Báo cáo khoa học: "Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine và ứng dụng giải hệ ph-ơng trình tích phân"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

96
lượt xem 19
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tóm tắt: Xây dựng và nghiên cứu tích chập tổng quát với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Fourier và Fourier sine. Chúng tôi chứng minh một số tính chất của nó và áp dụng để giải hệ ph-ơng trình tích phân.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo khoa học: "Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine và ứng dụng giải hệ ph-ơng trình tích phân"

TÝch chËp suy réng víi hμm träng ®èi víi hai phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n Fourier, Fourier sine vμ øng dông gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n ThS. NguyÔn minh khoa Bé m«n To¸n gi¶i tÝch Khoa Khoa häc c¬ b¶n Tr−êng §¹i häc GTVT Tãm t¾t: X©y dùng vμ nghiªn cøu tÝch chËp tæng qu¸t víi hμm träng ®èi víi phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n Fourier vμ Fourier sine. Chóng t«i chøng minh mét sè tÝnh chÊt cña nã vμ ¸p dông ®Ó gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n. Summary: Formulating and researching generalized convoluntion with the weight - function to the Fourier and Fourier sine integral transforms. We will prove some of its properties and apply this notion to solving system of integral equation. CBA i. më ®Çu TÝch chËp suy réng ®èi víi c¸c phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n mµ cô thÓ lµ ®èi víi hai phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n Fourier sine vµ Fourier cosine lÇn ®Çu tiªn ®−îc Churchill R. V c«ng bè n¨m 1941 [2]: [( ] ) +∞ f (y ) g x − y − g(x + y ) dy , x > 0 1 ∫ (f1* g) (x = (1) 2π 0 Chóng ta ®· cã ®¼ng thøc nh©n tö ho¸: Fs(f1*g) (y) = (Fsf)(y) (Fcg) (y), ∀ y > 0 (2) M·i sau nµy vµo nh÷ng n¨m 90 cña thÕ kû tr−íc, Yakubovich S. B cã c«ng bè mét sè c«ng tr×nh vÒ tÝch chËp suy réng ®èi víi c¸c phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n theo chØ sè (xem [9], [10], [11]) TiÕp theo, n¨m 1998 Kakichev V.A vµ NguyÔn Xu©n Th¶o ®· ®−a ra ph−¬ng ph¸p kiÕn thiÕt tÝch chËp suy réng víi hµm träng ®èi víi ba phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n ( xem [3]). Trong nh÷ng n¨m gÇn ®©y mét sè tÝch chËp suy réng míi ®−îc c«ng bè, ch¼ng h¹n nh−: TÝch chËp suy réng ®èi víi c¸c phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n Stieltjes vµ Fourier cosine - sine. [5]. TÝch chËp suy réng ®èi víi c¸c phÐp biÕn ®æi H (xem [4]); TÝch chËp suy réng ®èi víi c¸c phøp biÕn ®æi I (xem [12]); TÝch chËp suy réng víi hµm träng ®èi víi c¸c phÐp biÕn ®æi Fourier, Fourier cosine (xem [7]): [ )] ( )( )( +∞ f (t ) g(x + 1 + t ) + g x + 1 − t + g x − 1 + t + g x − 1 − t dt, x > 0 1 ∫ (fγ* g) (x) = 2 2π 0
TÝch chËp nµy cã ®¼ng thøc nh©n tö ho¸: F(fγ* g) (y) = cosy (Fcf) (⎪y⎪) . (Fcg) (⎪y⎪), ∀y ∈ R TÝch chËp suy réng ®èi víi c¸c phÐp biÕn ®æi Fourier cosine vµ sine ®−îc x¸c ®Þnh bëi (xem [6]): [ ] ( ) +∞ f (y ) sign(y − x )g y − x + g(y + x ) dy , x > 0 1 ∫ (f2*g) (x) = (3) 2π 0 TÝch chËp nµy tho¶ m·n ®¼ng thøc nh©n tö ho¸: Fc(f2*g)(y) = (Fsf) (y) (Fsg) (y), ∀ y > 0 (4) TÝch chËp suy réng víi hµm träng ®èi víi c¸c phÐp biÕn ®æi Fourier cosine vµ sine (xem [8]): [( )] )( ) ( +∞ f (y ) g x + y − 1 + g x − y + 1 − g(x + y + 1) − g x − y − 1 dy, ∀x > 0 1 ∫ (fγ1* g) (x) = 2 2π 0 TÝch chËp nµy cã ®¼ng thøc nh©n tö ho¸: F(fγ1* g) (y) = siny (Fsf) (y) . (Fcg) (y), ∀y > 0 Trong bµi b¸o nµy chóng t«i x©y dùng tÝch chËp suy réng víi hµm träng cña c¸c hµm f vµ g ®èi víi c¸c phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n Fourier vµ Fourier sine. Chóng t«i chøng minh mét sè tÝnh chÊt cña nã vµ øng dông gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n. ii. tÝch chËp suy réng ®èi víi c¸c phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n fourier vμ fourier sine CBA §Þnh nghÜa, TÝch chËp suy réng víi hµm träng γ (y) = sin y ®èi víi hai phÐp biÕn ®æi Fourier vµ Fourier sine lµ biÓu thøc sau: [( ] ) +∞ f (t) g x − t + 1 .sign(x − t + 1) i 2π ∫ (fγ*g) (x) = 2 0 ( ) ( ) + g 1 − x + t sign(1 − x + t ) − g 1 + x + t sign(1 + x + t ) - g (⏐1-x-t⏐)sign (1-x-t)]dt, ∀x ∈ R (5) +∞ h(t ) dt < +∞ ) ∫ Ta ký hiÖu L (R) = (c¸c hµm h x¸c ®Þnh trªn R −∞ NhËn xÐt: TÝch chËp (1) lµ hµm lÎ: F (fγ*g) (y) = -i Fs(fγ* g) (y) §Þnh lý 1: Cho f, g lµ c¸c hµm liªn tôc thuéc L (Rt) th× tÝch chËp suy réng (5) thuéc L (R) vµ tho¶ m·n ®¼ng thøc nh©n tö ho¸: F (fγ* g) (y) = sin y. (Fsf) (y) (Fsg) (y), y > 0 (6) Chøng minh
∫ (f * g)(x )dx +∞ +∞ ( f * γ g)(x )dx = 2 ∫ γ 0 0 ( ) ( ) +∞ +∞ f (t ). g x − t + 1 sign(x − t + 1) + g 1 − x + t 1 ∫∫ = 2π 0 0 ( ) ( ) . sign (1-x+t) - g( 1 + x + t sign(1 + x + t ) − g 1 − x − t . sign (1-x-t) dt, dx, ∀x ∈ R ( ) ∫ g( x + 1 − t )dx ⎡ +∞ +∞ +∞ 1 f (t ) ⎢ ∫ ∫ g x + 1 + t dx + ≤ 2π ⎣ 0 0 0 ∫ g( x − 1 + t )dx + ∫ ( ) +∞ +∞ g x − 1− t dx]dt + 0 0 +∞ +∞ f (t ) dt.4 g(u) du < +∞ 1 ∫ ∫ ≤ 2π 0 0 => (fγ*g) (x) ∈ L (R) B©y giê ta chøng minh ®¼ng thøc nh©n tö ho¸ (6) +∞ +∞ 2 ∫∫ Tõ: sin y (Fsf) (y) (Fsg) (y) = siny.sin(yu).sin(yv) f(u) g(v)dudv π 0 0 1 vµ siny. sinyu. sinyv = 4 [siny (u – v + 1) + siny(u – v - 1) - siny(u + v + 1) - siny(1 – u - v)] CBA Ta nhËn ®−îc: ∫ ∫ [sin y u − v + 1.sign(u − v + 1) + +∞ +∞ 1 siny (Fsf) (y) (Fsg) (y) = 2π 0 0 + siny ⎪u-v-1⎪ - siny (u+v+1) - siny ⎪1-u-v⎪sign(1-u-v)]f(u)g(v)dudv (7) B»ng c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp tõ (7) ta cã: ⎧ +∞ +∞ sin yt ⎨ f (u)[g(u − t + 1)sign(u − t + 1) 1 ∫ ∫ siny (Fsf) (y) (Fsg) (y) = 2π ⎩0 0 )] ( ) ( + g u − t − 1 sign(u − t − 1) − g(u + t + 1) − g u + t − 1sign(u + t − 1) du}dt (8) (fγ* g) (x) = - i Fs (fγ* g) (x), x ∈ R V× (9) Tõ (8) vµ (9) ta cã: siny (Fsf) (y) (Fsg) (y) = F(fy*g) (y) §Þnh lý 2: TÝch chËp suy réng (5) cã tÝnh chÊt giao ho¸n.
Chøng minh: Tõ ®¼ng thøc nh©n tö ho¸ (6) ta cã F (fγ* g) (y) = siny (Fsf) (y) (Fsg) (y) = sin y (Fsg) (y) (Fsf) (y) = F (g* f) (y), ∀ y > 0 suy ra (fγ* g) (x) = gγ* f) (x) Ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. §Þnh lý 3: TÝch chËp suy réng (5) kh«ng kÕt hîp vµ cã ®¼ng thøc sau: fγ*(g*1h) = gγ*(f1*h) Tõ ®¼ng thøc nh©n tö ho¸ (6) ta cã: F[fγ*(g1*h)(y) = siny (Fsf) (y) Fs (g1* h) (y) = Siny (Fsf) (y). (Fsg) (y) (Fch) (y) = siny. (Fsg) (y) . Fs(f1*h) (y) = F [gγ* (f1*h) ] (y), ∀y>0 => fγ* (g1* h) = gγ* (f1* h) §Þnh lý ®−îc chøng minh ⎧ ⎫ +∞ e x f (x ) dx < +∞ ⎬ ∫ L (ex, R +) = ⎨f : §Æt ⎩ ⎭ 0 §Þnh lý 4: (§Þnh lý kiÓu tichmarch) Cho c¸c hµm f vµ g ∈ L (ex, R+), khi ®ã nÕu (fγ* g) (x) ≡ 0 ∀ x ∈ R th× hoÆc f(x) = 0 hoÆc g (x) = 0, ∀ x > 0 Chøng minh: Tõ gi¶ thiÕt (f * g) (x) = 0 ∀x ∈ R ta suy ra F(fγ* g) (y) = 0, ∀y > 0 CBA Theo ®Þnh lý 1 ta cã: siny (Fsf) (y) (Fsg) (y) = 0, ∀ y > 0 (10) V× (Fsf) (y), (Fsg) (y) lµ gi¶i tÝch ∀ y > 0 nªn tõ (10) ta cã (Fsf) (y) = 0, ∀ y > 0 hoÆc (Fsg) (y) = 0, ∀ y > 0 §iÒu ®ã dÉn tíi f(x) = 0, ∀ x > 0 hoÆc g(x) = 0, ∀ x > 0. §Þnh lý ®−îc chøng minh iii. øng dông gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n ∫ g(t )θ (x, t )dt = h( x )signx, x ∈ R +∞ f(⏐x⏐)signx + r1 XÐt hÖ (11) 1 0 +∞ ∫ f (t )θ (y, t )dt + g(y ) = k(y ), y > 0 r2 2 0 ë ®©y r1, r2; lµ c¸c h»ng sè phøc, cßn h, k lµ c¸c hµm ®· biÕt thuéc L(R +), f vµ g lµ c¸c hµm ch−a biÕt vµ: i θ1(x,t) = [ϕ(⏐x-t+1⏐) sign (x-t+1) + 2π 2 + ϕ(⏐1-x+t⏐) sign (1-x+t) - ϕ(⏐1+x+t ⏐)sign (1+x-t) - ϕ (⏐1-x-t⏐)sign (1-x-t)]
i θ2(y, t) = [Ψ(⏐y - t⏐) - Ψ (y+t)]), 2π trong ®ã ϕ, Ψ lµ c¸c hµm ®· biÕt thuéc L (R+). §Þnh lý 5: Víi ®iÒu kiÖn: 1 - r1r2 Fs(ϕγ*Ψ) (y) ≠ 0 tån t¹i duy nhÊt nghiÖm thuéc L (R+) cña hÖ (11) x¸c ®Þnh bëi: f(y) = h(y) - r1 (ϕγ* k) (y) - Fs [(Fsh) (y) (Fsl) (y)] (y) + + r1 Fs [Fs (ϕγ*k) (y) (Fsl) (y)] (y) g(y) = k (y) - r2 (h1* Ψ) (y) - Fs [(Fsk) (y) (Fc l) (y)] (y) + r2 Fs [Fs(h1*Ψ) (y) (Fs l) (y)] (y) ë ®©y, l ∈ L (R+) vµ ®−îc x¸c ®Þnh bëi: - r1r2Fs(ϕγ* Ψ) (y) (Fsl) (y) = 1-r1r2Fs(ϕγ*Ψ) (y) Chøng minh hÖ (11) cã thÓ viÕt l¹i d−íi d¹ng: f(⎪x⎪)signx + r1 (gγ* ϕ) (x) = h(⎪x⎪)signx, x ∈ R r2 (f1* Ψ) (y) + g(y) = k (y) , y > 0 Sö dông c¸c ®¼ng thøc nh©n tö ho¸ cña tÝch chËp suy réng (5) vµ (f1* g) (x), ta cã: - i (Fsf) (y) + r1 siny (Fsg) (y) (Fs ϕ) (y) = - i (Fsh) (y) r2 (Fsf) (y) . (FcΨ) (y) + (Fs g) (y) = (Fsk) (y) CBA r1 sin y (Fs ϕ)(y ) −i Δ= = r2 (Fc ψ )(y ) 1 = - i[1 - i r1 r2 siny(Fs ϕ) (y) (FsΨ) (y)] = - i[1 - i r1 r2 F(ϕγ*Ψ) (y)] = -i [1 - r1 r2 Fs(ϕγ*Ψ)] ≠ 0 − i(Fs h)(y ) r1 sin y (Fs ϕ)(y ) = −i(Fs h)(y ) − Δ1 = (Fsk )(y ) 1 - r1siny (Fsϕ) (y) (Fs k) = -i (Fsh) (y) - r1 F (ϕγ* k) (y) = = - i (Fsh) (y) + i r1 Fs (ϕγ* k) (y) ( ) − r1r2Fs ϕ * γ ψ (y ) ⎤ Δ⎡ Do ®ã: (Fsf) (y) = -i1 ⎢1 − (( )) ⎥ ⎢ 1 − r1r2Fs ϕ * ψ (y ) ⎥ γ ⎣ ⎦ Theo ®Þnh lý Win ner - Levy [1] tån t¹i mét hµm l ∈ L (R+) -r1r2 Fs (ϕγ* Ψ)(y) Sao cho: (Fsl) (y) = 1-r1r2Fs(ϕγ* Ψ)(y) §iÒu ®ã dÉn tíi: ΔΔ (Fsf) (y) = -i1 - -i1 (Fsl) (y) = (Fsh) (y) - r1 Fs (ϕγ* k)(y)
- (Fsh) (y) (Fsl) (y) + r1 Fs (ϕγ* k) (Fsh) (y) vµ f(y) = h (y) - r1(ϕγ* k)(y) - Fs[(Fsh) (y) (Fsl) (y)] (y) + r1Fs[Fs(ϕγ* k) (y) (Fs l) (y) ] (y) ∈L (R+) T−¬ng tù − i(Fs h)(y ) −i Δ2 = = -i (Fs k) (y) + i r2(Fsh) (y) (FcΨ) (y) (Fsk )(y ) r2 (Fc ψ )(y ) = - i (Fsk) (y) + i r2 Fs (h1* Ψ) (y) Δ2 Δ2 Δ2 §iÓu ®ã dÉn tíi: (Fsg) (y) = = -i - -i (Fsl) (y) Δ = (Fsk) (y) - r2 Fs(h1* Ψ) (y) - (Fsk) (y) (Fsl) (y) + r2 Fs (h1* Ψ) (y) (Fsl) (y) Do ®ã: g(y) = k (y) - r2 (h1* Ψ) (y) - Fs[(Fsk) (y) (Fc l) (y)] (y) + r2 Fs [ Fs (h1* Ψ) (y) (Fsl) (y)] (y) ∈ L (R+) Tµi liÖu tham kh¶o [1]. N. I. Achiezer. Lectures on Approximation Theory, Science Publishing House, Moscow, 1965, PP. 157 - 162. [2]. R.V Churchill. Fourier Series and Boundary Value Problems, New York, 1941. CBA [3]. V. A. Kakichev and Nguyen Xuan Thao. On the design method for the generalized integral convolution, Izv. Vuzv. Math.1 (1998) 31 - 40 (in Russian). [4]. V.A. Kakichev and Nguyen Xuan Thao. On the genneralized convolution for H - Transforms, Izv. Vuzov. Math. n.8 (2001) 21 - 28 (in Russian). [5]. Nguyen Xuan Thao. On the generalized convolution for the Stieltjes, Hilbert, Fourier cosine and sine transforms, U K R. math. J (2001) 53, 560 - 567 (in Russion) [6]. Nguyen Xuan Thao, V. A. Kakichev and Vu Kim Tuan. On the genaralized convolution for Fourier cosine and sine transform, East - West. J. Math. (1998) 1, 85 - 90. [7]. Nguyen Xuan Thao and Nguyen Minh Khoa. On the generalized convolution with a weight - function for the Fourier and cosine - Fourier integral transforms, the 2nd seminar on environmental Science and technology issues related to the urban and coastal zones developtment. Organized by Vietnam National University and Osaka University. September 28 - 29, 2004, Ha Long - Viet Nam. 133 - 139. [8]. Nguyen Xuan Thao, Vu Kim Tuan and Nguyen Minh Khoa. A generalized comvolution with a weight function for the Fourier cosine and sine transforms; FCAA Jornal - Bulgaria - No 4 of vol. 7 (2004). [9]. M. Saigo and S.B. YaKubovic. On the theory of convolution integrals for G - transforms, Fohuoka, Univ. Sci. Report (1991) 21, 181 - 193. [10]. S.B YaKubovic. On the contruction method for contruction of integral convolution DAN BSSR 34 (1990) 588 - 591 (in Russian). [11]. S.B YaKubovic and A. I. Mosinshi. Integral equation and convolutions for transforms of Kontorovich - Lebedev type, Dif, Uravnenia 29 (1993) 1272 - 1284 (in Russian) [12]. Nguyen Xuan Thao and Trinh Tuan. On the generalized convolution for I - transform.Acta Mathematica (2003) 28, 159 - 174♦