Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Định lý Hopkins về căn Jacobson cho các nữa vành cộng giản ước"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Nguyễn Phương Hà Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

90
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu của trường đại học Huế đề tài: Định lý Hopkins về căn Jacobson cho các nữa vành cộng giản ước...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Định lý Hopkins về căn Jacobson cho các nữa vành cộng giản ước"

T P CHÍ KHOA H C, Đ i h c Hu , S 59, 2010 Đ NH LÝ HOPKINS V CĂN JACOBSON CHO CÁC N A VÀNH C NG GI N Ư C Nguy n Xuân Tuy n, Trư ng Đ i h c Sư ph m, Đ i h c Hu Lê Hoàng Mai, Trư ng Đ i h c Đ ng Tháp Tóm t t. Trong bài vi t này chúng tôi tính m t s k t qu liên quan đ n căn c a n a vành theo quan đi m c a Bourne. Đ c bi t chúng tôi ch ng minh Đ nh lý Hopkins v căn Jacobson trong lý thuy t vành cho trư ng h p n a vành c ng gi n ư c. 1. Gi i thi u. Căn c a n a vành t ng quát đư c Bourne đ nh nghĩa vào năm 1950, sau đó căn Bourne đư c Zassenhaus, Iizuka,... ti p t c xem xét. Th i gian g n đây đư c ti p t c nghiên c u b i các tác gi H.M.AL-Thani, N.X. Tuyen và T.G. Nam,.... Ngoài ra, căn c a n a vành theo quan đi m c a Kurosh-Amitsur cũng đư c nghiên c u b i U. Hebisch và H. J. Weinert. Trong bài vi t này chúng tôi dùng khái ni m căn Bourne tính toán trên các n a vành c ng gi n ư c; n a vành lũy đ ng và thu đư c k t qu là các M nh đ 2.3; M nh đ 2.5 và M nh đ 2.6. Đ c bi t, chúng tôi dùng căn Bourne c a n a vành đ xem xét l i m t đ nh lý quan tr ng trong lý thuy t vành đó là Đ nh lý Hopkins v căn Jacobson, chúng tôi thu đư c k t qu Đ nh lý Hopkins v căn Jacobson cho các n a vành c ng gi n ư c đó là Đ nh lý 3.2. Trong su t bài vi t này, chúng tôi quy ư c t p S khác r ng cùng v i hai phép toán hai ngôi c ng và nhân đư c g i là m t n a vành n u th a mãn các đi u ki n sau: (i) (S, +) là m t v nhóm giao hoán v i ph n t không là 0; (ii) (S, .) là m t n a nhóm; (iii) Phép nhân phân ph i hai phía đ i v i phép c ng. N u phép nhân có tính ch t giao hoán thì S đư c g i là n a vành giao hoán, n u n a nhóm nhân có ph n t đơn v thì S đư c g i là n a vành có đơn v . N a vành S đư c g i là c ng (nhân) lũy đ ng n u a + a = a(a.a = a), ∀a ∈ S ; n a vành S đư c g i là lũy đ ng n u S v a là c ng lũy đ ng v a là nhân lũy đ ng. N a vành S đư c g i là c ng gi n ư c n u a + b = a + c thì b = c, ∀a, b, c ∈ S . M t t p con I khác r ng c a S đư c g i là m t ideal trái (ph i) c a S n u tho mãn các đi u ki n sau: (i) a + b ∈ I v i m i a, b ∈ I ; (ii) ra ∈ I (ar ∈ I ) v i m i a ∈ I và m i r ∈ S . I đư c g i là ideal c a n a vành S n u I v a là 155
