Báo cáo khoa học: "Ph-ơng pháp Gauss - Seidel và công thức nhiệt trở phân tố giải các bài toán nhiệt kết cấu công trình"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Nguyễn Phương Hà Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

102
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài báo trình bày một ph-ơng pháp giải các bài toán nhiệt phức tạp khi ph-ơng pháp ma trận nghịch đảo trở nên bất lực, đó là ph-ơng pháp Gauss - Seidel và công thức nhiệt trở phân tố.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo khoa học: "Ph-ơng pháp Gauss - Seidel và công thức nhiệt trở phân tố giải các bài toán nhiệt kết cấu công trình"

Ph−¬ng ph¸p Gauss - Seidel vμ c«ng thøc nhiÖt trë ph©n tè gi¶i c¸c bμi to¸n nhiÖt kÕt cÊu c«ng tr×nh PGS. TS. TrÞnh v¨n quang KS. Tr−¬ng Minh th¾ng Bé m«n Kü ThuËt NhiÖt Khoa C¬ khÝ - Tr−êng §¹i häc GTVT Tãm t¾t: Bμi b¸o tr×nh bμy mét ph−¬ng ph¸p gi¶i c¸c bμi to¸n nhiÖt phøc t¹p khi ph−¬ng ph¸p ma trËn nghÞch ®¶o trë nªn bÊt lùc, ®ã lμ ph−¬ng ph¸p Gauss - Seidel vμ c«ng thøc nhiÖt trë ph©n tè. Summary: The paper presents the method of Gauss - Seidel Iteration to solve the complicated thermal problems instead of the inverse matrix method becoming powerless. ph−¬ng ph¸p c©n b»ng n¨ng l−îng ph©n tè i. ®Æt vÊn ®Ò cÇn tÝnh c¸c dßng nhiÖt ®Õn ph©n tè, trong ®ã Mét trong c¸c ph−¬ng ph¸p cã hiÖu lùc lu«n cã mÆt c¸c nhiÖt trë thµnh phÇn. §Ó ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n nhiÖt cña c¸c vËt thÓ cã thuËn tiÖn cho tÝnh to¸n cã thÓ x©y dùng c«ng h×nh d¸ng vµ ®iÒu kiÖn biªn phøc t¹p lµ thøc nhiÖt trë thµnh phÇn d¹ng tæng qu¸t sau. ph−¬ng ph¸p sè dïng ma trËn nghÞch ®¶o. Khi 1. Bμi to¸n æn ®Þnh ®ã c¸c nhiÖt ®é ph¶i t×m n»m trong mét hÖ a. §iÒu kiÖn biªn lo¹i 1 ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh, vµ ®−îc gi¶i b»ng thuËt to¸n ma trËn [3]. Tuy nhiªn khi sè XÐt mét h×nh ph¼ng dµy 1m cho biÕt ph−¬ng tr×nh qu¸ lín th× ph−¬ng ph¸p ma trËn nhiÖt ®é t¹i biªn giíi (h×nh 1). nghÞch ®¶o còng hÕt