Bài tập toán 12 chuyên đề Số phức - đại số - tổ hợp

Chia sẻ: Huynh Anh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

948
lượt xem 433
download

Bài tập toán 12 chuyên đề Số phức - đại số - tổ hợp

Mô tả tài liệu

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đây là Bài tập toán 12 chuyên đề Số phức - đại số - tổ hợp gửi đến các bạn học sinh tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập toán 12 chuyên đề Số phức - đại số - tổ hợp

Chuyên đề SỐ PHỨC−ĐẠI SỐ TỔ HỢP I. SỐ PHỨC A. LÝ THUYẾT I. Dạng đại số (vẫn còn nhớ) II. Dạng lượng giác của số phức z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b ∈ R, z ≠ 0) * r = a 2 + b 2 là môđun của z.  a cos ϕ = r  * ϕ là một acgumen của z thỏa  sin ϕ = b   r 1. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) , z ' = r ' ( cos ϕ '+ i sin ϕ ' ) thì: z r * z.z ' = r.r ' cos ( ϕ + ϕ ' ) + i sin ( ϕ + ϕ ' )  = cos ( ϕ − ϕ ' ) + i sin ( ϕ − ϕ ' )  *   z' r'   n 2. Công thức Moivre: n ∈ N * thì  r ( cos ϕ + i sin ϕ )  = r n ( cos nϕ + i sin nϕ )   3. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác ϕ ϕ ϕ ϕ   Căn bậc hai của số phức z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) (r > 0) là r  cos + i sin ÷ và − r  cos + i sin ÷  2  2 2 2 B. BÀI TẬP 1. (ĐH_Khối A 2009) 2 2 Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z2+2z+10=0. Tính giá trị biểu thức A = z1 + z 2 . ĐS: A=20 2 2. Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 2 z − 4 z + 11 = 0 . Tính giá trị của biểu thức 2 2 z1 + z2 A= . ( z1 + z2 ) 2 ĐS: A=11/4 3. (CĐ_Khối A 2009) a. Số phức z thỏa mãn (1+i)2(2−i)z=8+i+(1+2i)z. Tìm phần thực, phần ảo của z. 4 z − 3 − 7i = z − 2i . b. Giải phương trình sau trên tập số phức: z −i ĐS: a. a=2, b=−3 b. z=1+2i, z=3+i 4. Tìm số phức z thoả mãn: z − 2 + i = 2 . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị. ( ) ( ) ĐS: z = 2 − 2 − 1 + 2 i, z = 2 + 2 − 1 − 2 i . 5. (ĐH_Khối B 2009) Tìm số phức z thỏa mãn z − ( 2 + i ) = 10 và z.z = 25 . ĐS: z=3+4i hoặc z=5  z −1 ( 1)  z −i =1  6. Tìm số phức z thỏa mãn:  .  z − 3i = 1 ( 2)  z +i  HD: Gọi z=x+yi; (1)⇒x=y, (2)⇒y=1. ĐS: z=1+i. 1 Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC
4 z+i 7. Giải phương trình:  ÷ = 1.   z −i  ĐS: z∈{0;1;−1} 2 8. Giải phương trình: z + z = 0 . HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z. ĐS: z∈{0;i;−i} 2 9. Giải phương trình: z + z = 0 . HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z. 1 3 ĐS: z=0, z=−1, z = ± i 22 z2 10. Giải phương trình: z 4 − z 3 + + z + 1 = 0. 2 HD: Chia hai vế phương trình cho z2. 11 ĐS: z=1±i, z = − ± i . 22 11. Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0. HD: Đặt thừa số chung 1 3 1 3 ĐS: z = −1, z = ± i, z = − ± i. 22 22 12. Cho phương trình: (z + i)(z2−2mz+m2−2m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương trình: a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức. b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực. c. Có ba nghiệm phức. 13. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận α làm nghiệm biết: a. α = 2−5i b. α = −2−i 3 c. α = 3 - i 2 14. Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo: a. z3−iz2−2iz−2 = 0. b. z3+(i−3)z2+(4−4i)z−7+4i = 0. 15. (ĐH_Khối D 2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện z − ( 3 − 4i ) = 2 . ĐS: (x−3)2+(y+4)2=4 16. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 2 z − i = z − z + 2i . x2 ĐS: y = . 4 3 17. Trong các số phức thỏa mãn z − 2 + 3i = . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. 2 3 9 2 2 HD: *Gọi z=x+yi. z − 2 + 3i = ⇒ … ⇒( x − 2 ) + ( y + 3) = . 2 4 * Vẽ hình ⇒|z|min ⇒z. 26 − 3 13 78 − 9 13 ĐS: z = + i. 13 26 18. Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau: (1 + i)10 π π5 ( )  7 b.  cos − i sin ÷i 1 + i 3 . ( ) a. 9. 3 +i  3 3 HD: Sử dụng công thức Moivre. 2 Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC
1 ĐS: a. Phần thực − , phần ảo bằng 0, b. Phần thực 0, phần ảo bằng 128. 16 19. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20. HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN. ĐS: phần thực −210, phần ảo: 210+1. II. ĐẠI SỐ TỔ HỢP A. LÝ THUYẾT 1. Giai thừa: n!= n.(n−1)!=n.(n−1).(n−2). … .3.2.1, n≥0. n! 2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: An = k ( n − k )! , n≥k>0. n! 3. Số tổ hợp chập k của n phần tử: C n = k , n≥k≥0. k!( n − k )! 4. Quy ước n!=0!=1. 5. Nhị thức Newton ( a + b ) = C n a n + C n a n −1b + C n2 a n −2 b 2 +  + C nn − 2 a 2 b n − 2 + C n −1 ab n −1 + C nn b n . n 0 1 n k n−k k Công thức số hạng tổng quát: Tk +1 = C n a b , 0≤k≤n. B. BÀI TẬP 1. (CĐ_Khối D 2008) 18  1 Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của  2 x + 5  , (x>0).    x ĐS: 6528 2. (ĐH_Khối D 2004) 7  1 Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của  3 x +  với x>0.   4  x ĐS: 35 3. (ĐH_Khối A 2003) n 1  Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của  3 + x 5  , biết rằng x  C n + 4 − C n +3 = 7( n + 3) , (n nguyên dương, x>0, ( C n là số tổ hợp chập k của n phần tử). n +1 n k ĐS: 495 4. (ĐH_Khối D 2005) An +1 + 3 An 4 3 Tính giá trị biểu thức M = , biết rằng C n +1 + 2C n + 2 + 2C n +3 + C n + 4 = 149 (n là số nguyên 2 2 2 2 ( n + 1)! k k dương, An là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và C n là số tổ hợp chập k của n phần tử) 3 ĐS: M = 4 5. (ĐH_Khối A 2006) n 1 7 Tìm số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của  4 + x  , biết rằng 26 x  C 2 n +1 + C 2 n +1 +  + C 2 n +1 = 2 − 1 , (n nguyên dương và C n là số tổ hợp chập k của n phần tử). 1 2 n 20 k ĐS: 210 6. (ĐH_Khối D 2008) 2 n −1 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức C 2 n + C 2 n +  + C 2 n = 2048 . ( C n là số tổ hợp chập k của 1 3 k n phần tử). ĐS: n=6 7. (ĐH_Khối D 2007) Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(1−2x)5+x2(1+3x)10. ĐS: 3320 3 Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC
8. (ĐH_Khối D 2003) − Với n là số nguyên dương, gọi a3n−3 là hệ số của x3n 3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n. Tìm n để a3n−3=26n. ĐS: n=5 9. (ĐH_Khối D 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho Cn + 2C1 + 4Cn +  + 2n Cn = 243 . 0 2 n n ĐS: n=5 10. (ĐH_Khối B 2008) n +1  1 1 1  k + k +1  = k (n, k là các số nguyên dương, k≤n, C n là số tổ hợp chập k Chứng minh rằng n + 2  n +1 C n +1  C n C  k của n phần tử). 11. (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)n, biết: − − − k 3nCn0−3n 1Cn1+3n 2Cn2−3n 3Cn3+ … +(−1)nCnn=2048 (n là số nguyên dương, C n là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 22 12. (ĐH_Khối B 2006) Cho tập A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k∈{1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất. ĐS: k=9 13. (ĐH_Khối B 2003) 2 n +1 − 1 n 2 2 − 1 1 23 − 1 2 k Cho n là số nguyên dương. Tính tổng C n + Cn + Cn +  + C n , ( C n là số tổ hợp 0 n +1 2 3 chập k của n phần tử). 3 n +1 − 2 n +1 ĐS: n +1 14. (ĐH_Khối B 2002) Cho đa giác đều A1A2…An (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1A2…An nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1A2…An, tìm n. ĐS: n=8 15. (ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+ … +anxn, trong đó n∈N* và các hệ số a0, a1,…an thỏa mãn hệ thức a a a 0 + 1 +  + n = 4096 . Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1,…an. 2n 2 ĐS: a8=126720 16. (ĐH_Khối A 2007) 1 2n −1 22n − 1 C k 1 13 15 Chứng minh rằng C1 n + C2n + C2n +  + , ( n là số tổ hợp chập k của n C2 n = 2 2n + 1 2 4 6 2n phần tử). 17. (ĐH_Khối A 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho C 2 n +1 − 2.2C 2 n +1 + 3.2 C 2 n +1 − 4.2 C 2 n +1 +  + ( 2n + 1).2 C 2 n +1 = 2005 , 2 n +1 1 2 2 3 3 4 2n k ( C n là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: n=1002 18. (ĐH_Khối A 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1−x)]8. ĐS: 238 4 Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC
19. (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức n −1 n −1 n n n  x2 1   x −1   − x   x −1  − x   −x   x −1  −x −  2 + 2 3  = C n  2 2  + C n  2 2   2 3  +  + C n −1  2 2  2 3  + C n  2 3  0 1 n n                         (n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó C n = 5C n và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x. 3 1 ĐS: n=7, x=4 20. Cho số phức z=1+i. a. Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i)n. b. Tính các tổng S1=1−Cn2+Cn4−Cn6+… S2=Cn1−Cn3+Cn5−… 21. Chứng minh rằng C100 –C100 +C100 –C100 + … –C100 +C100100=–250. 0 2 4 6 98 −o0o− 5 Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC