Hàm giá trị tối ưu: Báo cáo khoa học về vi phân giới hạn trong bài toán quy hoạch trơn 'bệnh tật'

▲✐♠✐t✐♥❣ ❙✉❜❣r❛❞✐❡♥ts ♦❢ t❤❡ ▼❛r❣✐♥❛❧ ❋✉♥❝t✐♦♥

✐♥ ❙♦♠❡ P❛t❤♦❧♦❣✐❝❛❧ ❙♠♦♦t❤ Pr♦❣r❛♠♠✐♥❣ Pr♦❜❧❡♠s

❚❤❛✐ ❉♦❛♥ ❈❤✉♦♥❣

(a)

❆❜str❛❝t✳

■♥ t❤✐s ♣❛♣❡r ✇❡ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ ▼♦r❞✉❦❤♦✈✐❝❤✱ ◆❛♠ ❛♥❞

❨❡♥ ❬✻❪ ♦♥ ❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ st❛❜✐❧✐t② ✐♥ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣ ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❞❡r✐✈❡ ✉♣✲

♣❡r ❡st✐♠❛t❡s ❢♦r t❤❡ ❧✐♠✐t✐♥❣ s✉❜❣r❛❞✐❡♥ts ♦❢ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ s♦♠❡ ♣❛t❤♦✲

❧♦❣✐❝❛❧ s♠♦♦t❤ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠s ♣r♦♣♦s❡❞ ❜② ●❛✉✈✐♥ ❛♥❞ ❉✉❜❡❛✉ ❬✷❪✳

✶✳

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

▲❡t

ϕ:X×Y→R

❜❡ ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ t❛❦✐♥❣ ✈❛❧✉❡s ✐♥ t❤❡ ❡①t❡♥❞❡❞ r❡❛❧ ❧✐♥❡

R:= [−∞,∞]

✱

G:X⇒Y

❛ s❡t✲✈❛❧✉❡❞ ♠❛♣♣✐♥❣ ❜❡t✇❡❡♥ ❇❛♥❛❝❤ s♣❛❝❡s✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ♣❛r❛♠❡tr✐❝

♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠

♠✐♥✐♠✐③❡

ϕ(x, y)

s✉❜❥❡❝t t♦

y∈G(x).

✭✶✳✶✮

❚❤❡ ❡①t❡♥❞❡❞✲r❡❛❧✲✈❛❧✉❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥

µ(x) := inf{ϕ(x, y)|y∈G(x)}

✭✶✳✷✮

✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ t❤❡

♠❛r❣✐♥❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥

✭♦r t❤❡

✈❛❧✉❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

✮ ♦❢ ✭✶✳✶✮✳ ❚❤❡

s♦❧✉t✐♦♥ ♠❛♣

M(·)

♦❢ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s ❞❡❢✐♥❡❞ ❜②

M(x) := {y∈G(x)|µ(x) = ϕ(x, y)}.

✭✶✳✸✮

❋♦r ✭✶✳✶✮✱ ✇❡ s❛② t❤❛t

✐s t❤❡

♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

❛♥❞

✐s t❤❡

❝♦♥str❛✐♥t ♠❛♣♣✐♥❣

✳

❈♦♥t✐♥✉✐t② ❛♥❞ ❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❜✐❧✐t② ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢

✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡

X=Rn

✱

Y=Rm

✱

✐s ❛ s♠♦♦t❤ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✐✳❡✳✱ ❛

✲❢✉♥❝t✐♦♥✮ ❛♥❞

G(x)

✐s t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧

s❛t✐s❢②✐♥❣ t❤❡

♣❛r❛♠❡tr✐❝ ✐♥❡q✉❛❧✐t②✴❡q✉❛❧✐t② s②st❡♠

gi(x, y)60, i = 1, . . . , p;hj(x, y) = 0, j = 1, . . . , q; (1.4)

gi:X×Y→R(i= 1, . . . , p

✮ ❛♥❞

hj:X×Y→R(j= 1, . . . , q

✮ ❛r❡ s♠♦♦t❤ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱

✇❡r❡ st✉❞✐❡❞ ❢✐rst❧② ❜② ●❛✉✈✐♥ ❛♥❞ ❚♦❧❧❡ ❬✸❪✱ ●❛✉✈✐♥ ❛♥❞ ❉✉❜❡❛✉ ❬✷❪✳ ❚❤❡✐r r❡s✉❧ts

❛♥❞ ✐❞❡❛s ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ❡①t❡♥❞❡❞ ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❡❞ ❜② ♠❛♥② ❛✉t❤♦rs❀ s❡❡ ▼♦r❞✉❦❤♦✈✐❝❤✱ ◆❛♠

❛♥❞ ❨❡♥ ❬✻❪✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❝❛s❡

✐s ❛ ♥♦♥s♠♦♦t❤ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛♥❞

✐s ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② s❡t✲✈❛❧✉❡❞

♠❛♣ ❜❡t✇❡❡♥ ❇❛♥❛❝❤ s♣❛❝❡s ✐s ✐♥✈❡st✐❣❛t❡❞✱ ❛♥❞ t❤❡ r❡❢❡r❡♥❝❡s t❤❡r❡✐♥✳

❲❡ ✇✐❧❧ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ ❬✻❪ ♦♥ ❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ st❛❜✐❧✐t② ✐♥ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ♣r♦❣r❛♠✲

♠✐♥❣ ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❡st✐♠❛t❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ❧✐♠✐t✐♥❣ s✉❜❣r❛❞✐❡♥ts ✭✐✳❡✳ t❤❡ ❧✐♠✐t✐♥❣ s✉❜❞✲

✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧✮ ♦❢ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ s✐① ❵❵♣❛t❤♦❧♦❣✐❝❛❧✧ s♠♦♦t❤ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣ ♣r♦❜✲

❧❡♠s ♣r♦♣♦s❡❞ ❜② ●❛✉✈✐♥ ❛♥❞ ❉✉❜❡❛✉ ❬✷❪✳ ❚❤✉s✱ ❣❡♥❡r❛❧ r❡s✉❧ts ♦♥ ❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❜✐❧✐t②

◆❤❐♥ ❜➭✐ ♥❣➭② ✸✵✴✸✴✷✵✵✼✳ ❙ö❛ ❝❤÷❛ ①♦♥❣ ♥❣➭② ✷✸✴✺✴✷✵✵✼✳

♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ✭✶✳✶✮ ❛r❡ ✈❡r② ✉s❡❢✉❧ ❡✈❡♥ ❢♦r t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❢✐♥✐t❡✲

❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s♠♦♦t❤ s❡tt✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠✳ ❲❡ ❛❧s♦ ❝♦♥s✐❞❡r s❡✈❡r❛❧ ✐❧❧✉str❛t✐✈❡ ❡①✲

❛♠♣❧❡s ❢♦r t❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ ❬✻❪✳ ❯♥❧✐❦❡ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❡①❛♠♣❧❡s ✐♥ t❤❛t ♣❛♣❡r✱ ❛❧❧ t❤❡

♣r♦❜❧❡♠s ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❤❡r❡✐♥ ❛r❡

s♠♦♦t❤

✳

❚❤❡ ❡♠♣❤❛s✐s ✐♥ ❬✶❪✲✲❬✸❪ ✇❛s ♠❛❞❡ ♦♥ t❤❡ ❈❧❛r❦❡ s✉❜❣r❛❞✐❡♥ts ♦❢

✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ♠❛✐♥

❝♦♥❝❡r♥ ♦❢ ❬✻❪ ✐s ❛❜♦✉t t❤❡ ❋r❡❝❤❡t ❛♥❞ t❤❡ ❧✐♠✐t✐♥❣ s✉❜❣r❛❞✐❡♥ts ♦❢

✳ ❚❤❡ r❡❛❞❡r

✐s r❡❢❡rr❡❞ t♦ ❬✹✱ ✺❪ ❢♦r ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ❝♦♠♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ❞❡✈❡❧♦♣♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ❝♦♥❝❡♣ts ♦❢

s✉❜❣r❛❞✐❡♥ts ❥✉st ♠❡♥t✐♦♥❡❞✳ ◆♦t❡ t❤❛t✱ ✉♥❞❡r ✈❡r② ♠✐❧❞ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s ♦♥

❛♥❞

✱ t❤❡

❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ♦❢ t❤❡ ❧✐♠✐t✐♥❣ s✉❜❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ♦❢

❛t ❛ ❣✐✈❡♥ ♣♦✐♥t

x∈X

❝♦✐♥❝✐❞❡s ✇✐t❤

t❤❡ ❈❧❛r❦❡ s✉❜❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ♦❢

❛t t❤❡ ♣♦✐♥t✳ ❙♦✱ t❤❡ ❧✐♠✐t✐♥❣ s✉❜❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❝❛♥ ❜❡

❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❛s t❤❡ ✭♥♦♥❝♦♥✈❡①✮ ❝♦r❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❈❧❛r❦❡ s✉❜❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧✳ ❚❤✉s

✉♣♣❡r ❡st✐♠❛t❡s ❢♦r t❤❡ ❧✐♠✐t✐♥❣ s✉❜❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ♦❢ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❝❛♥ ❧❡❛❞ t♦ s❤❛r♣

✉♣♣❡r ❡st✐♠❛t❡s ❢♦r t❤❡ ❈❧❛r❦❡ s✉❜❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧✳

✷✳

Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s

▲❡t ✉s r❡❝❛❧❧ s♦♠❡ ♠❛t❡r✐❛❧ ♦♥ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ✐♥ ❬✹✱

✺❪✳ ❆❧❧ t❤❡ s♣❛❝❡s ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❛r❡ ❇❛♥❛❝❤✱ ✉♥❧❡ss ♦t❤❡r✇✐s❡ st❛t❡❞✳

❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ✷✳✶✳

▲❡t

ϕ:X→R

❜❡ ❛♥ ❡①t❡♥❞❡❞✲r❡❛❧✲✈❛❧✉❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ✐s ❢✐♥✐t❡ ❛t

✳ ●✐✈❡♥ ❛♥②

ε≥0

✱ ✇❡ s❛② t❤❛t ❛ ✈❡❝t♦r

x∗

❢r♦♠ t❤❡ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❞✉❛❧ s♣❛❝❡

X∗

♦❢

✐s

❛♥

ε−subgradient

♦❢

❛t

✐❢

lim inf

x→x

ϕ(x)−ϕ(x)− hx∗, x −xi

||x−x|| ≥ −ε.

✭✷✳✶✮

❉❡♥♦t❡ ❜②

∂εϕ(x)

t❤❡ s❡t ♦❢ t❤❡

✲s✉❜❣r❛❞✐❡♥ts ♦❢

❛t

✳ ❈❧❡❛r❧②✱

∂0ϕ(x)⊂ˆ

∂εϕ(x)

❢♦r

❡✈❡r②

ε≥0

✳ ❚❤❡ s❡t

∂ϕ(x) := ˆ

∂0ϕ(x)

✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡

❋r❡❝❤❡t s✉❜❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧

♦❢

❛t

❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ✷✳✷✳

❋♦r ❛ s❡t✲✈❛❧✉❡❞ ♠❛♣♣✐♥❣

F:X⇒X∗

❜❡t✇❡❡♥ ❛ ❇❛♥❛❝❤ s♣❛❝❡

❛♥❞

✐ts ❞✉❛❧

X∗

✱ t❤❡

s❡q✉❡♥t✐❛❧ P❛✐♥❧❡✈❡✲❑✉r❛t♦✇s❦✐ ✉♣♣❡r ❧✐♠✐t

♦❢

F(x)

❛s

x→x

✐s ❞❡❢✐♥❡❞

❜②

▲✐♠s✉♣

x→x

F(x) := {x∗∈X∗| ∃

s❡q✉❡♥❝❡

xk→x

❛♥❞

x∗

w∗

−→ x∗

✇✐t❤

x∗

k∈F(xk)

❢♦r ❛❧❧

k= 1,2, ...},

✇❤❡r❡

w∗

❞❡♥♦t❡s t❤❡ ✇❡❛❦

∗

t♦♣♦❧♦❣② ✐♥

X∗

✳

❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ✷✳✸✳

❚❤❡

❧✐♠✐t✐♥❣ s✉❜❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧

✭♦r t❤❡

▼♦r❞✉❦❤♦✈✐❝❤✴❜❛s✐❝ s✉❜❞✐❢❢❡r❡♥✲

t✐❛❧

✮ ♦❢

❛t

✐s ❞❡❢✐♥❡❞ ❜② s❡tt✐♥❣

∂ϕ(x) :=

▲✐♠s✉♣

−→x

ε↓0

∂εϕ(x).

✭✷✳✷✮

❚❤❡

s✐♥❣✉❧❛r s✉❜❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧

♦❢

❛t

✐s ❣✐✈❡♥ ❜②

∂∞ϕ(x) :=

▲✐♠s✉♣

−→x

ε,λ↓0

λˆ

∂εϕ(x).

✭✷✳✸✮

❘❡♠❛r❦ ✷✳✹

✭s❡❡ ❬✹❪✮✳ ■❢

✐s ❛♥

❆s♣❧✉♥❞ s♣❛❝❡

✭✐✳❡✳✱ s✉❝❤ t❤❛t ✐ts s❡♣❛r❛❜❧❡ s✉❜s♣❛❝❡s

❤❛✈❡ s❡♣❛r❛❜❧❡ ❞✉❛❧s✮ ❛♥❞ ✐❢

✐s

❧♦✇❡r s❡♠✐❝♦♥t✐♥✉♦✉s

❛r♦✉♥❞

✱ t❤❡♥ ✇❡ ❝❛♥ ❡q✉✐✈✲

❛❧❡♥t❧② ♣✉t

ε= 0

✐♥ ✭✷✳✷✮✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ✇❡ ❤❛✈❡

∂ϕ(x)6=∅

❢♦r ❡✈❡r② ❧♦❝❛❧❧② ▲✐♣s❝❤✐t③✐❛♥

❢✉♥❝t✐♦♥✳

❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ✷✳✺✳

▲❡t

❜❡ ❛ ❇❛♥❛❝❤ s♣❛❝❡✱

f:X→R

❛ ▲✐♣s❝❤✐t③✐❛♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛r♦✉♥❞

✳

❚❤❡

❈❧❛r❦❡ s✉❜❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧

♦❢

❛t

✐s t❤❡ s❡t

∂CLf(x) := (x∗∈X∗|hx∗, vi6lim sup

x′→x,t→0+

f(x′+tv)−f(x′)

t,∀v∈X).

✭✷✳✹✮

❘❡♠❛r❦ ✷✳✻

✭s❡❡ ❬✹✱ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✺✼❪✮✳ ❋♦r t❤❡ ❈❧❛r❦❡ s✉❜❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ✐♥ ❆s♣❧✉♥❞ s♣❛❝❡s✱

✇❡ ❤❛✈❡

∂CLf(x) =

❝❧

∗

❝♦

[∂f (x) + ∂∞f(x)],

✭✷✳✺✮

✇❤❡r❡ ❵❵❝♦✧ ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ❛♥❞ ❵❵❝❧

∗

✧ st❛♥❞s ❢♦r t❤❡ ❝❧♦s✉r❡ ✐♥ t❤❡ ✇❡❛❦

∗

t♦♣♦❧✲

♦❣② ♦❢

X∗

✳

❘❡♠❛r❦ ✷✳✼

✭s❡❡ ❬✹❪✮✳ ■❢

ϕ:Rn→R

✐s str✐❝t❧② ❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❜❧❡ ❛t

✱ t❤❡♥

∂CLϕ(x) = ∂ϕ(x) = {∇ϕ(x)}.

✭✷✳✻✮

❚❤❡

❞♦♠❛✐♥

❛♥❞ t❤❡

❣r❛♣❤

♦❢ t❤❡ ♠❛♣

F:X⇒Y

❛r❡ ❞❡❢✐♥❡❞✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✱ ❜② s❡tt✐♥❣

❞♦♠

F:= {x∈X|F(x)6=∅},

❣♣❤

F:= {(x, y)∈X×Y|y∈F(x)}.

✸✳

❙✉❜❣r❛❞✐❡♥ts ♦❢ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ s♠♦♦t❤ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣

♣r♦❜❧❡♠s

❈♦♥s✐❞❡r ✭✶✳✶✮ ✐♥ t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ t❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

✐s s♠♦♦t❤ ❛♥❞ t❤❡

❝♦♥str❛✐♥t s❡t ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②

G(x) := ny∈Y|ϕi(x, y)60, i = 1, ..., m,

ϕi(x, y) = 0, i =m+ 1, ..., m +ro,

✭✸✳✶✮

✇✐t❤

ϕi:X×Y→R

✭

i= 1, ..., m +r

✮ ❜❡✐♥❣ s♦♠❡ ❣✐✈❡♥ s♠♦♦t❤ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❙✉❝❤ ♣r♦❜❧❡♠s

❛r❡ ❝❛❧❧❡❞

s♠♦♦t❤ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠s

✳

❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ✸✳✶✳

❚❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧

▲❛❣r❛♥❣✐❛♥

✐s ❞❡❢✐♥❡❞ ❜② s❡tt✐♥❣

L(x, y, λ) = ϕ(x, y) + λ1ϕ1(x, y) + ··· +λm+rϕm+r(x, y),

✭✸✳✷✮

✇❤❡r❡ t❤❡ s❝❛❧❛rs

λ1, ..., λm+r

✭❛♥❞ ❛❧s♦ t❤❡ ✈❡❝t♦r

λ:= (λ1, ..., λm+r)∈Rm+r

✮ ❛r❡ t❤❡

▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ♠✉❧t✐♣❧✐❡rs

✳

●✐✈❡♥ ❛ ♣♦✐♥t

(x, y)∈

❣♣❤

✐♥ t❤❡ ❣r❛♣❤ ♦❢ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥

M(·)

✱ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ s❡t ♦❢

▲❛❣r❛♥❣❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❡rs✿

Λ(x, y) := nλ∈Rm+r|Ly(x, y, λ) := ∇yϕ(x, y) +

m+r

i=1

λi∇yϕi(x, y) = 0,

λi≥0, λiϕi(x, y) = 0

❢♦r

i= 1, ..., mo.

✭✸✳✸✮

❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ✸✳✷✳

❲❡ s❛② t❤❛t t❤❡

▼❛♥❣❛s❛r✐❛♥✲❋r♦♠♦✈✐t③ ❝♦♥str❛✐♥t q✉❛❧✐❢✐❝❛t✐♦♥ ❝♦♥✲

❞✐t✐♦♥

❤♦❧❞s ❛t

(x, y)

✐❢

t❤❡ ❣r❛❞✐❡♥ts

∇ϕm+1(x, y), ..., ∇ϕm+r(x, y)

❛r❡ ❧✐♥❡❛r❧② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t❀

t❤❡r❡ ✐s

w∈X×Y

s✉❝❤ t❤❛t

h∇ϕi(x, y), wi= 0

❢♦r

i=m+ 1, ..., m +r

✭✸✳✹✮

❛♥❞

h∇ϕi(x, y), wi<0

✇❤❡♥❡✈❡r

i= 1, ..., m

✇✐t❤

ϕi(x, y) = 0.

❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ✸✳✸✳

❲❡ s❛② t❤❛t t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♠❛♣

M: domG⇒Y

❛❞♠✐ts ❛ ❧♦❝❛❧ ✉♣♣❡r

▲✐♣s❝❤✐t③✐❛♥ s❡❧❡❝t✐♦♥

❛t

(x, y)

✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ s✐♥❣❧❡✲✈❛❧✉❡❞ ♠❛♣♣✐♥❣

h: domG→Y

✇❤✐❝❤ s❛t✐s❢✐❡s

h(x) = y

❛♥❞ ❢♦r ✇❤✐❝❤ t❤❡r❡ ❛r❡ ❝♦♥st❛♥ts

ℓ > 0, δ > 0

s✉❝❤ t❤❛t

h(x)∈

G(x)

❛♥❞

kh(x)−h(x)k6ℓkx−xk

❢♦r ❛❧❧

x∈domG∩Bδ(x)

✳ ❍❡r❡

Bδ(x) := {x∈X|kx−xk< δ}.

❚❤❡ ♥❡①t st❛t❡♠❡♥t ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❬✻✱ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✶❪✳

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✹ ✭❋r❡❝❤❡t s✉❜❣r❛❞✐❡♥ts ♦❢ ✈❛❧✉❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐♥ s♠♦♦t❤ ♥♦♥❧✐♥❡❛r

♣r♦❣r❛♠s ✐♥ ❆s♣❧✉♥❞ s♣❛❝❡s✮✳

▲❡t

µ(.)

❜❡ ❞❡❢✐♥❡❞ ❜②

✭✶✳✷✮

✳ ❚❛❦❡

x∈

❞♦♠

❛♥❞

y∈

M(x)

❛♥❞ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ❣r❛❞✐❡♥ts

∇ϕ1(x, y), ..., ∇ϕm+r(x, y)

✭✸✳✺✮

❛r❡ ❧✐♥❡❛r❧② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✳ ❚❤❡♥ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ✐♥❝❧✉s✐♦♥

∂µ(x)⊂[

λ∈Λ(x,y)∇xϕ(x, y) +

m+r

i=1

λi∇xϕi(x, y).

