intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Cơ học kỹ thuật (Động lực học): Một số nguyên lý cơ học

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:17

Thêm vào BST
Báo xấu
7
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Cơ học kỹ thuật (Động lực học): Một số nguyên lý cơ học, cung cấp những kiến thức như Cơ hệ không tự do, liên kết và phân loại liên kết; Di chuyển ảo – bậc tự do – tọa độ suy rộng; Công ảo – lực suy rộng – liên kết lý tưởng. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ học kỹ thuật (Động lực học): Một số nguyên lý cơ học

  1. CHAPTER Cơ học kỹ thuật: ĐỘNG LỰC HỌC Cơ học kỹ thuật Engineering Mechanics  Engineering Mechanics: KINETICS ĐỘNG LỰC HỌC KINETICS Một số nguyên lý cơ học  ĐỘNG LỰC HỌC:  MỘT SỐ NGUYÊN LÝ CƠ HỌC Bộ môn Cơ học ứng dụng GV: Nguyễn Quang Hoàng Department of Applied Mechanics Department of Applied Mechanics Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 1. Cơ hệ không tự do, Liên kết và phân loại liên kết Cơ hệ không tự do hay còn gọi là cơ hệ chịu liên kết là cơ hệ mà vị trí và vận tốc của các điểm thuộc hệ bị  CÁC KHÁI NIỆM ràng buộc bởi một số điều kiện về hình học và động học.   Liên kết là những điều kiện ràng buộc đặt lên chuyển động của các điểm và các vật rắn thuộc cơ hệ. Các  1. Cơ hệ không tự do, liên kết và phân loại liên kết ràng buộc này thường được biểu diễn bằng các phương trình hoặc bất phương trình. 2. Di chuyển ảo – bậc tự do – tọa độ suy rộng   y , ey A đối với đĩa lăn không  3. Công ảo – lực suy rộng – liên kết lý tưởng  r l trượt trên nền B O    r x x , ex v  C  f1 = (rA )2 - r 2 = 0,   f2 = (rB - rA )2 - l 2 = 0, f1 = v - r w = 0   f3 = rB ⋅ ey = 0 Department of Applied Mechanics 3 Department of Applied Mechanics 4
  2. Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 1. Cơ hệ không tự do, Liên kết và phân loại liên kết 1. Cơ hệ không tự do, Liên kết và phân loại liên kết Dựa vào phương trình hay bất phương trình liên kết phân các loại liên kết như sau: đối với hệ tời kéo, khi dây không dãn dây treo không dãn, có thể trùng Liên kết giữ và liên kết không giữ [hay còn gọi là liên kết hai phía và liên kết một phía]. Nếu các ràng buộc  được biểu diễn bằng phương trình thì đó là liên kết giữ. Trái lại, nếu ràng buộc được biểu diễn bằng bất x phương trình thì đó là liên kết không giữ. O l Liên kết dừng và liên kết không dừng. Nếu trong phương trình liên kết không chứa tường minh biến thời s O y gian t, thì đó là liên kết dừng. Ngược lại, ta có liên kết không dừng. r M z   Liên kết hô lô nôm và liên kết không hô lô nôm. Nếu trong phương trình liên kết không chứa biến vận tốc f1 = l 2 - (rM )2 ³ 0 hoặc nếu có nhưng có thể tích phân để loại bỏ biến vận tốc thì đó là liên kết hô lô nôm (hay liên kết hình f1 = v - r w = 0  f1 = s - r j = 0 học). Trái lại, nếu trong phương trình liên kết có chứa biến vận tốc mà ta không thể loại bỏ được thì đó là liên kết không hô lô nôm (hay còn gọi là liên kết động học). Trong phạm vi giáo trình chúng ta chỉ xem xét các cơ hệ chịu liên kết hô lô nôm và dừng. Viết một cách tổng quát, phương trình liên kết được viết dạng như sau:          f j (r1 ,.., rk , .., rN , v 1 , .., v k ,.., v N , t ) ³ 0, j = 1, 2, ..., r f j (r1 , .., rk , .., rN ) = 0, j = 1, 2, ..., r Liên kết hô lô nôm là liên kết giữ và không chứa biến vận tốc. Department of Applied Mechanics 5 Department of Applied Mechanics 6 Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 1. Cơ hệ không tự do, Liên kết và phân loại liên kết 1. Cơ hệ không tự do, Liên kết và phân loại liên kết       f j (r1 , .., rk , .., rN , v 1 , .., v k , .., v N , t ) ³ 0, j = 1, 2, ..., r Ví dụ về liên kết không hô lô nôm Ví dụ về liên kết hô lô nôm Liên kết giữ và liên kết không giữ yb x P             f j (r1 ,.., rk , .., rN , v 1 ,.., v k , .., v N , t ) = 0, f j (r1 , .., rk , .., rN , v 1 , .., v k , .., v N , t ) ³ 0,  xb vL   Liên kết dừng và liên kết không dừng v y0 C O Ob d             vR f j (r1 , .., rk , .., rN , v 1 , .., v k , .., v N ) ³ 0, f j (r1 , .., rk , .., rN , v 1 , .., v k , .., v N , t ) ³ 0, 2L 2r Liên kết hô lô nôm và liên kết không hô lô nôm. O0 x0          f j (r1 ,.., rk , .., rN , t ) = 0, f j (r1 , .., rk , .., rN , v 1 , .., v k , .., v N , t ) ³ 0, v = r w  s = rj  1     1 vO = (v R + v L )  x b , w = y = (v - v L ) 2 2L R  Liên kết hô lô nôm và dừng  y    tan y = O  x O sin y - yO cos y = 0   f j (r1 ,.., rk ,.., rN ) = 0, j = 1, 2,..., r  xO Department of Applied Mechanics 7 Department of Applied Mechanics 8
  3. Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 2. Di chuyển ảo – bậc tự do – tọa độ suy rộng  2. Di chuyển ảo – bậc tự do – tọa độ suy rộng  Di chuyển ảo của chất điểm Di chuyển ảo của vật rắn Di chuyển ảo của điểm là di chuyển vô cùng bé tưởng tượng từ vị trí đang xét sang các vị trí lân cận và phù  Di chuyển ảo của vật rắn là những di chuyển vô cùng bé tưởng tượng của vật rắn từ vị trí đang xét sang hợp với liên kết tại thời điểm đang xét. các vị trí lân cận và phù hợp với liên kết tại thời điểm đang xét. y  drA Lưu ý: các đặc điểm của di chuyển ảo là  A Di  chuyển  ảo  của  vật  rắn  bao  gồm  di  chuyển  ảo  của  1. vô cùng bé,   điểm cực A và di chuyển quay ảo quanh trục nào đó qua  dj  2. tưởng tượng, và  B  P drP  điểm cực A:  w 3. phù hợp liên kết tại thời điểm khảo sát. x (trục chứa véc tơ vận tốc góc ?)    O z , ez    u  drA , dj   drB   dr r drd rA A      A Trong một hệ trục tọa độ có cơ sở  e = [e1 , e 2 , e 3 ]T rA  O’ y , ey       e2  Sàn  chuyển  động,  điểm  M  trên  drA = d x Ae1 + d y Ae 2 + d z Ae 3 = eT d rA  x , ex  mặt  sàn.  Khi  xét  di  chuyển  ảo  e3 v M của  điểm  M,  ta  coi  “thời  gian            như dừng lại” (coi sàn như dừng  dj = djx e1 + djye 2 + djze = eT d e1 dr = d xe x + dyey + d ze z lại). Department of Applied Mechanics 9 Department of Applied Mechanics 10 Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 2. Di chuyển ảo – bậc tự do – tọa độ suy rộng  2. Di chuyển ảo – bậc tự do – tọa độ suy rộng  Ví dụ Di chuyển ảo của điểm thuộc vật rắn  dj  Vật rắn quay quanh  Vật rắn chuyển động  Vật rắn quay quanh 2  Di chuyển ảo của điểm P bất kỳ thuộc vật  P drP w trục cố định phẳng trục giao nhau        rP = rA + u  d rP = d rA + du  z0 e z 0 u  ez dj d             z u = w ´ u  du = wdt ´ u  du = d j ´ u r drd rA A  dt  A dq ez rA    O’ dq du = dj ´ u  db       drA  drP = d rA + d u = d rA + dj ´ u  e2  d rA  rA e3  A     e1 O Trong một hệ trục tọa độ có cơ sở  e = [e1 , e 2 , e 3 ]T          drP = drA + dj ´ u  d rP = eT d rP , d rP = d rA + d j u  dj = dqez drA, dj    dj = dqez 0 + dbez Department of Applied Mechanics 11 Department of Applied Mechanics 12
  4. Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 2. Di chuyển ảo – bậc tự do – tọa độ suy rộng  2. Di chuyển ảo – bậc tự do – tọa độ suy rộng   A Bậc tự do của cơ hệ Di chuyển ảo của cơ hệ (N chất điểm p vật rắn) d rA Di chuyển ảo của cơ hệ là tập các di chuyển ảo của các chất điểm và Hệ N chất điểm, khoảng cách giữa hai chất điểm không đổi.  B các vật rắn thuộc hệ từ vị trí đang xét sang các vị trí lân cận và phù O   hợp với liên kết tại thời điểm đang xét.  d rB (        dr1 , d r2 ,..., d rn , drA , dj1 , ..., drA , dj p 1 p ) x   Đối với cơ hệ tự do: tập các di chuyển ảo trên là độc lập tuyến tính. (dr , dr A B , dj, dq ) f =1 Còn đối với cơ hệ không tự do (chịu liên kết): tập các di chuyển ảo trên là không độc lập tuyến tính. s Bậc tự do của cơ hệ N =1 N = 2, r = 1 N = 3, r = 3 Bậc tự do của cơ hệ là số tối đa các di chuyển ảo độc lập. (ds, dj ) A f =3 f =5 f =6  C f =2 Ví dụ một điểm tự do trong không gian 3D có ba bậc tự do vì nó N ³ 3, r = 3(N - 2) : f = 3N - 3(N - 2) = 6 có thể di chuyển được tùy ý trong không gian. Khi có ràng buộc đặt lên điểm này số bậc tự do của nó giảm. f = bậc tự do của cơ hệ  Vật rắn tự do trong không gian có bậc tự do f =6 Department of Applied Mechanics 13 Department of Applied Mechanics 14 Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 2. Di chuyển ảo – bậc tự do – tọa độ suy rộng  3. Công ảo – liên kết lý tưởng – lực suy rộng  Tọa độ suy rộng  Công ảo là công của lực khi điểm đặt của nó thực hiện di chuyển ảo. e Tọa độ suy rộng là bộ các thông số đủ để xác định vị trí của cơ hệ, khi biết bộ thông số này vị trí của hệ   hoàn toàn được xác định. Các tọa độ suy rộng thường được ký hiệu bởi véc tơ d A = F ⋅ d r = Fx d x + Fy dy + Fz d z dq  T Công ảo của ngẫu lực tác dụng lên vật rắn F q = [q 1 , q 2 , ..., q m ] Tọa độ suy rộng đủ: m = f   d A = m ⋅ dj = m x djx + m y djy + m z dj z Tọa độ suy rộng dư: m > f s Công ảo của lực tác dụng lên vật rắn quay quanh trục cố định   O    A d A = F ⋅ dr = m z (F ) ⋅ dq   C A Liên kết lý tưởng Liên kết giữ được gọi là lý tưởng nếu tổng công ảo của các lực f =2 f =2  B liên kết trong mọi di chuyển ảo của cơ hệ đều bằng không: m = 2 : q = [s , j ] T m = 2 : q = [j, q ] T N c   dA = åF k =1 k ⋅ drk = 0, Fkc các lực liên kết  m = 4 : q = [s , x C , yC , j ]T m = 4 : q = [x A , y A , x B , y B ]T Department of Applied Mechanics 15 Department of Applied Mechanics 16
  5. Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 3. Công ảo – liên kết lý tưởng – lực suy rộng  3. Công ảo – liên kết lý tưởng – lực suy rộng  Lực suy rộng  T Cách tính lực suy rộng Gọi q = [q 1 , q 2 , ..., q n ] tọa độ suy rộng đủ của cơ hệ chịu liên kết hôlônôm và dừng. Như thế vị trí một là   điểm bất kỳ thuộc hệ sẽ là hàm của tọa độ suy rộng: 1. Tính theo công thức   y    n ¶r  æ rk = rk (q 1 , q 2 , ..., q n )  d rk = å k dq i N  ¶ rk N ¶x k ¶yk ¶z k ö ÷ i =1 ¶ q i O Qi = åF k =1 k ⋅ ¶qi = å çF ç ç ç è k =1 kx ¶qi + Fky ¶qi + Fkz ¶qi ø ÷ ÷, ÷ i = 1, 2, ..., n a1 x x B = l1 sin j + l 2 sin q  d x B = l1 cos jdj + l 2 cos qdq l1 y B = -l1 cos j - l 2 cos q  dy B = l1 sin jdj + l 2 sin qdq 2. Cho hệ thực hiện di chuyển ảo đặc biệt dq i ¹ 0, dq j = 0, ( " j ¹ i )  A N æ   Tổng công ảo của các lực hoạt động trong các di chuyển ảo a2  ¶r ö N æ ¶x k ¶yk ¶z k ö   l2 F d A = å çFk ⋅ k ÷ dq i = ç ç ÷ ÷ å çF ç ç + Fky + Fkz ÷ ÷ dq = Q i dq i ÷ N   n æ N  ¶r ö n k =1 ç è ÷ ¶qi ø ç è kx ¶qi ¶qi ÷ ¶qi ø i d A = å Fk ⋅ drk = å ç å Fk ⋅ k ÷ dq i = å Q i dq i P1 k =1 ç ÷ ÷  ç ç ÷ ¶qi ø  B k =1 i =1 è k =1 k =1  P2 3. Lực suy rộng của các lực có thế N æ N  ¶r ¶x k ¶yk ¶z k ö ÷, Q i = å Fk ⋅ k = å çFkx ç ç + Fky + Fkz ÷ ÷ i = 1, 2, ..., n ¶P k =1 ¶qi ç k =1 è ¶qi ¶qi ¶qi ø÷ Q ict = - , P = P(q 1 , q 2 , ..., q n ) ¶qi là lực suy rộng của các lực hoạt động ứng với tọa độ suy rộng