Bài giảng Đại cương về Xác suất Chương I: Tổng quan và kiến thức cơ bản

Ạ ƯƠ NG I. Đ I C

ƯƠ ế ố ệ ủ Ề ữ Ấ NG V XÁC SU T CH ế ố §1:Bi n c và quan h c a gi a các bi n c

ạ ế ố : g m 3 lo i ồ

(cid:0) ể ả

ẫ

(cid:0) ằ ị ế ố ử 1.Phép th và bi n c . ạ 2.Phân lo i bi n c Bi n c ch c ch n: ắ ế ố ắ Bi n c không th có hay không th x y ra: ế ố ể Bi n c ng u nhiên: A, B, C… ế ố 3. So sánh các bi n cế ố. Đ nh nghĩa 1.1: (A n m trong B hay A kéo theo B)

A B(cid:0) ế n u A x y ra thì B x y ra.Vây

ả ả ̣

A B

(cid:0) (cid:0)

= A B

Khoa Khoa Học và Máy Tính

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

$� ̹

A B A .

̀ ị ượ ế ố ơ ấ ̣ Đ nh nghĩa 1.2: A đ c goi la bi n c s c p

= (cid:0) .A B A B

ế ố 4. Các phép toán trên bi n c .

ả ả ỉ x y ra khi và ch khi A x y ra ả và B x y ra.

+ = (cid:0) A B A B ra.

A B-

ả ả ỉ x y ra khi và ch khi A x y ra ho cặ B x y ả

ả ả ả ỉ x y ra khi và ch khi A x y ra và B không x y

= W

ra. -

Khoa Khoa Học và Máy Tính

ả ả ỉ x y ra khi và ch khi A không x y ra.

Khoa Khoa Học và Máy Tính

• Hình 1.1 Hình 1.2

ủ ố • Các phép toán c a bi n c có tính ch t gi ng các phép toán

A i

S = P A i i

P = S A , i i

A i i

ấ ấ ố ẫ ợ ế ố ủ ậ c a t p h p, trong đó có các tính ch t đ i ng u:

ấ ổ ộ ễ : t ng = có ít nh t m t ;tích = t ấ ả t c ữ ể Ngôn ng bi u di n

đ u.ề

ầ ử ấ ấ ấ (A = có ít nh t 1 ph n t có tính ch t x) suy ra (không A = t t

ấ

ấ ị i không b lùn) suy ra( không

ấ ả ề Ví d 1.1: (A = có ít nh t 1 ng t c đ u lùn).

.A B = (cid:0) ế ố

ả ề c đ u không có tính ch t x). ườ ụ A = t ị ượ ọ ắ ớ • Đ nh nghĩa 1.3: bi n c A và B đ c g i là xung kh c v i

Khoa Khoa Học và Máy Tính

nhau n u ế

ị ấ §2: Các đ nh nghĩa xác su t

ị ổ ể ề

ỗ ế ụ • 1. Đ nh nghĩa c đi n v xác su t ấ • Đ nh nghĩa 2.1: gi s trong m i phép th các k t c c là

ả ế ụ ệ

́ ế ố ử ư ậ ả t c n k t c c nh v y. Kí hi u m ấ i cho bi n c A. Khi â y xác su t

(

= )

ả ử ị ấ ồ đ ng kh năng và có t ậ ợ ế ụ ố là s các k t c c thu n l c a ủ R

m n

ế ố bi n c A là:

ụ ẫ ắ ộ

2 4

R =

ắ ́ • Ví d 2.1: Trong 1 h p co 6 bi tr ng, 4 bi đen.L y ng u ấ ấ ể ấ ượ c đúng 3 bi tr ng.

nhiên ra 5 bi. Tính xác su t đ l y đ 3 .C C 6 5 C 10 ả ố ộ i ( phân ph i siêu b i)

Khoa Khoa Học và Máy Tính

• Gi

ấ ầ ượ ố ấ ạ Chú ý: l y 1 lúc 5 bi gi ng l y l n l t 5 bi không hoàn l i

ườ ẫ i lên ng u nhiên 5 toa tàu. Tính xác

R =

4 5

ụ ấ ể ườ • Ví d 2.2: Có 10 ng ứ ấ su t đ toa th nh t không có ng i lên:

ị ấ ọ ề

ị ồ

W ỗ ằ

ế ụ ọ ậ ợ ễ ể ệ 2. Đ nh nghĩa hình h c v xác su t: ử ả ử s trong m i phép th các k t c c là đ ng Đ nh nghĩa 2.2: gi ể ể ề ượ c bi u di n b ng các đi m hình h c trên mi n kh năng và đ . ế ụ ề i cho

́ ế ố ả Kí hi u D là mi n bi u di n ca c k t c c thu n l bi n c A. Khi y xác su t c a bi n c A là:

W ế ố ộ ấ ộ ệ ặ ộ ộ ễ ấ ủ ể P(A)= đ đo D/đ đo (đ đo là đ dài,di n tích ho c th

Khoa Khoa Học và Máy Tính

tích)

ạ ạ ẫ • Ví d 2.3ụ

ủ ạ ạ

ấ ể ̀ ́ ̀ ́ ́ ư ư ̉ ̣ ̣ ̣ ̣ ố ị : Chia đo n AB c đ nh ng u nhiên thành 3 đo n. ậ Tính xác su t đ 3 đo n đó l p thành 3 c nh c a 1 tam giác. ̀ • Giai: Goi đô da i đoan th 1,2 la x,y.Khi â y đoan th 3 la

lxy > > (cid:0) x 0 W (cid:0)

+ > y

(cid:0) x y 0, + < y l (cid:0)

l 2

(cid:0)

- (cid:0) (cid:0)

�

< �

�

(

A )

1 4

� y � �

W R

x � + - D x l � � + - l y

+ > - y l - > x y - > y x

(cid:0) (cid:0)

l 2 l 2

Khoa Khoa Học và Máy Tính

(cid:0) (cid:0)

HÌNH 2.1

Khoa Khoa Học và Máy Tính

̃ ̀ ̉ ư ặ ươ ̉ ẳ : Ném lên m t ph ng có ke nh ng đ ng thăng

• Ví d 2.4ụ song

́ ́ ̉ ̣ ̣

́ ́ ́ ̀ ̉ ng

̉ ̀ ̀ song ca ch nhau 1 khoang la 2a môt cây kim co đô da i ́ ́ ươ 2t<2a.Ti nh xa c suâ t đê cây kim că t 1 trong ca c đ thăng song song

̉ (cid:0) P (cid:0) W ́ (cid:0) ̉ ả a . (cid:0) (cid:0) Giai: G i I là đi m gi a cây kim khi quay kim,IH là kho ng ầ IH a ể ữ < a 0 W = P� ̀ ừ ớ ườ ấ ng thăng g n nh t; la go c nghiêng.Khi i đ dt < = h 0 ọ I t cách t ́ ́ â y ta co :

IK t

0 0

sin

(cid:0) (cid:0) P (cid:0) W (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

a a d

sin

t 2

=� A ) (

t 2 a

R (cid:0) P

Khoa Khoa Học và Máy Tính di n tích D =

ệ

HÌNH 2.2

Khoa Khoa Học và Máy Tính

HÌNH 2.3

Khoa Khoa Học và Máy Tính

ấ

S ị ị ề ậ ệ

ế ố ́ ́ ọ ấ ợ ắ ặ ỗ

ử ố ề

W =

0 P

( P A ( P ) 1,

1 0

(

(cid:0) (cid:0)

3. Đ nh nghĩa xác su t theo tiên đ • Đ nh nghĩa 2.3: Ký hi u là t p h p các bi n c trong 1 phép th . Ta g i xác su t là 1 quy t c đ t m i biê n cô A ớ ỏ v i 1 s P(A) th a mãn các tiên đ : ) ) =� ế ố ắ ớ ọ ộ

(cid:0) (cid:0)

(

)

A i

R R

Khoa Khoa Học và Máy Tính

(I) (II) (III) V i m i dãy bi n c đôi m t xung kh c,ta co :́ � � = � � A � � i � �

ị

ấ §3: Các đ nh lý xác su t

ị ấ ộ 1: Đ nh lý c ng xác su t

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)

ị Đ nh lý 3.1.

)

(

)

(

...

( 1)

...

(

)

A i

+ A A i

) + + - A A A i j k

P A A A n 1 2

�

< < j k

= 1

� � ( = � � � A � � i � � = 1

- R R - R R

ườ ẫ : Có k ng i lên ng u nhiên n toa tàu (k

Khoa Khoa Học và Máy Tính

ấ ể ấ ả ề ườ su t đ t t c các toa đ u có ng i lên

Bài gi iả

ề ấ ả ườ

A =� (cid:0)

A i lên ườ

• A t • •

A i

= 1

i k

ấ ́ ́ ườ ư t c các toa đ u có ng có ít nh t 1 toa không có ng iA toa th i không co ng

(

)

- - - i lên. i lên, i =1, 2,…n ( ) (

R -

( A =

)

�

1 n

3 n

2 n

) 1 k

3 k

2 + k n

( + + - ...

) 1

n n

k 1 n

( ) A = -

C . (

+ 1 )

�

Khoa Khoa Học và Máy Tính

R R A

ứ

ư ỏ ấ ể ứ ư ị ề ẫ Ví d 3.2ụ : Có n b c th b ng u nhiên vào n phong bì có đ ỉ ấ ỉ ị ẵ s n đ a ch . Tính xác su t đ có ít nh t 1 b c th đúng đ a ch .

iả

A i

A ấ ứ Bài gi ứ A Có ít nh t 1 b c đúng. ứ B c th i đúng

(

=� (cid:0) A (

(

) 1 !

) 3 !

- - -

( A =

)

�

2 n

1 n

3 n

R -

+ 1

+ - 1

(

( + + - ...

) 1

C .

) 1

n n

1! n !

= i 1 ) 2 ! + n ! 1 n !

+ 1

(

= - 1

) 1

1 1 1 + + - + ... 2! 3! 4!

1 n !

Khoa Khoa Học và Máy Tính

ị ấ 2. Đ nh lý nhân xác su t

ị ấ ủ • Đ nh nghĩa 3.2: Xác su t c a bi n c B khi bi

ế ố ấ ủ ế ằ ề ượ ọ ệ ớ ế ố t r ng bi n c c g i là xác su t c a B v i đi u ki n A và kí

ệ

ể ả ướ ặ ồ ờ

́ ả A đã x y ra đ hi u là P(B/A). ế ố ữ ể ễ ế • Chú ý: bi n c A có th x y ra tr c, đ ng th i ho c sau B • Ngôn ng bi u di n: P(B/A) = xác su t B biê t (n u)A ho c ặ ấ

Cho A… tính xác su t B.ấ

́ ị

(

)

(

)

(

)

...

= R ... 2

R A A A A R A A R A A A R A A A A • Đ nh ly 3.2: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B) ( ( ) .

(

)

(

)

R A B R B R A B

(

)

A = /

R B

)

(

)

R A R A

Khoa Khoa Học và Máy Tính

• H qu : ả ệ (

HÌNH 3.1

Khoa Khoa Học và Máy Tính

ế ố Hai bi n c A,B đ

ớ ế ượ ọ ộ ộ ậ c g i là đ c l p v i nhau ệ • Đ nh nghĩa 3.3: ấ ủ

ả

ị ộ ậ • Đ nh nghĩa 3.4:

ầ ị ế ế ố n u xác su t c a bi n c này không thu c vào vi c bi n có ử ư kia đã x y ra hay ch a trong 1 phép th . ộ ệ M t h các bi n c đ ế ố ủ ệ ộ ậ c g i là đ c l p toàn ớ ổ ợ ế ấ ỳ h p b t k

ỗ ế ố

ỉ

= i i ,

A ả ử ầ ấ s la đ c l p toàn ph n. Khi y ta có:

)

(

1. (

R P R A ế ố ượ ọ ph n n u m i bi n c c a h đ c l p v i 1 t ạ ủ c a các bi n c còn l i. • Đ nh lý 3.3: A, B đ c l p khi và ch khi P(AB)=P(A).P(B) ộ ậ ị ̀ • Gi ộ ậ = P A ) i

R S P R A

(

)

2. (

) 1

= - A i

Khoa Khoa Học và Máy Tính

ườ ấ ứ ợ ộ ậ ng h p đ c l p không nên dùng công Chú ý: Trong tr ấ ứ ộ th c c ng xác su t mà nên dùng công th c nhân xác su t.

ắ ố ế ế • Ví d 3.3: ụ

t th i là . Tính xác su t đ m ng h ng.

i= 1

A ỏ ế t th i h ng A ấ t m c n i ti p.Xác su t ấ ể ạ ỏ � (cid:0) A =

ậ

ạ ồ 1 m ng g m n chi ti ứ ế ỏ ủ iP h ng c a chi ti • Gi ứ ế ố ả i: bi n c chi ti ỏ ế ố ạ A bi n c m ng h ng • V y xác su t đ m ng h ng là: ỏ ấ ể ạ

( ) A = R

) (

)

R P R - R - R -

(

)

A = - 1

( ... 1

( R� 1 �

� �

= 1

n � � A = - � � � � = 1

Khoa Khoa Học và Máy Tính

(cid:0)

ắ ấ ể : Tung 3 xúc x c. Tính xác su t đ : Ví d 3.4ụ

• ấ ổ ằ

́ t có ít nhâ t 1 m t 1 ch m ừ ế ố ấ ặ ố ấ ấ ấ ặ t s ch m khác nhau t ng

•

ế 1. T ng s ch m b ng 9 bi 2. Có ít nh t 1 m t 1 ch m bi đôi m t.ộ i:ả Gi ọ ặ

ằ ổ

̀ ừ ấ 1. G i A là có ít nh t 1 m t 1 ch m. B là t ng s ch m b ng 9 ộ C la các s ch m khác nhau t ng đôi m t

)

(

( A =

)

3 6 =

- ấ ố ấ ố ấ 3 5 R A B R

(

)

�

A = /

R B

(

)

15 91

15 . 3 6 6

3 5

R A -

( B =

)

6 15 3 6

Khoa Khoa Học và Máy Tính

R A

ể ặ ấ ấ ằ ố ộ ổ S cách đ có ít nh t m t m t 1 ch m và t ng b ng 9:

ể ấ ằ ấ ặ ổ ộ • 1+2+6 suy ra có 3! cách • 1+3+5 suy ra có 3! cách • 1+4+4 suy ra có 3 cách Suy ra có 15 cách đ có ít nh t m t m t 1 ch m và t ng b ng

(

) =

2. R

(

)

�

= C

1 2

R A

(

)

= C

6.5.4 3 6 3.5.4 3 6

Khoa Khoa Học và Máy Tính

R A

iH i ,

ứ ứ ấ ầ ủ 3. Công th c xác su t đ y đ và công th c Bayes:

n= 1, ử ấ ị

ệ ệ ầ ủ • Đ nh nghĩa 3.5: H đ

ượ ọ ỉ c g i là h đ y đ , ế

ả

iH i ,

ệ ầ ủ ả ử ị s là h đ y đ . Ta có:

)

R A

) =

(

( iH (cid:0) �� ( ) )

= 1

ứ ầ ủ R R R A ị ỗ ế n u trong m i phép th nh t đ nh 1 và ch 1 trong các bi n c Hố i x y ra. n= • Đ nh lý 3.4: Gi 1, ( (công th c đ y đ ). H /

(

)

(

R A R R A

)

) = ,

) . (công th c ́ư (

H = i )

(

)

( A = H / i Bayess)

Khoa Khoa Học và Máy Tính

R A R A

Chú ý:

(

)

(

)

(

)

A = /

= 1

R B R A R B A (cid:0) 1.

(

)

R A B

)

(

A = /

(

)

R B 2. R A

( B =

)

(

)

(

)

= 1

Khoa Khoa Học và Máy Tính

R A R R A B V i: ớ (cid:0)

ụ ứ

ộ ứ

ấ

́ ượ ừ ộ

1l y đ

ấ ượ ộ ộ c h p Gi

(

1/ 2

) = 2

R ắ ỡ ộ Ví d 3.5: Có 2 h p bi cùng c , h p 1 ch a 4 bi tr ng và 6 bi ẫ ắ ộ ấ xanh, h p 2 ch a 5 bi tr ng và 7 bi xanh.L y ng u nhiên 1 ừ ộ ắ ẫ ộ h p, t h p đó l y ng u nhiên 1bi thì đ c bi tr ng. Tìm ế ấ ể h p trên ra là bi xác su t đ viên bi ti p theo, cũng lâ y t ắ tr ng. ấ ộ ả i: H p 1: 4t + 6x .L y ng u nhiên 1 h p:H ) = R 1 ẫ H

( H 1 H p 2: 5t + 7x H

ộ c h p 2

2 l y đ ( A�

R B ấ ượ ộ )

Khoa Khoa Học và Máy Tính

ế ố ấ ượ ế ố ấ ượ ở ầ ở ầ A bi n c l y đ B bi n c l y đ ắ c bi tr ng ắ c bi tr ng l n 1 l n 2

+ R

Cách 1:

(

)

(

)

(

( ) A = R

(

)

1 4 . 2 10

R R A R A

)

(

R R A

1 1 5 . 2 12 ( )

(

A = /

(

)

R A

(

)

R R A

)

(

A = /

R A

)

(

)

(

)

A = R /

( ) A + R .

) ( / 1 4 2 4 3 3/9

( / 1 4 2 4 3 4/11

Khoa Khoa Học và Máy Tính

R B A R B A R B A

(

)

R A B

(

)

A = /

(

)

+ R

R B Cách 2: R A

(

)

(

)

( ) A = R

(

)

R R A R A

)

( + R

)

(

)

(

)

1 4 . 2 10 ( ) B = R

1 1 5 . 2 12 ( H

1 4 3 2 10 9

1 5 4 2 12 11

Khoa Khoa Học và Máy Tính

R A R A B R A B

Chú ý

ấ ượ ắ ộ ồ

ế ớ ấ ờ ả c bi tr ng ta tr bi vào h p r i ư ả ổ • N u sau l n 1 đã l y đ ầ ế ầ m i l y ti p l n 2 thì l i thay đ i nh sau: i gi

;

(cid:0)

4 10 5 12

(cid:0)

ả

ấ ể ấ c bi tr ng tính xác su t đ bi đó l y

3 9 4 11 • P(B)=P(A), trong c 2 bài toán. • Gi ắ đ P H A ) ( 1

Khoa Khoa Học và Máy Tính

ấ ượ ố ả ử ầ s l n 1 đã l y đ ượ ở ộ c h p 1 thì đáp s là:

ứ 4. Công th c Bernoulli

ị ỗ ả ử • Đ nh lý 3.5: Gi ể ử s trong m i phép th 1 bi n c A có th

ớ ấ ệ ệ c là

ự ấ ệ ấ ử ố

ừ ầ y xác su t đ có đúng k l n thành công là ( t

n k

) =

(

= k

0,1,...,

- R ế ố ướ xu t hi n v i xác su t p (khi A xu t hi n ta quy ư ậ thành công). Th c hi n n phép th gi ng nhau nh v y. Khi ấ ở ấ ể nay tr đi ta ệ ký hi u p=1q n k p , , ): k C p q . . n

, ị (Phân ph i nh

ố

, 0

) = n k p Max ệ ố

th c)ứ R R (cid:0) (cid:0)

( Đ nh nghĩa 3.6: Kí hi u k

) ( n k p , 0 là s sao cho:

ị

0 đ ệ

ượ ọ ề ả Khi y kấ c g i là s l n thành công có nhi u kh năng

Khoa Khoa Học và Máy Tính

ố ầ ứ ấ ấ ứ

) 1

( � n �

� �

( +� n ặ Đ nh lý 3.6: ho c �

� �

- ị

(

) =

,1 / 2

k n

R Chú ý:

ụ

ấ ể

ặ ụ ả ố ặ ụ ệ ệ ấ

i: ả

)

(

)

( 4 1 / 6 . 5 / 6

)

20, 4,1 / 6 + =

=� k

b k )

) ( • n k . 0, 5 , • Ví d 3.6: Tung cùng lúc 20 con xúc x c ắ . ấ 1. Tính xác su t đ có đúng 4 m t l c xu t hi n. ấ ề 2. Tính s m t l c có nhi u kh năng xu t hi n nh t. Gi ) ( = 4 C 20 ) ( = � � 20 1 / 6 � �

Khoa Khoa Học và Máy Tính

ộ ạ

Ví d 3.7ụ :Trong 1 h p có N bi trong đó có M bi tr ng còn l ấ ầ ượ ừ ắ ạ

t t ng bi có hoàn l ắ ượ i là i ra n bi. Khi ằ c tính b ng CT

ẫ đen. L y ng u nhiên l n l ấ ể ấ ượ ấ y xác su t đ l y đ c đúng k bi tr ng đ ớ . Bernoulli v i p = M/N

ấ ộ i là siêu b i

ạ ạ ị ứ

ứ ệ ạ các tín hi u(.)và

ừ t là do t p âm, bình quân 2/5 tín ị ế ằ ỉ ố ệ t r ng t s các tín hi u

ệ ấ ạ

Khoa Khoa Học và Máy Tính

̃ ế ệ ậ • Chú ý: L y bi : + Không hoàn l i là nh th c. + Hoàn l ệ Ví d 3.8ụ : Có 1 tin t c đi n báo t o thành t ạ ế ố (). Qua th ng kê cho bi ệ hi u(.) và 1/3 tín hi u() b méo. Bi ề ch m và v ch trong tin truy n đi là 5:3. Tính xác su t sao ́ ̀ cho nh n đúng tín hi u truyê n đi n u đa nh n đ ấ ậ ượ c châ m.

ấ c ch m.

(

)

(

)

(

)