ideal trái v a là ideal ph i c a n a vành S . Ideal I c a n a vành S đư c g i là cô l p n u th a mãn đi u ki n: v i a ∈ I, x ∈ S n u a + x ∈ I thì x ∈ I . Ideal I c a n a vành S đư c g i là lũy linh n u t n t i s t nhiên n sao cho I n = {0}. Gi s S là m t n a vành có đơn v 1. V nhóm c ng giao hoán M cùng v i ánh x : M × S → M sao cho (m, s) → ms đư c g i là m t n a môđun ph i trên n a vành cơ s S (hay S −n a môđun ph i, kí hi u: MS ) n u: v i m i a, b ∈ S ; x, y ∈ M , (i) x(a + b) = xa + xb; (ii) (x + y )a = xa + ya; (iii) x(ab) = (xa)b và x.1 = x. Tương t , ta có S −n a môđun trái S M . Cho S là m t n a vành có đơn v và M là m t S −n a môđun trái (ph i). M đư c g i là n a môđun Artin (Noether) n u t p các n a môđun con c a M th a mãn đi u ki n DCC (ACC, tương ng). N a vành S đư c g i là n a vành Artin (Noether) trái n u S là m t S −n a môđun trái và S là Artin (Noether, tương ng). Tương t , ta có khái ni m n a vành Artin (Noether) ph i. 2. Căn c a n a vành và các ví d . Trư c khi đi đ n đ nh nghĩa căn Jacobson ph i c a n a vành S theo Bourne ta nh c l i 2 khái ni m sau đây: ph n t r c a n a vành S đư c g i là n a chính quy ph i n u t n t i ph n t r , r ∈ S sao cho r + r + rr = r + rr . Đi u ki n c n và đ đ ph n t r ∈ S n a chính quy ph i là v i m i ph n t s ∈ S luôn t n t i ph n t s , s ∈ S sao cho s + s + rs = s + rs . Ideal ph i I c a n a vành S đư c g i là ideal n a chính quy ph i n u v i m i c p ph n t i1 , i2 ∈ I luôn t n t i các ph n t j1 , j2 ∈ I sao cho i1 + j1 + i1 j1 + i2 j2 = i2 + j2 + i1 j2 + i2 j1 . Đ nh nghĩa 2.1.[1] Căn Jacobson ph i c a n a vành S là t ng c a t t c các ideal n a chính quy ph i c a S . Tương t , ta có đ nh nghĩa căn Jacobson trái c a n a vành S . Bourne cũng đã ch ng minh r ng căn Jacobson ph i và trái là trùng nhau, và g i chung là căn Jacobson c a S , kí hi u R(S ). Sau đó, Bourne và Zassenhaus đã đưa ra khái ni m n a căn c a n a vành S và xét quan h tương đương tuy n tính i1 ∼ i2 n u và ch n u phương trình i1 + x = i2 + x gi i đư c trong S v i i1 , i2 ∈ S . Đ t S ∗ = S/∼ = {i∗ | i ∈ S } v i i∗ = {j ∈ S | i ∼ j }. 156
Đ nh nghĩa 2.2.[2] N a căn c a n a vành S , kí hi u σ (S ), là t p h p t t c các ph n t i c a S sao cho i∗ thu c vào căn Jacobson R(S ∗ ) c a S ∗ . N a căn σ (S ) ch a căn Jacobson R(S ) c a S . Iizuka và Nakahara ch ng minh đư c căn Jacobson và n a căn c a n a vành S trùng nhau. Sau đây ta xét m t vài ví d v vi c tính căn c a các n a vành c th : Ví d 1. Ta có R(N) = {0} v i N là n a vành các s t nhiên v i 2 phép toán c ng và nhân thông thư ng. Th t v y, g i I là m t ideal n a chính quy b t kỳ c a N, v i m i x ∈ I ta xét c p x, 0 ∈ I , vì I là n a chính quy nên t n t i j1 , j2 ∈ I sao cho x + j1 + xj1 = j2 + xj2 . N u j1 > j2 thì j1 + xj1 > j2 + xj2 suy ra x + j1 + xj1 > j2 + xj2 (vô lý). N u j1 < j2 thì j1 + 1 ≤ j2 . Khi đó j2 + xj2 ≥ j2 + x(j1 + 1) ≥ j1 + 1 + xj1 + x > x + j1 + xj1 (vô lý). V y j1 = j2 , thay vào x + j1 + xj1 = j2 + xj2 , do N c ng gi n ư c nên x = 0. V y, I = {0} hay N ch có duy nh t ideal n a chính quy đó là {0}. Do đó, R(N) = {0}. Ví d 2. T p h p R3 = {0, 1, a} cùng v i hai phép toán đư c cho b i b ng sau: ×01a +01a 001a 0000 111a 101a aaaa a0aa Ta d dàng ki m ch ng đư c R3 là ideal n a chính quy ph i c a chính nó, nghĩa là R(R3 ) = R3 . Cho I là ideal n a chính quy ph i c a n a vành S . Khi đó, ∀i ∈ I ta d dàng ch ng minh đư c i là ph n t n a chính quy ph i c a S . Tuy nhiên, t p h p J t t c các ph n t n a chính quy ph i c a S chưa ch c là ideal n a chính quy ph i c a S . V y, khi nào t p J là ideal n a chính quy ph i c a S ? M nh đ 2.3. Cho S là n a vành giao hoán, lũy đ ng. Khi đó R(S ) = J , v i J là t p h p t t c các ph n t n a chính quy ph i c a S . Ch ng minh. Trư c tiên ta ch ng minh J là ideal n a chính quy ph i c a S . Ta có 0 ∈ J , vì 0 là ph n t n a chính quy ph i. V i m i j1 , j2 ∈ J , ta có (j1 + j2 ) + (j1 + j2 ) + (j1 + j2 )(j1 + j2 ) = (j1 + j2 ) + (j1 + j2 )(j1 + j2 ) vì th j1 + j2 là ph n t n a chính quy ph i c a S nên j1 + j2 ∈ J . V i m i j ∈ J, s ∈ S , t n t i s , s ∈ S sao cho j + s + js = s + js =⇒ sj + ss + sjs = ss + sjs =⇒ sj + ss + (sj )(ss ) = ss + (sj )(ss ) 157
hay sj là ph n t n a chính quy ph i c a S nên sj ∈ J . V i m i j1 , j2 ∈ J , ta có j1 + j2 = (j1 + j2 )(j1 + j2 ), cho nên j1 + j2 + j1 j1 + j2 j2 = j1 + j2 + j1 j2 + j2 j1 , suy ra J là ideal n a chính quy ph i c a S . Vì J là ideal n a chính quy ph i c a S nên J ⊆ R(S ). M t khác, vì R(S ) cũng là m t ideal n a chính quy ph i c a S nên m i ph n t c a R(S ) đ u là ph n t n a chính quy ph i, do đó R(S ) ⊆ J . V y R(S ) = J . Iizuka đã s d ng lý thuy t bi u di n đ đ c trưng căn c a n a vành. M t S −n a môđun ph i gi n ư c M = {0} đư c g i là b t kh quy n u v i m i c p c đ nh tùy ý u1 , u2 ∈ M th a u1 = u2 và v i b t kỳ x ∈ M luôn t n t i a1 , a2 ∈ S sao cho x + u1 a1 + u2 a2 = u1 a2 + u2 a1 . Khi đó, ta nói M là n a môđun bi u di n b t kh quy c a n a vành S . Kí hi u I là t p h p t t c các n a môđun bi u di n b t kh quy c a m t n a vành S. Đ nh lý 2.4.[5] Cho S là m t n a vành có đơn v . Khi đó R(S ) = (0 : M ) M ∈I trong đó (0 : M ) = {b ∈ S | M b = {0}}. N u I = ∅ thì R(S ) = S và S đư c g i là n a vành căn. M nh đ 2.5. Cho S là n a vành c ng lũy đ ng. Khi đó R(S ) = S hay S là n a vành căn. Ch ng minh. G i M = {0} là m t n a môđun bi u di n b t kh quy c a n a vành S . V i m(= 0) ∈ M , ta ch n u1 = m, u2 = 0, x = m, khi đó luôn t n t i a1 , a2 ∈ S sao cho x + u1 a1 + u2 a2 = u1 a2 + u2 a1 =⇒ m + ma1 = ma2 =⇒ m + ma1 + ma2 = ma2 + ma2 = m(a2 + a2 ) = ma2 =⇒ m + ma1 + ma2 + ma1 = ma1 + ma2 =⇒ m + m(a1 + a2 ) = m(a1 + a2 ) Vì M c ng gi n ư c nên m = 0 (vô lý). V y S không có các S −n a môđun bi u di n b t kh quy, do đó R(S ) = S . Chú ý. Ta có th ch ng minh M nh đ 2.5 b ng cách s d ng Đ nh lý 4 trong [5]. D dàng ch ng minh đư c R3 là n a vành c ng lũy đ ng nên R(R3 ) = R3 . Nh n xét. Như ta đã bi t, căn c a vành có đơn v là giao c a t t c các ideal trái (ph i) t i đ i. Do đó, n u S là m t vành có đơn v thì căn c a S 158
là m t ideal con th c s c a S , vì ph n t đơn v không thu c vào căn c a S . Tuy nhiên, trên n a vành c ng lũy đ ng có đơn v thì theo M nh đ 2.5 ta luôn có R(S ) = S và đây có th xem là m t s khác bi t gi a căn c a vành và căn c a n a vành. Cho R là n a vành (không có đơn v ). Khi đó d dàng ki m ch ng đư c t p S = R × N cùng v i hai phép toán c ng (r, n) + (r , n ) = (r + r , n + n ) và nhân (r, n)(r , n ) = (nr + n r + rr , nn ) v i m i (r, n), (r , n ) ∈ S , là m t n a vành có đơn v v i ph n t không 0S = (0, 0) và ph n t đơn v 1S = (0, 1). N a vành này đư c g i là m r ng Dorroh c a R nh N (xem [3]). M nh đ 2.6. Cho R là m t n a vành (không có đơn v ) và S là m r ng Dorroh c a R nh N. Khi đó R(R) = R(S ). Ch ng minh. Ta th y ánh x f : R → S sao cho r → (r, 0) là m t đơn c u n a vành. Vì th , m i ph n t r ∈ R ta có th đ ng nh t v i ph n t (r, 0) ∈ S . Khi đó, ta có R là m t n a vành con c a S và ta cũng ch ng minh đư c R là m t ideal c a S . Theo Đ nh lý 2 trong [5], ta có R(R) = R(S ) ∩ R, vì th đ ch ng minh R(S ) = R(R), ta c n ch ng minh R(S ) ⊆ R. Ta có ánh x p : S → S/R sao cho (r, n) → (r, n) là m t toàn c u n a vành nên suy ra p(R(S )) ⊆ R(S/R). M t khác, xét ánh x θ : S/R → N sao cho (r, n) → n, ta d dàng ch ng minh đư c θ là m t đ ng c u n a vành nên R(S/R) = R(N) = {0}. Vì th p(R(S )) ⊆ R(S/R) = {0}. V i m i x = (r, n) ∈ R(S ), p(r, n) = (r, n) = (0, 0) hay (r, n) + (r1 , 0) = (r2 , 0). Do đó, n = 0 và x = (r, 0) ∈ R. V y R(S ) ⊆ R. Suy ra R(R) = R(S ). 3. Đ nh lý Hopkins v căn Jacobson cho các n a vành c ng gi n ưc Ta có Đ nh lý Hopkins v căn Jacobson trong vành Artin như sau: Cho S là vành Artin trái. Khi đó, căn Jacobson R(S ) v a là ideal trái lũy linh l n nh t v a là ideal ph i lũy linh l n nh t c a S (xem [6]). Tuy nhiên, theo M nh đ 2.5 thì R3 là n a vành c ng lũy đ ng nên R(R3 ) = R3 . M t khác, R3 là h u h n nên R3 là n a vành Artin nhưng R(R3 ) = R3 không lũy linh. Do đó, Đ nh lý Hopkins v căn Jacobson trong vành Artin không còn đúng trong n a vành Artin. V y, v i đi u ki n nào thì n a vành có căn là lũy linh? Đ tr l i câu h i này, trư c h t ta nh c l i vi c xây d ng vành sai phân S như sau: Cho S là m t n a vành. Khi đó n a vành S ∗ = S/[≡]{0} là c ng gi n ư c (trong đó [≡]{0} là tương đ ng Iizuka). Trong trư ng h p n a vành S là c ng gi n ư c thì S ∗ = S . T n a vành S ∗ c ng gi n ư c ta xây d ng đư c vành sai phân S ch a S ∗ như m t n a vành con. C th như sau: Cho S là n a vành c ng gi n ư c (t c là S ∗ = S ). Khi đó S × S = {(x, y ) | x, y ∈ S } cùng v i 2 phép toán c ng (x, y ) + (x , y ) = (x + x , y + y ) và nhân (x, y )(x , y ) = (xx + yy , xy + x y ) là m t n a vành c ng gi n ư c v i ph n t không là (0, 0). Xét t p ∆ = {(a, a) | a ∈ S }, ta d dàng ch ng minh đư c 159
∆ là m t ideal c a S × S . Xét quan h tương đ ng Bourne trên S × S như sau: (x, y ) ≡∆ (x , y ) ⇔ ∃(a, a), (b, b) ∈ ∆ : (x, y ) + (a, a) = (x , y ) + (b, b) ⇔ ∃(a, a), (b, b) ∈ ∆ : x + a = x + b, y + a = y + b. Khi đó, S = (S × S )/∆ là m t vành v i hai phép toán c ng (x, y ) + (x , y ) = (x + x , y + y ) và nhân (x, y ).(x , y ) = (xx + yy , xy + x y ) v i ph n t không 0S = (0, 0), và ph n t (x, y ) có ph n t đ i là (y, x). Bây gi , xét ánh x ϕ : S → S sao cho x → (x, 0), ta th y ϕ là m t đơn c u n a vành vì ϕ(x) = ϕ(y ), t c là (x, 0) = (y, 0), suy ra x + a = y + b, a = b hay x = y . Do đó, ta có th đ ng nh t x ∈ S v i (x, 0) ∈ S , vì th S là m t n a vành con c a S . M t khác, v i m i (x, y ) ∈ S ta có (x, y ) = (x, 0) + (0, y ) = (x, 0) − (y, 0) = x − y . V y, m i ph n t trong S luôn vi t đư c dư i d ng hi u c a hai ph n t trong S . B đ 3.1. Cho S là m t n a vành c ng gi n ư c. N u S −n a môđun ph i S 2 là Artin thì S − n a môđun ph i S là Artin. Ch ng minh. S −n a môđun ph i S 2 v i phép nhân ngoài ((x, y ), z ) → (xz, yz ) và S − n a môđun ph i S v i phép nhân ngoài ((x, y ), r) → (xr, yr). 2 Bây gi ta xét ánh x ϕ : SS → SS sao cho (x, y ) → (x, y ). Ta d dàng ki m ch ng đư c ϕ là m t S −toàn c u gi a các S −n a môđun ph i. Xét dãy I1 ⊇ I2 ⊇ ... ⊇ In ⊇ ... các S − n a môđun con c a S − n a môđun ph i S . Khi đó, ϕ−1 (I1 ) ⊇ ϕ−1 (I2 ) ⊇ ... ⊇ ϕ−1 (In ) ⊇ ... là dãy gi m các S −n a môđun con c a S −n a môđun ph i S 2 , mà SS là 2 Artin nên t n t i n ∈ N sao cho ϕ−1 (In ) = ϕ−1 (In+i ), ∀i = 1, 2, .... Vì ϕ là toàn c u nên In = ϕ(ϕ−1 (In )) = ϕ(ϕ−1 (In+i )) = In+i , ∀i = 1, 2, .... Do đó, S −n a môđun ph i S là Artin. Đ nh lý 3.2. Cho S là n a vành c ng gi n ư c sao cho S 2 là S −n a môđun ph i Artin. Khi đó, căn R(S ) c a S là lũy linh và S th a mãn đi u ki n ACC trên các ideal ph i cô l p. Ch ng minh. Vì S là n a vành c ng gi n u c nên S = S ∗ là m t n a vành con c a S . Khi đó R(S ) = R(S ∗ ) = R(S ) ∩ S ∗ = R(S ) ∩ S (xem [5]). Suy ra R(S ) ⊆ R(S ). Vì v y, đ ch ng minh R(S ) lũy linh, ta ch c n ch ng minh R(S ) lũy linh. Nhưng S là m t vành nên theo Đ nh lý Hopkins v căn Jacobson trong lý thuy t vành (xem [6]) ta c n ch ng minh S −môđun ph i S là Artin. Xét dãy J1 ⊇ J2 ⊇ ... ⊇ Jn ⊇ ... các môđun con trong S −môđun ph i S . Ta đã bi t ánh x θ : S → S sao cho s → (s, 0) là m t đơn c u n a vành. Vì th , m i ph n t s ∈ S ta có th đ ng nh t v i ph n t (s, 0) ∈ S , do đó các Ji cũng là các n a môđun con c a 160
S −n a môđun ph i S nên dãy J1 ⊇ J2 ⊇ ... ⊇ Jn ⊇ ... là dãy gi m các môđun con trong S −n a môđun ph i S . Theo B đ 3.1 ta có S −n a môđun ph i S là Artin nên suy ra dãy trên ph i d ng. Vì v y, S −môđun ph i S là Artin, do đó ∃n ∈ N : R(S )n = {0} mà R(S ) ⊆ R(S ) suy ra R(S )n = {0} hay R(S ) là lũy linh. Bây gi ta ch ng minh S th a mãn đi u ki n ACC trên các ideal ph i cô l p. Do S là m t vành Artin ph i nên S cũng là vành Noether ph i (xem [6]). Xét dãy I1 ≤ I2 ≤ ... ≤ In ≤ ... các ideal ph i cô l p c a S . Đ t K (Ii ) = {a − b | a, b ∈ Ii }, ∀i = 1, n. Ta d dàng ch ng minh đư c K (Ii ) là các ideal ph i c a S và K (I1 ) ≤ K (I2 ) ≤ ... ≤ K (In ) ≤ .... Do S là Noether ph i nên ∃n ∈ N : K (In ) = K (In+i ), ∀i ∈ N. Ta s ch ng minh In = In+i , ∀i ∈ N. V i m i x ∈ In+i , ta có x ∈ K (In+i ) = K (In ), do đó x vi t đư c dư i d ng x = a − b, v i a, b ∈ In . Khi đó, a = x + b. Vì a, b ∈ In , In là cô l p nên x ∈ In . Suy ra In+i ⊆ In , hay In = In+i . V y, S th a mãn đi u ki n ACC trên các ideal ph i cô l p. Chú ý. Cho S là n a vành c ng gi n ư c. N u S n+k (k ≥ 0) là S −n a môđun ph i Artin thì S n cũng là S −n a môđun ph i Artin. Th t v y, vì ánh x ϕ : SS +k → SS sao cho (x1 , x2 , ..., xn+k ) → (x1 , x2 , ..., xn ) là m t toàn c u n n n a môđun. Do SS +k là Artin nên SS là Artin. V y, n u SS là Artin thì SS là n n 2 Artin. Tuy nhiên, đi u ngư c l i không đúng. Th t v y, cho S = R+ (t p các s th c không âm) khi đó S là m t n a trư ng v i hai phép toán c ng và nhân thông thư ng. Đ t T = Si v i Si = S , khi đó T là n a vành giao hoán c ng i∈ N gi n ư c v i phép toán c ng (xi )+(yi ) = (xi + yi ) và nhân (xi )(yi ) = (xi yi ). Xét t p R = {(0, 0, ..., 0, ...)} {(xi ) ∈ T | xi = 0, ∀i ∈ N}. Ta có R là n a trư ng con c ng gi n ư c c a T ; suy ra R ch có hai ideal là {0} và R; do đó R là Artin. 2 2 Trên RR xét t p In = {(x, y ) ∈ RR | x = (xi ), y = (yi ), xi = yi , ∀i = 1, n}, 2 ta d dàng ki m ch ng đư c In là n a môđun con c a RR . T đ nh nghĩa In 2 ta có I1 ⊃ I2 ⊃ I3 ⊇ ... ⊇ In ⊇ ... là m t dãy không d ng; vì th RR không Artin. TÀI LI U THAM KH O [1] S. BOURNE, The Jacobson radical of a semiring, Proc. Nat. Acad. Sci., 37(1951), 163 − 170. [2] S. BOURNE and H. ZASSENHAUS, On the semiradical of a semiring, Proc. Nat. Acad. Sci., 44(1958), 907 − 914. [3] J. S. GOLAN, The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science, Longman scientific and Technical, London, 1992, 318pp. 161
[4] U. HEBISCH and H. J. WEINERT, Radical theory for semirings, Quaes- tiones Mathematicae, 20(1997), 647-661. [5] K. IIZUKA, On the Jacobson radical of a semiring, Tohoku Math. J., 2(1959), 409 − 421. [6] T. Y. LAM, A First Course in Noncommutative Rings, Grad. Texts in Math. no. 131, Springer-Verlag, Berlin, Heildeberg, New York, 2001. [7] H.M.AL-THANI, The Jacobson radical of type (3,1), International Jour- nal of Modern Mathematies, 2(2007), 27-33. [8] H.M.AL-THANI, Characterizations of the Jacobson radical of type (3,1), International Journal of Modern Mathematies, 2(2007), 53-61. [9] N. X. TUYEN and T. G. NAM, On radicals of Semirings, Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 31(2007), 131 − 140. HOPKINS THEOREM ABOUT JACOBSON RADICAL FOR ADDITIVELY CANCELLATIVE SEMIRINGS Nguyen Xuan Tuyen, College of Pedagogy, Hue University Le Hoang Mai, Dong Thap University Summary: In this paper, we compute some results about radicals of semir- ings. Especially, we prove Hopkins Theorem about Jacobson radical in Ring Theory for the case of additevely cancellative semirings. 162