qi. Department of Applied Mechanics 17 Department of Applied Mechanics 18 Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 3. Công ảo – liên kết lý tưởng – lực suy rộng  Ví dụ: tính lực suy rộng  Q    f = 2, q 1 = j, q 2 = q Tính lực suy rộng không thế d A(F ) = F ⋅ drB = F d x B y NGUYÊN LÝ CÔNG ẢO D ? Q j ,Q q x B = l1 sin j + l 2 sin q  d x B = l1 cos jdj + l 2 cos qdq A B O  a1 x 1. Khái niệm cơ hệ cân bằng  d A(F ) = F d x B = (Fl1 cos j )dj + (Fl 2 cos q )dq l1 2. Nguyên lý công ảo Q kt = (Fl1 cos j ), Q kt = (Fl 2 cos q )  A j q a2  3. PT cân bằng cho hệ chịu liên kết ở dạng  l2  Tính lực suy rộng có thế  F = Fx e x tọa độ suy rộng đủ K P1  4. Ví dụ áp dụng y P = -m 1ga 1 cos j - m 2g (l1 cos j + a 2 cos q )  B P2 A  x  C P = -(m 1a 1 + m 2l1 )g cos j - m 2a 2g cos q O r l ct ¶P B Qj = - = -(m 1a 1 + m 2l1 )g sin j O   ¶j Qj = Q kt +Q ct = Fl1 cos j - (m 1a 1 + m 2l1 )g sin j j j ct ¶P x Qq = - = -m 2a 2g sin q Q q = Q qkt + Q q = Fl 2 cos q - m 2a 2g sin q ct ¶q Department of Applied Mechanics 19 Department of Applied Mechanics 20
  6. Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 1. Khái niệm cơ hệ cân bằng 2. Nguyên lý công ảo (Principle of virtual work) Cơ hệ cân bằng là cơ hệ mà tất cả các điểm thuộc hệ có vận tốc và gia tốc bằng không. Nguyên lý. Điều kiện cần và đủ để cho cơ hệ chịu các liên kết giữ, dừng và lý tưởng cân bằng tại  ‐ Các điểm thuộc hệ đứng yên. một vị trí đang xét là tổng công ảo của tất cả các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ trong mọi di  ‐ Các vật thuộc hệ đứng yên. z chuyển ảo của cơ hệ từ vị trí đang xét đều triệt tiêu.  e  Fk Fje N   mj Cơ hệ cân bằng  A   Fka   rk  0 k 1 y g Chứng minh: (xét hệ chất điểm) O Điều kiện cần: cơ hệ cân bằng thì tổng công ảo của các lực hoạt động bằng không. a1 x  mk Fl e Chất điểm k thuộc hệ hệ cân bằng l1    N a     A O Fk  Fka  Fkc  0 A   (F k 1 k   rk  Fkc   rk )  0 a2 A y l2  Liên kết là lý tưởng  F l x P1 r B   N a    B O    Fkc   rk  0 A  F k   rk  0 P2 k 1 x Điều kiện đủ: tổng công ảo của các lực hoạt động bằng không thì cơ hệ cân bằng. (pp phản chứng. Nếu không cân bằng, thì nó chuyển động, áp dụng định lý động năng). Department of Applied Mechanics 21 Department of Applied Mechanics 22 Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 3. PT cân bằng cho hệ chịu liên kết ở dạng tọa độ suy rộng đủ 4. Ví dụ áp dụng Xét hệ chịu liên kết giữ dừng và lý tưởng, f bậc tự do, với f tọa độ suy rộng q1,q2,…,qf. Ví dụ 1. Cho cơ cấu thang kiểu kéo cắt như hình vẽ. Các thanh có chiều  Q  N  dài như nhau bằng L, trọng lượng không đáng kể, được nối với nhau bằng  D Cơ hệ cân bằng  A   Fka   rk  0 các bản lề trơn. Tìm mối liên hệ giữa cường độ của các lực P và Q để hệ  k 1 cân bằng tại vị trí cho. B f A A  Q q i 1 i i 0 Q i  0, i  1, 2, ..., f Lời giải Hệ một bậc tự do f = 1. Chọn tọa độ suy rộng đủ q = . Hệ f phương trình cân bằng Các lực hoạt động: P và Q.  qi  0 Các                    và độc lập) Đưa vào hệ trục tọa độ Oxy. Hướng dẫn áp dụng   Tính lực suy rộng Q  (cho hệ thực hiện di chuyển ảo ) K Nguyên lý công ảo thường được dùng để tìm điều kiện cân bằng, vị trí cân bằng của cơ   2      y hệ chịu liên kết. Bài toán được giải theo các bước:  A   Fka   rk  P   rC  Q   rD  P  x C  Q  y D k 1 O  x  C P • Chỉ ra được số bậc tự do và chọn tọa độ suy rộng cho hệ. • Tính lực suy rộng của các lực hoạt động, viết ra các phương trình cân bằng trong  x C  L cos    x C  L sin   hệ tọa độ suy rộng đủ. y D  3Lsin    y D  3L cos   • Giải các phương trình tìm ẩn. Trong trường hợp cần tìm lực liên kết thì giải phóng liên kết đó, thay các liên kết bởi các lực liên   A  PL sin    3QL cos    L (P sin   3Q cos  ) kết và coi các lực liên kết này như các lực hoạt động. Q   L (P sin   3Q cos  ) Q   0  P  3Q cot  Department of Applied Mechanics 23 Department of Applied Mechanics 24
  7. Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 4. Ví dụ áp dụng 4. Ví dụ áp dụng y y Ví dụ 2. Máy ép được cấu tạo như hình vẽ. Khung ép gồm bốn thanh Tính lực suy rộng Q (cho hệ thực hiện di chuyển ảo ) mảnh cứng nhẹ và cùng chiều dài a nối với nhau bằng bản lề ở bốn đỉnh.   Trục vít nằm ngang có bước ren h (trục vít quay góc 2, đai ốc dịch O x  A  M   N   rC  M   N  yC O x chuyển đoạn h). Khi trục vít quay hai đai ốc A và B di chuyển ngược a a  yC   2a cos    yC  2a sin  a  chiều nhau. Ở đầu cùng trục vít có gắn một vô lăng nhỏ. Góc mở ở hai B A B A đỉnh trên và dưới của khung là 2α. Nếu tác dụng vào vô lăng một ngẫu M Chú ý đến bước ren h:   x  (h / 2 ) M lực có mômen quay M, tìm lực ép tác dụng lên vật K. Bỏ qua ma sát ở A các khớp nối và những chỗ tiếp xúc. h  x A  a sin    x A  a cos       xA a a 2 a cos  a Lời giải 2a sin  h h tan  C  yC        C Tưởng tượng bỏ vật ép, thay bằng lực ép N K a cos  2  Hệ một bậc tự do f = 1. Chọn tọa độ suy rộng đủ q = .  