§¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 3A-2007
5
Nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng
nguyÔn thÞ ngäc diÖp
(a)
Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy chóng t«i chøng minh r»ng tËp hîp c¸c phÇn tö
compact trong nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng lËp thµnh mét −íc chuÈn; ®−a
ra ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó mét nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng lµ nhãm t«p« luü linh
®Þa ph−¬ng, nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh; ®ång thêi nghiªn cøu tÝnh liªn hîp cña c¸c
nhãm con xo¾n trõu t−îng cùc ®¹i cña nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng.
Nhãm t«p« G ®−îc gäi lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng nÕu bao ®ãng
cña nhãm con h÷u h¹n sinh cña G lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh. Mçi nhãm t«p« luü
linh ®Þa ph−¬ng, nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh lµ mét nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa
ph−¬ng. V× vËy líp nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng réng h¬n líp nhãm t«p«
luü linh ®Þa ph−¬ng vµ líp nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh. Mét sè tÝnh chÊt cña nhãm
t«p« luü linh x¹ ¶nh ®· ®−îc chóng t«i nghiªn cøu vµ tr×nh bµy trong [1]. Bµi b¸o
nµy tiÕp tôc nghiªn cøu mét sè tÝnh chÊt cña nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng
nh−: tËp hîp c¸c phÇn tö compact cña nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng, mét sè
líp nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng ®Æc biÖt, nhãm con xo¾n trõu t−îng cùc
®¹i cña nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng.
Nhãm t«p« G ®−îc nghiªn cøu ë ®©y lµ nhãm compact ®Þa ph−¬ng, ta dïng ký
hiÖu G
0
lµ thµnh phÇn liªn th«ng cña ®¬n vÞ e∈G.
I. phÇn tö compact cña nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa
ph−¬ng
Trong phÇn nµy ta nghiªn cøu tËp hîp c¸c phÇn tö compact cña nhãm t«p« luü
linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng.
§Þnh lý 1. Gi¶ sö G lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng vµ B lµ tËp hîp
c¸c phÇn tö compact cña G. Khi ®ã
i) B lµ −íc chuÈn cña nhãm G;
ii) Nhãm th−¬ng
B
G
lµ nhãm phi xo¾n t«p«;
iii) NÕu N=B.G
0
th×
N
G
lµ nhãm rêi r¹c, phi xo¾n trõu t−îng, ®ång thêi N lµ
−íc chuÈn cùc tiÓu cã tÝnh chÊt ®ã.
Chøng minh. i) Tr−íc hÕt ta chøng minh r»ng bao ®ãng cña nhãm con sinh bëi
h÷u h¹n c¸c phÇn tö compact cña G lµ nhãm compact. ThËt vËy, gi¶ sö g
1
, g
2
,...,g
k
lµ
c¸c phÇn tö compact cña nhãm G. §Æt H:=
{
}
k
ggg ,...,,
21
. V× G lµ nhãm t«p« luü linh
x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng nªn H=
←
lim
(H
β
,
ϕ
βα
,
β
>
α
) lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh, trong ®ã
.
NhËn bµi ngµy 8/8/2007. Söa ch÷a xong 10/9/2007.
§¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 3A-2007
6
H
β
=
{
}
βββ
k
ggg ,...,,
21
lµ nhãm luü linh, g
i
β
=
ϕ
β
(g
i
) lµ phÇn tö compact (i = k,1 ) víi
ϕ
β
:H→H
β
lµ ®ång cÊu chÝnh t¾c cña nhãm H lªn H
β
. Theo bæ ®Ò 3.5 [2], H
β
lµ
compact, suy ra H lµ nhãm compact. V× vËy tËp hîp B c¸c phÇn tö compact cña
nhãm t«p« G luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng t¹o thµnh nhãm con cña nhãm trõu t−îng
G.
