Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Đại số tuyến tính
Chương 5: Không gian Euclid
•Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (12/2007)
dangvvinh@hcmut.edu.vn
Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5.1 – Tích vô hướng của hai véctơ. Các khái niệm liên quan.
5.3 – Quá trình trực giao hóa Gram – Schmidt.
5.2 – Bù vuông góc của không gian con.
5.4 – Hình chiếu vuông góc, khoảng cách đến không gian con.
5.1 Tích vô hướng
- - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - -- - - - - - - - - -- - - - - - - - -- - - - - - - - - -- - - - - - - - -- - - - - - - - - -- - - - - - - - - -- - - - - - - - -- - - - - - - - - -- - - - - - - - -- - - - - - - - - -
Định nghĩa tích vô hướng
Tích vô hướng trong R-kgvt Vlà một hàm thực sao cho
mỗi cặp véctơ uvà vthuộc V,tương ứng với một số thực ký
hiệu (u,v)thỏa 4 tiên đề sau:
a.
( , ) ( , ) ( , )
u v V u v v u
b.
( , , w V) ( , ) ( , ) ( , )
u v u v w u w v w
c.
( , , ) ( , ) ( , )
R u v V u v u v
d.
( ) ( , ) 0;( , ) 0 0
u V u u u u u
Không gian thực hữu hạn chiều cùng với một tích vô
hướng trên đó được gọi là không gian Euclid.
Giải.
5.1. Tích vô hướng
---------------------------------------------------------------------------------------------------- -
Trong không gian cho qui tắc
2
R
Ví dụ
1 2 2 1 2 2
( , ) ; ( , )
x x x R y y y R
1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2
( , ) (( , ),( , )) 2 2 10
x y x x y y x y x y x y x y
1. Chứng tỏ (x,y) là tích vô hướng.
2. Tính tích vô hướng của hai véctơ
(2,1), (1, 1)
u v
2. Tính tích vô hướng của hai véctơ là
(2,1), (1, 1)
u v
( , ) ((2,1),(1, 1))
u v
2.1 2.2.( 1) 2.1.1 10.1.( 1) 10
5.1. Tích vô hướng
---------------------------------------------------------------------------------------------------- -
Ví dụ
2 2
1 1 1 2 2 2 2
( ) ; ( ) [x].
p x a x b x c q x a x b x c P
Trong không gian cho qui tắc
2
[x]
P
1
0
( , ) ( ) ( )
p q p x q x dx
1. Chứng tỏ (p,q) là tích vô hướng.
2. Tính tích vô hướng của
2
( ) 2 3 1, ( ) 1
p x x x q x x
1
0
( , ) ( ). ( )
p q p x q x dx
12
0
(2 3 1)( 1)
x x x dx
1
6
2. Tích vô hướng của hai véctơ (p,q) là