Báo cáo khoa học: "Về một dạng hội tụ của dãy và chuỗi nhiều chỉ số các đại lượng ngẫu nhiên"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

114
lượt xem 16
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập những báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh tác giả: 10. Nguyễn Văn Quảng, Đặng Văn Hải, Nguyễn Thị Thế, Về một dạng hội tụ của dãy và chuỗi nhiều chỉ số các đại lượng ngẫu nhiên...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo khoa học: "Về một dạng hội tụ của dãy và chuỗi nhiều chỉ số các đại lượng ngẫu nhiên"

VÒ mét d¹ng héi tô cña d·y vµ chuçi nhiÒu chØ sè c¸c ®¹i lîng ngÉu nhiªn (a) NguyÔn V¨n Qu¶ng (b) (a) §Æng V¨n H¶i , NguyÔn ThÞ ThÕ N d lµ mét sè nguyªn d¬ng Tãm t¾t. Gi¶ sö lµ tËp hîp c¸c sè nguyªn d¬ng, Nd = {n = (n1 , n2 , ..., nd ) : ni ∈ N, i = 1, 2, ..., d}. {X (n), n ∈ Nd } lµ d·y d -chØ sè c¸c ®¹i lîng ngÉu nhiªn. Môc ®Ých cña bµi b¸o vµ d nµy lµ thiÕt lËp mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n vÒ sù héi tô cña d·y {X (n), n ∈ N } vµ chuçi n∈Nd X (n) khi max ni = ∨ni → ∞. 1id Më ®Çu 1. d lµ mét sè nguyªn d¬ng, ký hiÖu Gi¶ sö Nd = {n = (n1 , n2 , ..., nd ) : ni ∈ N, i = 1, 2, ..., d}. Nd , quan hÖ thø tù ®îc ®Þnh nghÜa nh sau: Trong m = (m1 , m2 , .., md ), n = (n1 , n2 , ..., nd ) lµ hai phÇn tö cña Nd , khi ®ã Víi ®.n n ⇐⇒ mi m ni , i = 1, . . . , d. Nd , mµ víi mçi phÇn tö cña nã c¸c chØ sè ®Òu b»ng nhau, lµ I d = {i = Gäi tËp con cña (i, i, . . . , i) : i ∈ N}. n = (n1 , n2 , . . . , nd ), ®Æt Víi mçi ∨ni = max ni ; ∧ni = min ni |n| = n1 .n2 . . . nd . vµ 1id 1id Nd d - chØ sè. C¸c d·y vµ chuçi mµ tËp chØ sè lµ ®îc gäi lµ d·y vµ chuçi Trong thêi gian gÇn ®©y, cã nhiÒu bµi b¸o nghiªn cøu vÒ giíi h¹n cña d·y vµ chuçi d - chØ sè c¸c ®¹i lîng ngÉu nhiªn (xem ch¼ng h¹n [3], [4], [5] [6], [8]). Tuy nhiªn, cha cã bµi b¸o nµo tr×nh bµy vµ chøng minh mét c¸ch chi tiÕt chÆt chÏ c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña lo¹i giíi h¹n nµy. d - chØ sè, ngêi ta thêng quan t©m nghiªn cøu giíi h¹n §èi víi lo¹i d·y vµ chuçi ∨ni → ∞ hoÆc khi ∧ni → ∞. C¶ hai d¹ng giíi h¹n nµy ®Òu lµ më réng cña chóng khi d cña giíi h¹n cña d·y vµ chuçi mét chØ sè th«ng thêng. Sù héi tô cña d·y vµ chuçi ∧ni → ∞ ®· ®îc nghiªn cøu trong [1]. - chØ sè c¸c ®¹i lîng ngÉu nhiªn (§LNN) khi 1 NhËn bµi ngµy 30/10/2006. Söa ch÷a xong ngµy 29/12/2006.
d - chØ sè c¸c Môc ®Ých chÝnh cña bµi b¸o nµy lµ nghiªn cøu sù héi tô cña d·y vµ chuçi ∨ni → ∞. §LNN khi Chóng t«i sÏ chØ ra r»ng nhiÒu tÝnh chÊt cña d·y vµ chuçi c¸c §LNN vÉn cßn ®óng ®èi víi d·y vµ chuçi nhiÒu chØ sè. MÆt kh¸c, cã mét sè tÝnh chÊt kh«ng cßn ®óng n÷a. C¸c phÐp chøng minh c¸c tÝnh chÊt còng cã sù thay ®æi nhÊt Nd (d > 1) kh«ng ph¶i lµ quan hÖ thø tù tuyÕn tÝnh. ®Þnh, do quan hÖ thø tù trªn §Ó lµm c¬ së, tríc hÕt chóng ta cÇn nghiªn cøu vÒ sù héi tô cña d·y sè vµ chuçi sè d - chØ sè. Sù héi tô cña d·y sè vµ chuçi sè d - chØ sè 2. {x(n), n ∈ Nd } lµ d·y sè d - chØ sè. {x(n), n ∈ Nd } §Þnh nghÜa 2.1. Gi¶ sö Ta nãi d·y x∈R ∨ni → ∞ ∧ni → ∞), ε > 0, héi tô tíi khi (t¬ng øng khi nÕu víi mäi tån d ) sao cho víi mäi Nd mµ n0 ∈ N n0 ∈ n = (n1 , n 2 , . . . , n d ) ∈ t¹i (t¬ng øng tån t¹i N ∨ni ≥ n0 n ≥ n0 ) |x(n) − x| < ε. lim x(n) = x (t¬ng øng th× Ký hiÖu (t¬ng øng ∨ni →∞ lim x(n) = x). ∧ni →∞ {x(n), n ∈ Nd } lµ d·y sè d - chØ sè. {x(n), n ∈ Nd } §Þnh nghÜa 2.2. Gi¶ sö Ta nãi d·y x∈R |n| → ∞, n0 ∈ N ε > 0, héi tô tíi khi nÕu víi mäi tån t¹i sao cho víi mäi Nd mµ n = (n1 , n2 , . . . , nd ) ∈ |n| ≥ n0 |x(n) − x| < ε. Ký hiÖu lim x(n) = x. th× |n|→∞ n ≥ n0 |n| ≥ |n0 | vµ ∨ni → ∞ khi vµ chØ khi NhËn xÐt: DÔ nhËn thÊy r»ng nÕu th× |n| → ∞. Do ®ã, gi÷a hai ®Þnh nghÜa trªn cã mèi quan hÖ sau: lim x(n) = x ⇔ lim x(n) = x ⇒ lim x(n) = x. ∨ni →∞ ∧ni →∞ |n|→∞ {x(n), n ∈ Nd } d x(n) (1) §Þnh nghÜa 2.3. Gi¶ sö lµ d·y sè - chØ sè. Khi ®ã n∈Nd d - chØ sè. ®îc gäi lµ chuçi sè S (n) = m n x(m) , S (n) n §Æt ®îc gäi lµ tæng riªng thø cña chuçi (1). Ta nãi Nd } héi tô khi ∨ni → ∞ {S (n), n ∈ ∨ni → ∞ S= chuçi (1) héi tô khi nÕu d·y vµ lim S (n) = x(n) ®îc gäi lµ tæng cña chuçi (1) n∈Nd ∨ni →∞ r(n) = S − S (n) = x(m) m:m n n cña chuçi (1). ®îc gäi lµ phÇn d thø lim r(n) = 0. Râ rµng, nÕu chuçi (1) héi tô th× ∨ni →∞ Tõ c¸c ®Þnh nghÜa trªn, ta dÔ dµng chøng minh ®îc c¸c ®Þnh lý sau.
{x(n), n ∈ Nd } vµ {y (n), n ∈ Nd } lµ c¸c d·y sè d - chØ sè. §Þnh lý 2.4. Gi¶ sö x(n) → x vµ y (n) → y khi ∨ni → ∞ (∧ni → ∞) th× tæng x(n) + y (n) → x + y khi (i) NÕu ∨ni → ∞ (∧ni → ∞). x(n) → x khi ∨ni → ∞ (∧ni → ∞) th× |x(n)| → |x| khi ∨ni → ∞ (∧ni → ∞). (ii) NÕu x(n) → x ∨ni → ∞ (∧ni → ∞) λx(n) → λx ∨ni → ∞ (∧ni → ∞) (iii) NÕu khi th× khi λ ∈ C. víi x ∈ R, y∈R x(n) y (n) §Þnh lý 2.5. Gi¶ sö héi tô ®Õn héi tô ®Õn khi n∈Nd n∈Nd ∨ni → ∞. Khi ®ã ∨ni → ∞. n∈Nd (x(n) + y (n)) héi tô ®Õn x + y (i) Chuçi khi λx(n), λ ∈ C héi tô ®Õn λx khi ∨ni → ∞. (ii) Chuçi n∈Nd {x(n), n ∈ Nd } lµ d·y sè d - chØ sè. {x(n), n ∈ Nd } §Þnh nghÜa 2.6. Gi¶ sö Ta nãi d·y M , víi mäi n ∈ Nd . M > 0 sao cho |x(n)| bÞ chÆn, nÕu tån t¹i sè §Þnh lý sau ®©y cã thÓ ®îc chøng minh hoµn toµn t¬ng tù nh trêng hîp d·y mét chØ sè. {x(n), n ∈ Nd } lµ d·y sè d - chØ sè. {x(n), n ∈ Nd } héi tô §Þnh lý 2.7. Gi¶ sö NÕu d·y x ∈ R khi ∨ni → ∞ th× {x(n), n ∈ Nd } bÞ chÆn. tíi {x(n), n ∈ Nd } {x(n), n ∈ Nd } x∈R ∧ni → ∞ NhËn xÐt: NÕu d·y héi tô tíi khi th× cha ch¾c ®· bÞ chÆn. {x(m, n)}, víi Ch¼ng h¹n xÐt d·y sè hai chØ sè m, n=1 nÕu x(m, n) = 0, nÕu n = 1. x(m, n) → 0, khi m ∧ n → ∞ nhng d·y ®ã kh«ng bÞ chÆn. Khi ®ã râ rµng d - chØ sè bÞ chÆn th× T¬ng tù nh trêng hîp d·y mét chØ sè, nãi chung mét d·y sè cha ch¾c ®· héi tô. Tuy nhiªn, ta cã ®Þnh lý sau: {x(n), n ∈ Nd } {x(n), n ∈ Nd } §Þnh lý 2.8. Gi¶ sö lµ d·y sè bÞ chÆn. Khi ®ã nÕu d·y x(n) ≥ x(m) (x(n) ∨ni ≥ ∨mi , x(m)) ®¬n ®iÖu t¨ng (gi¶m) theo nghÜa khi th× Nd } héi tô khi {x(n), n ∈ ∨ni → ∞ vµ lim x(n) = lim x(i) (i ∈ I d ). ∨ni →∞ i→∞ {x(n), n ∈ Nd } {x(i), i ∈ I d } Chøng minh. Gi¶ sö ®¬n ®iÖu t¨ng. Gäi lµ d·y con cña Nd }. Do Nd } lµ d·y ®¬n ®iÖu t¨ng vµ bÞ chÆn nªn {x(i), i ∈ I d } x(n), n ∈ {x(n), n ∈ d·y
x nµo ®ã khi i → ∞. Ta chøng lµ d·y mét chØ sè ®¬n ®iÖu t¨ng vµ bÞ chÆn nªn héi tô vÒ Nd } héi tô vÒ {x(n), n ∈ x khi ∨ni → ∞. minh x − x(i) < ε (i ∈ I d ) víi mäi i ≥ n0 . ε > 0, tån t¹i n0 ∈ N 0 ThËt vËy, víi mäi sao cho x(k ), (n0 , k ∈ I d ). Do ®ã n mµ ∨ni = k > n0 , ta cã x(n0 ) x(n) Khi ®ã, víi mäi x − x(k ) x − x(n) x − x(n0 ) < ε. 0 Tõ ®ã suy ra lim x(n) = x = lim x(i) (i ∈ I d ). ∨ni →∞ i→∞ {x(n), n ∈ Nd } ®¬n ®iÖu gi¶m th× {−x(n), n ∈ Nd } ®¬n ®iÖu t¨ng. Sö dông kÕt qu¶ NÕu võa chøng minh vµ ®Þnh lý 2.4 ta ®îc ®iÒu ph¶i chøng minh. {x(n), n ∈ Nd } ∨ni → ∞, §Þnh nghÜa 2.9. D·y sè ®îc gäi lµ d·y Cauchy khi nÕu Nd mµ no ∈ N m, n ∈ ∨mi ≥ n0 , ∨ni ≥ n0 ε > 0, víi mäi tån t¹i sao cho víi mäi th× |x(m) − x(n)| < ε. {x(n), n ∈ Nd } héi tô ®Õn x ∈ R, khi ∨ni → ∞, ®iÒu kiÖn cÇn §Þnh lý 2.10. §Ó d·y sè {x(n), n ∈ Nd } lµ d·y Cauchy. vµ ®ñ lµ {x(n), n ∈ Nd } x∈R Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn: Gi¶ sö héi tô tíi phÇn tö khi Nd mµ ∨ni → ∞, n0 ∈ N n∈ ∨ni ≥ n0 ε > 0, víi mäi tån t¹i sao cho víi mäi th× ε Nd mµ |x(n) − x| < m, n ∈ ∨mi ≥ n0 , ∨ni ≥ n0 , ta cã |x(m) − x(n)| = 2 . Khi ®ã víi mäi ε ε |(x(m) − x) − (x(n) − x)| |x(m) − x| + |x(n) − x| < + = ε. 2 2 I d } lµ d·y con cña d·y sè {x(n), n ∈ Nd }. {x(i), i ∈ §iÒu kiÖn ®ñ: Gäi Khi ®ã d·y sè I d } xem nh lµ d·y Cauchy mét chØ sè nªn I d } héi tô vÒ {x(i), i ∈ {x(i), i ∈ x∈R Nd } lµ d·y Cauchy, suy ra r»ng i → ∞. {x(n), n ∈ nµo ®ã, khi KÕt hîp víi gi¶ thiÕt n ∈ Nd , i ∈ I d n0 ∈ N ∨ni ≥ n0 , i ≥ n0 ε > 0, víi mäi tån t¹i sao cho víi mäi mµ ta {x(n), n ∈ Nd } |x(n) − x| |x(n) − x(i)| + |x(i) − x| < ε. x∈R cã VËy héi tô tíi khi ∨ni → ∞. Sù héi tô cña d·y vµ chuçi d - chØ sè 3. c¸c ®¹i lîng ngÉu nhiªn {X (n), n ∈ Nd } lµ d·y d - chØ sè c¸c §LNN x¸c ®Þnh trªn kh«ng gian x¸c suÊt Gi¶ sö (Ω, F , P), ®¬n gi¶n ta viÕt {X (n)} lµ d·y §LNN. {X (n), n ∈ Nd } cã chØ sè thuéc tËp I d , ®îc ký hiÖu lµ {X (i), i ∈ I d }, D·y con cña d·y {X (i)}. hoÆc ®¬n gi¶n lµ
§Þnh nghÜa 3.1. Ta nãi {X (n)} ∨ni → ∞, X ε > 0, (i) D·y héi tô theo x¸c suÊt tíi §LNN khi nÕu víi mäi ta P lim P(|X (n) − X | > ε) = 0, ký hiÖu X (n) −→ X , khi ∨ni → ∞. cã ∨ni →∞ {X (n)} ∨ni → ∞ X (ii) D·y héi tô hÇu ch¾c ch¾n (h.c.c) tíi §LNN khi nÕu tån t¹i X (n)(ω ) → X (ω ), ∨ni → ∞ ω ∈ A. A 0 / tËp cã x¸c suÊt sao cho khi víi mäi Ký hiÖu h.c.c X (n) −→ X, khi ∨ni → ∞. {X (n)} héi p (0 < p < ∞) tíi §LNN X khi ∨ni → ∞, (iii) D·y tô theo trung b×nh cÊp Lp X |p lim E |X (n) − = 0. Ký hiÖu X (n) → X, khi ∨ni → ∞. nÕu ∨ni →∞ {A(n)} lµ d·y d - chØ sè c¸c biÕn cè. Khi ®ã Bæ ®Ò 3.2. Gi¶ sö {A(n)} lµ d·y t¨ng theo nghÜa A(m) ⊂ A(n) khi ∨mi ∨ni th× P( A(n)) = (i) NÕu n∈Nd lim P(A(n)). ∨ni →∞ (ii) NÕu {A(n)} lµ d·y gi¶m theo nghÜa A(m) ⊃ A(n) khi ∨mi ∨ni th× P( A(n)) = n∈Nd lim P(A(n)). ∨ni →∞ {A(n)} {A(n)} Chøng minh. (i) Gi¶ sö lµ d·y c¸c biÕn cè t¨ng. Gäi d·y con cña d·y d {A(i)}. {A(i)} cã tËp chØ sè thuéc tËp I lµ Khi ®ã ta xem nh lµ d·y biÕn cè mét chØ {A(i)} lµ d·y t¨ng, nªn ta cã P( A(i)) = lim P(A(i)). sè vµ i∈I d i→∞ n∈Nd A(n) = i∈I d A(i). Ta chøng minh A(n) ⊃ A(i) HiÓn nhiªn (1). Ta chøng minh ®iÒu ngîc l¹i. Gi¶ sö n∈Nd i∈I d n0 = (n01 , n02 , . . . , n0d ) ∈ Nd ω∈ ω ∈ A(n0 ). A(n), khi ®ã tån t¹i sao cho Chän n∈Nd I d víi i0 = (m0 , m0 , . . . , m0 ) ∈ ∨n0i ∨mo = m0 , m0 = max n0i . Khi ®ã râ rµng 1id A(n0 ) ⊂ A(i0 ), ω ∈ A(i0 ), ω∈ A(n) ⊂ A(i). nªn suy ra nªn Tõ ®ã ta cã n∈Nd i∈I d A(i) (2). i∈I d A(n) = A(i). Do ®ã P( A(n)) = lim P(A(i)). Tõ (1) vµ (2) suy ra n∈Nd n∈Nd i∈I d i→∞ {P(A(n))} Tõ gi¶ thiÕt suy ra lµ d·y sè t¨ng; ¸p dông ®Þnh lý 2.8 ta ®îc lim P(A(n)) = lim P(A(i)) = P( A(n)). ∨ni →∞ i→∞ n∈Nd (ii) Chøng minh t¬ng tù. d- chØ sè cña bæ ®Ò Borel-Cantelli Bæ ®Ò sau ®©y lµ d¹ng