Ta ®· biÕt r»ng B lµ nhãm con xo¾n t«p« víi t«p« c¶m sinh. MÆt kh¸c theo
®Þnh lý Cartan- Maltsev- Iwasawa [3], ta cã B = C.H
1
... H
m
, trong ®ã H
i
lµ nhãm
vect¬ mét chiÒu, C lµ nhãm compact cùc ®¹i. V× B lµ nhãm xo¾n t«p« nªn H
i
=〈e〉. VËy
B lµ nhãm compact bÊt biÕn cña G.
ii) N=B.G
0
lµ nhãm con më. Gi¶ sö g
*
=gB lµ phÇn tö compact cña G
*
=
B
G
. Khi
®ã N
*
=
B
N
lµ nhãm con bÊt biÕn më trong G
*
, ®ång thêi N
*
≅
BG
G
∩
0
0
=
0
0
B
G
. V× G
0
lµ nhãm compact sinh ra nªn H
*
:={g
*
} lµ nhãm compact cña G
*
. Suy ra
*
**
.
N
NH
≅
**
*
N
H
H
∩
, do ®ã
*
**
.
N
NH
lµ nhãm compact rêi r¹c v× H
*
∩N
*
⊂H
*
lµ
nhãm con më trong H
*
. Suy ra
*
**
.
N
NH
lµ nhãm h÷u h¹n. V× vËy
k
g*
∈N
*
hay g
k
∈N
vµ hiÓn nhiªn
k
g*
lµ phÇn tö compact. Khi ®ã
0
0
B
G
=
B
N
= N
*
lµ nhãm Lie, phi xo¾n
t«p«. V× B
0
lµ nhãm compact nªn N
*
lµ giíi h¹n x¹ ¶nh cña c¸c nhãm Lie liªn th«ng.
Suy ra
k
g*
=e
*
tøc g
k
∈B. Do ®ã g lµ phÇn tö compact. §iÒu nµy tr¸i víi gi¶ thiÕt g∉B.
VËy
B
G
lµ nhãm phi xo¾n t«p«.
iii) Ta chøng minh G’=
N
G
lµ nhãm rêi r¹c, phi xo¾n trõu t−îng. Gi¶ sö h
’
=hN
lµ phÇn tö compact. V× N më nªn nhãm con
{
}
gN
lµ nhãm compact rêi r¹c. Suy ra
{
}
gN
lµ nhãm xyclic h÷u h¹n, do ®ã h
’
m
=e
’
. V× vËy h
m
∈N. §Æt h
*
m
:=h.B
m
, ta cã
h
*
m
∈N
*
víi N
*
=
0
0
B
G
≅ G
0
*
tøc K
*
:={h
*
, N
*
} lµ më réng bëi h÷u h¹n nhãm liªn th«ng.
Theo ®Þnh lý Cartan- Maltsev- Iwasawa [3] suy ra K
*
=D
*
.N
*
víi D
*
lµ nhãm h÷u h¹n.
V×
B
G
lµ nhãm phi xo¾n t«p« nªn D
*
=〈e
*
〉 hay h
’
=e
’
. V× ®èi víi bÊt kú mét nhãm con
bÊt biÕn F mµ nhãm th−¬ng
F
G
lµ nhãm phi xo¾n t«p« th× F ph¶i chøa G
0
vµ B nªn
N lµ nhãm con nhá nhÊt cña G
0
chøa G
0
vµ B. VËy N lµ −íc chuÈn cùc tiÓu ®Ó nhãm
th−¬ng
N
G
lµ nhãm rêi r¹c, phi xo¾n trõu t−îng.
ii. nhãm con xo¾n trõu t−îng cùc ®¹i cña nhãm t«p« luü
linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng
Trong nhãm trõu t−îng còng nh− trong nhãm t«p«, tËp hîp c¸c phÇn tö cã cÊp
h÷u h¹n nãi chung kh«ng lµm thµnh mét nhãm con. V× vËy bµi to¸n nghiªn cøu c¸c
§¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 3A-2007
7
nhãm con xo¾n trõu t−îng cùc ®¹i cña nhãm t«p« ®−îc nhiÒu nhµ to¸n häc quan
t©m, ®Æc biÖt lµ vÊn ®Ò: khi nµo tËp hîp c¸c nhãm con xo¾n trõu t−îng cùc ®¹i chia
ra mét sè h÷u h¹n líp liªn hîp. Trong phÇn nµy chóng t«i chøng minh r»ng nÕu G lµ
nhãm compact, luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng sao cho
0
G
G
h÷u h¹n th× trong G chØ cã
mét líp nhãm con xo¾n trõu t−îng cùc ®¹i liªn hîp.
