intTypePromotion=3

Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Định lý Hopkins về căn Jacobson cho các nữa vành cộng giản ước"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Nguyễn Phương Hà Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

0
62
lượt xem
6
download

Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Định lý Hopkins về căn Jacobson cho các nữa vành cộng giản ước"

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu của trường đại học Huế đề tài: Định lý Hopkins về căn Jacobson cho các nữa vành cộng giản ước...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Định lý Hopkins về căn Jacobson cho các nữa vành cộng giản ước"

  1. T P CHÍ KHOA H C, Đ i h c Hu , S 59, 2010 Đ NH LÝ HOPKINS V CĂN JACOBSON CHO CÁC N A VÀNH C NG GI N Ư C Nguy n Xuân Tuy n, Trư ng Đ i h c Sư ph m, Đ i h c Hu Lê Hoàng Mai, Trư ng Đ i h c Đ ng Tháp Tóm t t. Trong bài vi t này chúng tôi tính m t s k t qu liên quan đ n căn c a n a vành theo quan đi m c a Bourne. Đ c bi t chúng tôi ch ng minh Đ nh lý Hopkins v căn Jacobson trong lý thuy t vành cho trư ng h p n a vành c ng gi n ư c. 1. Gi i thi u. Căn c a n a vành t ng quát đư c Bourne đ nh nghĩa vào năm 1950, sau đó căn Bourne đư c Zassenhaus, Iizuka,... ti p t c xem xét. Th i gian g n đây đư c ti p t c nghiên c u b i các tác gi H.M.AL-Thani, N.X. Tuyen và T.G. Nam,.... Ngoài ra, căn c a n a vành theo quan đi m c a Kurosh-Amitsur cũng đư c nghiên c u b i U. Hebisch và H. J. Weinert. Trong bài vi t này chúng tôi dùng khái ni m căn Bourne tính toán trên các n a vành c ng gi n ư c; n a vành lũy đ ng và thu đư c k t qu là các M nh đ 2.3; M nh đ 2.5 và M nh đ 2.6. Đ c bi t, chúng tôi dùng căn Bourne c a n a vành đ xem xét l i m t đ nh lý quan tr ng trong lý thuy t vành đó là Đ nh lý Hopkins v căn Jacobson, chúng tôi thu đư c k t qu Đ nh lý Hopkins v căn Jacobson cho các n a vành c ng gi n ư c đó là Đ nh lý 3.2. Trong su t bài vi t này, chúng tôi quy ư c t p S khác r ng cùng v i hai phép toán hai ngôi c ng và nhân đư c g i là m t n a vành n u th a mãn các đi u ki n sau: (i) (S, +) là m t v nhóm giao hoán v i ph n t không là 0; (ii) (S, .) là m t n a nhóm; (iii) Phép nhân phân ph i hai phía đ i v i phép c ng. N u phép nhân có tính ch t giao hoán thì S đư c g i là n a vành giao hoán, n u n a nhóm nhân có ph n t đơn v thì S đư c g i là n a vành có đơn v . N a vành S đư c g i là c ng (nhân) lũy đ ng n u a + a = a(a.a = a), ∀a ∈ S ; n a vành S đư c g i là lũy đ ng n u S v a là c ng lũy đ ng v a là nhân lũy đ ng. N a vành S đư c g i là c ng gi n ư c n u a + b = a + c thì b = c, ∀a, b, c ∈ S . M t t p con I khác r ng c a S đư c g i là m t ideal trái (ph i) c a S n u tho mãn các đi u ki n sau: (i) a + b ∈ I v i m i a, b ∈ I ; (ii) ra ∈ I (ar ∈ I ) v i m i a ∈ I và m i r ∈ S . I đư c g i là ideal c a n a vành S n u I v a là 155
  2. ideal trái v a là ideal ph i c a n a vành S . Ideal I c a n a vành S đư c g i là cô l p n u th a mãn đi u ki n: v i a ∈ I, x ∈ S n u a + x ∈ I thì x ∈ I . Ideal I c a n a vành S đư c g i là lũy linh n u t n t i s t nhiên n sao cho I n = {0}. Gi s S là m t n a vành có đơn v 1. V nhóm c ng giao hoán M cùng v i ánh x : M × S → M sao cho (m, s) → ms đư c g i là m t n a môđun ph i trên n a vành cơ s S (hay S −n a môđun ph i, kí hi u: MS ) n u: v i m i a, b ∈ S ; x, y ∈ M , (i) x(a + b) = xa + xb; (ii) (x + y )a = xa + ya; (iii) x(ab) = (xa)b và x.1 = x. Tương t , ta có S −n a môđun trái S M . Cho S là m t n a vành có đơn v và M là m t S −n a môđun trái (ph i). M đư c g i là n a môđun Artin (Noether) n u t p các n a môđun con c a M th a mãn đi u ki n DCC (ACC, tương ng). N a vành S đư c g i là n a vành Artin (Noether) trái n u S là m t S −n a môđun trái và S là Artin (Noether, tương ng). Tương t , ta có khái ni m n a vành Artin (Noether) ph i. 2. Căn c a n a vành và các ví d . Trư c khi đi đ n đ nh nghĩa căn Jacobson ph i c a n a vành S theo Bourne ta nh c l i 2 khái ni m sau đây: ph n t r c a n a vành S đư c g i là n a chính quy ph i n u t n t i ph n t r , r ∈ S sao cho r + r + rr = r + rr . Đi u ki n c n và đ đ ph n t r ∈ S n a chính quy ph i là v i m i ph n t s ∈ S luôn t n t i ph n t s , s ∈ S sao cho s + s + rs = s + rs . Ideal ph i I c a n a vành S đư c g i là ideal n a chính quy ph i n u v i m i c p ph n t i1 , i2 ∈ I luôn t n t i các ph n t j1 , j2 ∈ I sao cho i1 + j1 + i1 j1 + i2 j2 = i2 + j2 + i1 j2 + i2 j1 . Đ nh nghĩa 2.1.[1] Căn Jacobson ph i c a n a vành S là t ng c a t t c các ideal n a chính quy ph i c a S . Tương t , ta có đ nh nghĩa căn Jacobson trái c a n a vành S . Bourne cũng đã ch ng minh r ng căn Jacobson ph i và trái là trùng nhau, và g i chung là căn Jacobson c a S , kí hi u R(S ). Sau đó, Bourne và Zassenhaus đã đưa ra khái ni m n a căn c a n a vành S và xét quan h tương đương tuy n tính i1 ∼ i2 n u và ch n u phương trình i1 + x = i2 + x gi i đư c trong S v i i1 , i2 ∈ S . Đ t S ∗ = S/∼ = {i∗ | i ∈ S } v i i∗ = {j ∈ S | i ∼ j }. 156
  3. Đ nh nghĩa 2.2.[2] N a căn c a n a vành S , kí hi u σ (S ), là t p h p t t c các ph n t i c a S sao cho i∗ thu c vào căn Jacobson R(S ∗ ) c a S ∗ . N a căn σ (S ) ch a căn Jacobson R(S ) c a S . Iizuka và Nakahara ch ng minh đư c căn Jacobson và n a căn c a n a vành S trùng nhau. Sau đây ta xét m t vài ví d v vi c tính căn c a các n a vành c th : Ví d 1. Ta có R(N) = {0} v i N là n a vành các s t nhiên v i 2 phép toán c ng và nhân thông thư ng. Th t v y, g i I là m t ideal n a chính quy b t kỳ c a N, v i m i x ∈ I ta xét c p x, 0 ∈ I , vì I là n a chính quy nên t n t i j1 , j2 ∈ I sao cho x + j1 + xj1 = j2 + xj2 . N u j1 > j2 thì j1 + xj1 > j2 + xj2 suy ra x + j1 + xj1 > j2 + xj2 (vô lý). N u j1 < j2 thì j1 + 1 ≤ j2 . Khi đó j2 + xj2 ≥ j2 + x(j1 + 1) ≥ j1 + 1 + xj1 + x > x + j1 + xj1 (vô lý). V y j1 = j2 , thay vào x + j1 + xj1 = j2 + xj2 , do N c ng gi n ư c nên x = 0. V y, I = {0} hay N ch có duy nh t ideal n a chính quy đó là {0}. Do