søc phøc t¹p. §Æc biÖt tr−êng hîp ®iÒu kiÖn biªn kh«ng tuyÕn tÝnh, nh− vËt thÓ cã trao ®æi bøc x¹ víi nguån cã nhiÖt ®é x¸c ®Þnh, th× hÖ ph−¬ng tr×nh c¸c nhiÖt ®é cÇn t×m kh«ng cßn lµ tuyÕn tÝnh n÷a nªn ph−¬ng ph¸p ma trËn nghÞch ®¶o còng trë nªn bÊt lùc. VËy cã thÓ gi¶i c¸c bµi to¸n trong tr−êng hîp nµy nh− thÕ nµo. Bµi b¸o tr×nh bµy ph−¬ng ph¸p Gauss - Seidel vµ c«ng thøc nhiÖt trë ph©n tè ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n phøc t¹p thuéc lo¹i nµy. ii. c«ng thøc nhiÖt trë ph©n tè, H×nh 1. M¹ng c¸c ®iÓm nót ph−¬ng ph¸p gauss - seildel Chia h×nh ph¼ng bëi mét m¹ng c¸c A. C«ng thøc nhiÖt trë ph©n tè ®−êng vu«ng gãc cã b−íc m¹ng Δx, Δy, øng Khi x¸c ®Þnh nhiÖt ®é trong vËt thÓ b»ng
⎛ tJ ⎞ víi hai chiÒu x, y. Do æn ®Þnh, nhiÖt ®é t¹i mäi ∑⎜R ⎟ ⎜ ⎟ ®iÓm trong vËt kh«ng thay ®æi theo thêi gian ⎝ iJ ⎠ ti = J (6) nªn tæng dßng nhiÖt ph©n tè nhËn ®−îc do ∑ 1 dÉn nhiÖt tõ xung quanh ®Õn b»ng kh«ng R iJ J (h×nh 2). Khi ®ã ph−¬ng tr×nh n¨ng l−îng t¹i mçi ph©n tè t¹i ®iÓm nót i: b. §iÒu kiÖn biªn lo¹i 2, 3: Σqi = 0 (1) T¹i nót ë biªn cã c¸c dßng nhiÖt ®èi l−u hoÆc bøc x¹ vµ dÉn nhiÖt tõ c¸c ph©n tè bªn (h×nh 4): tJ − ti ∑q + ∑ =0 (7) i R iJ i J H×nh 2. C¸c nhiÖt trë thμnh phÇn t¹i nót i H×nh 3. M¹ng 3 chiÒu H×nh 4. C¸c nhiÖt trë dÉn tíi: thμnh t¹i nót i t¹i biªn λ λ (t 1 − t i )Δy.1 + (t 3 − t i )Δy.1 + trong ®ã: Δx Δx ∑q - lµ tæng c¸c dßng nhiÖt bøc x¹ λ λ i + (t 2 − t i )Δx.1 + (t J − t i )Δx.1 = 0 i Δy Δy hoÆc ®èi l−u tíi ph©n tè. (2) tJ − ti ∑ - lµ tæng c¸c dßng nhiÖt dÉn tõ Hay: R iJ J t1 − t i t 3 − t i t 2 − t i t J − t i ph©n tè bªn c¹nh tíi. (3) + + + =0 Δx Δx Δy Δy NÕu theo h−íng x, t¹i biªn cã dßng nhiÖt λ.Δy λ.Δy λ.Δx λ.Δx ®èi l−u vµ bøc x¹, th× dßng nhiÖt ®èi l−u lµ: ViÕt ë d¹ng tæng qu¸t: qi = α(tK -ti)ΔyΔz; tJ − ti ∑ =0 NhiÖt trë ®èi l−u lµ: Ri =1/ αΔyΔz (4) R iJ j Dßng nhiÖt bøc x¹ lµ: ( ) NhiÖt trë thµnh phÇn trong bµi to¸n ba qi = ε.σ0. TR − Ti4 ΔyΔz; 4 chiÒu trong to¹ ®é xyz sÏ cã J = 1 ÷ 6 (h×nh 3): Ri1 Ri2 Ri3 Ri4 Ri5 Ri6 NhiÖt trë bøc x¹ lµ: Δz Δz Δx Δy Δx Δy ( 5) ( )( ) Δy.Δz.λ Δx.Δz.λ Δy.Δz.λ Δx.Δz.λ Δx.Δy.λ Δx.Δy.λ Ri = 1/ [ ε.σ0. TR + Ti2 TR + Ti ΔyΔz] 2 Trong ®ã tJ lµ nhiÖt ®é c¸c ®iÓm xung trong ®ã: quanh, ti lµ nhiÖt ®é ph¶i t×m t¹i nót i; RiJ ®−îc - tK, ti lµ nhiÖt ®é m«i tr−êng vµ t¹i nót i; gäi lµ c«ng thøc nhiÖt trë ph©n tè. - TR, Tl lµ nhiÖt ®é tuyÖt ®èi cña nguån Tõ ®ã tÝnh ®−îc nhiÖt ®é ti:
⎛ ⎞ bøc x¹ vµ cña nót i; ⎜ ⎟ ⎜ Ci ⎟ - ε ®é ®en cña vËt; Δτ ≤ ⎜ (11) 1⎟ ∑ ⎜ ⎟ - σ0 = 5,669.10 -8 ⎜ R iJ ⎟ ⎝ ⎠ J NhiÖt ®é t¹i nót i sÏ lµ: b. §iÒu kiÖn biªn lo¹i 2, 3 ⎛ tJ ⎞ ∑q + ∑ ⎜ ⎟ ⎜R ⎟ T¹i biªn cã ®èi l−u hoÆc bøc x¹ kÕt hîp i ⎝ iJ ⎠ (8) ti = i J (7) vµ (9) sÏ cã ph−¬ng tr×nh n¨ng l−îng t¹i ∑R 1 ph©n tè thuéc nót i: iJ J t ip +1 − t p tp − tp ∑ ∑ Nh− vËy thÊy r»ng c«ng thøc nhiÖt trë j i qi + = Ci. i (12) Δτ R iJ ph©n tè lu«n cã mÆt khi tÝnh nhiÖt ®é. i j 2. Bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh Tõ ®ã rót ra ®−îc nhiÖt ®é t¹i nót i ë thêi ®iÓm p + 1: a. §iÒu kiÖn biªn lo¹i 1 ⎛ t P ⎞ Δτ ⎛ 1⎞P Víi bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh t¹i mçi nót i Δτ ∑q + ∑ R ∑R t P +1 = ⎜ J⎟ + ⎜1 − ⎟.t i ⎜ ⎟ Ci ⎜ ⎟ sÏ cã: Tæng n¨ng l−îng ph©n tè nhËn ®−îc tõ i i Ci ⎝ iJ ⎠ ⎝ iJ ⎠ i J J xung quanh b»ng ®é t¨ng néi n¨ng cña ph©n (13) tè trong mét ®¬n vÞ thêi gian: §iÒu kiÖn æn ®Þnh còng nh− c«ng thøc t p +1 − t p tp − tp ∑ (11) trªn. j i = Ci. i i (9) Δτ R iJ j Nh− vËy cã thÓ thÊy trong mäi tr−êng hîp ®Ó tÝnh nhiÖt ®é lu«n cÇn tíi c«ng thøc nhiÖt trong ®ã: trë ph©n tè, vµ khi ®ã viÖc tÝnh to¸n sÏ trë nªn - p lµ sè chØ thø tù b−íc thêi gian thuËn tiÖn vµ gän gµng h¬n. tp − tp ∑ B. Ph−¬ng ph¸p Gauss - Seidel j i - lµ tæng c¸c dßng nhiÖt tíi R iJ Néi dung c¬ b¶n cña ph−¬ng ph¸p nµy lµ j c¸ch tÝnh lÆp. Tõ c¸c ph−¬ng tr×nh tÝnh nhiÖt ph©n tè t¹i thêi ®iÓm p; Ci lµ nhiÖt dung ph©n tè: Ci =c.ρ.