MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM YẾU
CỦA PHƯƠNG TRÌNH TẬP MỨC MẶT CỰC TIỂU
SOME PROPERTIES OF WEAK SOLUTIONS OF LEVEL SET MINIMAL
SURFACE EQUATIONS
NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
TÓM TẮT
Trong [4], chúng tôi đã chứng minh sự tồn tại của một loại nghiệm yếu cho phương trình tập
mức mặt cực tiểu. Loại nghiệm này nhận được từ giới hạn của một dãy nghiệm cổ điển của
phương trình xấp xỉ tương ứng. Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một số tính chất cơ bản
của loại nghiệm yếu này.
ABSTRACT
In [4], we have proved that there exists a weak solution for level set minimal surface
equations. This kind of solution has been obtained as a limit of a sequence of classical
solutions of the correspondent approximate equations. In this paper, we will give some
properties of the weak solutions.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Xét phương trình tập mức mặt cực tiểu [4]
0
2
ji
ji
xx
xx
ij u
u
uu
, trong
, (1)
với điều kiện biên:
),()( 0xuxu với mọi
x. (2)
Trong đó,
là một miền trong n
R
với biên trơn
.
Trong [4], chúng tôi đã chứng minh được rằng, tồn tại một nghiệm yếu cho phương trình (1)
với điều kiện biên (2). Nghiệm này biểu diễn mặt cực tiểu S dưới dạng một tập mức không
của nó với biên
được cho trên
bởi một hàm trơn 0
u.
Trước khi nêu ra một vài tính chất của nghiệm yếu, chúng ta nhắc lại các định nghĩa về
nghiệm yếu [4].
ĐỊNH NGHĨA NGHIỆM YẾU
Ta ký hiệu:
{)(
C|: Ru
u liên tục trên }
.
Định nghĩa: Một nghiệm yếu dưới của phương trình (1) là một hàm u
)(
Csao cho:
Với mỗi ),(
C
hàm
u đạt cực đại địa phương tại một điểm
0
x, thì
,0)(x khi
0)(
)(
)()(
0
0
2
0
00
x
x
xx
ji
ji
xx
xx
ij
và
.0)(x khi 1, ,R
0)(
0
n
0
x
ji xxjiij
Định nghĩa: Một nghiệm yếu trên của phương trình (1) là một hàm u
)(
Csao cho:
Với mỗi ),(
C
hàm
u đạt cực tiểu địa phương tại một điểm
0
x, thì
,0)(x khi
0)(
)(
)()(
0
0
2
0
00
x
x
xx
ji
ji
xx
xx
ij
và
.0)(x khi 1, ,R
0)(
0
n
0
x
ji xxjiij
Định nghĩa: Một nghiệm yếu của phương trình (1) là một hàm u
)(
C sao cho u vừa là
nghiệm yếu dưới vừa là nghiệm yếu trên của phương trình (1).
2. GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN
Định lý 1: (i) Giả sử k
u là một nghiệm yếu dưới của phương trình (1) với k=1,2,… và
uukđều trên
. Khi đó u là một nghiệm yếu dưới của phương trình (1).
(ii) Khẳng định trên vẫn đúng cho nghiệm yếu trên và nghiệm yếu.
Chứng minh: Cho )(
C
và
u đạt cực đại ngặt địa phương tại một điểm
0
x. Vì
uukđều gần 0
x, nên tồn tại một dãy các điểm
1
}{ kk
x thỏa mãn:
0
xxk khi
k;
k
u đạt cực đại địa phương tại điểm k
xvà ).()( 00 xuxu kk (3)
Vì mỗi k
u là một nghiệm yếu dưới của (1), nên theo định nghĩa nghiệm yếu dưới, ta có hoặc
,0)(x khi
0)(
)(
)()(
k
2
kxx
k
kxkx
ij x
x
xx
ji
ji
(4)
hoặc
.0)(x khi 1, ,R
0)(
k
n
kxxjiij x
ji
(5)
Tiếp theo ta giả sử 0)( 0 x
. Khi đó 0)( k
x
với k đủ lớn và như vậy ta có thể lấy giới
hạn của (4) khi
k và đưa đến
.0)(
)(
)()(
0
2
0
00
x
x
xx
ji
ii xx
xx
ij
Bây giờ, ta giả sử 0)( 0 x
. Đặt
.0)(
0)(
)(
)(
:
k
k
k
k
k
k
xkhi
xkhi
x
x
Lấy giới hạn khi
k, qua một dãy con nếu cần thiết ta có thể giả thiết
k và khi đó
.1
Vì vậy, ta thu được
.0)( 0 x
ji xxjiij
Giả thiết
u đạt cực đại địa phương ngặt tại một điểm
0
x có thể được bỏ đi bằng một
phép xấp xỉ. Do đó u là một nghiệm yếu dưới của phương trình (1). Một thủ tục tương tự
được thực hiện để kiểm chứng u là một nghiệm yếu trên và một nghiệm yếu dưới của phương
trình (1).
Định lý 2: Giả sử RR
:
là một hàm liên tục. Khi đó, nếu u là một nghiệm yếu của
phương trình (1) thì )(:
ˆ
uu
là một nghiệm yếu của phương trình (1).
Chứng minh: Trước hết ta giả sử
là một hàm trơn với
0'
trên .R (6)
Cho )(
C
và giả sử
u
ˆ
đạt cực đại địa phương tại một điểm
0
x. Cộng thêm một
hằng số nếu cần thiết, ta có thể giả sử
)()(
ˆ
)()(
ˆ00
xxu
xxu
(7)
với mọi x gần 0
x.
Theo (6), hàm 1
:
được xác định và là hàm trơn gần )(
ˆ0
xu , với
0'
.
Từ (7), ta đưa đến
)()(
)()( 00
xxu
xxu
(8)
với mọi x gần 0
x và ).(:
Vì u là một nghiệm yếu dưới của (1), ta kết luận:
,0)(x khi
0)(
)(
)()(
0
0
2
0
00
x
x
xx
ji
ji
xx
xx
ij
(9)
hoặc
.0)(x khi 1, ,R
0)(
0
n
0
x
ji xxjiij
(10)
Mặt khác,
)(' tại điểm 0
x, do đó 0)( 0 x
nếu và chỉ nếu 0)( 0 x
. Hệ quả
là (9) cho ta nếu 0)( 0 x
, thì
0))('')('(
))('(
))('(
2
2
2
jiji
ji
xxxx
xx
ij
tại điểm 0
x.
Vì 0'
, nên ta nhận được sau khi rút gọn:
.0)(
)(
)()(
0
2
0
00
x
x
xx
ji
ii xx
xx
ij
(11)
Tiếp theo ta giả sử 0)( 0 x
. Khi đó (10) đúng với 1,
n
R. Khi đó, ta tính được
0))('')('( jiji xxxxjiij
tại điểm 0
x.
Vì 0)( 0 x
, nên số hạng đi với ''
bằng không. Do đó, ta thu được
.0)( 0 x
ji xxjiij
(12)
Tương tự, ta thu được các bất đẳng thức ngược lại của (11) và (12) trong trường hợp
u
ˆ
đạt cực tiểu địa phương tại một điểm
0
x.
Bây giờ, thay vì (6) ta giả sử 0'
trên .R
Khi đó, 0'
trên .R Hoàn toàn tương tự như trên, ta thu được (11) và (12).
Như vậy, ta đã chứng minh được rằng )(:
ˆ
uu
là một nghiệm yếu của (1) khi
là một hàm
trơn và 0'
.
Dùng phương pháp xấp xỉ và sử dụng Định lý 1, ta thu được kết quả trên nếu 0'
hoặc
0'
trên
R
.
Tiếp theo ta giả sử
trơn và tồn tại một số hữu hạn các điểm
 1210 ... mm aaaaa (13)
sao cho
đơn điệu trên các khoảng ),...,0(),( 1mjaa jj
(14)
và
là hằng số trên các khoảng ),...,0(),( mjaa jj
(15)
với một 0
nào đó.
Giả sử
u
ˆ
đạt cực đại địa phương tại một điểm
0
x. Khi đó
2
,
2
)( 10
jj aaxu với một
mj ,...,0.
Vì
đơn điệu trên khoảng ),( 1
jj aa và u liên tục, nên ta có thể áp dụng các bước trên
trong một lân cận của điểm 0
x để thu được (11) hoặc (12). Bất đẳng thức ngược lại được
chứng minh tương tự khi
u
ˆ
đạt cực tiểu địa phương.
Cuối cùng, ta giả sử
chỉ là hàm liên tục. Khi đó ta xây dựng một dãy các hàm trơn
1k
k
mà mỗi hàm của dãy thỏa mãn giả thiết (13)-(15) và
k đều địa phương trên n
R
. Do đó
)(
ˆ
)(:
ˆuuuu kk
.
Khi đó Định lý 1 khẳng định u
ˆ
là một nghiệm yếu của phương trình (1).
3. KẾT LUẬN
Kết quả của bài báo đã đưa ra một số tính chất cơ bản của nghiệm yếu cho phương
trình tập mức mặt cực tiểu. Công cụ chính trong quá trình tiếp cận là phương pháp xấp xỉ, quá
trình này cũng đã được sử dụng để thu được một nghiệm yếu cho phương trình như trong [4].
Trong khuôn khổ của bài báo, chúng tôi đưa ra hai tính chất quan trọng của nghiệm yếu,
nhằm từng bước đi đến kết luận về tính duy nhất nghiệm của bài toán biên.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] L. C. Evans, and J. Spruck, Motion of level set by mean curvature I, J. Diff. Geom.,
33(1991), 635-681.
[2] D. Gilbarg, and N. S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order,
2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1983.
[3] R. Jensen, The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second
order partial differential equations, Arch. Rat. Mech. Anal., 101(1988), 1-27.
[4] Nguyễn Chánh Định, Sự tồn tại một nghiệm yếu của phương trình tập mức mặt cực
tiểu, Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học Đà Nẵng, số 15+16/2006.
[5] Ch. -D. Nguyen, and R. H. W. Hoppe, Amorphous surface growth via a level set
approach, J. Nonlinear Analysis & Applications (accepted).