Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số định lí về tính duy nhất và tính hữu hạn của họ các ánh xạ phân hình

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận án nghiên cứu tính hữu hạn thông qua việc thiết lập định lí phụ thuộc đại số của 3 ánh xạ phân hình từ C m vào không gian xạ ảnh P n (C) giao với 2n + 1 siêu phẳng ở vị trí tổng quát. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số định lí về tính duy nhất và tính hữu hạn của họ các ánh xạ phân hình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI —————————– VANGTY NOULORVANG MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ TÍNH DUY NHẤT VÀ TÍNH HỮU HẠN CỦA HỌ CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 9.46.10.05 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC Hà Nội, 01-2021
2 Luận án được hoàn thành tại: Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. PHẠM ĐỨC THOAN PGS.TS. PHẠM HOÀNG HÀ Phản biện 1: GS.TSKH. Hà Huy Khoái Phản biện 2: PGS.TSKH. Tạ Thị Hoài An Phản biện 3: GS.TS. Trần Văn Tấn Luận án đã được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp tại ....................... Có thể tìm luận án tại: - Thư viện Quốc Gia - Thư viện Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội
1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết phân bố giá trị được bắt đầu xây dựng bởi nhà toán học nổi tiếng R. Nevanlinna từ những năm 20 của thế kỉ trước. Ngay từ khi ra đời, lý thuyết này đã thu hút được nhiều nhà toán học lớn trên thế giới quan tâm nghiên cứu. Nhiều kết quả đặc sắc và những ứng dụng to lớn của lý thuyết này trong những ngành toán học khác nhau đã được phát hiện. Nội dung cơ bản của lí thuyết phân bố giá trị là thiết lập định lí Cơ bản bản thứ 2, định lí nói về mối quan hệ giữa hàm đếm các không điểm với độ tăng của hàm đặc trưng. Định lí này có nhiều áp dụng trong việc nghiên cứu vấn đề duy nhất, tính hữu hạn, tính phụ thuộc đại số, quan hệ số khuyết cũng như phân bố về mặt giá trị của các ánh xạ phân hình. Để thiết lập định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từ Cm vào không gian xạ ảnh Pn(C), người ta dựa vào bổ đề Đạo hàm logarit và tính chất của định thức Wronski. Tuy nhiên, năm 2006, R. Halburd và R. J. Korhonen đã thiết lập được định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từ C vào Pn(C) giao với các siêu phẳng cố dịnh cũng như các siêu phẳng di động ở vị trí tổng quát bằng cách thay định thức Wronski bởi định thức Casorati (c-Casorati và p-Casorati) và thay bổ đề Đạo hàm logarit bởi một bổ đề tương tự, nó có tên là bổ đề q-dịch chuyển hoặc c-dịch chuyển cho các ánh xạ phân hình bậc 0 hoặc cho các ánh xạ phân hình có siêu bậc nhỏ hơn 1 tương ứng. Từ đó, họ có thể nghiên cứu tính duy nhất của các ánh xạ phân hình này theo kiểu định lí Picard tổng quát. Định lí Cơ bản thứ hai loại này được gọi là định lí Cơ bản thứ hai p-dịch chuyển hoặc c-dịch chuyển giao với các mục tiêu. Bằng cách tiếp cận theo hướng này, năm 2016, T. B. Cao và R. J. Korhonen đã thiết
2 lập định lí Cơ bản thứ hai p-dịch chuyển cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào không gian xạ ảnh Pn(C) giao với siêu phẳng ở vị trí dưới tổng quát. Một cách tự nhiên là cần xây dựng định lí Cơ bản thứ hai p-dịch chuyển của ánh xạ phân hình bậc 0 từ Cm vào Pn(C) giao với các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát thông qua định thứ p-Casorati cũng như việc áp dụng nó vào nghiên cứu vấn đề duy nhất kiểu định lí Picard tổng quát. Trong trường hợp một chiều, kể từ khi R. Halburd và R. J. Korhonen đưa ra được bổ đề c-dịch chuyển và định lí Cơ bản thứ hai c-dịch chuyển cho các hàm phân hình có siêu bậc nhỏ hơn 1, định lí duy nhất kiểu Picard tương tự như định lí 5 điểm của R. Nevanlinna được nghiên cứu rất mạnh mẽ. Có rất nhiều kết quả thú vị theo hướng nghiên cứu này. Chẳng hạn, năm 2009, J. Heittokangas và các đồng nghiệp đã chứng minh rằng nếu hàm phân hình f (z) có bậc hữu hạn chia sẻ 3 giá trị phân biệt đếm cả bội với hàm dịch chuyển f (z + c) thì f là một hàm tuần hoàn với chu kì c, tức là f (z) = f (z + c) với mọi z ∈ C. Định lí kiểu Picard này được chính các tác giả trên cải tiến cho trường hợp chia sẻ hai giá trị đếm cả bội và một giá trị không đếm bội. Đầu năm 2016, K. S. Charak, R. J. Korhonen và G. Kumar đã đưa ra được phản ví dụ để chỉ ra rằng không có định lí duy nhất cho trường hợp 1 giá trị chia sẻ đếm cả bội và hai giá trị chia sẻ không đếm bội. Chú ý rằng, trong định lí 5 điểm của R. Nevanlinna thì 5 giá trị chia sẻ là không cần đếm bội. Một câu hỏi đặt ra liệu có được định lí kiểu Picard trong trường hợp số giá trị chia sẻ không đếm bội là 4 không? Các tác giả đã cố gắng trả lời câu hỏi trên và đã có được những kết quả theo hướng này cho các hàm phân hình có siêu bậc nhỏ hơn 1 chia sẻ 4 giá trị
3 dưới một điều kiện về số khuyết. Năm 2018, W. Lin, X. Lin và A. Wu có được một phản ví dụ chỉ ra rằng kết quả đó không còn đúng nữa khi bội của các giá trị chia sẻ bị ngắt. Từ đó, họ đặt ra vấn đề nghiên cứu tính duy nhất kiểu định lí Picard khi các giá trị bị ngắt bội. Một trong những mục tiêu khi nghiên cứu vấn đề duy nhất là giảm được số các giá trị chia sẻ. Theo đó, chúng tôi đặt ra vấn đề nghiên cứu và cải tiến các kết qủa của W. Lin, X. Lin và A. Wu. Bài toán về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) được bắt đầu nghiên cứu trong bài báo của S. Ji và cho đến nay đã có nhiều kết quả được công bố. Một số kết quả tốt nhất gần đây thuộc về Z. Chen và Q. Yan, S. Đ. Quang, S. Đ. Quang và L. N. Quỳnh. Chú ý rằng, bằng việc nghiên cứu tính phụ thuộc đại số của 3 hàm phân hình có ảnh ngược giao với 2n + 2 siêu phẳng ở vị trí tổng quát đã giúp S. Đ. Quang khẳng định được tính hữu hạn của lớp các ánh xạ phân hình đó. Tuy nhiên, như đã nói ở trên việc giảm được số siêu phẳng chia sẻ trong các kết quả là một trong những đích quan trọng trong lí thuyết phân bố giá trị. Do vậy, chúng tôi đặt ra mục đích nghiên cứu tính hữu hạn của các ánh xạ phân hình từ Cm vào không gian xạ ảnh Pn(C) với số siêu phẳng tham gia nhỏ hơn 2n + 2 thông qua tính phụ thuộc đại số của 3 ánh xạ phân hình. Từ những lý do như trên, chúng tôi lựa chọn đề tài “Một số định lí về tính duy nhất và tính hữu hạn của họ các ánh xạ phân hình”, để đi sâu vào nghiên cứu các bài toán duy nhất của các ánh xạ phân hình và ánh xạ dịch chuyển của chúng, cũng như các bài toán về tính hữu hạn cho những ánh xạ phân hình. 2. Mục đích nghiên cứu
4 Mục đích đầu tiên của luận án là đưa ra và chứng minh một số định lí duy nhất của các hàm phân hình f (z) trên mặt phẳng phức C có siêu bậc nhỏ hơn 1 chia sẻ một phần các giá trị cùng với hàm dịch chuyển f (z + c) của nó. Tiếp theo đó, luận án nghiên cứu thiết lập một số định lí Cơ bản thứ hai và một số định lí duy nhất kiểu Picard cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào không gian xạ ảnh Pn(C) có bậc 0 và giao với các siêu mặt. Cuối cùng, luận án nghiên cứu tính hữu hạn thông qua việc thiết lập định lí phụ thuộc đại số của 3 ánh xạ phân hình từ Cm vào không gian xạ ảnh Pn(C) giao với 2n + 1 siêu phẳng ở vị trí tổng quát. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là một số định lí duy nhất kiểu Picard và vấn đề phụ thuộc đại số cũng như tính hữu hạn của các ánh xạ phân hình. Đề tài được nghiên cứu trong phạm vi của lý thuyết Nevanlinna cho các ánh xạ phân hình. 4. Phương pháp nghiên cứu Để giải quyết các vấn đề đặt ra trong luận án, chúng tôi sử dụng những phương pháp của lý thuyết phân bố giá trị và hình học phức. Bên cạnh việc sử dụng các kỹ thuật truyền thống, chúng tôi đưa ra những kỹ thuật mới nhằm đạt được những mục đích đã đặt ra trong đề tài. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Luận án góp phần làm sâu sắc hơn các kết quả về vấn đề duy nhất và tính hữu hạn của các hàm phân hình hoặc của các ánh xạ phân
5 hình. Bên cạnh việc làm phong phú thêm các bài toán này, luận án cũng đưa ra được những kết quả mới cho sự phụ thuộc đại số của 3 ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh với ít họ siêu phẳng. Luận án là tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh theo hướng nghiên cứu này. 6. Cấu trúc luận án Cấu trúc của luận án bao gồm bốn chương chính. Chương Tổng quan dành để phân tích một số kết quả nghiên cứu của những tác giả trong và ngoài nước liên quan đến nội dung của đề tài. Ba chương còn lại trình bày các kiến thức chuẩn bị cũng như những chứng minh chi tiết cho các kết quả mới của đề tài. Chương I. Tổng quan. Chương II. Tính duy nhất của lớp các hàm phân hình có siêu bậc nhỏ hơn 1. Chương III. Tính duy nhất của lớp các ánh xạ phân hình có bậc 0. Chương IV. Tính phụ thuộc đại số và tính hữu hạn của họ các ánh xạ phân hình chia sẻ 2n + 1 siêu phẳng. Luận án được viết dựa trên ba bài báo đã được đăng. 7. Nơi thực hiện luận án Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.
