TÍNH TOÁN ỨNG XỬ CHỊU UỐN
CỦA DẦM BÊ TÔNG DỰ ỨNG LỰC NGOÀI
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
TS. NGÔ ĐĂNG QUANG
Bộ môn Kết cấu xây dựng
Viện KH và CN xây dựng GT
Trường Đại học Giao thông Vận tải
Tóm tắt: Kết cấu bê tông dự ứng lực ngoài, sau một thời gian bị bỏ quên, hiện đang được
sử dụng ngày càng phổ biến trở lại. So với dự ứng lực truyền thống là dạng dự ứng lực trong,
có dính bám, dự ứng lực ngoài có nhiều ưu điểm như khả năng kiểm soát trạng thái của cáp,
khả năng thay thế cáp khi bị hư hỏng, v.v... Ngoài ra, với việc áp dụng vật liệu cường độ cao,
kích thước của mặt cắt bê tông có thể được giảm đáng kể và dẫn đến yêu cầu phải bố trí cốt dự
ứng lực ở ngoài mặt cắt bê tông.
Trong khi kết cấu bê tông dự ứng lực trong có dính bám thường được tính toán dựa trên
giả thiết mặt cắt phẳng, việc tính toán kết cấu bê tông dự ứng lực ngoài lại phải được thực
hiện trên cơ sở xem xét sự làm việc tổng thể của toàn kết cấu. Một số bộ phận như cáp dự ứng
lực cần được tính toán ở trạng thái biến dạng lớn.
Bài báo này giới thiệu cách tính toán ứng xử chịu uốn của dầm bê tông dự ứng lực ngoài
với việc áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn phi tuyến cùng một ví dụ tính toán trên phần
mềm midas FEA để đối chứng với kết quả thí nghiệm.
Summary: External prestressed concrete structures become more and more popular at
present because of many advantages versus the internal prestressed concrete. This technology
offers the ability of permanent inspection of the tendon status and their replacement in case of
failures. Moreover, the application of modern high strength materials leads to reduction of
concrete section dimensions. The use of external prestressed cable in such structures is
therefore necessary. While the behavior of internal prestressed concrete structures can be
predicted based on the “plane section” hypothesis, the behavior of external prestressed
concrete structures must be calculated with the entire structure analysis with regard of large
displacement of cables.
CT 2
This paper introduces briefly the way to apply the nonlinear finite element method to
predict the flexural behaviour of external prestressed concrete structures. Analysis results from
an example using midas FEA will also be presented.
I. GIỚI THIỆU
Trong kết cấu bê tông dự ứng lực, người ta phân biệt dự ứng lực trong, nếu cốt dự ứng lực
nằm trong mặt cắt bê tông và dự ứng lực ngoài trong trường hợp ngược lại. Hầu hết các kết cấu
bê tông dự ứng lực hiện nay đều sử dụng cốt dự ứng lực trong và có dính bám do chúng có
nhiều lợi thế về mặt chịu lực cũng như bảo vệ chống rỉ. Tuy nhiên, nhược điểm của dạng dự ứng
lực này là khó đánh giá chính xác trạng thái của cốt dự ứng lực cũng như khó thay thế chúng
trong những trường hợp cần thiết. Nhiều công trình bê tông dự ứng lực bị hư hỏng là do sự phá
hoại không quan sát được từ trước của cốt dự ứng lực trong.
Dự ứng lực ngoài lần đầu tiên được phát triển ở Đức vào năm 1935 nhưng sau đó đã rất ít
được sử dụng. Tuy nhiên, trong những năm gần đây, công nghệ này lại được sử dụng rộng rãi
trở lại cả trong các công trình mới cũng như trong việc sửa chữa, nâng cấp các công trình cũ, đã
xuống cấp. So với dự ứng lực trong, công nghệ dự ứng lực ngoài có một số ưu điểm nổi bật như
khả năng kiểm soát trạng thái cốt dự ứng lực cũng như thay thế chúng trong các trường hợp hư
hỏng, miền biến thiên của cốt dự ứng lực nhỏ ngay cả khi bê tông đã bị nứt, tiết kiệm diện tích
mặt cắt ngang bê tông do cốt dự ứng lực đã được đưa ra khỏi mặt cắt, v.v...
Trong khi kết cấu bê tông dự ứng lực trong có dính bám thường được tính toán dựa trên giả
thiết mặt cắt phẳng với điều kiện tương thích về biến dạng được lập tại các mặt cắt thì kết cấu
bê tông dự ứng lực ngoài được tính toán trên cơ sở xem xét ứng xử tổng thể của toàn kết cấu. Lý
do là, trong kết cấu bê tông dự ứng lực ngoài, cốt dự ứng lực và bê tông chỉ được kết nối với
nhau tại các vị trí neo. Ngoài ra, do các đặc điểm cấu tạo hình học và cơ học của kết cấu, việc
tính toán kết cấu bê tông dự ứng lực ngoài, bên cạnh tính phi tuyến của vật liệu bê tông, còn cần
phải xét đến tính phi tuyến hình học của cốt dự ứng lực cũng như tính phi tuyến điều kiện biên
tại liên kết “ma sát – trượt” giữa cốt dự ứng lực và bê tông ở các yên chuyển hướng.
Rất nhiều nghiên cứu về tính toán ứng xử của kết cấu bê tông dự ứng lực ngoài đã được
thực hiện. Các tác giả như Harajli [1], Alkhairi, Naaman [2], v.v... đã đề xuất một số mô hình
khác nhau để tính toán theo phương pháp giải tích cho dạng kết cấu này. Tuy vậy, các mô hình
này chỉ có thể được áp dụng để tính toán các dạng kết cấu đơn giản. Dựa trên phương pháp phần
tử hữu hạn, một số mô hình khái quát hơn cũng đã được thành lập như mô hình của Xiao-Han
Wu1 & Xilin Lu [3], v.v... Tuy nhiên, các mô hình này mới chỉ mới được áp dụng hạn chế trên
các phần mềm do chính các tác giả xây dựng.
Bài báo này trình bày cách áp dụng các mô hình phần tử hữu hạn thông thường, đang được
sử dụng trong các phần mềm phổ biến hiện nay, để tính toán kết cấu bê tông dự ứng lực ngoài.
Một số tính toán đối chứng đã cho thấy rằng, phương pháp này cho kết quả khá phù hợp với kết
quả đo được từ thí nghiệm. TCT2
2. PHƯƠNG PHÁP MÔ HÌNH HOÁ
2.1. Mô hình hoá bê tông
Cho đến nay, rất nhiều mô hình toán học đã được xây dựng để mô tả ứng xử và tính toán bê
tông. Các mô hình này có thể được chia thành một số nhóm, như mô hình đàn hồi trực hướng
(orthotropic elastic models), mô hình đàn hồi phi tuyến (nonlinear elastic models), mô hình dẻo
(plastic models), v.v... Để tính toán kết cấu bê tông theo phương pháp phần tử hữu hạn, mô hình
đàn hồi phi tuyến được coi là thích hợp nhất. Mô hình này được xây dựng dựa trên khái niệm đa
mô đun đàn hồi. Theo đó, đáp ứng phi tuyến của bê tông được mô phỏng bởi một mô hình tuyến
tính có mô đun đàn hồi thay đổi.
Tiêu chuẩn phá hoại của bê tông ở trạng thái chịu lực nhiều trục có thể được xây dựng dựa
trên mô hình do Willam và Warnke đề nghị ở dạng:
c
FS0
f
−
≥
′ (1)
Trong đó, F là hàm trạng thái ứng suất chính ( xp yp zp
,,
σ
σσ), S là mặt phá hoại, được mô tả
bởi các ứng suất chính và một số tham số khác và c
f
′
là cường độ chịu nén một trục của bê tông
[4].
Mô hình tổng quát nhất thể hiện quan hệ ứng suất – biến dạng khi chịu nén một trục của bê
tông là mô hình do Popovics và Thorenfeldt kiến nghị ở dạng [5]:
(
)
()
cf c
c
nk
ccf c
1
n/
f
fn/
′
εε
=
′
′
−+ε ε (2)
Với, là cường độ chịu nén một trục của bê tông,
c
f′cc c
nE(E E)
′
=
−, là biến dạng của
bê tông khi ứng suất trong nó đạt đến
c
′
ε
c
f
′
, là mô đun đàn hồi tiếp tuyến ban đầu của bê tông,
=
c
E
c
E′c
c
f′
′
ε, và là hệ số giảm ứng suất sau khi đạt cực trị. k
Để mô tả quan hệ ứng suất – biến dạng khi chịu kéo, mô hình được sử dụng khá phổ biến
hiện nay trong phân tích phần tử hữu hạn là mô hình “nhiều đoạn thẳng” do Hordijk đề xuất như
được thể hiện trên hình 1. Trong đó, là mô đun đàn hồi của bê tông sau khi nứt, và
là cường độ chịu kéo dọc trục của bê tông [6], [9].
t
Rc
T0,6=
t
f
Hình 1. Quan hệ ứng suất – biến dạng của bê tông khi chịu kéo
CT 2
Nứt trong bê tông có thể được mô phỏng nhờ mô hình “vết nứt phân tán” (smeared crack
model) trong đó, ảnh hưởng của nứt được phản ánh qua việc làm giảm độ cứng của của bê tông
theo phương vuông góc với vết nứt, hoặc mô hình “vết nứt rời rạc” (discrete crack model) với
việc mô tả vết nứt như dạng vật lý của chúng, nghĩa là tại vết nứt, bê tông không còn liên tục.
Cho đến nay, do những lợi thế của mình, mô hình vết nứt phân tán đang được sử dụng rộng rãi
hơn trong phân tích phần tử hữu hạn. Phụ thuộc vào phương pháp tính toán, mô hình vết nứt
phân tán lại còn được phân biệt thành mô hình biến dạng thành phần (decomposed strain model)
và mô hình biến dạng tổng (total strain model). Mô hình biến dạng thành phần phân biệt biến
dạng của bản thân bê tông và biến dạng của vết nứt trong khi đó, mô hình biến dạng tổng xem
xét đồng thời cả hai thành phần biến dạng này. Để áp dụng trong tính toán, mô hình biến dạng
tổng đơn giản hơn vì chỉ sử dụng một mô hình quan hệ ứng suất - biến dạng cho bê tông khi
chịu kéo bao gồm cả vết nứt và một mô hình cho bê tông khi chịu nén.
Giữa bê tông và cốt thép thường cũng như với cốt dự ứng lực có dính bám tồn tại một lực
dính bám. Trong các phân tích thông thường, cả trong phân tích kết cấu tổng thể cũng như phân
tích cục bộ, người ta thường giả thiết lực này là đủ lớn để đảm bảo cho biến dạng giữa bê tông
và cốt thép là bằng nhau [7].
2.2. Mô hình hoá cáp dự ứng lực
Trong các kết cấu bê tông dự ứng lực ngoài, cốt dự ứng lực thường có chiều dài giữa các
neo cũng như giữa các yên chuyển hướng là khá lớn. Điều này cho thấy rằng, cần phải xét đến
yếu tố phi tuyến hình học khi xem xét sự làm việc của cốt dự ứng lực ngoài. Theo Xiao-Han
Wu1 & Xilin Lu [3], độ cứng của phần tử cáp,
k có thể được mô tả như là sự kết hợp của 3
thành phần là độ cứng đàn hồi tuyến tính thông thường,
p
L
k, độ cứng do chuyển vị lớn,
p
N
k, và
độ cứng hình học hay độ cứng ứng suất ban đầu,
p
k
σ
. Các ma trận độ cứng thành phần này
được xây dựng từ các đặc trưng cơ học của vật liệu, cấu tạo hình học của phần tử cáp cũng như
chuyển vị của các điểm nút.
(3)
()
T
pL pL p pL p
TTT
pN pL p pN pN p pL pN p pN p
T
pN p p
kBEBAds
kBEBBEBBEBA
kGGAds
=
=++
=σ
∫
∫
∫
l
l
l
ds
Trong đó, là các ma trận được xây dựng từ hàm dạng của các phần tử bê tông ở
các neo hay yên chuyển hướng, lần lượt là diện tích, mô đun đàn hồi và chiều dài của
phần tử cáp dự ứng lực.
pL pN
B ,B ,G
pp
A,E,l
2.3. Mô hình hoá liên kết ma sát – trượt giữa cốt dự ứng lực với yên chuyển hướng
Tại các yên chuyển hướng, lực được truyền từ cốt dự ứng lực lên bê tông thông qua lực ép
mặt và lực ma sát. Trong một giới hạn nhất định, độ lớn của lực ma sát tăng cùng với chuyển vị
tương đối giữa bề mặt yên chuyển hướng và cốt dự ứng lực. Tuy nhiên, khi chuyển vị tương đối
này quá lớn, lực ma sát không tăng được nữa và cốt dự ứng lực bắt đầu trượt trên yên chuyển
hướng. Dạng ứng xử này có thể được mô hình hoá bằng liên kết bề mặt ma sát Coulomb và có
thể được thể hiện bằng một lò xo và một mặt trượt. Một đầu của lò xo được nối với nút của phần
tử cáp dự ứng lực và đầu kia nối với mặt trượt. Lực trong lò xo phản ánh lực ma sát. Lực này
tăng theo chuyển vị tương đối giữa nút cáp dự ứng lực và yên chuyển hướng. Khi lực ma sát đạt
đến giới hạn, mặt trượt sẽ được phép trượt.
TCT2
III. VÍ DỤ ÁP DỤNG VỚI PHẦN MỀM MIDAS FEA
Phần sau đây sẽ trình bày cách áp dụng các phương pháp mô hình hoá kể trên để tính toán
quá trình làm việc của một kết cấu bê tông dự ứng lực ngoài đã được các tác giả Tan và Ng [8]
thí nghiệm. Việc tính toán được thực hiện trên phần mềm midas FEA.
3.1. Giới thiệu chung về midas FEA
midas FEA (Finite Element Analysis) là một phần mềm phân tích kết cấu theo phương
pháp phần tử hữu hạn của hãng MIDAS IT. midas FEA có thể thực hiện các phân tích kết cấu từ
phổ thông đến đặc biệt với điển hình là khả năng phân tích phi tuyến vật liệu, phi tuyến hình
học biến dạng lớn và phi tuyến điều kiện biên, khả năng mô phỏng quá trình hình thành và phát
triển vết nứt trong bê tông, quá trình chảy dẻo trong thép, khả năng tính toán tương tác giữa kết
cấu và dòng chảy, khả năng tính toán mỏi, mất ổn định động, v.v... [7]. Với những khả năng
này, midas FEA có thể được sử dụng như là một công cụ thích hợp để tính toán ứng xử của kết
cấu bê tông dự ứng lực ngoài.
3.2. Giới thiệu kết cấu bê tông dự ứng lực ngoài
Năm 1997, Tan và Ng [8] đã thí nghiệm một loạt dầm bê tông dự ứng lực ngoài để nghiên
cứu ứng xử của chúng trong quá trình chịu lực cũng như khảo sát các tham số ảnh hưởng như
khoảng cách giữa các yên chuyển hướng và chiều cao của chúng, mức độ dự ứng lực, v.v...
Hình 2 minh hoạ sơ bộ cấu tạo của các dầm thí nghiệm. Các đặc trưng vật liệu của dầm được
chọn để tính toán đối chứng (dầm số T2 với hai yên chuyển hướng) là:
• Diện tích cốt thép thường ở vùng nén:
2
201mm
• Diện tích cốt thép thường ở vùng kéo:
2
402 mm
• Diện tích cốt dự ứng lực: 2 tao 7 sợi đường kính 9,5 mm, diện tích
2
141mm
• Cường độ chịu nén của bê tông c
f28,7MPa
′
=
• Dự ứng lực có hiệu
pe
f 1620MPa=
• Mô đun đàn hồi của cốt thép thường là và của cốt dự ứng lực là
5
s
E210MP=× a
5
s
E1,9310MPa=×
1000
300
300
3000
Cáp dự ứng
lực ngoài
2 D8
2 D16
300
200
300
300
110 150 150
150
50
300
300
300
A
B C
A
B C
Mặt cắt A-A Mặt cắt B-B Mặt cắt C-C
CT 2
Hình 2. Cấu tạo dầm bê tông dự ứng lực ngoài do Tan va Ng thí nghiệm
3.3. Xây dựng mô hình phân tích trên midas FEA
Mô hình phân tích cho kết cấu bê tông dự ứng lực ngoài được xây dựng trên midas FEA
bao gồm các phần tử khối cho bê tông dầm, phần tử cốt thép thường, phần tử cốt dự ứng lực và
các phần tử khối thép mô tả tấm neo, gối đỡ cũng như yên chuyển hướng.
Đặc trưng làm việc của bê tông được mô tả dựa trên mô hình “Total Strain Crack” với vết
nứt phân tán do midas FEA cung cấp, trong đó, quan hệ ứng suất – biến dạng khi chịu nén được
mô tả theo theo phương trình Popovics và Thorenfeldt (2) và quan hệ tương ứng khi chịu kéo
được mô tả theo mô hình Hordijk.
Mô hình vật liệu của cốt dự ứng lực được xây dựng dựa trên phương trình Ramberg-
Osgood sửa đổi có dạng: