Bài giảng Toán cao cấp 2: Chương 9 - TS. Trịnh Thị Hường

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp 2: Chương 9 cung cấp cho người học những kiến thức như: các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân; cấp của phương trình vi phân; phương trình vi phân cấp 1; một số trường hợp giảm cấp được;...Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 2: Chương 9 - TS. Trịnh Thị Hường

HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 2 CHƯƠNG 9 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Giảng viên: T.S TRỊNH THỊ HƯỜNG Bộ môn : Toán Email: trinhthihuong@tmu.edu.vn
ĐẶT VẤN ĐỀ Giải phương trình dao động điều hòa trong vật lý:
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Định nghĩa: Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc lập, hàm chưa biết và các đạo hàm hoặc vi phân của nó. Ví dụ 𝑥𝑑𝑦 + −𝑦 2 + 1 𝑑𝑥 = 0
2. CẤP CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN • Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm hoặc vi phân của hàm số có mặt trong phương trình ấy. • Phương trình vi phân cấp n là phương trình có dạng Trong đó, không được khuyết
NGHIỆM CỦA PTVP Định nghĩa: Nghiệm của phương trình vi phân cấp n là mọi hàm số khả vi đến cấp n mà khi thay vào phương trình đó ta được một đồng nhất thức.
II. PTVP CẤP 1 1. Các khái niệm cơ bản a. Các dạng biểu diễn • Dạng tổng quát: . • Dạng giải được theo đạo hàm 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) • Dạng đối xứng
b. Các dạng nghiệm của ptvp cấp 1 ❖ Nghiệm tổng quát: Nghiệm có dạng y , với C tùy ý. ❖ Nghiệm riêng: , với C= là một hằng số xác định ❖ Tích phân tổng quát: Nghiệm có dạng , C là hằng số tùy ý. ❖ Tích phân riêng: Nghi với là hằng số xác định
c. Sự tồn tại duy nhất nghiệm (SGT trang 206) • Bài toán: Cho phương trình vi phân cấp một: với điều kiện ban đầu • Định lí: ✓ Nếu hàm f(x, y) liên tục trong một lân cận 𝑈0 của (𝑥0 , 𝑦0 ) thì bài toán trên có nghiệm. ✓ Nếu đạo hàm riêng 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) cũng liên tục trên lân cận đó thì nghiệm đó là duy nhất.
2. PTVP cấp 1 có biến phân ly a. Khái niệm: Phương trình vi phân cấp một biến số phân li có dạng (1)
b. Cách giải: ➢ Đưa về dạng (1) ➢ Lấy tích phân hai vế 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 ⇔ ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 + 𝐶 Ví dụ: Tìm tích phân tổng quát của phương trình 𝑦𝑑𝑦 + −𝑥 2 + 1 𝑑𝑥 = 0 𝑦 2 + 1𝑑𝑥 = 𝑥𝑦𝑑𝑦 Chú ý: Phương trình dạng đối xứng có thể có nghiệm dạng 𝑥 = 𝑥0 , 𝑦𝜖𝑅.
3. Phương trình đẳng cấp cấp 1 Khái niệm: Phương trình vi phân cấp một đẳng cấp là loại phương trình vi phân có thể đưa về được dạng sau: 𝑑𝑦 𝑦 =𝜑 (1) 𝑑𝑥 𝑥 Nhận xét: Phương trình vi phân dạng 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) với f(tx, ty)=f(x, y), ∀𝑡 ≠ 0 có thể đưa về được dạng (1).
b. Cách giải 𝑦 ➢ Đặt biến phụ: 𝑢= 𝑥 ➢ Đưa về PTVP có biến phân ly theo hàm u, biến x. Ví dụ: Giải phương trình ′ 𝑦 𝑦 𝑥𝑦 ln = 𝑥 + 𝑦 ln 𝑥 𝑥
4. Phương trình tuyến tính cấp 1 a. Định nghĩa: Phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng 𝑦′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞 𝑥 (1) trong đó p(x), q(x) là các hàm liên tục. b. Cách giải: Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số (PP Lagrange)
Ví dụ: Giải phương trình vi phân sau: ′ −𝑥 2 𝑦 + 2𝑥𝑦 = 𝑥𝑒
5. Phương trình Becnuly (Bernoulli) a. Định nghĩa: Phương trình Becnuly có dạng trong đó p(x), q(x) là các hàm liên tục; là một số thực cho trước. b. Cách giải ➢ Đổi biến 𝑧 = 𝑦1−𝛼 ➢ Đưa về PTVP tuyến tính cấp 1
Ví dụ: Giải phương trình sau: 𝑦 ′ 𝑦 + = 𝑥 2 𝑦4 . 𝑥
III. PTVP CẤP 2 1.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN  a. Các dạng biểu diễn Phương trình vi phân cấp hai có dạng tổng quát Dạng đã giải ra được đối với đạo hàm
c. Nghiệm của PTVP cấp 2 Giải PTVP cấp hai, được kết quả dạng trong đó là các hằng số tùy ý thì đẳng thức đó gọi là nghiệm tổng quát của PTVP đó. Nếu thay các giá trị cụ thể vào nghiệm tổng quát thì nghiệm gọi là một nghiệm riêng của phương trình.
2. MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP GIẢM CẤP ĐƯỢC Xét phương trình vi phân cấp 2 dạng a. Trường hợp vế phải không phụ thuộc y, y’. Phương trình có dạng: Cách giải: Lấy tích phân liên tiếp hai lần Ví dụ: Giải phương trình 𝑦 ′′ = 𝑥𝑒 −𝑥 .
b. Trường hợp vế phải không phụ thuộc y. Phương trình có dạng: 𝑦 ′′ = 𝑓 𝑥, 𝑦 ′ (1) Cách giải: - Đổi biến 𝑦 ′ = 𝑝 𝑥 - Đưa về ptvp cấp 1 với p, từ đó giải ra y Ví dụ: Giải phương trình vi phân ′ 𝑦 𝑦 ′′ − = 𝑥(𝑥 − 1) 𝑥−1