h tan   Các lực hoạt động: M và N. N  A  M   N  yC   M  N   N    Đưa vào hệ trục tọa độ Oxy. h tan   Tính lực suy rộng Q (cho hệ thực hiện di chuyển ảo ) Q  M  N 0 N M  h tan  Department of Applied Mechanics 25 Department of Applied Mechanics 26 Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 1. Nguyên lý d’Alembert đối với chất điểm Lực quán tính của chất điểm m O a    NGUYÊN LÝ D’ALEMBERT  Lực quán tính của chất điểm có khối lượng m chuyển động với gia tốc a a m là đại lượng véctơ bằng tích của khối lượng với gia tốc của nó, và có  chiều ngược chiều gia tốc: F qt 1. Nguyên lý d’Alembert đối với chất điểm   F qt = -ma Lực quán tính của chất điểm Nguyên lý d’Alembert đối với chất điểm Từ định luật 2 Newton:  2. Thu gọn lực quán tính của vật rắn         D e ma = F  F + (-ma ) = 0  F + F qt = 0  (F , F qt ) º 0 3. Nguyên lý d’Alembert đối với cơ hệ O A 4. Ví dụ áp dụng Nguyên lý d’Alembert đối với chất điểm: Tại mỗi thời điểm các lực tác dụng vào chất điểm và lực quán tính của nó thỏa mãn các điều kiện cân bằng tĩnh.   Lưu ý: “cân bằng” ở đây ý nói hệ lực đó thỏa mãn điều kiện cân bằng, véc tơ chính và véc tơ mômen chính đối với điểm B bất kỳ bằng không. Thực chất là chất điểm đang chuyển động có gia tốc. Lực quán tính không phải là lực thật tác dụng lên chất điểm. Việc đưa khái niệm lực quán tính vào đã chuyển bài toán động lực học về dạng bài toán tĩnh học. C Department of Applied Mechanics 27 Department of Applied Mechanics 28
  8. Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 1. Nguyên lý d’Alembert đối với chất điểm 2. Thu gọn lực quán tính của vật rắn    Ví dụ 1. Một toa tàu chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a trên đường thẳng Vật rắn chuyển động:  aA, w, a  ngang. Trong toa tàu có treo một căn lắc toán, chiều dài dây treo là L. Tìm góc O a z0 w Lực quán tính của phân tố khối lượng dm   lệch của dây treo so với phương thẳng đứng khi con lắc “cân bằng” đối với toa m         a -adm xe. dF qt = -adm = -[aA + a ´ u + w ´ (w ´ u )]dm O P Lời giải y0  u Các lực tác dụng lên quả cầu gồm: trọng lượng P, lực căng dây T. Thu gọn lực quán tính của cả vật về điểm A  C  qt   x0 rA  Khi góc lệch là hằng số, quả cầu có cùng gia tốc với xe, và do đó có lực RA = -ò adm = -maC aC quán tính.  qt  A F = -ma  qt   M A = -ò u ´adm Theo nguyên lý d’Alembert, ta có hệ lực cân bằng a           O = -ò u ´[aA + a ´ u + w ´ (w ´ u )]dm Thu gọn về khối tâm, A=C: (P,T , F qt ) = 0 T  Chú ý đến:        qt   RC = -maC å mO (Fk ) = PL sin q - F qt L cos q = 0 Fqt m ò udm =mu   C  ò u ´a dm =u   A  C ´maA  qt    u ´[w ´ (w ´ u )] = w ´[u ´ (w ´ u )] MC = -ò u ´ (a ´ u )dm  qt              mgL sin   maL cos   0  a  g tan  P M A = -uC ´ maA - ò u ´ (a ´ u )dm - w ´ ò u ´ (w ´ u )dm -w ´ ò u ´ (w ´ u )dm Department of Applied Mechanics 29 Department of Applied Mechanics 30 Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 2. Thu gọn lực quán tính của vật rắn 2. Thu gọn lực quán tính của vật rắn     Vật rắn tịnh tiến:  aA = aC , w = 0, a = 0 Tấm phẳng quay quanh trục Oz vuông góc tấm, lấy A = O z  -maC         qt   qt aA = 0, aC , w = wk , a = ak ^ u   Thu gọn về khối tâm C: RC = -maC , MC = 0  a = ak C aC             u ´ (a ´ u ) = u 2a uC Tấm phẳng chuyển động song phẳng aA, aC , w = wk , a = ak ^ u       O C w ´[u ´ (w ´ u )] = w ´ u 2w = 0 dm        u ´ (a ´ u ) = u 2a             u a = ak       a = a ´ u + w ´ (w ´ u ) aC = a ´ uC + w ´ (w ´ uC ) w ´[u ´ (w ´ u )] = w ´ u 2w = 0         qt          = a ´ u - w 2u = a ´ uC - w 2uC uC C M A = -uC ´ maA - ò u ´ (a ´ u )dm - w ´ ò u ´ (w ´ u )dm A  dm  qt   u Thu gọn về điểm A: Thu gọn về khối tâm, A=C: MO = -ò u ´adm  qt   qt       Thu gọn về điểm O: RA = -maC RC = -maC = -ò u ´ (a ´ u )dm - w ´ ò u 2wdm  qt  qt  qt  qt     IA = ò u dm 2    M A = -uC ´ maA - I Aa  MC = -IC a ( = - ò u 2dm a = -IO a ) RO = -maC , MO = -IOz a Department of Applied Mechanics 31 Department of Applied Mechanics 32
  9. Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 3. Nguyên lý d’Alembert đối với cơ hệ 3. Nguyên lý d’Alembert đối với cơ hệ Đối với hệ n chất điểm. Tại mỗi thời điểm, hệ lực gồm các lực tác dụng lên các  Xét hệ gồm n vật rắn. chất điểm của cơ hệ và các lực quán tính của các chất điểm thuộc cơ hệ thỏa Fl e  z  mãn điều kiện cân bằng tĩnh học. m1  Thu gọn các ngoại lực tác dụng lên vật rắn k về khối tâm Ck của nó Fke mj Fje Fji         e g (F1, F1qt , F2, F2qt ,..., Fn , Fnqt ) º 0 Fki (FCe,k , MC ,k ) z mk Thu gọn lực quán tính của vật rắn k về khối tâm Ck của nó  mk Nếu phân loại lực tác dụng lên chất điểm thành nội lực và ngoại lực (chú ý   qt Fl e đến tính chất của hệ nội lực), ta có hệ quả:  (FCqt,k , MC ,k ) O    Fke y (Fk = Fke + Fki ) y Nguyên lý d’Alembert hệ n vật rắn: x       x Tại mỗi thời điểm, hệ lực gồm các ngoại lực tác dụng lên các vật của cơ hệ (F1e , F1qt , F2e , F2qt ,..., Fne , Fnqt ) º 0 và các lực quán tính / ngẫu lực quán tính của các vật thu về khối tâm mỗi vật thuộc cơ hệ thỏa mãn điều kiện cân bằng tĩnh học. Hệ lực gồm các ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của cơ và các lực quán  tính của các chất điểm thuộc cơ hệ thỏa mãn điều kiện cân bằng tĩnh học.  e  e   qt   qt (FCe,1, MC ,1,..., FCe,n , MC ,n , FCqt,1, MC ,1,..., FCqt,n , MC ,n ) = 0 Department of Applied Mechanics 33 Department of Applied Mechanics 34 Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 4. Ví dụ áp dụng 4. Ví dụ áp dụng z YB z Ví dụ 2. Hai quả cầu nhỏ C và D có khối lượng tương ứng là m1, m2 được gắn  XB B Các phương trình cân bằng Fkx  X A  X B  FCqt  0 XB B YB vào trục quay AB bằng hai thanh CE và DF vuông góc trục AB và có chiều dài  tương ứng là e1 và e2. Biết rằng C nằm trong mặt phẳng xz, còn D trong mặt  c Fky  YA  YB  F  0, qt D c D D e2 e2 phẳng  yz.  