( 1 f e ( 2 f e ( 3

1 0 1   0 1 1   0 1 1 

) 0 1   2 1 )    ) 0 1 

1   1     1 

    

    

),

),

(

),

(

     f e ( 2

f e ( 1

f e là ) 3

f e ( 1

f e . ) 2

suy ra một bộ phận độc lập tuyến tính tối đại của Đây là 1 cơ sở của Im f .

Cho

.

(

,

) dim Im

 HẠNG CỦA AXTT: f Hom E F )  Số chiều của Im f được gọi là hạng của f. )f Ký hiệu rank( . f Tóm lại: rank(

f



,

(

.

)

/

được gọi là hạt nhân của ánh xạ tuyến tính f.

x E 

b. Hạt nhân của ánh xạ tuyến tính. f Hom E F  ( ) 0 } 

Cho ánh xạ tuyến tính f x Tập hợp { Ký hiệu: ker f Thí dụ: EId  i) ker 0 E , ker 0 ii) Cho ánh xạ tuyến tính 3

2





:



y z ,

y





x (   0 (0, 0, 0) ker  

) 

(0, 0, 0)

(1, 1, 1) ker



  

   



  x y z ( , , ) (0, 0) (0, 0, 0)  (1, 1, 1)

 Mệnh đề 7:

4

ker f là một không gian con của E.

 Mệnh đề 8:

.

,

)

 f ker

( f Hom E F 0  .

Cho ánh xạ tuyến tính f đơn ánh Chứng minh: (  ):

ker f ker

f

f x

( ) 0

f

(0)

0

x

 x  

 

  . Suy ra ker

f  0







 )

ker

0

0

x x ,

f x (

x

x

x

f

x

x

x

  

  

x    .



f x (  

 ) 0 

 0  (  )  f x E ( )  

 Hệ quả 9:

là một đơn cấu. Nếu

)

E độc lập tuyến tính

a 1,...,

a n

Cho thì

(

( f a độc lập tuyến tính.

f Hom E F ,  f a )n ),..., 1(

Chứng minh:

n

Xét

(

, suy ra

) 0 

f a i i



i

1 

n

n

f

(

) 0

ker

f

0

 





 i

a i

 i

a i





i

i

1 

1 

n

0

0



.

 i

a i

i      i



i

1 

Vậy

),...,

f a độc lập tuyến tính.

(

f a 1(

)n

f Hom E F

(

,

)

và dim E n .

 Mệnh đề 10: 

dim

Im

m

f

dim

ker

f

E 



Chứng minh:

a

p

n

a là một cơ sở của ker f .

Cho Ta có: di Giả sử dim ker f

a

,...,

  và gọi 1,..., p ,...,

của E.

a đến một cơ sở 1 a

b n

f b (

),...,

)

p 1  là cơ sở của Im f .

Bổ sung 1,..., p Ta cần chứng minh

p

a b , p f b ( n

1 

,...,

,...,

là họ sinh của E nên ảnh của chúng:

b n

),...,

a b , p f a (

1 p  f b ( ),

),...,

)

là họ sinh của Im f , nhưng vì

f b ( n

p f a (

1 p   nên ) 0



0

p f b (

)

)

K

)







Thật vậy:  Vì 1 a f a ( 1 f a 1(  Nếu

f b ( ) ),..., ) sinh Im f . ...  

 n

p 1  f b ( n

)

0

f

thì f b ( n (   i



1 p  





p

b n n

(  p

1 

 p 1  b 1 

.

5

Suy ra



0

   ker f             b n n a 1 1 a p p

1   



1  



p b n n



b 1  

0





a p p    p

dim ker

dim

f

p f

1  p

p

n

E

.

p 1    n n

p a 1 1    1 

    

Do đó dim Im

E

F n

và dim

 Mệnh đề 11: (

)

,



 .



f Hom E F Cho dim Khi đó, 3 điều sau tương đương:

i) ii) iii)

f đơn cấu f toàn cấu f đẳng cấu.

, do đó:

Chứng minh: Ta biết dim Im

f

dim

E

dim ker

f





,

0

dim Im

f

dim

E

Im

f

F

f 









o Nếu f đơn cấu thì dim ker

vậy f toàn ánh.

dim Im

f

dim

E

dim ker

f

F







0  ,

o Nếu f toàn ánh thì Im f

vậy f đơn ánh.

