http://ductam_tp.violet.vn/
TR NG THPT L NG NG C QUY N- TP. THÁI NGUYÊNƯỜ ƯƠ Ọ Ế
Đ THI TH Đ I H C NĂM 2011Ề Ử Ạ Ọ
Môn: TOÁN – Kh i: Aố
(Th i gian làm bài 180 phút, không k th i gian phát đ )ờ ể ờ ề
PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH(Ầ Ấ Ả 7,0 đi mể)
Câu I ( 2,0 đi m):ể Cho hàm s ố
2 4
1
x
yx
−
=+
.
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s .ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố
2. Tìm trên đ th (C) hai đi m đ i x ng nhau qua đ ng th ng MN bi t M(-3; 0) và N(-1; -1).ồ ị ể ố ứ ườ ẳ ế
Câu II (2,0 đi m)ể:
1. Gi i ph ng trình: ả ươ
2
21 3 2
1 3 x x
x x
= + + −
+ + −
2. Gi i ph ng trình:ả ươ
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x+ + + = + + +
Câu III (1,0 đi m)ể: Tính tích phân:
2
1
ln ln
1 ln
e
x
I x dx
x x
= +
÷
+
∫
Câu IV (1,0 đi m):ểCho hai hình chóp S.ABCD và S’.ABCD có chung đáy là hình vuông ABCD c nhạ
a. Hai đ nh S và S’ n m v cùng m t phía đ i v i m t ph ng (ABCD), có hình chi u vuông góc lênỉ ằ ề ộ ố ớ ặ ẳ ế
đáy l nầ l t là trung đi m H c a AD và trung đi m K c a BC. Tính th tích ph n chung c a hai hìnhượ ể ủ ể ủ ể ầ ủ
chóp, bi t r ng SH = S’K =h. ế ằ
Câu V(1,0 đi m):ể Cho x, y, z là nh ng s d ng tho mãn xyz = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi uữ ố ươ ả ị ỏ ấ ủ ể
th c:ứ
9 9 9 9 9 9
6 3 3 6 6 3 3 6 6 3 3 6
x y y z z x
Px x y y y y z z z z x x
+ + +
= + +
+ + + + + +
PH N RIÊNG(Ầ3,0 đi mể)
Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n(ph n A ho c ph n B)ỉ ượ ộ ầ ầ ặ ầ
A. Theo ch ng trình chu n.ươ ẩ
Câu VI.a (2,0 đi m)ể
1. Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho đ ng tròn (C) có ph ng trình: ặ ẳ ớ ệ ạ ộ ườ ươ
2 2 4 3 4 0x y x+ + − =
.
Tia Oy c t (C) t i A. L p ph ng trình đ ng tròn (C’), bán kính R’ = 2 và ti p xúc ngoài v i (C) t iắ ạ ậ ươ ườ ế ớ ạ
A.
2. Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho hai đi m A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và đ ng th ng d cóớ ệ ạ ộ ể ườ ẳ
ph ng trình ươ
2 3
2 (t R)
4 2
x t
y t
z t
= +
= − ∈
= +
. Tìm trên d nh ng đi m M sao cho t ng kho ng cách t M đ n A và Bữ ể ổ ả ừ ế
là nh nh t.ỏ ấ
Câu VII.a (1,0 đi m)ể: Gi i ph ng trình trong t p s ph c: ả ươ ậ ố ứ
20z z+ =
B. Theo ch ng trình nâng cao.ươ
Câu VI.b (2,0 đi m):ể
1. Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho hình ch nh t ABCD có c nh AB: x -2y -1 =0, đ ngặ ẳ ớ ệ ạ ộ ữ ậ ạ ườ
chéo BD: x- 7y +14 = 0 và đ ng chéo AC đi qua đi m M(2;1). Tìm to đ các đ nh c a hình chườ ể ạ ộ ỉ ủ ữ
nh t.ậ
2. Trong không gian v i h to đ vuông góc Oxyz, cho hai đ ng th ng:ớ ệ ạ ộ ườ ẳ
.Ch ng minh r ng hai đ ng th ng (ứ ằ ườ ẳ
∆
) và (
'∆
) c tắ
nhau. Vi t ph ng trình chính t c c a c p đ ng th ng phân giác c a các góc t o b i (ế ươ ắ ủ ặ ườ ẳ ủ ạ ở
∆
) và (
'∆
).
Câu VII.b (1,0 đi m)ể: Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
2 2 2
3 3 3
log 3 log log
log 12 log log
x y y x
x x y y
+ = +
+ = +
.
-------------------------------- H tế ------------------------
H và tên thí sinh: ………………………..……………………………………S báo danh: ……………...……ọ ố
ĐÁP ÁN, THANG ĐI M THI TH Đ I H C NĂM 2010 – MÔN TOÁN – KH I AỂ Ử Ạ Ọ Ố
Câu N i dungộĐiể
m
I. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SẦ Ấ Ả INH(7,0 đi m)ể
CâuI 2.0
1. TXĐ: D = R\{-1}
Chi u bi n thiên: ề ế
2
6
' 0 x D
( 1)
yx
= > ∀ ∈
+
=> hs đ ng bi n trên m i kho ng ồ ế ỗ ả
( ; 1)−∞ −
và
( 1; )− +∞
, hs không có c c trự ị 0.25
Gi i h n: ớ ạ
1 1
lim 2, lim , lim
xx x
y y y
− +
→±∞ →− →−
= = +∞ = −∞
=> Đ th hs có ti m c n đ ng x= -1, ti m c n ngang y = 2 ồ ị ệ ậ ứ ệ ậ
BBT
x -
∞
-1 +
∞
y’ + +
y
+
∞
2
2 -
∞
0,25
0.25
+ Đ th (C): ồ ị
Đ th c t tr c hoành t i đi m ồ ị ắ ụ ạ ể
( )
2;0
, tr c tung t i đi m (0;-4)ụ ạ ể
f(x)=(2x-4)/(x+1)
f(x)=2
x( t )=-1 , y (t )=t
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
Đ th nh n giao đi m 2 đ ng ti m c n làm tâm đ i x ngồ ị ậ ể ườ ệ ậ ố ứ
0.25
2. G i 2 đi m c n tìm là A, B có ọ ể ầ
6 6
;2 ; ;2 ; , 1
1 1
A a B b a b
a b
− − ≠ −
÷ ÷
+ +
0.25
Trung đi m I c a AB: Iể ủ
2 2
;
2 1 1
a b a b
a b
+ − −
+
÷
+ +
Pt đ ng th ng MN: x + 2y +3= 0ườ ẳ 0.25
Có :
. 0AB MN
I MN
=
∈
uuur uuuur
0.25
=>
0 (0; 4)
2 (2;0)
a A
b B
= −
=>
=
0,25
CâuII 2.0
1. TXĐ: x
[ ]
1;3∈ −
0,25
Đ t t=ặ
1 3 , t > 0x x+ + −
=>
2
24
3 2 2
t
x x −
+ − =
0,25
đc pt: t3 - 2t - 4 = 0 t=2 0,25
V i t = 2 ớ
1
1 3 =2 ( / )
3
x
x x t m
x
= −
+ + − ⇔ =
0,25
2.
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x+ + + = + + +
1,0
TXĐ: D =R
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x+ + + = + + +
[ ]
sin 0
(sin ). 2 2(sin ) sin . 0 2 2(sin ) sin . 0
x cosx
x cosx x cosx x cosx x cosx x cosx
− =
⇔ − + + + = ⇔ + + + =
0,25
+ V i ớ
sin 0 ( )
4
x cosx x k k Z
ππ
− = ⇔ = + ∈
0,25
+ V i ớ
2 2(sin ) sin . 0x cosx x cosx+ + + =
, đ t t = ặ
sin (t 2; 2 )x cosx
+ ∈ −
đ c ptượ : t2 + 4t +3 = 0
1
3( )
t
t loai
= −
⇔= −
0.25
t = -1
2
( )
2
2
x m
m Z
x m
π π
ππ
= +
⇒ ∈
= − +
V yậ :
( )
4
2 ( )
2
2
x k k Z
x m m Z
x m
ππ
π π
ππ
= + ∈
= + ∈
= − +
0,25
Câu III
2
1
ln ln
1 ln
e
x
I x dx
x x
= +
÷
+
∫
1,0
I1 =
1
ln
1 ln
e
xdx
x x
+
∫
, Đ t t = ặ
1 ln x+
,… Tính đ c Iượ 1 =
4 2 2
3 3
−
0,5
( )
2
2
1
ln
e
I x dx
=
∫
, l y tích phân t ng ph n 2 l n đ c Iấ ừ ầ ầ ượ 2 = e - 2 0,25
I = I1 + I2 =
2 2 2
3 3
e− −
0,25
Câu IV 1,0
M
N
A
B
D
C
S
S'
H
K
SABS’ và SDCS’ là hình bình hành => M, N là trung đi m SB, S’Dể :
. .S ABCD S AMND
V V V= −
0,25
. . .S AMND S AMD S MND
V V V= +
;
. .
. .
1 1
; . ;
2 4
S AMD S MND
S ABD S BCD
V V
SM SM SN
V SB V SB SC
= = = =
0.25
. . .
1
2
S ABD S ACD S ABCD
V V V= =
;
. . .
3 5
8 8
S AMND S ABCD S ABCD
V V V V= ⇒ =
0.25
2
5
24
V a h⇒ =
0.25
CâuV Có x, y, z >0, Đ tặ : a = x3 , b = y3, c = z3 (a, b, c >0 ; abc=1)đc :
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b b c c a
Pa ab b b bc c c ca a
+ + +
= + +
+ + + + + +
0.25
3 3 2 2
2 2 2 2
( )
a b a ab b
a b
a ab b a ab b
+ − +
= +
+ + + +
mà
2 2
2 2
1
3
a ab b
a ab b
− + ≥
+ +
(Bi n đ i t ng đ ng)ế ổ ươ ươ
2 2
2 2
1
( ) ( )
3
a ab b
a b a b
a ab b
− +
=> + ≥ +
+ +
0.25
T ng t : ươ ự
3 3 3 3
2 2 2 2
1 1
( ); ( )
3 3
b c c a
b c c a
b bc c c ca a
+ +
≥ + ≥ +
+ + + +
=>
3
2( ) 2. 2
3
P a b c abc≥ + + ≥ =
(BĐT Côsi) 0.25
=> P
2, 2 khi a = b = c = 1 x = y = z = 1P≥ = ⇔
V y: minP = 2 khi x = y =z =1ậ0.25
II. PH N RIÊNG(3,0 đi m)Ầ ể
A. Ch ng trình chu nươ ẩ
CâuVI.a 2.0
1. A(0;2), I(-2
3
;0), R= 4, g i (C’) có tâm I’ọ0,25
Pt đ ng th ng IAườ ẳ :
2 3
2 2
x t
y t
=
= +
,
'I IA∈
=> I’(
2 3 ;2 2t t +
), 0,25
1
2 ' '( 3;3)
2
AI I A t I= ⇔ = =>
uur uuur
0,25
(C’):
( )
( )
22
3 3 4x y− + − =
0.25
2. M(2+ 3t; - 2t; 4+ 2t)
d
∈
, AB//d. 0.25
G i A’ đ i x ng v i A qua d => MA’= MA => MA+ MB = MA’ + MB ọ ố ứ ớ
≥
A’B
(MA+ MB)min = A’B, khi A’, M, B th ng hàng ẳ=> MA = MA’ = MB
0.25
0,25
MA=MB <=> M(2 ; 0 ; 4) 0,25
CâuVII.a 1.0
z = x + iy (
,x y R∈
), z2 +
2 2 2 2
0 2 0z x y x y xyi= ⇔ − + + + =
0,25
2 2 2 2
2 0
0
xy
x y x y
=
⇔− + + =
0,25
0
0
0
1
0
1
x
y
x
y
x
y
=
=
=
⇔=
=
= −
0,25
V y: z = 0, z = i, z = - iậ0,25
B. Ch ng trình nâng caoươ
Câu
VI.b
2.0
1.
(7;3)BD AB B∩ =
, pt đg th ng BC: 2x + y – 17 = 0ẳ
(2 1; ), ( ;17 2 ), 3, 7A AB A a a C BC C c c a c∈ ⇒ + ∈ ⇒ − ≠ ≠
,
I =
2 1 2 17
;
2 2
a c a c+ + − +
÷
là trung đi m c a AC, BD.ể ủ
0,25
I
3 18 0 3 18 (6 35;3 18)BD c a a c A c c∈ ⇔ − − = ⇔ = − ⇒ − −
0,25
M, A, C th ng hàng ẳ
,MA MC
uuur uuuur
cùng ph ng => cươ 2 – 13c +42 =0
7( )
6
c loai
c
=
=
0,25
c = 6 =>A(1;0), C(6;5) , D(0;2), B(7;3) 0.25
2.
Ch ng minh h có nghi m duy nh t, (ứ ệ ệ ấ
∆
)
∩
(
'∆
) = A
1 3
;0;
2 2
−
÷
0.5
(0; 1;0) ( )M− ∈ ∆
, L y Nấ
( ')∈ ∆
, sao cho: AM = AN => N
AMN
∆
cân t i A, l y I là trung đi m MN => đ ng phân giác c a các góc t o b i (ạ ấ ể ườ ủ ạ ở
∆
)
và (
'∆
) chính là đg th ng AIẳ0.25
Đáp s :ố
1 2
1 3 1 3
2 2 2 2
( ) : ;( ) :
1 1 2 2 3 5 1 1 2 2 3 5
14 30 14 30 14 30 14 30 14 30 14 30
x z x z
y y
d d
+ − + −
= = = =
− − − −
+ + + − − −
0,25
Câu
VII.b
TXĐ:
0
0
x
y
>
>
0.25
2 2 2
3 3 3
log 3 log log 3 . 2 .
log 12 log log 12 . 3 .
x y
x y
x y y x y x
x x y y x y
+ = + =
⇔
+ = + =
0.25
2
3 . 2 .
x y
y x
y x
=
⇔=
0.25
4
3
4
3
log 2
2log 2
x
y
=
⇔=
(t/m TXĐ) 0,25
(H c sinh gi i đúng nh ng không theo cách nh trong đáp án, gv v n cho đi m t i đa t ngọ ả ư ư ẫ ể ố ươ
ng nh trong đáp án ).ứ ư