Hãy  xác  định  áp  lực  động  lực  của  trục  lên  các  ổ  đỡ  A,  B.  Bỏ  qua  F Fqt Fkz  Z A  0 F FqtD  D   trọng lượng các thanh và xem các quả cầu C, D có kích thước không đáng kể. a D m2 b mx (Fk )  (a  b  c) B  (a  b)FD  0 Y qt a D m2 b Lời giải m1 e1  m1 e1 C  E my (Fk )  (a  b  c)X B  aFCqt  0 C  E aC  Y a Giải hệ này ta thu được aC  a Khảo sát trục máy có gắn hai quả cầu nhỏ đang quay đều.  FqtC A FqtC YA XA XA Các lực quán tính của các chất điểm C và D: x A y a a b x A y    qt  ZA XB   F qt , YB   F qt FCqt  m1aC ; FD  m2aD a b c C a b c D b c c FCqt  m1e1 2 ; FD  m2e2 2 qt XA   F qt , YA   F qt , ZA  0 a b c C a b c D FCqt  m1e1 2 ; FD  m2e2 2 qt Các phản lực động lực tại ổ trục A và B: Theo nguyên lý d’Alembert ta có hệ lực cân bằng             qt Lưu ý: muốn tìm phản lực ổ trục toàn phần, ta cần bổ sung thêm các trọng lượng của hai quả cầu nhỏ vào hệ lực cân  X A,YA, Z A, X B ,YB (X A,YA, Z A, X B ,YB , FCqt , FD )  0 bằng trên. Department of Applied Mechanics 35 Department of Applied Mechanics 36
  10. Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 4. Ví dụ áp dụng 4. Ví dụ áp dụng Ví dụ 3. Một thanh mảnh đồng chất được gắn bằng bản lề vào một trục quay thẳng đứng O; OA = l1; OB = l2. Trục quay đều với vận tốc góc , chốt bản lề Theo nguyên lý d’Alembert ta có hệ lực cân bằng  c  OC  2 (l2  l1 ) 1    qt  qt  qt RO nằm ngang. Bỏ qua ma sát. Tìm hệ thức giữa vận tốc góc  và góc nghiêng    (RO , P, RO , MO )  0 MO    s  adm A A giữa trục quay và thanh AB khi chuyển động đã ổn định (khi đó  là hằng số).  qt   RO  maC O s  PTCB  mO (Fk )  MO  Pc sin   0 qt  qt MO O s  Lời giải C  ds C Khảo sát thanh AB quay cùng trục đứng. Khi  = const, thanh có vận tốc góc   adm Tính được  bằng vận tốc góc của trục. adm  a  m l2 a M   s cos adm  l1 s cos s sin  ds B  qt 2  Để tính lực quán tính, ta xét phân tố khối lượng dm, cách O một đoạn là s,   phân tố có chiều dài ds. O l1  l2 P B  m l 1 Gia tốc, khối lượng và lực quán tính của phân tố:  cos  sin   s ds  m(l2  l1l2  l1 ) cos  sin  2 2 2 2 2 2 l1  l2 l1 3 m m a  s sin  2 , dm  ds, dF qt  adm  s sin  2 ds sin   0 l1  l2 l1  l2 PTCB   qt  qt 1 m(l2  l1l2  l12 ) cos  sin  2  mg 2 (l2  l1 ) sin   0 2 1  3g(l2  l1 )    Thu gọn lực quán tính về gốc O được: RO  maC , MO    s  adm 3 cos   2 2 (l 2  l l  l 2 )  2 12 1 Department of Applied Mechanics 37 Department of Applied Mechanics 38 Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 1. Nguyên lý d'Alembert – Lagrange Đối với hệ N chất điểm chịu các liên kết lý tưởng    NGUYÊN LÝ D’ALEMBERT‐LAGRANGE Xét chất điểm thứ k: m k , Fka , Fkc  a k  m1        Tiên đề 2 Newton m k a k = Fka + Fkc -Fkc = -m k a k + Fka Fkc 1. Nguyên lý d’Alembert‐Lagrange z mk Nhân vô hướng hai vế với di chuyển ảo của chất điểm k và tính tổng với tất   cả các chất điểm thuộc hệ rk  2. Ví dụ áp dụng Các liên kết là lý tưởng Fka  N  N    N c  y -å Fkc ⋅ d rk = å (-m a k k + Fka ) ⋅ d rk åF k ⋅ drk = 0 x k =1 k =1 k =1 Nguyên lý d’Alembert‐Lagrange. Đối với cơ hệ chịu các liên kết giữ và lý tưởng, tại mỗi thời điểm tổng công ảo của các lực hoạt động và các lực quán tính trong mọi di chuyển ảo của cơ hệ đều bằng không. N a   N å (F k =1 k - m k a k ) ⋅ drk = 0 å éêë(F k =1 a kx  ) (  ) a ( - m k x k d x k + Fky - m k y k d y k + Fkz - m k z k d z k ùú = 0 a  û ) Phương trình này còn được gọi là phương trình tổng quát động lực học hệ chất điểm. Department of Applied Mechanics 39 Department of Applied Mechanics 40
  11. Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 1. Nguyên lý d'Alembert – Lagrange 1. Nguyên lý d'Alembert – Lagrange y y Đối với hệ N vật rắn phẳng chịu các liên kết lý tưởng Xét hệ vật rắn phẳng f bậc tự do với tọa độ suy rộng đủ q1,q2,…,qf a c  a    a m k , I Ck , FCk , FCk , M Ck , M kc  aCk , ak N Xét vật thứ k: O   O x å (F k =1 Ck a - m k aCk ) ⋅ drCk + (M Ck - I Ck ak ) ⋅ dqk = 0 x Quan hệ lực – gia tốc (pt Newton‐Euler) C1 C1 1 N a  N   1  a m k aCk = FCk + FCk c c a    (-FCk = FCk - m k aCk ) (1) ⋅d rCk A C2 å (F Ck a ⋅ drCk + M Ck ⋅ dqk ) + å (-m a k Ck ⋅ d rCk - I Ck ak ⋅ dqk ) = 0 A C2  k =1 k =1  a c c a  F  F I Ck ak = M +M  (-M =M - I Ck ak ) (2) ⋅dqk P1 Lực suy rộng của các lực hoạt động và các lực quán tính  P1 Ck Ck Ck Ck 2  B 2  B P2  æ  ¶r  P2 Nhân vô hướng hai vế pt (1) với rCk và pt (2) với k.  ç n ¶q ö÷ n æ  ç ¶r ¶q ö÷ Tính tổng với k = 1,…,N: Q i = å çFka ⋅ Ck + M Ck ⋅ k ÷, ç a ÷ Q iqt = -å çm k aCk ⋅ Ck + I Ck ak ⋅ k ÷ ç ÷ ç k =1 è ¶qi ÷ ¶qi ø ç k =1 è ¶qi ÷ ¶qi ø N c  N a   N -å (FCk ⋅ d rCk + M Ck ⋅ dqk ) = c å (FCk - m kaCk ) ⋅ drk + å (M a Ck - I Ck ak ) ⋅ dqk = 0 f k =1 k =1 k =1 å (Q i =1 i + Q iqt )dq i = 0  Q i + Q iqt = 0, i = 1, 2, ..., f N å (F k =1 a Ckx a a  - m k x Ck )d x Ck + (FCky - m k yCk )d yCk + (M Ck - I Ck qk )dqk = 0   Hệ quả: Tại mỗi thời điểm lực suy rộng của các lực hoạt động và các lực quán tính triệt tiêu. Department of Applied Mechanics 41 Department of Applied Mechanics 42 Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 2. Ví dụ áp dụng 2. Ví dụ áp dụng x x Ví dụ: Cho hệ như trên hình. Các thông số: m , I C , r , R, m 1 Lực suy rộng của các