Tổng Hợp Xác Suất Thống Kê
Phần I: Xác Suất
Chương I: Biến Cỗ Ngẫu Nhiên và Xác Suất.
A. Các Định Nghĩa và Công Thức Cơ Bản:
1. 0≤P(A)≤1 – Với P(A) là xác suất xảy ra của 1 biến cố ngẫu nhiên A.
2. Định nghĩa cổ điển: P(A) = MA/n – Với MA là kết cục thuận lợi cho biến cố A và n là số kết cục
đồng khả năng của phép thử xuất hiện biến cố đó.
3. Định nghĩa thống kê: P(A) = f(A)
4. Biến cố xung khắc: là những biến cố không thể cùng xảy ra khi thực hiện phép thử. VD: A = A1
+ A2 + . . . + An, A xảy ra khi 1 trong n biến cố Ai xảy ra.
5. Biến cố độc lập: là những biến cố mà khi xảy ra nó không tác động đến xác suất của biến cố
khác trong phép thử. VD: A = A1.A2…..An, A xảy ra khi cả n biến cố Ai xảy ra.
6. Mở rộng: + A.A-1 = V ( biến cố chắc chắn)
+ A.A = A
+ A.B = A ( A là trường hợp riêng của B)
7. Định Lý (+) và (x) xác suất
+ P (∑Ai) = ∑P(Ai) (i= 1,n) – với Ai là các biến cố xung khắc
+ P (πAi) = πP(Ai) (i = 1,n) – với Ai là các biến cố độc lập
+ P(A.B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B) – với A, B là các biến cố phụ thuộc nhau.
+ P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A.B) – với A, B là các biến cố không xung khắc.
•Mở rộng: + P(A+B/C)=P(A/C) + P(B/C) – P(A.B/C)
+ P(A/B) = 1 – P(A-1/B)
8. Công Thức Xác Suất Đầy Đủ: Nếu BC A phụ thuộc vào 1 nhóm đầy đủ các biến cố H =
( H1,H2,…,Hn) thì P(A) = ∑P(Hi).P(A/Hi) – (i= 1,n)
•Mở rộng: Công thức Bayes: P(Hk/A) = P(Hk.A)/P(A)=P(Hk).P(A/Hk)/ ∑P(Hi).P(A/Hi)
B. Bài Toán Cơ Bản
I. Định nghĩa Cổ Điển
1. Bài Toán Cái Thùng : Lưu ý từ “và” = “x” và từ “hoặc” = “+”.
+ Công thức cơ bản: từ thùng T gồm T (m trắng, n đỏ) lấy ra X quả n = Cx
m+n = (n+m)!/x!.(n+m-
x)! & MA tương tự, chú ý đến biến cố cần tìm để tính chính xác n và MA.
+ Dạng ít nhất 1: áp dụng công thức P(A) = 1 – P(A-1 ) với A-1 là biến cố đối lập biến cố A ( ko thể
xảy ra cùng trong 1 phép thử)
2. Bài Toán Khách Hàng: a khách vào b quầy.
+ n =( C1
b )a = ba
+ Tính MA tương tự và phụ thuộc vào đề bài.
3. Bài Toán Xếp Chữ hay Xếp Chỗ:
+ n= số chữ hay số người = n!
+ Tính MA tương tự như n.
Lưu Ý: Trong các bài toán của định nghĩa cổ điển, đặc biệt lưu ý khi xét biến cố chính xong cần
xem xét các khả năng xảy ra đồng thời của các phần tử cấu thành biến cố đó.
II. Bài Toán với định lý (+) và (x) cùng với XS có điều kiện: chú ý sử dụng linh hoạt các công thức,
đặc biệt các công thức có điều kiện và biến cố đối lập.
1. Bài Toán Van Nồi, Công ty KD cùng ngành và Thả Bom: (+) và (x)
2. Bài Toán Bia Đạn, Bộ phận trong cùng máy, thi Đại Học, xạ thủ: XS có điều kiện và BC đối
lập.
III. Bài toán với công thức XS Đầy Đủ và Bayes:
1. Bài Toán Cái Thùng: ưu tiên đặt giả thiết là quả lấy ra của thùng nào.
2. Bài toán % sản phẩm: vì số lượng nhiều nên xác suất các lần lấy là như nhau, cũng ưu tiên giả
thiết SP của máy nào.
Chương II: Biến Ngẫu Nhiên và các Quy Luật Phân Bố XS.
A. Các Định Nghĩa và Công Thức Cơ Bản:
1. Biến ngẫu nhiên là biến có quy luật phân bố, ứng với mỗi giá trị ngẫu nhiên, có
một xác suất tương ứng.
2. Hàm Phân Bố XS: F(X) = P(X<x) – x ϵ (-∞, +∞) & 0≤F(X)≤1
+ P (x1<X<x2) = F(x2) – F(x1)
+ F(+∞)=1; F(-∞)=0
3. Hàm mật độ XS: f(X) = F’(X) – f(X) ≥ 0 &
+ P (x1<X<x2) = F(x2) – F(x1) =
4. Kỳ Vọng Toán( giá trị Tb lý thuyết) và Phương Sai (độ biến động – với cổ phiếu là
độ rủi ro còn với còn lại là độ ổn định,đồng đều . . .):
+ EX =
∑
xiPi – X rời rạc với các giá trị xi tương ứng có XS Pi, i=1,n.
+ EX = . – X liên tục.
+ V(X) = ∑(xi – EX)2.Pi – X rời rạc với các giá trị xi tương ứng có XS Pi, i=1,n.
+ V(X) = - X liên tục.
5. Các tính chất của EX và V(X).
+ EC=C & V(C) = 0.
+ E(CX)=CEX & V(CX) = C2V(X).
+E(X±Y)= EX ± EY.
+ Nếu X, Y độc lập: E(X.Y) = EX.EY & V(X±Y) = V(X) + V(Y).
+ V(X) = E(X 2
) – (EX) 2
.
-X rời rạc: V(X) =
∑
(xi)2Pi – (EX)2
-X liên tục: V(X) = - (EX)2
6. Quy luËt nhÞ thøc : Bi(n,p)
- A cã P(A) = p kh«ng ®æi
-Thùc hiÖn n phÐp thö ®éc lËp ®èi víi A => X ~ B(n,p) ; EX=np , V(X) =
np(1-p)
-X =( Sè lÇn xÈy ra A trong n phÐp thö nãi trªn )
+ C«ng thøc tÝnh x¸c suÊt : P( k1 < X < k2 ) =
∑
=
−
−
2
1
1
k
ki
inii
n)p(pC
i = 1,2,..., n.
+ X¸c ®Þnh sè cã kh¶ n¨ng xÈy ra lín nhÊt : np + p -1
≤
k
≤
np + p
7. Quy luËt ph©n bè chuÈn : N(µ , σ2)
-P( a < X < b ) =
)()( 00
σ
µ
σ
µ
−
Φ−
−
Φab
-P( | X - EX | <
ε
) =
Φ
σ
ε
0
2
-P( | X -
µ
| < 3
σ
) = 2
Φ
o(3) = 0,9974 ; P( | X -
µ
| < 2
σ
) = 2
Φ
o(2) = 0,9544
•Mở rộng:
Φ
o(+∞) = 0.5;
Φ
o(-u) = -
Φ
o(u)
Φ
o(-∞) = -0.5;u1-a= -ua.
B. Bài Toán Cơ Bản
I. Phần Biến Ngẫu Nhiên.
1. Bài áp dụng CT: chú ý các khoảng giá trị và tính toán.
2. Bài toán lợi nhuận: viết quy luật phân bố rồi tính toán.
II. Các Quy Luật Phân Bố XS:
1. Bài toán quy luật nhị thức B(n,p): n luôn lớn, áp dụng công thức để tính.
2. Bài toán quy luật chuẩn: nhớ kỹ công thức vạn năng.
•Chú ý: ở quy luật chuẩn hàm Laplace chính là Φ0(ux) = P(0<u<ux) và là hàm phân
bố XS nên ta có: P(u1<u<u2) = Φ0(u2) - Φ0(u1)
•Ứng dụng tìm các chỉ số liên quan:
-Quy Luật Chuẩn X ~ N(µ , σ2): vì ux là điểm mà tại đó P(u>ux) = x nên nếu cho P(u<ux)=a
P(u>ux) = 1 – a
Φ0(ux) = 0.5 – (1-a) & u1-a=ux .
-Quy Luật 2(n): vì là điểm mà tại đó P( 2 > 2(n)) = nên nếu cho P( 2 < b) = a
P(
2 > b) = 1-a
1-a
2(n) = b
-Quy luật T – Student: vì là điểm mà tại đó P(T> t (n)) = nên nếu cho P(T< b) = a
P(T> b) = 1-a
t1-a
(n)=b ( chú ý nếu n>30 ta chấp nhận ta
(n) =Ua – Pbố chuẩn & ta
(n)= -t1-a
(n).)
-Quy luật Fisher: vì là điểm mà tại đó P(F> f (n1,n2)) = nên nếu cho P(F< b) = a
P(F>b) = 1-a
f1-a
(n1,n2)= b. (chú ý: f1-a
(n1,n2)= 1/fa
(n1,n2)).
Chương III: Mẫu ngẫu nhiên và các đặc trưng của mẫu
A. Các Định Nghĩa và Công Thức Cơ Bản:
1. NÕu X ~ N (µ , σ2 )
X
~
n
N
2
,
σ
µ
→
+ P( a <
X
< b ) =
−
Φ−
−
Φn
a
n
b
σ
µ
σ
µ
00