3

2

b  1 p    b  1 p    b n n   p

  :

x y

Thí dụ: Tìm cơ sở của ker với    x y z ( , , )

( y z , )  

u



Giải:

z



x

3   ( , , ) x y z u   , ) 0 x y z ( , ker     0 y x   0 y    y        

( ), u , , y y y y 

y       y    z ( 1,1,1) . u   Suy ra một cơ sở của ker là 1

4. KHÔNG GIAN VECTƠ ĐẲNG CẤU

a. ĐỊNH NGHĨA:

Không gian vectơ E gọi là đẳng cấu không gian vectơ F nếu có một ánh xạ đẳng cấu từ E đến F. Ký hiệu: E F

6

b. TÍNH CHẤT: 

E E 

E G

E F F E    E F F G  

  

  c. Mệnh đề 12:

F

 



. Cho 2 không gian vectơ E và F. E E F dim dim

5. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH.

.

 ( ) : a

f Hom E F a 1

a là một cơ sở của E. n b là một cơ sở của F.

)

( ) : b

a. Định nghĩa: ( , ,..., ,..., m

b 1

m

Cho Giả sử Giả sử



j

  t b  ij i  i 1    1,..., n j Khi đó, ma trận

 

t 11 t

t 12 t

A



21 

t 1 n t 22 2 n    

t

t

t

m 1

m

2

mn

     

     

b .

) ( f a

được gọi là ma trận của f đối với cơ sở ( )a và cơ sở ( )b . Ký hiệu , ( ), ( )) ( M f a

b. Thí dụ :

3

2





Cho ánh xạ tuyến tính f   ( )

x y   (1,1, 0),

y (0, 2, 2),

3 và cơ sở

 





a 3

a 1

2 .

: ( , , ) x y z Viết ma trận của f đối với cơ sở (2, 0, 2) của , z x a 2

 của





b 2

b 1 Bài làm :

(1,1), (1, 1)







) (2, 0), ) ) (4, 2) (4, 2),  ( f a 1 ( f a 2 ( f a 3 Ta có : Và )  

)  

 f a ( 1 f a ( 2 f a ( 3 b 1 b 1 b ) 3  1 b 2 b 3 2 b 2 Nên

7

j

, ( b ), ( )) M f a ( i 1 1 3    1 3 1    

c. CÔNG THỨC MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

, )

 

 a 1 b ( ) : f Hom E F ,..., b 1 ( a là một cơ sở của E, n ,..., m

Cho và a ( ) : b là một cơ sở của F. Giả sử ma trận của f đối với cơ sở ( )a và cơ sở ( )b là t 12 t

21 

t 11 t A 

2

m 1

mn

m

t n 1 t n 22 2     t t t            

x 1  X Cho x E và giả sử tọa độ của x đối với cơ sở ( )a là 

x n          

y 1  Cho y F có tọa độ đối với cơ sở ( )b là Y 

m

y          

Khi đó ta có :

y f x ( ) Y AX   

3 có ma trận

Mệnh đề 13 : Thí dụ :

1 0

A 

Cho phép biến đổi tuyến tính f của 3 là : đối với cơ sở chính tắc của 1      0 2 1     0 1 0   f (2,3,1) f x y z , ) ( ,

a) Tính b) Xác định c) Tìm 1 cơ sở của Im f

Bài làm :

a) Tọa độ của u đối với cơ sở chính tắc là X 

2     3      1

8

Suy ra tọa độ của y đối với csct là 

f u ( ) 1 0 

 Y AX  

2 1 1 0 0 0      1 2       3       1    1     7     2   (1, 7, 2) . f u  ( )

Vậy

x y z đối với cơ sở chính tắc là

, )

X b) Tương tự, tọa độ của ( , 

x     y      z f x y z đối với csct là

Suy ra tọa độ của 1 0 z x

2  x y Y AX   

 x           . f u ( ) , 2   2 1   1 0  z x (   ( , , ) 1 x        0 y       0 z    y x x , ) 

Vậy c) Họ vectơ ) (1, 2,1) 

) (0,1, 0) 

( 1, 0, 0) ) f e ( 1 f e ( 2 f e ( 3

3

  là họ sinh của Im f . Và vì ( ), ), ) f e độc lập tuyến tính nên đó là cơ sở của Im f . f e ( 2 f e ( 1

d. THAY ĐỔI CỦA MA TRẬN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

KHI ĐỔI CƠ SỞ.

và ,..., ) : ) : của E. (  (  a 1 b 1 a n b ,..., n Cho phép biến đổi tuyến tính f của không gian vectơ E. Xét 2 cơ sở Giả sử :

o ma trận chuyển từ ( ) sang ( o ma trận của f đối với cơ sở ( o ma trận của f đối với cơ sở ( Khi đó, ta có : Mệnh đề 14 :

) là T ) là A. ) là B.

1

B T AT

Thí dụ : Viết ma trận của phép biến đổi tuyến tính

3

3





f :

đối với cơ sở . , x y z y   (1, 1, 1),    a 1   , ) ( , ( x y z a (1,1, 2),  2 ) , z x y   a (0,1,1)  3

9

Bài làm :

) (0, 2,1)

Cách 1 : Ta có : 

)  (1, 3, 1)  

f a ( 1 f a ( 2 f a ( 3 (0, 2,1) , )

3 

Do đó : a a a : , , 1 2 y x 3 ( 2 ) ( x   y   z a 3 z a ) 2

2 6 )   

4 )   a 2 a 2 a 2 2 1 

Vậy M f a ( , ( )) 

1 4 1 4 1  6  )  Tọa độ của ( , x y z đối với cơ sở y a z x y z ) ( , ) ( ,   1 a a f a ( 4 )     3 1 1 a a f a ( 1 3 2 a a f a (    3 3 1      1      

, e e , 2 e . 3

)  (1, 1, 0) 

) (1,1,1) 

) ( 1,1, 0)  

Cách 2 : Xét cơ sở chính tắc 1 Ta có f e ( 1 f e ( 2 f e ( 3

1 1

Suy ra , ( )) ( M f A  e i

  1 1     0 1  1    1   0 

1 T   

T 

1

1 1 2 0 1 1        Ma trận chuyển từ cơ sở ( )ia là )ie sang cơ sở ( 1 0 1 1      1 1 1 1      1 1 2 3       

Do đó : , ( )) B T AT    ( M f a i

1  1 4 2 1  6       1    1   4 

6. VECTƠ RIÊNG – GIÁ TRỊ RIÊNG – CHÉO HÓA MA TRẬN

f Hom E

(

)



\ 0

u E

.

.

a. ĐỊNH NGHĨA 1 : Cho phép biến đổi tuyến tính và số thực   . Cho vectơ Vectơ u được gọi là vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng  nếu f u ( )

u

10

Thí dụ :  Cho

3

3





f

3

( ) , y y , z z x   x   

(1,1,1) 0 0(1,1,1)  

. Vậy (1,1,1) u    là 1 vectơ riêng của f ứng

0 .

2

2





: ( , , ) x y z Ta thấy : f với giá trị riêng  Cho g :

  ) ( , 2 x ( , x y y x 2 ) y  

là 1 vectơ riêng của g vì (1, 2) ( ) g v g (3, 6) 3(1, 2) 3 v .    

3 .

Ta thấy : v  (1, 2) Giá trị riêng tương ứng là

,..., A M f a ( , ( )) .  a 1 a là 1 cơ sở của E và n

( ) f u AU    U  u 

NHẬN XÉT : Giả sử a ( ) : Nếu u E là vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng  và tọa độ của u đối với ( )a là U, thì b. ĐỊNH NGHĨA 2 :

n

n

u  0



u ,..., u )    là vectơ u 1( Cho ma trận vuông A cấp n. Ta gọi vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng  nếu : 

u 1  u 1  A .     

n

n

3

u u                      Thí dụ : 2 1 1

, vectơ Cho A  u  (1, 1,1)    là vectơ riêng của A vì :

0 2 0 1 1 2 2 1 1

2 A 

                      1    1         1 2      2 1      

k

u u là các vectơ riêng của A ứng với các giá trị riêng khác

k

k

u u độc lập tuyến tính.

MỆNH ĐỀ 15: Nếu 1,..., nhau đôi một   thì 1,..., 1,...,

c. ĐA THỨC ĐẶC TRƯNG CỦA MA TRẬN VUÔNG

11

 Cho ma trận vuông A cấp n. Khi đó : P A được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận I  ( ) det(    )n

2

 

Đa thức A. Thí dụ : 1 2 P 2 Đa thức đặc trưng của A . là ( )        1    1 2    1 0    

0 ( A . U  

0 

n

có nghiệm không tầm , nghĩa là  là nghiệm của

đa thức đặc trưng ) I U  n ) I U  n ) 0  của A. A A P u  ), suy ra det( ( ) det(    Nếu u là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng  thì AU      Vậy hệ phương trình thuần nhất ( A thường (vì 0 I  )n I  

d. PHƯƠNG PHÁP TÌM VECTƠ RIÊNG VÀ GIÁ TRị

RIÊNG :

 Tìm giá trị riêng :

A  của A.

o Tính đa thức đặc trưng o Giải phương trình

P ( ) det(   ( ) 0 I )n  P   tìm nghiệm thực (nếu có), đó là các

 Tìm vectơ riêng :

giá trị riêng cần tìm.

o Giả sử  là giá trị riêng của A. o Giải hệ thuần nhất ( A  là vectơ riêng của A. Tất nhiên, ta chỉ cần xác định họ nghiệm cơ bản của hệ là đủ để xác định tất cả vectơ riêng của A.

. Nghiệm khác 0 của hệ này 0 ) I U  n

Thí dụ :

. Tìm vectơ riêng của A 

0 0 1 0 1 0 1 0 0           Giải : 0

2 1) (



Đa thức đặc trưng 1 1 0 p 1) . ( )  (      

 

1 hay

1: Xét hệ phương trình 1 0

Các giá trị riêng là   0   0 1 1  .  1

I 0 ( )

0 0   0   1  x        y 0       1 z    

12

t

 

. I ( )

1 là

x   y r        z t 

3   với

2

2

t

0  .

u t r t ( , , ) 

2

1:

. (1, 0,1), u (0,1, 0)  u 1

 Vậy các vectơ riêng ứng với r Một họ nghiệm cơ bản là    Xét hệ phương trình 1 0 1

0 ( II )

x        y       z   



( ) II

  0 2 0   1 0 1  x t     0 y      t z 

3   với

u t , 0, ) ( t   1  là

(1, 0, 1) Vậy các vectơ riêng ứng với t  . 0 Một họ nghiệm cơ bản là  . u  3

e. CHÉO HÓA MA TRẬN VUÔNG

1

B T AT

 MA TRẬN ĐỒNG DẠNG : Hai ma trận vuông A, B cấp n gọi là đồng dạng nếu có ma trận không suy biến T sao cho : . Như vậy 2 ma trận của cùng 1 phép biến đổi tuyến tính luôn luôn đồng dạng.

 

n có 1 cơ sở gồm toàn vectơ riêng của A thì

0 0 a 0 22     0 0 a nn  MA TRẬN CHÉO : Ma trận chéo là một ma trận vuông có dạng a  11  0             Nếu ma trận A đồng dạng với một ma trận chéo thì ta nói ma trận A chéo hóa được, và ma trận chéo đó gọi là dạng chéo của A.  Việc tìm ma trận chéo đồng dạng với A được gọi là chéo hóa ma trận A.

 MỆNH ĐỀ 16 : Nếu trong không gian A chéo hóa được.  Thí dụ :

13

0 0 1

là chéo hóa được, vì theo trên ta có Ma trận A 

2

  0 1 0   1 0 0  u (1, 0,1), , (1, 0, 1)    là 3 vectơ riêng của A tạo u 1 u  3

     (0,1, 0) 3 .

1

thành 1 cơ sở của Dạng chéo của A là :

B T AT   

1 0 2 0 1 1 0 2

1 2 0 1 2

0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0            1   0   1        0   0   1                 

14

BÀI TẬP ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

:f E

F .

1. Cho E và F là các không gian vectơ trên trường  và ánh xạ

Chứng minh 3 mệnh đề sau tương đương:

 ) f x (

 

 x x ,  x x ,

 

( ) f x    f x ( ) 

.

3

a. f là ánh xạ tuyến tính.   x x ) ( , E f          b.  f E f x x x ( ) ) (         c. 2. Chứng minh các ánh xạ sau là ánh xạ tuyến tính:



2 

:f



y

z x ,

z

)

x (    |



x y z ( , , ) 3

a.



4 

:f



z

,

x x ,

y

)

z y ( ,    |



x y z ( , , ) 3

b.



3 

:f



x

)



c.

, z z

( , x y z , ) g Mat :

, y y Mat

 (2)

( x   | (2) 





b

0

a

 |

c

d

c d 

  

  

  

  

d.

(0,3,1),

(1,1,1),









a 2

a 4

a 3

và các vectơ

( 1,0, 2),

(5, 2,0),

(1, 2,0)

(2,1,1),

 



a 3. Cho các vectơ 1 



b 2

b 4

b 3

b 1

a b  0 Trong các ánh xạ trên, cái nào là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu? (0,1,1) (2, 1,1),  3 . 3 mà:

trong

1, 2,3, 4

)

,

i  



b i

. Chứng minh có một phép biến đổi tuyến tính duy nhất f của ( f a i



3 

:f



x

( , , ) x y z

(

, y x

, ) y x

  |



3 .

4. Tìm hạng của các ánh xạ tuyến tính ở câu 2). 3 5. Cho ánh xạ

3

a. Chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính của b. Tìm một cơ sở của Imf và kerf.

u

x y z ( , , )



f

Imu 

. c. Cho

  . Tìm điều kiện cần và đủ đối với x,y,z để u



Tìm điều kiện cần và đủ đối với x,y,z để

(1,0,1)

 

(0, 1,1), 



a 3

f ker . 3 . a  2

3 .

của d. Viết ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của a ( 1,1,0), e. Viết ma trận của f đối với cơ sở 1

e e e e của ,

,

,

6. Cho phép biến đổi tuyến tính f của

)

(0,1,0,1)

)



4 . Biết f biến cơ sở chính tắc 1 2 3 4 (1,0, 1,0), (1, 1,1, 1) 

 ,





f e ( 1

f e  3( )

f e ( 2

4 thành các vectơ f e   ( 2,1,0,1) ) 4( . a. Tìm hạng của f.

và

15

4

f u theo

( )

u

x y z t . , ,

,

  . Hãy xác định



x y z t , ) , ( , b. Cho c. Tìm cơ sở của Im f và ker f .

4

x y z t để , ,

,

  . Tìm điều kiện cần và đủ đối với f

u  d. Cho f Imu 

, ( , , ) x y z t u ker  , e. Viết ma trận của f đối với cơ sở

.

4 .

( 1,1,0,0),

(0, 1,1,0),

(1,0,1,0),

(1,1,0,1)

 









a 1

a 2

a 3

a 4

của

3

3





f

:



y

2 y m z

x y z ( , , ) |

z x ,

)

x (   

z x my , 



 

7. Cho phép biến đổi tuyến tính

trong đó m là một tham số thực.

A)

3 .

a. Viết ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của b. Tìm giá trị của m để hạng của f bằng 1.

B) Trong phần sau, ta cho

1

m   .

(1,1,0),

(0,1, 1)





(0,1, 2), 

 .



a. Hãy tìm một cơ sở của Im f và một cơ sở của ker f . a b. Viết ma trận của f đối với cơ sở 1

a a 2 3 3 mà ma trận của f đối với cơ

8. Cho phép biến đổi tuyến tính f của không gian vectơ

3 là

sở chính tắc của

A

      

1 1 3    1 3 5   3 3 1 

( ,

f x y z .

(1,1,1),

b

(1,1,0),

c

(1,0, 3)





 .

.

Có nhận xét gì về các vectơ

, ) 1. Tính 2. Chứng minh f là một đẳng cấu. 3. Viết ma trận của f đối với cơ sở ,

a  ,a b c ?

 g f



)

(

g Kerf

(Im )

Kerf

g



f a. b. Nếu u là vectơ riêng của f và

( )g u cũng là vectơ riêng của f.

f 0

Im g u  thì

 ( ) 10. Xét sự chéo hóa các ma trận sau, nếu được hãy chỉ ra cơ sở mà trong cơ sở đó ma trận

. 9. Cho 2 phép biến đổi tuyến tính f và g của không gian vectơ E thỏa f g Chứng minh: và .

2 0 1 1 1 0 1 1 3

5 2 1

12 6 19 10 24 13

0 1  1

17 25  9 16  9 5 

  

   

   

7   10  12 

   

   

1

a

 . )



1  a a a a

0 a   a 

1  

, , , ,

      1 (  1 

có dạng chéo: 6 8      8 7    14 11       

16