6 CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN I. Tính duy nhất của lớp các hàm phân hình có siêu bậc nhỏ hơn 1 Việc tìm điều kiện cho hàm phân hình f (z) trên mặt phẳng phức trùng với hàm dịch chuyển f (z + c) của nó được nghiên cứu mạnh mẽ mấy năm trở lại đây. Kể từ khi công trình của R. Halburd và R. Korhonen, có rất nhiều định lí duy nhất thú vị tương tự như định lí 5 điểm của Nevanlinna ra đời. Chẳng hạn, vào 2009, J. Heittokangas và các đồng nghiệp đã xét vấn đề này đối với hàm phân hình f (z) trên mặt phẳng phức C có bậc hữu hạn chia sẻ 3 giá trị CM với hàm dịch chuyển f (z + c) của nó. Sau đó, kết quả trên được cải tiến cho trường hợp chia sẻ hai giá trị CM và một giá trị IM bởi chính các tác giả này. Năm 2016, K. S. Charak, R. Korhonen và G. Kumar đã đưa ra một ví dụ để chỉ ra rằng trường hợp chia sẻ một giá trị CM và hai giá trị IM (và do đó là ba giá trị IM) là không xảy ra trong trường hợp tổng quát. Khái niệm chia sẻ một phần các giá trị của hàm phân hình có siêu bậc nhỏ hơn 1 được giới thiệu bởi K. S. Charak, R. Korhonen và G. Kumar trong. Họ có được một định lí duy nhất cho hàm phân hình có siêu bậc nhỏ hơn 1 chia sẻ một phần bốn giá trị IM với hàm dịch chuyển của nó dưới điều kiện về số khuyết sau đây. Định lí A Cho f là một hàm phân hình khác hằng có siêu bậc ˆ ) là bốn hàm γ(f ) < 1 và c ∈ C \ {0}. Cho a1, a2, a3, a4 ∈ S(f phân hình tuần hoàn phân biệt có chu kỳ c. Nếu δ(a, f ) > 0 với ˆ ) và a ∈ S(f E(aj , f (z)) ⊆ E(aj , f (z + c)), j = 1, 2, 3, 4
7 thì f (z) = f (z + c) với mọi z ∈ C. Năm 2018, W. Lin, X. Lin và A. Wu có đã đưa ra được một phản ví dụ để chỉ ra rằng Định lí A không còn đúng khi điều kiện "chia sẻ một phần giá trị E(aj , f (z)) ⊆ E(aj , f (z + c)), j = 1, 2" được thay thế bằng điều kiện "chia sẻ một phần giá trị cắt cụt E ≤k (aj , f (c)) ⊆ E ≤k (aj , f (z + c)), j = 1, 2" với một số nguyên dương k nào đó, thậm chí ngay cả khi f (z) và f (z + c) chia sẻ a3, a4 CM. Sau đó, họ đã đưa ra các kết quả sau đây dưới điều kiện về 2 số khuyết thu gọn Θ(0, f ) + Θ(∞, f ) > k+1 . Một ví dụ cũng chỉ ra rằng điều kiện này là tốt nhất. Đinh lí B Cho f là một hàm phân hình khác hằng có siêu bậc γ(f ) < 1 và c ∈ C \ {0}. Cho k1, k2 là hai số nguyên dương và ˆ ) là bốn hàm phân hình tuần cho a1, a2 ∈ S(f ) \ {0}, a3, a4 ∈ S(f hoàn có chu kỳ c sao cho f (z) và f (z + c) chia sẻ a3, a4 CM và E ≤kj (aj , f (z)) ⊆ E ≤kj (aj , f (z + c)), j = 1, 2. 2 Nếu Θ(0, f ) + Θ(∞, f ) > k+1 , ở đó k := min{k1, k2} thì f (z) = f (z + c) với mọi z ∈ C. Định lí C Cho f là một hàm phân hình khác hằng có siêu bậc γ(f ) < 1, Θ(∞, f ) = 1 và c ∈ C \ {0}. Cho a1, a2, a3 ∈ S(f ) là ba hàm phân hình tuần hoàn có chu kỳ c sao cho f (z) và f (z + c) chia sẻ a3 CM và E ≤k (aj , f (z)) ⊆ E ≤k (aj , f (z + c)), j = 1, 2. Nếu k ≥ 2 thì f (z) = f (z + c) với mọi z ∈ C. Như một áp dụng của Định lí B và C, các tác giả trên đã đưa ra các điều kiện cần để một hàm phân hình là tuần hoàn sau đây. Định lí D Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng thỏa
8 mãn Θ(∞, f ) = Θ(∞, g) = 1, ở đó f là một hàm tuần hoàn có chu kỳ c ∈ C \ {0} với siêu bậc γ(f ) < 1. Cho k1, k2 là hai số nguyên dương, a1, a2, a3 ∈ S(f ) là ba hàm phân hình tuần hoàn có chu kỳ c sao cho f và g chia sẻ a3 CM và E ≤k (aj , f ) ⊆ E ≤k (aj , g), j = 1, 2. Khi đó, ta có g là một hàm phân hình tuần hoàn với chu kì T , ở đó T ∈ {c, 2c}, nghĩa là g(z) = g(z + T ) với mọi z ∈ C. Câu hỏi đầu tiên được đặt ra là liệu có thể tổng quát hóa và cải tiến Định lí B và C bằng cách giảm số các giá trị chia sẻ được không? Câu hỏi thứ hai là liệu có thể đưa ra một vài định lí duy nhất theo hướng này, cũng như một số áp dụng của nó để có được định lí tương tự định lí D hay không? Mục đích đầu tiên của luận án là trả lời các câu hỏi trên. Cụ thể, chúng tôi đã chứng minh được các định lí sau đây. Định lí 2.2.1. Cho f là một hàm phân hình khác hằng có siêu bậc γ(f ) < 1 và cho c ∈ C \ {0}. Cho a1, a2, a3 ∈ S(f ˆ ) là ba hàm phân hình tuần hoàn có chu kỳ c và cho k là một số nguyên dương. Giả sử rằng f (z) và f (z + c) chia sẻ một phần a1, a2 CM, nghĩa là E(a1, f (z)) ⊆ E(a1, f (z + c)), E(a2, f (z)) ⊆ E(a2, f (z + c)) và thỏa mãn E ≤k (a3, f (z)) ⊆ E ≤k (a3, f (z + c)). Nếu Θ(a, f ) > k+1 2 với a ∈ C ∪ {∞} \ {a3, a3(a 1 +a2 )−2a1 a2 2a3 −(a1 +a2 ) } thì f (z) = f (z + c) với mọi z ∈ C.
9 Hệ quả 2.2.2. Cho f là một hàm phân hình khác hằng có siêu bậc γ(f ) < 1, Θ(∞, f ) = 1 và cho c ∈ C \ {0}. Cho a1, a2 ∈ S(f ) là hai hàm phân hình tuần hoàn có chu kỳ c sao cho f (z) và f (z + c) chia sẻ một phần a1 CM, nghĩa là E(a1, f (z)) ⊆ E(a1, f (z + c)). và thỏa mãn E ≤k (a2, f (z)) ⊆ E ≤k (a2, f (z + c)). Nếu k ≥ 2 thì f (z) = f (z + c) với mọi z ∈ C. Trong trường hợp k = ∞, chúng ta có định lí sau. Định lí 2.2.3. Cho f là một hàm phân hình khác hằng có siêu ˆ ) là ba hàm bậc γ(f ) < 1 và cho c ∈ C \ {0}. Cho a1, a2, a3 ∈ S(f phân hình riêng biệt có chu kỳ c. Giả thiết rằng f (z) và f (z + c) chia sẻ một phần a1, a2 CM và chia sẻ một phần a3 IM, nghĩa là E(a1, f (z)) ⊆ E(a1, f (z + c)), E(a2, f (z)) ⊆ E(a2, f (z + c)) và thỏa mãn E(a3, f (z)) ⊆ E(a3, f (z + c)). ˆ ) \ {a3} thì f (z) = f (z + c) với mọi Nếu Θ(a, f ) > 0 với a ∈ S(f z ∈ C. Bỏ qua giả thiết về số khuyết, chúng ta sẽ có kết quả sau. Định lí 2.2.4. Cho f là một hàm phân hình khác hằng có siêu bậc γ(f ) < 1 và cho c ∈ C \ {0}. Cho k, l là hai số nguyên dương ˆ ) là bốn hàm phân hình phân biệt tuần và cho a1, a2, a3, a4 ∈ S(f hoàn có chu kỳ c. Giả thiết rằng f (z) và f (z + c) chia sẻ một phần a1, a2 CM và E ≤k (a3, f (z)) ⊆ E ≤k (a3, f (z+c)), E ≤l (a4, f (z)) ⊆ E ≤l (a4, f (z+c)). Khi đó:
10 f (z)−a1 (i) nếu kl > min{k, l} + 2 thì f (z) = f (z + c) hoặc f (z)−a2 = − ff (z+c)−a (z+c)−a1 2 với mọi z ∈ C. Hơn nữa, khẳng định thứ hai chỉ xảy −a1 a3 −a1 ra khi aa44−a 2 = − a3 −a2 . (ii) nếu max{k, l} = ∞ thì f (z) = f (z + c) với mọi z ∈ C. Sử dụng ý tưởng trong phần chứng minh của Định lí D, chúng ta nhận được một kết quả tương tự và nó là một áp dụng của Định lí 1.2.1 và Hệ quả 2.2.2. Định lí 2.3.1. Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng thỏa mãn Θ(∞, f ) = Θ(∞, g) = 1, ở đó f có chu kỳ c ∈ C \ {0} với siêu bậc γ(f ) < 1. Cho k với một số nguyên dương và a1, a2 ∈ S(f ) là hai hàm phân hình tuần hoàn có chu kỳ c sao cho f và g chia sẻ một phần a1 CM và E ≤k (a2, f ) ⊆ E ≤k (a2, g). Nếu k ≥ 2 thì g là một hàm phân hình tuần hoàn có chu kỳ c, nghĩa là g(z) = g(z + c) với mọi z ∈ C. Tương tự như trong phần chứng minh Định lí 2.3.1, chúng ta cũng nhận được kết quả ở dạng này khi áp dụng Định lí 2.2.4. Định lí 2.3.2 Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng, trong đó f có chu kỳ c ∈ C \ {0} với siêu bậc γ(f ) < 1. Cho k, l là hai số nguyên dương và cho a1, a2 ∈ S(f ) \ {0} là hai hàm tuần hoàn có chu kỳ c sao cho E(0, f ) ⊆ E(0, g), E(∞, f ) ⊆ E(∞, g) và E ≤k (a1, f ) ⊆ E ≤k (a1, g), E ≤l (a2, f ) ⊆ E ≤l (a2, g). Khi đó:
11 (i) nếu kl > min{k, l} + 2 thì g là một hàm tuần hoàn có chu kỳ T , ở đó T ∈ {c, 2c}, nghĩa là g(z) = g(z + T ) với một z ∈ C. (ii) nếu max{k, l} = ∞ thì g là một hàm tuần hoàn có chu kỳ c, nghĩa là g(z) = g(z + c) với mọi z ∈ C. II. Tính duy nhất của lớp các ánh xạ phân hình có bậc 0 Trong những năm gần đây, Định lí Cơ bản thứ hai cho các ánh xạ phân hình giao với các siêu mặt được khảo sát bởi rất nhiều tác giả như T. V. Tấn và V. V. Trường, M. Ru, S. Đ. Quang và các tác giả khác. Chẳng hạn, năm 2004, M. Ru đã chứng minh một định lí cơ bản thứ hai cho trường hợp ánh xạ không suy biến đại số vào Pn(C) giao với họ siêu mặt ở vị trí tổng quát, đây là một kết quả đột phá. Vào năm 2017, S. Đ. Quang có được định lí cơ bản thứ hai cho trường hợp tổng quát, ánh xạ phân hình vào đa tạp con xạ ảnh giao với các siêu mặt vị trí tổng quát bằng cách sử dụng trọng Chow. Cho mục đích nghiên cứu tính duy nhất hay định lí kiểu Picard của các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) có bậc 0 giao với các siêu mặt, chúng tôi đã nghiên cứu và đưa ra một vài kết quả cho phân bố giá trị q-dịch chuyển của các ánh xạ phân hình nhiều biến phức giao với các siêu mặt nằm ở vị trí dưới tổng quát dựa vào ý tưởng của M. Ru và S. Đ. Quang. Định lí 3.2.1. Cho q = (q1, . . . , qm) ∈ Cm với qj 6= 0 (1 ≤ j ≤ m) và cho f : Cm → Pn(C) là một ánh xạ phân hình có bậc 0. Giả thiết rằng f không suy biến đại số trên trường φ0q . Gọi f˜ = (f0 : · · · : fn) là biểu diễn thu gọn địa phương của f. Cho Qj là các siêu mặt bậc dj (1 ≤ j ≤ p) nằm ở vị trí N -dưới tổng quát trong Pn(C). Cho d là bội số chung nhỏ nhất của mọi
12 dj . Khi đó, tồn tại một số nguyên dương u lớn nhất chia hết cho d sao cho p X 1 N −n+1 (q − (N − n + 1)(n + 1)) Tf (r) ≤ NQi(f˜)(r) − un+1 d i=1 i + O(un) (n+1)! × NCq (f I1 ,...,f IM )(r) + o (Tf (r)) đúng trên tập trù mật logarit 1, ở!đó Ij = (ij0, . . . , ijn), |Ij | = u+d ij0 + · · · + ijn = u và M = . u Ta có kết quả sau tương tự như định lí Nochka-Cartan với bội bị cắt cụt. Định lí 3.2.3. Cho q = (q1, . . . , qm) ∈ Cm với qj 6= 0 (1 ≤ j ≤ m) và cho f : Cm → Pn(C) là một ánh xạ phân hình có bậc 0. Giả thiết rằng f không suy biến đại số trên trường φ0q . Gọi f˜ = (f0 : · · · : fn) là biểu diễn thu gọn địa phương của f. Cho Qj là các siêu mặt có bậc dj (1 ≤ j ≤ p) ở vị trí N -dưới tổng quát trong Pn(C). Cho d là bội số chung nhỏ nhất của tất cả dj . Khi đó, với mọi > 0, ta có p X 1 ¯ [M0,q] (p − (N − n + 1)(n + 1) − ) Tf (r) ≤ NQ (f˜) (r) + o (Tf (r)) j=1 dj j đúng trên tập trù mật logarit 1, trong đó M0 = 4(ed(N − n + 1)(n + 1)2I(−1))n − 1. Ở đây, kí hiệu I(x) là số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn số thực x. Chúng tôi cố gắng đưa ra một phiên bản mở rộng của định lí Picard trong trường hợp siêu mặt nằm ở vị trí N -dưới tổng quát Pn(C).
13 Định lí 3.3.1. Cho q = (q1, . . . , qm) ∈ Cm với qj 6= 0, 1 (1 ≤ j ≤ m) và cho f : Cm → Pn(C) là một ánh xạ phân hình có bậc 0. Cho Q1, . . . , Qp là các siêu mặt trong Pn(C) nằm ! ở vị trí n+d N -dưới tổng quát có bậc chung d. Đặt M = − 1. Giả n thiết rằng f bất biến qua Qj tương ứng với toán tử τq (z) = qz. Nếu p ≥ M + 2N − n + 1 thì ảnh của phép nhúng bậc d của f 0 được chứa trong một không gian con tuyến tính trên trường φ q p có chiều ≤ M − n − 1 + p−N −1 . [ M −n+1 ]+1 Trong trường hợp siêu mặt là siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong Pn(C), ta có d = 1 và M = n. Hơn nữa, nếu |qi| 6= 1 với mọi i ∈ {1, . . . , m} thì f (z) = f (qz). Điều này kéo theo f phải là một ánh xạ không đổi. Ngay lập tức, chúng tôi có hệ quả sau. Hệ quả 3.3.5. Cho f là một ánh xạ phân hình có bậc 0 từ Cm vào Pn(C) và cho τq (z) = qz, ở đó q = (q1, . . . , qm) ∈ Cm với qj 6= 0 (1 ≤ j ≤ m). Giả thiết rằng τq ((f, Hj )−1) ⊂ (f, Hj )−1 (đếm cả bội) đúng với mọi siêu phẳng {Hj }pj=1 nằm ở vị trí N - dưới tổng quát trong Pn(C). Nếu p > 2N thì f (qz) = f (z). Đặc biệt, nếu |qi| 6= 1 với mọi i ∈ {1, . . . , m} thì f là một ánh xạ hằng. III. Tính phụ thuộc đại số và tính hữu hạn của họ các ánh xạ phân hình chia sẻ 2n + 1 siêu phẳng Bài toán phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình nhiều biến phức vào không gian xạ ảnh phức cho các mục tiêu cố định lần đầu tiên được nghiên cứu bởi S. Ji và W. Stoll. Sau đó, kết quả của họ đã được nhiều tác giả như H. Fujimoto, Z. Chen và Q. Yan, S. Đ. Quang và L. N. Quỳnh phát triển. Cụ thể hơn, H. Fujimoto đã đưa ra định
14 lí suy biến đối với n + 2 ánh xạ phân hình chia sẻ 2n + 2 siêu phẳng với các bội bị cắt cụt đến mức n(n+1) 2 + n. Gần đây, S. Đ. Quang đã chứng minh được định lí phụ thuộc đại số cho ba ánh xạ phân hình và sử dụng nó để đưa ra kết quả về tính hữu hạn của các ánh xạ phân hình chia sẻ 2n + 2 siêu phẳng ở vị trí tổng quát mà không cần đếm bội. Vào năm 2019, S. Đ. Quang đã chứng minh được định lí sau, trong đó tác giả không cần phải đếm tất cả các không điểm có bội lớn hơn một giá trị nhất định. Định lí E Cho H1, . . . , H2n+2 là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong Pn(C). Nếu 2n+2 X 1 n+1 < j=1 kj + 1 n(3n + 1) thì mọi ba ánh xạ f 1, f 2, f 3 ∈ F(f, {Hj , kj }2n+2 j=1 , 1) thỏa mãn f 1 ∧ f 2 ∧ f 3 ≡ 0 trên Cm. Năm 2015, S. Đ. Quang và L. N. Quỳnh đã tìm thấy một điều kiện đủ cho sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình chia sẻ ít hơn 2n + 2 siêu phẳng ở vị trí tổng quát như sau. Định lí F Cho f 1, f 2, f 3 ∈ F(f, {Hj }qj=1, n) và {Hi}qi=1 là một họ q√siêu phẳng của Pn(C) ở vị trí tổng quát. Nếu q > 2n + 5 + 28n2 + 20n + 1 thì một trong các khẳng định sau là 4 đúng: q (i) tồn tại 3 + 1 siêu phẳng Hi1 , . . . , Hi q sao cho [ 3 ]+1 u u (f u, Hi q ) (f , Hi1 ) (f , Hi2 ) [ 3 ]+1 = = · · · = , (f v , Hi1 ) (f v , Hi2 ) (f v , Hi q ) [ 3 ]+1
15 (ii) f 1 ∧ f 2 ∧ f 3 ≡ 0 trên Cm. Rõ ràng để có được khẳng định (ii) trong định lí F , họ cần giả thiết rằng (i) không xảy ra. Câu hỏi đặt ra là chúng ta có thể bỏ qua điều kiện này cho trường hợp q < 2n + 2 không? Mục đích đầu tiên của phần này là đưa ra một câu trả lời phù hợp cho câu hỏi trên. Với mục đích này, chúng tôi sẽ sắp xếp lại các siêu phẳng thành các nhóm thích hợp và sử dụng kỹ thuật "sắp xếp lại các hàm đếm" do Đ. Đ. Thai và S. Đ. Quang đưa ra, cũng như đề xuất hàm bổ trợ mới. Điều này giúp chúng tôi có được một định lí hoàn chỉnh cho sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình chia sẻ 2n + 1 siêu phẳng ở vị trí tổng quát. Cụ thể, chúng tôi đã chứng minh được định lí sau đây. Định lí 4.2.1. Cho H1, . . . , H2n+1 là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong Pn(C) (n ≥ 5). Cho f 1, f 2, f 3 : Cm → Pn(C) là các ánh xạ phân hình thuộc F(f, {Hj , kj }2n+1 j=1 , n). Nếu 2n+1 X 1 n−4 < , i=1 ki + 1 2n(2n + 1) thì f 1 ∧ f 2 ∧ f 3 ≡ 0 trên Cm. Chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng Định lí E đóng một vai trò thiết yếu trong việc chứng minh của S. Đ. Quang về tính hữu hạn của các ánh xạ phân hình. Định lí G Cho f là một ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) không suy biến tuyến tính. Cho H1, . . . , H2n+2 là 2n + 2 siêu phẳng của Pn(C) ở vị trí tổng quát và cho k1, . . . , kn+2 là các số nguyên dương hoặc +∞. Giả thiết rằng 2n+2 n2 − 1 X 1 n + 1 5n − 9 < min , , 2 + n 24n + 12 10n2 + 8n . k i=1 i + 1 3n
16 Thế thì ]F(f, {Hi, ki}2n+2 i=1 , 1) ≤ 2. Câu hỏi sau đây tự nhiên nảy sinh tại thời điểm này: Bằng cách sử dụng các kỹ thuật của S. Đ. Quang trong và Định lí 1.0.11, chúng ta có thu được kết quả về tính hữu hạn đối cho các ánh xạ phân hình chia sẻ 2n + 1 siêu phẳng ở vị trí tổng quát có ngắt bội ở mức n không? Mục đích thứ hai của phần này là cũng đưa ra một câu trả lời cho câu hỏi trên. Định lí 4.3.1. Cho f là một ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) không suy biến tuyến tính. Cho H1, . . . , H2n+1 là 2n+1 siêu phẳng của Pn(C) ở vị trí tổng quát và cho k1, . . . , kn+1 là các số nguyên dương hoặc +∞ sao cho 2n+1 X 1 n−4 < . i=1 ki + 1 2n(2n + 1) Nếu n ≥ 8 thì ]F(f, {Hi, ki}2n+1 i=1 , n) ≤ 2. CHƯƠNG 2: Vấn đề duy nhất của các hàm phân hình có siêu bậc nhỏ hơn 1 Chương 2 được viết dựa trên bài báo [1] trong mục Các công trình đã công bố liên quan đến luận án. 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị Bổ đề 2.1.3 Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên C. Cho a1, a2, . . . , aq (q ≥ 3) là q các hàm phân hình phân biệt biệt và nhỏ so với f trên C. Khi đó, ta có q X 1 (q − 2)T (r, f ) ≤ N r, + S(r, f ). i=1 f − ai
17 Bổ đề 2.1.4 Cho f là một hàm phân hình khác hằng và cho c ∈ C. Nếu f có bậc hữu hạn thì f (z + c) log r m r, =O T (r, f ) f (z) r đúng với mọi r bên ngoài một tập con E trù mật logarit 0. Nếu siêu bậc γ(f ) của f nhỏ hơn 1 thì với > 0, chúng ta có f (z + c) T (r, f ) m r, = o 1−γ(f )− f (z) r đúng với mọi r bên ngoài một tập có độ đo logarit hữu hạn. Bổ đề 2.1.5 Cho T : R+ → R+ là một hàm liên tục không giảm và s ∈ (0, +∞) sao cho siêu bậc của T nhỏ hơn thực sự 1, nghĩa log+ log+ T (r) là γ = lim supr→∞ log r < 1. Thế thì T (r) T (r + s) = T (r) + o 1−γ− , r với > 0 và r → ∞ bên ngoài một tập có độ đo logarit hữu hạn. Đối với mỗi hàm phân hình f , chúng ta kí hiệu fc(z) = f (z + c) và ∆cf := fc − f. Bổ đề 2.1.6 Cho c ∈ C và cho f là một hàm phân hình khác hằng có siêu bậc γ(f ) < 1 sao cho ∆cf 6≡ 0. Cho q ≥ 2 và a1(z), . . . , aq (z) là các hàm nhỏ so với f và tuần hoàn với chu kỳ c. Thế thì q X 1 m(r, f ) + m r, ≤ 2T (r, f ) − Npair (r, f ) + S1(r, f ), f − ak k=1 ở đó Npair (r, f ) = 2N (r, f ) − N (r, ∆cf ) + N r, ∆1cf . 2.2 Vấn đề duy nhất của các hàm phân hình có siêu bậc nhỏ hơn 1
18 Trong mục này, chúng tôi chứng minh các Định lí và hệ quả 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3 và 2.2.4. 2.3 Tính tuần hoàn của các hàm phân hình có siêu bậc nhỏ hơn 1 Trong mục này, chúng tôi đưa ra một số điều kiện cần để một hàm phân hình có siêu bậc nhỏ hơn 1 có tính chất tuần hoàn. Đây là một áp dụng của Định lí 2.2.1 và Hệ quả 2.2.2. Cụ thể là chúng tôi chứng minh các Định lí 2.3.1 và 2.3.2. CHƯƠNG 3: Vấn đề duy nhất của các ánh xạ phân hình có bậc 0 Chương 3 được viết dựa trên bài báo [2] trong mục Các công trình đã công bố liên quan đến luận án. 3.1. Một số kiến thức chuẩn bị Bổ đề 3.1.1 Cho q ∈ Cm \{0}. Đối với một số nguyên dương M , đặt Iα = {(i0, . . . , in) ∈ Nn+1 0 : i0 + · · · + in = α}, Ij ∈ Iα với mọi j ∈ {1, . . . , M }. Khi đó, ánh xạ phân hình f = (f0 : · · · : fn) : m n I1 IM C → P (C) có bậc 0 thỏa mãn Cq (f ) = Cq f , . . . , f ≡0 nếu và chỉ nếu các hàm f0, . . . , fn phụ thuộc đại số trên trường φ0q . Bổ đề 3.1.2 Cho Q1, . . . , Qk+1 là các siêu mặt trong Pn(C) cùng bậc d sao cho k+1 T i=1 Qi = ∅. Khi đó, tồn tại n siêu mặt P2, . . . , Pn+1 có dạng Pt = k−n+t P j=2 ctj Qj , ctj ∈ C, t = 2, . . . , n+1 Tn+1 sao cho i=1 Pi = ∅. Bổ đề 3.1.3 Cho {Qi}i∈R là một họ siêu mặt trong Pn(C) có cùng bậc d và cho f là một ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C). T Giả thiết rằng i∈R Qi = ∅. Khi đó, tồn tại các hằng số dương α và β sao cho α||f˜||d ≤ maxi∈R |Qi(f˜)| ≤ β||f˜||d.