ΔxΔyΔz (j/®é); ®é trong c¸c tr−êng hîp trªn, thÊy r»ng nhiÖt ®é t¹i mçi nót ë d¹ng hµm t−êng cu¶ nhiÖt ®é - RiJ lµ nhiÖt trë thµnh phÇn cña ph©n tè; cña c¸c nót cßn l¹i ®èi víi bµi to¸n æn ®Þnh, vµ j sè thø tù c¸c nót kÒ bªn. lµ hµm t−êng cña nhiÖt ®é cña c¸c nót cßn l¹i Tõ ®ã rót ra nhiÖt ®é t¹i mçi nót t¹i thêi ë thêi ®iÓm tr−íc ®èi víi bµi to¸n kh«ng æn ®inh. ®iÓm p +1: NghÜa lµ cã n ph−¬ng tr×nh ®Ó tÝnh n nhiÖt ®é ph¶i t×m. Bëi vËy ph−¬ng ph¸p Gaus- Seidel bao gåm ⎛ ⎞ Δτ ⎛ 1⎞P Δτ tP ∑ ∑R t P +1 = ⎜ ⎟ + ⎜1 − ⎟.t i (10) c¸c b−íc sau: J ⎜ ⎟ Ci ⎜ Ci ⎟ i R iJ ⎝ ⎠ ⎝ iJ ⎠ J J 1. LËp hÖ ph−¬ng tr×nh nhiÖt ®é d¹ng hµm t−êng cho c¸c nót. C«ng thøc (9) tÝnh nhiÖt ®é ë d¹ng hµm t−êng, ®Ó nghiÖm æn ®Þnh cÇn ®iÒu kiÖn sè 2. Trõ mét nhiÖt ®é t¹i nót 1 (hoÆc nót m h¹ng sau vÕ ph¶i cña (9) ph¶i kh«ng ©m, tõ nµo ®ã ®Þnh tÝnh tr−íc tiªn), tÊt c¶ nhiÖt ®é t¹i ®ã ph¶i chän b−íc thêi gian tho¶ m·n ®iÒu c¸c nót cßn l¹i cho gi¸ trÞ ban ®Çu tio bÊt kú, kiÖn: còng cã thÓ cho b»ng kh«ng (tio = 0).
3. Thay c¸c gi¸ trÞ tio ®· cho vµo ®Ó tÝnh t2 = (t1 + t3 + t5 + 100 ) / 4 (b) ra nhiÖt ®é t1 t¹i nót 1 (hoÆc m). t3 = (t2 + t4 + t6 + 100 ) / 4 (c) 4. Thay t1 míi nhËn ®−îc vµo c¸c ph−¬ng t4 = (t3 + 100 + 80 +70 ) / 4 (d) tr×nh cßn l¹i, tÝnh dÇn ra c¸c nhiÖt ®é ë c¸c nót t5 = (t2 + t6 + 50 + 40 ) / 4 (e) tiÕp theo. Khi ®−îc mét gi¸ trÞ nhiÖt ®é míi ph¶i sö dông ngay trong c¸c ph−¬ng tr×nh cßn t6 = (t3 + t5 + 70 + 40 ) / 4 (g) l¹i. NghÜa lµ mäi ph−¬ng tr×nh lu«n ph¶i nhËn B−íc 2: Cho t2 = 0; t3 = 0; t4 = 0; t5 = 0; ®−îc gi¸ trÞ míi nhÊt nÕu cã, cho ®Õn ph−¬ng t6 = 0; tr×nh cuèi cïng. B−íc 3: Thay t2 = 0 vµo (a) tÝnh ®−îc 5. Qu¸ tr×nh tÝnh ®−îc tÝnh lÆp l¹i lÇn 2, t1 = 52, 50. lÇn 3 ... víi c¸c gi¸ trÞ nhiÖt ®é míi nhÊt. B−íc 4: Thay t1 = 52,5 (gi¸ trÞ míi) vµ 6. Qu¸ tr×nh tÝnh lÆp sÏ ®−îc dõng khi t3 = 0; t5 = 0 vµo (b) tÝnh ®−îc t2 = 38,125 ... nµo chªnh lÖch nhiÖt ®é t¹i mäi ®iÓm ë hai lÇn tiÕp tôc nh− vËy sÏ tÝnh ®−îc t3; t4; t5; t6 thø tù tÝnh s¸t nhau nhá tíi møc ®ñ chÊp nhËn. nh− sau: 52.5000 38.1250 34.5313 71.1328 Víi sù trî gióp cña c¸c phÇn mÒm tÝnh 32.0313 44.1406. to¸n hiÖn nay, viÖc tÝnh theo ph−¬ng ph¸p B−íc 5: KÕt qu¶ tÝnh lÆp sau 8 