intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Cơ học kỹ thuật (Động lực học): Động lực học vật rắn không gian

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST
Báo xấu
9
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Cơ học kỹ thuật (Động lực học): Động lực học vật rắn không gian, cung cấp những kiến thức như mômen quán tính khối của vật rắn; động lượng, mômen động lượng, động năng của vật rắn; phương trình động lực newton ‐ euler; phản lực ổ trục vật rắn quay quanh trục cố định; chuyển động gyroscope – lý thuyết gần đúng gyroscop. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ học kỹ thuật (Động lực học): Động lực học vật rắn không gian

  1. CHAPTER Cơ học kỹ thuật: ĐỘNG LỰC HỌC Cơ học kỹ thuật Engineering Mechanics  Engineering Mechanics: KINETICS ĐỘNG LỰC HỌC KINETICS Động lực học vật rắn  ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN KHÔNG GIAN   không gian  GV: Nguyễn Quang Hoàng Bộ môn Cơ học ứng dụng Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Một số đối tượng của động lực học vật rắn không gian https://en.wikipedia.org/wiki/Gyroscope Một số công thức tính toán véc tơ  Phép tính véc tơ hình học Phép tính véc tơ đại số  z ez     (tính trong hệ quy chiếu cụ thể, với véc tơ cơ sở) cz       c , a , b , d , ... {e x , e y , e z } or {i , j , k }  https://www.aerocontact.com c    ey O cy Ngôn ngữ hình học  Ngôn ngữ đại số cx y     z x ex Tổng của hai véc  tơ c = a +b c=a+b z1     B c = c x e x + c ye y + c z e z Tích vô hướng       y1 z0 z T của hai véc tơ a = a ⋅b = b ⋅a a = aT b = bT a 2 c = [c x , c y , c z ] 1 Tích véc tơ của         hai véc tơ c = a ´ b = -b ´ a c = ab = - ba  C é 0 -c z c y ùú y C ê        c = êê c z  0 -c x úú Tích hỗn hợp  a = a ⋅ (b ´ c ) = (a ´ b ) ⋅ c  a = aT ( bc) x1 của ba véc tơ P ê ú x êë-c y cx 0 ú û      Tích véc tơ kép   của ba véc tơ d = a ´ (b ´ c ) d = abc A O Department of Applied Mechanics 3 Department of Applied Mechanics 4
  2. Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Nội dung MÔMEN QUÁN TÍNH KHỐI CỦA VẬT RẮN I. MÔMEN QUÁN TÍNH KHỐI CỦA VẬT RẮN II. ĐỘNG LƯỢNG, MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG, ĐỘNG NĂNG CỦA VẬT RẮN  1. Mômen quán tính khối của vật rắn III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC NEWTON ‐ EULER   2. Liên hệ mômen quán tính đối với các hệ trục song song  IV. PHẢN LỰC Ổ TRỤC VẬT RẮN QUAY QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH 3. Khái niệm trục quán tính chính và trục quán tính chính trung tâm  V. CHUYỂN ĐỘNG GYROSCOPE – LÝ THUYẾT GẦN ĐÚNG GYROSCOPE 4. Tính mômen quán tính khối của một số vật đồng chất 5. Mômen tích quán tính khi xoay trục tọa độ Department of Applied Mechanics 5 Department of Applied Mechanics 6 Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body 1. Mômen quán tính khối của vật rắn z 1. Mômen quán tính khối của vật rắn Mômen quán tính khối của vật rắn đối với một trục Ma trận mômen quán tính (vật rắn, hệ trục Oxyz gắn vào vật) z r  dm I z  I zz    2dm   (x 2  y 2 )dm,    z I xx   (y 2  z 2 )dm,   I yy   (x 2  z 2 )dm,   I zz   (x 2  y 2 )dm   r dm  z   I y  I yy   (x 2  z 2 )dm,   I x  I xx   (y 2  z 2 )dm   u I xy  I yx    xydm,  I xz  I zx    xzdm,  I yz  I zy    yzdm   O  y m m m u é 2 2  y Mômen quán tính khối của vật rắn đối với điểm O  x y é êI xx I xy I xz ùú êy + z -xy  -xz úù  O ê -xy  x y êI I yz úú =  ú x IO   u 2dm   (x 2  y 2  z 2 )dm    IO º IOxyz = ê yx I yy òB êê  x + z -yz úúdm 2 2 x ê ú  2   (y 2  z 2 )dm   (x 2  z 2 )dm   (x 2  y 2 )dm  1       IO  2 (I x  I y  I z ) 1 êëI zx I zy I zz ú ê -xz  -zy  x 2 + y2ú     û ë û Mômen tích quán tính Ma trận mômen quán tính của vật đối với  u = [x , y, z ]T ,  I xy  I yx    xydm,  hệ trục Oxyz éI I xz ùú é 0 -z y ù éy 2 + z 2 -xy -xz ùú IO = -ò uudm  m Nếu vật đối xứng qua  ê xx I xy ê  ú ê    I xz  I zx    xzdm  mặt y-z thì: IO = êêI yx I yy I yz úú u = êê z     ê -xy 0 -x úú , -uu = ê  x2 + z2   -yz úú  m Bài tập: chứng minh rằng I yz  I zy    yzdm  I xy  I xz  0 ê ú ê   ú ê ú êë-y x x + y2 ú 2 êëI zx I zy I zz ú 0ú ê -xz -zy    -uu = uT uE3 + uuT  m û û ë û Department of Applied Mechanics 7 Department of Applied Mechanics 8
