Toán học căn bản - Phần 8

Chia sẻ: Từ Văn Toàn | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

189
lượt xem 66
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'toán học căn bản - phần 8', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán học căn bản - Phần 8

Chöông I: HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC VUOÂNG §1 MOÄT SOÁ HEÄ THÖÙC VEÀ CAÏNH VAØ ÑÖÔØNG CAO TRONG TAM GIAÙC VUOÂNG - Heä thöùc giöõa caïnh goùc vuoâng vaø hình chieáu cuûa noù treân caïnh huyeàn: + Ñònh lyù 1: trong moät tam giaùc vuoâng, bình phöông moãi caïnh goùc vuoâng baèng tích cuûa caïnh huyeàn vaø hình chieáu cuûa caïnh goùc vuoâng ñoù treân caïnh huyeàn - Moät soá heä thöùc lieân quan ñeán ñöôøng cao: + Ñònh lyù 2: trong moät tam giaùc vuoâng, bình phöông ñöôøng cao öùng vôùi caïnh huyeàn baèng tích hai hình chieáu cuûa hai caïnh goùc vuoâng ñoù treân caïnh huyeàn. + Ñònh lyù 3:trong moät tam giaùc vuoâng, tích hai caïnh goùc vuoâng baèng tích cuûa caïnh huyeàn vaø ñöôøng cao töông öùng. + Ñònh lyù 4:trong moät tam giaùc vuoâng, nghòch ñaûo cuûa bình phöông ñöôøng cao öùng vôùi caïnh huyeàn baèng toång caùc nghòch ñaûo cuûa bình phöông hai caïnh goùc vuoâng A 1 1 1 = + h2 b2 c2 c h b §2 TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN C - Trong tam giaùc vuoâng ta coù: B c' H b' C - Tæ soá giöõa caïnh ñoái vaø caïnh huyeàn ñöôïc goïi laø sin cuûa goùc α, kyù hieäu sin α a - Tæ soá giöõa caïnh keà vaø caïnh huyeàn ñöôïc goïi laø coâsin cuûa goùc α, kyù hieäu cos α - Tæ soá giöõa caïnh ñoái vaø caïnh keà ñöôïc goïi laø tang cuûa goùc α, kyù hieäu tg α α - Tæ soá giöõa caïnh keà vaø caïnh ñoái ñöôïc goïi laø coâ tang cuûa goùc α, kyù hieäu cotg α A B Vaäy: Caïnh ñoái AC Caïnh keà AB sin α = = ; cos α = = Caïnh huyeàn BC Caïnh huyeàn BC Caïnh ñoái AC Caïnh keà AB tg α = = ; cotg α = = Caïnh keà AB Caïnh ñoái AC - Tæ soá löôïng giaùc cuûa hai goùc phuï nhau: Neáu α + β = 900 thì : sin α = cos β ; sin β = cos α tg α = cotg β ; tg β = cotg α Ñònh lí: neáu hai goùc phuï nhau thì sin goùc naøy baèng cos goùc kia vaø tang goùc naøy baèng cotang goùc kia : Ta coù baûng tæ soá löôïng giaùc cuûa caùc goùc ñaët bieät α 300 450 600 Tæ soá löôïng giaùc sinα 1 2 3 2 2 2 cosα 3 2 1 2 2 2 tgα 3 1 3 3 cotgα 3 3 1 3
§2 MOÄT SOÁ HEÄ THÖÙC VEÀ CAÏNH VAØ GOÙC TRONG TAM GIAÙC VUOÂNG Ñònh lí: trong tam giaùc vuoâng, moãi caïnh goùc vuoâng baèng: • Caïnh huyeàn nhaân vôùi sin goùc ñoái hoaëc nhaân vôùi cosin goùc keà. • Caïnh goùc vuoâng kia nhaân vôùi tang goùc ñoái hoaëc nhaân vôùi cotang goùc keà b = a . sinB = a.CosC A b = c. tgB = c. cotgC c = a. sinC = a. cosB b c c = b .tgC = b. cotgB B a C CHƯƠNG II: ĐƯỜNG TRÒN §1 SÖÏ XAÙC ÑÒNH ÑÖÔØNG TROØN. TÍNH CHAÁT ÑOÁI XÖÙNG CUÛA ÑÖÔØNG TROØN -Ñöôøng troøn taâm O baùn kình R (vôùi R>0) laø hình goàm caùc ñieåm caùch ñieåm O moät khoaûng R. - Kyù hieäu Ñöôøng troøn taâm O baùn kình R (vôùi R>0) laø: (O;R) - Caùch xaùc ñònh ñöôøng troøn: O R - Qua ba ñieåm khoâng thaúng haøng ta veõ ñöôïc moät vaø chæ moät ñöôøng troøn - Taâm ñoái xöùng: Ñöôøng troøn laø hình coù taâm ñoái xöùng. Taâm cuûa ñöôøng troøn laø taâm ñoái xöùng cuûa ñöôøng troøn ñoù. - Truïc ñoái xöùng: Ñöôøng troøn laø hình coù truïc ñoái xöùng. Baát kyø ñöôøng kính naøo cuõng laø truïc ñoái xöùng cuûa ñöôøng troøn. §2 ÑÖÔØNG KÍNH VAØ DAÂY CUNG CUÛA ÑÖÔØNG TROØN - So saùnh ñoä daøi cuûa ñöôøng kính vaø daây: + Ñònh lyù 1: trong caùc daây cuûa moät ñöôøng troøn, daây lôùn nhaát laø ñöôøng kính. - Quan heä vuoâng goùc giöõa ñöôøng kính vaø daây: + Ñònh lyù 2: trong moät ñöôøng troøn, ñöôøng kính vuoâng goùc vôùi daây thì ñi qua trung ñieåm cuûa daây aáy. + Ñònh lyù 3: trong moät ñöôøng troøn, ñöôøng kính ñi qua trung ñieåm cuûa moät daây khoâng ñi qua taâm thì vuoân goùc vôùi daây aáy. §3 LIEÂN HEÄ GIÖÕA DAÂY VAØ KHOAÛNG CAÙCH TÖØ TAÂM ÑEÁN DAÂY A - Ñònh lyù 1: trong moät ñöôøng troøn. + Hai daây baèng nhau thì caùch ñeåu taâm. + Hai daây caùch ñeåu taâm thì baèng nhau. O - Ñònh lyù 2: trong hai daây cuûa moät ñöôøng troøn. + Daây naøo lôùn hôn thì daây ñoù gaàn taâm hôn. C I D + Daây naøo gaàn taâm hôn thì daây ñoù lôùn hôn . B §4 VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI GIÖÕA ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ ÑÖÔØNG TROØN - Ba vò trí töông ñoái cuûa ñöôøng thaúng vaø ñöôøng troøn: - Ñöôøng thaúng vaø ñöôøng troøn caét nhau: khi ñöôøng thaúng a vaø ñöôøng troøn (O) coù hai ñieåm chung A vaø B, ta noùi ñöôøng thaúng a vaø ñöôøng troøn (O) caét nhau. Ñöôøng thaúng a goïi laø caùt tuyeán. - Ñöôøng thaúng vaø ñöôøng troøn tieáp xuùc nhau: khi ñöôøng thaúng a vaø ñöôøng troøn (O) coù chæ coù moät ñieåm chung laø C, ta noùi ñöôøng thaúng a vaø ñöôøng troøn (O) tieáp xuùc nhau. Khi ñoù ñöôøng thaúng a laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (O). Ñieåm C goïi laø tieáp ñieåm.
a _ + Ñònh lyù: neáu moät ñöôøng thaúng laø tieáp tuyeán cuûa moät C _ ñöôøng troøn thì noù vuoâng goùc vôùi baøn kính ñi qua tieáp ñieåm. a _ a _ A _ O _ B _ H _ - Ñöôøng thaúng vaø ñöôøng troøn khoâng giao nhau: khi ñöôøng thaúng a vaø ñöôøng troøn (O) khoâng coù ñieåm chung, ta noùi ñöôøng thaúng a vaø ñöôøng troøn khoâng giao nhau - Heä thöùc khoaûng caùch töø taâm ñöôøng troøn ñeán ñöôøng thaúng vaø baùn kính cuûa ñöôøng troøn(O). Goïi d laø khoaûng caùch töø taâm ñeán ñöôøng thaúng a, R laø baùn kính ñöôøng troøn. Khi ñoù ta coù - Neáu ñöôøng thaúng a vaø ñöôøng troøn (O) caét nhau thì d< R - Neáu ñöôøng thaúng a vaø ñöôøng troøn (O) tieáp xuùc nhau thì d= R - Neáu ñöôøng thaúng a vaø ñöôøng troøn (O) khong giao nhau thì d> R §5 DAÁU HIEÄU NHAÄN BIEÁT TIEÁP TUYEÁN CUÛA ÑÖÔØNG TROØN - Daáu hieäu nhaän bieát tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn: - Ñònh lyù : Neáu moät ñöôøng thaúng ñi qua moät ñieåm cuûa ñöôøng troøn vaø vuoâng goùc vôùi baùn kính ñi qua ñi qua ñieåm ñoù