BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
—————————–
VANGTY NOULORVANG
MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ TÍNH DUY NHẤT VÀ
TÍNH HỮU HẠN CỦA HỌ CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH
Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 9.46.10.05
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC
Hà Nội, 01-2021
2
Luận án được hoàn thành tại: Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. PHẠM ĐỨC THOAN
PGS.TS. PHẠM HOÀNG HÀ
Phản biện 1: GS.TSKH. Hà Huy Khoái
Phản biện 2: PGS.TSKH. Tạ Thị Hoài An
Phản biện 3: GS.TS. Trần Văn Tấn
Luận án đã được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp Trường
họp tại .......................
Có thể tìm luận án tại: - Thư viện Quốc Gia
- Thư viện Trường Đại Học Sư Phạm Hà
Nội
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết phân bố giá trị được bắt đầu xây dựng bởi nhà toán học
nổi tiếng R. Nevanlinna từ những năm 20 của thế kỉ trước. Ngay từ
khi ra đời, lý thuyết này đã thu hút được nhiều nhà toán học lớn
trên thế giới quan tâm nghiên cứu. Nhiều kết quả đặc sắc và những
ứng dụng to lớn của lý thuyết này trong những ngành toán học khác
nhau đã được phát hiện. Nội dung cơ bản của lí thuyết phân bố giá
trị là thiết lập định lí Cơ bản bản thứ 2, định lí nói về mối quan hệ
giữa hàm đếm các không điểm với độ tăng của hàm đặc trưng. Định
lí này có nhiều áp dụng trong việc nghiên cứu vấn đề duy nhất, tính
hữu hạn, tính phụ thuộc đại số, quan hệ số khuyết cũng như phân
bố về mặt giá trị của các ánh xạ phân hình.
Để thiết lập định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từ Cm
vào không gian xạ ảnh Pn(C), người ta dựa vào bổ đề Đạo hàm
logarit và tính chất của định thức Wronski. Tuy nhiên, năm 2006,
R. Halburd và R. J. Korhonen đã thiết lập được định lí cơ bản thứ
hai cho ánh xạ phân hình từ Cvào Pn(C)giao với các siêu phẳng
cố dịnh cũng như các siêu phẳng di động ở vị trí tổng quát bằng
cách thay định thức Wronski bởi định thức Casorati (c-Casorati và
p-Casorati) và thay bổ đề Đạo hàm logarit bởi một bổ đề tương tự,
nó có tên là bổ đề q-dịch chuyển hoặc c-dịch chuyển cho các ánh
xạ phân hình bậc 0 hoặc cho các ánh xạ phân hình có siêu bậc nhỏ
hơn 1 tương ứng. Từ đó, họ có thể nghiên cứu tính duy nhất của
các ánh xạ phân hình này theo kiểu định lí Picard tổng quát. Định
lí Cơ bản thứ hai loại này được gọi là định lí Cơ bản thứ hai p-dịch
chuyển hoặc c-dịch chuyển giao với các mục tiêu. Bằng cách tiếp cận
theo hướng này, năm 2016, T. B. Cao và R. J. Korhonen đã thiết
2
lập định lí Cơ bản thứ hai p-dịch chuyển cho các ánh xạ phân hình
từ Cmvào không gian xạ ảnh Pn(C)giao với siêu phẳng ở vị trí dưới
tổng quát.
Một cách tự nhiên là cần xây dựng định lí Cơ bản thứ hai p-dịch
chuyển của ánh xạ phân hình bậc 0 từ Cmvào Pn(C)giao với các
siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát thông qua định thứ p-Casorati cũng
như việc áp dụng nó vào nghiên cứu vấn đề duy nhất kiểu định lí
Picard tổng quát.
Trong trường hợp một chiều, kể từ khi R. Halburd và R. J.
Korhonen đưa ra được bổ đề c-dịch chuyển và định lí Cơ bản thứ
hai c-dịch chuyển cho các hàm phân hình có siêu bậc nhỏ hơn 1,
định lí duy nhất kiểu Picard tương tự như định lí 5 điểm của R.
