Về hiệu ứng Casimir

Chia sẻ: Nguyễn Xuân Quang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

34
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu trình bày về biểu thức lực Casimir - Polder giữa hai bản mặt dẫn điện lý tưởng; nói thêm về regulator; về hàm zeta Riemann; vài gợi mở về ứng dụng của hiệu ứng Casimir.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Về hiệu ứng Casimir

Về hiệu ứng Casimir Quangnx_ltd@yahoo.com Hiệu ứng Casimir hay lực Casimir - Polder là một loại lực vật lý đã được dự đoán từ lý thuyết trường lượng tử tái chuẩn hóa. Hiệu ứng xuất hiện khi ta đặt hai bản mặt kim loại trung hòa điện trong chân không, cách nhau vài μm và không có bất kỳ trường điện từ ngoài nào. Trong lý thuyết trường lượng tử, các bản mặt sẽ gây ảnh hưởng đến các photon ảo, làm nảy sinh một hợp lực có thể hoặc là lực hút hoặc là lực đẩy phụ thuộc vào cách bố trí đặc biệt của hai bản mặt kim loại. Đây là một ví dụ điển hình của một hiệu ứng thuần túy đến từ sự lượng tử hóa lần hai. Tuy nhiên, cách xử lý các điều kiện biên trong các tính toán cũng chưa đạt được sự nhất trí hoàn toàn. Casimir và Dirk Polder là các nhà vật lý đầu tiên đã dự đoán sự tồn tại của lực và đã là những người đầu tiên tiến hành thí nghiệm để nhận diện nó vào 1948 tại Philips Research Labs. Do cường độ của lực giảm nhanh theo khoảng cách nên nó chỉ đo được khi khoảng cách giữa những đối tượng rất nhỏ. Trong phạm vi dưới μm, lực này trở nên đủ mạnh và nó trở thành lực trội hơn hết giữa hai bản mặt dẫn điện trung hòa điện. Với khoảng cách 10 nm - khoảng 100 lần kích thước của một nguyên tử - Hiệu ứng Casimir sinh ra một áp lực khoảng 1atm. Dù hiệu ứng Casimir có thể được biểu thị dưới dạng những hạt ảo tương tác với các đối tượng, cách mô tả tốt nhất và dễ dàng hơn hết là tính toán dưới dạng năng lượng điểm 0 của một trường lượng tử hóa trong không gian.giữa các đối tượng. Hiệu ứng Casimir có thể nhận biết bởi ý tưởng về sự có mặt của các bản kim loại dẫn điện và các chất điện môi sẽ làm thay đổi giá trị của năng lượng vacuum từ trường điện từ lượng tử hóa lần hai. Mối quan tâm của Casimir đó là trường điện từ lượng tử hóa lần hai với sự có mặt của các khối kim loại hay chất điện môi lớn cũng phải tuân theo cùng điều kiện biên của trường điện từ cổ điển. Biểu thức lực Casimir - Polder giữa hai bản mặt dẫn điện lý tưởng Sau đây ta sẽ xét cách tính giá trị năng lượng chân không từ trường điện từ bên 1
trong một hốc kim loại, chẳng hạn như một hốc rađa hay một ống dẫn sóng vi ba. Trong trường hợp này, năng lượng điểm 0 của trường chính là phép lấy tổng năng lượng các sóng đứng trong hốc. Gọi năng lượng của sóng đứng thứ n là En, giá trị của năng lượng chân không của trường điện từ trong hốc sẽ là 1 〈 E〉= 2 ∑ En Trong đó số ½ tương ứng với năng lượng hiệu dụng điểm 0 khả dĩ, tương tự như hệ thức E = ℏ𝜔/2. Dưới dạng này, tổng năng lượng vacuum là phân kỳ, tuy nhiên, vẫn có thể sử dụng để đạt được những biểu thức hữu hạn. Bây giờ ta sẽ xét sự phụ thuộc năng lượng điểm 0 vào hình dạng s của hốc. Mỗi mức năng lượng En phụ thuộc vào hình dạng, và vì thế ta viết lại là En(s) cho mỗi mức năng lượng, và < En(s) > cho giá trị của năng lượng vacuum. Ta hãy để ý lực tại điểm p trên biên của hốc sẽ bằng với sự thay đổi của năng lượng vacuum nếu hình dạng s trên biên bị nhiễu loạn một lượng δs tại điểm p. Tức là ( ) F(p) = - |p ( ) Theo cách tính toán của Casimir, ta sẽ xét phần không gian nằm giữa một cặp bản mặt kim loại đặt song song cách nhau một khoảng cách rất nhỏ a. Khi đó, các sóng đứng sẽ được tính từ thành phần ngang của điện trường, và thành phần của từ trường sẽ bị triệt tiêu trên bề mặt của chất dẫn điện. Giả sử các bản mặt song song nằm trên mặt phẳng (x,y) các sóng đứng sẽ là: 𝜓 (x,y,z,t) = 𝑒 𝑒 sin(𝑘 z) Trong đó 𝜓 chỉ thành phần điện trường của trường điện từ, để đơn giản ta bỏ qua sự phân cực và thành phần từ trường, 𝑘 và 𝑘 là các vectơ sóng theo các chiều song song với bản mặt kim loại, và 𝑘 = Là các vectơ sóng vuông góc với các bản mặt, kết quả có được từ yêu cầu 𝜓 sẽ bị triệt tiêu trên các bản mặt kim loại. Năng lượng của sóng này là 𝜔 =c 𝑘 +𝑘 + Trong đó c là tốc độ ánh sáng, a là khoảng cách giữa các bản mặt song song. Năng lượng chân không sẽ là tổng quét qua mọi kiểu kích thích khả dĩ 2
ℏ. = với A là diện tích bề mặt của các bản mặt kim loại, hệ số 2 đại diện cho hai trạng thái phân cực khả dĩ của sóng. Biểu thức này vô hạn, để tính toán người ta đưa ra khái niệm regulator, là cái sẽ được sử dụng để khữ phân kỳ, giúp cho biểu thức trở nên hữu hạn. Và cuối cùng nó cũng sẽ được loại bỏ khỏi biểu thức bởi phép tính giới hạn. Dưới đây là phiên bản điều chỉnh bởi hàm zeta ζ của năng lượng trên đơn vị diện tích của bản mặt: ( ) =ℏ Cuối cùng, ta sẽ lấy giới hạn với s → 0 , trong đó s là một số phức (đừng nhầm lẫn với s là hình dạng). Tích phân/ tổng này hữu hạn đối với s thực và s > 3. Tổng này có một cực tại s = 3, và có thể phân tích tiếp tục, tại s = 0 ta có biểu thức hữu hạn. Sử dụng tọa độ cực 𝑞 = 𝑘 + 𝑘 ta chuyển tích phân hai lớp thành một lớp ( ) =ℏ Tính tích phân này ta được ( ) ( )/ ℏ = Tích phân này thực hiện theo tích phân góc 2π, tích phân hội tụ với R e(s) > 3. ( ) ℏ ℏ = ( ) Tổng có dạng hàm zeta Riemann ζ, do đó ta có ( ) ( ) ℏ = = → Vì hàm zeta ζ(−3) = 1/120 ta có ( ) ℏ = 𝐹 Lực Casimir trên đơn vị diện tích 𝐴 giữa hai bản mặt dẫn điện lý tưởng, hoàn hảo: 3
ℏ = = Trong đó a là khoảng cách giữa hai bản mặt kim loại. Lực này là âm, rất nhỏ, và điều quan trọng là lực này có nguồn gốc xuất xứ từ cơ học lượng tử. Hiệu ứng Casimir cũng có thể tính được bằng cách sử dụng các phương pháp tích phân hàm của lý thuyết trường lượng tử, nhưng những tính toán sẽ trừu tượng và khó hiểu hơn. Ngoài ra, chúng cũng chỉ có thể giải quyết được đối với các đối tượng hình học đơn giản nhất. Tuy nhiên, hình thức luận của lý thuyết trường lượng tử sẽ làm cho nó trở nên sáng sủa, tổng giá trị năng lượng chân không có thể hiểu là tổng của những cái được gọi là "các hạt ảo". Hơn nữa, một cách hình thức, tổng năng lượng vacuum được tính bởi năng lượng của các sóng đứng có thể xét là tổng các "trị riêng" của một Hamiltonian. Điều này cho phép các hiệu ứng thể hiện trong nguyên tử, phân tử như lực van der waals, sẽ được hiểu là các biến thể của hiệu ứng Casimir. Hamiltonian của hệ có thể xem như một hàm sắp xếp của các vật thể trong không gian có cấu hình xác định. Sự thay đổi năng lượng điểm 0 sẽ là hàm của sự thay đổi cấu hình, và đây là nguyên nhân gây ra các lực tác động giữa các đối tượng. Nói thêm về regulator Để thuận tiện tính toán đối với các phép lấy tổng trong trường hợp tổng quát, người ta đưa ra khái niệm regulator. Đây là một thủ thuật thường được sử dụng để tính tổng hữu hạn nhằm đơn giản hóa các thao tác, sau đó người ta sẽ lấy giới hạn để loại bỏ regulator khỏi biểu thức. Ví dụ xét tổng được điều chỉnh | | = Trong đó giới hạn khi t → 0 sẽ được lấy sau cùng. Sự phân kỳ của tổng thường được thể hiện đối với các hốc ba chiều như sau = + Finite Phần vô hạn của tổng được liên hệ với hằng số C của bulk, không phụ thuộc vào hình dạng của hốc. Phần có nghĩa của tổng sẽ là phần hữu hạn, phụ thuộc vào dạng của hốc. Ta biết regulator Gauss | | = Phù hợp tốt đối với các phép tính toán số bởi các tính chất hội tụ cao của nó, nhưng lại rất khó sử dụng trong tính toán cụ thể của lý thuyết. Còn riêng regulator theo hàm zeta 4
= Hoàn toàn không thích hợp cho các phép tính toán số, nhưng lại khá hiệu quả trong những tính toán cụ thể của lý thuyết. Trong đó, sự phân kỳ sẽ được biểu thị như các cực trong mặt phẳng phức s, với sự phân kỳ của bulk tại s = 4. Tổng này có thể phân tích tiếp tục qua cực này để thu được một phần hữu hạn tại s = 0. Lưu ý không phải mọi cấu hình hốc đều tất yếu dẫn tới một phần hữu hạn hay những phần vô hạn luôn độc lập dạng. Trong các trường hợp này, các yếu tố bổ sung vật lý phải được tính đến. Ví dụ, tại những tần số vô cùng lớn (trên tần số plasma), kim loại trở nên trong suốt đối với các photon (như tia X), và các chất điện môi lại cho thấy ngưỡng chặn của nó cũng phụ thuộc tần số. Những tác động phụ thuộc tần số này sẽ có ý nghĩa như một regulator tự nhiên Tồn tại khá nhiều hiệu ứng từ bulk trong vật lý chất rắn, về mặt toán học chúng rất tương đồng với hiệu ứng Casimir, nơi mà tần số ngưỡng có đóng góp hết sức rõ rệt để giữ cho các biểu thức hữu hạn. Về hàm zeta Riemann Hàm Zeta Riemann là một hàm biến phức, ban đầu được định nghĩa bởi chuổi : ζ(s) = = Chuổi hội tụ với mọi số phức s ≠ 1 liên tục, khả vi có một cực phân kỳ tại s = 1. Theo Euler ζ(1-s) = cos Viết lại hàm zeta theo Helmut Hasse 𝑛 ζ(s) = ∑ ∑ (−1) (𝑘 + 1) 𝑘 Phát biểu tổng quát được gọi là hàm zeta Hurwitz: ζ(s,q) = ∑ (𝑘 + 𝑞 ) Hàm zeta Riemann có thể định nghĩa bởi tích phân ζ(s) = dx Г( ) 5
Trong đó hàm gamma Г(s) = Hoặc: Г(s) = Lưu ý : Г(n) = (n-1)! Vài gợi mở về ứng dụng của hiệu ứng Casimir Trong một số trường hợp, hiệu ứng Casimir có thể gây ra lực đẩy giữa những đối tượng trung hòa điện. Evgeny Lifshitz đã chứng minh bằng lý thuyết rằng trong những điều kiện nhất định hiệu ứng Casimir có thể sinh ra lực đẩy. Điều này đã gây ra sự quan tâm đặc biệt trong việc định hướng ứng dụng hiệu ứng Casimir nhằm phát triển các thiết bị bay. Tuy nhiên nó cũng đã gây ra sự bàn cãi bởi vì nguồn lực này dường như đã vi phạm các ràng buộc nhân quả và cả yêu cầu về sự cân bằng nhiệt động lực. Hiện tại, các chứng minh thực nghiệm về hiệu ứng bay trên cơ sở lực Casimir vẫn chưa làm được, tuy nhiên người ta đã kiểm chứng được sự tồn tại của lực đẩy Casimir trong chất lỏng bằng thực nghiệm. Trong tương lai, lực Casimir sẽ có nhiều ứng dụng trong công nghệ nano, đặc biệt trong công nghệ mạch tích hợp silicon dựa trên các hệ thống cơ điện micro và nano, và cái gọi là những bộ dao động Casimir. Ngoài ra, lực đẩy Casimir xuất hiện khi chất lỏng giữa những bản mặt làm gia tăng lực đẩy điện từ có thể rất hữu ích trong cơ học nano. Tham khảo 6
1. The Force of Empty Space (http://focus.aps.org/story/v2/st28) on Physical Review Focus 2. A. Lambrecht, The Casimir effect: a force from nothing, (http://physicsweb.org/articles/world/15/9/6), Physics World, September 2002. 3. RL Jaffe Casimir effect and the quantum vacuum (http://cua.mit.edu/8.422/Jaffe2005_Casimir.pdf) 4. Photo of ball attracted to a plate by Casimir effect (http://apod.nasa.gov/apod/ap061217.html) ... Nguyễn Xuân Quang (10/08/08) Quangnx_ltd@yahoo.com 7