đó, R(N) = {0}. Ví d 2. T p h p R3 = {0, 1, a} cùng v i hai phép toán đư c cho b i b ng sau: ×01a +01a 001a 0000 111a 101a aaaa a0aa Ta d dàng ki m ch ng đư c R3 là ideal n a chính quy ph i c a chính nó, nghĩa là R(R3 ) = R3 . Cho I là ideal n a chính quy ph i c a n a vành S . Khi đó, ∀i ∈ I ta d dàng ch ng minh đư c i là ph n t n a chính quy ph i c a S . Tuy nhiên, t p h p J t t c các ph n t n a chính quy ph i c a S chưa ch c là ideal n a chính quy ph i c a S . V y, khi nào t p J là ideal n a chính quy ph i c a S ? M nh đ 2.3. Cho S là n a vành giao hoán, lũy đ ng. Khi đó R(S ) = J , v i J là t p h p t t c các ph n t n a chính quy ph i c a S . Ch ng minh. Trư c tiên ta ch ng minh J là ideal n a chính quy ph i c a S . Ta có 0 ∈ J , vì 0 là ph n t n a chính quy ph i. V i m i j1 , j2 ∈ J , ta có (j1 + j2 ) + (j1 + j2 ) + (j1 + j2 )(j1 + j2 ) = (j1 + j2 ) + (j1 + j2 )(j1 + j2 ) vì th j1 + j2 là ph n t n a chính quy ph i c a S nên j1 + j2 ∈ J . V i m i j ∈ J, s ∈ S , t n t i s , s ∈ S sao cho j + s + js = s + js =⇒ sj + ss + sjs = ss + sjs =⇒ sj + ss + (sj )(ss ) = ss + (sj )(ss ) 157
  4. hay sj là ph n t n a chính quy ph i c a S nên sj ∈ J . V i m i j1 , j2 ∈ J , ta có j1 + j2 = (j1 + j2 )(j1 + j2 ), cho nên j1 + j2 + j1 j1 + j2 j2 = j1 + j2 + j1 j2 + j2 j1 , suy ra J là ideal n a chính quy ph i c a S . Vì J là ideal n a chính quy ph i c a S nên J ⊆ R(S ). M t khác, vì R(S ) cũng là m t ideal n a chính quy ph i c a S nên m i ph n t c a R(S ) đ u là ph n t n a chính quy ph i, do đó R(S ) ⊆ J . V y R(S ) = J . Iizuka đã s d ng lý thuy t bi u di n đ đ c trưng căn c a n a vành. M t S −n a môđun ph i gi n ư c M = {0} đư c g i là b t kh quy n u v i m i c p c đ nh tùy ý u1 , u2 ∈ M th a u1 = u2 và v i b t kỳ x ∈ M luôn t n t i a1 , a2 ∈ S sao cho x + u1 a1 + u2 a2 = u1 a2 + u2 a1 . Khi đó, ta nói M là n a môđun bi u di n b t kh quy c a n a vành S . Kí hi u I là t p h p t t c các n a môđun bi u di n b t kh quy c a m t n a vành S. Đ nh lý 2.4.[5] Cho S là m t n a vành có đơn v . Khi đó R(S ) = (0 : M ) M ∈I trong đó (0 : M ) = {b ∈ S | M b = {0}}. N u I = ∅ thì R(S ) = S và S đư c g i là n a vành căn. M nh đ 2.5. Cho S là n a vành c ng lũy đ ng. Khi đó R(S ) = S hay S là n a vành căn. Ch ng minh. G i M = {0} là m t n a môđun bi u di n b t kh quy c a n a vành S . V i m(= 0) ∈ M , ta ch n u1 = m, u2 = 0, x = m, khi đó luôn t n t i a1 , a2 ∈ S sao cho x + u1 a1 + u2 a2 = u1 a2 + u2 a1 =⇒ m + ma1 = ma2 =⇒ m + ma1 + ma2 = ma2 + ma2 = m(a2 + a2 ) = ma2 =⇒ m + ma1 + ma2 + ma1 = ma1 + ma2 =⇒ m + m(a1 + a2 ) = m(a1 + a2 ) Vì M c ng gi n ư c nên m = 0 (vô lý). V y S không có các S −n a môđun bi u di n b t kh quy, do đó R(S ) = S . Chú ý. Ta có th ch ng minh M nh đ 2.5 b ng cách s d ng Đ nh lý 4 trong [5]. D dàng ch ng minh đư c R3 là n a vành c ng lũy đ ng nên R(R3 ) = R3 . Nh n xét. Như ta đã bi t, căn c a vành có đơn v là giao c a t t c các ideal trái (ph i) t i đ i. Do đó, n u S là m t vành có đơn v thì căn c a S 158
  5. là m t ideal con th c s c a S , vì ph n t đơn v không thu c vào căn c a S . Tuy nhiên, trên n a vành c ng lũy đ ng có đơn v thì theo M nh đ 2.5 ta luôn có R(S ) = S và đây có th xem là m t s khác bi t gi a căn c a vành và căn c a n a vành. Cho R là n a vành (không có đơn v ). Khi đó d dàng ki m ch ng đư c t p S = R × N cùng v i hai phép toán c ng (r, n) + (r , n ) = (r + r , n + n ) và nhân (r, n)(r , n ) = (nr + n r + rr , nn ) v i m i (r, n), (r , n ) ∈ S , là m t n a vành có đơn v v i ph n t không 0S = (0, 0) và ph n t đơn v 1S = (0, 1). N a vành này đư c g i là m r ng Dorroh c a R nh N (xem [3]). M nh đ 2.6. Cho R là m t n a vành (không có đơn v ) và S là m r ng Dorroh c a R nh N. Khi đó R(R) = R(S ). Ch ng minh. Ta th y ánh x f : R → S sao cho r → (r, 0) là m t đơn c u n a vành. Vì th , m i ph n t r ∈ R ta có th đ ng nh t v i ph n t (r, 0) ∈ S . Khi đó, ta có R là m t n a vành con c a S và ta cũng ch ng minh đư c R là m t ideal c a S . Theo Đ nh lý 2 trong [5], ta có R(R) = R(S ) ∩ R, vì th đ ch ng minh R(S ) = R(R), ta c n ch ng minh R(S ) ⊆ R. Ta có ánh x p : S → S/R sao cho (r, n) → (r, n) là m t toàn c u n a vành nên suy ra p(R(S )) ⊆ R(S/R). M t khác, xét ánh x θ : S/R → N sao cho (r, n) → n, ta d dàng ch ng minh đư c θ là m t đ ng c u n a vành nên R(S/R) = R(N) = {0}. Vì th p(R(S )) ⊆ R(S/R) = {0}. V i m i x = (r, n) ∈ R(S ), p(r, n) = (r, n) = (0, 0) hay (r, n) + (r1 , 0) = (r2 , 0). Do đó, n = 0 và x = (r, 0) ∈ R. V y R(S ) ⊆ R. Suy ra R(R) = R(S ). 3. Đ nh lý Hopkins v căn Jacobson cho các n a vành c ng gi n ưc Ta có Đ nh lý Hopkins v căn Jacobson trong vành Artin như sau: Cho S là vành Artin trái. Khi đó, căn Jacobson R(S ) v a là ideal trái lũy linh l n nh t v a là ideal ph i lũy linh l n nh t c a S (xem [6]). Tuy nhiên, theo M nh đ 2.5 thì R3 là n a vành c ng lũy đ ng nên R(R3 ) = R3 . M t khác, R3 là h u h n nên R3 là n a vành Artin nhưng R(R3 ) = R3 không lũy linh. Do đó, Đ nh lý Hopkins v căn Jacobson trong vành Artin không còn đúng trong n a vành Artin. V y, v i đi u ki n nào thì n a vành có căn là lũy linh? Đ tr l i câu h i này, trư c h t ta nh c l i vi c xây d ng vành sai phân S như sau: Cho S là m t n a vành. Khi đó n a vành S ∗ = S/[≡]{0} là c ng gi n ư c (trong đó [≡]{0} là tương đ ng Iizuka). Trong trư ng h p n a vành S là c ng gi n ư c thì S ∗ = S . T n a vành S ∗ c ng gi n ư c ta xây d ng đư c vành sai phân S ch a S ∗ như m t n a vành con. C th như sau: Cho S là n a vành c ng gi n ư c (t c là S ∗ = S ). Khi đó S × S = {(x, y ) | x, y ∈ S } cùng v i 2 phép toán c ng (x, y ) + (x , y ) = (x + x , y + y ) và nhân (x, y )(x , y ) = (xx + yy , xy + x y ) là m t n a vành c ng gi n ư c v i ph n t không là (0, 0). Xét t p ∆ = {(a, a) | a ∈ S }, ta d dàng ch ng minh đư c 159
