Tổng hợp xác suất thống kê

Tổng Hợp Xác Suất Thống Kê

Phần I: Xác Suất

Chương I: Biến Cỗ Ngẫu Nhiên và Xác Suất.

Các Định Nghĩa và Công Thức Cơ Bản:

0≤P(A)≤1 – Với P(A) là xác suất xảy ra của 1 biến cố ngẫu nhiên A.

Định nghĩa cổ điển: P(A) = MA/n – Với MA là kết cục thuận lợi cho biến cố A và n là số kết cục

đồng khả năng của phép thử xuất hiện biến cố đó.

Định nghĩa thống kê: P(A) = f(A)

Biến cố xung khắc: là những biến cố không thể cùng xảy ra khi thực hiện phép thử. VD: A = A1

+ A2 + . . . + An, A xảy ra khi 1 trong n biến cố Ai xảy ra.

Biến cố độc lập: là những biến cố mà khi xảy ra nó không tác động đến xác suất của biến cố

khác trong phép thử. VD: A = A1.A2…..An, A xảy ra khi cả n biến cố Ai xảy ra.

Mở rộng: + A.A1 = V ( biến cố chắc chắn)

+ A.A = A

+ A.B = A ( A là trường hợp riêng của B)

Định Lý (+) và (x) xác suất

+ P ((cid:229) Ai) = (cid:229) P(Ai) (i= 1,n) – với Ai là các biến cố xung khắc

+ P (πAi) = πP(Ai) (i = 1,n) – với Ai là các biến cố độc lập

+ P(A.B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B) – với A, B là các biến cố phụ thuộc nhau.

+ P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A.B) – với A, B là các biến cố không xung khắc.

•

Mở rộng: + P(A+B/C)=P(A/C) + P(B/C) – P(A.B/C)

+ P(A/B) = 1 – P(A1/B)

Công Thức Xác Suất Đầy Đủ: Nếu BC A phụ thuộc vào 1 nhóm đầy đủ các biến cố H =

( H1,H2,…,Hn) thì P(A) = (cid:229) P(Hi).P(A/Hi) – (i= 1,n)

•

Mở rộng: Công thức Bayes: P(Hk/A) = P(Hk.A)/P(A)=P(Hk).P(A/Hk)/ (cid:229) P(Hi).P(A/Hi)

Bài Toán Cơ Bản

Định nghĩa Cổ Điển

Bài Toán Cái Thùng : Lưu ý từ “và” = “x” và từ “hoặc” = “+”.

+ Công thức cơ bản: từ thùng T gồm T (m trắng, n đỏ) lấy ra X quả  n = Cx

m+n = (n+m)!/x!.(n+m

x)! & MA tương tự, chú ý đến biến cố cần tìm để tính chính xác n và MA.

+ Dạng ít nhất 1: áp dụng công thức P(A) = 1 – P(A1 ) với A1 là biến cố đối lập biến cố A ( ko thể

xảy ra cùng trong 1 phép thử)

Bài Toán Khách Hàng: a khách vào b quầy.

+ n =( C1

b )a = ba

+ Tính MA tương tự và phụ thuộc vào đề bài.

Bài Toán Xếp Chữ hay Xếp Chỗ:

+ n= số chữ hay số người = n!

+ Tính MA tương tự như n.

Lưu Ý: Trong các bài toán của định nghĩa cổ điển, đặc biệt lưu ý khi xét biến cố chính xong cần

xem xét các khả năng xảy ra đồng thời của các phần tử cấu thành biến cố đó.

II.

Bài Toán với định lý (+) và (x) cùng với XS có điều kiện: chú ý sử dụng linh hoạt các công thức,

đặc biệt các công thức có điều kiện và biến cố đối lập.

Bài Toán Van Nồi, Công ty KD cùng ngành và Thả Bom: (+) và (x)

Bài Toán Bia Đạn, Bộ phận trong cùng máy, thi Đại Học, xạ thủ: XS có điều kiện và BC đối

lập.

III.

Bài toán với công thức XS Đầy Đủ và Bayes:

Bài Toán Cái Thùng: ưu tiên đặt giả thiết là quả lấy ra của thùng nào.

Bài toán % sản phẩm: vì số lượng nhiều nên xác suất các lần lấy là như nhau, cũng ưu tiên giả

thiết SP của máy nào.

Chương II: Biến Ngẫu Nhiên và các Quy Luật Phân Bố XS.

Các Định Nghĩa và Công Thức Cơ Bản:

Biến ngẫu nhiên là biến có quy luật phân bố, ứng với mỗi giá trị ngẫu nhiên, có

một xác suất tương ứng.

Hàm Phân Bố XS: F(X) = P(X

+ P (x1

+ F(+∞)=1; F(∞)=0

Hàm mật độ XS: f(X) = F’(X) – f(X) ≥ 0 &

+ P (x1

Kỳ Vọng Toán( giá trị Tb lý thuyết) và Phương Sai (độ biến động – với cổ phiếu là

độ rủi ro còn với còn lại là độ ổn định,đồng đều . . .):

+ EX = (cid:229) xiPi – X rời rạc với các giá trị xi tương ứng có XS Pi, i=1,n.

+ EX =

. – X liên tục.

+ V(X) = (cid:229)

(xi – EX)2.Pi – X rời rạc với các giá trị xi tương ứng có XS Pi, i=1,n.

+ V(X) =

X liên tục.

Các tính chất của EX và V(X).

+ EC=C & V(C) = 0.

+ E(CX)=CEX & V(CX) = C2V(X).

+E(X±Y)= EX ± EY.

+ Nếu X, Y độc lập: E(X.Y) = EX.EY & V(X±Y) = V(X) + V(Y).

+ V(X) = E(X

2 ) – (EX)

2 . 

X rời rạc: V(X) = (cid:229) (xi)2Pi – (EX)2

X liên tục: V(X) =

(EX)2

6. Quy luËt nhÞ thøc : Bi(n,p)

A cã P(A) = p kh«ng ®æi

Thùc hiÖn n phÐp thö ®éc lËp ®èi víi A

=> X ~ B(n,p) ; EX=np , V(X) =

np(1p)

- X =( Sè lÇn xÈy ra A trong n phÐp thö nãi trªn )

i i (pC n

+ C«ng thøc tÝnh x¸c suÊt :

P( k1 < X < k2 ) = (cid:229)

i = 1,2,..., n.

= ki 1

+ X¸c ®Þnh sè cã kh¶ n¨ng xÈy ra lín nhÊt :

np + p 1 £ k £ np + p

- - 1 )p

, s

2)

- P( a < X < b ) =

m m - - b a F - F ) ( ) ( s s

- P( | X EX |

(cid:246) (cid:230) F (cid:247) (cid:231) ł Ł

e s o(3) = 0,9974 ; P( | X m | < 2s ) = 2F

o(2) = 0,9544

• Mở rộng: F

o(+∞) = 0.5; F

o(u) = F

o(u) F

o(∞) = 0.5;u1a= ua.

Bài Toán Cơ Bản

Phần Biến Ngẫu Nhiên.

Bài áp dụng CT: chú ý các khoảng giá trị và tính toán.

Bài toán lợi nhuận: viết quy luật phân bố rồi tính toán.

II.

Các Quy Luật Phân Bố XS:

1. Bài toán quy luật nhị thức B(n,p): n luôn lớn, áp dụng công thức để tính.

2. Bài toán quy luật chuẩn: nhớ kỹ công thức vạn năng.

•

Chú ý: ở quy luật chuẩn hàm Laplace chính là Φ0(ux) = P(0

bố XS nên ta có: P(u1

•

Ứng dụng tìm các chỉ số liên quan:

- Quy Luật Chuẩn X ~ N(m

2):  vì ux là điểm mà tại đó P(u>ux) = x nên nếu cho P(u
, s P(u>ux) = 1 – a  Φ0(ux) = 0.5 – (1a) & u1a=ux .

2

2(n)

- Quy Luật

>

) =

nên nếu cho P(

2 < b) = a  P(

là điểm mà tại đó P(

2(n): vì

2 > b) = 1a  1a

2(n) = b

(n)

- Quy luật T – Student: vì

) =

nên nếu cho P(T< b) = a 

là điểm mà tại đó P(T> t

P(T> b) = 1a  t1a

(n)=b ( chú ý nếu n>30 ta chấp nhận ta

(n).)

(n) =Ua – Pbố chuẩn & ta

(n)= t1a

(n1,n2)

- Quy luật Fisher: vì

) =

nên nếu cho P(F< b) = a 

(n1,n2)).

P(F>b) = 1a  f1a

là điểm mà tại đó P(F> f (n1,n2)= 1/fa

(n1,n2)= b. (chú ý: f1a

Chương III: Mẫu ngẫu nhiên và các đặc trưng của mẫu

A. Các Định Nghĩa và Công Thức Cơ Bản:

2

(cid:246) (cid:230) s m (cid:247) (cid:231) ﬁ N , (cid:247) (cid:231)

1.  NÕu X ~ N (m

, s

2 ) X ~

ł Ł n

0

0

m m - - (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) b a F - F (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) n n s s + P( a < X < b ) = ł Ł ł Ł

0

+ P( | X m

| < e ) = 2

2 .  MÉu lÊy ra tõ ph©n bè kh«ngmét X ~ A(p) vµ víi n ®ñ lín (n‡ 100)

(cid:246) (cid:230) F (cid:247) (cid:231) n e s ł Ł

0

0

+

~

(cid:222) P( a < f < b ) =

(cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) - - - (cid:246) (cid:230) p ) p b p a p (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) F - F (cid:247) (cid:231) pN , n n f = (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) ł Ł - - 1( n m n p 1( p ) p 1( p ) ł Ł ł Ł

(cid:246) (cid:230) e (cid:247) (cid:231)

)e<

F

( fP

0

+

= 2

B. Bài Toán Cơ Bản

I.

Phần Quy Luật Chuẩn.

2(n)

1.

Bài áp dụng CT: chú ý biến đổi từ chuẩn sang

2.

Áp dụng triệt để các công thức về XS biến đối lập và tính chất của quy luật chuẩn, đặc

biệt lưu ý công thức vạn năng.

II.

Phần quy luật A(p) – tỷ lệ : chú ý đặc biệt bài toán bắt cá khi áp dụng trong cả các bài

tổng hợp bao giờ cũng cho XS tính trước để làm bài.

- p n (cid:247) (cid:231) - p 1( p ) ł Ł

Chương IV: Ước Lượng

A.

Các Định Nghĩa và Công Thức Cơ Bản:

1. X ~ N(m

,s

2) :

+ ¦íc lîng tham sè m

:

Trêng hîp s

2 ®∙ biÕt

Trêng hîp s

2 cha biÕt

)

)

a

a

( a

( a

2/

2/

n 1 2/

n 1 2/

(cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) s s - - S S (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) < m < < m < - - uX + uX ) tX + tX (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) ł Ł ł Ł n n n n

)

a

( n 1-+ a

Kho¶ng tin cËy tèi ®a :

Kho¶ng tin cËy tèi ®a :

s S m m £ £ + uX tX n n

)

n 1-

a

( a

Kho¶ng tin cËy tèi thiÓu :

Kho¶ng tin cËy tèi thiÓu :

X¸c ®Þnh kÝch thíc mÉu n ®Ó cho  IN £

X¸c ®Þnh kÝch thíc mÉu lÊy thªm m ®Ó cho

Io  :

In+m £

Io  :

2

)1

2

2

s S m m - ‡ - ‡ uX tX n n

2 a

( a

2/ I

n- 2/ I

2 0

2 0

s u 4 t (4 ) s ‡ ‡ N + mn

+íc lîng tham sè s

2 :

Trêng hîp m

cha biÕt

2

2

2

a

2/

2/

2

(cid:246) (cid:230) - - S ( (cid:247) (cid:231) < s < (cid:247) (cid:231) c c - - )1 n ( )1 S )1 n ( )1 n 2 a - ł Ł n ( 2 1

2

a

- S s £ ( c - )1 n ( )1 - n 2 1

Kho¶ng tin cËy tèi ®a :

2

2

- s ‡ ( c - )1 n S )1 ( n 2 a

Kho¶ng tin cËy tèi thiÓu :

2. X ~ A(p) :

§Æt p = P(A)

a

a

2

2

(cid:246) (cid:230) - - f ) f f ) f (cid:247) (cid:231) < < + - f u p f u (cid:247) (cid:231) 1( n 1( n ł Ł

a

f ) f + £ p f u 1( - n

Kho¶ng tin cËy tèi ®a :

a

f ) f - ‡ p f u 1( - n

Kho¶ng tin cËy tèi thiÓu :

2 a

2/

2 0

- u 4 f 1( f /) I

X¸c ®Þnh cì mÉu N : IN £

I0 ﬁ

N ‡

B.

Bài Toán Cơ Bản: cũng có bài toán bắt cá trong 1 mẫu xác định nào đó  tìm

khoảng tin cậy tối thiểu hoặc tối đa rồi làm.

Chương IV: Kiểm định

A.

Các Định Nghĩa và Công Thức Cơ Bản:

H0: luôn là dấu “=”                         H 1: luôn là dấu bất đẳng thức hoặc khác, phải dựa vào

câu hỏi của bài làm để đặt dấu.

Kiểm định tham số:

I.

1.

KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ tham sè m

: X ~ N(m

, s

2)

MiÒn b¸c bá khi s

2 ®∙ biÕt

MiÒn b¸c bá khi s

2  cha biÕt

Gi¶ thiÕt

Gi¶ thiÕt

m

H0 : (m

=m

o )

H0 : ( m =m

o )

x

)1

0

0

=

=

<

t

n

t;

W a

( nt - a

a

s

H1 : (m

o )

H1 : (m
o )

)1

(

-nta

H1 : (m

>m

o )

Wa

=  { u    = . . .       ;   u    > ua

}

H1 : (m >m

o )

Wa

=   {  t    = . . .     ;  t  >

}

(

(cid:252) (cid:236) - (cid:252) (cid:236) - m - (cid:239) (cid:239) x (cid:253) (cid:237) = = -< (cid:253) (cid:237) u n ; u u W a s (cid:239) (cid:239) (cid:254) (cid:238) (cid:254) (cid:238)

-nta

H1 : (m

„

o )

Wa

= {  u    = . . .       ; |u|   > ua

/2  }

H1 : (m

„

o )

)1 2/

Wa

=  {  t  =. . .       ; |t|  >

}

2. So s¸nh hai tham sè  m 1 ,  m 2 : X1 ~ N(m 1 , s 12) – X2 ~ N(m 2 , s 22)

m m

Gi¶ thiÕt

MiÒn b¸c bá khi s 2 ®∙ biÕt

MiÒn b¸c bá khi s 2  cha biÕt

Gi¶ thiÕt

H0 :( m 1=m 2 )

H0 : ( m 1=m 2 )

2

1

2

a

a

2 s 1

2 2

2

2 1

1

2 2

2

H1 : (m 1
H1 : (m 1
H1 :(m 1>m 2)

Wa

=  { u  = . . .                   ;  u   >  ua

}

H1 : (m 1>m 2 )

Wa

=  { u   = . . .               ;   u  >  ua

}

(cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) - (cid:239) (cid:239) - x 1 (cid:239) (cid:239) x = < (cid:253) (cid:237) u = ; u - u W a = (cid:253) (cid:237) u = ; < u - u W a x + (cid:239) (cid:239) / s / n n 1 x + s s (cid:254) (cid:238) (cid:239) (cid:239) / n / n (cid:254) (cid:238)

H1: (m 1„

2 )

Wa

= {  u  = . . .                   ;  |u|  > ua

/2  }

H1: (m 1 „

2 )

Wa

= {  u   = . . .               ;  |u|  > ua

/2  }

m m

3. KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vµ so s¸nh vÒ tham sè  s

2 :

Gi¶ thiÕt

MiÒn b¸c bá khi m

cha biÕt

Gi¶ thiÕt

MiÒn b¸c bá khi m

cha biÕt

1, m

2

2

2

2

2 1

2=s

2)

2=s

H0 : (s

o

H0: (s

1

2 )

2

a

a

2 1

1

-1

2 2

2)

2
2
2)

o

H1 : (s

H1 : (s

1

2

2>s

2) Wa = {  c

2   = . . .           ;   c 2

2>s

2) Wa

H1 : (s

o

> c 2

a (n1)  }

H1 : (s

1

2

=   { F  = . . .    ;     F  > fa (n1 1,n2 1) }

2

2

(cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) - ( n s = c c c = < (cid:253) (cid:237) (cid:253) (cid:237) = ; < (n 1)- F = F ; f (n W a W a - 1)-n1,- 2 s s s (cid:254) (cid:238) (cid:254) (cid:238) )1 2 0

a

2 1

2/

2

2 a

2/

a

1

2

2 1

1

2

2„

2„

2)

2)

H1 :(s

o

H1: (s

1

2

2 2

a

1

2/

(cid:252) (cid:236) c c - (n - ( n s = c (cid:253) (cid:237) = ; 1)- W a s c c < > 2 (n 1)- (cid:254) (cid:238) )1 2 0 < (cid:252) (cid:236) F f (n (cid:239) (cid:239) - = (cid:253) (cid:237) s s F = ; 1)-n1,- W a (cid:239) (cid:239) > s s F f (n (cid:254) (cid:238) 1)-n1,- 2

4.

KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vµ so s¸nh  tham sè p trong ph©n bè A(p)

Gi¶ thiÕt

MiÒn b¸c bá

MiÒn b¸c bá

Gi¶ thiÕt

H0 :(p=po)

H0 : (p1=p2 )

1

2

a

a

0 p

0

0

2

H1 :(p
H1 : (p1
H1 : (p>pp)

Wa

=  { u   = . . .               ;   u  >  ua    }

H1 : (p1>p2 )

Wa

=  { u   = . . .               ;   u   > ua    }

H1 :(p„ po)

Wa

= {  u   = . . .               ; |u|  > ua /2  }

H1 : (p1

„ p2)

Wa

= {  u   = . . .               ; |u|  >ua /2  }

II.

Kiểm Định Phi Tham Số:

(cid:252) (cid:236) (cid:252) (cid:236) - (cid:239) (cid:239) - f p (cid:239) (cid:239) f f = = -< (cid:253) (cid:237) = u n ; u u W a (cid:253) (cid:237) = u < u - u ; W a - (cid:239) (cid:239) p 1( ) (cid:239) (cid:239) (cid:254) (cid:238) + - f 1( f /1)( /1 n ) n 1 (cid:254) (cid:238)

H0 : ( Hai chØ tiªu A vµ B ®éc lËp víi nhau )     H 1 : ( Hai chØ tiªu A vµ B phô

thuéc nhau )

2

2

(cid:252) (cid:236) ø Ø (cid:239) (cid:239)

=

c

=

c

c

- - - œ Œ (cid:253) (cid:237)

W

n

(

1)

;

>

[(

k

l )(1

)]1

a

2 a

2 n Þ nn i .

.

j

(cid:229) (cid:239) (cid:239) œ Œ ß º (cid:254) (cid:238)

Bài Toán Cơ Bản:

B.

1.

Chú ý trường hợp trong cùng 1 mẫu hoặc 1 thuộc tính nhưng do 2 nguồn cung

cấp thì luôn luôn kiểm định coi 1 tỷ lệ là mặc định đã cho.

2.

Chú ý trường hợp chỉ có 2 thuộc tính (giới tính) khi kiểm định thì tỷ lệ luôn = 0.5.

Tổng hợp xác suất thống kê

Tổng Hợp Xác Suất Thống Kê

Phần I: Xác Suất

Chương I: Biến Cỗ Ngẫu Nhiên và Xác Suất.

Chương II: Biến Ngẫu Nhiên và các Quy Luật Phân Bố XS.

+ EX = (cid:229) xiPi – X rời rạc với các giá trị xi tương ứng có XS Pi, i=1,n.

+ EX =

. – X liên tục.

+ V(X) = E(X

2 ) – (EX)

2 . 

X rời rạc: V(X) = (cid:229) (xi)2Pi – (EX)2

X liên tục: V(X) =

­ (EX)2

6. Quy luËt nhÞ thøc : Bi(n,p)

7. Quy luËt ph©n bè chuÈn : N(m

, s

2)

o(2) = 0,9544

o(+∞) = 0.5; F

o(­u) = ­ F

o(u) F

o(­∞) = ­0.5;u1­a= ­ua.

, s P(u>ux) = 1 – a  Φ0(ux) = 0.5 – (1­a) & u1­a=ux .

>

) =

nên nếu cho P(

2 < b) = a  P(

là điểm mà tại đó P(

2 > b) = 1­a  1­a

) =

nên nếu cho P(T< b) = a 

là điểm mà tại đó P(T> t

P(T> b) = 1­a  t1­a

(n)=b ( chú ý nếu n>30 ta chấp nhận ta

(n).)

(n) =Ua – Pbố chuẩn & ta

(n)= ­t1­a

) =

nên nếu cho P(F< b) = a 

(n1,n2)).

P(F>b) = 1­a  f1­a

là điểm mà tại đó P(F> f (n1,n2)= 1/fa

(n1,n2)= b. (chú ý: f1­a

Chương III: Mẫu ngẫu nhiên và các đặc trưng của mẫu

1. NÕu X ~ N (m

, s

2 ) X ~

)e<

( fP

Chương IV: Ước Lượng

1. X ~ N(m

,s

2) :

+ ¦íc lîng tham sè m

:

Trêng hîp s

2 ®∙ biÕt

Trêng hîp s

2 cha biÕt

+íc lîng tham sè s

2 :

Trêng hîp m

cha biÕt

Kho¶ng tin cËy tèi ®a :

Kho¶ng tin cËy tèi thiÓu :

2. X ~ A(p) :

§Æt p = P(A)

Kho¶ng tin cËy tèi ®a :

Kho¶ng tin cËy tèi thiÓu :

X¸c ®Þnh cì mÉu N : IN £

I0 ﬁ

N ‡

Chương IV: Kiểm định

KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ tham sè m

: X ~ N(m

, s

2)

MiÒn b¸c bá khi s

2 ®∙ biÕt

(EX)2

o(u) = F

o(∞) = 0.5;u1a= ua.

, s P(u>ux) = 1 – a  Φ0(ux) = 0.5 – (1a) & u1a=ux .

2 > b) = 1a  1a

P(T> b) = 1a  t1a

(n)= t1a

P(F>b) = 1a  f1a

(n1,n2)= b. (chú ý: f1a