Nevanlinna được nghiên cứu rất mạnh mẽ. Có rất nhiều kết quả thú
vị theo hướng nghiên cứu này. Chẳng hạn, năm 2009, J. Heittokangas
và các đồng nghiệp đã chứng minh rằng nếu hàm phân hình f(z)
có bậc hữu hạn chia sẻ 3 giá trị phân biệt đếm cả bội với hàm dịch
chuyển f(z+c)thì flà một hàm tuần hoàn với chu kì c, tức là
f(z) = f(z+c)với mọi z∈C. Định lí kiểu Picard này được chính
các tác giả trên cải tiến cho trường hợp chia sẻ hai giá trị đếm cả
bội và một giá trị không đếm bội. Đầu năm 2016, K. S. Charak, R.
J. Korhonen và G. Kumar đã đưa ra được phản ví dụ để chỉ ra rằng
không có định lí duy nhất cho trường hợp 1 giá trị chia sẻ đếm cả
bội và hai giá trị chia sẻ không đếm bội. Chú ý rằng, trong định lí 5
điểm của R. Nevanlinna thì 5 giá trị chia sẻ là không cần đếm bội.
Một câu hỏi đặt ra liệu có được định lí kiểu Picard trong trường
hợp số giá trị chia sẻ không đếm bội là 4 không? Các tác giả đã cố
gắng trả lời câu hỏi trên và đã có được những kết quả theo hướng
này cho các hàm phân hình có siêu bậc nhỏ hơn 1 chia sẻ 4 giá trị
3
dưới một điều kiện về số khuyết.
Năm 2018, W. Lin, X. Lin và A. Wu có được một phản ví dụ chỉ
ra rằng kết quả đó không còn đúng nữa khi bội của các giá trị chia
sẻ bị ngắt. Từ đó, họ đặt ra vấn đề nghiên cứu tính duy nhất kiểu
định lí Picard khi các giá trị bị ngắt bội. Một trong những mục tiêu
khi nghiên cứu vấn đề duy nhất là giảm được số các giá trị chia sẻ.
Theo đó, chúng tôi đặt ra vấn đề nghiên cứu và cải tiến các kết qủa
của W. Lin, X. Lin và A. Wu.
Bài toán về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ Cm
vào Pn(C)được bắt đầu nghiên cứu trong bài báo của S. Ji và cho
đến nay đã có nhiều kết quả được công bố. Một số kết quả tốt nhất
gần đây thuộc về Z. Chen và Q. Yan, S. Đ. Quang, S. Đ. Quang và
L. N. Quỳnh. Chú ý rằng, bằng việc nghiên cứu tính phụ thuộc đại
số của 3 hàm phân hình có ảnh ngược giao với 2n+ 2 siêu phẳng ở
vị trí tổng quát đã giúp S. Đ. Quang khẳng định được tính hữu hạn
của lớp các ánh xạ phân hình đó.
Tuy nhiên, như đã nói ở trên việc giảm được số siêu phẳng chia
sẻ trong các kết quả là một trong những đích quan trọng trong lí
thuyết phân bố giá trị. Do vậy, chúng tôi đặt ra mục đích nghiên
cứu tính hữu hạn của các ánh xạ phân hình từ Cmvào không gian
xạ ảnh Pn(C)với số siêu phẳng tham gia nhỏ hơn 2n+ 2 thông qua
tính phụ thuộc đại số của 3 ánh xạ phân hình.
Từ những lý do như trên, chúng tôi lựa chọn đề tài “Một số
định lí về tính duy nhất và tính hữu hạn của họ các
ánh xạ phân hình”, để đi sâu vào nghiên cứu các bài toán duy
nhất của các ánh xạ phân hình và ánh xạ dịch chuyển của chúng,
cũng như các bài toán về tính hữu hạn cho những ánh xạ phân hình.
2. Mục đích nghiên cứu