lực hoạt động:   Con lăn lăn không trượt, dây căng và không dãn. Puli không khối  lượng. Tìm gia tốc của vật nặng m1. m,IC v1 å d A(Fka ) = G 1dy = m 1g dy k  Q y = G 1 = m 1g m, IC C Lời giải: Số bậc tự do: f = 1 vC Chọn tọa độ suy rộng dư: y, x,  R, r Đặt các lực quán tính: mg r, R (tđsr độc lập: y; tđsr phụ thuộc x, ) m1 IC j  dj = [1 / (R + r )]dy m1 Động học y y d x = R dj = [R / (R + r )]dy G1 Dây căng và không dãn v1 = y  G1 v1  mx Lực suy rộng của các lực quán tính: Con lăn lăn không trượt dj = [1 / (R + r )]dy mg  F å d A(Fkqt ) = -m 1y dy - mx d x - I C jdj    w = j = v 1 / (R + r ) = y / (R + r )   d x = R dj = [R / (R + r )]dy N  m 1y k ( = - m 1 + m [R / (R + r )]2 + I C [1 / (R + r )]2 y d y  ) vC = x = R j = Ry / (R + r )    j = y / (R + r )   G1 qt (  Q y = - m 1 + m [R / (R + r )]2 + I C [1 / (R + r )]2 y  ) x = R j = Ry / (R + r )    Department of Applied Mechanics 43 Department of Applied Mechanics 44
  12. Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 2. Ví dụ áp dụng x Theo nguyên lý d’Alembert‐Lagrange:  m,IC qt Qy + Qy = 0 PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI 2 (  G 1 - m 1 + m [R / (R + r )]2 + I C [1 / (R + r )]2 y = 0  ) C r, R 1. Thiết lập phương trình Lagrange loại 2 Gia tốc vật khối lượng m1 m1 2. Ví dụ áp dụng m 1g y 3. Các tích phân đầu y =  G1 m 1 + m [R / (R + r )]2 + I C [1 / (R + r )]2 Gia tốc khối tâm con lăn j = y / (R + r )   Gia tốc góc con lăn x = R j = Ry / (R + r )    Hãy so sánh với kết quả khi sử dụng phương pháp tách vật, phương pháp năng lượng (định lý động năng) Department of Applied Mechanics 45 Department of Applied Mechanics 46 Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 1. Thiết lập phương trình Lagrange loại 2 1. Thiết lập phương trình Lagrange loại 2 Xét hệ nhiều vật hô lô nôm với các liên kết giữ, dừng và lý tưởng. Ở đây ta cần chỉ ra hai hệ thức sau   æ  ÷  Đối với vật rắn phẳng ¶ rk ¶vk d ç ¶ rk ö ¶ v k   Số bậc tự do = f = & ç ÷= ÷ ¶qi ¶qi dt ç ¶ q i ø ç è ÷ ¶qi rCk = rCk (q 1 , q 2 ,..., q m , t ) Chọn tọa độ suy rộng đủ q = [q 1 , q 2 , ..., q f ]T       dr n ¶r ¶r Ta có rk = rk (q 1 , q 2 ,..., q m , t ) vCk = Ck = å Ck q i + Ck  i =1 ¶ q i ¶t Nhắc lại Nguyên lý d’Alembert‐Lagrange dt       dr n ¶r ¶r ¶vk ¶ rk đối với hệ N chất điểm:  vk = k = å k q i + k  = qk = qk (q 1 , q 2 , ..., q m , t ) dt i =1 ¶ q i ¶t ¶q j  ¶q j f N a   å (Qi + Qiqt )dq i = 0  ¶vk n ¶ 2rk  ¶ 2rk  d qk n ¶ qk ¶ qk å (F k - m k a k ) ⋅ drk = 0 i =1 =å qi +  wk = dt = å ¶q qi +  ¶t k =1  Qi + Q qt = 0, i = 1, 2, ..., f ¶q j i =1 ¶ q i ¶ q j ¶q j ¶t i =1 i i  æ ¶r ö 2      đối với hệ N vật rắn phẳng:  d ç k÷ n ¶ rk ¶ 2rk ¶ rCk ¶ vCk d æ ¶r ö ¶v ÷ ç ¶q ÷ = å ¶q ¶q qi + ¶q ¶t ç ÷  = & ç ÷ ç Ck ÷ = Ck N a  N   dt ç j ÷ è ÷ ø ¶qi ¶qi dt ç ¶q ÷ ç i ø è ¶qi å (FCk ⋅ drCk + M Ck ⋅ dqk ) + å (-m a a i =1 i j j k Ck ⋅ d rCk - I Ck ak ⋅ dqk ) = 0    æ ¶q ö ¶w d æ ¶ rk ö ¶ æ drk ö ¶ qk ¶wk k =1 k =1 ç ÷ ç ÷ ¶vk d ç k÷= ç ÷ ÷= ÷ = & ç ÷ k ç ÷= ç ÷ Hệ quả: Tại mỗi thời điểm lực suy rộng của các lực hoạt động và các lực quán tính triệt tiêu. dt ç ¶ q j ÷ ¶ q j ç dt ç è ÷ ø ç è ÷ ø ¶q j ¶q i ¶qi  dt è ÷ ç ¶qi ø ¶qi Department of Applied Mechanics 47 Department of Applied Mechanics 48
  13. Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 1. Thiết lập phương trình Lagrange loại 2 1. Thiết lập phương trình Lagrange loại 2 Sử dụng các hệ thức     Tìm liên hệ giữa lực suy rộng của các lực quán tính và biểu thức động năng của hệ. Đối với hệ n vật rắn phẳng, lực suy rộng của các lực quán tính ¶ rCk ¶ vCk d æ ¶ rCk ö ¶ vCk ç ÷ = , ç ÷= ÷ ¶qi ¶qi dt ç ¶ q i ø ç è ÷ ¶qi n æ  Sử dụng hai hệ thức ç  ¶r ¶ qk ö ÷ Đối với hệ N chất điểm f bậc tự do   Q iqt = -å çm k aCk ⋅ Ck + I Ck ak ç ÷ ÷ ¶ qk ¶wk d æ ¶q ö ¶w ç k÷= k =1 ç è ¶qi ¶qi ø÷ = , ç ÷ k    ¶vk ¶ rk ¶q i ¶qi  dt ç ¶q ÷ ç i÷ è ø ¶qi N  ¶r d æ N  ¶r ö ÷ N  d æ ¶ rk ö ÷ =  -Q iqt = å mkak k = ç çå m k vk k ÷ - å m k vk ç ç ÷ ¶q j  ¶q j n æ ¶r ¶q ö ÷ ÷  k =1 ¶qi dt ç ç k =1 è ÷ ¶ q i ø k =1 ç ç ÷ dt è ¶ q i ø -Q iqt = å çm k aCk ⋅ Ck + I Ck ak ⋅ k ÷ ç ç ÷ ÷ ç k =1 è ¶qi ¶qi ø÷ æ N    ö  d ç  ¶vk ö ÷ N  ¶vk d æ ¶r ÷ ¶v ç k÷ æ ¶r  ¶q ö n æ æ  ö æ öö -Q iqt = çå m k vk ç ÷ - å m k vk ÷ ç ÷= k = d ç n  ÷ ç  ç å m k vCk ⋅ Ck + I Ck w k ⋅ k ÷ - å çm k vCk ⋅ d ç ¶ rCk ÷ + I w ⋅ d ç ÷ ç ¶ qk ÷÷ ç ÷÷ dt ç k =1  ÷ ¶ q i ø k =1 ¶qi ç ç ÷ ç ÷ ç ç ÷ ÷÷ ç ¶ q ø÷÷ è dt è ¶q j ÷ ¶q j ç ÷ ç ÷ è i ÷ø ç Ck k ø dt è k =1 ¶qi ¶ q i ø k =1 ç è dt è ¶qi ø dt d ¶ æ N 1ç   ö ÷ ¶ æ N ç   ö ÷ = çå 2 m k vk ⋅ vk ÷ - ç k =1 ÷ çå 2 m k vk ⋅ vk ÷ ç k =1 1 ÷   dt ¶ q i è  ÷ ø ¶qi è ÷ ø d æ N  ¶v ¶ wk ö N æ  ¶v ¶wk ö ç ÷- ÷ å çm k vCk ⋅ Ck + I Ck w k ⋅ ÷ -Q iqt = ç å m k vCk ⋅ Ck + I Ck w k ⋅ ç ÷ ç ÷ ÷ d ¶T ¶T dt ç k =1 è ¶qi ¶ q i ø k =1 ç  ÷ ç è ¶qi ÷ ¶qi ø = - dt ¶ qi ¶qi é d ¶T ¶T ù Q iqt = - êê - ú d ¶ æ N æ1   1 öö ¶ N æ1   1 ö ú -Q iqt = ç ç k =1 ç 2 ÷÷ ç å ç vCk ⋅ m k vCk + w k ⋅ I Ck w k ÷÷ - ÷÷ å ç2 v ç ⋅ m k vCk + w k ⋅ I Ck w k ÷ ÷ ÷ êë dt ¶ q i  ¶q i úû dt ¶ q i ç  è ç è 2 ÷÷ øø ¶ q i ç è k =1 Ck 2 ÷ ø Department of Applied Mechanics 49 Department of Applied Mechanics 50 Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 1. Thiết lập phương trình Lagrange loại 2 1. Thiết lập phương trình Lagrange loại 2 Lực suy rộng của các lực quán tính Phương trình Lagrange loại 2 là phương trình vi phân chuyển động của hệ các chất điểm và các vật rắn chịu liên kết  hình học ở dạng tọa độ suy rộng đủ với số phương trình đúng bằng số bậc tự do của hệ. Với cơ hệ f bậc tự do có các  æ d ¶ ç N æ1   1 öö ¶ N æ1   1 ö -Q iqt = ç ç ÷÷ ç å ç vCk ⋅ m k vCk + w k ⋅ I Ck w k ÷÷ - ÷÷ å ç 2 vCk ⋅ m k vCk + 2 wk ⋅ I Ck wk ÷ ç ÷ ÷ toa độ suy rộng đủ [q1,q2,…,qf], phương trình chuyển động Lagrange loại 2 như sau:  è ç2 dt ¶ q i ç k =1 è 2 ÷÷ øø ¶ q i ç k =1 è ÷ ø æ ¶L ö ¶L æ ö d ¶T ¶T d ç ÷ ÷ = Q ikt d ç ¶ T ÷ - ¶ T + ¶P = Q kt , (i = 1, 2, ..., f ) ÷ = - , 1 N ( T = å m k vCk + I Ck w k 2 2 ) dt ç  ÷- ç ç ¶qi ÷ ¶qi è ø dt ç ç i ÷ ç ¶q ø ¶q è ÷ ¶qi i dt ¶ q i  ¶qi 2 k =1 i Phương trình Lagrange loại 2 cho hệ nhiều vật rắn phẳng hô lô nôm Các bước thực hiện khi áp dụng: Động năng d ¶T ¶T ¶P 1. Xác định số bậc tự do của hệ; 1 2 Q iqt + Q i = 0  - = Qi = - + Q ikt Vật rắn tịnh tiến T = mvC dt ¶ q i  ¶qi ¶qi 2. Chọn tọa độ suy rộng đủ; 2 3. Tính biểu thức động năng và thế năng hệ; 1 Định nghĩa hàm Lagrange của hệ Vật rắn qq trục z cố định T = Iz w2 4. Tính lực suy rộng của các lực/ngẫu lực không thế; 2 L = T (q 1 , ..., q f , q 1 ,..., q f , t ) - P(q 1 , ..., q f )   d æ ¶L ÷ ¶L ö 5. Tính các đạo hàm; ç ÷ = Q ikt Vật rắn chuyển động phẳng   T (q 1 , ..., q f , q 1 , ..., q f , t ) là biểu thức động năng dt ç  ÷- ç ç ¶qi ÷ ¶qi 6. Viết phương trình Lagrange loại 2 cho hệ. è ø 1 1 P(q 1 , ..., q f ) T = mvC + I Cz w 2 2 là biểu thức thế năng của hệ 2 2 Department of Applied Mechanics 51 Department of Applied Mechanics 52
  14. Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 2. Ví dụ áp dụng. Phương trình Lagrange loại 2 2. Ví dụ áp dụng. Phương trình Lagrange loại 2 Ví dụ 1: Lập PTVP CĐ cho con lắc vật lý x1 x2 Ví dụ 2. Hãy sử dụng phương trình Lagrange loại 2 thiết lập phương y F(t) IO O trình vi phân chuyển động cho hệ. Hệ 1 bậc tự do, f = 1. Chọn tọa độ suy rộng q =  a1=OC u m2 1. Hai khối lượng cđ độc lập nhau, hệ hai bậc tự do  f=2.  Động năng và thế năng hệ:  k1 m1 k2 k3 2. Chọn tọa độ suy rộng đủ: x1 và x2 mô tả dịch chuyển hai vật.  C 1 1 3. Biểu thức động năng, thế năng của hệ có dạng   T = I w 2 = IO j 2 ,  P = -mga 1 cos j x mg Hệ dao động 2 bậc tự do 2 O 2 1 1 1 2 1 1 T  m1x 1  m2x 2 2 2 &   k1x 1  k2 (x 2  x 1 )2  k 3x 2 2 Lực suy rộng không thế Q kt = u 2 2 2 2 2 4. Tính lực suy rộng của các lực không thế Phương trình Lagrange loại 2 Tính các đạo hàm x 1 Q1kt  F (t )  F (t ), Q2  0 kt d ¶T ¶T ¶P x 1 - =- + Q kt ¶T ¶T d ¶T dt ¶ j  ¶j ¶j = 0, = I O j,  = IO j  5. Tính các đạo hàm ¶j ¶j dt ¶ j  ¶P Phương trình vi phân chuyển động: T d  T  T  = mga 1 sin j  m1x 1,     m1x 1,   0,  (k1  k2 )x 1  k2x 2 ¶j I O j + mga 1 sin j = u  x 1  dt  x 1   x 1 x 1 Department of Applied Mechanics 53 Department of Applied Mechanics 54 Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 2. Ví dụ áp dụng. Phương trình Lagrange loại 2 2. Ví dụ áp dụng. Phương trình Lagrange loại 2 5. Tính các đạo hàm 1 1 x1 x2 T  m1x 1  m2x 2 2 2 Ví dụ 3. Mô hình cơ học của tay máy phẳng hai bậc tự  B 2 2 F(t) do gồm khâu 1 tịnh tiến theo phương ngang, khâu 2 nối  m2, IC2 T d  T  1 2 1 1   k1x 1  k2 (x 2  x 1 )2  k 3x 2 2 với  khâu  1  bằng  khớp  quay  A  –  trục  khớp  nằm  ngang,  y0 g  m1x 1,     m1x 1,  2 2 2 m2 x 1  dt  x 1   k1 m1 k2 k3 khoảng  cách  C1A=  d.  Khâu  1  có  khối  lượng  m1  trượt  x d lC2 C2 T  không  ma  sát  trên  nền  ngang  dưới  tác  dụng  của  lực  A   0,  (k1  k2 )x 1  k2x 2 ngang u1. Khâu 2 có khối lượng m2, khối tâm C2, khoảng  O u1 x0 x 1 x 1 Hệ dao động 2 bậc tự do C1 cách AC2 = lC2, mômen quán  nh khối đối với trục ngang  m1 T d  T  T  qua C2 là IC2. Tại khớp quay A có mômen (nội lực) u2 tác  u2  m2x 2 ,    m2x 2 ,   0,  k2x 1  (k2  k 3 )x 2 x 2   x   x 2 x 2 dụng.  Chọn  tọa  độ  suy  rộng  cho  tay  máy  là  x  và  .  Sử  dt  2  Tay máy 2 bậc tự do dụng  PT  Lagrange  loại  2  để  thiết  lập  phương  trình  vi  6. Viết phương trình Lagrange loại 2 cho hệ.  phân chuyển động cho tay máy. d æ ¶T ö ¶T ÷ ¶P ç ÷ kt dt ç ¶ x ÷ - ¶ x + ¶ x = Q i , (i = 1, 2) ç ç i ÷ è ø i i m1x 1  (k1  k2 )x 1  k2x 2  F (t )  m1 0  x 1   k1  k2 k2  x 1  F (t )           m2x 2  k2x 1  (k2  k 3 )x 2  0     0 m2  x 2     k2  k2  k 3  x 2   0      Department of Applied Mechanics 55 Department of Applied Mechanics 56
  15. Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 2. Ví dụ áp dụng. Phương trình Lagrange loại 2 2. Ví dụ áp dụng. Phương trình Lagrange loại 2 1. Số bậc tự do  f=2.  4. Tính lực suy rộng của các lực không thế 2. Chọn tọa độ suy rộng đủ: x và  B  B m2, IC2   A(Fkkt )  u1 x  u2  Qxkt  u1, Q  u2 kt m2, IC2 3. Biểu thức động năng, thế năng của hệ có dạng   y0 g y0 g lC2 C2 5. Tính các đạo hàm lC2 C2 1 1 1 x d x d T  m1(vC 1 )2  m2 (vC 2 )2  IC 22 2 A  ¶P ¶T A  2 2 2 u1 x0 = 0, = 0, u1 x0 C1 C1 O ¶x ¶x O Tọa độ khối tâm và vận tốc góc các khâu: m1 u2 ¶T m1 u2 xC 1  x , yC 1  0  vC 1  x , 1  0, = (m1 + m2 )x - m2lC 2j sin j,   Tay máy 2 bậc tự do ¶x Tay máy 2 bậc tự do xC 2  x  d  lC 2 cos   xC 2  ...,  d ¶T = (m1 + m2 )x - m2lC 2 (j sin j + j 2 cos j)    yC 2  lC 2 sin   yC 2  ...,  2    dt ¶x (vC 2 )2  xC 2  yC 2  x 2  2lC 2x  sin   lC 2 2 2 2   2  ¶P ¶T ¶T 2 Biểu thức thế năng = m2glC 2 cos j, = -m2lC 2x j cos j,  = -m2lC 2x sin j + (IC 2 + m2lC 2 )j,   1 1 ¶j ¶j ¶j  T  (m1  m2 )x 2  m2lC 2x  sin   (IC 2  m2lC 2 ) 2   2    m2glC 2 sin  d ¶T 2 2 2 = -m2lC 2 (x sin j + x j cos j) + (IC 2 + m2lC 2 )j    dt ¶j Department of Applied Mechanics 57 Department of Applied Mechanics 58 Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 2. Ví dụ áp dụng. Phương trình Lagrange loại 2 2. Ví dụ áp dụng. Phương trình Lagrange loại 2 B Ví dụ 4.  