Toán học căn bản - Phần 7

Chöông 1: CAÊN BAÄC HAI – CAÊN BAÄC BAI

- Caên baäc hai cuûa moät soá a khoâng aâm laø soá x sao cho x2=a - Soá ñöông a coù ñuùng hai caên baäc hai laø hai soá ñoái nhau: soá döông kyù hieäu laø a soá aâm kyù

0

§1 CCAAÊÊNN BBAAÄÄCC HHAAII - Caên baäc hai soá hoïc: hieäu laø - a - Soá 0 coù ñuùng moät caên baäc hai laø chính soá 0, ta vieát 0 =0 Ñònh nghóa: vôùi soá döông a, soá a ñöôïc goïi laø caên baäc hai soá hoïc cuûa a. Soá 0 ñöôïc goïi laø caên baäc hai soá hoïc cuûa 0 x

a

x ≥⎧ 2

x

a

=

= a

(

0 )

≥

⇔ ⎨ ⎩

a b ,

0,

a b

a

b

≥

< ⇔ <

2A

A=

So saùnh caùc caên baäc hai soá hoïc: Ñònh lí : vôùi hai soá a vaø b khoâng aâm ta coù:

CAÊN THÖÙC BAÄC HAI - HAÈNG ÑAÚNG THÖÙC

0A⇔ ≥

2A

A coù nghóa (xaùc ñònh) A=

§2 - Caên thöùc baäc hai: vôùi A laø moät bieåu thöùc ñaïi soá, ngöôøi ta goïi A laø caên thöùc baäc hai cuûa A, coøn A goïi laø bieåu thöùc laáy caên hay bieåu thöùc döôùi daáu caên.

2

,a

a

a

∀

=

2A

A=

Haèng ñaúng thöùc:

.

(

0,

0)

b

ab

a b a

=

≥

≥

hay vieát taéc

0,

0;

a

b

≥

>

=

*Ñònh lí : vôùi moïi a ta coù §3 LIEÂN HEÄ GIÖÕA PHEÙP NHAÂN VAØ PHEÙP KHAI PHÖÔNG Ñònh lí: Quy taéc: muoán khai phöông moät tích cuûa caùc soá khoâng aâm, ta coù theå khai phöông töøng thöøa soá roài nhaân keát quaû laïi vôùi nhau. - Muoán nhaân caùc caên baäc hai cuûa caùc soá khoâng aâm, ta coù theå nhaân caùc soá döôùi daáu caên vôùi nhau roài khai phöông keát quaû ñoù §4 LIEÂN HEÄ GIÖÕA PHEÙP CHIA VAØ PHEÙP KHAI PHÖÔNG

a b

a b

A B

A B

2 A B

=

Ñònh lí:vôùi soá a khoâng aâm vaø soá b ñöông ta coù:

A B

⎧⎪ = ⎨ −⎪⎩

- Qui taéc khai phöông moät thöông: muoán khai phöông moät thöông a/b trong ñoù a laø soá khoâng aâm b laø soá döông, ta coù theå khai phöông laàn löôït soá a vaø soá b , roài laáy keát quaû thöù nhaát chia cho keát quaû thöù hai. - Muoán chia caên baäc hai cuûa soá a khoâng aâm cho caên baäc hai cuûa soá b döông, ta coù theå chia soá q cho soá b roài khai phöông keát quaû ñoù. §5 BAÛNG CAÊN BAÄC HAI §6 BIEÁN ÑOÅI ÑÔN GIAÛN BIEÅU THÖÙC CHÖÙA CAÊN BAÄC HAI - Ñöa thöøa soá ra ngoaøi daáu caên: A,B laø bieåu thöùc B ≥ 0 Neáu A ≥ 0 Neáu A<0

=

2 A B 2 A B

A B

= −

- Ñöa thöøa soá vaøo trong daáu caên: A,B laø bieåu thöùc B ≥ 0 A B

Neáu A ≥ 0 Neáu A<0

A B ,

0

B≥ 0;

=

≠ ta coù

A B

AB B

- Khöû maãu cuûa bieåu thöùc laáy caên: Toång quaùt: A,B: bieåu thöùc

)

C

=

- Truïc caên thöùc ôû maãu

BAC ( m 2 BA −

BA ±

)

C

B

=

- vôùi caùc bieåu thöùc A,B,C maø A ≥ 0 vaø A ≠ B2 ta coù:

AC ( m BA −

A

B

±

- vôùi caùc bieåu thöùc A,B,C maø A ≥ 0 B ≥ 0 vaø A ≠ B ta coù:

3

3

3

3

3

3

a a b

a

b b

a b c

b

< ⇔ <

=

≠

)

)

)

(

0)

3

a b

a b

§6 RUÙT GOÏN BIEÅU THÖÙC CHÖÙA CAÊN THÖÙC BAÄC HAI §7 CAÊN BAÄC BA Khaùi nieäm caên baäc ba: Caên baäc ba cuûa moät soá a laø soá x sao cho x3=a Kí hieäu: 3 a soá 3 laø chæ soá caên

Chöông II: HAØM SOÁ BAÄC NHAÁT §1 NHAÉC LAÏI VAØ BOÅ SUNG CAÙC KHAÙI NIEÄM HAØM SOÁ

- Khaùi nieäm: neáu ñaïi löôïng y phuï thuoäc vaøo ñaïi löôïng thay ñoåi x sao cho vôùi moïi giaù trò thay

ñoåi x, ta luoân xaùc ñònh ñöôïc chæ moät giaù trò töông öùng cuûa y thì y ñöôïc goïi laø haøm soá cuûa x, vaø x ñöôïc goïi laø bieán soá. + Khi y laø haøm soá caûu x, tac où theå vieát y=f(x), y=g(x)… + Khi x thay ñoåi maø y luoân nhaän moät giaù trò khoâng ñoåi thì haøm soá y ñöôïc goïi laø haøm haèng.

- Ñoà thò haøm soá: taäp hôïp taát caû caùc ñieåm bieåu dieãn caùc caëp giaù trò töông öùng (x; f(x)) treân maët

phaúng toïa ñoä ñöôïc goïi laø ñoà thò haøm soá y=f(x). - Haøm soá ñoàng bieán, nghòch bieán: + Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh vôùi moïi giaù trò x thuoäc R.

(cid:131) Neáu giaù trò cuûa bieán x taêng leân maø giaù trò töông öùng f(x) cuõng taêng leân thì haøm soá y=f(x)

ñöôïc goïi laø haøm soá ñoàng bieán treân R.

(cid:131) Neáu giaù trò cuûa bieán x taêng leân maø giaù trò töông öùng f(x) laïi giaûm ñi thì haøm soá y=f(x) ñöôïc

goïi laø haøm soá nghòch bieán treân R.

(cid:131) Hay noùi caùch khaùc: vôùi x1, x2 baát kyø thuoäc R

Neáu x1< x2 maø f(x1) < f(x2) thì haøm soá y=f(x) ñoàng bieán treân R. Neáu x1< x2 maø f(x1) > f(x2) thì haøm soá y=f(x) nghòch bieán treân R.

§2 HAØM SOÁ BAÄC NHAÁT - Khaùi nieäm: haøm soá baäc nhaát laø haøm soá cho bôûi coâng thöùc y = ax + b trong ñoù a,b laø caùc soá cho tröôùc vaø a ≠ 0 - Tính chaát: haøm soá baäc nhaát y = ax + b xaùc ñònh vôùi moïi giaù trò x thuoäc R vaø coù tính chaát sau:

(cid:131) Ñoàng bieán treân R, khi a > 0 (cid:131) Nghòch bieán treân R, khi a < 0 §3 ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ y = ax + b (a ≠ 0) - Ñoà thò haøm soá y = ax + b (a ≠ 0) laø moät ñöôøng thaúng:

• Caét truïc tung taïi ñieåm coù tung ñoä baèng b. • Song song vôùi ñöôøng thaúng y = ax, neáu b ≠ 0 ; vaø truøng vôùi ñöôøng thaúng y = ax neáu b = 0.

- Caùch veõ ñoà thò:

• Khi b=0 thì y=ax, ñoà thò cuûa haøm soá y=ax laø moät ñöôøng thaúng ñi qua goác toïa ñoä O(0;0) vaø

ñieåm A(1;a)

• Tröôøng hôïp y = ax + b vôùi a ≠ 0 vaø b ≠ 0. ñeå veõ ñoà thò ta caàn xaùc ñònh 2 ñieåm

- cho x = 0 thì y=b ta ñöôïc ñieåm P(0;b) thuoäc truïc Oy - cho y=0 thì x=-b/a, ta ñöôïc ñieåm Q(-b/a; 0) thuoäc truïc hoaønh Ox.

Töø ñoù ta veõ ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm P, Q ta ñöôïc ñoà thò cuûa haøm soá y = ax + b

§4 ÑÖÔØNG THAÚNG SONG SONG VAØ ÑÖÔØNG THAÚNG CAÉT NHAU - Ñöôøng thaúng song song: hai ñöôøng thaúng y = ax + b (a ≠ 0) vaø y = a’x + b’(a’ ≠ 0) song song vôùi nhau khi vaø chæ khi a= a’;b ≠ b’ vaø truøng nhau khi vaø chæ khi a= a’;b = b’ - Ñöôøng thaúng caét nhau: hai ñöôøng thaúng y = ax + b (a ≠ 0) vaø y = a’x + b’(a’ ≠ 0) nhau khi vaø chæ khi a≠ a’ §5 HEÄ SOÁ GOÙC CUÛA ÑÖÔØNG THAÚNG y = ax + b (a ≠ 0) Ta coù a laø heä soá goùc cuûa ñöôøng thaúng y = ax + b. Caùc ñöôøng thaúng coù cuøng heä soá goùc a thì taïo vôùi truïc Ox caùc goùc baèng nhau.

c

- Vôùi a> 0 thì goùc taïo bôûi ñöôøng thaúng y = ax + b vaø truïc Ox laø goùc nhoïn. - Vôùi a< 0 thì goùc taïo bôûi ñöôøng thaúng y = ax + b vaø truïc Ox laø goùc tuø .

by '

)2('

)1( c

- Heä hai phöông trình baäc nhaát hai aån coù daïng: . neáu hai phöông trình treân coù

Chöông III: HEÄ HAI PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅN §1 PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅN - Khaùi nieäm: Phöông trình baäc nhaát hai aån x vaø y laø heä thöùc coù daïng: ax + by =c trong ñoù a,b,c laø caùc soá ñaõ bieát (a ≠ 0 hoaëc b ≠ 0). - Neáu giaù trò veá traùi taïi x = x0 vaø y = y0 baèng veá phaûi thì caëp soá (x0 ,y0) ñöôïc goïi laø moät nghieäm cuûa phöông trình. - Taäp nghieäm cuûa phöông trình baäc nhaát hai aån: phöông trình baäc nhaát hai aån ax + by =c luoân luoân coù voâ soá nghieäm, taäp nghieäm cuûa noù ñöôïc bieåu dieãn bôûi ñöôøng thaúng ax + by =c §2 HEÄ HAI PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅN ax + = ybxa ' +

=

⎧ ⎨ ⎩

+ Phöông trình (1) ñöôïc bieåu dieãn treân ñoà thò laø ñöôøng thaúng d1 + Phöông trình (2) ñöôïc bieåu dieãn treân ñoà thò laø ñöôøng thaúng d2 Vaäy ta coù caùc tröôøng hôïp: - Neáu d1 caét d2 thì phöông trình coù moät nghieäm. - Neáu d1 song song d2 thì phöông trình voâ nghieäm. - Neáu d1 truøng d2 thì phöông trình coù voâ soá nghieäm.

nghieäm chung (x0 ,y0) thì (x0 ,y0) ñöôïc goïi laø moät nghieäm cuûa heä. - Hai heä phöông trình ñöôïc goïi laø töông ñöông neáu chuùng coù cuøng taäp nghieäm. §3 GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP THEÁ Caùch giaûi: - duøng quy taéc bieán ñoåi heä phöông trình ñaõ cho ñeå ñöôïc moät heä phöông trình môùi, trong ñoù coù moät phöông trình coù moät aån. - Giaûi phöông trình moät aån vöøa coù, roài suy ra nghieäm phöông trình ñaõ cho. §4 GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP COÄNG Caùch giaûi:

- Nhaân hai veá phöông trình vôùi moät soá thích hôïp (neáu caàn) sao cho caùc heä soá cuûa moät aån naøo

ñoù trong hai phöông trình cuûa heä baèng nhau hoaëc ñoái nhau.

- AÙP duïng quy taéc coäng ñaïi soá ñeå ñöôïc moät phöông trình môùi, trong ñoù coù moät phöông trình

maø heä soá cuûamot65 trong hai aån baèng 0 ( töùc laø phöông trình moät aån)

- Giaûi heä phöông trình moät aån vöøa thu ñöôïc roài suy ra nghieäm cuûa heä phöông trình ñaõ cho.

§5 GIAÛI BAØI TOAÙN BAÈNG CAÙCH LAÄP HEÄ PHÖÔNG TRÌNH Chöông IV: HAØM SOÁ y= ax2 (a ≠ 0). PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI MOÄT AÅN §1 HAØM SOÁ y= ax2 (a ≠ 0) - Tính chaát haøm soá y= ax2 (a ≠ 0).

• Neáu a > 0 thì haøm soá nghòch bieán khi x < 0 vaø ñoàng bieán khi x > 0. • Neáu a < 0 thì haøm soá ñoàng bieán khi x < 0 vaø nghòch bieán khi x > 0.

* Neáu a>0 thì y> 0 vôùi moïi x≠ 0; y=0 khi x=0. giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá laø y=0. * Neáu a<0 thì y< 0 vôùi moïi x≠ 0; y=0 khi x=0. giaù trò lôùn nhaát cuûa haøm soá laù y=0. §2 ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ y= ax2 (a ≠ 0) - Ñoà thò haøm soá y= ax2 (a ≠ 0) laø moät ñöôøng cong ñi qua goác toïa ñoä vaø nhaän truïc Oy laøm truïc ñoái xöùng. Ñöôøng cong ñoù ñöôïc goïi laø moät parapol vôùi ñænh O.

b

b

• Neáu a>0 thì ñoà thò naèm treân truïc hoaønh, O laø ñieåm thaáp nhaát cuûa ñoà thò. • Neáu a<0 thì ñoà thò naèm döôùi truïc hoaønh, O laø ñieåm cao nhaát cuûa ñoà thò.

∆−− 2 a

• Neáu ∆ >0 thì phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät: x1= ; x2= §3 PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI MOÄT AÅN. - Ñònh nghóa: phöông trình baäc hai moät aån laø phöông trình coù daïng: ax2 + bx + c = 0 ; Trong ñoù x laø aån; a,b,c laø nhöõng soá cho tröôùc goïi laø caùc heä soá vaø a ≠ 0 §4 COÂNG THÖÙC NGHIEÄM CUÛA PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI. - Ñoái vôùi phöông trình ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) vaø bieät thöùc ∆= b2- 4ac ∆+− 2 a

b − 2 a

• Neáu ∆ =0 thì phöông trình coù nghieäm keùp x1= x2 =

• Neáu ∆ <0 thì phöông trình voâ nghieäm

b

'

'

' ∆+− a

' ∆−− a

Hay ta coù coâng thöùc nghieäm thu goïn: - Ñoái vôùi phöông trình ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) vaø b=2b’ ; bieät thöùc ∆’= b’2- ac b • Neáu ∆ >0 thì phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät: x1= ; x2=

b'− a

• Neáu ∆ =0 thì phöông trình coù nghieäm keùp x1= x2 =

• Neáu ∆ <0 thì phöông trình voâ nghieäm

x

+

−=

x 1

2

b a

§5 HEÄ THÖÙC VI-EÙT VAØ ÖÙNG DUÏNG

=

xx 1

2

c a

⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

- Neáu x1; x2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) thì

Tìm hai soá khi bieát toång vaø bieát tích cuûa chuùng: Neáu hai soá coù toång baèng S vaø tích baèng P thì hai soá ñoù laø nghieäm cuûa phöông trình x2 – Sx +P =0 (ñieàu kieän ñeå coù hai soá laø S2-4P≥0 §6 PHÖÔNG TRÌNH QUY VEÀ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI - Phöông trình truøng phöông: ax4 + bx2 + c = 0(a ≠ 0) ; ñeå giaûi phöông trình naøy ta ñaët t = x2 thì phöông trình trôû thaønh at2 + bt + c = 0, töø ñoù ta giaûi phöông trình theo t roài suy ra giaù trò cuûa x §7 GIAÛI BAØI TOAÙN BAÈNG CAÙCH LAÄP PHÖÔNG TRÌNH