Bæ ®Ò 1. Gi¶ sö trong nhãm trõu t−îng G cã −íc chuÈn gi¶i ®−îc R cã chØ sè
h÷u h¹n vµ c¸c phÇn tö cã cÊp h÷u h¹n cña R lµm thµnh −íc chuÈn R
*
sao cho nhãm
th−¬ng
*
R
R
lµ nhãm phi xo¾n, ®Çy ®ñ, luü linh. Khi ®ã c¸c nhãm xo¾n trõu t−îng
cùc ®¹i trong G liªn hîp víi nhau.
Chøng minh. XÐt nhãm th−¬ng G
*
=
*
R
G
. V× R
*
=
*
R
R
lµ nhãm luü linh phi xo¾n
trõu t−îng vµ
*
*
R
G
lµ nhãm h÷u h¹n nªn G
*
=D
*
.R
*
, D
*
∩ R
*
=〈e
*
〉 vµ tÊt c¶ c¸c D
*
liªn
hîp víi nhau trong G
*
. Gi¶ sö P
1
, P
2
lµ hai nhãm con xo¾n trõu t−îng cùc ®¹i trong
G. Ta cã R
*
⊂ P
1
∩P
2
. Do ®ã P
1
*
=
*
1
R
P
, P
2
*
=
*
2
R
P
lµ c¸c nhãm con xo¾n trõu t−îng cùc
®¹i trong R
*
, suy ra chóng liªn hîp víi nhau. VËy P
1
, P
2
liªn hîp víi nhau trong G.
§Þnh lý 2. Gi¶ sö G lµ nhãm compact, luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng sao cho
nhãm th−¬ng
0
G
G
h÷u h¹n. Khi ®ã c¸c nhãm con xo¾n trõu t−îng cùc ®¹i liªn hîp
víi nhau trong G.
Chøng minh. V× G
0
lµ nhãm compact, luü linh, liªn th«ng nªn G
0
lµ xuyÕn. Ta
chøng minh G
0
lµ nhãm ®Çy ®ñ. ThËt vËy, xÐt ¸nh x¹
ϕ
: G
0
→ G
0
, x x
n
, n lµ sè tù
nhiªn. Do G
0
lµ nhãm Abel nªn
ϕ
lµ ¸nh x¹ ®ång cÊu vµ
ϕ
(G
0
) lµ nhãm liªn th«ng. V×
)(
0
0
G
G
ϕ
kh«ng thÓ lµ nhãm xo¾n liªn th«ng nªn
)(
0
0
G
G
ϕ
=〈e
*
〉. Suy ra G
0
=
ϕ
(G
0
) hay
G
0
lµ nhãm ®Çy ®ñ.
Gi¶ sö T lµ tËp hîp c¸c phÇn tö cã cÊp h÷u h¹n trong G
0
. Ta cã
T
G
lµ nhãm
®Çy ®ñ, phi xo¾n, Abel nªn
T
G
lµ nhãm ®Çy ®ñ, phi xo¾n, luü linh. Khi ®ã theo bæ ®Ò
1, c¸c nhãm con xo¾n trõu t−îng cùc ®¹i trong G liªn hîp víi nhau.
III. mét sè líp nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng
Nhãm t«p« luü linh ®Þa ph−¬ng, nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Òu lµ nhãm t«p«
luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng. Nh−ng ®iÒu ng−îc l¹i kh«ng ph¶i bao giê còng ®óng.
Trong phÇn nµy ta xÐt mét sè líp nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng cã chiÒu
ng−îc l¹i.
§Þnh lý 3. Gi¶ sö G lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng Lie. Khi ®ã G lµ
nhãm t«p« luü linh ®Þa ph−¬ng.
§¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 3A-2007
8
Chøng minh. Gi¶ sö g
1
, g
2
, ..., g
k
lµ c¸c phÇn tö cña G. Ta cÇn chøng minh r»ng
H=
{
}
k
ggg ...,,,
21
lµ nhãm t«p« luü linh. ThËt vËy, v× G lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh
®Þa ph−¬ng mµ H lµ bao ®ãng cña nhãm con h÷u h¹n sinh cña G nªn H lµ nhãm t«p«
luü linh x¹ ¶nh. MÆt kh¸c trong nhãm Lie H kh«ng cã nhãm con nhá tuú ý nªn tån
t¹i l©n cËn ®ñ nhá cña ®¬n vÞ e mµ trong ®ã chØ cã nhãm con ®¬n vÞ 〈e〉 lµ −íc chuÈn
tÇm th−êng duy nhÊt. Do H lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh nªn
e
H
lµ nhãm t«p« luü
linh hay H lµ nhãm t«p« luü linh. VËy G lµ nhãm t«p« luü linh ®Þa ph−¬ng.
§Þnh lý 4. Gi¶ sö G lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng, liªn th«ng. Khi
®ã G lµ nhãm t«p« luü linh.
Chøng minh. V× G lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng, liªn th«ng nªn tån
t¹i −íc chuÈn compact F cña G ®Ó nhãm th−¬ng
F
G
lµ nhãm Lie. Nh− vËy nhãm
th−¬ng
F
G
lµ liªn th«ng, luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng, Lie, do ®ã theo ®Þnh lý 3 ta cã
F
G
lµ nhãm luü linh.
Gäi F
0
lµ thµnh phÇn liªn th«ng cña ®¬n vÞ cña nhãm compact F. Khi ®ã F
0
lµ
nhãm luü linh, compact, liªn th«ng. V× vËy F
0
lµ xuyÕn bÊt biÕn thuéc t©m cña G.
Suy ra F
0
thuéc t©m cña F.
Ta cã nhãm th−¬ng
0
F
F
lµ −íc chuÈn hoµn toµn kh«ng liªn th«ng cña nhãm
liªn th«ng
0
G
G
. Suy ra
0
F
F
thuéc t©m cña
0
F
G
. Do ®ã
0
F
F
lµ nhãm Abel. V× vËy
0
F
F
lµ nhãm luü linh. Nh− vËy F lµ më réng trung t©m cña nhãm luü linh F
0
bëi
nhãm luü linh
0
F
F
, do ®ã F lµ nhãm luü linh.
Ta cã
0
0
F
F
F
G
≅
F
G
trong ®ã
F
G
lµ nhãm luü linh,
0
F
F
thuéc t©m cña
0
F
G
. Do
®ã
0
F
G
lµ më réng trung t©m cña nhãm luü linh
0
F
F
bëi nhãm luü linh
F
G
. V× vËy
0
F
G
lµ nhãm luü linh. V× F
0
thuéc t©m cña G nªn G lµ më réng trung t©m cña nhãm
luü linh F
0
bëi nhãm luü linh
0
F
G
. Do ®ã G lµ nhãm luü linh.
Trong lý thuyÕt nhãm t«p«, ®èi víi líp nhãm sinh bëi mét tËp compact th× khi
lÊy t«p« rêi r¹c nã lµ nhãm trõu t−îng h÷u h¹n sinh. Ta gäi líp nhãm ®ã lµ líp nhãm
t«p« compact sinh ra.
Bæ ®Ò 2. NÕu
∆
lµ nhãm con ®ãng cña nhãm luü linh, liªn th«ng Lie G th×
∆
lµ
nhãm compact sinh ra.
Chøng minh. Ta chøng minh b»ng quy n¹p theo sè chiÒu cña G.
NÕu dim G=1 th× G≅ mµ lµ nhãm compact ®Þa ph−¬ng nªn G lµ nhãm
compact ®Þa ph−¬ng. Do ®ã ∆ lµ nhãm compact sinh ra.
§¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 3A-2007
9
Gi¶ sö kÕt luËn cña bæ ®Ò ®óng ®Õn dim G=n-1, ta chøng minh kÕt luËn cña bæ
®Ò ®óng víi dim G=n. ThËt vËy, v× G lµ nhãm liªn th«ng Lie nªn trong G cã nhãm
con liªn th«ng A kh«ng tÇm th−êng thuéc vµo t©m cña G. Theo ®Þnh lý Cartan-
Maltsev- Iwasawa tæng qu¸t ta cã A=H.V, trong ®ã H lµ nhãm compact liªn th«ng tèi
®¹i cña A, V=H
1
. H
2
... H
n
víi H
i
(i=1, 2, ... , n) lµ c¸c nhãm vect¬ mét chiÒu. Ta lÇn
l−ît xÐt hai tr−êng hîp sau:
Tr−êng hîp 1:
eH
≠
. §Æt
H
G
G=
*
, ta cã dim
=
*
G
dim
<
H
G
dim
G
. Theo gi¶
thiÕt quy n¹p,
H
H∆
=∆
*
lµ nhãm compact sinh ra. MÆt kh¸c, v×
H
H∆
=∆
*
H∩∆
∆
≅
nªn
∆
lµ më réng cña nhãm compact
H
∩
bëi nhãm compact sinh ra
H∩∆
∆
. Do ®ã
lµ nhãm compact sinh ra.
Tr−êng hîp 2:
eH =
. V× G lµ nhãm compact ®Þa ph−¬ng, liªn th«ng nªn G lµ
nhãm compact sinh ra. Khi ®ã, trong G tån t¹i l©n cËn ®èi xøng compact V cña ®¬n
vÞ ®Ó G =
{
}
V
. Ta xÐt nhãm xyclic cÊp v« h¹n sinh bëi phÇn tö
Vv
∈
. Nhãm
{
}
v
lµ
nhãm con rêi r¹c cÊp v« h¹n cña V. Nhãm
{ }
v
V
cã chøa phÇn tö compact kh«ng tÇm
th−êng nªn
{
}
{ }
v
V
,
∆
lµ nhãm compact sinh ra. Do ®ã
{
}
V
,
'
∆=∆
lµ nhãm compact sinh ra.
V× vËy
'
0
'
∆
∆
lµ nhãm luü linh h÷u h¹n sinh. Cã hai kh¶ n¨ng sau:
NÕu ∆
’
=G th× ∆ lµ −íc chuÈn cña G, tøc
0
∆
∆
lµ −íc chuÈn rêi r¹c cña
0
G
G
. V×
mäi nhãm Lie liªn th«ng ®Òu lµ h÷u h¹n sinh nªn
0
∆
∆
lµ nhãm h÷u h¹n sinh, mµ
nhãm liªn th«ng ∆
0
lµ compact sinh ra nªn ∆ lµ nhãm compact sinh ra.
NÕu ∆
’
≠ G th× ∆ ∩
'
0
∆ lµ nhãm compact sinh ra. Ta cã
'
0
'
0
∆
∆⋅∆
≅
0
'∆∩∆
∆
. Nhãm
0
'∆∩∆
∆
h÷u h¹n sinh ®−îc coi nh− nhãm luü linh h÷u h¹n sinh
'
0
'
∆
∆
. Suy ra ∆ lµ
nhãm compact sinh ra.
Bæ ®Ò 3. Gi¶ sö H lµ nhãm con ®ãng cña nhãm compact sinh ra, luü linh x¹
¶nh ®Þa ph−¬ng G. Khi ®ã H lµ nhãm compact sinh ra.
Chøng minh. Ta cã
B
BH
⋅
≅
BH
H
∩
. V×
B
BH
⋅
lµ nhãm con ®ãng cña nhãm luü
linh, liªn th«ng Lie
B
G
nªn theo bæ ®Ò 2 ta cã
B
BH
⋅
lµ nhãm compact sinh ra. Do ®ã
BH
H
∩
còng lµ nhãm compact sinh ra. Nh− vËy H lµ më réng cña nhãm compact
H∩B bëi nhãm compact sinh ra
BH
H
∩
nªn H lµ nhãm compact sinh ra.
§Þnh lý 5. NÕu G lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng, compact sinh ra
th× G lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh.