Nguyễn Tất Thu 1
BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN THAM SỐ
Khi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ta
thường hay gặp các bài toán liên quan đến tham số. Có lẽ đây là dạng toán mà
nhiều học sinh lúng túng nhất. Trong chương này chúng ta sẽ đi nghiên cứu
một số dạng toán mà chúng ta thương hay gặp (như xác định tham số để
phương trình có nghiệm, có k nghiệm, nghiệm đúng với mọi x thuộc tập D nào
đó… ) và phương pháp giải các dạng toán đó là khảo sát hàm số.
Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình f(x)=g(m) có
nghiệm trên D
Phương pháp: Dựa vào tính chất phương trình có nghiệm
⇔
hai đồ thị của
hai hàm số
(
)
yfx
= và
(
)
ygm
= cắt nhau. Do đó để giải bài toán này ta
tiến hành theo các bước sau:
1) Lập bảng biến thiên của hàm số
(
)
yfx
=.
2) Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng
(
)
ygm
= cắt đồ
thị hàm số
(
)
yfx
=.
Chú ý : Nếu hàm số
(
)
yfx
= liên tục trên
D
và tồn tại
min()
xD
∈
=
,
max()
xD
fxM
∈= thì phương trình :
(
)
fxk
=
có nghiệm trên
D
khi và chỉ khi
.
mkM
≤≤
Ví dụ 4.1: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm
22
4
2
1) 11
2) 1
xxxxm
xxm
++−−+=
+−=
.
Giải:
1)Xét hàm số:22
()11
fxxxxx
=++−−+
xác định trên
D
=
¡
.
Ta có:
22
2121
'()
2121
xx
fx
xxxx
+−
=−
++−+
() ( )
22
'0(21)1211 (1)
fxxxxxxx⇒=⇔+−+=−++
Nguyễn Tất Thu 2
22
22
113113
()()0
224224
xxxxx

⇒+−+=−++⇔=



thay vào (1)
ta thấy không thỏa mãn. Vậy phương trình
'()0
fx
=
vô nghiệm
'()
fx
⇒
không đổi dấu trên
¡
, mà
'(0)10()0
ffxxR
=>⇒>∀∈
.
Mặt khác:
22
2
lim() lim1
11
x
x
x
fx
xxxx
→+∞
→+∞
==
+++−+
và
lim()1
x
fx
→−∞
=−
Bảng biến thiên:
x
−∞
+∞
'()
fx
+
()
fx
1
-1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm
11
m
⇔−<<
.
2) Điều kiện :
0
x
≥
Xét hàm số 42
()1
fxxx
=+− với
[0;)
xD
∈=+∞
Ta có:
23
4
1
'()
2
2(1)
x
fx
x
x
=−
+
.
2362322
4
'()0(1)(1)1
fxxxxxxxx
⇒=⇔=+⇔=+⇔=+
phương trình này vô nghiệm
'()
fx
⇒
không đổi dấu trên D, mà
4
11
'(1)0'()0
2
28
ffxxD
=−<⇒<∀∈
Mặt khác:
4
23222426
444
1
lim()lim0
(1)(1)(1)
xx
fx
xxxxxx
→+∞→+∞
==
++++++
0()(0)1
fxfxD
⇒<≤=∀∈⇒
phương trình có nghiệm
01
m
⇔<≤
.
Chú ý : Nếu phương trình chưa có dạng trên thì ta tìm cách cô lập m đưa về
dạng trên.
Nguyễn Tất Thu 3
Ví dụ 4.2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
1) 44
1310
xxmx
−++−=
.
2)
12(54)
xxxmxx
++=−+−
.
Giải:
1) Phương trình 44
131
xxmx
⇔−+=−
42
1
13(1)
x
xxmx
≤
⇔−+=−
32
1
4691
x
xxxm
≤
⇔
−−=−
.
Xét hàm số 32
()469
fxxxx
=−−
với
1
x
≤
Ta có: 2
3
2
'()12129'()0
1
2
x
fxxxfx
x
=
=−−⇒=⇔
=−
.
Bảng biến thiên:
x
−∞
1/ 2
−
1
f’(x) + 0 –
f(x)
5
2
−∞
11
−
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm
53
1
22
mm
⇔−≤⇔≥−
.
2) Điều kiện:
04
x
≤≤
.
Khi đó phương trình
()(12)(54)
fxxxxxxm
⇔=++−−−=
(Vì
540
xx
−−−≠
)
Xét hàm số
()(12)(54)
fxxxxxx
=++−−−
với
0;4
xD

∈=

.
Ta có:
3111
'()()()
2
2122425
fxx
xxx
=+−
+−−
Do
11
0450
2425
xx
xx
<−<−⇒−>
−−
'()0 [0;4)
fxx
⇒>∀∈
. Vậy f(x) là hàm đồng biến trên
D
23(52)(0)()(4)12
ffxf
⇒−=≤≤=
Nguyễn Tất Thu 4
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
23(52)12.
m
⇔−≤≤
Chú ý : Khi gặp hệ bất phương trình trong đó một bất phương trình của hệ
không chứa tham số thì ta sẽ đi giải quyết bất phương trình này trước. Từ bất
phương trình này ta sẽ tìm được tập nghiệm
xD
∈
(đối với hệ một ẩn) hoặc
sẽ rút được ẩn này qua ẩn kia. Khi đó nghiệm của hệ phụ thuộc vào nghiệm
của phương trình thứ hai với kết quả ta tìm được ở trên.
Ví dụ 4.3: Tìm m để hệ sau có nghiệm:
245
2
1
2 (1)
2
3160 (2)
x
x
xmxx
−

≤


−+=
.
Giải:
Ta thấy (1) là bất phương trình một ẩn nên ta sẽ đi giải bất phương trình này
Ta có: 25422
225454014
xx
xxxxx
−
≤⇔≤−⇔−+≤⇔≤≤
.
Hệ có nghiệm
(2)
⇔
có nghiệm
[1;4]
x
∈
.
Ta có:
2
316
(2) x
m
xx
+
⇔=
(do
[1;4]
x
∈
).
Hàm số
2
316
() x
fx
xx
+
= với
[1;4]
x
∈
có
22 2
33
3
6(316) 3(16)
2
'()0 [1;4]
2
xxxx xx
fxx
xx
−+ −
==≤∀∈ .
8(4)()(1)19 [1;4]
ffxfx
⇒=≤≤=∀∈
.
Vậy hệ có nghiệm
819
m
⇔≤≤
.
Ví dụ 4.4: Tìm m để hệ sau có nghiệm:
2121
2
7720072007 (1)
(2)230 (2)
xxxx
xmxm
++++
−+≤
−+++=
.
Giải:
Ta có: 212(1)
(1)7(71)2007(1) (3)
xx
x
++−
⇔−≤− .
• Nếu
1(3)0(3)(3)
xVTV P
>⇒>>⇒
vô nghiệm.
• Nếu
1(3)0(3)(3)
xVTV P
≤⇒≤≤⇒
đúng
Nguyễn Tất Thu 5
(3)
⇒
có nghiệm
1
x
≤
.
Suy ra hệ có nghiệm
(2)
⇔
có nghiệm
1
x
≤
.
Ta có:
223
(2)()
2
xx
mfx
x
−+
⇔==
−
. Xét hàm số f(x) với
1
x
≤
, có:
2
2
41
'()'()023
(2)
xx
fxfxx
x
−+
=⇒=⇔=−
−.
Bảng biến thiên
x
−∞
23
− 1
f’(x) + 0 –
f(x)
223
−
−∞
2
−
Dựa vào bảng biến thiên
⇒
hệ có nghiệm
223
m
⇔≤− .
Ví dụ 4.5: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
20 (1)
2 (2)
xym
yxy
−+=
+=
.
Giải:
Ta thấy (2) là phương trình không chứa tham số nên ta sẽ giải quyết (2) trước
Ta có: 2
2
(2)2
44
y
xyy yy
xy
≤
⇔=−⇔
−+
=
. Thay vào (1) ta được:
24444
0()
yyy
ymmfy
yy
−+−
−+=⇔== (3).
Hệ có nghiệm
(3)
⇔
có nghiệm
2
y
≤
. Xét hàm số
(
)
fy
với
2
y
≤
Ta có: 2
4
'()0()
fyfy
y
=>⇒ đồng biến trên mỗi khoảng
(;0)(0;2]
−∞∪
00
lim()4; lim(); lim()
y
yy
fyfyfy
+−
→−∞ →→
==−∞=+∞
.