✭✸✳✻✮

❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱

✭✸✳✻✮

r❡❞✉❝❡s t♦ t❤❡ ❡q✉❛❧✐t②

∂µ(x) = [

λ∈Λ(x,y)∇xϕ(x, y) +

m+r

i=1

λi∇xϕi(x, y)

✭✸✳✼✮

✐❢ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♠❛♣

M: domG⇒Y

❛❞♠✐ts ❛ ❧♦❝❛❧ ✉♣♣❡r ▲✐♣s❝❤✐t③✐❛♥ s❡❧❡❝t✐♦♥ ❛t

(x, y)

✳

❋r♦♠ ❬✻✱ ❈♦r♦❧❧❛r② ✹✳✸❪ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t✳

❈♦r♦❧❧❛r② ✸✳✺✳

■♥ t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s ✐♠♣♦s❡❞ ✐♥ t❤❡ ❢✐rst ♣❛rt ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠

✸✳✹

✱ s✉♣♣♦s❡

t❤❛t t❤❡ s♣❛❝❡s ❳ ❛♥❞ ❨ ❛r❡ ❆s♣❧✉♥❞✱ ❛♥❞ t❤❛t t❤❡ q✉❛❧✐❢✐❝❛t✐♦♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥

✭✸✳✺✮

✐s r❡✲

♣❧❛❝❡❞ ❜② t❤❡

✭✸✳✹✮

✳ ❚❤❡♥ ✇❡ ❤❛✈❡ ✐♥❝❧✉s✐♦♥

✭✸✳✻✮

✱ ✇❤✐❝❤ r❡❞✉❝❡s t♦ t❤❡ ❡q✉❛❧✐t②

✭✸✳✼✮

♣r♦✈✐❞❡❞ t❤❛t t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♠❛♣

M: domG⇒Y

❛❞♠✐ts ❛ ❧♦❝❛❧ ✉♣♣❡r ▲✐♣s❝❤✐t③✐❛♥ s❡❧❡❝✲

t✐♦♥ ❛t

(x, y)

✳

▲❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r s♦♠❡ ❡①❛♠♣❧❡s ♦❢

s♠♦♦t❤

♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠s ✐❧❧✉str❛t✐♥❣ t❤❡

r❡s✉❧ts ♦❜t❛✐♥❡❞ ✐♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✹ ❛♥❞ ❈♦r♦❧❧❛r② ✸✳✺ ❛♥❞ t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s ♠❛❞❡ t❤❡r❡✐♥✳

❲❡ st❛rt ✇✐t❤ ❡①❛♠♣❧❡s s❤♦✇✐♥❣ t❤❛t t❤❡ ✉♣♣❡r ▲✐♣s❝❤✐t③✐❛♥ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠

✸✳✹ ✐s

❡ss❡♥t✐❛❧

❜✉t

♥♦t ♥❡❝❡ss❛r②

t♦ ❡♥s✉r❡ t❤❡ ❡q✉❛❧✐t② ✐♥ t❤❡ ❋r❡❝❤❡t s✉❜❣r❛❞✐❡♥t ✐♥✲

❝❧✉s✐♦♥ ✭✸✳✻✮✳ ❋♦r ❝♦♥✈❡♥✐❡♥❝❡✱ ❞❡♥♦t❡ ❜② ❵❵❘❍❙✬✬ ❛♥❞ ❵❵▲❍❙✬✬ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s st❛♥❞✐♥❣

♦♥ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ❛♥❞ ❧❡❢t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢ ✐♥❝❧✉s✐♦♥ ✭✸✳✻✮✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳

❊①❛♠♣❧❡ ✸✳✻✳

✭❝❢✳ ❬✷✱ ❊①❛♠♣❧❡ ✸✳✹❪✮✳ ▲❡t

X=R, Y =R2

❛♥❞

x= 0, y = (0,0)

✳ ❈♦♥s✐❞❡r

t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥

µ(.)

✐♥ ✭✶✳✷✮ ✇✐t❤

ϕ(x, y) = −y2, y = (y1, y2)∈G(x)

✱ ✇❤❡r❡

G(x) := ny= (y1, y2)∈R2|ϕ1(x, y) = y2−y2

160,

ϕ2(x, y) = y2+y2

1−x60o.

