TÝch chËp suy réng víi hμm träng ®èi víi
hai phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n Fourier, Fourier sine
vμ øng dông gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n
ThS. NguyÔn minh khoa
Bé m«n To¸n gi¶i tÝch
Khoa Khoa häc c¬ b¶n
Tr−êng §¹i häc GTVT
Tãm t¾t: X©y dùng vμ nghiªn cøu tÝch chËp tæng qu¸t víi hμm träng ®èi víi phÐp biÕn ®æi
tÝch ph©n Fourier vμ Fourier sine. Chóng t«i chøng minh mét sè tÝnh chÊt cña nã vμ ¸p dông ®Ó
gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n.
Summary: Formulating and researching generalized convoluntion with the weight -
function to the Fourier and Fourier sine integral transforms. We will prove some of its properties
and apply this notion to solving system of integral equation.
CB
A
i. më ®Çu
TÝch chËp suy réng ®èi víi c¸c phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n mµ cô thÓ lµ ®èi víi hai phÐp biÕn
®æi tÝch ph©n Fourier sine vµ Fourier cosine lÇn ®Çu tiªn ®−îc Churchill R. V c«ng bè n¨m 1941
[2]:
(f1* g) (x = 1
2π
()
[
()
()
]
dyyxgyxgyf
0+−−
+∞
∫, x > 0 (1)
Chóng ta ®· cã ®¼ng thøc nh©n tö ho¸:
Fs(f1*g) (y) = (Fsf)(y) (Fcg) (y), ∀ y > 0 (2)
M·i sau nµy vµo nh÷ng n¨m 90 cña thÕ kû tr−íc, Yakubovich S. B cã c«ng bè mét sè c«ng
tr×nh vÒ tÝch chËp suy réng ®èi víi c¸c phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n theo chØ sè (xem [9], [10], [11])
TiÕp theo, n¨m 1998 Kakichev V.A vµ NguyÔn Xu©n Th¶o ®· ®−a ra ph−¬ng ph¸p kiÕn
thiÕt tÝch chËp suy réng víi hµm träng ®èi víi ba phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n ( xem [3]).
Trong nh÷ng n¨m gÇn ®©y mét sè tÝch chËp suy réng míi ®−îc c«ng bè, ch¼ng h¹n nh−:
TÝch chËp suy réng ®èi víi c¸c phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n Stieltjes vµ Fourier cosine - sine. [5].
TÝch chËp suy réng ®èi víi c¸c phÐp biÕn ®æi H (xem [4]); TÝch chËp suy réng ®èi víi c¸c phøp
biÕn ®æi I (xem [12]); TÝch chËp suy réng víi hµm träng ®èi víi c¸c phÐp biÕn ®æi Fourier,
Fourier cosine (xem [7]):
(fγ* g) (x) = 1
2 2π
() ( )
()()()
[]
∫+∞ >−−++−+−++++
00x,dtt1xgt1xgt1xgt1xgtf
TÝch chËp nµy cã ®¼ng thøc nh©n tö ho¸:
F(fγ* g) (y) = cosy (Fcf) (⎪y⎪) . (Fcg) (⎪y⎪), ∀y ∈ R
TÝch chËp suy réng ®èi víi c¸c phÐp biÕn ®æi Fourier cosine vµ sine ®−îc x¸c ®Þnh bëi (xem
[6]):
CB
A
(f2*g) (x) = 1
2π
() ( )
[
()
()
]
∫+∞ ++−−
0dyxygxygxysignyf , x > 0 (3)
TÝch chËp nµy tho¶ m·n ®¼ng thøc nh©n tö ho¸:
Fc(f2*g)(y) = (Fsf) (y) (Fsg) (y), ∀ y > 0 (4)
TÝch chËp suy réng víi hµm träng ®èi víi c¸c phÐp biÕn ®æi Fourier cosine vµ sine (xem
[8]):
(fγ1* g) (x) = 1
2 2π
()
()()
()
()
[]
∫+∞ >∀−−−++−+−+−+
00x,dy1yxg1yxg1yxg1yxgyf
TÝch chËp nµy cã ®¼ng thøc nh©n tö ho¸:
F(fγ1* g) (y) = siny (Fsf) (y) . (Fcg) (y), ∀y > 0
Trong bµi b¸o nµy chóng t«i x©y dùng tÝch chËp suy réng víi hµm träng cña c¸c hµm f vµ g
®èi víi c¸c phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n Fourier vµ Fourier sine. Chóng t«i chøng minh mét sè tÝnh
chÊt cña nã vµ øng dông gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n.
