Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid
Bài 8: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH, DẠNG TOÀN PHƯƠNG, KHÔNG GIAN EUCLID
Mục tiêu
Nội dung
• Khái niệm về dạng song tuyến tính và
dạng toàn phương.
Dạng song tuyến tính là cơ sở để ta nghiên cứu dạng toàn phương và tích vô hướng. Áp dụng dạng toàn phương và không gian Euclid vào Hình học giải tích ta có thể đưa các đường và mặt bậc hai về dạng chính tắc. • Biết cách đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng hai phương pháp: Phương pháp Lagrange, phương pháp Jacobi và tiêu chuẩn Sylvester. • Khái niệm về dạng song tuyến tính và • Khái niệm về không gian Euclid, hệ trực dạng toàn phương. giao và hệ trực chuẩn.
• Biết cách đưa đường mặt bậc hai ở dạng
toàn phương về dạng trục chính.
• Giải được các bài toán trong các nội • Biết cách đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng hai phương pháp: Phương pháp Lagrange, phương pháp Jacobi và tiêu chuẩn Sylvester. dung nêu trên. • Khái niệm về không gian Euclid, hệ
trực giao và hệ trực chuẩn.
Thời lượng
• Biết cách đưa đường mặt bậc hai ở dạng toàn phương về dạng trục chính. Bạn đọc nên để 15 giờ để nghiên cứu LT + 8 giờ làm bài tập. • Giải được các bài toán trong các nội
dung nêu trên.
101
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid
Bài toán mở đầu : Bài toán phân phối tối ưu công suất giữa thủy điện và nhiệt điện
Cho trước biểu đồ phụ tải trong một ngày đêm (24 giờ) tức là cho công suất phụ tải Ppt (k), k = 1, 2,..., 24, tính bằng MW. Giả sử năng lượng thủy điện có thể khai thác trong một ngày đêm là A(MWh). Vấn đề là hãy xác định công suất của các nhà máy điện Pk, k = 1, 2,..., 24 sao cho đường biểu diễn công suất là bằng phẳng nhất có thể được (để giảm bớt chi phí cho việc điều chỉnh công suất) và sao cho sử dụng hết năng lực của thủy điện.
24
p
k
Từ yêu cầu ta có thể thiết lập mô hình như sau: Xác định các công suất Pk , k = 1, 2,..., 24 sao cho
∑
24
k
min
−
→
P k
∑
1 = 24
k
1
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
24
A
−
=
P (k) pt
P k
∑
⎡ ⎣
⎤ ⎦
k
1
=
Pmin ≤ Pk ≤ Pmax, k = 1, 2,…, 24.
Hàm mục tiêu của bài toán có dạng toàn phương.
Dạng song tuyến tính là cơ sở để ta nghiên cứu dạng toàn phương và tích vô hướng. Áp dụng dạng toàn phương và không gian Euclid vào Hình học giải tích ta có thể đưa các đường và mặt bậc hai về dạng chính tắc.
8.1.
Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương
8.1.1. Dạng song tuyến tính
dạng song tuyến tính trên V nếu
x1, x2, y ∈ V
f(x1 + x2, y) = f(x1, y) + f(x2, y)
x, y ∈ V, ∀ λ ∈ (cid:92)
f(λx, y) = λf(x, y)
∀ x, y1, y2 ∈ V
f(x, y1 + y2) = f(x, y1) + f(x, y2)
x, y ∈ V, ∀ λ ∈ (cid:92)
f(x, λy) = λf(x, y)
Định nghĩa 8.1: Cho V là không gian véc tơ trên (cid:92), ánh xạ f: V × V → (cid:92) gọi là một
f(u, v) = x1x2 + y1y2 trong đó u = (x1, y1), v = (x2, y2) là một dạng song tuyến tính trên (cid:92)2.
Dạng song tuyến tính f(x, y) trên V gọi là đối xứng nếu
f(x, y) = f(y, x) ∀x, y ∈ V.
Dạng song tuyến tính trong ví dụ trên là đối xứng.
Ví dụ: Ánh xạ f: (cid:92)2 × (cid:92)2 → (cid:92) xác định bởi
8.1.2. Dạng toàn phương
Giả sử f(x, y) là một dạng song tuyến tính trên V, {e1, e2,…, en} là một cơ sở của V. Khi đó, ta có
102
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid
n
n
n
n
j
j
(8.1)
i x y f (e , e ).
=
f(x, y) = f
i x e , i
y e j
i
j
∑
∑
∑∑
i
i 1 =
j 1 =
=
1 j 1 =
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
Đặt f(ei, ej) = aij (i, j = 1, 2,..., n), ta có
a
a
... a
11
a
12 a
1n ... a
22
A
=
21 (cid:35)
(cid:35)
2n (cid:35)
a
a
... a
n1
nn
n 2
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
Ma trận A gọi là ma trận của dạng song tuyến tính f theo cơ sở {e1, e2,…, en}. Nói chung, A không phải là một ma trận đối xứng A ≠ A′. Trong trường hợp f là dạng song tuyến tính đối xứng, nghĩa là
aij = f(ei, ej) = f(ej, ei) = aji, (i, j = 1,2,…,n)
n} là một cơ sở khác của V với
thì A là ma trận đối xứng. Nếu {f 1, f 2,…, f
n
k
m
f
(k = 1, 2,…, n)
t e mk
= ∑
m 1 =
và f(f i, f k) = bik, ta có
n
n
n
n
i
bik = f(f i, f k) = f
=
m t e , mi
t e ik
m l t f (e , e ) lk
mi
∑ ∑ t
∑
∑
m 1 =
l 1 =
m 1 =
l 1 =
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
n
n
(i = 1, 2,…, n).
mi
t a lk ml
∑ ∑ t
m 1 =
l 1 =
Từ đây, ta có B = T–1AT, trong đó
11
1n
... b t t ... t
1n ... b
12 t
22
21 (cid:35)
2n (cid:35)
21 (cid:35)
22 (cid:35)
2n (cid:35)
b 11 b b 12 b t ... t B , T = = (cid:35)
n1
nn
n 2
n1
n 2
nn
b b ... b t t ... t ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
n
i
Định nghĩa 8.2: Nếu f(x, y) là một dạng song tuyến tính đối xứng trên không gian véc tơ V thì f(x, x) gọi là một dạng toàn phương.
Nếu
i 1 =
n
x x e i = ∑ và đặt f(ei, ej) = aij = aji (i, j = 1, 2,..., n).
Ta có
j
i, j 1 =
... 2a x x
(8.2)
+
+ +
+
+
... + +
=
2 a x 11 1
2a x x 12 1
2
1n
1
n
a x 22
2 2
2a x x 23
2
3
2 a x . n nn
Trong trường hợp aij = 0 (i ≠ j; i, j = 1, 2,..., n) thì dạng toàn phương được gọi là dạng toàn phương ở dạng chính tắc, khi đó
f (x, x)
=
±
... ± ±
2 a x 11 1
a x 22
2 2
2 a x . nn n
f (x, x) a x x ij i = ∑
103
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid
8.1.3. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
Ta đã biết biểu thức của dạng song tuyến tính f(x, x) qua các tọa độ của véc tơ x phụ thuộc vào việc chọn cơ sở (hệ tọa độ) trong đó dạng toàn phương có dạng đơn giản
...
f(x, x) =
2 2 λ ξ + λ ξ + + λ ξ 2 2 n
2 1 1
n
8.1.3.1. Phương pháp Lagrange
Giả sử trong một cơ sở f1, f2,…, fn nào đó ta có
(8.3)
i, j = 1, n
f(x, x) =
ij
i
j
a x x∑
i, j
2
Trong đó x1, x2,…, xn là các tọa độ véc tơ x trong cơ sở này. Ta sẽ dần dần biến đổi cơ sở sao cho trong dạng (8.3) mất đi các số hạng chéo (các tích tọa độ với hệ số khác nhau). Vì mỗi biến số cơ sở ứng với một phép biến đổi xác định các tọa độ và ngược lại nên ta sẽ viết các công thức biến đổi các tọa độ. Để dẫn dạng toàn phương f(x, x) về dạng chính tắc, ta cần có ít nhất một trong các hệ ix ) khác 0. Điều đó luôn luôn có thể đạt được. Thật vậy, giả sử dạng số aii (hệ số của f(x, x) không đồng nhất bằng 0, nhưng không chứa một biến bình phương nào, khi đó, nó chứa dù chỉ một tích, chẳng hạn như 2a12x1x2. Ta thay các tọa độ x1, x2 bởi
x
x
x
=
+
1
′ 1
′ 2
x
x
x
=
−
2
′ 1
′ 2
2 ′− x ) 2
2 ′ 1
2
triệt tiêu, nghĩa là hệ số
và không thay đổi các biến còn lại. Khi đó, số hạng 2a12x1x2 chuyển thành . Theo giả thiết a11 = a22 = 0 nên số hạng thu được không bao giờ bị 2a (x 12 1x′ khác 0. Vậy ta giả sử rằng trong (8.3) có a11 ≠ 0. Ta tách
ra trong dạng toàn phương các số hạng chứa x1
... 2a x x
+
+ +
2 a x 11 1
2a x x 12 1
2
1n
1
n
Ta bổ sung tổng này đến một bình phương đầy đủ của tổng, nghĩa là viết nó dưới dạng
... 2a x x
+
+ +
2 a x 11 1
2a x x 12 1
2
1n
1
n
2
B.
(8.4)
... + +
−
=
(a x 11 1
a x ) 1n n
1 a
11
Trong đó qua B ta ký hiệu các số hạng chỉ chứa các bình phương và tích từng đôi một của các số hạng a12x2,…, a1nxn. Sau khi thay (8.4) vào (8.3) thì dạng toàn phương đã cho có dạng
2
... + +
... +
f(x, x) =
(a x 11 1
a x ) 1n n
1 a
11
trong đó các số hạng không viết ra chỉ chứa các biến x2,…, xn.
104
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid
Ta đặt
η1 = a11x1 + a12x2 +…+ a1nxn
η2 = x2
………………..
ηn = xn
Khi đó, dạng toàn phương trở thành
n
2 η + 1
ij
i
j
i, j
2
=
11
n
Biểu thức
hoàn toàn giống dạng (8.3) chỉ có khác là bớt tọa độ x1. Bây
ij
i
j
f (x, x) . = η η∑ b 1 a
i, j
2
=
giờ, ta giả sử b22 ≠ 0. Khi đó tiến hành phép biến đổi mới các biến tương tự như trên theo các công thức
b
... b
η = η 1 b
η + +
η + 2
22
23
3
η n
2n
* 1 * η = 2
* 3
η = η 3 ...........................
η = η n
* n
Trong các biến mới ta có
n
η η∑ b
*2 η + 1
* η + 2
* * j i
ij
i, j
3
=
11
22
Tiếp tục quá trình này, sau một số hữu hạn bước, ta đến các biến ξ1, ξ2,…, ξn trong đó
f(x, x)
...
2 = λ ξ + λ ξ + + λ ξ . 2 2
2 1 1
2 n
n
f (x, x) . = η η∑ c 1 a 1 b
Như vậy, ta đi đến định lý sau. Định lý 8.1: Giả sử trong không gian n chiều (cid:92)n cho dạng toàn phương bất kỳ f(x, x).
Khi đó, trong (cid:92)n tồn tại cơ sở e1, e2,..., en sao cho với cơ sở đó
...
f(x, x) =
2 λ ξ + λ ξ + + λ ξ . 2 2
2 1 1
2 n
n
Trong đó ξ1, ξ2,…, ξn là các tọa độ của véc tơ x trong cơ sở e1, e2,..., en. Ví dụ: Giả sử trong không gian (cid:92)3 với cơ sở f1, f2, f3 cho dạng toàn phương
2
2
f(x, x) = 2x1x2 + 4x1x3 –
2x –
38x .
Ta đặt
x
1
x
2
x
3
′= x 2 ′= x 1 ′= x 3
105
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid
Khi đó, ta được
x
−
+
+
−
f(x, x) =
2 ′ 1
′ 2x 2x 1
′ 2
′ 4x x 2
′ 3
2 ′ 8x . 3
Tiếp đó, ta đặt
x
η = −
+
′ 1
′ 2
1 η = 2 η = 3
x ′ x 2 ′ x . 3
Ta sẽ được biểu thức mới cho dạng toàn phương
f(x, x) =
2 − η + η + η η − η 8 . 4 3
2 1
2 2
2
3
Phép biến đổi
ξ1 = η1
ξ2 = η2 + 2η3
ξ3 = η3.
cho ta dạng chính tắc
f (x, x)
12
2 = − ξ + ξ − 1
2 2
2 ξ . 3
8.1.3.2. Phương pháp Jacobi và tiêu chuẩn Sylvester
Ta cần đặt điều kiện đối với dạng toàn phương f(x, y) với cơ sở xuất phát như sau: Giả sử ma trận của dạng song tuyến tính f(x, y) trong cơ sở f1, f2,…, fn có các định
ika thức con khác 0
a
a
11
0
Δ1 = a11 ≠ 0 ;
a
12 a
21
22
a
a
... a
11
a
12 a
1n ... a
(8.5)
≠ 0.
≠ Δ = 2
21 ...
22 ...
2n ...
...
a
a
... a
n1
n 2
nn
Trong cơ sở f1, f2,…, fn dạng toàn phương f(x, x) có dạng
n
f (x, x)
Δ = n
ik i k
i, k
1
=
với aik = f(fi, fk). Mục đích của ta là xác định các véc tơ e1, e2,…, en sao cho
(8.6)
f(ei, ek) = 0 với i ≠ k (i, k = 1, n ).
Quá trình tiến hành tương tự như quá trình trực giao hóa. Ta sẽ tìm các véc tơ e1, e2,..., en dưới dạng
= ξ ξ∑ a
106
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid
e 1 e
= α
2
(8.7)
...
= α + α
f 11 1 f f 21 2 22 2 ............................ f f e n 2 2 n1 1
n
f nn n
Các hệ số αik có thể tìm như sau: Nếu f(ek, fi) = 0 với i = 1, 2,... k – 1 thì f(ek, ei) = 0 đối với i = 1, 2,…, k – 1. Thật vậy, thay ei bởi biểu thức
αi1f1 + αi2f2 +…+ αiifi
ta được
f(ek, ei) = f(ek, αi1f1 + αi2f2 +...+ αiifi)
= αi1f(ek, f1) + αi2f(ek, f2) +...+ αiif(ek, fi).
Như vậy, nếu f(ek, fi) = 0 đối với bất kỳ k và bất kỳ i < k thì f(ek, ei) đối với i < k và do đó, tính đối xứng của dạng song tuyến tính, ta có đối với cả i > k, nghĩa là e1, e2,…, en là cơ sở cần tìm. Do đó, bài toán của ta dẫn tới bài toán sau:
Xác định các hệ số αk1, αk2,…, αkk sao cho véc tơ
ek = αk1f1 + αk2f2 +…+ αkkfk
thỏa các điều kiện
(8.8)
f(ek, fi) = 0 với i = 1, 2,…, k – 1.
Với các điều kiện đó, véc tơ ek được xác định chính xác đến phần tử xác định. Ta cố định phần tử đó nhờ đòi hỏi
(8.9)
f(ek, fk) = 1.
Ta sẽ thấy ngay với các điều kiện (8.8) và (8.9), véc tơ ek đã được xác định một cách đơn trị. Thay (8.8) vào (8.9) biểu thức cho ek ta nhận được hệ phương trình bậc nhất sau đây đối với αki
+ α = α + + α ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
k1
k 2
0 α + α ... + + α = f (f , f ) 1 k
kk ... + + α
k1
k 2
kk
0 α + α = f (f , f ) 1 1 f (f , f ) 2 1 f (f , f ) 2 k
(8.10)
1
k1
k
f (f , f ) 1 2 f (f , f ) 2 2 ............................................................................ , f (f f (f f (f ... + + α + α α f ) k
1 =
k − f (f , f ) k 1
k1
k 2 1 − f (f , f ) k 2
k 2
kk k − f (f , f ) k k
kk
1 , f ) 1 + α α , f ) 2 ... + + α ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪= 0 ⎪ ⎪ ⎭
f (f , f ) 1 1
f (f , f ) ... f (f , f ) k
1
1
2 f (f , f ) f (f , f ) ... f (f , f ) 2 k
1
Định thức của hệ phương trình này là
2 ...
2 ...
...
2 ...
f (f , f ) f (f , f ) ... f (f , f ) 2 k
k
k
k
1
(8.11) Δ =
107
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid
Và theo điều kiện (8.5), định thức trên khác 0. Vì vậy, nghiệm của (8.10) tồn tại và duy nhất. Như vậy, bài toán tìm véc tơ ek đã được giải cho k bất kỳ. Bây giờ, ta tìm các hệ số bik của dạng toàn phương f(x, x) trong cơ sở e1, e2,..., en như ta đã biết
bik = f(ei, ek).
Theo cách dựng cơ sở này, f(ei, ek) = 0 khi i ≠ k, nghĩa là bik = 0 khi i ≠ k. Ta tính bkk = f(ek, ek)
f(ek, ek) = f(ek, αk1f1 + αk2f2 +…+ αkkfk)
= αk1f(ek, f1) + αk2f(ek, f2) +…+ αkkf(ek, fk)
và theo (8.8) và (8.9)
f(ek, ek) = αkk.
1
Số αkk có thể tìm từ hệ (8.10) theo quy tắc Crame
−Δ k Δ
k
α = kk
1
trong đó Δk – 1 là định thức tương đương với (8.11) bậc k – 1, trong đó đặt Δ0 = 1. Như vậy
kk
−Δ k Δ
k
b = = f (e , e ) k k
n
f (x, x)
và do đó định lý sau đây đã được chứng minh. Định lý 8.2: Giả sử trong cơ sở f1, f2,…, fn dạng toàn phương có dạng
ik i k
i, k
1
=
= ξ ξ∑ a
a
a
11
với aik = f(fi, fk). Tiếp theo, giả sử các định thức
a
12 a
21
22
a
a
... a
11
a
12 a
1n ... a
Δ1 = a11, Δ = 2
21 ... a
22 ... a
2n ... ... ... a
n1
n 2
nn
Δ = n
1
đều khác 0. Khi đó, tồn tại các cơ sở e1, e2,..., en trong đó f(x, x) được viết dưới dạng chính tắc như sau
2 ξ + 1
2 2
2 n
−Δ n Δ
2
n
f (x, x) ... (8.12) = ξ + + ξ Δ 1 Δ Δ 0 Δ 1
với ξk là các tọa độ của véc tơ x trong cơ sở e1, e2,…, en. Ví dụ: Xét dạng toàn phương
2 1
2
2 2
2 3
2x x x + + + + f(x, x) = 3x x 1 4x x 1 3
108
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid
Ta có
2 2 3 2
1 0 Δ =
3 2 2 0 1
2
0
0
4
0
Δ = Δ =
+
+
−
−
−
2 = − −
= −
3
9 4
9 4
17 4
−
8
f (x, x)
2( 4)
= ξ − ξ +
= ξ +
ξ
2 1
2 2
2 ξ . 3
2 1
2 − ξ + 2
2 3
1 2
1 17
1 2
−
1 4 17 4
2
Từ định lý trên cho ta khả năng tìm các hệ số dương và hệ số âm của các số hạng bình phương. Chính là, nếu Δi – 1 và Δi có cùng dấu thì hệ số của iξ là dương, nếu chúng khác dấu thì hệ số âm, nghĩa là số các hệ số âm bằng số các thay đổi dấu của dãy 1, Δ1, Δ2,…, Δn. Và như vậy, ta có định lý sau:
2 3 2 = − Δ0 = 1; Δ1 = 2; Δ = 2 1 4 1 3 2
Định lý 8.3: Số các hệ số âm trong dạng (8.12) của dạng toàn phương bằng số các thay đổi dấu của dãy 1, Δ1, Δ2,…, Δn.
Giả sử, trong trường hợp riêng
=
. Khi đó, tồn tại cơ sở e1, e2,..., en trong
Δ > i
đó dạng toàn phương có dạng
f (x, x)
...
2 2 = λ ξ + λ ξ + + λ ξ 2 2 n
2 1 1
n
0, i 1, n
Với
, do đó f(x, x) ≥ 0 đối với x bất kỳ. Hơn nữa, đẳng thức
i
n
i 1, n 0, λ > ∀ =
=
2 λ ξ = i
i
f (x, x) 0
∑
i 1 =
Nếu ξ1 = ξ2 = … = ξn = 0.
Nói cách khác, nếu Δ1 > 0, Δ2 > 0,…, Δn > 0 thì dạng toàn phương f(x, x) là xác định dương.
Có thể chứng minh phần đảo rằng, nếu f(x, x) là xác định dương thì Δk > 0, ∀k. Định lý 8.4: (Tiêu chuẩn Sylvester) Giả sử f(x, y) là dạng song tuyến tính đối xứng và f1, f2,…, fn là cơ sở của (cid:92)n. Khi đó,
dạng toàn phương f(x, x) là xác định dương khi và chỉ khi
.
i
i 1, n 0, λ > ∀ =
109
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid
8.2.
Không gian Euclid
8.2.1. Tích vô hướng và không gian Euclid
8.2.1.1. Định nghĩa 8.3
là không gian véc
thực,
tơ
tích vô hướng của hai véc
tơ x,
Cho V
y ∈ V là một số thực, ký hiệu
∀x, y ∈ V
1.
∀x, y ∈ V
2. <λx, y> = λ
4.
∀x ∈ V
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0.
Không gian véc tơ thực hữu hạn chiều V trên đó xác định một tích vô hướng gọi là
không gian Euclid, ký hiệu là E.
Nhận xét:
Tích vô hướng trên không gian véc tơ V thực chất là một dạng song tuyến tính,
đối xứng f(x, y) = trên V, thỏa mãn f(x, x) là một dạng toàn phương xác
định dương.
8.2.1.2. Độ dài một véc tơ
Giả sử E là một không gian Euclid. Khi đó, x ∈ E thì x xác định bởi
x
x, x
= <
1 > 2
gọi là chuẩn của véc tơ x. Chú ý: Trong (cid:92)n, ta định nghĩa tích vô hướng
n
.
<
> =
=
=
i
1
n
1
x, y (x ,..., x ), y x y , x i (y ,..., y ) n
∑
i 1 =
Khi đó
n
2
2 i
= ∑ x
i 1 =
x
(cid:71) (cid:71)
8.2.1.3. Góc giữa hai véc tơ (cid:71) (cid:71) a, b
<
> =
(cid:71)(cid:71) cos(a, b)
0.
=
⇒
≠
≠
Chuyển sang không gian Euclid
cos(x, y) =
Hai véc tơ x, y gọi là trực giao nếu
(cid:71)
, nếu a (cid:71)
0, b (cid:71)
(cid:71)
a . b cos(a, b)
(cid:71)(cid:71)
110
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid
8.2.1.4. Hai không gian con trực giao
Cho E là một không gian Euclid. Hai không gian con E1, E2 ⊂ E gọi là trực giao nếu
8.2.1.5. Hệ trực giao và hệ trực giao chuẩn
ie = 1, (i = 1, 2,..., n).
Cho E là một không gian Euclid. Hệ cơ sở {e1; e2;…; en} gọi là hệ cơ sở trực giao nếu
Ví dụ: Trong (cid:92)n, tích vô hướng xác định bởi
n
i
∑ x y i
i 1 =
thì hệ cơ sở tự nhiên
e1 = (1, 0,…, 0) ; e2 = (0, 1,…, 0); en = (0, 0,…, 1)
là một hệ trực chuẩn.
8.2.1.6. Trực giao hóa Gram – Smit
Từ một cơ sở {f 1, f 2,…, f n} của E, hãy xây dựng một cơ sở trực chuẩn {e1, e2,…, en}. Bước 1: Xây dựng cơ sở trực giao {e1, e2,…, en}. + Đặt e1′ = f 1 + Tìm e2′ = f2 + α21e1′ sao cho
2
α = −
⇒
21
1' e , f 1' 1' e , e
< <
> >
+ Tìm e3′ = f3 + α32e2′ sao cho
3
α = −
31
3
′ 1 e , f
′ ′ 1 1 e , e
0
> + α <
> =
< <
> >
31
⎧ ⎪ ⎪ ⇒ ⎨
′
3
2
3
′ 2 e , f
′ 2 e , e
0
<
> + α <
> =
32
⎧< ⎪ ⎨ ⎪⎩
32
′
2
′ 1 e , f ′ ′ 1 1 e , e ′ 2 e , f ′ 2 e , e
< <
> >
⎪α = − ⎪ ⎩
Tiếp tục quá trình này
ek′ = fk + αk1e1′ + αk2e2′ +…+ αkk – 1ek′ sao cho
k
, j = 1, 2,..., k – 1.
α = jk
′ j
′ j e , f ′ j e , e
< <
> >
j'
e
j
e
, j
1, 2,..., n.
tắc
=
=
′ j
a
Bước 2: Từ hệ cơ sở trực giao {e1, e2,…, en}, ta xây dựng cơ sở trực chuẩn theo quy
111
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid
8.2.2. Không gian hình học Euclid
8.2.2.1. Khái niệm
của E thỏa mãn hai tiên đề
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) nếu như mỗi cặp (M × N) ∈ U × U ứng với một véc tơ MN
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (1) MN NP MP, M, N, P U
∈
=
+
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
.
(cid:71) ∈ E, tồn tại duy nhất N ∈ U để MN a=
∀ (cid:71) (2) Với mỗi M ∈ U và a
Định nghĩa 8.3: Tập U ≠ ∅ được gọi là không gian hình học Euclid n chiều trên E
Khi U là không gian hình học Euclid thì các phần tử của U gọi là các điểm. Định nghĩa 8.4: (1) U là không gian hình học Euclid tựa trên E, O là một điểm của U. f 1, f 2,…, f n là một cơ sở trực chuẩn của E thì bộ {O, (f 1, f 2,…, f n)} được gọi là hệ tọa độ trực chuẩn của U với gốc tọa độ O.
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (2) Theo hệ tọa độ trực chuẩn trên, mỗi điểm M ∈ U sẽ tương ứng với véc tơ OM
của theo cơ sở f 1, f 2,…, f n của E được gọi là tọa độ của điểm
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) E và tọa độ của véc tơ OM M theo hệ tọa độ {O, (f 1, f 2,…, f n)} , ta viết M(x1, x2,…, xn). Ví dụ: Ta xét minh họa cho hai phần của định nghĩa trên:
x3
x2
(cid:71) j
(cid:71) k
x2
(cid:71) j
(cid:71) i
O
O
x1
x1
(cid:71) i
(b)
(a)
Hình 8.1
(cid:71) (cid:71) (1) Hệ tọa độ trong mặt phẳng gốc O là bộ {O, i, j}
(cid:71) (cid:71) trong đó i , j
là hai véc tơ đơn vị
vuông góc (xem Hình 8.1(a)).
x
=
+
x = (x1, x2) có biểu diễn duy nhất
(cid:71) x i 1
(cid:71) x j 2
. (cid:71) (cid:71) (cid:71)
(2) Hệ tọa độ trong không gian gốc O là bộ {O, (i, j, k)}
(cid:71) (cid:71) (cid:71) trong đó i , j, k
là ba véc tơ
đơn vị trong không gian từng đôi một vuông góc (xem Hình 8.1(b)).
8.2.2.2. Đường thẳng và mặt phẳng
Một đường thẳng trong mặt phẳng có phương trình là
a1x1 + a2x2 = b
với a1, a2 không đồng thời bằng 0. Một mặt phẳng trong không gian ba chiều có phương trình là
a1x1 + a2x2 + a3x3 = b
112
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid
với a1, a2, a3 không đồng thời bằng 0. Trong không gian n chiều, một siêu phẳng có phương trình
a1x1 + a2x2 +…+ anxn = b
với a1, a2,…, an không đồng thời bằng 0.
8.2.2.3. Đường cong và mặt cong
Các đường Conic trong mặt phẳng là các đường cong bậc 2 có phương trình tổng quát
ax
bx
dx
ex
f
+
+
+
+
+
= 0
2 1
2 2
cx x 1
2
1
2
với a2 + b2 + c2 ≠ 0. Các mặt cong bậc 2 trong không gian ba chiều có phương trình tổng quát
ax
bx
cx
d
+
+
+
+
+
+
+
+
+
= 0
2 1
2 2
2 3
a x x 1 1
2
b x x 1 1 3
c x x 1 2
3
a x 2 1
b x 2
2
c x 3
3
với a, b, c, a1, b1, c1 không đồng thời bằng 0.
8.2.2.4. Phép biến đổi trực giao
Định nghĩa 8.5: Phép biến đổi tuyến tính f trong không gian Euclid E được gọi là phép biến đổi trực giao nếu nó bảo toàn tích vô hướng của hai véc tơ, tức là
Tính chất: (1) Phép biến đổi trực giao bảo toàn độ dài véc tơ. (2) Phép biến đổi trực giao bảo toàn góc giữa hai véc tơ. (3) Mọi phép biến đổi tuyến tính bảo toàn độ dài véc tơ đều là phép biến đổi trực giao. (4) Phép biến đổi tuyến tính f là trực giao khi và chỉ khi nó biến đổi mọi cơ sở trực chuẩn của E thành một cơ sở trực chuẩn.
(1) A =
a b c d
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
là ma trận trực giao khi và chỉ khi
2
2
Định nghĩa 8.6: Ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao nếu AA′ = E. Tính chất: Phép biến đổi tuyến tính f trong không gian Euclid E là phép biến đổi trực giao khi và chỉ khi ma trận của nó trong một cơ sở trực chuẩn là trực giao. Hệ quả: Ma trận chuyển từ cơ sở trực chuẩn này sang cơ sở trực chuẩn khác là một ma trận trực giao. Ngược lại, mọi ma trận trực giao đều có thể coi là ma trận chuyển từ cơ sở này sang một cơ sở trực chuẩn khác. Ví dụ:
a b 1 + =
E
=
a b c d
a c b d
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
2
2
ac bd 0 =
c d 1 + = ⎧ ⎪ ⇔ + ⎨ ⎪ ⎩
Từ đó rút ra
= 1
A trong đó a2 + b2 a b b a ⎛ = ⎜ −⎝ ⎞ ⎟ ⎠
113
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid
= 1 nên tồn tại ϕ để
Do đó a2 + b2
=
a cos ϕ b = sin . ϕ ⎧ ⎨ ⎩
Vì vậy, A trực giao khi và chỉ khi
(*) A cos ϕ sin − ϕ sin ϕ cos ϕ ⎛ = ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠
(2) Giả sử f là phép biến đổi trực giao trong không gian véc tơ Euclid bao gồm các véc tơ trong mặt phẳng tương ứng với ma trận (*) theo một cơ sở trực chuẩn nào đó. Khi đó, phép quay tâm O bởi f: (O, f) trong mặt phẳng chính là phép quay tâm O với góc quay ϕ:
x = x′cosϕ – y′sinϕ
y = x′sinϕ + y′sinϕ.
8.2.3. Đưa đường (mặt) bậc hai ở dạng toàn phương về dạng trục chính
Bài toán: Giả sử S là một đường (mặt) bậc hai trong không gian hình học Euclid n chiều U tựa trên E. Giả sử trong hệ tọa độ trực chuẩn {O, e1, e2,…, en)}, S có phương trình là
[x1, x2,…, xn]A[x1, x2,…, xn]′ = c.
Trong đó A là ma trận đối xứng thực cấp n × n và c là hằng số. Giải bài toán trên phải nhờ đến kết quả sau Định lý 8.5: Nếu A là ma trận thực đối xứng cấp n thì A có các tính chất sau: (1) Phương trình đặc trưng ⏐A – λE⏐ = 0 có n nghiệm thực kể cả nghiệm bội.
k
d
(2) Giả sử λ1, λ2,..., λk là k nghiệm phân biệt của phương trình đặc trưng có số bội tương
i
λ là các không gian con tương ứng
2
n
λ 1
ứng là d1, d2,..., dk: E , E ,..., E λ
∑ = n và nếu
i 1 =
λ trực giao từng đôi một.
λ 1
2
n
1
1
của toán tử tuyến tính f trong không gian Euclid n chiều nhận A làm ma trận của nó thì dim Eλ = di, i = 1, 2,..., k, đồng thời các E , E ,..., E λ
1
Dựa vào Định lý 8.5, ta có thể giải bài toán nêu trên theo các bước sau: Bước 1: Giải phương trình đặc trưng ⏐A – λE⏐ = 0, tìm ra các nghiệm khác nhau λ1, λ2,..., λk tương ứng với các số bội là d1, d2,..., dk. Bước 2: Coi A là ma trận của toán tử tuyến tính f trong không gian Euclide E theo cơ sở trực chuẩn e1, e2,..., en. Từ mỗi cơ sở của không gian con Eλ , dùng phương pháp Eλ một cơ sở trực chuẩn (i = 1, 2,..., k). Kết quả là tìm được
t
t
...
t
11
1n
t
12 t
...
t
Gram – Smidt ta tìm cho cho toán tử f đủ n véc tơ riêng f 1, f 2,..., f n lập thành một cơ sở trực chuẩn của E. Bước 3: Lập ma trận chuyển T từ cơ sở e1, e2,..., en sang cơ sở f 1, f 2,..., f n và giả sử
21 ...
22 ...
...
2n ...
t
t
...
t
n1
n 2
nn
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
T =
114
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid
′ ′ (x , x ,..., x ) n 2 ′ 1
n
2
c.
=
′λ x i i
Khi đó, T là ma trận trực giao, đồng thời nếu điểm M ∈ U có tọa độ (x1, x2,…, xn) trong hệ tọa độ {O, e1, e2,…, en)} thì M sẽ có tọa độ là = [x1, x2,…, xn].T trong hệ tọa độ {O, (f 1, f 2,…, f n)}. Bước 4: Trong hệ tọa độ O, (f1, f2,…, fn)} phương trình của S là
∑
i 1 =
Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ trực chuẩn {O, (e1, e2)}, đường cong S có phương trình
2 1
2
2 2
5x 8x 36 . − + = 4x x 1
x
2
−
1
36.
=
S : [x , x ] 1 2
2 8
x
2
5 ⎛ ⎜ −⎝
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
Hãy tìm một tọa độ trực chuẩn gốc O để trong hệ tọa độ đó S có phương trình ở dạng trục chính. Giải:
t
2t
0
−
=
5 2 Phương trình 0 = có 2 nghiệm là λ1 = 4 và λ2 = 9. − 8 − λ 2 − − λ
2 4t
0
1 2t −
+
=
1
2
⎧ ⎨ ⎩
• λ1 = 4 ⇒
4t
2t
0
−
−
=
1
, ⇔ t1 – 2t2 = 0 có nghiệm cơ bản là (2, 1) hay nghiệm cơ bản trực chuẩn là 2 5 1 5 ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠
2
2t
t
0
−
−
2 =
1
2
⎧ 9 λ = ⇒ ⎨ ⎩
•
, . ⇔ 2t1 + t2 = 0 và có nghiệm cơ bản trực chuẩn là 1 5 2 5 ⎛ −⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠
2
′ 1 e
1 e
Ta có hệ tọa độ cần tìm là {O, (e1′, e2′) với
2
′ 2
e = + − 2 5 1 5 ⇔ (e1′, e2′) = (e1, e2)
1 e
e e = − + 2 5 1 5 1 5 2 5 1 5 2 5 ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
Và trong hệ tọa độ này, phương trình của S là
2 ′ 1
2 ′ 2
2 ′ x 1 ⇔ + 9
2 ′ x 2 4
4x 9x 36 1 + = = → elip
Ma trận đổi biến là
T =
2 5 1 5 1 5 2 5 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ −⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
115
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid
Chú ý: Vì T là ma trận trực giao nên ta có
cos ϕ =
ϕ = 2 5 1 5 ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ sin ⎪⎩
với cos2ϕ + sin2ϕ = 1. Đó là một phép quay trục một góc ϕ. Có trường hợp ta còn phải làm phép tịnh tiến. Ví dụ: Hãy nhận dạng đường cong phẳng S
2 1
2
2 2
1
2
5x 8x x x 4 − + + − + = . 0 4x x 1 20 5 80 5
Giải
− , Xét A , K = 2 − 8 20 5 80 5 ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ 5 ⎛ = ⎜ 2 −⎝ ⎞ ⎟ ⎠
Ta có
T =
2 5 1 5 1 5 2 5 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ −⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
2 ′ . 2
và ta đã có các nghiệm của phương trình đặc trưng λ1 = 4, λ2 = 9 để làm các hệ số cho 2 x , x′ 1
* Tìm các hệ số của x , x′ 1 ′ . 2
Ta có
−
T.K ′ = = = 8 −⎛ ⎜ 36 − ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ − − − − 40 5 20 5 80 5 160 5 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 2 5 1 5 1 5 2 5 20 5 80 5 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
Vì vậy, ta có phương trình của S:
2 ′ 1
2 ′ 2
4x 9x 8x 36x 4 + − − + = 0 ′ 1 ′ 2
2 ′ 1
2 ′ 2
2
2
4(x 2x 1) 9(x 4x 4) 4 36 ⇔ − + + − + = + ′ 1 ′ 2 4 −
1
−
4(x 1) 9(x 2) 36 ⇔ − + − = ′ 1 ′ 2
X 1 X
2
−
2
′= x 1 ′= x 2
⎧ ⎨ ⎩
Đặt
Ta có phương trình
2 4X 1
2 2
2 X 1 9
2 X 2 4
9X 36 + = ⇔ + = . 1
Đây là elip.
116
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn {O, (e1, e2, e3)}, mặt cong S có phương trình
2 1
2 2
2 3
2
3
2x 2x 3x 16. + + − − = 2x x 1 2x x 2
Hãy tìm hệ tọa độ trực chuẩn gốc O để S có phương trình ở dạng trục chính và xác định phép biến đổi cùng với dạng trục chính đó. Giải: Ta có ma trận đối xứng của S là
2 0 1 −
A =
2 1 1 − 3 0 1 − − ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
Phương trình đặc trưng của A có 3 nghiệm phân biệt
• λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 4.
1
0 t t = −
3 t
0 = • λ1 = 1 ⇒
1
3
2
2t 0 + = ⎧ 3 ⎪ t t − ⎨ 2 ⎪− − t ⎩
, , . và dễ dàng thấy rằng nghiệm cơ bản trực chuẩn của hệ là 1 3 1 3 1 3 ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠
• λ2 = 2. Tương tự ta cũng tìm được nghiệm cơ bản trực chuẩn của hệ phương trình
, , 0 . tương ứng là − 1 2 1 2 ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠
, , . − • λ3 = 4. Véc tơ nghiệm là 1 6 1 6 2 6 ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠
Ta nhận được ma trận đổi biến là
T = − 1 2 1 2
0 − 1 3 1 3 1 3 1 6 1 6 2 6 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1
2
3
f
1 e
e
e
=
+
+
1 3
2
2
f
1 e
e
=
−
3
2
3
f
1 e
e
e
=
+
−
1 3 1 2 1 6
1 3 1 2 1 6
2 6
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
Hệ tọa độ cần tìm {O, (f 1, f 2, f 3)} với (f 1, f 2, f 3) = (e1, e2, e3)T, tức là
117
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid
Trong hệ tọa độ mới {O, (f 1, f 2, f 3)}, phương trình của S là
2 ′ 1
2 ′ 2
2 ′ 3
2 ′ x 1 ⇔ + 16
2 ′ x 2 8
2 ′ x 3 4
+ 1 = x 2x 4x 16 + + =
Đó là một elipsoit có các bán trục là 4, 8 và 2.
8.3.
Ý nghĩa hình học của phương trình
Ta thấy rằng mỗi mặt cong trong không gian xem như quỹ tích của các điểm, có thể biểu diễn bởi phương trình giữa các tọa độ những điểm của nó. Ngược lại, mỗi phương trình giữa những biến số x, y, z nói chung xác định một mặt cong xem như quỹ tích của những điểm có tọa độ x, y, z thỏa mãn phương trình đó. Do những điều đã biết, ta thấy có hai bài toán cơ bản: (1) Cho một mặt cong xem như quỹ tích của các điểm, thành lập phương trình của mặt đó. (2) Cho phương trình giữa các tọa độ x, y, z khảo sát dạng của mặt cong xác định bởi phương trình này.
118
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid
TÓM LƯỢC CUỐI BÀI
Các bạn đã được học về Dạng song tuyến tính – Dạng toàn phương và không gian Euclid.
Các bạn cần ghi nhớ các vấn đề sau:
• Khái niệm về dạng song tuyến tính và dạng toàn phương.
• Biết cách đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng hai phương pháp: Phương pháp
Lagrange, phương pháp Jacobi và tiêu chuẩn Sylvester.
• Khái niệm về không gian Euclid, hệ trực giao và hệ trực chuẩn.
• Biết cách đưa đường mặt bậc hai ở dạng toàn phương về dạng trục chính.
• Giải được các bài tập.
119
Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid
BÀI TẬP
2 1
1
2
2 2
1. Đưa dạng toàn phương f (x, x) 27x 10x x 3x về dạng chính tắc bằng phương pháp = − +
trực chuẩn hóa.
2. Đưa dạng toàn phương
2 1
2 2
2 3
2
3
f 6x 3x 3x = + + + + − 4x x 1 4x x 1 3 8x x 2
về dạng chính tắc.
3. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phép biến đổi tuyến tính
(1) 17x2 + 12xy + 8y2 – 46x – 28y + 17 = 0
4. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
(1) f = 2x1x2 – 6x2x3 + 2x3x1
5. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp Lagrange
2 1
2
2 2
2 3
. f (x, x) 2x x x = + + + + 3x x 1 4x x 1 3
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
1. Họ nào dưới đây là cơ sở trong (cid:92)2 ?
A. (2, 0), (3, 0) B. (4, 1), (–7, –8)
C. (0, 0), (1, 3) D. (3, 9), (–4, –12).
2. Xét u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) ∈ (cid:92)3. Hỏi biểu thức nào dưới đây có thể là tích vô hướng
trong (cid:92)3?
2 2 u v 1 1
2 u v 2
2 2
2 u v 3
2 3
+ + A.
C. =