  6. ∆ là m t ideal c a S × S . Xét quan h tương đ ng Bourne trên S × S như sau: (x, y ) ≡∆ (x , y ) ⇔ ∃(a, a), (b, b) ∈ ∆ : (x, y ) + (a, a) = (x , y ) + (b, b) ⇔ ∃(a, a), (b, b) ∈ ∆ : x + a = x + b, y + a = y + b. Khi đó, S = (S × S )/∆ là m t vành v i hai phép toán c ng (x, y ) + (x , y ) = (x + x , y + y ) và nhân (x, y ).(x , y ) = (xx + yy , xy + x y ) v i ph n t không 0S = (0, 0), và ph n t (x, y ) có ph n t đ i là (y, x). Bây gi , xét ánh x ϕ : S → S sao cho x → (x, 0), ta th y ϕ là m t đơn c u n a vành vì ϕ(x) = ϕ(y ), t c là (x, 0) = (y, 0), suy ra x + a = y + b, a = b hay x = y . Do đó, ta có th đ ng nh t x ∈ S v i (x, 0) ∈ S , vì th S là m t n a vành con c a S . M t khác, v i m i (x, y ) ∈ S ta có (x, y ) = (x, 0) + (0, y ) = (x, 0) − (y, 0) = x − y . V y, m i ph n t trong S luôn vi t đư c dư i d ng hi u c a hai ph n t trong S . B đ 3.1. Cho S là m t n a vành c ng gi n ư c. N u S −n a môđun ph i S 2 là Artin thì S − n a môđun ph i S là Artin. Ch ng minh. S −n a môđun ph i S 2 v i phép nhân ngoài ((x, y ), z ) → (xz, yz ) và S − n a môđun ph i S v i phép nhân ngoài ((x, y ), r) → (xr, yr). 2 Bây gi ta xét ánh x ϕ : SS → SS sao cho (x, y ) → (x, y ). Ta d dàng ki m ch ng đư c ϕ là m t S −toàn c u gi a các S −n a môđun ph i. Xét dãy I1 ⊇ I2 ⊇ ... ⊇ In ⊇ ... các S − n a môđun con c a S − n a môđun ph i S . Khi đó, ϕ−1 (I1 ) ⊇ ϕ−1 (I2 ) ⊇ ... ⊇ ϕ−1 (In ) ⊇ ... là dãy gi m các S −n a môđun con c a S −n a môđun ph i S 2 , mà SS là 2 Artin nên t n t i n ∈ N sao cho ϕ−1 (In ) = ϕ−1 (In+i ), ∀i = 1, 2, .... Vì ϕ là toàn c u nên In = ϕ(ϕ−1 (In )) = ϕ(ϕ−1 (In+i )) = In+i , ∀i = 1, 2, .... Do đó, S −n a môđun ph i S là Artin. Đ nh lý 3.2. Cho S là n a vành c ng gi n ư c sao cho S 2 là S −n a môđun ph i Artin. Khi đó, căn R(S ) c a S là lũy linh và S th a mãn đi u ki n ACC trên các ideal ph i cô l p. Ch ng minh. Vì S là n a vành c ng gi n u c nên S = S ∗ là m t n a vành con c a S . Khi đó R(S ) = R(S ∗ ) = R(S ) ∩ S ∗ = R(S ) ∩ S (xem [5]). Suy ra R(S ) ⊆ R(S ). Vì v y, đ ch ng minh R(S ) lũy linh, ta ch c n ch ng minh R(S ) lũy linh. Nhưng S là m t vành nên theo Đ nh lý Hopkins v căn Jacobson trong lý thuy t vành (xem [6]) ta c n ch ng minh S −môđun ph i S là Artin. Xét dãy J1 ⊇ J2 ⊇ ... ⊇ Jn ⊇ ... các môđun con trong S −môđun ph i S . Ta đã bi t ánh x θ : S → S sao cho s → (s, 0) là m t đơn c u n a vành. Vì th , m i ph n t s ∈ S ta có th đ ng nh t v i ph n t (s, 0) ∈ S , do đó các Ji cũng là các n a môđun con c a 160
  7. S −n a môđun ph i S nên dãy J1 ⊇ J2 ⊇ ... ⊇ Jn ⊇ ... là dãy gi m các môđun con trong S −n a môđun ph i S . Theo B đ 3.1 ta có S −n a môđun ph i S là Artin nên suy ra dãy trên ph i d ng. Vì v y, S −môđun ph i S là Artin, do đó ∃n ∈ N : R(S )n = {0} mà R(S ) ⊆ R(S ) suy ra R(S )n = {0} hay R(S ) là lũy linh. Bây gi ta ch ng minh S th a mãn đi u ki n ACC trên các ideal ph i cô l p. Do S là m t vành Artin ph i nên S cũng là vành Noether ph i (xem [6]). Xét dãy I1 ≤ I2 ≤ ... ≤ In ≤ ... các ideal ph i cô l p c a S . Đ t K (Ii ) = {a − b | a, b ∈ Ii }, ∀i = 1, n. Ta d dàng ch ng minh đư c K (Ii ) là các ideal ph i c a S và K (I1 ) ≤ K (I2 ) ≤ ... ≤ K (In ) ≤ .... Do S là Noether ph i nên ∃n ∈ N : K (In ) = K (In+i ), ∀i ∈ N. Ta s ch ng minh In = In+i , ∀i ∈ N. V i m i x ∈ In+i , ta có x ∈ K (In+i ) = K (In ), do đó x vi t đư c dư i d ng x = a − b, v i a, b ∈ In . Khi đó, a = x + b. Vì a, b ∈ In , In là cô l p nên x ∈ In . Suy ra In+i ⊆ In , hay In = In+i . V y, S th a mãn đi u ki n ACC trên các ideal ph i cô l p. Chú ý. Cho S là n a vành c ng gi n ư c. N u S n+k (k ≥ 0) là S −n a môđun ph i Artin thì S n cũng là S −n a môđun ph i Artin. Th t v y, vì ánh x ϕ : SS +k → SS sao cho (x1 , x2 , ..., xn+k ) → (x1 , x2 , ..., xn ) là m t toàn c u n n n a môđun. Do SS +k là Artin nên SS là Artin. V y, n u SS là Artin thì SS là n n 2 Artin. Tuy nhiên, đi u ngư c l i không đúng. Th t v y, cho S = R+ (t p các s th c không âm) khi đó S là m t n a trư ng v i hai phép toán c ng và nhân thông thư ng. Đ t T = Si v i Si = S , khi đó T là n a vành giao hoán c ng i∈ N gi n ư c v i phép toán c ng (xi )+(yi ) = (xi + yi ) và nhân (xi )(yi ) = (xi yi ). Xét t p R = {(0, 0, ..., 0, ...)} {(xi ) ∈ T | xi = 0, ∀i ∈ N}. Ta có R là n a trư ng con c ng gi n ư c c a T ; suy ra R ch có hai ideal là {0} và R; do đó R là Artin. 2 2 Trên RR xét t p In = {(x, y ) ∈ RR | x = (xi ), y = (yi ), xi = yi , ∀i = 1, n}, 2 ta d dàng ki m ch ng đư c In là n a môđun con c a RR . T đ nh nghĩa In 2 ta có I1 ⊃ I2 ⊃ I3 ⊇ ... ⊇ In ⊇ ... là m t dãy không d ng; vì th RR không Artin. TÀI LI U THAM KH O [1] S. BOURNE, The Jacobson radical of a semiring, Proc. Nat. Acad. Sci., 37(1951), 163 − 170. [2] S. BOURNE and H. ZASSENHAUS, On the semiradical of a semiring, Proc. Nat. Acad. Sci., 44(1958), 907 − 914. [3] J. S. GOLAN, The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science, Longman scientific and Technical, London, 1992, 318pp. 161
  8. [4] U. HEBISCH and H. J. WEINERT, Radical theory for semirings, Quaes- tiones Mathematicae, 20(1997), 647-661. [5] K. IIZUKA, On the Jacobson radical of a semiring, Tohoku Math. J., 2(1959), 409 − 421. [6] T. Y. LAM, A First Course in Noncommutative Rings, Grad. Texts in Math. no. 131, Springer-Verlag, Berlin, Heildeberg, New York, 2001. [7] H.M.AL-THANI, The Jacobson radical of type (3,1), International Jour- nal of Modern Mathematies, 2(2007), 27-33. [8] H.M.AL-THANI, Characterizations of the Jacobson radical of type (3,1), International Journal of Modern Mathematies, 2(2007), 53-61. [9] N. X. TUYEN and T. G. NAM, On radicals of Semirings, Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 31(2007), 131 − 140. HOPKINS THEOREM ABOUT JACOBSON RADICAL FOR ADDITIVELY CANCELLATIVE SEMIRINGS Nguyen Xuan Tuyen, College of Pedagogy, Hue University Le Hoang Mai, Dong Thap University Summary: In this paper, we compute some results about radicals of semir- ings. Especially, we prove Hopkins Theorem about Jacobson radical in Ring Theory for the case of additevely cancellative semirings. 162

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản