§¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 2A-2007
103
VËn dông mét sè kiÕn thøc vÒ nhãm c¸c phÐp biÕn ®æi
®iÓm trong kh«ng gian nh»m båi d−ìng cho sinh viªn
kh¶ n¨ng t×m tßi lêi gi¶i vµ ph¸t hiÖn c¸c bµi to¸n míi
th«ng qua d¹y häc H×nh häc s¬ cÊp
§µo Tam
(a)
Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy chóng t«i tr×nh bµy mèi liªn hÖ gi÷a viÖc d¹y häc c¸c
ph©n m«n to¸n vµ d¹y häc H×nh häc s¬ cÊp ë tr−êng §¹i häc s− ph¹m. Cô thÓ chóng
t«i ®−a ra mét sè kiÕn thøc vÒ nhãm c¸c phÐp biÕn ®æi trong kh«ng gian, nh»m gióp
sinh viªn s− ph¹m to¸n t×m tßi lêi gi¶i vµ c¸c bµi to¸n míi th«ng qua d¹y häc H×nh
häc s¬ cÊp.
1. Trong nh÷ng n¨m gÇn ®©y nhiÒu nhµ s− ph¹m trong n−íc vµ n−íc ngoµi ®·
quan t©m nghiªn cøu mèi liªn hÖ gi÷a d¹y häc To¸n ë c¸c tr−êng s− ph¹m vµ d¹y
häc To¸n ë tr−êng phæ th«ng. Tiªu biÓu trong sè hä nh−: NguyÔn C¶nh Toµn,
NguyÔn §¨ng PhÊt, §oµn Quúnh, V¨n Nh− C−¬ng, §ç §øc Th¸i, NguyÔn V¨n MËu,
N. I-A.Vilenkin, L. A. Kalurin, A. A. Stolia, K. I. Dunhitrev…
C¸c t¸c gi¶ trªn ®· nghiªn cøu c¸c vÊn ®Ò to¸n häc cao cÊp, to¸n häc hiÖn ®¹i
soi s¸ng c¸c t− t−ëng nÒn t¶ng cña gi¸o tr×nh To¸n phæ th«ng, xem xÐt c¸c øng dông
cña to¸n cao cÊp, to¸n hiÖn ®¹i vµo c¸c néi dung båi d−ìng häc sinh giái nh−: Lý
thuyÕt tËp hîp, quan hÖ, ¸nh x¹, c¸c phÐp biÕn h×nh, ph−¬ng tr×nh hµm…
Trong bµi viÕt nµy chóng t«i ®Ò cËp mét sè ph−¬ng thøc tiÕp cËn viÖc d¹y häc
to¸n c¬ b¶n ë tr−êng §¹i häc theo h−íng t¨ng c−êng øng dông vµo viÖc d¹y häc H×nh
häc s¬ cÊp vµ d¹y häc H×nh häc ë tr−êng phæ th«ng.
ViÖc nghiªn cøu c¸ch thøc tiÕp cËn nãi trªn nh»m môc tiªu båi d−ìng n¨ng lùc
thÝch nghi nghÒ nghiÖp g¾n víi chuyªn m«n cña sinh viªn s− ph¹m ngµnh To¸n,
b−íc ®Çu lµm s¸ng tá kh¶ n¨ng g¾n kÕt viÖc d¹y häc khoa häc c¬ b¶n víi khoa häc
gi¸o dôc. ViÖc d¹y To¸n h−íng vµo môc tiªu nãi trªn sÏ gãp phÇn tÝch cùc vµo viÖc
thùc hiÖn môc ®Ých ®æi míi d¹y häc To¸n ë tr−êng ®¹i häc.
2. C¸c ph−¬ng thøc tiÕp cËn mét sè kiÕn thøc vÒ lý thuyÕt nhãm c¸c phÐp biÕn
®æi ®iÓm trong kh«ng gian khi d¹y häc H×nh häc s¬ cÊp.
Chóng t«i cho r»ng ®Ó t− t−ëng g¾n kÕt viÖc d¹y häc c¸c m«n to¸n c¬ b¶n víi
d¹y häc c¸c m«n to¸n s¬ cÊp, to¸n phæ th«ng ®−îc thùc thi triÓn khai nh»m n©ng cao
hiÖu qu¶ båi d−ìng gi¸o viªn To¸n, ®ßi hái sù nghiªn cøu c«ng phu c¶ vÒ ph−¬ng
diÖn khoa häc vµ ph−¬ng diÖn ph−¬ng ph¸p.
Tr−íc hÕt c¸c ph−¬ng thøc ®−îc ®Ò ra trªn c¬ së kh¾c phôc nh÷ng khã kh¨n
liªn quan ®Õn n¨ng lùc truyÒn t¶i c¸c tri thøc khoa häc c¬ b¶n sang tri thøc phæ
th«ng. Khã kh¨n næi bËt g¾n víi viÖc gi¶i quyÕt tèt mèi quan hÖ gi÷a c¸i cô thÓ vµ
c¸i trõu t−îng, liªn quan tíi quan hÖ gi÷a néi dung vµ h×nh thøc trong ph¹m trï có
ph¸p vµ ng÷ nghÜa; ViÖc gi¶i quyÕt c¸c m©u thuÉn trªn cho phÐp thùc hiÖn sù lång
ghÐp c¸c tri thøc mu«n mµu mu«n vÎ vµo c¸c s¬ ®å nhËn thøc trõu t−îng cña to¸n
häc cao cÊp, to¸n häc hiÖn ®¹i.
NhËn bµi ngµy 13/4/2007. Söa ch÷a xong 18/7/2007.
§¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 2A-2007
104
C
Tõ nh÷ng c¬ së lý luËn vÒ viÖc kh¾c phôc nh÷ng khã kh¨n thuéc ph¹m trï
ph−¬ng ph¸p luËn nhËn thøc To¸n häc nãi trªn vµ tõ c¬ së kinh nghiÖm d¹y häc
To¸n cña c¸c chuyªn gia vµ b¶n th©n, chóng t«i ®Ò xuÊt c¸c ph−¬ng thøc khai th¸c,
c¸c øng dông, c¸c kiÕn thøc vÒ nhãm c¸c phÐp biÕn ®æi ®iÓm trong kh«ng gian ®Ó t×m
tßi lêi gi¶i, ph¸t hiÖn c¸c bµi to¸n, c¸c vÊn ®Ò To¸n häc trong d¹y häc m«n H×nh häc
s¬ cÊp. §ång thêi viÖc thùc hiÖn tèt c¸c ph−¬ng thøc ®Ò ra sÏ gãp phÇn d¹y häc theo
h−íng tÝch hîp c¸c m«n To¸n, gãp phÇn rÌn luyÖn n¨ng lùc, nghÒ nghiÖp g¾n víi
chuyªn m«n cho sinh viªn.
Sau ®©y chóng t«i tr×nh bµy c¸c ph−¬ng thøc vµ c¸c biÖn ph¸p thùc hiÖn c¸c
ph−¬ng thøc ®ã.
Ph−¬ng thøc thø nhÊt: Lùa chän c¸c néi dung H×nh häc s¬ cÊp cã thÓ nh×n
nhËn chóng theo quan ®iÓm nhãm; Khai th¸c c¸c bµi to¸n theo c¸c néi dung trªn cã
thÓ gi¶i ®−îc nhê sö dông c¸c kiÕn thøc vÒ nhãm, sau ®ã chuyÓn sang c¸ch gi¶i s¬
cÊp, phæ th«ng, ®Ò xuÊt c¸c bµi to¸n míi vµ c¸ch gi¶i chóng.
VÝ dô 1: Khi nghiªn cøu c¸c kiÕn thøc vÒ khèi ®a diÖn trong H×nh häc s¬ cÊp,
chóng ta cã thÓ chøng minh mÖnh ®Ò sau vÒ c¸c nhãm víi phÐp to¸n tÝch c¸c phÐp
dêi: “§iÒu kiÖn ¾t cã vµ ®ñ ®Ó tån t¹i nhãm c¸c phÐp dêi h×nh trong kh«ng gian, kh¸c
víi nhãm chØ cã mét phÇn tö ®¬n vÞ <e>, biÕn tø diÖn thµnh chÝnh nã, lµ tø diÖn ®ã cã
Ýt nhÊt hai cÆp c¹nh, kh«ng cã c¹nh chung, mçi cÆp cã ®é dµi c¸c c¹nh b»ng nhau”.
Tuú thuéc vµo vÞ trÝ t−¬ng ®èi gi÷a c¸c cÆp c¹nh cña tø diÖn vµ quan hÖ b»ng
nhau x¸c ®Þnh trªn tËp hîp 6 c¹nh cña tø diÖn chóng ta cã mét tËp hîp h÷u h¹n c¸c
nhãm kh¸c víi nhãm ®¬n vÞ.
Ch¼ng h¹n: XÐt tø diÖn ABCD cã AC = BD = AD = BC = a; AB + CD = 2a (xem
h×nh 1).
Tõ quan ®iÓm nhãm cã thÓ xem xÐt c¸c vÊn ®Ò sau:
ABDC
ABCD
f:
1
l
µ phÐp ®èi xøng qua mÆt ph¼ng trung trùc cña ®o¹n CD, ®ã lµ
mÆt ph¼ng (AMB), víi M lµ trung ®iÓm c¹nh CD;
:
2
BACD
ABCD
f
lµ phÐp ®èi xøng qua mÆt ph¼ng trung trùc cña AB, ®ã lµ mÆt
ph¼ng (CND), N lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AB.
BADC
ABCD
f:
3
lµ phÐp ®èi xøng trôc MN.
• Do tÝch c¸c phÐp dêi trong kh«ng gian cã tÝnh chÊt kÕt hîp, phÇn tö ®¬n vÞ lµ
phÐp biÕn ®æi ®ång nhÊt, tõ ®Þnh nghÜa phÐp ®èi xøng mÆt vµ ®èi xøng trôc suy ra:
• T×m c¸c phÐp dêi biÕn tø diÖn
ABCD thµnh chÝnh nã.
Do AB ≠
CD nªn c¸c phÐp dêi kh¸c
phÐp biÕn ®æi ®ång nhÊt t−¬ng øng c¸c
kh¶ n¨ng sau, viÕt ë d¹ng c¸c ho¸n vÞ c¸c
®Ønh:
A
N
D
M
H×nh 1
§¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 2A-2007
105
1
1-
1
=ff
; 2
1-
2
=ff
; 3
1-
3
=ff
.
VËy ®Ó kiÓm tra tËp hîp gåm c¸c phÐp dêi {f
1
; f
2
; f
3
; e}
víi phÐp to¸n tÝch c¸c phÐp dêi lËp thµnh mét nhãm chØ cÇn kiÓm tra ®iÒu kiÖn khÐp
kÝn phÐp to¸n.
Cã thÓ kiÓm tra f
2
. f
1
= f
3
; f
3
. f
1
= f
2
; f
3
. f
2
= f
1
Chøng minh tÝnh ®óng ®¾n cña c¸c tÝch trªn cã thÓ b»ng hai c¸ch:
C¸ch 1: Dùa vµo tÝch c¸c ho¸n vÞ (thùc chÊt lµ c¸c song ¸nh);
C¸ch 2: Dùa vµo c¸c mÖnh ®Ò sau ®©y:
MÖnh ®Ò 1. TÝch cña hai phÐp ®èi xøng qua hai mÆt ph¼ng (P), (Q) c¾t nhau
theo giao tuyÕn ∆ lµ mét phÐp quay xung quanh trôc ∆ (víi ∆ ®−îc ®Þnh h−íng) vµ
gãc quay b»ng hai lÇn gãc nhÞ diÖn c¹nh ∆, h−íng x¸c ®Þnh tõ mÆt ph¼ng (P) ®Õn
mÆt ph»ng (Q): §
Q
. §
P
= Q (∆, ϕ); ϕ = 2α; Víi α lµ ®é lín gãc ph¼ng nhÞ diÖn [(P), (Q)]
cã ®Þnh h−íng.
MÖnh ®Ò 2: Víi mäi phÐp quay Q (∆, ϕ) ®Òu ph©n tÝch ®−îc thµnh tÝch cña hai
phÐp ®èi xøng mÆt qua hai mÆt ph¼ng (P), (Q) ®i qua ∆ ®· ®Þnh h−íng vµ gãc nhÞ
diÖn t¹o bëi (P) vµ (Q) cã gãc ph¼ng b»ng (1/2) ϕ vµ h−íng tõ mÆt ph¼ng thø nhÊt
®Õn mÆt ph¼ng thø hai, ®ång thêi cã v« sè c¸ch ph©n tÝch nh− vËy. ViÖc chøng minh
hai mÖnh ®Ò nªu trªn cã thÓ xem [3].
• Chóng ta kh¶o s¸t bµi to¸n sau ®©y theo quan ®iÓm nhãm: “Chøng minh
r»ng tø diÖn ®· cho xÐt trong vÝ dô 1 cã t©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕp O, t©m mÆt cÇu néi
tiÕp I vµ träng t©m G thuéc mét ®−êng th¼ng”.
Cã thÓ gi¶i bµi to¸n dùa vµo c¸c quan ®iÓm nhãm nh− sau:
- C¸ch 1: Qua
ABDC
ABCD
f:
1
th× f
1
: (O) → (O); f
1
: (I) → (I); f
1
: G → G
Tõ ®ã suy ra f
1
: (O, I, G) → (O, I, G);
BACD
ABCD
f:
2
th× f
2
: (O, I, G) → (O, I, G).
VËy bé ba ®iÓm (O, I, G) biÕn thµnh chÝnh nã qua phÐp tÝch f
2
. f
1
. Tõ ®ã suy
ra f
3
: (O, I, G) → (O, I, G). Tõ ®ã bé ba ®iÓm (O, I, G) thuéc trôc ®èi xøng MN.
- C¸ch 2: Chøng minh trùc tiÕp
BADC
ABCD
f:
3
nªn f
3
: (O) → (O); f
3
: (I) → (I); f
3
:
G → G. Tõ ®ã suy ra trôc ®èi xøng MN ®i qua O, I, G.
• Cã thÓ diÔn ®¹t theo c¸ch gi¶i phæ th«ng theo t−¬ng øng víi hai c¸ch gi¶i nªu
trªn nh− sau:
- Qua phÐp ®èi xøng mÆt f
1
mÆt cÇu (O) biÕn thµnh chÝnh nã nªn t©m O thuéc
mÆt ph¼ng (CDN). T−¬ng tù O thuéc mÆt ph¼ng (ABM), suy ra O thuéc giao tuyÕn
MN cña hai mÆt ph¼ng trªn. T−¬ng tù, suy ra I vµ G thuéc giao tuyÕn MN cña hai
mÆt ph¼ng ®ã.
- Cã thÓ lËp luËn c¸ch kh¸c: Do phÐp ®èi xøng trôc MN biÕn tø diÖn thµnh
chÝnh nã nªn mÆt cÇu (O), mÆt cÇu (I) vµ G biÕn thµnh chÝnh nã. Tõ ®ã suy ra c¸c
®iÓm O, G, I thuéc trôc ®èi xøng MN.
§¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 2A-2007
106
• Chóng ta cã thÓ ®Ò xuÊt bµi to¸n ë møc ®é khã kh¨n h¬n bµi to¸n xÐt ë vÝ dô
1 vµ yªu cÇu sinh viªn kh¶o s¸t lêi gi¶i theo quan ®iÓm nhãm vµ chuyÓn sang ng«n
ng÷ cña c¸ch gi¶i phæ th«ng: “Cho tø diÖn ABCD cã AC = BD = AD = BC = a” vµ AB
+ CD = 2a, víi AB ≠ CD. Chøng minh:
1) Tø diÖn ®ã cã mÆt cÇu tiÕp xóc víi tÊt c¶ c¸c c¹nh;
2) T©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕp, t©m mÆt cÇu néi tiÕp, t©m mÆt cÇu tiÕp xóc víi c¸c
c¹nh vµ träng t©m G thuéc mét ®−êng th¼ng.
VÝ dô 2: Cho hai ®−êng th¼ng chÐo nhau a, b. X¸c ®Þnh c¸c phÐp dêi trong
kh«ng gian biÕn cÆp ®−êng th¼ng chÐo nhau ®ã thµnh chÝnh nã. Chøng minh r»ng
tËp hîp c¸c phÐp dêi nãi trªn víi phÐp to¸n tÝch c¸c phÐp dêi lËp thµnh mét nhãm
(xem h×nh 2).
2) f: (a, b) → (b, a). Do ®−êng vu«ng gãc chung AB lµ duy nhÊt nªn phÐp dêi f
chÝnh lµ phÐp ®èi xøng trôc f
2
: A → B, cã trôc ®èi xøng lµ ∆
2
®i qua trung ®iÓm O cña
®o¹n AB. Do f
2
: ∆
2
→∆
2
vµ f
2
: a → b, nªn gãc gi÷a ∆
2
vµ a b»ng gãc gi÷a ∆
2
vµ b. Tõ
®iÒu kiÖn cuèi cïng suy ra ∆
2
lµ ®−êng th¼ng ®i qua O t¹o víi a, b hai gãc b»ng nhau
vµ ®−êng th¼ng ∆
2
thuéc mÆt ph¼ng (R) ®i qua O vµ vu«ng gãc víi ∆
1
. LËp luËn t−¬ng
tù suy ra tån t¹i phÐp ®èi xøng trôc f
3
: a → b; f
3
: b → a cã trôc lµ ∆
3
thuéc mÆt ph¼ng
(R), ®i qua O vµ vu«ng gãc víi ∆
2
.
Tõ d¹ng chÝnh t¾c cña phÐp dêi trong kh«ng gian suy ra tËp hîp c¸c phÐp dêi
biÕn cÆp ®−êng th¼ng chÐo nhau (a, b) thµnh chÝnh nã lµ (e; f
1
; f
2
; f
3
).
Tõ ®Þnh lÝ vÒ sù ph©n tÝch mét phÐp ®èi xøng trôc thµnh tÝch cña hai phÐp ®èi
xøng qua hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc cïng ®i qua trôc ®· cho vµ gãc gi÷a hai mÆt
ph¼ng b»ng 90
o
vµ chó ý r»ng, ba trôc ∆
1
; ∆
2
; ∆
3
®«i mét vu«ng gãc. Suy ra: f
2
.f
1
= f
3
;
f
3
.f
1
= f
2
; f
3
.f
2
= f
1
. KiÓm tra c¸c dÊu hiÖu cßn l¹i cña nhãm ta cã: {e; f
1
; f
2
; f
3
} lËp thµnh
mét nhãm víi phÐp to¸n tÝch c¸c phÐp dêi.
• Tõ c¸ch nh×n nhËn trªn cã thÓ ®Ò xuÊt cho sinh viªn sö dông quan ®iÓm
nhãm, gi¶i vµ më réng c¸c bµi to¸n sau, ®ång thêi chuyÓn sang ng«n ng÷ c¸ch gi¶i
phæ th«ng:
Bµi to¸n 1: Cho hai ®−êng th¼ng chÐo nhau a, b cã ®−êng vu«ng gãc chung lµ
AB, víi A ∈ a; B ∈ b. C¸c ®iÓm M, N di ®éng, lÇn l−ît thuéc a, b sao cho AM = BN.
Chøng minh r»ng ®−êng th¼ng MN lu«n c¾t vµ vu«ng gãc víi mét trong hai ®−êng
th¼ng cè ®Þnh.
•
CÆp ®−êng th¼ng (a, b) biÕn thµnh chÝnh
nã qua phÐp dêi f, øng víi c¸c kh¶ n¨ng sau:
1) f: (a, b) → (a, b):
- PhÐp ®ång nhÊt e: a → a; e: b →
b, sao
cho mäi ®iÓm cña a, b ®Òu lµ ®iÓm kÐp (®iÓm cã
¶nh lµ chÝnh nã).
- f
1
lµ phÐp ®èi xøng trôc, cã trôc lµ ®−êng
vu«ng gãc chung ∆
1
cña hai ®−êng th¼ng chÐo
nhau: f
1
: a → a; f
1
: b → b; t
rong ®ã chØ cã A, B lµ
c¸c giao ®iÓm cña ∆
1
víi a vµ b lµ cÆp ®iÓm kÐp
duy nhÊt.
H×nh 2
O
B
∆
3
∆
2
A
∆
1
b
b'
a
a'
§¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 2A-2007
107
Bµi to¸n 2: Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
. C¸c ®iÓm M, N di ®éng lÇn
l−ît thuéc c¸c c¹nh AD vµ BB
1
sao cho AM = BN. Chøng minh r»ng ®−êng th¼ng
MN lu«n c¾t vµ vu«ng gãc víi mét ®−êng th¼ng cè ®Þnh.
Ph−¬ng thøc hai: Sö dông c¸c bÊt biÕn cña c¸c nhãm c¸c phÐp biÕn ®æi nh»m
®Þnh h−íng ph¸t hiÖn lêi gi¶i c¸c bµi to¸n, tõ ®ã chuyÓn ®æi ng«n ng÷ sang c¸ch gi¶i
phæ th«ng.
VÝ dô: Chóng ta cã thÓ lËp luËn chøng tá r»ng tÝch cña phÐp tÞnh tiÕn
v
T
vµ
phÐp ®èi xøng t©m §
O
trong kh«ng gian lµ mét phÐp ®èi xøng t©m.
TÝch cña hai phÐp tÞnh tiÕn lµ mét phÐp tÞnh tiÕn:
2112
+
=.
vvvv
TTT
.
TÝch cña hai phÐp ®èi xøng t©m trong kh«ng gian lµ mét phÐp tÞnh tiÕn.
Tõ nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n trªn suy ra tËp hîp c¸c phÐp tÞnh tiÕn vµ c¸c phÐp
®èi xøng t©m trong kh«ng gian lËp thµnh mét nhãm víi phÐp to¸n tÝch hai phÐp dêi
h×nh.
Do phÐp ®èi xøng t©m vµ phÐp tÞnh tiÕn cã tÝnh chÊt biÕn mét vect¬ thµnh
vect¬ cïng ph−¬ng nªn phÐp tÞnh tiÕn vµ ®èi xøng t©m biÕn mÆt ph¼ng thµnh mÆt
ph¼ng song song hoÆc trïng víi mÆt ph¼ng ®ã. Nãi c¸ch kh¸c, ph−¬ng trong kh«ng
gian lµ bÊt biÕn qua phÐp tÞnh tiÕn vµ ®èi xøng t©m.
Tõ c¸c kÕt qu¶ trªn chóng ta cã thÓ rót ra kÕt luËn bæ Ých sau: NÕu gÆp d¹ng
to¸n chøa ®ùng ®iÒu kiÖn ph−¬ng kh«ng ®æi th× cÇn quan t©m sö dông phÐp tÞnh
tiÕn hoÆc phÐp ®èi xøng t©m ®Ó gi¶i chóng.
Ch¼ng h¹n, xÐt bµi to¸n sau: “Cho hai mÆt cÇu (O
1
), (O
2
) vµ mÆt ph¼ng (P).
H·y dùng mÆt ph¼ng (α) sao cho (α) song song víi (P) vµ (α) c¾t c¸c mÆt cÇu (O
1
),
(O
2
) theo hai ®−ßng trßn b»ng nhau”.
Cã thÓ lËp luËn c¸ch t×m lêi gi¶i nh− sau:
§iÒu kiÖn mÆt ph¼ng (α) cÇn dùng song song víi (P) gîi c¸ch chän phÐp tÞnh
tiÕn ®Ó gi¶i.
- Gäi (C
1
), (C
2
) lµ giao cña (α) cÇn dùng víi (O
1
), (O
2
). KÝ hiÖu H
1
, H
2
lÇn l−ît lµ
c¸c h×nh chiÕu cña O
1
, O
2
lªn mÆt ph¼ng (P). Khi ®ã H
1
O
1
®i qua t©m I
1
cña (C
1
) vµ
H
2
O
2
®i qua t©m I
2
cña (C
2
).
- PhÐp tÞnh tiÕn
21
HH
T
biÕn mÆt cÇu (O
1
) thµnh mÆt cÇu (O'
1
). MÆt cÇu (O'
1
)
giao víi (O
2
) theo ®−êng trßn C
2
. Khi ®ã mÆt ph¼ng (α) cÇn dùng lµ mÆt ph¼ng chøa
giao (O'
1
) víi (O
2
).
Ph−¬ng thøc thø ba: BiÕn ®æi bµi to¸n thµnh bµi to¸n míi nhê sö dông c¸c
h×nh t−¬ng ®−¬ng (c¸c h×nh sai kh¸c mét phÐp biÕn ®æi cña mét nhãm nµo ®ã).
VÝ dô: Cã thÓ tæng qu¸t bµi to¸n trªn m« h×nh h×nh lËp ph−¬ng sang bµi to¸n
trªn m« h×nh h×nh hép nhê bá qua c¸c bÊt biÕn cña phÐp biÕn ®æi trùc giao kh«ng
thuéc c¸c bÊt biÕn afin vµ gi÷ nguyªn c¸c bÊt biÕn cña phÐp biÕn ®æi afin.
Ch¼ng h¹n, xÐt bµi to¸n sau trªn m« h×nh h×nh lËp ph−¬ng: “Cho h×nh lËp
ph−¬ng ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
. Chøng minh r»ng ®−êng chÐo AC
1
vu«ng gãc víi mÆt
ph¼ng (BDA
1
) t¹i träng t©m G cña tam gi¸c BDA
1
vµ AG = (1/3)AC
1
”.