lÇn viÕt Gauss - Seidel rÊt thuËn tiÖn. theo ma trËn hµng t = [t1 t2 t3 t4 t5 t6] nh− sau: C. ThÝ dô minh ho¹ (1) 52.5000 38.1250 34.5313 71.1328 32.0313 44.1406 + ThÝ dô 1: Gi¶i bµi to¸n æn ®Þnh hai chiÒu (2) 62.0313 57.1484 68.1055 79.5264 47.8223 56.4819 ®iÒu kiÖn biªn (3) 66.7871 70.6787 76.6718 81.6679 54.2902 60.2405 lo¹i 1: (4) 70.1697 75.2829 79.2978 82.3245 56.3808 61.4197 Mét dÇm (5) 71.3207 76.7498 80.1235 82.5309 57.0424 61.7915 bªt«ng, tiÕt diÖn ngang cã h×nh (6) 71.6875 77.2133 80.3839 82.5960 57.2512 61.9088 d¹ng nh− h×nh (7) 71.8033 77.3596 80.4661 82.6165 57.3171 61.9458 H×nh 5. Chia m¹ng tiÕt diÖn bªn cã Δx = Δy. ngang dÇm bªt«ng (8) 71.8399 77.4058 80.4920 82.6230 57.3379 61.9575 BiÕt nhiÖt ®é t¹i c¸c c¹nh vµ gãc cña tiÕt diÖn B−íc 6: Sai sè tuyÖt ®èi 2 lÇn cuèi t−¬ng nh− trªn h×nh vÏ. X¸c ®Þnh nhiÖt ®é t¹i c¸c øng lµ: 0.0366 0.0462 0.0259 0.0065 ®iÓm bªn trong 1, 2, 3, 4, 5, 6. 0.0208 0.0117 lµ qu¸ nhá nªn cã thÓ dõng Gi¶i: phÐp tÝnh lÆp. Do Δx = Δy, theo (4) c¸c nhiÖt trë thµnh NÕu tÝnh theo ph−¬ng ph¸p ma trËn phÇn cña mäi ph©n tè ®Òu b»ng nhau lµ nghÞch ®¶o, nhiÖt ®é c¸c ®iÓm t−¬ng øng sÏ Rij = 1/λ, nªn tõ (5) sÏ cã: lµ: 71.8630 77.4380 80.5120 82.6310 57.3340 61.9500. (t i1 + t i2 + t i3 + t i4 ) 1 tij = 4 C¸c bµi to¸n thùc tÕ cã sè nhiÖt ®é ph¶i t×m lªn tíi hµng tr¨m th× ph−¬ng ph¸p ma trËn B−íc 1: T¹i c¸c ®iÓm 1, 2, 3, 4, 5, 6 viÕt nghÞch ®¶o rÊt phøc t¹p, khi ®ã ph−¬ng ph¸p ®−îc 6 ph−¬ng tr×nh nhiÖt ®é d¹ng hµm t−êng Gauss - Seidel tá râ −u thÕ h¬n rÊt nhiÒu. sau: + ThÝ dô 2: Gi¶i bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh t1 = (t2 + 60 + 100 +50 ) / 4 (a)
t¹i biªn cã nguån bøc x¹ víi nhiÖt ®é x¸c ®Þnh. §iÓm 1: ( ) (T ) T−êng mét c¨n phßng lµm viÖc cã bÒ dµy Σ(1/R1j) = ε.σ0. TR + T1 2 2 + T1 + λ/Δx 30 cm, chiÒu cao kh¸ lín 6m. T−êng cã c¸c R th«ng sè nhiÖt: hÖ sè dÉn nhiÖt λ = 2,5 W/m ®é, = 0,65×5,67×10-8×(12732+3002)× nhiÖt dung riªng c = 800 J/kg ®é, khèi l−îng riªng × (1273 + 300)+2,5/0,05 ρ = 1800 kg/m3, ®é ®en ε = 0,65. NhiÖt ®é ban = 149,1643; ®Çu mÆt t−êng bªn trong phßng lµ 270C, bªn vËy Δτ1 ≤ 3600/149,1643 = 241,3446s; ngoµi tiÕp xóc víi kh«ng khÝ mÆt t−êng cã nhiÖt ®é 350C. HÖ sè to¶ nhiÖt cña t¹i mÆt §iÓm 2, .., 6: ngoµi t−êng α = 25 W/m2®é. Bçng c¨n phßng Σ(1/R2j) = λ/Δx + λ/Δx ®ét ngét bÞ ch¸y, nhiÖt ®é ngän löa trong phßng lªn tíi 10000C. §Ó ®¸nh gi¸ tr¹ng th¸i = 2×(2,5/0,05) = 100; ph¸ huû cña t−êng phßng, cÇn ph¶i x¸c ®Þnh VËy Δτ2 ≤ 7200/100 = 720s; diÔn biÕn ph©n bè nhiÖt ®é cña t−êng. §©y còng lµ bµi to¸n ch¸y c¬ b¶n trong c«ng tr×nh Δτ3 = Δτ4 = Δτ5 = Δτ6 = Δτ2 = 720s. x©y dùng. §iÓm 7: Σ(1/R7j) = α + λ/Δx = 25 + 50 = 75; cã Δτ7 ≤ 3600/75 = 480s; Nh− vËy chØ cÇn chän Δτmax = 240 s lµ ®ñ. Tuy nhiªn ®Ó phÐp tÝnh cã møc chÝnh x¸c ®ñ cao, chän Δτmax = 120 s. Tõ (13) x¸c ®Þnh ®−îc ph−¬ng tr×nh nhiÖt ®é tuyÖt ®èi t¹i c¸c ®iÓm: H×nh 6. Chia líp t−êng phßng §iÓm 1: TP+1 = −12285 10−10.(TP )4 + 0,16666T2 + .p , . Gi¶i: Do chiÒu cao t−êng rÊt lín so víi 1 1 bÒ dµy nªn dßng nhiÖt truyÒn theo h−íng bÒ + 0,8334.TP + 322,6181 (14) 1 dµy x lµ chÝnh. Khi ®ã bµi to¸n lµ mét chiÒu kh«ng æn ®Þnh t = f(x,τ). Chia bÒ dµy t−êng §iÓm 2, 3, .. ,6 (i = 2..6): thµnh 6 líp, mçi líp cã Δx = 0,05m. Bªn tr¸i lµ TiP +1 = 0,08333 .Tip1 + 0,8333 .TiP + 0,08333 .Tip1 − + trong phßng cã nhiÖt ®é cao, t−êng nhËn bøc (15) x¹ qR lµ chÝnh, bá qua ®èi l−u. Bªn ph¶i lµ §iÓm 7: ngoµi trêi nhiÖt ®é thÊp nªn chØ kÓ ®Õn ®èi l−u T7 +1 = 0,16666 .T6 + 0,75001 .T7 + 25,6564 p P P qK mµ kh«ng tÝnh bøc x¹. ¸p dông ®iÒu kiÖn æn ®Þnh (10), tÝnh Δτ (16) t¹i c¸c ®iÓm 1 ÷ 7 nh− sau: Sau khi lÊy gi¸ trÞ nhiÖt ®é ban ®Çu TiP (p = 1) n»m trªn ®−êng th¼ng gi÷a hai TÝnh Ci: nhiÖt ®é 300K vµ 308K, thay vµo c¸c ph−¬ng Ci = CρΔVi; C1 = 800.1800.0,05/2 = 36000; tr×nh (14), (15), (16), tÝnh ®−îc nhiÖt ®é t¹i c¸c C2 = 800.1800.0,05 = 72000; C3 = C4 = C5 = C6; vÞ trÝ sau 50 thêi ®iÓm. Ph©n bè nhiÖt ®é trong C7 = C1; t−êng t¹i c¸c thêi ®iÓm trªn ®−îc biÓu diÔn trªn ®å thÞ, h×nh 7. TÝnh Δτi: (Xem tiÕp trang 39)