x Mô  hình  cầu  trục  cùng  với  tải  trọng  được  cho  như  hình  vẽ.  Xe  A  có  m2, IC2 k y0 g khối lượng m1 chuyển động trên đường ngang, lò xo có độ cứng k, cản  m1 F(t) 6. Phương trình vi phân chuyển động  lC2 C2 nhớt hệ số c. Dây AB có chiều dài l, khối lượng không đáng kể và luôn  x d A căng.  Tải  trọng  được  coi  như  chất  điểm  có  khối  lượng  m2.  Thiết  lập  c u1 A  x0 phương trình vi phân chuyển động với các tọa độ suy rộng x và : (m1 + m2 )x - m2lC 2 sin j j - m2l j 2 cos j = u1,    O C1 2 m1 l -m2lC 2 sin j x + (IC + m2lC 2 )j + m2glC 2 cos j = u2 .   u2  Tay máy 2 bậc tự do B m2 Phương trình PVCĐ ở dạng ma trận q1 = x , q2 = j é -m 2lC 2 sin q 2 ùú éq 1 ù é-m l q 2 cos q ù éu ù ê m1 + m 2  ê ú+ ê  2ú ê 1ú ê m gl cos q ú = êu ú 2 C2 2 ê-m l sin q I C 2 + m 2lC 2 úú êêq 2 úú 2  ëê 2 C2 2 ûë û êë 2 C 2 2 ú û êë 2 úû Department of Applied Mechanics 59 Department of Applied Mechanics 60
  16. Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 2. Ví dụ áp dụng. Phương trình Lagrange loại 2 2. Ví dụ áp dụng. Phương trình Lagrange loại 2 1. Số bậc tự do  f=2.  4. Tính lực suy rộng của các lực không thế x  x 2. Chọn tọa độ suy rộng đủ: x và    A(Fkkt )  (F (t )  cx ) x  0  Qx  F (t )  cx ,  kt  Q  0 kt k k 3. Biểu thức động năng, thế năng của hệ có dạng   m1 m1 F(t) 5. Tính các đạo hàm F(t) 1 1 A T T A T  m 1v A  m 2 v B 2 2 vA  x  c  0,  (m1  m2 )x  m2l  cos ,   c 2 2 x x d T  Tính vận tốc điểm B l  (m1  m2 )x  m2l  cos   m2l  2 sin ,     kx , Fc  cx  l   dt x  x  X  x  l sin   X  x  l  cos    B T T B Y  l cos   Y   l  sin   m2  m2lx  sin ,   m2l 2  m2lx cos ,   m2     vB  X 2  Y 2  x 2  2lx  cos   l 2 2 2    d T   m2l 2  m2lx cos   m2lx  sin ,     m2gl sin  1 1 dt   T  (m  m2 )x 2  m2lx  cos   m2l 2 2    2 1 2 6. Phương trình vi phân chuyển động  1 (m1  m2 )x  m2l cos    m2l  2 sin   cx  kx  F (t )     Biểu thức thế năng   kx 2  m2 gl cos  2 m2l cos  x  m2l 2  m2gl sin   0.   Department of Applied Mechanics 61 Department of Applied Mechanics 62 Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 3. Các tích phân đầu của chuyển động ‐ first integrals of motion 3. Các tích phân đầu của chuyển động ‐ first integrals of motion Phương trình VP CĐ của hệ f bậc tự do Ví dụ về tích phân đầu. Ta xét hệ dao động khối lượng‐lò xo như trên  q Hình. Phương trình vi phân chuyển động của hệ  k d æ ¶T ö ¶T ÷ ¶P ç ÷ kt  fi (q 1 , .., q f , q 1 , .., q f , q 1 , .., q f ) = Q ikt     mq  kq  0 ç ¶ q ÷ - ¶ q + ¶ q = Q i , (i = 1, 2,..., f ) (1) ç  (1) m dt ç i ÷ è ø i i (Hệ f phương trình vi phân cấp 2 đối với các tọa độ suy rộng) Xét hàm C (q, q )  0.5(mq 2  kq 2 )   Hệ khối lượng – lò xo  C k (q 1 , ..., q f , q 1 , ..., q f )  Định nghĩa tích phân đầu. Nếu có thể tìm được các hàm                                                 mà  Đạo hàm theo thời gian với chú ý đến (1) d d mq  kq C (q , ..., q f , q 1 , ..., q f ) = 0   [ đạo hàm Ck() dọc quỹ đạo (1) ] C (q, q )  mqq  kqq     dt k 1 dt d  (q 1 ,..., q f , q 1 , ..., q f )  với                                             thỏa mãn phương trình (1), thì biểu thức C (q, q )  mqq  kqq  q(kq )  kqq  0      dt C k (q 1 , ..., q f , q 1 , ..., q f ) = C k = const ,   (k = 1, 2, ...) Vậy ta có được tích phân đầu của hệ (1) như sau C (q, q )  0.5(mq 2  kq 2 )  const   là tích phân đầu của PTVP CĐ (1). Department of Applied Mechanics 63 Department of Applied Mechanics 64
  17. Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles Một số nguyên lý cơ học – Some mechanical Principles 3. Các tích phân đầu của chuyển động ‐ first integrals of motion 3. Các tích phân đầu của chuyển động ‐ first integrals of motion Tích phân năng lượng. Nếu hệ là bảo toàn ta có Ví dụ. Xét con lắc elliptic (m1, m2, L, g) x Biểu thức động năng và thế năng m1 C 1 (q1,.., q f , q1,.., q f ) = T + P = C 1 = const   1 1 A T  (m1  m2 )x 2  m2lx  cos   m2l 2 2 ,      m2gl cos  2 2 Tích phân xyclic. Nếu một tọa độ suy rộng nào đó thỏa mãn Phương trình vi phân chuyển động  l  ¶T ¶P (m1  m2 )x  m2l cos    m2l  sin   0    2 B = 0, Qk = - + Q kkt = 0 Tọa độ qk được gọi là tọa độ xyclic. ¶qk ¶qk m2 m2l cos  x  m2l 2  m2gl sin   0.   T d æ ¶T ö ¶T ¶P Hệ bảo toàn nên có tích phân năng lượng Qx  0, 0 ç ÷ ÷ kt x ç ¶q ÷ - ¶q = - ¶q + Qk ç ç k ÷ dt è ø k k T    ...  C 1  const  T0   0  x là tọa độ cyclic, nên có tích phân xyclic d æ ¶T ö ÷= 0 ¶T ç ç ÷ = C 2 (q, q ) = C 2 = const  dt ç  ç ¶q ÷ ÷ ¶qk  Tích phân xyclic (bảo toàn động lượng trên phương ngang) è k ø T Là tích phân xyclic.   (m1  m2 )x  m2l  cos   C 2  const  (m1  m2 )x (0)  m2l (0) cos (0)     x  Department of Applied Mechanics 65 Department of Applied Mechanics 66
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí
65 tài liệu
2431 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2