BÀI 5

PHÂN TÍCH VÀ ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG HỆ THỐNG

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

1

MỤC TIÊU BÀI HỌC

§ Mục đích của bài học số 5:

Cung cấp kiến thức cơ sở về

« Khái niệm về tính ổn định trong hệ thống điều khiển tự động

« Các tiêu chuẩn để phân tích tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

2

NỘI DUNG BÀI 5

5.1 Giới thiệu chung

5.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số

5.3 Tiêu chuẩn Nyquist

5.4 Phân tích bằng phương pháp quỹ đạo nghiệm số

5.5 Đánh giá chất lượng hệ thống ở chế độ xác lập

5.6 Đánh giá chất lượng hệ thống ở chế độ quá độ

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

3

5.1 GIỚI THIỆU

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

4

5.1 GIỚI THIỆU

Ba trạng thái cân bằng :

a

Biên giới ổn định

Ổn định

b, d

Không ổn định

c

• BIBO: tín hiệu vào bị chặn thì đáp ứng của hệ cũng bị chặn.

• Yêu cầu đầu tiên đối với một hệ thống điều khiển tự động là hệ thống phải giữ được trạng thái ổn định khi chịu tác động của tín hiệu vào chịu ảnh hưởng của nhiễu lên hệ thống.

• Trong hệ tuyến tính chỉ tồn tại một trạng thái cân bằng

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

5

5.1 GIỚI THIỆU

𝑎!

𝑑"𝑐 𝑡 𝑑𝑡" + 𝑎#

𝑑"$#𝑐 𝑡 𝑑𝑡"$# + ⋯ + 𝑎"𝑐 𝑡 = 𝑏!

𝑑%𝑟 𝑡 𝑑𝑡% + 𝑏#

𝑑%$#𝑟 𝑡 𝑑𝑡%$# + ⋯ + 𝑏&𝑟 𝑡

𝐵 𝑠 = 𝑏!𝑠& + 𝑏#𝑠&$# + ⋯ + 𝑏& = 0

𝐺 𝑠 =

=

điểm không (zero) của hệ thống

𝐶 𝑠 𝑅 𝑠

𝑏!𝑠& + 𝑏#𝑠&$# + ⋯ + 𝑏& 𝑎!𝑠" + 𝑎#𝑠"$# + ⋯ + 𝑎"

Nghiệm

phương trình đặc tính

𝑐 𝑡 = 𝑐! 𝑡 + 𝑐’đ 𝑡

𝐴 𝑠 = 𝑎!𝑠" + 𝑎#𝑠"$# + ⋯ + 𝑎" = 0

điểm cực (Pole) của hệ thống

𝜆! là hằng số phụ thuộc vào thông số

𝜆)𝑒+!,

" 𝑐’đ 𝑡 = . )*#

của hệ và trạng thái ban đầu;

𝑐’đ 𝑡 = 0

𝑐’đ 𝑡 = ∞

lim ,→.

lim ,→.

𝑝! là nghiệm của phương trình đặc tính

Hệ thống ổn định

Hệ thống không ổn định

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

6

5.1 GIỚI THIỆU

𝜆)𝑒+!,

" 𝑐’đ 𝑡 = . )*#

𝑐’đ 𝑡 = 0

𝑐’đ 𝑡 = ∞

lim ,→.

lim ,→.

Ổn định của hệ thống chỉ phụ thuộc vào nghiệm cực mà không phụ thuộc vào nghiệm không (Zero), do đó mẫu số hàm truyền đạt là 𝑨 𝒔 = 𝟎 được gọi là phương trình đặc tính hay phương trình đặc trưng của hệ thống.

Hệ thống ổn định

Hệ thống không ổn định

𝑝) = 𝛼) ± 𝑗𝛽)

→ 𝑯ệ ổ𝒏 đị𝒏𝒉

𝜆)𝑒+!, =

lim ,→.

0 𝑛ế𝑢 𝛼) < 0 2𝑀𝑒/!, cos 𝛽)𝑡 + 𝜑) 𝑛ế𝑢 𝑝) 𝑙à 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑝ℎứ𝑐 → 𝐻ệ ở 𝑏𝑖ê𝑛 𝑔𝑖ớ𝑖 ổ𝑛 đị𝑛ℎ → 𝐻ệ ở 𝑏𝑖ê𝑛 𝑔𝑖ớ𝑖 ổ𝑛 đị𝑛ℎ 𝜆) 𝑛ế𝑢 𝛼) = 0 𝑛ế𝑢 𝑝) 𝑙à 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑡ℎự𝑐 → 𝐻ệ 𝑘ℎô𝑛𝑔 ổ𝑛 đị𝑛ℎ ∞ 𝑛ế𝑢 𝛼) > 0

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

7

5.1 GIỚI THIỆU

Ổn định của hệ thống chỉ phụ thuộc vào nghiệm cực mà không phụ thuộc vào nghiệm không (Zero), do đó mẫu số hàm truyền đạt là 𝑨 𝒔 = 𝟎 được gọi là phương trình đặc tính hay phương trình đặc trưng của hệ thống.

Đáp ứng quá độ dao động

- Hệ thống ổn định nếu tất cả nghiệm của phương trình đặc tính đều có phần thực âm: 𝑅𝑒 𝑝! < 0, 𝛼! < 0 các nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức:

- Hệ thống không ổn định nếu có dù chỉ là một nghiệm

phương trình đặc tính có phần thực dương.

- Hệ thống ở biên giới ổn định nếu có dù chỉ Vùng ổn định

là một nghiệm có phần thực bằng không, còn các nghiệm còn lại có phần thực âm.

Xét tính ổn định của hệ thống:

- Tiêu chuẩn ổn định đại số Routh – Hurwitz

- Tiêu chuẩn ổn định tần số Mikhailov – Nyquist – Bode

- Phương pháp chia miền ổn định và phương pháp quỹ đạo nghiệm số

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

8

5.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

9

5.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ

Điều kiện cần

Hệ thống ổn định là tất cả các hệ số của phương trình đặc trưng phải khác 0 và cùng dấu.

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

10

5.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ

Cho hệ thống có phương trình đặc trưng:

𝑎!𝑠" + 𝑎#𝑠"$# + ⋯ + 𝑎" = 0

Tiêu chuẩn Routh

Bảng Routh

- Bảng Routh có 𝑛 + 1 hàng.

- Hàng 1 gồm các hệ số chỉ số

chẵn.

- Hàng 2 gồm các hệ số chỉ số

lẻ.

- Phần tử ở hàng 𝒊 cột 𝒋 khi 𝑖 ≥ 3 được tính theo công thức:

𝑐!" = 𝑐!#$,"&’ −

(!"#,% (!"%,%

𝛼!. 𝑐!#’,"&’ với 𝛼! =

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

11

5.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ

Cho hệ thống có phương trình đặc trưng:

𝑎!𝑠" + 𝑎#𝑠"$# + ⋯ + 𝑎" = 0

Tiêu chuẩn Routh

Bảng Routh

Điều kiện cần và đủ để tất cả

các nghiệm của phương trình

đặc trưng nằm bên trái mặt

phẳng phức là tất cả các phần

tử nằm ở cột 1 của bảng

Routh đều dương. Số lần đổi

dấu của các phần tử ở cột 1 của

bảng Routh bằng số nghiệm

nằm bên phải mặt phẳng phức.

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

12

5.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ

Cho hệ thống có phương trình đặc trưng: 𝑠8 + 4𝑠9 + 5𝑠: + 2𝑠 + 1 = 0

Tiêu chuẩn Routh

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

13

5.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ

Tiêu chuẩn Routh

Các trường hợp đặc biệt:

- Trường hợp 1: nếu có hệ số ở cột 1 của hàng nào đó bằng 0, các hệ số còn lại của hàng đó khác 0 thì ta thay hệ số bằng 0 ở cột 1 bởi số 𝜺 dương, nhỏ tuỳ ý, sau đó quá trình tính toán được tiếp tục.

- Trường hợp 2: nếu tất cả các hệ số của hàng nào đó bằng 0

+ Thành lập đa thức phụ từ các hệ số của hàng trước hàng có tất cả các hệ số bằng 0, gọi đa thức đó là 𝐴+ 𝑠 .

+ Thay hàng có tất cả các hệ số bằng 0 bởi một hàng khác có các hệ số chính là các hệ

số của

. Sau đó, quá trình tính toán tiếp tục.

