http://toanhocmuonmau.violet.vn
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi có 01 trang
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN THI: TOÁN - LỚP 11 PHỔ THÔNG
Ngày thi:31 /03/2013
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1. (5 điểm)
Giải các phương trình sau:
1)
4 2
os 2cos 2 2sin 3
c x x x
+ − =
, (x
∈
ℝ
).
2)
2
sin 2 cos 2 4sin cos 3sin 2 os2 2cos 3 0,
x x x x x c x x
+ − − − + =
(x
∈
ℝ
).
Câu 2. (4 điểm)
1) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó có một chữ số xuất
hiện hai lần, các chữ số còn lại xuất hiện không quá một lần.
2) Cho n là số nguyên dương thoả mãn
1 2 3
1 2 3 ... 128 .
n
n n n n
+ + + + =
Tìm hệ số của x
6
trong khai triển thành đa thức của
1
( ) 2(1 ) (2 )
n n
f x x x x
+
= + + +
.
Câu 3. (3 điểm)
1) Cho dãy số (u
n
) được xác định như sau
1
1
1
1 2013
, 1.
2
n n
n
x
x x n
x
+
=
= + ≥
Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn và tìm
lim
n
n
x
→+∞
.
2) Tính giới hạn
3
0
4 . 1 2 2
lim
x
x x
x
→
+ + −
.
Câu 4. (6 điểm)
1) Trong mặt phẳng, cho ba điểm A, B, C di động sao cho chúng luôn tạo thành một
tam giác có trọng tâm G cố định và trực tâm H luôn chạy trên đường thẳng
∆
cố định. Tìm
tập hợp tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
2) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông
góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa SB và (ABCD) bằng 60
0
. Gọi N là trung điểm BC.
Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC.
a. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và AN.
b. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hình chóp S.ABCD.
Câu 5. (2 điểm)
Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng
2
sin sin cos 2.
2
A B C+ − ≤
--------------------------------Hết-------------------------------
Cán b
ộ
coi thi không gi
ả
i thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh................................................ Số báo danh:........................................
Giám thị 1 (Họ tên và ký)..................................................................................................
Giám thị 2 (Họ tên và ký)..................................................................................................
http://toanhocmuonmau.violet.vn
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
HƯỚNG DẪN CHẤM
BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
NGÀY THI 31/3/2013
MÔN THI: TOÁN LỚP 11 PHỔ THÔNG
Bản hướng dẫn chấm có 03 trang
Câu Phương pháp – Kết quả Điểm
Câu I 1) Phương trình tương đương với
2
2
(1 cos 2 )
2cos 2 (1 cos 2 ) 3
4
os 2 14cos 2 15 0
os2 1 os2 1
os2 15
, .
xx x
c x x
c x c x
c x
x k k
π
+
+ − − =
⇔ + − =
=
⇔ ⇔ =
= −
⇔ = ∈
ℤ
2) Phương trình đã cho tương đương với
sin 2x(2cos
2
x -1) + 4sin x cos
2
x –3sin2x –(2cos
2
x – 1 ) –2cos x + 3 = 0
⇔
(2sin2xcos
2
x – 2cos
2
x) + (4sinxcos
2
x – 2cos x) – 4sin 2x + 4 = 0
⇔
2cos
2
x(sin2x – 1) + 2cos x(sin2x – 1) – 4(sin 2x - 1) = 0
⇔
(sin 2x - 1)(cos
2
x + cos x - 2) = 0
⇔
sin 2 1
cos 1 4
2 ,
cos 2
x
x k
x
x k
x
π
π
π
=
= +
= ⇔
=
= −
.
k
∈
ℤ
0,5
0,5
0,5
0,5
1
1
Câu II
1) Trường hợp 1: Chữ số 0 xuất hiện 2 lần
Có
2
3
C
cách chọn 2 vị trí cho chữ số 0.
Có
2
9
A
cách xếp 2 chữ số trong 9 chữ số vào 2 vị trí còn lại
Vậy có
2
3
C
2
9
A
số có 4 chữ số thoả mãn trường hợp này.
TH2: Chữ số a (khác 0) xuất hiện 2 lần và a ở vị trí đầu tiên (vị trí hàng
nghìn).
Có 9 cách chọn a
Có 3 cách chọn thêm một vị trí nữa cho a.
Có
2
9
A
cách xếp 2 chữ số trong 9 chữ số vào 2 vị trí còn lại
Vậy có 9.3
2
9
A
số có 4 chữ số thoả mãn trường hợp này.
TH3: Chữ số a (khác 0) xuất hiện 2 lần và a không xuất hiện ở vị trí hàng
nghìn
Có 9 cách chọn a
Có
2
3
C
cách chọn 2 vị trí cho chữ số a.
Có 8 cách chọn một chữ số (khác 0 và khác a) vào vị trí hàng nghìn.
Có 8 cách chọn một chữ số vào vị trí còn lại.
Vậy có 9.8.8.
2
3
C
số có 4 chữ số thoả mãn trường hợp này
Theo quy tắc cộng, có
2
3
C
2
9
A
+ 9.3
2
9
A
+ 9.8.8.
2
3
C
= 3888 số thoả mãn đầu
bài.
0,5
0,5
0,5
0,5
ĐỀ CHÍNH THỨC
http://toanhocmuonmau.violet.vn
2) Chứng minh được
1 2 3 1
1 2 3 ... .2
n n
n n n n
C C C nC n
−
+ + + + =
Từ đó suy ra 2
n – 1
= 128
⇔
n = 8.
Vậy
8 9
8 9 9 1
8 9
0 0
( ) 2(1 ) (2 ) 2 2
k k i i i
k i
f x x x x C x C x
− +
= =
= + + + = +
∑ ∑
Từ đó tìm được hệ số cần tìm là
6 5 4
8 9
2 .2
C C+
= 2072
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu
III
1) Dễ thấy x
n
> 0 với mọi n
Ta có
1
1 2013 1 2013
.2 . 2013
2 2
n n n
n n
x x x
x x
+
= + ≥ =
Do đó x
n
≥
2013
với mọi n
≥
1.nên (x
n
) là dãy bị chăn dưới
Mặt khác
2
1
2013
1 2013
( ) 0
2 2
n
n n n
n n
x
x x x
x x
+
−
− = − = ≤
do x
n
≥
2013
với n
≥
2.
Do đó dãy (x
n
) giảm kể từ số hạng thứ 3.
Từ đó suy ra dãy (x
n
) có giới hạn hữu hạn.
Đặt a =
lim
n
n
x
→+∞
suy ra
1 2013 2013
2013
2
a a a a
a a
= + ⇔ = ⇔ = ±
Suy ra
lim
n
n
x
→+∞
=
2013
vì x
n
> 0 với mọi n.
2) Ta có
3 3
0 0
4 . 1 2 2 4 .( 1 2 1) 4 2
lim lim
x x
x x x x x
x x
→ →
+ + − + + − + + −
=
3
0
2
0 3
3
4 .( 1 2 1) 4 2
lim
2 4 1
lim
4 2
(1 2 ) 1 2 1
4 1 19 .
3 4 12
x
x
x x x
x x
x
x
x x
→
→
+ + − + −
= +
+
= +
+ +
+ + + +
=+=
0,5
1
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu
IV
1) Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
Khi đó O là trực tâm tam giác A’B’C’.
Phép vị tự
1
2
G
V
−
biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’
Do đó
1
2
:
G
V H O
−
→
Gọi
∆
’ là ảnh của
∆
qua
1
2
G
V
−
Khi đó tập hợp O chính là đường thẳng
∆
’.
2) Góc giữa SB và (ABCD) là
0
60
SBA =
Từ đó tính được SA =
3
a
Gọi K, L lần lượt là trung điểm của AD và SA
⇒
KL//SD và CK // AN
Do đó góc
α
giữa SD và AN chính là góc giữa KL và CK
Tính được
5 11
, ,
2 2
a a
CK KL a LC
= = =
Do đó
2 2 2
5
cos
2 . 10
CK KL LC
CKL
CK KL
+ −
= = −
1
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
http://toanhocmuonmau.violet.vn
Suy ra
5
cos
10
α
=
.
2) (P) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’C’D’
Dễ chứng minh được AC’
⊥
B’D’
Từ đó suy ra
'
' ' '
. ' '
2
AB C D
AC B D
S=
∆
SAC vuông tại A, AC’
⊥
SC nên tính được
30
'
5
3 5
'
5
a
AC
a
SC
=
=
∆
SD’C’ đồng dạng với
∆
SCA nên
' ' 3 5 3
'
10 2
SD SC a
SD
SC SD
= =
⇒
=
Ta có
' ' ' 3 3 2
' '
4 4
B D SD a
B D
BD SD
= =
⇒
=
Vậy
' 2
' ' '
. ' ' 3 15
2 20
AB C D
AC B D a
S
= =
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu V
Ta có
2
2 2
sin sin cos 2 sin os cos
2 2 2 2
2
2cos . (2 cos 1)
2 2 2
A B A B
A B C c C
C C
+ −
+ − ≤ −
≤ − −
Đặt t =
os
2
C
c
Ta sẽ chứng minh
2
2
2 (2 1) 2
2
t t
− − ≤
(*)
Thật vậy
2 2
(*) 2 2 2 1 0 ( 2 1) 0
t t t
⇔ − + ≥ ⇔ − ≥
(luôn đúng)
Từ đó suy ra (*) đúng
Vậy có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC vuông cân tại C.
1
1
Lưu ý khi chấm bài:
Trên đây chỉ là sơ lược đáp án, bài làm của học sinh phải được trình bày tỉ mỉ.
Mọi cách giải khác, nếu đúng, vẫn cho điểm tương đương như trên.