❚❤❡♥ ✇❡ ❤❛✈❡

µ(x) = 





−x

✐❢

x60

−x

♦t❤❡r✇✐s❡

;M(x) = ny= (y1, y2)∈G(x)|y2=





✐❢

x60

♦t❤❡r✇✐s❡

Λ(x, y) = {(t, 1−t)|06t61}.

❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱

∇ϕ1(x, y) = (0,0,1),∇ϕ2(x, y) = (−1,0,1)

❛r❡ ❧✐♥❡❛r❧② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✳ ❍❡♥❝❡ ❘❍❙❂

[−1,0]

✳ ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ ❛ ❞✐r❡❝t ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥

❜❛s❡❞ ♦♥ ✭✷✳✶✮ ❣✐✈❡s ▲❍❙❂

[−1,−1

2],

✐✳❡✳✱ ✐♥❝❧✉s✐♦♥ ✭✸✳✻✮ ✐s str✐❝t❧②✳ ❖❜s❡r✈❡ t❤❛t t❤❡ s♦❧✉✲

t✐♦♥ ♠❛♣

M(.)

❛s ❛❜♦✈❡ ❞♦❡s ♥♦t ❛❞♠✐t ❛♥② ✉♣♣❡r ▲✐♣s❝❤✐t③✐❛♥ s❡❧❡❝t✐♦♥ ❛t

(x, y)

✳ ❚❤✐s

❡①❛♠♣❧❡ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ ❧❛tt❡r ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ✐s ❡ss❡♥t✐❛❧ ❢♦r t❤❡ ✈❛❧✐❞✐t② ♦❢ t❤❡ ❡q✉❛❧✐t②

✐♥ ✭✸✳✻✮ ❜② ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✹✳

❊①❛♠♣❧❡ ✸✳✼✳

▲❡t

X=Y=R

❛♥❞

x=y= 0

✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥

µ(.)

✐♥

✭✶✳✷✮ ✇✐t❤

ϕ(x, y) = (x−y2)2, G(x) = {y∈R|ϕ1(x, y) = −(1 + y)260}.

❖♥❡ ❝❛♥ ❡❛s✐❧② ❞❡❞✉❝❡ ❢r♦♠ ✭✶✳✷✮ ❛♥❞ ✭✶✳✸✮ t❤❛t

µ(x) = (x2

✐❢

x60

♦t❤❡r✇✐s❡

;M(x) = ({0}

✐❢

x60

{−√x, √x}

♦t❤❡r✇✐s❡ ❀

Λ(x, y) = {0}.

❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱

∇ϕ1(x, y) = (0,−2) 6= (0,0)

✳ ❍❡♥❝❡ ❘❍❙❂

{0}

✳ ❇❡s✐❞❡s✱ ▲❍❙❂

∂µ(0) = {0}

✳

❚❤✉s ✭✸✳✻✮ ❤♦❧❞s ❛s ❡q✉❛❧✐t② ❛❧t❤♦✉❣❤ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♠❛♣

M(.)

❞♦❡s ♥♦t ❛❞♠✐t ❛♥② ✉♣♣❡r

▲✐♣s❝❤✐t③✐❛♥ s❡❧❡❝t✐♦♥ ❛t

(x, y)

✳ ❲❡ ❤❛✈❡ s❡❡♥ t❤❛t t❤❡ ✉♣♣❡r ▲✐♣s❝❤✐t③✐❛♥ ❛ss✉♠♣t✐♦♥

✐s s✉❢❢✐❝✐❡♥t ❜✉t ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r② ❢♦r t❤❡ ❡q✉❛❧✐t② ❛ss❡rt✐♦♥ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✹✳

Báo cáo khoa học: "D­ưới vi phân giới hạn của hàm giá trị tối ưu trong một số bài toán "bệnh tật" quy hoạch trơn"

Tuyển tập những báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh tác giả: 3. Thái Doãn Chương, D­ưới vi phân giới hạn của hàm giá trị tối ưu trong một số bài toán "bệnh tật" quy hoạch trơn...

Chủ đề:

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Báo cáo khoa học: "Dưới vi phân giới hạn của hàm giá trị tối ưu trong một số bài toán "bệnh tật" quy hoạch trơn"

Tuyển tập những báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh tác giả: 3. Thái Doãn Chương, Dưới vi phân giới hạn của hàm giá trị tối ưu trong một số bài toán "bệnh tật" quy hoạch trơn...