  3. Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body 2. Liên hệ mômen quán tính khối đối với các trục song song 2. Liên hệ mômen quán tính khối đối với các trục song song Định lý Huyghens‐Steiner 1 Định lý Huyghens‐Steiner 2 I z  ICz   md 2 C-là khối tâm vật I xy  I x y   mxC yC C-là khối tâm vật z z z z Chứng minh d Chứng minh d r I xy    xoyodm  I yx , I x y     xydm  I y x     r I z   r 2dm, ICz    r 2dm r’ dm r’ dm C y Từ hình vẽ ta có C y Từ hình vẽ ta có x x o yo  (xC  x )(yC  y )  (xC yC )  xy  xC y  yC x        x x  xC  x , y  yC  y , r 2  x 2  y 2 O Do C-là khối tâm vật  x dm  0,   y dm  0  O r 2  x 2  y 2  x 2  y 2  xC  yC  2(xC x   yC y ) 2 2 x xC y x xC y yC yC  r   d  2(xC x   yC y ) 2 2  x y dm   (x o o C  x )(yC  y )dm    (xC yC ) dm   xy dm  xC  y dm  yC  x dm    Do C-là khối tâm vật  x dm  0,  y dm  0  mxC yC   xy dm  0  0  I z   r 2dm   [r 2  d 2  2(xC x   yC y )]dm  I z '  md 2 . I xy  I x y   mxC yC Department of Applied Mechanics 9 Department of Applied Mechanics 10 Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body 2. Liên hệ mômen quán tính khối đối với các trục song song 3. Khái niệm trục quán tính chính và trục quán tính chính trung tâm Định lý Huyghens‐Steiner 1 -Trục  Oz  được  gọi  là  trục  quán  tính  chính  tại  O  nếu  các  mômen  tích  z z z quán tính Izx = Izy = 0.  I x  ICx  m(yC  zC ) 2 2 d -Trục Oz được gọi là trục quán tính chính trung tâm nếu nó là trục quán   z dm (x , y, z )    I y  ICy  m(x  z ) 2 2 r tính chính và đi qua khối tâm của vật rắn. C C r’ dm -Mômen  quán  tính  của  vật  đối  với  trục  quán  tính  chính  được  gọi  là  O I z  ICz  m(x  y ) 2 2 y C C C y mômen  quán  tính  chính,  và  đối  với  trục  quán  tính  chính  trung  tâm  x - z x được gọi là mômen quán tính chính trung tâm. dm Định lý Huyghens‐Steiner 2 O Định lý 1. (sự tồn tại 3 trục quán tính chính): tại mỗi điểm của vật có I xy  I x y   mxC yC x xC y ba trục quán tính chính vuông góc với nhau. yC I yz  I y z   myC zC Định lý 2. Nếu vật rắn đồng chất có một trục đối xứng thì trục đó là trục quán tính chính trung I xz  I x z   mxC zC tâm. Định lý 3. Nếu vật rắn đồng chất có mặt phẳng đối xứng thì trục vuông góc với mặt phẳng đó là trục quán tính chính tại giao điểm giữa mặt phẳng đối xứng và trục. Department of Applied Mechanics 11 Department of Applied Mechanics 12
  4. Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body 4. Tính mômen quán tính khối của một số vật đồng chất 4. Tính mômen quán tính khối của một số vật đồng chất Ví dụ 1: Hộp chữ nhật đồng chất: m, a, b, c. I xy = -òòò xydm = I yx  Ví dụ 2: Trụ đồng chất m, r, L. Mômen quán tính của  1 L /2 2 m 1 2 a /2 b /2 c /2 đĩa đồng chất I z   dI z  L /2 r L dz  2 mr z m = rabc 2 I xy = - ò ò ò xy rdxdydz = 0  r a Áp dụng công thức Huyghens-Steiner 1 -a /2 -b /2 -c /2 c y C I yz = I zy = I zx = I xz = 0 dI x  dI x   z 2dm  ( 1 r 2  z 2 )dm 4 r dm Vật đối xứng qua mặt y-z:  I xy  I xz  0 m L /2 x b  dm(x , y, z ) Vật đối xứng qua mặt x-y:  I zy  I zy  0 dI z  2 r 2dm 1 Ix  L  ( r 2  z 2 )dz  1 mr 2  1  L /2 4 4 1 12 mL2 dI x   dI y  1 r 2dm 4 m é 1 m (b 2 + c 2 ) ê 12 0 0 ù ú dm  (m / L)dz Iy  Ix  12 3r 2  L2  Ix = òòò (y  2  2 + z )dm, dm = rdxdydz I(1) C = êê 0 1 12 2 m (a + c ) 2 0 ú ú ê 2 2 ú a /2 b /2 c /2 êë 0 0 1 m (a + b )ú m 2 û é 1 m (3r 2 + L2 ) ù ( ) 12 0 0 Khi bán kính r nhỏ: coi trụ như = ò ò ò (y 2 + z 2 )rdxdydz =   b + c2 , ê 12 ú thanh mảnh -a /2 -b /2 -c /2 12 Khi a và c nhỏ (0): Thanh mảnh nằm dọc trục y. IO = êê 0 1 12 m (3r 2 + L2 ) 0 úú 1 m 2 m 2 1 1 ê ú Ix  I y  mL2 , Iz  0 Iy = 12 ( a + c2 , ) Iz = 12 ( a + b2 ) Ix  Iz  mb 2  mL2 , Iy  0 êë 0 0 1 2 mr 2 ú û 12 12 12 Department of Applied Mechanics 13 Department of Applied Mechanics 14 Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body 5. Mômen tích quán tính khi xoay trục tọa độ 5. Mômen tích quán tính khi xoay trục tọa độ Cho vật rắn B và 2 hệ trục tọa độ cùng gốc  Oxyz, Ox y z , z  z  y Công thức xoay trục hay gặp y Hai hệ trục Oxyz và Ox’y’z’ có cùng gốc và x=x’, trong đó x’y’z’ là hệ trục quán tính chính. dm Cho biết  I x , I y, I yz ,... cần tính I xy y Hệ xyz quay góc  quanh x (=x’) [y, z] thì trùng hệ trục x’y’z’. (lưu ý chiều quay dương). x Xét phân tố khối lượng dm: Oxyz : dm(x , y, z ), & Ox y z  : dm(x , y , z ) y  Nếu quay quanh trục x (=x’): Nếu quay quanh trục y (=y’): Nếu quay quanh trục z (=z’): x x y Mô men tích quán tính: I xy    xydm, I x y    x y dm O x x  z  z’  y’ x’ y’ x’ z’ x  x  cos   y  sin  , y  x  sin   y  cos  , z  z    Quay hệ Oxy quanh z góc  O O z O xy  [(x   z  )  (z   y  )]sin  cos   x y (cos   sin  ) 2 2 2 2 2 2  thì trùng hệ Ox’y’ y x   2 [(x 2  z 2 )  (z 2  y 2 )]sin 2   x y  cos 2  1 x x’ y y’ z z’ Nhân hai vế với dm, tích phân trên toàn vật: (x 2  z 2 )dm  I y, (z 2  y 2 )dm  I x ,   x y dm  I x y Ox y z  Nếu               là hệ trục qt chính I xy = I xz = 0 I yx = I yz = 0 I zx = I zy = 0 1 I xy  2 (I x   I y )sin 2  I x y cos 2 1 I xy  2 (I x   I y )sin 2 1 I yz = 1 (I - I z ¢ ) sin 2b I xz = 1 (I - I x ¢ ) sin 2b I xy = (I - I y ¢ ) sin 2 b 2 y¢ 2 z¢ 2 x¢ Department of Applied Mechanics 15 Department of Applied Mechanics 16
  5. Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body 1. Động lượng của vật rắn – định lý biến thiên động lượng Động lượng của vật rắn  ĐỘNG LƯỢNG, MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG, ĐỘNG NĂNG   w P vdm CỦA VẬT RẮN     p= ò B vdm = mvC  u  vC 1. Động lượng của vật rắn – định lý biến thiên động lượng C Định lý biến thiên động lượng 2. Mômen động lượng của vật rắn – định lý biến thiên mômen  O động lượng d  d   3. Động năng của vật rắn – định lý biến thiên động năng p= (mvC ) = å Fk dt dt   t2  maC = å Fk   mvC (t2 ) - mvC (t1 ) = å ò Fk dt t1 Department of Applied Mechanics 17 Department of Applied Mechanics 18 Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body 2. Mômen động lượng của vật rắn 2. Mômen động lượng của vật rắn  Mômen động lượng của vật rắn đối với khối tâm C của vật Mômen động lượng của vật rắn đối với điểm A bất kỳ thuộc vật  vdm w             P lC = òm C (vdm ) = ò u ´ vdm , (1) w P vdm lA = òm A (vdm ) = ò s ´ vdm, (1)  u       u        C v = vC + w ´ u ò udm = 0 Nếu thay                                      vào (1), và chú ý đến                           ta được C v = vA + w ´ s ò sdm = msC Nếu thay                                      vào (1), và chú ý đến                                ta được s     rC           sC    r lC = ò u ´ (w ´ u )dm (2) lA = ò s ´ (v A + w ´ s )dm = ( ò sdm ) ´ v A + ò s ´ (w ´ s )dm O A O         Mômen động lượng của vật rắn đối với điểm điểm O lA = sC ´ mv A + hA , voi hA = ò s ´ (w ´ s )dm (2)       w P lO = ò mO (vdm ) = ò r ´ vdm , (3) Nếu A trùng khối tâm C của vật (lấy A trùng C)  vdm              v = vC + w ´ u ò rdm = mrC Nếu thay                                      vào (1), và chú ý đến                               ta được sC = 0, s = u  lC = ò u ´ (w ´ u )dm (3)  r     Trường hợp vật quay quanh O cố định (lấy A trùng O) lO = rC ´ mvC + lC (4)        v A = 0, s = r  lO = ò r ´ (w ´ r )dm (4) O Department of Applied Mechanics 19 Department of Applied Mechanics 20
  6. Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body 2. Mômen động lượng của vật rắn 2. Mômen động lượng của vật rắn Tóm lại ta có các công thức sau:   Triển khai tính toán các véc tơ sau:   w P w vdm        P  vdm    vdm lC = ò u ´ (w ´ u )dm  u w P lC = ò u ´ (w ´ u )dm                s C u hA = ò s ´ (w ´ s )dm lO = ò r ´ (w ´ r )dm r lO = rC ´ mvC + lC    C rC sC  s     ez  ey O lA = sC ´ mvC + lC A Ta viết lại dạng (bỏ chỉ số C, A, O): O            lA = sC ´ mv A + hA ,  w P O A  ex l = ò s ´ (w ´ s )dm = -ò s ´ (s ´ w )dm      vdm    voi hA = ò s ´ (w ´ s )dm Tính toán trong hệ quy chiếu gắn liền vật R1 = Axyz, với cơ sở { ex , ey , ez }     s = xex + yey + zez ,  s = [x , y , z ]T r     Đối với vật rắn quay quanh điểm cố định O:  O w = w x ex + wyey + w zez ,  = [ w x , wy , w z ]T     l = -  dm = - ss ò ( ò dm ) = I  ss A    l = l x e x + l ye y + l z e z , l = [l x , ly , l z ]T lO = ò r ´ (w ´ r )dm Department of Applied Mechanics 21 Department of Applied Mechanics 22 Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body 2. Mômen động lượng của vật rắn 2. Mômen động lượng của vật rắn Khai triển chi tiết   ss ss ( l = - ò  dm = - ò dm  = I A )        ez  vdm  w vdm l = lx ex + lyey + l zez = eT l = eT I A P ey P  éI l x = I xx w x + I xy wy + I xz w z    u  u ê xx I xy I xz ùú l = (I x w x + I xy wy + I xz w z )ex w  IA = -ò dm = êêI yx ss I yy I yz úú ly = I yx w x + I yy wy + I yz w z  C   C  ez s  êI êë zx I zy I zz úú + (I yx w x + I y wy + I yz w z )ey + (I zx w x + I zy wy + I z w z )ez ex ey û l z = I zx w x + I zy wy + I zz w z       O O A  ex l = l x ex + lyey + l zez = eT l = eT IA Nếu chọn Cxyz là hệ trục quán tính chính:  I xy = I yz = I zx = 0         eT = [ex , ey , ez ], l = [l x , ly , l z ]T l = I x w x e x + I y w ye y + I z w z e z                      lC = - ò u ´ (u ´ w )dm hA = - ò s ´ (s ´ w )dm lO = - ò r ´ (w ´ r )dm Lưu ý: nếu sử dụng hệ thức s ´ (w ´ s ) = (s ⋅ s )w - s (s ⋅ w ) Ta sẽ nhận được  ( lC = - ò uu dm  = IC   ) ( h A = - ò dm  = I A ss ) ( lO = - ò dm  = IO  rr ) l= ( ò (s s E T 3´3 ) - ssT )dm  = I A , IA = ò (s T sE 3´3 - ssT )dm Department of Applied Mechanics 23 Department of Applied Mechanics 24
  7. Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body 2. Mômen động lượng của vật rắn ‐ Định lý biến thiên mômen động lượng 3. Động năng của vật rắn  Biểu thức tính 1 2     R0 d    lO = å mO (Fk ) O cố định  w T = 2 òB v dm , v = vA + w ´ s dt   R1    1       w dm v ez   T = ò (v A + w ´ s ) ⋅ (v A + w ´ s )dm   sC C ey 2  d  R0   u  lC = å mC (Fk ) C khối tâm vật  1      1      C vC dt R0 r = ò v A ⋅ v Adm + ò v A ⋅ (w ´ s )dm + ò (w ´ s ) ⋅ (w ´ s )dm s A  2 2   ex  sC O rA           rC A (w ´ s ) ⋅ (w ´ s ) = w ⋅ [s ´ (w ´ s )], m = ò dm , msC = ò sdm O  d    R0   vA lA = å m A (Fk ) - v A ´ mvC A thuộc vật dt 1      1     T = mv A ⋅ v A + v A ⋅ (w ´ msC ) + w ⋅ ò s ´ (w ´ s )dm B d        2 2 d    hA + w ´ hA + sC ´ maA = å mA (Fk ) R0     lA = å m A (Fk ) - v A ´ m (v A + w ´ sC ) dt dt Nếu chọn điểm A trùng với khối tâm C của vật rắn          1  1         = å m A (Fk ) - mv A ´ (w ´ sC ) voi hA = ò s ´ (w ´ s )dm T = v ⋅ p + w ⋅ lC , 2 C 2 Với p = mvC , lC = ò u ´ (w ´ u )dm Department of Applied Mechanics 25 Department of Applied Mechanics 26 Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body 3. Động năng của vật rắn    1      1     w   dm v T = mv A ⋅ v A + v A ⋅ (w ´ msC ) + w ⋅ ò s ´ (w ´ s )dm PHƯƠNG TRÌNH NEWTON‐EULER 2 2 1. Phương trình Newton-Euler  2. Thu gọn lực quán tính của vật rắn  u C 1  1       s  T = vC ⋅ mvC + w ⋅ lC , 2 2 lC = ò u ´ (w ´ u )dm   sC vC    rC   w Mj PT Newton     A vA Đối với vật rắn quay quanh điểm O cố định, chọn  a maC = F = å Fk   Mj O A = O: w adm 1    P T = 1     1 w ⋅ ò s ´ (w ´ s )dm = w ⋅ lO =  T IO    aC PT Euler (đối với khối tâm C)  2 2 2   aC  1 1 u a T = mvC +  T IC  2 C d     C a 2 2 Nếu  hệ  gắn  liền  vật  Oxyz  là  hệ   lC = å mC (Fk ) + å M j   trục quán tính chính  Fk dm dt Fk r   Nếu hệ trục gắn liền vật Cxyz là hệ trục 1 quán tính chính trung tâm: T = (I w 2 + I Oy wy + I Oz w z2 2 Ox x 2 ) PT Euler (vật quay quanh điểm O cố định) O 1 1 d     2 2 2 ( T = mvC + I Cx w x + I Cy wy + I Cz w z2 2 2 ) Định lý động năng     O lO = å mO (Fk ) + å M j T2 - T1 = S A, d T = SW = SF ⋅ v + SM ⋅ w dt dt Department of Applied Mechanics 27 Department of Applied Mechanics 28
  8. Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body 1. Phương trình Newton‐Euler 1. Phương trình Newton‐Euler    Đối với vật rắn quay quanh điểm O cố định:  Mj Định lý biến thiên động lượng   w   w vdm d  d     d      P p = mvC = F  maC = F = å Fk (1) phương trình Newton a Mj ( lO )xyz + w ´ lO = å mO (Fk ) (2) phương trình Euler dt dt  dt    aC Fk a Định lý biến thiên mômen động lượng Fk           C C u a lO = ò r ´ (w ´ r )dm = - ò r ´ (r ´ w )dm r Z d    z y lA = å mA (Fk ) (A cố định hoặc là khối tâm C của vật) d           dm  dt   ( lO )xyz = dt ò r ´ (w ´ r )dm = ò r ´ (a ´ r )dm = - ò r ´ (r ´ a )dm Sử dụng công thức liên hệ đạo hàm trong hệ quy chiếu động Axyz:  O Y r          d  d    O -ò r ´ (r ´ a)dm + w ´ lO = å mO (Fk ) = MO X lA = lA = ( lA )xyz + W´ lA x dt dt Hệ động Axyz cần được chọn để cho thuận tiện khi tính toán. Thường chọn  Chiếu trong hệ quy chiếu Oxyz gắn liền vật Đối với vật chuyển động tổng quát sao cho các thành phần mômen quán tính khối là không đổi.  W - vận tốc góc của hệ Axyz đối với hệ cố định. (-ò rrdm ) +  (-ò rrdm ) = M    O d      ( lC )xyz + w ´ lC = å mC (Fk ) dt phương trình Euler Nếu chọn hệ Axyz gắn liền vật: d      I O +  I O  = MO ,  voi IO = -ò rrdm  I C  +  I C  = MC ,  voi IC = -ò uudm  ( lA )xyz + w ´ lA = å mA (Fk ) (2) phương trình Euler dt (A cố định hoặc là khối tâm C) Department of Applied Mechanics 29 Department of Applied Mechanics 30 Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body 1. Phương trình Newton‐Euler 2. Thu gọn lực quán tính của vật rắn không gian   Viết chi tiết các phương trình động lực Euler trong hệ quy chiếu Cxyz  Xét vật chuyển động với gia tốc điểm A, khối tâm C,     w  aA , aC , w, a  Mj hoặc Oxyz gắn liền vật vận tốc góc và gia tốc góc của vật: a     aC (ò ssdm ), Thu gọn lực quán tính của vật về điểm A thuộc vật ta được:  I A +  I A = M A,  IA = -  A = C or A = O   qt Fk  C  a    sC u  (1) dF qt = -adm  RA = - ò adm = -maC   Mj  dm éI w vdm   qt s I xz ùú éêwx ùú éê 0 wy ùú éêI xx I xz ùú éêwx ùú éêM x ùú        A ê xx I xy  -wz I xy P (2) mA (dF qt ) = s ´ (-adm )  M A = ò s ´ (-adm ) = - ò s ´ adm êI I yy ú êw ú + ê w I yz ú ê  y ú ê z 0 -wx úú êêI yx I yy I yz úú êê wy úú = êêM y úú  ê yx        ê úê ú ê I zz ú ê wz ú ê-wy wx úê úê ú ê ú I zz ú ê wz ú êM z ú Fk  C a  a = aA + a ´ s + w ´ (w ´ s ) O êëI zx I zy ûë û ë 0 ú êI zx ûë I zy ûë û ë û Động học r Z  qt         Nếu ba trục xyz là các trục quán tính chính, ta nhận được 3 phương trình sau z y (  M A = - ò s ´ (a ´ s )dm + w ´ ò s ´ (w ´ s )dm + msC ´ aA ) Chiếu trong hệ tọa độ Cxyz  ìI w - w w (I - I ) = M ï  O Y Thu gọn lực quán tính về khối tâm C, sC =0, s = u: gắn liền vật ï xx x ï y z yy zz x  qt ïI w - w w (I - I ) = M  í yy  y X RC = -maC qt RC = -maC ï z x zz xx ïI w - w w (I - I ) = M y x  qt       ï zz  z ï î x y xx yy z (  MC = - ò u ´ (a ´ u )dm + w ´ ò u ´ (w ´ u )dm ) MC = -(IC a +  IC  ) qt  Department of Applied Mechanics 31 Department of Applied Mechanics 32
  9. Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body 2. Thu gọn lực quán tính của vật rắn không gian   w   qt    XÁC ĐỊNH PHẢN LỰC Ổ TRỤC VẬT RẮN QUAY   RA = - ò adm = -maC a Mj  qt          (  M A = - ò s ´ (a ´ s )dm + w ´ ò s ´ (w ´ s )dm + msC ´ aA )    Fk  aC C  u  a 1. Thiết lập phương trình xác định phản lực ổ trục sC 2. Ví dụ áp dụng Trường hợp vật rắn quay quanh O cố định, thu về O  dm z O A s   z1 B z   B a w  qt  z1  y1 dm RO = -maC  qt        P  r  (  MO = - ò r ´ (a ´ r )dm + w ´ ò r ´ (w ´ r )dm ) C  y C y  ey ez O  x1 Chiếu trong hệ quy chiếu Oxyz gắn liền vật Lưu ý hai pp giải quyết bài toán: x - Sử dụng các phương trình động lực  x1 O qt R = -maC y1   O Newton-Euler x  A ex - Sử dụng nguyên lý d’Alembert. M = -(IO a +  IO  ) qt O  A Department of Applied Mechanics 33 Department of Applied Mechanics 34 Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body 1. Thiết lập phương trình xác định phản lực ổ trục 1. Thiết lập phương trình xác định phản lực ổ trục z, z0 k Xét vật rắn quay quanh trục z cố định dưới tác dụng của các  Tính toán trong hệ quy chiếu Oxyz gắn liền vật (quay cùng vật) RB lực và ngẫu lực.   z, z0 k B  Cần xác định phản lực tại các ổ đỡ A và B: RA, RB RB maCx = Fx m(-yC a - xC wz2 ) = RAx + RBx + å Fkx  B F1 Gắn vào vật hệ trục tọa độ Oxyz (Oz là trục quay). Chọn     maCy = Fy m(xC a - yC wz2 ) = RAy + RBy + å Fky  b Oxyz : {i , j , k }  Fn  điểm A = O ta có được  F1 maCz = Fz a = wz  0 = RAz + å Fkz sC       b C    Fn  sC = xC i + yC j + zC k , w = wz k , a = ak sC O       C éI I xz ùú éê 0 ùú éê 0 wy ùú éêI xx I xz ùú éê 0 ùú éêM x ùú yj aC = ak ´ sC + wz k ´ (wz k ´ sC ) O ê xx I xy -wz I xy     êI = aCx i + aCy j = (-yC a - xC wz2 )i + (xC a - yC wz2 )j yj ê yx I yy I yz úú êê 0 úú + êê wz 0 -wx úú êêI yx I yy I yz úú êê 0 úú = êêM y úú x i  a ê úê ú ê úê úê ú ê ú  RA x i a êëI zx I zy I zz ú êwz ú ê-wy wx 0 ú êI zx I zy I zz ú êwz ú êM z ú F2  ûë û ë ûë ûë û ë û  RA A Sử dụng phương trình Newton-Euler, chiếu trong hệ quy  F2  chiếu Oxyz gắn liền vật (quay cùng vật) A éI w ù é 0 -wz 0ùú éêI xz wz ùú éêM x ùú ìI w - I w = å m (F ) + aR - bR ï  2 ê xz  z ú ê ï xz z ï yz z x k Ay By êI w ú + êw ïI w + I w = å m (F ) - aR + bR maC = å Fk + RA + RB   ê yz  z ú ê z 0 0úú êêI yz wz úú = êêM y úú í yz z 2 ê  ú ê úê ú ê ú ï ï  xz z y  k Ax Bx IO a +  IO  = MO + mO (RA ) + mO (RB ) êëI zz wz úû êë 0 0 0ú êI zz wz ú êM z ú ïI zz wz = M z = å mz (Fk ) ûë û ë û ï ï î Department of Applied Mechanics 35 Department of Applied Mechanics 36
  10. Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body 1. Thiết lập phương trình xác định phản lực ổ trục 1. Thiết lập phương trình xác định phản lực ổ trục Phần do chuyển động của vật gây nên được gọi là phản lực động ổ trục.  z, z0 k z, z0 k m(-yC wz - xC wz2 ) = RAx + RBx + å Fkx  (1)  Các thành phần này được xác định từ các phương trình sau  RB RB 2 m(xC wz - yC w ) = RAy + RBy + å Fky  z (2) B RAx + RBx = m(-yC wz - xC w )  2 B z phản lực động ổ trục 0 = RAz + å Fkz (3)  RAy + RBy = m(xC wz - yC w )  2   F1 z F1  b RAx , RAy , RBx , RBy  b I xz wz - I yz wz2 = M x = å mx (Fk ) + aRAy - bRBy  (4) Fn  aRAy - bRBy = I xz wz - I yz wz2  Fn   sC sC I yz wz + I xz wz2 = M y = å my (Fk ) - aRAx + bRBx  (5) C -aRAx + bRBx = I yz wz + I xz wz2  C  O O I zz wz = M z = å mz (Fk )  (6) yj Để các thành phần phản lực động ổ trục triệt tiêu yj Trục quay z phải là trục quán  Giải hệ 5 phương trình (1-5) xác định được các thành phần phản lực toàn  x i a xC = yC = 0, I xz = I yz = 0 x i a  tính chính trung tâm.  phần  RA  RA F2 Khái niệm cân bằng tĩnh và cân bằng động trục máy F2 RAx , RAy , RAz , RBx , RBy A • Trục máy được gọi là cân bằng tĩnh nếu khối tâm của nó nằm trên trục quay.  A • Trục  máy  là  cân  bằng  động  nếu  các  thành  phần  phản  lực  động  ổ  trục  triệt  tiêu  khi  chi  tiết  Phương trình (6) chính là ptvp cđ của vật quay quanh trục z cố định chuyển động quay quanh một trục cố định là trục quán tính chính trung tâm.   I zz wz = M z = å mz (Fk )  (6) • Quá trình điều chỉnh chi tiết quay để trục quay trở thành trục quán tính chính trung tâm được  gọi là quá trình cân bằng động.  Department of Applied Mechanics 37 Department of Applied Mechanics 38 Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body 2. Ví dụ áp dụng 2. Ví dụ áp dụng  Ví dụ 1. Khối trụ tròn đồng chất có khối lượng m, bán kính r, chiều dài h quay quanh trục z qua khối tâm C với Tính mômen tích quán tính  I yz = ?? z YB vận tốc góc hằng . Trục z tạo với trục đối xứng z1 của trụ một góc . Xác định phản lực động tại hai ổ trục A B z1 và B. I yz    yzdm z dm   y1 XB z1  y1 b Lời giải B z YB Sử dụng các phương trình  z1 X y  y1 cos   z 1 sin  ,  B C z  y1 sin   z 1 cos    y y X A + X B = m(-yC wz - xC wz2 )  XA + XB = 0 y1 b yz  (y1 cos   z 1 sin  )(y1 sin   z 1 cos  ) x1  a YA + YB = m(xC wz - yC wz2 )  YA + YB = 0 C  (y1  z 1 ) sin  cos   y1z 1(cos2   sin2  ) 2 2 x aYA - bYB = I xz wz - I yz wz2  y aYA - bYB = -I yz W2  2 (y1  x 1 )  (z 1  x 1 ) sin 2   y1z 1 cos 2  1  2 2 2 2   -aX A + bX B = I yz wz + I xz w  2 -aX A + bX B = 0 x1 a  z YA x sin 2  A Với  xC = yC = 0    yzdm    [(y1  x 1 )  (z 1  x 1 )]dm 2 2 2 2 2  y z dm  0 1 1 XA  a = W = wz = 0   I yz = ?? sin 2  I z 1 = 2 mr 2 , wz = W, I xz = 0 A YA I yz  (I y 1  I z 1 ) 1 XA 2 I yz = 1 1 m(h 2 - 3r 2 ) sin 2b 1 I x 1 = I y1 = 12 m(h 2 + 3r 2 ) 2 12 Department of Applied Mechanics 39 Department of Applied Mechanics 40
  11. Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body 2. Ví dụ áp dụng 2. Ví dụ áp dụng   z YB VD 2. Một đĩa tròn đồng chất khối lượng m, bán kính R, tâm C quay quanh z Ta nhận được hệ XA + XB = 0 B B YB z1 trục đứng Oz với vận tốc góc hằng . Biết rằng trục z1 của đĩa (vuông góc với  YA + YB = 0  đĩa) nghiêng với trục quay z góc , khoảng cách giữa O và tâm C là OC = e. Bỏ XB z1 XB qua bề của đĩa. Xác định phản lực động tại hai ổ trục A và B. aYA - bYB = -I yz W 2  y1 b b  C -aX A + bX B = 0  HD y C y   Với  w = W, a = W = wz = w = 0   O Giải hệ trên được x1 a xC = 0, yC = -e cos b, zC = e sin b a x1 -I yz W2 x x  y1 X A = X B = 0, YA = - B = Y a +b  Sử dụng các phương trình   A  2  YA Với  YA X A + X B = m(-yC wz - xC w ) = 0  XA A z XA YA + YB = m(xC wz - yC wz2 )  = meW2 cos b I yz = 2 (I y 1 - I z 1 ) sin 2b = 1 1 1 2 12 m(h 2 - 3r 2 ) sin 2b 2 aYA - bYB = I xz wz - I yz w  z = -I yz W2 -aX A + bX B = I yz wz + I xz w  2 =0 I xz = 0, I yz = ?? Lưu ý: góc quay  khi chuyển từ hệ yz sang hệ y1z1 ở đây là góc quay dương (quay ngược chiều trục x). z Department of Applied Mechanics 41 Department of Applied Mechanics 42 Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body 2. Ví dụ áp dụng  I yz = ?? Do hệ Ox’1y’1z’1 hệ trục quán tính chính, áp dụng công thức: z B YB  CHUYỂN ĐỘNG GYROSCOPE (con quay)  XB z1 1. Định nghĩa Con quay và Gyroscope  sin 2 I y 1  1 mR , 2 z’1 I yz  (I y 1  I z 1 ) 4 b 2. Chuyển động con quay  2 I z 1  I z 1  me 2  2 mR 2  me 2 1  C 3. Lý thuyết sơ cấp con quay  y 4. Ví dụ áp dụng  sin 2  sin 2 O 5. Ứng dụng của Gyroscope I yz  (I y 1  I z 1 )  ( 1 mR 2  me 2 ) 4 2 2 x1 y1 a z0 Lưu ý: góc quay  khi chuyển từ hệ yz về hệ y’1z’1 ở đây là góc quay âm  x’1 x  z 2 (quay cùng chiều kim đồng hồ).  1 A  YA XA = XB = 0 XA XA + XB = 0 C meW2b cos b - I yz W2 YA + YB = meW2 cos b YA =  a +b P aYA - bYB = -I yz W2 meW2a cos b + I yz W2 -aX A + bX B = 0 YB = O a +b https://en.wikipedia.org/wiki/Gyroscope Department of Applied Mechanics 43 Department of Applied Mechanics 44
  12. Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body 1. Khái niệm con quay và Gyroscope 2. Chuyển động con quay Con quay là một vật rắn có trục đối xứng động lực quay quanh khối z z0 Xét con quay quay quanh điểm O cố định, vị trí của nó được xác định  tâm C hoặc quay quanh điểm cố định O trên trục đối xứng động lực đó. 1 2 bằng ba góc Euler: , , . Con quay quay riêng quanh trục đối xứng z  với tốc độ lớn. Trục z là trục đối xứng động lực của vật nếu nó là trục quán tính chính Để khảo sát chuyển động, ta chọn hệ động Ox’’y’’z.  trung tâm, x và y là hai trục quán tính chính, và Ix = Iy. Thông thường C những vật đồng chất tròn xoay (đối xứng trục) thỏa mãn yêu cầu này.     y Vận tốc góc của hệ động:    K  i   P    IO = diag([I x , I y , I z ]), Iy = Ix , C Î Oz    i   sin  j   cos  k   O Vận tốc góc của con quay       i   sin  j  (   cos  )k    x Mômen động lượng của vật đối với O        Ox 0y 0z 0 : {I , J , K } Gyroscope hay con quay hồi chuyển là một thiết bị bao gồm một  lO  I x  i  I x sin  j  I z (   cos  )k ,    Iy  Ix vật thể dạng bánh xe hoặc đĩa được gắn để nó có thể quay    nhanh quanh trục đối xứng của nó, trục này có thể tự do thay đổi Thay vào định lý biến thiên mômen động lượng Ox y z  : {i , j , k } hướng. Hướng của trục không bị ảnh hưởng bởi độ nghiêng của     https://en.wikipedia.org/wiki/Gyroscope khung mà nó được đặt vào. [n = 20 000 v/p]  lO / t Ox y z     lO   MO z   z Department of Applied Mechanics 45 Department of Applied Mechanics 46 Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body 2. Chuyển động con quay 2. Chuyển động con quay / tiến động đều     Khai triển phương trình   lO /  t  Ox y z     lO   MO Phương trình động lực của con quay     trong hệ động Ox’’y’’z’’ ta nhận được  l O / t  Ox y z     lO   MO   I x (   2 sin  cos  )  I z sin  (   cos  )   M x     Khi con quay tiến động đều.   const,    0,   const,    const,     0        I x ( sin   2 cos  )  I z (   cos  )   M y   Véc tơ mô men động lượng  I z (   cos    sin  )   M z         lO  I x  i  I x sin  j  I z (   cos  )k ,    Iy  Ix Trường hợp con quay chịu tác dụng của trọng lượng  là véc tơ không đổi trong hệ quy chiếu Ox’’y’’z’’   I x (   2 sin  cos  )  I z sin  (   cos  )  mgh sin         lO /  t  Ox y z  0     I x ( sin   2 cos  )  I z (   cos  )  0  hệ này có một nghiệm đặc biệt   const,   0,   const,  Phương trình động lực của con quay khi tiến động đều sẽ là  I z (   cos    sin  )  0   h  OC      const,     0      lO   MO I z  sin   (I z  I x ) 2 sin  cos   Ph sin    I z  sin   (I z  I x ) 2 sin  cos   Ph sin    chuyển động tiến động đều. Department of Applied Mechanics 47 Department of Applied Mechanics 48
  13. Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body 2. Chuyển động con quay 3. Lý thuyết sơ cấp Gyroscope Ví dụ: Giả sử con quay quay quanh quanh trục đối xứng động lực của nó với vận tốc góc 1 không đổi, trục đối xứng động lực lại quay quanh một trục zo với vận z0 tốc góc 2 1. Với x, y, z là các trục quán tính chính, ta có  z  I x  I y  0, I z  0, I xy  I yz  I zx  0      1 vận tốc góc của con quay    1  2  1 Mômen động lượng đối với O   2  x       lO  I x xex  I y yey  I z zez  I z zez  I z 1 O Lời giải Phương trình cơ bản của lý thuyết sơ cấp Gyroscope Con quay tiến động đều. Thay các dữ liệu vào phương trình d (B )       lO    lO    lO  mO (Fk ) I z  sin   (I z  I x ) 2 sin  cos   Ph sin    dt     114.28 rad/s  (tiến động tốc độ cao)               Ta nhận được  2  120.0  654.0  0      I z 1  (1  2 )  I z 1  mO (Fk )  2  I z 1  I z 2  1  mO (Fk )     5.72  rad/s  (tiến động tốc độ thấp) Department of Applied Mechanics 49 Department of Applied Mechanics 50 Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body 3. Lý thuyết sơ cấp Gyroscope 4. Ví dụ áp dụng z0 Ví dụ 1. Khung vuông ABCD cạnh a quay đều xung quanh trục thẳng đứng với  Mômen Gyroscope và hiệu ứng Gyroscope z NC 2 vận tốc góc 2. Đĩa tròn đồng chất khối lượng m, bán kính r, quay đều với vận D z 1 C Định nghĩa: Mômen thu gọn của hệ lực quán tính của Gyroscope đối  tốc góc 1 (2
  14. Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body 4. Ví dụ áp dụng 5. Ứng dụng của Gyroscope (Application of Gyroscope)       Ví dụ 2. Rôto nằm dọc thân tàu thủy là một trụ tròn đồng chất khối lượng   If mO (Fk )  0  lO  I z zez  I z 1  const  phương của trục z không đổi. m, bán kính r quay với tốc độ n không đổi. Khoảng cách giữa hai ổ trục là  NA AB = L. Xác định áp lực động phụ do hiệu ứng con quay lên các ổ đỡ khi tàu  L n B z v    l  I  rẽ phải theo một đường vòng bán kính R với vận tốc v không đổi. Mũi tàu  O z sẽ chúi xuống hay vểnh lên? Tính toán số với: m = 3000kg, r = 0,5m, L = 4m,   tốc độ quay của rôto n = 3000 vg/ph, v = 36km/giờ, R = 2km.  A NB x  Lời giải  y  1 Hệ xyz có các véc tơ đơn vị (i, j, k). Biểu diễn các véc tơ vận tốc góc  M gy  n   v  1  k, 2  j 1  30 R Iz  mr 2 2 2 https://en.wikipedia.org/wiki/Gyroscope Mômen Gyroscope    n v   1 n v  - Sử dụng làm cảm biến đo hướng, đo vận tốc góc,…  M gy  I z 1  2  2 mr 2 1 k  j   mr 2 i Áp lực động phụ lên các ổ đỡ  - Sử  dụng  trong  các  hệ  thống  định  vị  quán  tính  (tàu  thủy,  30 R 2 30 R máy bay, tên lửa, …) 1 n v M gy mr 2  n v M gy  mr 2 NA  NB   - Ổn định hướng của vật chuyển động (tàu thủy, máy bay,  2 30 R Tàu chúi mũi xuống. L 2L 30 R ô-tô, …) https://www.youtube.com/watch?v=1KmhTfhaWG8 Department of Applied Mechanics 53 Department of Applied Mechanics 54 Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body 1. Một số đối tượng chuyển động không gian PTVP CĐ CỦA VẬT RẮN KHÔNG GIAN 1. Một số đối tượng chuyển động không gian 2. Phưeng trình vi phân động học 3. Phưeng trình vi phân chuyển động [phưeng trình vi phân động lực] 4. Trường hợp vật rắn quay quanh điểm cố định https://www.aerocontact.com Department of Applied Mechanics 55 Department of Applied Mechanics 56
  15. Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body 2. Phương trình vi phân động học [chuyển động quay, nhắc lại động học] 3. Các phương trình vi phân chuyển động: (chọn A = C khối tâm) Các thông số định vị vật rắn trong không gian    z’ R1=Cxyz R0 {i0 , j 0 , k0 } z’ Sử dụng phương trình động lực Newton-Euler z0 Chuyển động của điểm cực A rA  rA  [x A, yA, z A ]T (0) z0 R0   d    y0 maC = å Fk , lC = å mC (Fk ) O  z Chuyển  động  quay  quanh  điểm  q  [ ,  ,  ]T z C dt x0 rC cực A (ví dụ 3 góc Euler) O  y y0 sC y Véc tơ tọa độ suy rộng (vị  q  [x A, yA, z A, ,  ,  ]T  C y’ trí của A và 3 góc Euler)  x0 rA Dạng 1. Chiếu cả hai phương trình trong hệ cố  x’ A y’ x       định (R0) q  [x A, yA, z A, ,  ,  ]T  x’ Véc tơ vận tốc suy rộng x mvC = å Fk(0)  (0) Dạng 2. Chiếu phương trình mô men trong      hệ gắn liền vật R1 = R(b)  R1 {i , j , k } I  (0) +  (0)IC  (0) = å mC (Fk )  (0)  (0) (0) Ma trận cosin chỉ hướng (ma trận quay) : R = R( ) c : c (0) = R( )c (b ) C mvC = å Fk(0)  (0)  (0) rC = vC ,  Véc tơ vận tốc góc:  Các phương  I  (b ) (b ) +  I  (b ) = å mCb )(Fk )  (b ) (b ) ( :   (0)  RRT    q  Q0 (q) (0) trình động học  q = Q0 (q) (0) C C (0) PTVP động học Các phương   rC = vC ,    (b )  RT R   q  Q1(q) (b ) trình động học  q = Q1(q) (b ) (xem lại động học vật rắn không gian) IC = R(q)ICb )RT (q) (0) ( Department of Applied Mechanics 57 Department of Applied Mechanics 58 Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body 3. Các phương trình vi phân chuyển động: (chọn A = C khối tâm) 3. Các phương trình vi phân chuyển động : (điểm gốc A khác khối tâm C) z’ Từ các định lý động lượng và mô men động lượng đối với điểm A thuộc vật Sử dụng phương trình động lực Newton-Euler R1=Cxyz z’ z0          maC = å Fk aC = aA + a ´ sC + w ´ (w ´ sC ) z0   d    R0 dm maC = å Fk , lC = å mC (Fk ) O y0  z B d        dt hA + w ´ hA + sC ´ maA = å mA (Fk ) y0 z  C x0 rC dt O y x0 sC       s y C y’ với hA = ò s ´ (w ´ s )dm rA Dạng 3. Chiếu cả hai phương trình trong hệ gắn liền vật R1 = R(b) x’        A y’ (b ) (b ) x m (aA - sC ´ a + (sC ´ w) ´ w ) = å Fk x’ ma = åF            x C k sC ´ maA - ò s ´ (s ´ a)dm - w ´ ò s ´ (s ´ w)dm = å mA (Fk ) I  (b ) (b ) + I   (b ) (b ) (b ) = å m (Fk )(b ) I Ab ) =  ò s (b )s (b )dm C C C (   Chiếu trong hệ quy chiếu gắn liền vật Axyz Các phương  vC = aC = R(q)aCb )  (0) (0) ( trình động học  (0) rC = vC ,  q = Q1(q) (b ) ( m aA ) - sCb )a(b ) + sCb ) (b ) (b ) = å Fk(b ) (b ( (  )   ms a (b ) (b ) C A +I a (b ) A (b ) + I   (b ) (b ) A (b ) (b = å m A )(Fk ) Department of Applied Mechanics 59 Department of Applied Mechanics 60
  16. Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body 3. Các phương trình vi phân chuyển động : (điểm gốc A khác khối tâm C) 3. Các phương trình vi phân chuyển động : (điểm gốc A khác khối tâm C) Đưa vào các ký hiệu z’ Sắp xếp thành dạng ma trận [Dạng 4]     vA = ui + vj + wk , n A ) = [u, v, w ]T , (b n A ) = [u, v, w ]T  (b    z0 é mE -ms (b ) ù é n (b ) ù é m (b )n (b ) + ms (b ) (b ) (b ) ù é å F (b ) ù C ú ê  A ú ê  A C  ú=ê     ê 3 + k  ú w = pi + qj + rk ,  (b ) = [ p, q, r ]T ,  (b ) = [ p, q, r ]T     y0 z  C êms (b ) êë C  ú êêmsCb ) (b )n A ) +  (b )I Ab ) (b ) úú êê å m A )(Fk )úú (b ) ú ê (b ) ú I A ú ê (  (b  ( (b O ûë û ë û ë û Kết hợp với đạo hàm trong hệ quy chiếu động x0 sC   B d          y  (0) (b rA = vA = R(q)n A ) z’  a A  vA  vA    vA  ui  vj  wk    vA,    rA  dt A y’ q = Q (q) (b ) 1 z0 B    x’      B    d       d   pi  qj  rk ,      x Trường hợp gốc A trùng khối tâm C, sC = 0 O y0 z  C dt dt x0 sC Ta suy ra được  (b  (b ( m n A ) +  (b )n A ) - sCb ) (b ) + sCb ) (b ) (b ) = å Fk(b ) (  (   ) é êmE3 0 úù êé nCb ) úù êé m (b )nCb ) úù êé å Fk(b ) úù (  (   rA y aA ) = n A ) +  (b )n A ), a(b ) =  (b ) (b  (b  (b  + ê (b ) (b ) (b ) ú = ê msCb )(n A ) +  (b )n A ) ) + I Ab ) (b ) +  (b )I Ab ) (b ) = å m A )(Fk ) (  (b  (b  ê 0 ICb ) úú êê (b ) úú ê IC  ú ê å mCb )(Fk )úú ( (b  ( (   ( Sắp xếp thành dạng ma trận [Dạng 4] êë ûë û ë û ë û A y’ x’ x é mE -ms (b ) ù é n (b ) ù é m (b )n (b ) + ms (b ) (b ) (b ) ù é å F (b ) ù C ú ê  A ú ê  A C   (b rA = vA = R(q)n A ) (0) rA = vC = R(q)nCb )  (0) ( ê 3 + ê (b ) (b ) (b ) ú=ê k  ú êms (b ) êë C I A ú ê ú êmsC  n A +  (b )I Ab ) (b ) úú êê å m A )(Fk )úú (b ) ú ê (b ) ú     ( (b  q = Q (q) (b )  q = Q (q) (b ) ûë û ë û ë û 1 1 Tổng cộng có 12 ptvp cấp 1 gồm: 6 PTVP động lực  và  6 PTVP động học. Department of Applied Mechanics 61 Department of Applied Mechanics 62 Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body 4. PTVP CĐ của vật quay quanh điểm cố định (cho điểm A=O cố định) Phương trình vi phân động học quay (sử dụng 3 góc Euler) z0 z      sin     cos  0  x  y  = Q (q) (b )    1  cos  sin   sin  sin  0    q      y    sin    cos  sin   cos  cos  1    1   y’’      z Fk  Phương trình vi phân động lực (trong hệ gắn liền vật) y’   IOb ) (b ) +  (b )IOb ) (b ) = MOb ) (   ( ( Cj O y0 I I xy I xz  x   0  z y  I xx I xy I xz  x  M x     xx         x I yx I yy I yz  y    z  0 x  I yx I yy I yz  y   M y  I K I zy I zz  z   y  x 0  I zx I zy I zz  z  M z  x0  x’, x’’   zx         Nếu Oxyz là hệ trục quán tính  I xx x  (I yy  I zz )y z  M x  chính: I yy y  (I zz  I xx )z x  M y  Tổng cộng có 6 ptvp cấp một gồm: I zz z  (I xx  I yy )x y  M z  3 ptvp động học và 3 ptvp động lực. Department of Applied Mechanics 63
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí
65 tài liệu
2431 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2