Bài giảng Cơ học lý thuyết: Chương 9 - Huỳnh Vinh

Chia sẻ: Bánh Bèo Xinh Gái | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

34
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Cơ học lý thuyết: Chương 9 Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ, cung cấp cho người học những kiến thức như: Khối lượng của hệ; Khối tâm của hệ; Mômen quán tính của hệ; Mômen quán tính của vật rắn thường gặp. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ học lý thuyết: Chương 9 - Huỳnh Vinh

1. Khối lượng của hệ Chuyển động của một cơ hệ ngoài việc phụ thuộc vào lực tác dụng còn phụ thuộc vào tổng khối lượng và phân bố các khối lượng của hệ đó. Xét cơ hệ gồm n chất điểm có khối lượng tương ứng là m1, m2,..., mn. Khối lượng của hệ: bằng tổng khối lượng của tất cả các phần tử hợp Chương 9 thành hệ đó. M = ∑ mk ( k = 1, n ) 9.1 m1 m2 m3 m4 m5 mn GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 662 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 663 2. Khối tâm của hệ Ký hiệu khối tâm: C a. Đối với hệ chất điểm (vật rắn) z * Dạng véc tơ: m1 n C ∑ mk .rk m2 rC = k =1 9.2 r1 rC M r2 mn * Trong hệ trục Descartes Oxyz: rn  1 n O y  xC = M ∑ mk . xk  k =1 x  1 n  yC = M ∑ m .y k k  k =1 9.3  1 n  zC =  M ∑ m .z k =1 k k GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 664
b. Đối với hệ vật rắn Nói rõ hơn về khối tâm Xét hệ gồm n vật rắn, vật rắn thứ k có khối lượng mk và khối tâm Ck. n Khổi tâm C của hệ chất điểm là điểm thỏa mãn: ∑ mk .CM k = 0 Gọi C và M lần lượt là khối tâm và tổng khối lượng của hệ vật rắn. mk : khối lượng chất điểm thứ k k =1 * Dạng véc tơ: z n n Mk : vị trí xác định chất điểm thứ k ∑ mk .rCk ∑ mk .rCk m2 m1 Xác định vị trí khối tâm C theo điểm quy chiếu O: rC = nk =1 = k =1 C1 M C2 zC Với O là điểm xác định trong không gian thì: CM k = OM k − OC ∑ k =1 mk 9.4 C n n mn Từ ∑ mk .CM k = 0 ⇒ ∑ mk .(OM k − OC ) = 0 * Trong hệ trục Descartes Oxyz: rC1 k =1 k =1 rC2 rC  1 n  xC = M ∑ mk . xCk n n n Cn ⇒ ∑ mk .(OM k − OC ) = 0 ⇒ ∑ mk .OM k − OC .∑ mk = 0 yC y k =1 k =1 k =1  k =1 rCn n  1 n xC O Đặt rk = OM k , rC = OC , M = ∑ mk , ta có: y  C = M ∑ mk . yC k 9.5 rC3 C3 k =1 n  k =1 ∑m r  1 n x ∑ n k k  zC = mk . z Ck m3 ∑ mk rk − rC .M = 0 ⇒ rC = k =1 k =1 M 9.2  M k =1 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 665 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 667 Chỉ tồn tại một khối tâm ứng với một trạng thái vị trí của hệ chất điểm: Ý nghĩa động học của khối tâm C Với điểm quy chiếu O: n ∑ mk rk Khi hệ chất điểm chuyển động (vật rắn, hệ vật rắn) Khối tâm C được xác định bởi: OC = rC = k =1 M + Quan hệ vận tốc giữa các chất điểm: n ∑ mk rk n n Giả sử tồn tại tâm C* nào đó khác tâm C, thì: OC * = rC * = k =1 M ∑ mk .rɺk ∑ m .v k k i rɺC = k =1 ⇒ vC = k =1 M M Như vậy rC = rC * , điều này chứng tỏ C trùng C* và dẫn đến kết luận tồn tại duy nhất một tâm. + Quan hệ gia tốc giữa các chất điểm: n n ∑ m .ɺɺr k k ∑ m .a k k i ɺɺ rC = k =1 ⇒ aC = k =1 M M GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 666 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 668