thì ñöôøng thaúng aáy laø moät tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn. B §6 TÍNH CHAÁT CUÛA HAI TIEÁP TUYEÁN CAÉT NHAU - Ñònh lí veà hai tieáp tuyeán caét nhau: neáu hai tieáp tuyeán cuûa A moät ñöôøng troøn caét nhau thì: O • Ñieåm ñoù caùch ñeàu hai tieáp ñieåm. • Tia keû töø ñieåm ñoù ñi qua taâm laø tia phaân giaùc cuûa gcoù taïo bôûi hai tieáp tuyeán. C • Tia keû töø taâm ñi qua ñieåm ñoù laø tia phaân giaùc cuûa gcoù taïo bôûi hai baùn kính ñi qua caùc tieáp ñieåm - Ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc: Ñöôøng troøn tieáp xuùc vôùi ba caïnh cuûa moät tam giaùc goïi laø ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc, coøn tam giaùc goïi laø ngoaïi tieáp ñöôøng troøn. Taâm cuûa ñöôøng troøn noäi tieáp laø giao ñieåm caûu caùc ñöôøng phaân giaùc caùc goùc trong cuûa tam giaùc. E - Ñöôøng troøn baøn tieáp tam giaùc: Ñöôøng troøn tieáp xuùc vôùi moät caïnh cuûa C moät tam giaùc vaø tieáp xuùc vôùi caùc phaàn keùo daøi cuûa hai caïnh D kia goïi laø ñöôøng troøn baøng tieáp tam giaùc. Taâm cuûa ñöôøng A K troøn baøng tieáp tam giaùc trong goùc A laø giao ñieåm cuûa hai ñöôøng phaân giaùc caùc goùc ngoaøi taïi B vaø C B F §6 VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI CUÛA HAI ÑÖÔØNG TROØN - Ba vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng troøn: • Hai ñöôøng troøn coù hai ñieåm chung goïi laø hai ñöôøng troøn caét nhau. • Hai ñöôøng troøn chæ coù moät ñieåm chung goïi laø hai ñöôøng troøn tieáp xuùc nhau. • Hai ñöôøng troøn chæ khoâng coù ñieåm chung goïi laø hai ñöôøng troøn khoâng giao nhau - Tính chaát ñöôøng noái taâm: cho hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’) coù taâm khoâng truøng nhau. Ñöôøng thaúng OO’ goïi laø ñöôøng noái taâm, ñoaïn thaúng OO’ goïi laø ñoaïn noái taâm. -Ñònh lí: + Neáu hai ñöôøng troøn caét nhau thì hai giao ñoái xöùng nhau qua ñöôøng noái taâm, töùc laø ñöôøng noái taâm laø ñöôøng trung tröïc cuûa daây cung. + Neáu hai ñöôøng troøn tieáp xuùc nhau thì tieáp ñieåm naèm treân ñöôøng noái taâm. - Heä thöùc giöõa ñoaïn noái taâm vaø caùc baùn kính:
+ Xeùt hai ñöôøng troøn: (O;R) vaø (O’;r) trong ñoù R > r • Hai ñöôøng troøn tieáp xuùc nhau: OO’=R+r (tieáp xuùc ngoaøi) OO’=R-r (tieáp xuùc trong) • Hai ñöôøng troøn khoâng giao nhau: + Ñöôøng troøn (O) vaø (O’) naèm ngoaøi nhau thì: OO’> R+ r + Ñöôøng troøn(O’) naèm trong (O)thì : OO’< R+ r • Hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’) caét nhau thì : R+ r > OO’> R-r m A - Tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn laø ñöôøng thaúng tieáp xuùc vôùi hai ñöôøng troøn B α CHƯƠNG III: GOÙC VÔÙI ÑÖÔØNG TROØN §1 GOÙC ÔÛ TAÂM – SOÁ ÑO CUNG O - Goùc ôû taâm: goùc coù ñænh truøng vôùi taâm ñöôøng troøn goïi laø goùc ôû taâm n - cung naèm treân goùc goïi laø cung bò chaén. AmB goïi laø cung nhoû cuûa cung AB, C AnB goïi laø cung lôùn cuûa cung AB A - Soá ño cung: soá ño cung nhoû baèng soá ño cuûa goùc ôû taâm chaén cung ñoù. soá ño cung lôùn baèng hieäu giöõa 3600 vaø soá ño cung nhoû. O B - So saùnh hai cung: hai cung ñöôïc goïi laø baèng nhau neáu chuùng coù soâ ño baèng nhau. – Trong hai cung, cung naøo coù soá ño lôùn hôn thì cung ñoù lôùn hôn. - Khi naøo sñAB = sñAC + sñBC : Ñònh lí: Neáu C laø moät ñieåm naèm treân cung AB thì : sñAB = sñAC + sñBC A §2 LIEÂN HEÄ GIÖÕA CUNG VAØ DAÂY Ñònh lí 1: vôùi hai cung nhoû trong moät ñöôøng troøn hay hai ñöôøng troøn baèng nhau O • Hai cung baèng nhau caêng hai daây baèng nhau. B • Hai daây baèng nhau caêng hai cung baèng nhau Ñònh lí 2: vôùi hai cung nhoû trong moät ñöôøng troøn hay hai ñöôøng troøn baèng nhau C • Cung lôùn hôn caêng daây lôùn hôn. D • Daây lôùn hôn caêng cung lôùn hôn. A §3 GOÙC NOÄI TIEÁP C - Ñònh nghóa: Goùc noäi tieáp laø goùc coù ñænh naèm treân ñöôøng O troøn vaø hai caïnh chöùa hai daây cung cuûa ñöôøng troøn ñoù. B • Cung naèm beân trong goùc goïi laø cung bò chaén - Ñònh lí: trong moät ñöôøng troøn, soá ño goùc noäi tieáp baèng nöûa soá ño cung bò chaén - Heä quaû: trong moät ñöôøng troøn. • Caùc goùc noäi tieáp baèng nhau chaén caùc cung baèng nhau. • Caùc goùc noäi tieáp cuøng chaén moät cung hay chaén caùc cung baèng nhau thì baèng nhau. x • Goùc noäi tieáp ( nhoû hôn hoaëc baèng 900 )coù soá ño baèng nöõa soá ño cuûa goùc ôû taâm cuøng chaén moät cung. A • Caùc goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn laø goùc vuoâng. B §4 GOÙC TAÏO BÔÛI TIA TIEÁP TUYEÁN VAØ DAÂY CUNG y - Khaùi nieäm: xy laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (O) taïi tieáp ñieåm A. O B naèm treân (O). Ta coù goùc BAx laø goùc taïo bôûi tia tieáp tuyeán vaø daây cung - Ñònh lí: soá ño cuûa goùc taïo bôûi tia tieáp tuyeán vaø daây cung baèng nöûa soá ño Cuûa cung bò chaén: BAÂx =1/2 AOBÂ - Heä quaû: trong moät ñöôøng troøn, goùc taïo bôûi tia tieáp tuyeán vaø daây cung vaø goùc noäi tieáp cuøng chaén moät cung thì baèng nhau
§5 GOÙC COÙ ÑÆNH ÔÛ BEÂN TRONG ÑÖÔØNG TROØN GOÙC COÙ ÑÆNH ÔÛ BEÂN NGOAØI ÑÖÔØNG TROØN m A - Goùc coù ñænh ôû beân trong ñöôøng troøn: Goùc BEC coù ñænh E naèm beân trong D ñöôøng troøn (O) ñöôïc goïi laø goùc coù ñænh naèm beân trong ñöôøng troøn. O E B n C - Ñònh lí: soá ño cuûa goùc coù ñænh naèm beân trong ñöôøng troøn baèng nöûa toång soá ño hai cung bò chaén: Ta coù BEÂC = {Sñ(BnC) + Sñ(BmC)]:2 - Goùc coù ñænh naèm beân ngoaøi ñöôøng troøn: Goùc BEC laø goùc coù ñænh naèm ngoaøi ñöôøng troøn - Ñònh lí: soá ño cuûa goùc coù ñænh naèm beân trong ñöôøng troøn E baèng nöûa toång soá ño hai cung bò chaén: BEÂC = {Sñ(BnC) - Sñ(BmC)]:2 A c 2 D M m B α O y d §6 CUNG CHÖÙA GOÙC O - Caùch veõ cung chöùa goùc: C • Veõ ñöôøng trung tröïc d cuûa ñoaïn thaúng AB A α B • Veõ tia Ax taïo vôùi AB goùc α. H • Veõ ñöôøng thaúng Ay vuoâng goùc vôùi Ax. Goïi O laø giao ñieåm cuûa Ay vôùi d x • Veõ cung AmB, taâm O, baùn kính OA sao cho cung naøy naèm ôû nöûa maët phaúng bôø AB khoâng chöùa tia Ax. - Caùch giaûi baøi toaùn quyõ tích: muoán chöùng minh quyõ tích ( taäp hôïp) caùc ñieåm M thoõa maõn tính chaát ξ laø moät hình H naøo ñoù, ta phaûi chöùng minh hai phaàn. • Phaàn thuaän: moïi ñieåm coù tính chaát ξ ñeàu thuoäc hình H. • Phaàn ñaûo: moïi ñieåm thuoäc hình H ñeàu coù tính chaát ξ . • Keát luaän: quyõ tích ( taäp hôïp) caùc ñieåm M thoõa maõn tính chaát ξ laø hình H §7 TÖÙ GIAÙC NOÄI TIEÁP A B - Ñònh nghóa: moät töù giaùc coù boán ñænh naèm treân moät ñöôøng troøn ñöôïc goïi laø töù giaùc noäi tieáp ñöôøng troøn O C - Ñònh lí: trong moät töù giaùc noäi tieáp toång soá ño hai goùc ñoái nhau baèng 1800 D 0 - Ñònh lí ñaûo: neáu moät töù giaùc coù toång soá ño hai goùc ñoái nhau baèng 180 thì töù giaùc ñoù noäi tieáp ñöôøng troøn. §8 ÑÖÔØNG TROØN NGOAÏI TIEÁP – ÑÖÔØNG TROØN NOÄI TIEÁP - Ñònh nghóa:
• Ñöôøng troøn ñi qua taát caû caùc ñænh cuûa moät ña giaùc ñöôïc goïi laø ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ña giaùc vaø ña giaùc ñöôïc goïi laø ña giaùc noäi tieáp ñöôøng troøn. • Ñöôøng troøn tieáp xuùc vôùi taát caû caùc caïnh cuûa moät ña giaùc ñöôïc goïi laø ñöôøng troøn noäi tieáp ña giaùc vaø ña giaùc ñöôïc goïi laø ña giaùc ngoaïi tieáp ñöôøng troøn. - Ñònh lí: baát kyø ña giaùc ñeàu naøo cuõng coù moät vaø chæ moät ñöôøng troøn ngoaïi tieáp, coù moät vaø chæ moät ñöôøng troøn noäi tieáp. §9 ÑOÄ DAØI ÑÖÔØNG TROØN CUNG TROØN - Coâng thöùc tính ñoä daøi ñöôøng troøn: ñoä daøi C cuûa moät ñöôøng troøn baùn kính R ñöôïc tính theo cong thöùc : C= 2πR hay C= πd ( trong ñoù d laø ñöôøng kính) - Coâng thöùc tính ñoä daøi cung troøn: treân ñöôøng troøn baùn kính R, ñoä daøi cung n0 R πRn ñöôïc tính theo coâng thöùc. l = O 180 l §9 DIEÄN TÍCH HÌNH TROØN, HÌNH QUAÏT TROØN. - Coâng thöùc tính dieän tích hình troøn: S = πR2 πR 2 n - Coâng thöùc tính dieän tích hình quaït troøn baùn kính R, cung n0 : S = lR hay S = ( l laø ñoä daøi 360 2 0 cung n cuûa hình quaït troøn.) CHƯƠNG III: HÌNH TRUÏ – HÌNH NOÙN – HÌNH CAÀU §1 HÌNH TRUÏ-DIEÄN TÍCH XUNG QUANH VAØ THEÅ TÍCH HÌNH TRUÏ - Dieän tích xung quanh: Sxq = 2πRh. - Dieän tích toaøn phaàn: Stp = 2πRh + 2πR2 - Theå tích hình truï: V= Sh = πR2h Trong ñoù : h laø chieàu cao, R laø baùn kính ñaùy §2 HÌNH NOÙN-HÌNH NOÙN CUÏT DIEÄN TÍCH XUNG QUANH VAØ THEÅ TÍCH CUÛA HÌNH NOÙN, HÌNH NOÙN CUÏT - Hình noùn: A • Maët ñaùy: ñöôøng troøn taâm (O) A • AC laø ñöôøng sinh. • A laø ñænh cuûa hình noùn Ñöôøng cao Ñöôøng sinh • AO laø ñöôøng cao hình noùn - Dieän tích xung quanh: Sxq = πRl D - Dieän tích toaøn phaàn : Stp = πRl + πR2 C O C 1 - Theå tích : V = πR2h ®¸y 3 Trong ñoù : R laø baùn kính ñaùy, l ñoä daøi ñöôøng sinh, h ñöôøng cao hình noùn - Hình noùn cuït: - Dieän tích xung quanh: Sxq = π(R1 + R2 )l 1 - Theå tích: V = πh (R12+ R22 + R1 R2) 3 §3 HÌNH CAÀU – DIEÄN TÍCH MAËT CAÀU VAØ THEÅ TÍCH HÌNH CAÀU - Dieän tích maët caàu: S = 4πR2 4 - Theå tích: V = πR3 3