01" # 02

Chú ý: Nghiệm của đa thức phụ 𝐴+(𝑠) cũng chính là nghiệm của phương trình đặc trưng.

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

14

5.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ

Cho hệ thống có phương trình đặc trưng:

𝑎!𝑠" + 𝑎#𝑠"$# + ⋯ + 𝑎" = 0

Tiêu chuẩn Hurwitz

Ma trận Hurwitz

- Ma trận Hurwitz là ma trận vuông cấp 𝒏× 𝒏.

- Đường chéo của ma trận Hurwitz là các hệ số từ 𝑎’ đến 𝑎)

- Hàng lẻ gồm các hệ số có chỉ số lẻ theo thứ tự tăng dần nếu ở bên

phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường chéo.

⋱

⋮

- Hàng chẵn gồm các hệ số có chỉ số chẵn theo thứ tự tăng dần nếu ở

𝑎> 𝑎9 𝑎? 𝑎@ … 0 𝑎A 𝑎: 𝑎8 𝑎B … 0 𝑎> 𝑎9 𝑎? … 0 0 𝑎A 𝑎: 𝑎8 … 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 … … … … 𝑎C

bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường chéo.

Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các định thức con chứa đường chéo của ma trận Hurwitz đều dương.

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

15

5.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ

Cho hệ thống có phương trình đặc trưng:

𝑠3 + 4𝑠4 + 3𝑠 + 2 = 0

Tiêu chuẩn Hurwitz

Ma trận Hurwitz

- Ma trận Hurwitz là ma trận vuông cấp 𝒏× 𝒏.

- Đường chéo của ma trận Hurwitz là các hệ số từ 𝑎’ đến 𝑎)

=

- Hàng lẻ gồm các hệ số có chỉ số lẻ theo thứ tự tăng dần nếu ở bên

𝑎> 𝑎9 𝑎A 𝑎: 0

4 2 0 1 3 0 0 4 2

0 0 𝑎> 𝑎9

phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường chéo.

- Hàng chẵn gồm các hệ số có chỉ số chẵn theo thứ tự tăng dần nếu ở

bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường chéo.

= = 4×3 − 1×2 = 10 Δ’ = 𝑎’ = 4 → Δ$ = 𝑎’ 𝑎* 𝑎+ 𝑎$ 4 2 1 3

hệ thống ổn định

= 2× = 2× 10 = 20 Δ* = = 𝑎* 𝑎’ 𝑎* 𝑎+ 𝑎$ 4 2 1 3 𝑎’ 𝑎* 𝑎+ 𝑎$ 0 0 0 𝑎’ 𝑎*

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

16

5.3 TIÊU CHUẨN NYQUIST

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

17

5.3 TIÊU CHUẨN NYQUIST

ü Cho biết đặc tính tần số của hệ hở 𝑮 𝒔 à xét tính ổn định của hệ thống kín 𝑮𝒌 𝒔 .

ü Hệ thống kín 𝐺6 𝑠 ổn định nếu đường cong Nyquist của hệ hở 𝐺(𝑠)

vòng theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ)

bao điểm −1, 𝑗0 , 7 4

khi 𝜔 thay đổi từ 0 đến +∞

𝑙 là số cực của hệ hở 𝐺(𝑠) nằm bên phải mặt phẳng phức.

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

18

5.3 TIÊU CHUẨN NYQUIST

Hệ hở 𝐺(𝑠) ổn định và có đường cong Nyquist như hình vẽ. Xét tính ổn định của hệ thống kín.

𝐺(𝑠) ổn định nên 𝐺(𝑠) không có cực nằm bên phải mặt phẳng phức

- Trường hợp 1: 𝐺(𝑗𝜔) không bao điểm −1, 𝑗0

⟹ hệ kín ổn định

- Trường hợp 2: 𝐺(𝑗𝜔) qua điểm (−1, 𝑗0)

⟹ hệ kín ở biên giới ổn định

- Trường hợp 3: 𝐺(𝑗𝜔) bao điểm −1, 𝑗0

⟹ hệ kín không ổn định

Hệ kín ổn định nếu đường cong Nyquist 𝐺(𝑗𝜔) của hệ hở không bao điểm (−1, 𝑗0).

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

19

TÓM TẮT CUỐI BÀI

• Khái niệm ổn định của hệ thống điều khiển tự động

• Biên giới ổn định

• Ổn định

• Không ổn định

• Các tiêu chuẩn phân tích tính ổn định: Tiêu chuẩn ổn định đại số, tần số

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

20

CÂU HỎI ÔN TẬP

HỌC VIÊN XEM TRONG PHẦN CUỐI CHƯƠNG 5

MATLAB

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

21

MỤC TIÊU BÀI HỌC

§ Mục đích của bài học số 5:

Cung cấp kiến thức cơ sở về

« Phân tích tính ổn định của hệ bằng phương pháp quỹ đạo nghiệm số

« Đánh gía chất lượng của hệ thống ở trạng thái xác lập và quá độ

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

22

NỘI DUNG BÀI 5

5.1 Giới thiệu chung

5.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số

5.3 Tiêu chuẩn Nyquist

5.4 Phân tích tính ổn định của hệ bằng phương pháp quỹ đạo nghiệm số

5.5 Đánh giá chất lượng hệ thống ở chế độ xác lập

5.6 Đánh giá chất lượng hệ thống ở chế độ quá độ

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

23

5.4 PHÂN TÍCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

24

5.4 PHÂN TÍCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ

Xét hệ có phương trình đặc tính

𝑠$ + 4𝑠 + 𝐾 = 0 Định nghĩa: Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính của hệ thống khi có một số thông số nào đó trong hệ thay đổi từ 0 → ∞.

Nghiệm của phương trình đặc tính ứng với giá trị khác nhau của K

𝑠$ = −4 𝑠$ = −3,732 𝑠$ = −3,414 𝑠$ = −3 𝑠$ = −2 𝑠$ = −2 − 𝑗 𝑠$ = −2 − 𝑗1,414 𝑠$ = −2 − 𝑗1,732

𝑠’ = 0, 𝑠’ = −0,268, 𝑠’ = −0,586, 𝑠’ = −1, 𝑠’ = −2, 𝑠’ = −2 + 𝑗, 𝑠’ = −2 + 𝑗1,414, 𝑠’ = −2 + 𝑗1,732, 𝑠’ = −2 + 𝑗2, 𝑠$ = −2 − 𝑗2

𝐾 = 0: 𝐾 = 1: 𝐾 = 2: 𝐾 = 3: 𝐾 = 4: 𝐾 = 5: 𝐾 = 6: 𝐾 = 7: 𝐾 = 8: …

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

25

5.4 PHÂN TÍCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ

Phương trình đặc tính

1 + 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 = 0

K là thông số thay đổi

1 + 𝐾

= 0

𝑁 𝑠 𝐷 𝑠

1 + 𝐺! 𝑠 = 0

⟺ o

𝐺! 𝑠 = 𝐾

𝑁 𝑠 𝐷 𝑠

Đ𝑖ề𝑢 𝑘𝑖ệ𝑛 𝑏𝑖ê𝑛 độ Đ𝑖ề𝑢 𝑘𝑖ệ𝑛 𝑝ℎ𝑎

𝐺! 𝑠 = 1 ∠𝐺! 𝑠 = 2𝑙 + 1 𝜋

Quy tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số

11 Quy tắc

𝑛 là số cực của 𝐺! 𝑠 𝑚 là số zero của 𝐺! 𝑠 .

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

26

5.4 PHÂN TÍCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ

Quy tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số

Quy tắc 1: Số nhánh của quỹ đạo nghiệm số bằng bậc của phương trình đặc tính và bằng số cực của 𝐺+ 𝑠 = 𝑛.

Quy tắc 2: Khi 𝑲 = 𝟎, các nhánh của quỹ đạo nghiệm số xuất phát từ các cực của 𝐺+ 𝑠 . Khi K tiến đến +∞, 𝑚 nhánh của quỹ đạo nghiệm số tiến đến 𝑚 zero của 𝐺+ 𝑠 , 𝑛 − 𝑚 nhánh còn lại tiến đến ∞ theo các tiệm cận xác định bởi quy tắc 5 và 6.

Quy tắc 3: Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực.

Quy tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỹ đạo nghiệm số nếu tổng số cực và zero của 𝐺+ 𝑠 bên phải nó là một số lẻ.

Quy tắc 5: Góc tạo bởi các đường tiệm cận của quỹ đạo nghiệm số với trục thực xác định bởi:

𝛼 = (𝑙 = 0, ±1, ±2, … ) 2𝑙 + 1 𝜋 𝑛 − 𝑚

) 𝑧!

Quy tắc 6: Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm A có toạ độ xác định bởi:

) 𝑝! − ∑!,’ 𝑛 − 𝑚

∑!,’ 𝑂𝐴 = = ∑ 𝑐ự𝑐 − ∑ 𝑧𝑒𝑟𝑜 𝑛 − 𝑚

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

27

5.4 PHÂN TÍCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ

-.

-/

Quy tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số

Quy tắc 7: Điểm tách nhập (nếu có) của quỹ đạo nghiệm số nằm trên trục thực và là nghiệm của : = 0 Quy tắc 8: Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với trục ảo có thể xác định bằng một trong hai cách sau đây • Áp dụng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz • Thay 𝑠 = 𝑗𝜔 vào phương trình (5.10), cân bằng phần thực và phần ảo sẽ tìm được giao điểm với trục ảo và giá trị

𝐾.

Quy tắc 9: Góc xuất phát của quỹ đạo nghiệm số tại cực phức 𝑝" được xác định bởi:

0 𝜃" = 180+ + M !,’

) arg(𝑝" − 𝑧") − M !,’

arg 𝑝" − 𝑝!

Dạng hình học của công thức trên là:

𝜃" = 180+ + Σ𝑔ó𝑐 𝑡ừ 𝑐á𝑐 𝑧𝑒𝑟𝑜 đế𝑛 𝑐ự𝑐 𝑝"

− Σ𝑔ó𝑐 𝑡ừ 𝑐á𝑐 𝑐á𝑐 𝑐ự𝑐 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖 đế𝑛 𝑐ự𝑐 𝑝"

Quy tắc 10: Tổng các nghiệm là hằng số khi K thay đổi từ 0 → +∞ Quy tắc 11: Hệ số khuếch đại dọc theo quỹ đạo nghiệm số có thể xác định từ điều kiện biên độ:

𝐾 𝑁(𝑠) 𝐷(𝑠)

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

28

5.4 PHÂN TÍCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ

Ví dụ

Phương trình đặc tính của hệ thống: - Góc giữa các tiệm cận và trục thực:

1 + 𝐺 𝑠 = 0 ⟺ 1 + = 0 𝐾 𝑠 𝑠 + 2 𝑠 + 3 𝑘ℎ𝑖 𝑙 = 0 𝛼’ =

𝛼 = = ⟹ 𝑘ℎ𝑖 𝑙 = −1 𝜋 3 𝛼$ = − 2𝑙 + 1 𝜋 𝑛 − 𝑚 2𝑙 + 1 𝜋 3 − 0 𝜋 3 • 𝑝’ = 0, 𝑝$ = −2, 𝑝* = −3 • không có điểm không (zero) 𝑘ℎ𝑖 𝑙 = 1 𝛼* = 𝜋

- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực:

QĐNS gồm có ba nhánh xuất phát từ các cực khi 𝐾 = 0. 𝑂𝐴 = = = − ∑ 𝑐ự𝑐 − ∑ 𝑧𝑒𝑟𝑜 𝑛 − 𝑚 0 + −2 + (−3) − 0 3 − 0 5 3

Khi K→ +∞, ba nhánh của QĐNS sẽ tiến đến vô cùng theo các tiệm cận

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

29

5.4 PHÂN TÍCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ

Ví dụ

-.

Phương trình đặc tính của hệ thống:

-/

- Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình = 0.

1 + 𝐺 𝑠 = 0 ⟺ 1 + = 0 Ta có, từ phương trình đặc tính: 𝐾 𝑠 𝑠 + 2 𝑠 + 3

𝐾 = −𝑠 𝑠 + 2 𝑠 + 3 = − 𝑠* + 5𝑠$ + 6𝑠

• 𝑝’ = 0, 𝑝$ = −2, 𝑝* = −3 • không có điểm không (zero) ⟹ = − 3𝑠$ + 10𝑠 + 6 𝑑𝐾 𝑑𝑠

-.

Do đó,

-/

= 0 ⟺ − 3𝑠$ + 10𝑠 + 6 = 0 QĐNS gồm có ba nhánh xuất phát từ các cực khi 𝐾 = 0.

⟺ c 𝑠’ = −2,549 (𝑙𝑜ạ𝑖) 𝑠$ = −0,785 Khi K→ +∞, ba nhánh của QĐNS sẽ tiến đến vô cùng theo các tiệm cận

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

30

5.4 PHÂN TÍCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ

Ví dụ

Phương trình đặc tính của hệ thống:

1 + 𝐺 𝑠 = 0 ⟺ 1 + = 0 𝐾 𝑠 𝑠 + 2 𝑠 + 3

- Giao điểm của QĐNS với trục ảo có thể xác định điều kiện để hệ ổn định:

bằng một trong hai cách sau đây:

× 𝐾 > 0 f6 − ⟺ 0 < 𝐾 < 30

+ Cách 1: Tiêu chuẩn Routh với phương trình đặc tính 𝑠* + 5𝑠$ + 6𝑠 + 𝐾 = 0 1 5 𝐾 > 0

Vậy hệ số khuếch đại giới hạn là 𝐾12 = 30. 1 6

5 𝐾

Tìm giao điểm của QĐNS với trục ảo: 𝑠* + 5𝑠$ + 6𝑠 + 30 = 0 𝑠* 𝑠$ 𝑠’ 0 6 − × 𝐾 = 0 𝛼* = 1 5

𝑠+ 1 5 𝐾 ⟺

𝑠’ = −5 𝑠$ = 𝑗 6 𝑠* = −𝑗 6

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

31

5.4 PHÂN TÍCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ

Ví dụ

Phương trình đặc tính của hệ thống:

1 + 𝐺 𝑠 = 0 ⟺ 1 + = 0 𝐾 𝑠 𝑠 + 2 𝑠 + 3

- Giao điểm của QĐNS với trục ảo có thể

xác định bằng:

+ Cách 2: Giao điểm (nếu có) của QĐNS và trục ảo phải có dạng 𝑠 = 𝑗𝜔. Khi đó, thay vào phương trình đặc tính:

𝑗𝜔 * + 5 𝑗𝜔 $ + 6 𝑗𝜔 + 𝐾 = 0 ⟺ −𝑗𝜔* − 5𝜔$ + 6𝑗𝜔 + 𝐾 = 0

c 𝜔 = 0 𝐾 = 0 ⟺ c ⟺ −𝑗𝜔* + 6𝑗𝜔 = 0 −5𝜔$ + 𝐾 = 0

c𝜔 = ± 6 𝐾 = 30

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

32

5.5 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG HỆ THỐNG Ở CHẾ ĐỘ XÁC LẬP

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

33

5.5 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG HỆ THỐNG Ở CHẾ ĐỘ XÁC LẬP

• Quá trình quá độ

Giai đoạn hệ thống đang chuyển đổi từ trạng thái cũ sang một trạng thái mong muốn khác.

• Chế độ xác lập

Chế độ xác lập là giai đoạn hệ thống đã đạt được đến trạng thái mới mong muốn

Thời điểm bắt đầu chế độ xác lập là khi hệ thống vào được tới vùng có sai lệch 5% hoặc 2% so với giá trị mong muốn và không ra khỏi vùng đó nữa.

• Hệ ổn định mới có chế độ xác lập

• Cả hai quá trình quá độ và chế độ xác lập cùng có trong đáp ứng của hệ thống. Tại một thời điểm nhất định, hệ thống chỉ có thể hoặc đang ở quá trình quá độ hoặc đã ở chế độ xác lập chứ không bao giờ có cả hai trong cùng một thời điểm.

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

34

5.5 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG HỆ THỐNG Ở CHẾ ĐỘ XÁC LẬP

Chế độ xác lập

Quá trình quá độ

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

35

5.5 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG HỆ THỐNG Ở CHẾ ĐỘ XÁC LẬP

𝑠𝐸 𝑠

Sai số xác lập (sai lệch tĩnh) 𝑒 𝑡 = 𝑟 𝑡 − 𝑐 𝑡

𝑒87 = lim ,→.

𝑒 𝑡 = lim 2→!

Hệ được gọi là có chất lượng tốt nếu như 𝑒87 = 𝑒. = 0

𝑒. = 𝑦 𝑡 − 𝑢(𝑡) = 𝑟 𝑡 − 𝑐(𝑡)

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

36

5.5 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG HỆ THỐNG Ở CHẾ ĐỘ XÁC LẬP

• Thời gian đạt đỉnh để tín hiệu đầu ra đạt lên đỉnh quá điều chỉnh là thời

Thời gian đáp ứng

gian đáp ứng ra đạt giá trị cực đại 𝑡3 = 𝑡3456 .

• Thời gian quá độ 𝑡/ = 𝑡/47 xác định bởi thời điểm đáp ứng ra từ sau đó trở

Độ dự trữ ổn định

đi không vượt ra khỏi miền thời giới hạn sai số Δ quanh giá trị xác lập.

Tiêu chuẩn tích phân

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

37

5.6 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG HỆ THỐNG Ở CHẾ ĐỘ QUÁ ĐỘ

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

38

5.6 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG HỆ THỐNG Ở CHẾ ĐỘ QUÁ ĐỘ

• Đáp ứng quá độ là đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị.

• Hai thông số cơ bản đặc trưng cho quá trình quá độ:

•

thời gian quá độ

Được ký hiệu là 𝑇’đ, ℎ𝑜ặ𝑐 𝑇9% (𝑇4%), là điểm thời gian mà kể từ sau đó đáp ứng

quá độ ℎ(𝑡) nằm trong khoảng ±5% hoặc ±2%của giá trị xác lập của nó.

• độ quá điều chỉnh

𝑃𝑂𝑇% = ×100% 𝑐058 − 𝑐89 𝑐89

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

39

VÍ DỤ

Hệ quán tính bậc nhất

- Đáp ứng quá độ của khâu quán tính bậc nhất không có độ quá điều chỉnh

- Hằng số thời gian 𝑇 là thời điểm 𝑐(𝑡) đạt 63,2% giá trị xác lập, 𝑻 càng nhỏ đáp ứng càng

= 𝐺6 𝑠 = 1 𝑇𝑠 + 1 ⁄1 𝑇/ 1 + ⁄1 𝑇/

nhanh.

- Thời gian xác lập 𝑡2 (𝑠𝑒𝑡𝑡𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑡𝑖𝑚𝑒) là thời gian để sai số giữa 𝑐(𝑡) và giá trị xác lập nhỏ

hơn 𝜀 5% ℎ𝑜ặ𝑐 2% .

- Sai số xác lập bằng 0

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

40

VÍ DỤ

Hệ dao động bậc hai

$ =

$ 𝜔) 𝑠$ + 2𝜉𝜔)𝑠 + 𝜔)

- Đáp ứng quá độ của khâu dao động bậc hai có dạng dao động với biên độ giảm dần

- Đáp ứng của khâu dao động bậc hai có quá điều chỉnh .

- Thời gian xác lập 𝒕𝒔 là thời gian để sai số giữa 𝑐(𝑡) và giá trị xác lập nhỏ hơn 𝜀.

- Thời gian tăng 𝒕𝒓 (𝑟𝑖𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑚𝑒) là thời gian để 𝑐 𝑡 tăng từ 10% đến 90% giá trị xác lập.

𝐺6 𝑠 = 1 𝑇$𝑠$ + 2𝜉𝑇𝑠 + 1

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

41

VÍ DỤ

Hệ bậc cao

• Hệ bậc cao có nhiều hơn hai cực.

• Đáp ứng tương ứng với các cực nằm càng xa trục ảo suy giảm càng nhanh. Do đó, có

thể xấp xỉ hệ bậc cao về hệ bậc hai với cặp cực là hai cực nằm gần trục ảo nhất.

• Cặp cực nằm gần trục ảo nhất của hệ bậc cao gọi là cặp cực quyết định.

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

42

CÂU HỎI ÔN TẬP

HỌC VIÊN XEM TRONG PHẦN CUỐI CHƯƠNG 5

MATLAB

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

43

KẾT THÚC BÀI 5

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

44