TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 59, 2010
ĐỊNH LÝ HOPKINS VỀ CĂN JACOBSON CHO CÁC NỬA
VÀNH CỘNG GIẢN ƯỚC
Nguyễn Xuân Tuyến, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế
Lê Hoàng Mai, Trường Đại học Đồng Tháp
Tóm tắt. Trong bài viết này chúng tôi tính một số kết quả liên quan đến
căn của nửa vành theo quan điểm của Bourne. Đặc biệt chúng tôi chứng minh
Định lý Hopkins về căn Jacobson trong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành
cộng giản ước.
1. Giới thiệu.
Căn của nửa vành tổng quát được Bourne định nghĩa vào năm 1950, sau
đó căn Bourne được Zassenhaus, Iizuka,... tiếp tục xem xét. Thời gian gần đây
được tiếp tục nghiên cứu bởi các tác giả H.M.AL-Thani, N.X. Tuyen và T.G.
Nam,.... Ngoài ra, căn của nửa vành theo quan điểm của Kurosh-Amitsur cũng
được nghiên cứu bởi U. Hebisch và H. J. Weinert. Trong bài viết này chúng
tôi dùng khái niệm căn Bourne tính toán trên các nửa vành cộng giản ước;
nửa vành lũy đẳng và thu được kết quả là các Mệnh đề 2.3; Mệnh đề 2.5 và
Mệnh đề 2.6. Đặc biệt, chúng tôi dùng căn Bourne của nửa vành để xem xét
lại một định lý quan trọng trong lý thuyết vành đó là Định lý Hopkins về căn
Jacobson, chúng tôi thu được kết quả Định lý Hopkins về căn Jacobson cho
các nửa vành cộng giản ước đó là Định lý 3.2.
Trong suốt bài viết này, chúng tôi quy ước tập Skhác rỗng cùng với hai
phép toán hai ngôi cộng và nhân được gọi là một nửa vành nếu thỏa mãn các
điều kiện sau: (i) (S, +) là một vị nhóm giao hoán với phần tử không là 0; (ii)
(S, .)là một nửa nhóm; (iii) Phép nhân phân phối hai phía đối với phép cộng.
Nếu phép nhân có tính chất giao hoán thì Sđược gọi là nửa vành giao hoán,
nếu nửa nhóm nhân có phần tử đơn vị thì Sđược gọi là nửa vành có đơn vị. Nửa
vành Sđược gọi là cộng (nhân) lũy đẳng nếu a+a=a(a.a =a),∀a∈S; nửa
vành Sđược gọi là lũy đẳng nếu Svừa là cộng lũy đẳng vừa là nhân lũy đẳng.
Nửa vành Sđược gọi là cộng giản ước nếu a+b=a+cthì b=c, ∀a, b, c ∈S.
Một tập con Ikhác rỗng của Sđược gọi là một ideal trái (phải) của Snếu
thoả mãn các điều kiện sau: (i) a+b∈Ivới mọi a, b ∈I; (ii) ra ∈I(ar ∈I)
với mọi a∈Ivà mọi r∈S.Iđược gọi là ideal của nửa vành Snếu Ivừa là
155
ideal trái vừa là ideal phải của nửa vành S. Ideal Icủa nửa vành Sđược gọi
là cô lập nếu thỏa mãn điều kiện: với a∈I, x ∈Snếu a+x∈Ithì x∈I.
Ideal Icủa nửa vành Sđược gọi là lũy linh nếu tồn tại số tự nhiên nsao cho
In={0}.
Giả sử Slà một nửa vành có đơn vị 1. Vị nhóm cộng giao hoán Mcùng
với ánh xạ: M×S→Msao cho (m, s)7→ ms được gọi là một nửa môđun
phải trên nửa vành cơ sở S(hay S−nửa môđun phải, kí hiệu: MS) nếu: với
mọi a, b ∈S;x, y ∈M, (i) x(a+b) = xa +xb; (ii) (x+y)a=xa +ya; (iii)
x(ab) = (xa)bvà x.1 = x. Tương tự, ta có S−nửa môđun trái SM.
Cho Slà một nửa vành có đơn vị và Mlà một S−nửa môđun trái (phải).
M được gọi là nửa môđun Artin (Noether) nếu tập các nửa môđun con của M
thỏa mãn điều kiện DCC (ACC, tương ứng). Nửa vành Sđược gọi là nửa vành
Artin (Noether) trái nếu Slà một S−nửa môđun trái và Slà Artin (Noether,
tương ứng). Tương tự, ta có khái niệm nửa vành Artin (Noether) phải.
2. Căn của nửa vành và các ví dụ.
Trước khi đi đến định nghĩa căn Jacobson phải của nửa vành Stheo Bourne
ta nhắc lại 2 khái niệm sau đây: phần tử rcủa nửa vành Sđược gọi là nửa
chính quy phải nếu tồn tại phần tử r0, r00 ∈Ssao cho
r+r0+rr0=r00 +rr00.
Điều kiện cần và đủ để phần tử r∈Snửa chính quy phải là với mọi phần tử
s∈Sluôn tồn tại phần tử s0, s00 ∈Ssao cho
s+s0+rs0=s00 +rs00.
Ideal phải Icủa nửa vành Sđược gọi là ideal nửa chính quy phải nếu với mọi
cặp phần tử i1, i2∈Iluôn tồn tại các phần tử j1, j2∈Isao cho
i1+j1+i1j1+i2j2=i2+j2+i1j2+i2j1.
Định nghĩa 2.1.[1] Căn Jacobson phải của nửa vành Slà tổng của tất cả các
ideal nửa chính quy phải của S.
Tương tự, ta có định nghĩa căn Jacobson trái của nửa vành S. Bourne cũng
đã chứng minh rằng căn Jacobson phải và trái là trùng nhau, và gọi chung là
căn Jacobson của S, kí hiệu R(S).
Sau đó, Bourne và Zassenhaus đã đưa ra khái niệm nửa căn của nửa vành
Svà xét quan hệ tương đương tuyến tính i1∼i2nếu và chỉ nếu phương trình
i1+x=i2+xgiải được trong Svới i1, i2∈S. Đặt
S∗=S/∼={i∗|i∈S}với i∗={j∈S|i∼j}.
156
Định nghĩa 2.2.[2] Nửa căn của nửa vành S, kí hiệu σ(S), là tập hợp tất cả
các phần tử icủa Ssao cho i∗thuộc vào căn Jacobson R(S∗)của S∗. Nửa căn
σ(S)chứa căn Jacobson R(S)của S. Iizuka và Nakahara chứng minh được
căn Jacobson và nửa căn của nửa vành Strùng nhau.
Sau đây ta xét một vài ví dụ về việc tính căn của các nửa vành cụ thể:
Ví dụ 1. Ta có R(N) = {0}với Nlà nửa vành các số tự nhiên với 2 phép
toán cộng và nhân thông thường. Thật vậy, gọi Ilà một ideal nửa chính quy
bất kỳ của N, với mọi x∈Ita xét cặp x, 0∈I, vì Ilà nửa chính quy nên tồn
tại j1, j2∈Isao cho
x+j1+xj1=j2+xj2.
Nếu j1> j2thì j1+xj1> j2+xj2suy ra x+j1+xj1> j2+xj2(vô lý). Nếu
j1< j2thì j1+ 1 ≤j2. Khi đó j2+xj2≥j2+x(j1+ 1) ≥j1+1+xj1+x >
x+j1+xj1(vô lý). Vậy j1=j2, thay vào x+j1+xj1=j2+xj2, do Ncộng
giản ước nên x= 0. Vậy, I={0}hay Nchỉ có duy nhất ideal nửa chính quy
đó là {0}. Do đó, R(N) = {0}.
Ví dụ 2. Tập hợp R3={0,1, a}cùng với hai phép toán được cho bởi bảng
sau:
+ 0 1 a
0 0 1 a
1 1 1 a
a a a a
×01a
0 0 0 0
1 0 1 a
a 0 a a
Ta dễ dàng kiểm chứng được R3là ideal nửa chính quy phải của chính nó,
nghĩa là R(R3) = R3.
Cho Ilà ideal nửa chính quy phải của nửa vành S. Khi đó, ∀i∈Ita dễ
dàng chứng minh được ilà phần tử nửa chính quy phải của S. Tuy nhiên, tập
hợp Jtất cả các phần tử nửa chính quy phải của Schưa chắc là ideal nửa
chính quy phải của S. Vậy, khi nào tập Jlà ideal nửa chính quy phải của S?
Mệnh đề 2.3. Cho Slà nửa vành giao hoán, lũy đẳng. Khi đó R(S) = J,
với Jlà tập hợp tất cả các phần tử nửa chính quy phải của S.
Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh Jlà ideal nửa chính quy phải
của S. Ta có 0∈J, vì 0là phần tử nửa chính quy phải. Với mọi j1, j2∈J, ta
có
(j1+j2)+(j1+j2)+(j1+j2)(j1+j2) = (j1+j2)+(j1+j2)(j1+j2)
vì thế j1+j2là phần tử nửa chính quy phải của Snên j1+j2∈J. Với mọi
j∈J, s ∈S, tồn tại s0, s00 ∈Ssao cho
j+s0+js0=s00 +js00
=⇒sj +ss0+sjs0=ss00 +sjs00
=⇒sj +ss0+ (sj)(ss0) = ss00 + (sj)(ss00)
157
hay sj là phần tử nửa chính quy phải của Snên sj ∈J. Với mọi j1, j2∈J, ta
có j1+j2= (j1+j2)(j1+j2), cho nên j1+j2+j1j1+j2j2=j1+j2+j1j2+j2j1,
suy ra Jlà ideal nửa chính quy phải của S. Vì Jlà ideal nửa chính quy phải
của Snên J⊆R(S). Mặt khác, vì R(S)cũng là một ideal nửa chính quy phải
của Snên mỗi phần tử của R(S)đều là phần tử nửa chính quy phải, do đó
R(S)⊆J. Vậy R(S) = J.
Iizuka đã sử dụng lý thuyết biểu diễn để đặc trưng căn của nửa vành. Một
S−nửa môđun phải giản ước M6={0}được gọi là bất khả quy nếu với mỗi
cặp cố định tùy ý u1, u2∈Mthỏa u16=u2và với bất kỳ x∈Mluôn tồn tại
a1, a2∈Ssao cho
x+u1a1+u2a2=u1a2+u2a1.
Khi đó, ta nói Mlà nửa môđun biểu diễn bất khả quy của nửa vành S. Kí hiệu
Ilà tập hợp tất cả các nửa môđun biểu diễn bất khả quy của một nửa vành
S.
Định lý 2.4.[5] Cho Slà một nửa vành có đơn vị. Khi đó
R(S) = \
M∈I
(0 : M)
trong đó (0 : M) = {b∈S|Mb ={0}}. Nếu I=∅thì R(S) = Svà Sđược
gọi là nửa vành căn.
Mệnh đề 2.5. Cho Slà nửa vành cộng lũy đẳng. Khi đó R(S) = Shay S
là nửa vành căn.
Chứng minh. Gọi M6={0}là một nửa môđun biểu diễn bất khả quy của
nửa vành S. Với m(6= 0) ∈M, ta chọn u1=m, u2= 0, x =m, khi đó luôn tồn
tại a1, a2∈Ssao cho
x+u1a1+u2a2=u1a2+u2a1
=⇒m+ma1=ma2
=⇒m+ma1+ma2=ma2+ma2=m(a2+a2) = ma2
=⇒m+ma1+ma2+ma1=ma1+ma2
=⇒m+m(a1+a2) = m(a1+a2)
Vì Mcộng giản ước nên m= 0 (vô lý). Vậy Skhông có các S−nửa môđun
biểu diễn bất khả quy, do đó R(S) = S.
Chú ý. Ta có thể chứng minh Mệnh đề 2.5 bằng cách sử dụng Định lý
4 trong [5]. Dễ dàng chứng minh được R3là nửa vành cộng lũy đẳng nên
R(R3) = R3.
Nhận xét. Như ta đã biết, căn của vành có đơn vị là giao của tất cả các
ideal trái (phải) tối đại. Do đó, nếu Slà một vành có đơn vị thì căn của S
158
là một ideal con thực sự của S, vì phần tử đơn vị không thuộc vào căn của
S. Tuy nhiên, trên nửa vành cộng lũy đẳng có đơn vị thì theo Mệnh đề 2.5 ta
luôn có R(S) = Svà đây có thể xem là một sự khác biệt giữa căn của vành
và căn của nửa vành.
Cho Rlà nửa vành (không có đơn vị). Khi đó dễ dàng kiểm chứng được
tập S=R×Ncùng với hai phép toán cộng (r, n)+(r0, n0)=(r+r0, n +n0)và
nhân (r, n)(r0, n0)=(nr0+n0r+rr0, nn0)với mọi (r, n),(r0, n0)∈S, là một nửa
vành có đơn vị với phần tử không 0S= (0,0) và phần tử đơn vị 1S= (0,1).
Nửa vành này được gọi là mở rộng Dorroh của Rnhờ N(xem [3]).
Mệnh đề 2.6. Cho Rlà một nửa vành (không có đơn vị) và Slà mở rộng
Dorroh của Rnhờ N. Khi đó R(R) = R(S).
Chứng minh. Ta thấy ánh xạ f:R→Ssao cho r7→ (r, 0) là một đơn
cấu nửa vành. Vì thế, mọi phần tử r∈Rta có thể đồng nhất với phần tử
(r, 0) ∈S. Khi đó, ta có Rlà một nửa vành con của Svà ta cũng chứng minh
được Rlà một ideal của S. Theo Định lý 2 trong [5], ta có R(R) = R(S)∩R,
vì thế để chứng minh R(S) = R(R), ta cần chứng minh R(S)⊆R. Ta
có ánh xạ p:S→S/R sao cho (r, n)7→ (r, n)là một toàn cấu nửa vành
nên suy ra p(R(S)) ⊆R(S/R). Mặt khác, xét ánh xạ θ:S/R →Nsao
cho (r, n)7→ n, ta dễ dàng chứng minh được θlà một đẳng cấu nửa vành
nên R(S/R) = R(N) = {0}. Vì thế p(R(S)) ⊆R(S/R) = {0}. Với mọi
x= (r, n)∈R(S),p(r, n) = (r, n) = (0,0) hay (r, n)+(r1,0) = (r2,0). Do đó,
n= 0 và x= (r, 0) ∈R. Vậy R(S)⊆R. Suy ra R(R) = R(S).
3. Định lý Hopkins về căn Jacobson cho các nửa vành cộng giản
ước
Ta có Định lý Hopkins về căn Jacobson trong vành Artin như sau: Cho S
là vành Artin trái. Khi đó, căn Jacobson R(S)vừa là ideal trái lũy linh lớn
nhất vừa là ideal phải lũy linh lớn nhất của S(xem [6]). Tuy nhiên, theo Mệnh
đề 2.5 thì R3là nửa vành cộng lũy đẳng nên R(R3) = R3. Mặt khác, R3là
hữu hạn nên R3là nửa vành Artin nhưng R(R3) = R3không lũy linh. Do đó,
Định lý Hopkins về căn Jacobson trong vành Artin không còn đúng trong nửa
vành Artin. Vậy, với điều kiện nào thì nửa vành có căn là lũy linh?
Để trả lời câu hỏi này, trước hết ta nhắc lại việc xây dựng vành sai phân e
S
như sau: Cho Slà một nửa vành. Khi đó nửa vành S∗=S/[≡]{0}là cộng giản
ước (trong đó [≡]{0}là tương đẳng Iizuka). Trong trường hợp nửa vành Slà
cộng giản ước thì S∗=S. Từ nửa vành S∗cộng giản ước ta xây dựng được
vành sai phân e
Schứa S∗như một nửa vành con. Cụ thể như sau:
Cho Slà nửa vành cộng giản ước (tức là S∗=S). Khi đó S×S={(x, y)|
x, y ∈S}cùng với 2 phép toán cộng (x, y)+(x0, y0) = (x+x0, y +y0)và nhân
(x, y)(x0, y0) = (xx0+yy0, xy0+x0y)là một nửa vành cộng giản ước với phần
tử không là (0,0). Xét tập ∆ = {(a, a)|a∈S}, ta dễ dàng chứng minh được
159