{A(n), n ∈ Nd } lµ d·y d - chØ sè c¸c biÕn cè. Bæ ®Ò 3.3. Gi¶ sö P(A(n)) < ∞ th× P( lim sup A(n)) = 0. (i) NÕu n∈Nd ∨ni →∞ n P(A(n)) = ∞ vµ {A(n), n ∈ Nd } ®éc lËp th× P( lim sup A(n)) = 1. (ii) NÕu n∈Nd ∨ni →∞ n lim sup A(n) = n A(m). Trong ®ã n∈Nd m ∨ni →∞ n B (1) = m 1 A(m), . . . , B (k ) = A(m), . . .. Khi ®ã Chøng minh. (i) §Æt mk {B (k ), k ∈ Nd } lµ d·y gi¶m, ¸p dông bæ ®Ò 3.2 ta cã P( lim sup A(n)) = lim P( A(n)) lim P(A(n)) = 0. nk nk ∨ni →∞ n k→∞ k→∞ ¯ {A(n), n ∈ Nd } ®éc lËp nªn {A(n), n ∈ Nd } còng ®éc lËp, ta cã (ii) Do ¯ ¯ P( A(n)) = P(A(n)) nk nk P − P(A(n)) e−P(A(n)) = e−∞ = 0, − P(A(n))) nk = n k (1 =e nk P( A(n)) = 1, tõ ®ã P( lim sup A(n)) = 1. suy ra nk ∨ni →∞ n Lp P h.c.c X (n) −→ X, X (n) −→ X , ∨ni → ∞ X (n) −→ X , §Þnh lý 3.4. NÕu hoÆc khi th× khi ∨ni → ∞. Lp X (n) −→ X, ∨ni → ∞, ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Markov ta Chøng minh. Gi¶ sö khi E |X (n) − X |p lim E |X (n) − X |p = 0, P(|X (n) − X | > ε) cã víi mäi ε > 0, 0 mµ εp ∨ni →∞ P nªn lim P(|X (n) − X | > ε) = 0. VËy X (n) −→ X , khi ∨ni → ∞. ∨ni →∞ h.c.c X (n) −→ X , khi ∨ni → ∞, tøc lµ Gi¶ sö P( lim |X (n) − X | = 0) = 1. ∨ni →∞ ε > 0, ®Æt víi mçi (|X (m) − X | ≥ ε). D(n)(ε) = m∈Nd :∨mi ≥∨ni D(n)c (ε) = m∈Nd :∨mi ≥∨ni (|X (m) − X | < ε). Khi ®ã Tõ ®ã, dÔ dµng kiÓm tra trùc tiÕp ®îc ∞ 1 D(n)c ( ). ( lim |X (n) − X | = 0) = k ∨ni →∞ k=1 n∈N d Tõ ®ã h.c.c X (n) −→ X khi ∨ ni → ∞ ⇔ P( lim |X (n) − X | = 0) = 1 ∨ni →∞
∞ 1 1 1 D(n)c ( )) = 1 ⇔ P( D(n)c ( )) = 1 ⇔ P( ⇔ P( D(n)( )) = 0. k k k k=1 n∈N d d d n∈N n∈N 1 d } lµ d·y gi¶m cho nªn Mµ d·y {D (n)( ), n ∈ N k 1 1 lim P(D(n)( )) = P( D(n)( )) = 0. k k ∨ni →∞ d n∈N 1 1 < ε. Suy ra D(n)(ε) ⊂ D(n)( k ). ε > 0, tån t¹i k Víi mäi ®Ó k 1 (|X (n) − X | > ε) ⊂ (|X (n) − X | ≥ ε) ⊂ D(n)(ε) ⊂ D(n)( k ). Nªn 1 P(|X (n)−X | > ε) P(D(n)( k )) → 0, khi ∨ni → ∞ suy ra lim P(|X (n)− Tõ ®ã ta cã 0 ∨ni →∞ P X | > ε) = 0. Hay X (n) −→ X , khi ∨ni → ∞. §Þnh lý sau ®©y cã thÓ ®îc chøng minh t¬ng tù nh trêng hîp d·y mét chØ sè P P lim P(X (n) = Y (n)) = 0 vµ X (n) −→ X , khi ∨ni → ∞ th× Y (n) −→ §Þnh lý 3.5. NÕu ∨ni →∞ X , khi ∨ni → ∞. B»ng c¸ch sö dông ®Þnh lý 3.4 vµ kü thuËt nh trong trêng hîp d·y mét chØ sè, ta cã ®Þnh lý sau: h.c.c X (n) −→ X , khi ∨ni → ∞ khi vµ chØ khi víi mäi ε > 0, ta cã §Þnh lý 3.6. |X (m) − X | ≥ ε) = 0. lim P( sup ∨ni →∞ {m:∨mi ≥∨ni } HÖ qu¶ 3.7. NÕu chuçi P(|X (n) − X | > ε) n∈Nd h.c.c ∨ni → ∞, víi mäi ε > 0 tuú ý, th× X (n) −→ X, khi ∨ni → ∞. héi tô khi ε > 0, ta cã Chøng minh. Víi mäi |X (m)−X | > ε) = P( |X (m)−X | > ε) P(|X (m)−X | > ε). P( sup {m:∨mi ≥∨ni } m,∨mi ∨ni m,∨mi ≥∨ni ∨mi ∨ni , th× m n, do ®ã Chó ý r»ng nÕu P(|X (m) − X | > ε) P(|X (m) − X | > ε) = r(n) → 0 m,∨mi ∨ni m:m n ∨ni → ∞. Tõ ®ã suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. khi C¸c mÖnh ®Ò sau ®©y cã thÓ ®îc chøng minh t¬ng tù nh trêng hîp d·y mét chØ sè
h.c.c h.c.c h.c.c X (n) −→ X, Y (n) −→ Y, ∨ni → ∞ X (n) + Y (n) −→ MÖnh ®Ò 3.8. NÕu khi th× tæng X + Y, khi ∨ni → ∞. E |X (n)|p < {X (n)} lµ d·y d - chØ sè c¸c §LNN. Khi ®ã, nÕu MÖnh ®Ò 3.9. Gi¶ sö n∈Nd Lp h.c.c ∞ víi p > 0 (*), th× X (n) −→ 0, vµ X (n) −→ 0, khi ∨ni → ∞. {X (n)}, n ∈ Nd d §Þnh nghÜa 3.10. Gi¶ sö lµ d·y - chØ sè c¸c §LNN cïng x¸c ®Þnh (Ω, F , P). Ta nãi trªn kh«ng gian x¸c suÊt {X (n)} lµ d·y Cauchy hÇu ch¾c ch¾n nÕu (i) |X (m) − X (n)| = 0) = 1. P( lim ∨mi →∞,∨ni →∞ {X (n)} lµ d·y Cauchy theo x¸c suÊt nÕu (ii) ∀ε > 0 : P(|X (m) − X (n)| ≥ ε) = 0. lim ∨mi →∞,∨ni →∞ {X (n)} lµ d·y Cauchy theo trung b×nh cÊp p (0 < p < ∞), nÕu (iii) E |X (m) − X (n)|p = 0. lim ∨mi →∞,∨ni →∞ {X (n)} lµ §Þnh lý 3.11. D·y d·y Cauchy hÇu ch¾c ch¾n khi vµ chØ khi nã tho¶ m·n ε > 0: mét trong hai ®iÒu kiÖn sau víi mäi |X (k ) − X (l)| ≥ ε) = 0. lim P( sup (i) ∨ni →∞ {k,l:∨ki ,∨li ≥∨ni } |X (k ) − X (n)| ≥ ε) = 0. lim P( sup (ii) ∨ni →∞ {k:∨ki ≥∨ni } Chøng minh. T¬ng tù trêng hîp mét chiÒu, dÔ thÊy hai ®iÒu kiÖn trªn t¬ng ®¬ng. Do ®ã ta chØ cÇn chøng minh (i). {X (n)} lµ d·y Cauchy h.c.c. §iÒu kiÖn cÇn: Gi¶ sö §Æt (|X (k ) − X (l)| ≥ ε) ∆(n)(ε) = k,l,∨ki :∨li ≥∨ni ⊂( |X (k ) − X (l)| ≥ ε). sup {k,l:∨ki ,∨li ≥∨ni } {∆(n)} lµ d·y gi¶m vµ Râ rµng ∞ 1 ∆(n)c ( |X (k ) − X (l)| = 0) = ( lim ). m ∨ki →∞,∨li →∞ m=1 n∈Nd Do ®ã ∞ 1 ∆(n)c ( {X (n)}lµ d·y Cauchy h.c.c ⇔ P( )) = 1 m m=1 n∈Nd
1 1 1 ∆(n)c ( ⇔ P( )) = 1 ⇔ P( )) = 0 ⇔ lim P(∆(n)( )) = 0. ∆(n)( m m m ∨ni →∞ n∈Nd n∈Nd 1 1 {∆(n)( m )} lµ d·y gi¶m). Víi mäi ε > 0, tån t¹i m ∈ N ®Ó < ε. Khi ®ã (Do m 1 1 |X (k ) − X (l)| ≥ ε) ⊂ (|X (k ) − X (l)| ≥ ) ⊂ ∆(n)( ). ( sup m m {k,l:∨ki ,∨li ≥∨ni } k,l:∨ki ,∨li ≥∨ni 1 |X (k ) − X (l)| ≥ ε) P(∆(n)( m )) −→ 0 khi ∨ni → ∞. 0 P( sup Tõ ®ã {k,l:∨ki ,∨li ≥∨ni } VËy ta cã (i). {X (n)} tho¶ m·n (i), khi ®ã §iÒu kiÖn ®ñ: Gi¶ sö 1 1 1 |X (k )−X (l)| ≥ P( ∆(n)( )) = lim P(∆(n)( )) lim P( sup ) = 0, m m m ∨ni →∞ ∨ni →∞ {k,l:∨ki ,∨li ≥∨ni } n∈Nd ∈ N. víi mäi m Tõ ®ã suy ra ∞ 1 ∆(n)c ( m ∈ N. P( )) = 1, víi mäi m m=1 n∈Nd Do ®ã P( lim |X (k ) − X (l)| = 0) = 1 víi mäi k, l ∈ Nd ∨ ki , ∨li ≥ ∨ni . mµ ∨ni →∞ {X (n)} lµ d·y Cauchy h.c.c. VËy {X (n)}, n ∈ Nd } lµ d·y d - chØ sè c¸c §LNN. Khi ®ã §Þnh lý 3.12. Gi¶ sö X (n) héi tô theo x¸c suÊt khi vµ chØ khi nã lµ d·y Cauchy theo x¸c suÊt. (i) X (n) héi tô hÇu ch¾c ch¾n khi vµ chØ khi nã lµ d·y Cauchy hcc. (ii) Chøng minh. (i) §iÒu kiÖn cÇn lµ hiÓn nhiªn, ta chØ cÇn chøng minh ®iÒu kiÖn ®ñ. {X (n)} lµ d·y Cauchy theo x¸c suÊt, khi ®ã gäi d·y con cña d·y {X (n)} cã chØ Gi¶ sö Id {X (j )}. Ta xem {X (j )} nh lµ d·y §LNN mét chØ sè nªn {X (j )} lµ sè thuéc tËp lµ X d·y Cauchy theo x¸c suÊt. Do ®ã nã héi tô vÒ §LNN nµo ®ã. P X (n) −→ X , khi ∨ni → ∞. Ta chøng minh ε ε P(|X (k ) − X | > ε) P(|X (n) − X (j | > + P(|X (j ) − X | > −→ 0, 2) 2) Ta cã khi ∨ni , j → ∞. P X (n) −→ X , khi ∨ni → ∞. VËy Chøng minh (ii) sö dông trùc tiÕp ®Þnh nghÜa 3.10 vµ ®Þnh lý 3.11.
{X (n)}, n ∈ Nd d EX (n) = 0 §Þnh lý 3.13. Gi¶ sö lµ d·y - chØ sè c¸c §LNN ®éc lËp, Nd . Khi ®ã, nÕu n∈ DX (n) héi tô khi ∨ni → ∞ th× X (n) héi tô víi mäi n∈Nd n∈Nd ∨ni → ∞. h.c.c khi ε > 0 ta cã Chøng minh. Víi mäi 1 1 |S (k ) − S (n)| > ε) DX (k ) = r(n) → 0 0 P( sup DX (k ) ε2 ε2 {k:∨ki ≥∨ni } k:∨ki ≥∨ni k :k n ∨ni → ∞. Do ®ã khi |S (k ) − S (n)| > ε) = 0 lim P( sup ∨ni →∞ {k:∨ki ≥∨ni } ε > 0. Suy ra {S (n)} lµ d·y Cauchy h.c.c vµ do ®ã héi tô h.c.c khi ∨ni → ∞. víi mäi X (n) héi tô h.c.c khi ∨ni → ∞. VËy chuçi n∈Nd {X (n)} lµ d·y d - chØ sè c¸c §LNN, ®éc lËp. Khi ®ã nÕu DX (n) HÖ qu¶ 3.14. Gi¶ sö n∈Nd ∨ni → ∞ th× − EX (n)) héi tô h.c.c khi ∨ni → ∞. n∈Nd (X (n) héi tô khi {X (n), n ∈ Nd } lµ d·y d - chØ sè c¸c §LNN ®éc lËp. Víi mçi c > 0 §Þnh lý 3.15. Gi¶ sö ®Æt X c (n) = X (n)I(|X (n)| c). Khi ®ã nÕu ba chuçi E (X c (n), D(X c (n)) héi tô khi ∨ni → ∞ P(|X (n)| > c), (i) (ii) (iii) n∈Nd n∈Nd n∈Nd X (n) héi tô h.c.c khi ∨ni → ∞. th× n∈Nd X c (n) ∨ni → ∞. Chøng minh. Tõ (ii) vµ (iii) suy ra héi tô h.c.c khi n∈Nd X c (n)) P(|X (n)| > c) héi tô khi ∨ni → ∞, nªn tõ P(X (n) = = MÆt kh¸c n∈Nd n∈Nd X c (n) X (n) bæ ®Ò 3.3 suy ra víi x¸c suÊt 1 hai chuçi vµ chØ cã mét sè n∈Nd n∈Nd c ∨ni → ∞ khi vµ n∈Nd X (n) héi tô h.c.c khi h÷u h¹n c¸c sè h¹ng kh¸c nhau. Do ®ã X (n) héi tô h.c.c khi ∨ni → ∞. Tõ ®ã suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. chØ khi n∈Nd NhËn xÐt: XÐt d·y 2 chØ sè cho bëi: (−1)j i nÕu i ≥ 1, j 2, X (i, j ) = 0 nÕu ngîc l¹i. n ≥ 2 th× Khi ®ã víi X (i, j ) = (−1)1 .1 + (−1)1 .2+ S (m, n) = X (i, j ) = i mj n i mj 2
... + (−1)1 .m + (−1)2 .1 + (−1)2 .2 + ... + (−1)2 .m = 0. S (m, n) héi tô h.c.c tíi 0 khi m ∧ n → ∞. Nhng chuçi VËy P(|X (i, j )| ≥ c) (∗) i≥1 j ≥1 0 |n|) → 0 khi ∨ ni → ∞, (i) in 1 EX (ni) → 0 khi ∨ ni → ∞, (ii) |n| in 1 DX (ni) → 0 khi ∨ ni → ∞ (iii) |n|2 in 1 0 khi ∨ni → ∞. i n X (i) héi tô theo x¸c suÊt tíi th× |n| Chó ý r»ng mÖnh ®Ò 3.17 lµ d¹ng nhiÒu chiÒu cña luËt yÕu sè lín kinh ®iÓn quen biÕt (xem [7] trang 278).
Tµi liÖu tham kh¶o [1] NguyÔn Quèc Th¾ng (2005), LuËn v¨n th¹c sÜ To¸n häc, §¹i häc Vinh. [2] NguyÔn Duy TiÕn, Vò ViÖt Yªn (2001), Lý thuyÕt x¸c suÊt, Lý thuyÕt x¸c suÊt [3] I. Fazekas, T. Tomacs (1998), Strong laws of large numbers for pairwise inde- pendent random variables with multidimentional indices, Publ. Math. Debreen 53/ 1-2, 149-151. [4] D. H. Hong, S. H. Sung and A. I. Volodin, (2001), On the weak law for randomly indexed partial sums for arrays, Commun. Korean Math. Soc., 16 No. 2, 291-296. [5] D. H. Hong, M. Ordonez Cabrera, S.H. Sung and A. I. Volodin, (2000), On the weak law for randomly indexed partial sums for arrays of random elements in mar- tingale type p Banach spaces, Statist. and Probab. Lett. 46, 177-185. [6] O. Klesov (1994), Almost sure convergence of multiple series of independent ran- dom variables, Theory Probability and Its Applications, Vol 40. No 1, 52-61. [7] M. Loeve (1977), Probability Theory I, 4th ed., Springer-Verlag, New York. [8] A. Rosalsky and A. I. Volodin, (2004), On the weak limiting behavior of almost surely convergent row sums from infinite arrays of rowwise independent random ele- ments in Banach spaces, J. Theor. Probab., 17 , 2, 327-346. Summary ON A VERSION OF CONVERGENCE OF MULTI-INDEX SEQUENCES AND SERIES OF RANDOM VARIABLES N d be a positive integer Let denote the set of all positive integers, Nd = {n = (n1 , n2 , ..., nd ) : ni ∈ N, i = 1, 2, ..., d}. ∈ Nd } be a d -indices sequence of random variables. The aim of this paper and {X (n), n {X (n), n ∈ is to establish some elementary properties of convergence of the sequence Nd } and the series X (n) as max ni = ∨ni → ∞. n∈Nd 1id (a) Khoa to¸n, trêng ®¹i häc vinh (b) Cao häc 12 x¸c suÊt, trêng §¹i häc Vinh.