ii. tÝch chËp suy réng ®èi víi c¸c phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n fourier vμ
fourier sine
§Þnh nghÜa, TÝch chËp suy réng víi hµm träng γ (y) = sin y ®èi víi hai phÐp biÕn ®æi Fourier
vµ Fourier sine lµ biÓu thøc sau:
[
(fγ*g) (x) = i
2 2π
()
()
]
∫+∞ +−+−
01txsign.1txg)t(f
(
)
(
)
(
)
(
)
tx1signtx1gtx1signtx1g ++++−+−+−+
- g (⏐1-x-t⏐)sign (1-x-t)]dt, ∀x ∈ R (5)
Ta ký hiÖu L (R) = (c¸c hµm h x¸c ®Þnh trªn R
()
∫+∞
∞− +∞<dtth )
NhËn xÐt: TÝch chËp (1) lµ hµm lÎ: F (fγ*g) (y) = -i Fs(fγ* g) (y)
§Þnh lý 1: Cho f, g lµ c¸c hµm liªn tôc thuéc L (Rt) th× tÝch chËp suy réng (5) thuéc L (R) vµ
tho¶ m·n ®¼ng thøc nh©n tö ho¸:
F (fγ* g) (y) = sin y. (Fsf) (y) (Fsg) (y), y > 0 (6)
Chøng minh
()
()
()
∫∫ +∞ γ
+∞ γ=00 dxxg*f2dxx)g*f(
CB
A
= 1
2π
()
()
()
()
tx1g1txsign1txg.tf
00 +−++−+−
∫∫
+∞ +∞
. sign (1-x+t) - g(
(
)
(
)
(
)
tx1gtx1signtx1 −−−++++
. sign (1-x-t) Rx,dx,dt ∈∀
≤ 1
2π
()
() ()
∫∫∫
+∞ +∞+∞
⎢
⎣
⎡−++++
000dxt1xgdxt1xgtf
+
() ()
dt]dxt1xgdxt1xg 00 ∫∫ +∞+∞ −−++−
≤ 1
2π
() ()
∫∫ +∞+∞ +∞<
00 duug4.dttf
=> (fγ*g) (x) ∈ L (R)
B©y giê ta chøng minh ®¼ng thøc nh©n tö ho¸ (6)
Tõ: sin y (Fsf) (y) (Fsg) (y) = 2
π siny.sin(yu).sin(yv) f(u) g(v)dudv
∫∫
+∞ +∞
00
vµ siny. sinyu. sinyv = 1
4 [siny (u – v + 1) + siny(u – v - 1) - siny(u + v + 1) - siny(1 – u - v)]
Ta nhËn ®−îc:
[
siny (Fsf) (y) (Fsg) (y) = 1
2π
()
∫∫
+∞ +∞ ++−+−
00 1vusign.1vuysin
+ siny ⎪u-v-1⎪ - siny (u+v+1) - siny ⎪1-u-v⎪sign(1-u-v)]f(u)g(v)dudv
(7)
B»ng c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp tõ (7) ta cã:
siny (Fsf) (y) (Fsg) (y) = 1
2π
() ( ) ( )
[
⎩
⎨
⎧+−+−
∫∫ +∞+∞
00 1tusign1tugufytsin
(
)
(
)
(
)()
(
)
]
1tusign1tug1tug1tusign1tug −+−+−++−−−−−+
}
dtdu
(8)
V× (fγ* g) (x) = - i Fs (fγ* g) (x), x ∈ R (9)
Tõ (8) vµ (9) ta cã:
siny (Fsf) (y) (Fsg) (y) = F(fy*g) (y)
§Þnh lý 2: TÝch chËp suy réng (5) cã tÝnh chÊt giao ho¸n.
Chøng minh: Tõ ®¼ng thøc nh©n tö ho¸ (6) ta cã
F (fγ* g) (y) = siny (Fsf) (y) (Fsg) (y) = sin y (Fsg) (y) (Fsf) (y)
= F (g* f) (y), ∀ y > 0 suy ra (fγ* g) (x) = gγ* f) (x)
Ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.
§Þnh lý 3: TÝch chËp suy réng (5) kh«ng kÕt hîp vµ cã ®¼ng thøc sau: fγ*(g*1h) = gγ*(f1*h)
Tõ ®¼ng thøc nh©n tö ho¸ (6) ta cã:
F[fγ*(g1*h)(y) = siny (Fsf) (y) Fs (g1* h) (y)
= Siny (Fsf) (y). (Fsg) (y) (Fch) (y)
= siny. (Fsg) (y) . Fs(f1*h) (y)
= F [gγ* (f1*h) ] (y), ∀ y > 0
=> fγ* (g1* h) = gγ* (f1* h)
§Þnh lý ®−îc chøng minh
§Æt L (ex, R +) =
()
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧+∞<
∫+∞ dxxfe:f 0
x
§Þnh lý 4: (§Þnh lý kiÓu tichmarch)
Cho c¸c hµm f vµ g ∈ L (ex, R+), khi ®ã nÕu (fγ* g) (x) ≡ 0 ∀ x ∈ R th× hoÆc f(x) = 0 hoÆc
g (x) = 0, ∀ x > 0
Chøng minh: Tõ gi¶ thiÕt (f * g) (x) = 0 ∀x ∈ R ta suy ra F(fγ* g) (y) = 0, ∀y > 0
CB
A
Theo ®Þnh lý 1 ta cã: siny (Fsf) (y) (Fsg) (y) = 0, ∀ y > 0 (10)
V× (Fsf) (y), (Fsg) (y) lµ gi¶i tÝch ∀ y > 0 nªn tõ (10) ta cã (Fsf) (y) = 0, ∀ y > 0 hoÆc
(Fsg) (y) = 0, ∀ y > 0
§iÒu ®ã dÉn tíi f(x) = 0, ∀ x > 0 hoÆc g(x) = 0, ∀ x > 0.
§Þnh lý ®−îc chøng minh
iii. øng dông gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n
XÐt hÖ f(⏐x⏐)signx + r1
() ( )
()
Rx,signxxhdtt,xtg
01∈=θ
∫+∞ (11)
r2
() ( ) () ()
∫+∞ >=+θ
020y,ykygdtt,ytf
ë ®©y r1, r2; lµ c¸c h»ng sè phøc, cßn h, k lµ c¸c hµm ®· biÕt thuéc L(R +), f vµ g lµ c¸c
hµm ch−a biÕt vµ:
θ1(x,t) = i
2 2π [ϕ(⏐x-t+1⏐) sign (x-t+1) +
+ ϕ(⏐1-x+t⏐) sign (1-x+t) - ϕ(⏐1+x+t ⏐)sign (1+x-t)
- ϕ (⏐1-x-t⏐)sign (1-x-t)]
θ2(y, t) = i
2π [Ψ(⏐y - t⏐) - Ψ (y+t)]),
trong ®ã ϕ, Ψ lµ c¸c hµm ®· biÕt thuéc L (R+).
§Þnh lý 5: Víi ®iÒu kiÖn: 1 - r1r2 Fs(ϕγ*Ψ) (y) ≠ 0 tån t¹i duy nhÊt nghiÖm thuéc L (R+) cña
hÖ (11) x¸c ®Þnh bëi:
f(y) = h(y) - r1 (ϕγ* k) (y) - Fs [(Fsh) (y) (Fsl) (y)] (y) +
+ r1 Fs [Fs (ϕγ*k) (y) (Fsl) (y)] (y)
g(y) = k (y) - r2 (h1* Ψ) (y) - Fs [(Fsk) (y) (Fc l) (y)] (y)
+ r2 Fs [Fs(h1*Ψ) (y) (Fs l) (y)] (y)
ë ®©y, l ∈ L (R+) vµ ®−îc x¸c ®Þnh bëi:
(Fsl) (y) = - r1r2Fs(ϕγ* Ψ) (y)
1-r1r2Fs(ϕγ*Ψ) (y)
Chøng minh hÖ (11) cã thÓ viÕt l¹i d−íi d¹ng:
f(⎪x⎪)signx + r1 (gγ* ϕ) (x) = h(⎪x⎪)signx, x ∈ R
r2 (f1* Ψ) (y) + g(y) = k (y) , y > 0
Sö dông c¸c ®¼ng thøc nh©n tö ho¸ cña tÝch chËp suy réng (5) vµ (f1* g) (x), ta cã:
- i (Fsf) (y) + r1 siny (Fsg) (y) (Fs ϕ) (y) = - i (Fsh) (y)
r2 (Fsf) (y) . (FcΨ) (y) + (Fs g) (y) = (Fsk) (y)
CB
A
Δ =
()()
(
)
(
)
=
ϕ
ψ
−
1
yFysinr
yFr
is1
c2
= - i[1 - i r1 r2 siny(Fs ϕ) (y) (FsΨ) (y)]
= - i[1 - i r1 r2 F(ϕγ*Ψ) (y)] = -i [1 - r1 r2 Fs(ϕγ*Ψ)] ≠ 0
Δ1 =
()()
()()
(
)
(
)()()
−−=
ϕ
−yhFi
1
yFysinr
ykF
yhFi
s
s1
s
s
- r1siny (Fsϕ) (y) (Fs k) = -i (Fsh) (y) - r1 F (ϕγ* k) (y) =
= - i (Fsh) (y) + i r1 Fs (ϕγ* k) (y)
(
)
(
)
()
()
()
Do ®ã: (Fsf) (y) = Δ1
-i ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
ψϕ−
ψϕ−
−γ
γ
y*Frr1
y*Frr
1
s21
s21
Theo ®Þnh lý Win ner - Levy [1] tån t¹i mét hµm l ∈ L (R+)
Sao cho: (Fsl) (y) = -r1r2 Fs (ϕγ* Ψ)(y)
1-r1r2Fs(ϕγ* Ψ)(y)
§iÒu ®ã dÉn tíi:
(Fsf) (y) = Δ1
-i - Δ1
-i (Fsl) (y) = (Fsh) (y) - r1 Fs (ϕγ* k)(y)