CHƯƠNG 6
THANH CHỊU XOẮN THUẦN TÚY
I. KHÁI NIỆM
II. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA THANH TRÒN
CHỊU XOẮN
1. Các giả thuyết khi xoắn
2. Ứng suất trên mặt cắt ngang
III. BIẾN DẠNG CỦA THANH TRÒN CHỊU XOẮN
IV. TÍNH THANH CHỊU XOẮN - MẶT NGANG HỢP LÝ CỦA THANH CHỊU
XOẮN
1. Điều kiện bền
2. Ðiều kiện cứng
3. Mặt cắt ngang hợp lý
V. XOẮN THUẦN TÚY THANH CÓ MẶT CẮT NGANG KHÔNG TRÒN
1. Thanh có mặt cắt ngang chữ nhật
2. Mặt cắt ngang mỏng kín
3. Mặt cắt ngang mỏng hở
VI. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ÐÀN HỒI
VII. DẠNG PHÁ HŨY CỦA THANH TRÒN CHỊU XOẮN
VIII. TÍNH LÒ XO XOẮN HÌNH TRỤ CÓ BƯỚC NGẮN
1. Ứng suất
2. Biến dạng của lò xo
IX. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH KHI XOẮN
I. KHÁI NIỆM TOP
Thanh chịu xoắn thuần túy khi trên mọi mặt cắt ngang của thanh chỉ xuất hiện thành phần nội
lực là momen xoắn Mz
Dấu Mz: nhìn vào mặt cắt ta thấy Mz quay cùng chiều kim đồng hồ: dương ngược lại: Mz < 0
II- ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA THANH TRÒN CHỊU XOẮN
1. Các giả thuyết khi xoắn TOP
Trước khi thí nghiệm xoắn, ta kẻ lên bề mặt của thanh những đường thẳng song song với
trục của thanh biểu diễn các thớ dọc và những đường tròn vuông góc với trục thanh biểu diễn
các mặt cắt ngang
Sau khi biến dạng, ta nhận thấy các đường thẳng song song với trục
trở thành những đường xoắn ốc còn các đường tròn vẫn tròn và vuông
góc với trục của thanh. Mạng lưới ô chữ nhật trở thành mạng lưới
hình bình hành (hình 6-1)
Từ những điều quan sát trên, ta đưa ra các giả thuyết sau để làm cơ
sở tính toán cho một thanh tròn chịu xoắn thuần túy.
a./ Giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng
Trước và sau khi bị biến dạng mặt cắt ngang vẫn giữ phẳng và
vuông góc với trục thanh (tức là (z = 0)
b./ Giả thuyết về bán kính của thanh
Trước và sau khi thanh bị biến dạng bán kính của của mặt cắt ngang
vẫn thẳng và có độ dài không đổi (tức ( có phương vuông góc R)
c./ Giả thuyết về chiều dài của thanh
Trước và sau khi thanh bị biến dạng, chiều dài của thanh cũng như khoảng cách giữa hai mặt
cắt ngang bất kỳ là không đổi ((z = 0 ; utt = 0)
d./ Giả thuyết về các thớ dọc
Trong quá trình thanh bị biến dạng, các thớ dọc không ép lên nhau và cũng không tách xa
nhau ((x = (y = 0 )
2. Ứng suất trên mặt cắt ngang TOP
Tưởng tượng tách ra khỏi thanh một phân tố mnpq mnpq giới hạn bởi hai mặt cắt ngang cách
nhau dz, hai mặt trụ đồng trục có bán kính ( và (+d(, hai mặt phẳng chứa trục thanh và
hợp với nhau một góc d(.
Sau khi biến dạng, mặt cắt ngang 2-2 sẽ xoay tương đối một góc d( so với mặt cắt 1-1, d(
được gọi là góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt 1-1 và 2-2
Theo giả thuyết a và c: các mặt cắt 1-1 và 2-2 chỉ xoay tương đối với nhau nhưng vẫn phẳng
và khoảng cách không đổi, do đó trên mặt cắt ngang không có ứng suất pháp.
Mặt khác theo giả thuyết d: các thớ dọc không ép lên nhau nên (x = (y = 0
Vậy phân tố tách ra sẽ ở trạng thái trượt thuần túy
Gọi ( =qnq: góc trượt tỉ đối tương ứng với bán kính ((+ d()
Ta cóĠ
Vì biến dạng rất nhỏ nên tg(Ġ(
Ta đã biết định luật Hooke cho biến dạng trượt là ( = G.( vớiĠ
Thay vào:Ġ
Trong đó: tỉ sốĠ là hằng số đối với từng mặt cắt ngang nên ta có thể
viết:
<![endif]-->
Nhận xét:
a) Ứng suất tiếp ( trên mặt cắt ngang phân bố bậc nhất theo bán kính (của thanh
b) Phương của ứng suất tiếp tại một điểm nào đó trên mặt cắt ngang vuông góc với bán
kính đi qua điểm đó.
Xác định biểu thức của ứng suất tiếp: tínhĠ để thế vào (
Vì tỉ số Ġ là một đại lượng chưa xác định nên để tính ứng suất tiếp ( ta phải dựa vào sự liên hệ
giữa ứng suất tiếp và thành phần nội lực Mz trên mặt cắt ngang.
Trên diện tích vi cấp dF, ta có thể xem các ứng suất tiếp là phân bố đều, do đó hợp lực d( của
chúng bằng: d( = (.dF
d( có phương vuông góc với bán kính (
Momen do lực d( gây ra đối với tâm O của mặt cắt ngang (tức là đối với trục z của thanh) sẽ
là:
Vậy:Ġ
Thay giá trị ( vào
Ðối với tất cả các điểm trên mặt cắt ngang đại lượngĠ không đổi nên:
mà
chính là momen quán tính cực Jrcủa mặt cắt ngang nên:Ġ
biểu thức của (: Ġ
Thay vào
Trong đó:
(: ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang tại điểm đang xét
a mặt cắt ngang đang xét
ếp ( cùng chiều với momen
xoắn Mz
t cắt ngang ( = 0 => ( = 0
Mz: momen xoắn nội lực
J(: momen quán tính cực củ
(: khoảng cách từ điểm đang xét đến tâm 0 của mặt cắt ngang
Ta thấy các giá trị J( và ( luông luôn dương, do đó chiều của ứng ti
Tại tâm mặ
Ðối với mặt cắt ngang tròn:
Ta có thể viết lại như sau:Ġ
Trong đóĠ: momen chống xoắn của mặt cắt ngang
Ðối với mặt cắt ngang hình tròn đặc:Ġ
hăn: Ġ
Đối với mặt cắt ngang hình tròn k
Biểu đồ phân bố ứng suất tiếp ( theo bán kính mặt cắt ngang)
III. BIẾN DẠNG CỦA THANH TRÒN CHỊU XOẮN TOP
Khi thanh tròn chịu xoắn, biến dạng của thanh được thể hiện bởi sự xoay của mặc cắt ngang
quanh trục của nó. Góc xoay giữa hai mặt cắt được gọi là góc xoắn của đoạn thanh giới hạn
bởi các mặt cắt đó. Ta hãy thiết lập công thức tính góc xoắn của một đoạn thanh nào đó có
chiều dài l.
Ta có Ġ
Trong đó: (: góc xoắn thanh ; đơn vị là Radian
Nếu trên suốt chiều dài l tỉ sốĠ không đổi thì Ġ (VI-5b)
Nếu tỉ sốĠ thay đổi dọc theo chiều dài của thanh thì ta phải chia thanh ra làm nhiều đoạn nhỏ
li sao cho trong từng đoạn đó tỉ sốĠ không đổi
Khi đó Ġ (VI-5c)
Ghi chú:
Khi tính góc xoắn ta phải chú ý đến dấu của momen xoắn Mz và kích thước mặt cắt ngang (để
tính J() trong đoạn cần tính
Tỉ số là góc xoắn trên một đơn vị chiều dài và được gọi là góc xoắn tỷ đối ký hiệu (
[radian/cm hay là radian/m ]
Tích số Ġ được gọi là độ cứng khi xoắn ; trị số đó đặt trưng cho độ cứng của thanh. Khi độ
cứngĠ tăng lên thì góc xoắn tỷ đối ( giảm xuống và ngược lại).
IV. TÍNH THANH CHỊU XOẮN- MẶT CẮT NGANG HỢP LÝ CỦA THANH CHỊU
XOẮN