Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 - Môn: Giải tích cơ bản

Chia sẻ: Trần Bảo Quyên Quyên | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

312
lượt xem 295
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tài liệu ôn thi cao học năm 2005 - môn: giải tích cơ bản', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 - Môn: Giải tích cơ bản

Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Môn: Gi i tích cơ b n GV: PGS.TS. Lê Hoàn Hóa Đánh máy: NTV Phiên b n: 2.0 đã ch nh s a ngày 19 tháng 10 năm 2004 HÀM S TH C THEO M T BI N S TH C 1 Gi i h n liên t c Đ nh nghĩa 1.1 Cho I ⊂ R, đi m x0 ∈ R đư c g i là đi m gi i h n (hay đi m t ) c a I n u v i m i δ > 0, I ∩ (x0 − δ, x0 + δ )\{x0 } = 0. Cho f : I → R và x0 là đi m gi i h n c a I . Ta nói: lim f (x) = a ∈ R ⇐⇒ ∀ε, ∃δ > 0 : ∀x ∈ I, 0 < |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − a| < ε x→x0 lim f (x) = +∞ (−∞) ⇐⇒ ∀A ∈ R, ∃δ > 0 : ∀x ∈ I, 0 < |x−x0 | < δ =⇒ f (x) > A (f (x) < A) x→x0 Đ nh nghĩa 1.2 Cho f : I → R và x0 ∈ I . Ta nói: f liên t c t i x0 ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ I, |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε N u x0 là đi m gi i h n c a I thì: f liên t c t i x0 ⇐⇒ lim f (x) = f (x0 ) x→x0 N u f liên t c t i m i x ∈ I , ta nói f liên t c trên I . f liên t c trên I ⇐⇒ ∀x ∈ I, ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ I, |x − x | < δ =⇒ |f (x) − f (x )| < Ta nói: f liên t c đ u trên I ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x, x ∈ I, |x − x | < δ =⇒ |f (x) − f (x )| < Hàm s liên t c trên m t đo n: Cho f : [a, b] → R liên t c. Khi đó: i) f liên t c đ u trên [a, b]. ii) f đ t c c đ i, c c ti u trên [a, b]. Đ t m = min{f (x), x ∈ [a, b]}, M = max{f (x), x ∈ [a, b]}. Khi đó f ([a, b]) = [m, M ] (nghĩa là f đ t m i giá tr trung gian gi a m, M). 1
2 S kh vi f (x0 + t) − f (x0 ) Đ nh nghĩa 2.1 Cho f : I → R và x0 ∈ I . Ta nói f kh vi t i x0 n u lim t t→0 t n t i h u h n. Khi đó đ t f (x0 + t) − f (x0 ) f (x0 ) = lim g i là đ o hàm c a f t i x0 t t→0 N u f kh vi t i m i x ∈ I , ta nói f kh vi trên I . Đ nh lí 2.1 (Cauchy) Cho f, g : [a, b] → R liên t c trên [a, b], kh vi trên (a, b). Gi s f (x) = 0 trên (a, b). Khi đó, t n t i c ∈ (a, b) sao cho: f (c)[g (b) − g (a)] = g (c)[f (b) − f (a)] Trư ng h p g (x) = x, ta có công th c Lagrange f (b) − f (a) = f (c)(b − a) Quy t c Lôpitan: Cho x0 ∈ R ho c x0 = ±∞, f, g kh vi trong lân c n c a x0 . Gi s g và g khác không và lim f (x) = lim g (x) = 0 ho c lim f (x) = lim g (x) = +∞ ho c −∞. x→x0 x→x0 x→x0 x→x0 f (x) f (x) Khi đó: N u lim = A thì lim = A (A có th là h u h n ho c vô h n). g (x) x→x0 g (x) x→x0 Công th c đ o hàm dư i d u tích phân: Cho f liên t c, u, v kh vi. Đ t v ( x) F (x) = f (t) dt u ( x) Khi đó: F kh vi và F (x) = v (x)f (v (x)) − u (x)f (u(x)). 3 Vô cùng bé - Vô cùng l n Hàm f đư c g i là lư ng vô cùng bé khi x → x0 n u lim f (x) = 0. x→x0 f (x) Cho f, g là hai lư ng vô cùng bé khi x → x0 . Gi s lim =k g (x) x→x0 - N u k = 1, ta nói f, g là hai lư ng vô cùng bé tương đương. - N u k = 0, k h u h n, ta nói f, g là hai lư ng vô cùng bé cùng b c. - N u k = +∞ ho c −∞, ta nói g là lư ng vô cùng bé b c l n hơn f . - N u k = 0, ta nói f là lư ng vô cùng bé b c l n hơn g . 2
B c c a vô cùng bé: Cho f là lư ng vô cùng bé khi x → x0 . Gi s t n t i k > 0 sao cho lim (xf (x0 )k t n t i h u h n và khác 0, s k > 0, n u có s duy nh t, đư c g i là b c c a vô x) − x→x0 cùng bé f khi x → x0 . Hàm f đư c g i là vô cùng l n khi x → x0 n u lim f (x) = +∞ ho c −∞. N u f là vô x→x0 1 cùng l n khi x → x0 thì là vô cùng bé khi x → x0 . f Cho f, g là vô cùng l n khi x → x0 . Gi s lim f (x) = k . ( x) g x→x0 - N u k = 1, ta nói f, g là hai lư ng vô cùng l n tương đương. - N u k = 0 và h u h n, ta nói f, g là hai lư ng vô cùng l n cùng b c. - N u k = 0, ta nói g là lư ng vô cùng l n b c l n hơn f . - N u k = +∞ ho c −∞, ta nói f là lư ng vô cùng l n b c l n hơn g . Cho f là vô cùng l n khi x → x0 . B c c a vô cùng l n f là s k > 0 (n u có s duy nh t) sao cho lim (x − x0 )k f (x) t n t i h u h n và khác không. x→x0 4 Công th c Taylor Cho f : (a, b) → R có đ o hàm b c (n + 1). V i x0 , x ∈ (a, b), t n t i θ ∈ (0, 1) sao cho: n f (k) (x0 ) 1 (x − x0 )k + f (n+1) (x0 + θ(x − x0 )) f (x) = k! (n + 1)! k=0 1 f (n+1) (x0 + θ(x − x0 )) là dư s Lagrange. Rn (x) = (n+1)! Ho c: n f (k) (x0 ) (x − x0 )k + o (|x − x0 |n ) f (x) = k! k=0 Rn (x) = o (|x − x0 |n ) là lư ng vô cùng bé b c l n hơn n, đư c g i là dư s Peano. N u x0 = 0 ta đư c công th c Maclaurin: n f (k) (0) k f (x) = x + Rn (x) k! k=0 . Công th c Maclaurin c a hàm sơ c p x2 xn eθx a) ex = 1 + x + xn+1 ho c Rn (x) = o(xn ). + ··· + + Rn (x), Rn (x) = 2! n! (n + 1)! x2n−1 x3 x5 x2n+1 + · · · + (−1)n + R2n , R2n = (−1)n cos θx. b) sin x = x − + ho c (2n − 1)! 3! 5! (2n + 1)! = o(x2n ). R 2n x2 x4 x 2n x2n+2 + · · · + (−1)n + R2n+1 , R2n+1 = (−1)n+1 cos θx. c) cos x = 1 − + ho c 2! 4! (2n)! (2n + 2)! = o(x2n+1 ). R2n+1 3
αx α(α − 1) 2 α(α − 1) . . . (α − n + 1) n d) (1 + x)α = 1 + x + ··· + x + Rn , (x > −1). + 1! 2! n! α(α − 1) . . . (α − n + 1) (1 + θx)α−n+1 .xn+1 ho c Rn = o(xn ). Rn = n! x2 x3 xn + · · · + (−1)n+1 + o(xn ), x > −1 e) ln(1 + x) = x − + 2 3 n x2n−1 x3 x5 + · · · + (−1)n+1 + o(x2n ) f) arctgx = x − + 2n − 1 3 5 5 Các gi i h n cơ b n et − 1 sin t tgt arctgt arcsint ln (1 + t) 1. lim = lim = lim = lim = lim = lim t→0 t t→0 t t t t t t→0 t→0 t→0 t→0 (1 + t)a − 1 2. lim = a. t t→0 1 − cos t 1 3. lim =. 2 t 2 t→0 tp = 0 ∀p. 4. lim t→∞ et lnp t = 0, α > 0, ∀p. 5. lim t→∞ tα Thí d : Tính các gi i h n sau: √ (1 + t)1/m − 1 x−1 n m 1. lim √ = lim =. 1/n − 1 x−1 t→0 (1 + t) m n x→1 √ √ √ 1 − (1 + t)1/2 . 1 − (1 + t)1/3 . . . 1 − (1 + t)1/n (1 − x)(1 − 3 x) . . . (1 − n x) lim = lim (1 − x)n−1 (−t)n−1 2. x→1 t→0 11 1 1 = . ... = 23 n n! x2 3. I = lim √ n 1 + 5x − (1 + x) x→0 5− Đ t t = 1 + 5x hay x = t 5 1 5 x2 (t5 − 1)2 (t5 − 1)2 Suy ra : √ =− 5 =− 5(t − 1)2 (t3 + 2t2 + 3t − 4) 5(t − t + 4) 5 1 + 5x − (1 + x) 5 V y I = −2 ex − 1 1 1 ln(ex − 1) − ln x = 1 4. lim ln = lim x→+∞ x x x→+∞ x ln[1 + (cos x − 1)] cos x − 1 ln(cos x) 1 =− 5. lim = lim = lim 2 2 2 x x x 2 x→0 x→0 x→0 x2 1 − cos x 1 − cotg x 6. lim = lim = lim =0 sin x sin x x→0 2x x→0 x→0 4
1 1 x2 x2 3 2 x2 x2 √ √ 1− − 1− − + cos x − cos x 4=1 3 2 2 6 7. lim = lim = lim x2 2 2 x x 12 x→0 x→0 x→0 2 α (1 + t) − 1 x (dùng 1 − cos x ∼ , lim =α) 2 t t→0 √ √ √ √ √ √ x+1− x x+1+ x 8. lim sin x + 1 − sin x = lim 2 sin . cos =0 2 2 x→∞ x→∞ Tính lim u(x)v(x) x→x0 Đ t y = uv ⇒ ln y = v ln u. Sau đó tính lim v ln u x→x0 N u lim v ln u = a thì lim uv = ea x→x0 x→x0 3x+4 x+2 9. lim x−3 x→+∞ 3x+4 x+2 x+2 ⇒ ln y = (3x + 4) ln Đ t y = lim x−3 x−3 x→+∞ 5 ⇒ ln y = (3x + 4) ln 1 + x−3 5 V y lim ln y = lim (3x + 4). = 15 x−3 x→∞ x→∞ Suy ra lim y = e15 x→∞ 1 1 + tg x sin x 10. lim 1 + sin x x→0 1 1 + tg x sin x Đ ty= 1 + sin x tg x − sin x 1 1 + tg x 1 ⇒ ln y = ln = ln 1 + sin x 1 + sin x sin x 1 + sin x (dùng ln(1 + t) ∼ t) 1 −1 tg x − sin x = lim cos x ⇒ lim ln y = lim =0 x→0 sin x(1 + sin x) x→0 1 + sin x x→0 V y lim y = 1 x→0 Ch ng minh các lư ng vô cùng bé sau tương đương khi x → 0: 1. f (x) = x sin2 x, g (x) = x2 sin x x sin2 x f (x) lim = lim 2 =1 x→0 g (x) x→0 x sin x 5
2. f (x) = e2x − ex , g (x) = sin 2x − x e2x − ex 2e2x − ex f (x) lim = lim = lim =1 x→0 sin 2x − x x→0 2 cos 2x − 1 x→0 g (x) So sánh các vô cùng bé khi x → 0 1. f (x) = 1 − cos3 x, g (x) = x sin x 1 − cos3 x (1 − cos x)(1 + cos x + cos2 x) f (x) 3 lim = lim = lim = 2 x→0 g (x) x sin x x 2 x→0 x→0 (thay sin t ∼ t) V y f , g là vô cùng bé cùng b c. 3 2. f (x) = cos x − cos 2x, g (x) = x 2 cos x − cos 2x (cos x − 1) + (1 − cos 2x) f (x) lim = lim = lim =0 3 3 x→0 g (x) x→0 x→0 x2 x2 V y f là vô cùng bé b c l n hơn g . Tìm b c c a các vô cùng bé sau khi x → 0 √ √ 1. f (x) = cos x − 3 cos x 1 1 x2 x2 2 3 √ √ 1− − 1− cos x − 3 cos x f (x) 1 2 2 =− lim = lim = lim n uk=2 x→0 xk xk k x 12 x→0 x→0 V y f là vô cùng bé b c 2. 2. f (x) = x sin x − sin2 x x3 x4 Ta có: f (x) = sin x(x − sin x) ∼ x = (dùng khai tri n Taylor) 3! 3! V y f là vô cùng bé b c 4. √ 3. Tìm b c c a vô cùng l n f (x) = 1 + x khi x → +∞ √ −1 −1 1 1 f (x) = 1 + x = x 2 (1 + x 2 ) = x 4 1 + x 2 1 V y f là vô cùng l n b c 4 f (x) Lưu ý. Đ tìm b c c a vô cùng l n khi x → +∞, ta tìm s k > 0 sao cho lim tn xk x→∞ t i h u h n và khác không. √ √ x2 + x4 + 1 − x 2] 4. Tìm lư ng tương đương c a f (x) = x[ khi x → +∞ Dùng (1 + t)α ) − 1 ∼ αt khi t → 0, ta có 1   1 1 √ √ 2 12 1 2 f (x) = x2  1 + 1 + 4 − 2 ∼ x2 − 2+ 4 2 x 2x 6
√ 1 √ x2 2 1 2 2 ∼x −1 ∼ 2 1+ 4 8x4 4x √ 2 khi x → +∞ V y f là vô cùng bé tương đương v i g (x) = 8x2 5. Cho n là s t nhiên, f0 , f1 , . . . , fn là các đa th c sao cho fn (x)enx + fn−1 (x)e(n−1)x + · · · + f0 (x) = 0 v i m i x l n b t kỳ. Ch ng minh f0 , f1 , . . . , fn đ ng nh t b ng 0. Gi s fn không đ ng nh t tri t tiêu fn (x) = ak xk + ak−1 xk−1 + · · · + a0 , ak = 0 xp Chia hai v cho xk enx , cho x → ∞, áp d ng lim = 0 v i a > 0, ∀p, ta đư c ak = 0. x→∞ eax Mâu thu n. V y fn ≡ 0. Tương t cho fn−1 , . . . , f1 đ ng nh t tri t tiêu. Khi đó, f0 (x) = 0 v i m i x l n b t kỳ. V y f0 ≡ 0. 6. Cho n là s t nhiên, f0 , f1 , . . . , fn là các đa th c sao cho fn (x)(ln x)n + fn−1 (x)(ln x)n−1 + · · · + f0 (x) = 0 v i m i x > 0. Ch ng minh f0 , f1 , . . . , fn đ ng nh t tri t tiêu. Đ t x = ey và vi t bi u th c v trái dư i d ng gk (y )eky + gn−1 (y )e(k−1)y + · · · + g0 (y ) = 0 v i m i y , trong đó k là s t nhiên. Làm tương t như bài (5), ta có gk , . . . , g0 đ ng nh t tri t tiêu. V y f0 , f1 , . . . , fn đ ng nh t tri t tiêu. 6 Bài t p 1. Tính các gi i h n sau tg3 x − 3 tg x (a) lim π π x→ 3 cos x + 6 (b) lim x[ln(x + a) − ln x] x→∞ x2 − 1 (c) lim x→1 x ln x √ √ 3 x3 + 3x2 − x2 − 2x (d) lim x→+∞ 1 (e) lim (cos x) x2 x→0 1 (f) lim (sin x + cos x) x x→0 7
2. Tính các gi i h n sau b ng thay các vô cùng bé tương đương. Các lư ng vô cùng bé sau tương đương khi t → 0: t ∼ sin t ∼ tg t ∼ arctg t ∼ arcsin t ∼ ln(1 + t) ∼ (et − 1) t2 (1 − cos t) ∼ 2 α (1 + t) ∼ 1 + αt ln(1 + 2x sin x) (a) lim tg2 x x→0 sin2 3x (b) lim 2 x→0 ln (1 − 2x) √ 1 + cos 2x √ (c) lim± √ π − 2x π x→ 2 ln(cos x) (d) lim x→0 ln(1 + x2 ) 3. Dùng công th c Taylor tính các gi i h n sau: 1 (a) lim x − x2 ln 1 + x x→∞ 1 − (cos x)sin x (b) lim x3 x→0 Hư ng d n: sin x. ln(cos x) = sin x. ln[1 + (cos x − 1)] ∼ sin x.(cos x − 1) x3 x2 x3 ∼ x− − − ... ∼ − + ... 3! 2 2 x3 x3 1 − (cos x)sin x = 1 − esin x. ln(cos x) ∼ 1 − e− 2 ∼ 2 1 − (cos x)sin x 1 V y lim = x3 2 x→0 x (1 + x) − 1 (c) lim sin2 x x→0 1 e − (1 + x) 2 (d) lim x x→0 4. Dùng quy t c L’Hopital tính các gi i h n sau ex − e−x − 2x (a) lim x − sin x x→0 x xe 2 (b) lim x→∞ x + ex ln x (c) lim + 1 + 2 ln(sin x) x→0 π − 2 arctg x (d) lim 1 x→∞ ln 1 + x 8
5. Dùng quy t c L’Hopital kh các d ng vô đ nh (a) lim ln x. ln(x − 1) + x→1 1 1 −x (b) lim x e −1 x→0 (c) lim (1 + x)ln x + x→0 1 tg x x2 (d) lim x x→0 (e) lim (x)sin x + x→0 (f) lim− (π − 2x)cos x π x→ 2 π Hư ng d n: Đ t x = +t 2 9