* Trục trung tâm: là trục đi qua khối tâm C. Khi vật được tổ hợp cộng từ n khối hình con mà mỗi khối hình con thứ i biết khối tâm Ci và thể tích Vi thì:  x C1V1 + x C 2 V 2 + ... + x C n V n  xC =  V1 + V 2 + ... + V n  y C1V1 + y C 2 V 2 + ... + y C n V n  yC =  V1 + V 2 + ... + V n  z C V1 + z C 2 V 2 + ... + z C n V n  zC = 1 C  V1 + V 2 + ... + V n Lưu ý: Việc tổ hợp có thể là cộng hình kết hợp trừ hình. Giả sử cộng các hình từ 1 đến k, trừ các hình từ k+1 đến n, thì công thức là:  ( x C1V1 + x C 2 V 2 + ... + x C k V k ) − ( x C k V k + x C k +1V k +1 + ... + x C n V n )  xC =  (V1 + V 2 + ... + V k ) − (V k +1 + V k + 2 + ... + V n )  ( y C1V1 + y C 2 V 2 + ... + y C k V k ) − ( y C k V k + y C k + 1V k +1 + ... + y C n V n )  yC =  (V1 + V 2 + ... + V k ) − (V k +1 + V k + 2 + ... + V n )  ( z C1V1 + z C 2 V 2 + ... + z C k V k ) − ( z C k V k + z C k + 1V k +1 + ... + z C n V n )  zC =  (V1 + V 2 + ... + V k ) − (V k +1 + V k + 2 + ... + V n ) GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 669 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 671 * Khối tâm của vật đồng chất: * Tính chất: - Nếu vật có mặt phẳng đối xứng thì khối tâm thuộc mặt đối xứng đó * Tổng quát: Trong hệ trục Oxyz gắng cố định đối với vật, tọa độ khối - Nếu vật có 3 mặt phẳng đối xứng thì khối tâm C là giao điểm của 3 tâm C:  mặt đối xứng đó.  ∫ (V ) x .dV ∫ (V ) x .dV ∫∫∫ x .dxdydz (V ) - Nếu vật là thanh thẳng mảnh thì khối tâm C là trung điểm của trục  xC = = = thanh.  ∫ dV V ∫∫∫ dxdydz - Nếu vật là dạng tấm phẳng có chiều dày không đổi – mặt trung bình  (V ) (V ) là mặt đối xứng thì khối tâm thuộc mặt trung bình (tấm mảnh là   ∫ (V ) y .dV ∫ (V ) y .dV ∫∫∫ y .dxdydz (V ) trường hợp đặt biệt của dạng tấm này). Khối tâm cần xác định là tâm diện tích hình học phẳng của mặt trung bình đối xứng, tọa độ tâm C  yC = = = được xác định theo công thức sau:  ∫ dV V ∫∫∫ dxdydz  (V ) (V )   ∫ z .dV ∫ z .dV ∫∫∫ z .dxdydz  zC = (V ) = (V ) = (V )   ∫ (V ) dV V ∫∫∫ dxdydz (V ) GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 670 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 672
Trong hệ trục phẳng chọn trước chứa y * Thu gọn hệ trọng lượng của vật rắn: Khối lượng của vật rắn phân mặt phẳng trung bình đối xứng của (F) bố theo không gian phân bố của vật chất. Ở đâu có khối lượng thì ở đó vật, tâm C có tọa độ (xC,yC): dF có trọng lượng. Trọng lượng là hệ lực song song hướng tâm trái đất phân bố trên từng đơn vị thể tích. Khi tính toán, ta thu gọn về tâm khối  lượng thì được một véc tơ chính (khác không) bằng tổng véc tơ trọng  ∫ (F ) x .dF ∫ (F ) x .dF ∫∫ x .dxdy (F ) C lượng thành phần, còn mômen chính bằng không.  xC = = =  ∫ dF F ∫∫ dxdy MC =0 y  (F ) (F )  x Tương đương C Tương đương C C  ∫ y .dF ∫ y .dF ∫∫ y .dxdy O x ∞ y = P = ∑ pk (F ) (F ) (F ) = =  C  ∫ dF F ∫∫ dxdy pk k =1  (F ) (F ) RC = P P CM: Khi thu gọn hệ trọng lượng về khối tâm C, ta được: Lưu ý: Nếu mặt phẳng trung bình đối xứng của vật này có trục + Véc tơ lực chính: đối xứng thì tâm C thuộc trục đối xứng đó. Nhờ tính chất này ta ∞ ∞ ∞ R C = ∑ p k = ∑ mk g = g ∑ mk = M . g = P ≠ 0 biết được tâm của một số hình: tròn, vuông, elip, đa giác đều… k =1 k =1 k =1 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 673 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 675 Khi mặt phẳng đối xứng này được tổ hợp cộng từ n hình con mà mỗi + Véc tơ mômen chính: hình con thứ i biết tâm Ci và diện tích Fi thì: ∞ ∞ M C = ∑ mC ( mk g ) = ∑ ( rk ∧ mk g )  x C1 F1 + x C 2 F2 + ... + x C n Fn k =1 k =1  xC = ∞ ∞  F1 + F2 + ... + Fn = ∑ ( mk rk ∧ g ) = ( ∑ mk rk ) ∧ g = MrC ∧ g = 0 ∧ g = 0   y = y C1 F1 + y C 2 F2 + ... + y C n Fn k =1 k =1  C F1 + F2 + ... + Fn MC =0 Lưu ý: Việc tổ hợp có thể là cộng hình kết hợp trừ hình. Giả sử cộng các hình từ 1 đến k, trừ các hình từ k+1 đến n, thì công C C thức là: rk  ( x C1 F1 + x C 2 F2 + ... + x C k Fk ) − ( x C k Fk + x C k +1 Fk +1 + ... + x C n Fn )  xC = mk k  ( F1 + F2 + ... + Fk ) − ( Fk +1 + Fk + 2 + ... + Fn )  y = ( y F C1 1 + y C 2 F2 + ... + y C k Fk ) − ( y C k Fk + y C k + 1 Fk +1 + ... + y C n Fn )  C ( F1 + F2 + ... + Fk ) − ( Fk +1 + Fk + 2 + ... + Fn ) ∞  mk g R C = ∑ pk = P k =1 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 674 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 676
Trong trường trọng lực, khối tâm C trùng với trọng tâm G. b. Mômen quán tính đối với một trục ∆: * Trọng tâm G của vật là điểm đặt hợp trọng lực P của vật * Đối với một chất điểm ∆ J ∆ = m.d 2 9.8 d m C ≡G Tương đương * Đối với hệ chất điểm ∆ P n d1 m1 J ∆ = ∑ mk d 2 9.9 d2 k m2 pk k =1 mn dn Bán kính quán tính ρ∆ đối với trục ∆: J ∆ = M .ρ ∆2 Dấu của mômen quán tính đối với một trục: luôn luôn dương GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 677 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 679 3. Mômen quán tính của hệ c. Mômen quán tính trong hệ trục tọa độ Descartes a. Mômen quán tính đối với một điểm (mômen quán tính độc cực):  n n  x ∑ k x ∑ mk ( y k + z k ) 2 2 2 J = m d = * Đối với một chất điểm  k =1 k =1 z n n r   J y = ∑ mk d y = ∑ m k ( x k + z k ) 2 2 2 J O = m.r 2 9.6 O m 9.10  k =1 k =1  n n dz  J z = ∑ m k d z = ∑ mk ( x k + y k ) 2 2 2  k =1 k =1 mk ( xk , y k , z k ) * Đối với hệ chất điểm m1 r1 n r2 n n dx dy J O = ∑ mk rk2 9.7 O m2 J O = ∑ mk rk2 = ∑ mk ( yk2 + xk2 + z k2 ) rk zk k =1 rn mn k =1 k =1 y O xk Jx + Jy + Jz x yk Bán kính quán tính ρΟ đối với điểm Ο: J O = M .ρ O2 JO = 9.11 2 Dấu của mômen quán tính đối với một điểm: luôn luôn dương GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 678 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 680
* Trường hợp đặc biệt z * Các bán kính quán tính khối lượng đối với gốc tọa độ và đối với + Tấm phẳng mảnh: các trục tọa độ Có thể viết lại  JO Trong hệ trục Oxyz, giả sử mặt phẳng vật nằm  ρO = y  M trong mặt phẳng tọa độ Oxy, khi đó ta có:  J O = M .ρ O2  Jx J z = JO = J x + J y  2 ρx = O  J x = M .ρ x  M  2 ⇒ 9.12  J y = M .ρ y  Jy x  J = M .ρ 2 ρ y = M  z z  Lấy chất điểm bất kỳ thuộc tấm, thì: zk = 0. Nên từ và :  Jz  ρ z = 9.10 9.11  n n Trong đó: M  J x = ∑ m k y k , J y = ∑ mk x k 2 2  k =1 k =1 Jz = Jx + J y - Bán kính quán tính khối lượng đối với tâm O: ρ O  n   J z = ∑ mk ( xk + y k ) - Các bán kính quán tính khối lượng đối với các trục: ρ x , ρ y , ρ z 2 2 ⇒ J x + J y + J z ⇒ J z = JO = J x + J y  k =1 JO =   2 JO = Jx + Jy + Jz 2 ρ x2 + ρ y2 + ρ z2  2 ρ = O 9.13 2 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 681 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 683 + Thanh thẳng mảnh: z * Mômen quán tính đối với hệ trục phẳng trong hệ trục Descartes Trong hệ trục Oxyz, giả sử trục thanh trùng (mômen quán tính ly tâm) với trục Oz, với t là trục bất kỳ nằm trong mặt  n Oxy và đi qua O, ta có kết quả sau: y  J xy = J yx = ∑ mk xk yk  k =1 Jz = 0  n  J xz = J zx = ∑ mk xk z k 9.14  O JO = J x = J y = Jt t  k =1  n Dấu: hoặc dương hoặc âm hoặc bằng 0 x J  yz  = J zy = ∑ k =1 mk y k z k Lấy chất điểm bất kỳ thuộc tấm, thì: xk = 0, yk= 0. Nên từ 9.10 và 9.11 : + Trục quán tính chính  n  J x = J y = ∑ mk z k2 Trục x là trục quán tính chính khi J xy = J xz = 0 9.15  k =1 Jz = 0 Jz = 0 ⇒ Trục y là trục quán tính chính khi J yx = J yz = 0 9.16  J + Jy + Jz JO = J x = J y JO = x  2 Trục z là trục quán tính chính khi J zx = J zy = 0 9.17 Jz = 0 Vai trò trục t như trục x và y nên:  + Trục quán tính chính trung tâm: là trục vừa là trục trung tâm vừa là JO = J x = J y = Jt trục quán tính chính. GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 682 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 684
* Công thức chuyển trục song song của mômen quán tính - Mômen quán tính đối với trục Y: Z n n z J Y = ∑ mk ( X k2 + Z k2 ) = ∑ mk  ( a + xk ) 2 + (c + z k ) 2  k =1 k =1 n Zk d Zz = ∑ mk  ( a 2 + 2 axk + xk2 ) + (c 2 + 2cz k + z k2 )  zk k =1 mk = ( a 2 + c 2 ) M + 2 a.MxC + 2c.MzC + J y c O yk = d Yy2 M + 2 a.MxC + 2c.MzC + J y xk d Yy y I x b Yk Y a d Xx Nếu trục y là trục trung tâm (trục đi qua khối tâm C) thì: xC = 0, zC = 0. Xk Khi đó: J Y = J y + d Yy2 M X GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 685 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 687 + Tịnh tiến hệ trục IXYZ theo véc tơ OI được hệ trục Oxyz. Trong hệ - Mômen quán tính đối với trục Z: trục IXYZ, tọa độ của O là (a,b,c). n n J Z = ∑ mk ( X + Y ) = ∑ mk  ( a + xk ) 2 + (b + yk ) 2  2 k k 2 - Mômen quán tính đối với trục X: k =1 k =1 n n n J X = ∑ mk (Yk2 + Z k2 ) = ∑ mk  (b + y k ) 2 + (c + z k ) 2  = ∑ mk  ( a 2 + 2 axk + xk2 ) + (b 2 + 2byk + y k2 )  k =1 k =1 k =1 n = ∑ mk  (b 2 + 2byk + yk2 ) + (c 2 + 2cz k + z k2 )  = ( a 2 + b 2 ) M + 2 a.MxC + 2b.MyC + J z k =1 2 2 = d Zz2 M + 2 a.MxC + 2b.MyC + J z = (b + c ) M + 2b.MyC + 2c.MzC + J x 2 = d Xx M + 2b.MyC + 2c.MzC + J x Nếu trục x là trục trung tâm (trục đi qua khối tâm C) thì: yC = 0, zC = 0. Nếu trục z là trục trung tâm (trục đi qua khối tâm C) thì: xC = 0, yC = 0. 2 Khi đó:J X = J x + d Xx M Khi đó: J Z = J z + d Zz2 M GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 686 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 688
* Định lý Steiner-Huygens: Mômen quán tính của vật đối với một trục + Mômen quán tính đối với trục L: Z nào đó bằng mômen quán tính đối với trục z đi qua khối tâm và song J L = ∑ mk ( I k H k ) 2 = ∑ mk ( I k H k ) 2 = ∑ mk  rk2 − (OH k ) 2  song với Z cộng với tích khối lượng của vật với bình phương khoảng cách giữa hai trục. z = ∑ mk  xk2 + yk2 + z k2 − ( xk .c osα + yk .c osβ + z k .c osγ ) 2  2 J Z = J z + d .M 9.18 Z = ∑ mk  xk2 (1 − cos 2 α ) + y k2 (1 − cos 2 β ) + z k2 (1 − cos 2 γ )  Trong những trục song song nhau, trục đi −2 ∑ mk ( xk yk .c osα c osβ + xk z k .c osα c osγ + y k z k .c osβ c osγ ) qua khối tâm có mômen quán tính bé nhất. C Do cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1, nên: J L = ∑ mk  xk2 (cos 2 β + cos 2 γ ) + y k2 (cos 2 α + cos 2 γ ) + z k2 (cos 2 α + cos 2 β )  −2 J xy c osα c osβ − 2 J yz c osβ c osγ − 2 J zx c osγ c osα d Do xk2 + yk2 = d z2 , xk2 + z k2 = d y2 , yk2 + z k2 = d x2 , nên: J L = ∑ mk  d x2 cos 2 α + d y2 cos 2 β + d z2 cos 2 γ  −2 J xy c osα c osβ − 2 J yz c osβ c osγ − 2 J zx c osγ c osα GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 689 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 691 * Công thức mômen quán tính đối với trục bất kỳ đi qua gốc tọa độ. + Mômen quán tính đối với trục L có công thức sau: J L = J x .cos 2 α + J y .cos 2 β + J z .cos 2 γ z L + Ta có: −2 J xy c osα c osβ − 2 J yz c osβ c osγ − 2 J zx c osγ c osα rk = xk .i + y k . j + z k .k zk dz Có thể viết dưới dạng sau: rk = OH k + H k I k mk  cos 2 α   cos α .cos β  + Chiếu (*) lên trục L: Hk Ik   [ J L ] =  J x Jy J z  .  cos 2 β  − 2  J xy J yz J zx  .  cos β .cos γ  k   xk .c osα + y k .c osβ + z k .c osγ = OH k γ dy  cos 2 γ   cos γ .cos α  dx rk   α β J L = Det [ J L ] j yk y O xk i x GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 690 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 692
4. Mômen quán tính của vật rắn thường gặp 4.2. Vành mảnh tròn đồng chất : (M,R) 4.1. Thanh mảnh thẳng đồng chất: (M,l) Vành mảnh nằm trong mặt phẳng Cxy, khối tâm C; trục k bất kỳ thuộc mặt phẳng Cxy, đi qua khối tâm. z' z  1 2  J C = J z = M .R 2  J z ' = J A = 3 M .l A C B   9.19  1 9.20 z l/2 l/2 2  J x = J y = M .R = J k  J = J = 1 M .l 2  2  z C 12 (Xem phần chứng minh cuối bài ) y (Xem phần chứng minh cuối bài ) C R x k GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 693 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 695 Thanh mảnh thẳng đồng chất AB có khối lượng M, chiều dài l 4.3. Đĩa mảnh tròn đồng chất : (M,R) B Đĩa mảnh nằm trong mặt phẳng Cxy, khối tâm C; trục k bất kỳ thuộc k1 d1 mặt phẳng Cxy, đi qua tâm. z B z'  1  J C = J z = M .R 2 2 9.21 k2 A d2  C  J = J = 1 M .R 2 = J  x y 4 k z A mp (α ) mp ( β ) (Xem phần chứng minh cuối bài ) AB ⊥ mp (α ) AB ⊥ mp ( β ) C : Khối tâm (trung điểm của AB) y C R (Cz , Ck1 , Ck 2 ) ⊂ mp (α ) ( Az ', Ad1 , Ad 2 ) ⊂ mp ( β ) x 2 2 Ml Ml J C = J Cz = J Ck1 = J Ck2 = J A = J Az ' = J Ad1 = J Ad 2 = k 12 3 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 694 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 696
4.4. Khối cầu đặc đồng chất: (M, R) – gốc tọa độ của hệ trục Cxyz y là khối tâm C. 4.6. Trụ rỗng mỏng đồng chất: (M, R) z x 2 y  1 2 h2 Jx = Jy = Jz = MR 2 9.22 J x = J y = M (R + ) 9.25 C z 5  2 6 C  2 3 x  J z = MR J C = MR 2 h/2 5 h Với trục k bất kỳ đi qua khối tâm C thì 2 y J k = J x = J y = J z = MR 2 4.7. Trụ đặc đồng chất: (M, R) 5 x  1 2 h2 J  x = J y = M ( R + ) C 4 3 z  9.26  J = 1 MR 2  z 2 h/2 (Xem phần chứng minh cuối bài ) h (Xem phần chứng minh cuối bài ) GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 697 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 699 4.5. Tấm phẳng mảnh chữ nhật đồng chất: (M,a,b) Sinh viên có thể chứng minh các kết quả trên cách đơn giản như sau O a 1. Thanh mảnh thẳng đồng chất (M, l)  1 2 y  J x = 3 M .a z' z z'  b C y dM  1 2 0 C  J y = M .b 9.23 A B A  3 l/2 l/2 x dx  1 2 2 x x  J O = J z = M .( a + b ) 0 J A = J z' 3  - Cứ chiều dài l thì có khối lượng M  JC = J z - Vậy đoạn dài dx thì có khối lượng dM = Mdx/l  1 O 2 * Xét đoạn dài dx cách A đoạn x có khối lượng dM  0 12 M .a J x = a  z * Mômen quán tính đối với trục z’ được xác định bởi:  1 b Mx 2 dx M 2 l 1 2 l2 1  J y0 = M .b 2 9.24 C J z ' = ∑ x 2 dM = ∑ = ∫ x dx = Ml ⇒ J = J + M ⇒ J z = Ml 2  12 y l l 0 3 z' z 4 12 z 1 0   1 2  J C = J z = M .( a 2 + b 2 ) x y  J A = J z ' = 3 Ml 0 12 0 * Kết quả:  x 0  J = J = 1 Ml 2 (Xem phần chứng minh cuối bài )  C z 12 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 698 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 700
2. Vành mảnh tròn đồng chất (M, R): 4. Khối cầu đặc đồng chất: z z y * Vai trò trục x, y và z là như nhau nên J x = J y = J z y dM Jx + Jy + Jz JC = C C 2 x x y R C R * Xét vỏ cầu có bán kính x, dày dx, khối lượng dM x - Cứ thể tích V =4πR3/3 thì có khối lượng M - Vậy thể tích vỏ cầu dV = 4πx2dx thì có khối lượng dM = 3Mx2dx/R3. k * Mômen quán tính đối với tâm C khối cầu được xác định bởi: * Vai trò trục x và y là như nhau nên J x = J y, nên J C = J z = J x + J y = 2 J x = 2 J y R 3M 4 3M 3 * Xét đoạn vành dài dS, bán kính R, khối lượng dM J C = ∑ x 2 dM = ∑ 3 x dx = ∫ 3 x 4 dx = MR 2 R 0 R 5 * Mômen quán tính đối với tâm C của vành tròn xác định bởi: 2 Jx = Jy = Jz = MR 2 J C = ∑ R 2 dM = MR 2 5 1 * Kết quả: J C = J z = MR 2 , J x = J y = MR 2 = J k 2 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 701 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 703 3. Đĩa mảnh tròn đồng chất 5. Tấm phẳng mảnh chữ nhật đồng chất z y O a * Xét vi phân chữ nhật tấm tại tọa độ z (x,y) có các cạnh dx và dy: dM b + Diện tích dS = dx.dy C x C y + Khối lượng dM = Mdx.dy/(a.b) y x z 0 C R dx x y O x 0 y k - Cứ diện tích πR2 thì có khối lượng M x 0 dM x - Vậy diện tích 2πxdx thì có khối lượng dM = 2Mxdx/R2 dx * Vai trò trục x và y là như nhau nên J x = J y, nên J C = J z = J x + J y = 2 J x = 2 J y  J C = J z0 = J x0 + J y0 y dy * Xét vành tròn bán kính x, dày dx, khối lượng dM.  JO = J z = J x + J y x * Mômen quán tính đối với tâm C của đĩa được xác định bởi:  2 Mx 3 dx 2 M 3 1 R  J x = J x + ( a )2 M J C = ∑ x 2 dM = ∑ 2 = 2 ∫ x dx = MR 2  0 2 R R 0 2  b 1 * Kết quả: J C = J z = MR 2 , J x = J y = MR 2 = J k 1  J y = J y0 + ( ) 2 M 2 4  2 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 702 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 704
+ Mômen quán tính đối với trục Ox của tấm được xác định bởi: 7. Trụ đặc đồng chất (M, R) b a M M 1 J x = ∑ y 2 dM = ∫∫ y 2 dxdy = ∫ dx ∫ y 2 dy = Ma 2 y y Y ab ( S ) ab 0 0 3 dM + Mômen quán tính đối với trục Oy của tấm được xác định bởi: x b a M M 2 1 C C J y = ∑ x 2 dM = ∫∫ x 2 dxdy = ∫ x dx ∫ dy = Mb 2 z z ab ( S ) ab 0 0 3 + Mômen quán tính đối với trục Cx0 của tấm được xác định bởi: M a 1 1 1 1 h/2 z dz  dM =  dz  J x = J x0 + ( ) 2 M ⇒ J x0 = J x − Ma 2 = Ma 2 − Ma 2 = Ma 2  h  2 4 3 4 12 h + Mômen quán tính đối với trục Cy0 của tấm được xác định bởi: Xét đoạn trụ rỗng tại cao độ z có chiều dài dz, khối lượng dM. b 1 1 1 1 1 2 1 J y = J y0 + ( ) 2 M ⇒ J y0 = J y − Mb 2 = Mb 2 − Mb 2 = Mb 2 2 4 3 4 12 Jz = ∑ R dM = MR 2 2 2 1 J x = J y = ∑ ( dJ Y + z 2 dM ) = ∑ ( R 2 dM + z 2 dM ) 4 h /2 M M M 1 h2 = ∑ ( R 2 dz + z 2 2 h ∫0 2 2 2 dz ) = ( R + 4 z ) dz = M ( R + ) 4h h 4 3 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 705 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 707 6. Trụ rỗng mỏng đồng chất (M, R) y y Y dM x C z C z Chương 10 M h/2 z dz  dM =  dz   h  h Xét đoạn trụ rỗng tại cao độ z có chiều dài dz, khối lượng dM. J z = ∑ R 2 dM = MR 2 1 J x = J y = ∑ ( dJ Y + z 2 dM ) = ∑ ( R 2 dM + z 2 dM ) 2 h /2 M 2 2 M M 1 h2 = ∑ ( R dz + z h ∫0 2 2 2 dz ) = ( R + 2 z ) dz = M ( R + ) 2h h 2 6 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 706 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 708