intTypePromotion=1
ADSENSE

Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phương."

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

98
lượt xem
11
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập những báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh tác giả: 1. Nguyễn Thị Ngọc Diệp, Nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phương...Khoa học (trong tiếng Latin scientia, có nghĩa là "kiến thức" hoặc "hiểu biết") là các nỗ lực thực hiện phát minh, và tăng lượng tri thức hiểu biết của con người về cách thức hoạt động của thế giới vật chất xung quanh. Thông qua các phương pháp kiểm soát, nhà khoa học sử dụng cách quan sát các dấu hiệu biểu hiện mang tính vật chất và bất...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Nhóm tôpô luỹ linh xạ ảnh địa phương."

  1. §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 3A-2007 Nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng nguyÔn thÞ ngäc diÖp (a) Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy chóng t«i chøng minh r»ng tËp hîp c¸c phÇn tö compact trong nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng lËp thµnh mét −íc chuÈn; ®−a ra ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó mét nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng lµ nhãm t«p« luü linh ®Þa ph−¬ng, nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh; ®ång thêi nghiªn cøu tÝnh liªn hîp cña c¸c nhãm con xo¾n trõu t−îng cùc ®¹i cña nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng. Nhãm t«p« G ®−îc gäi lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng nÕu bao ®ãng cña nhãm con h÷u h¹n sinh cña G lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh. Mçi nhãm t«p« luü linh ®Þa ph−¬ng, nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh lµ mét nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng. V× vËy líp nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng réng h¬n líp nhãm t«p« luü linh ®Þa ph−¬ng vµ líp nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh. Mét sè tÝnh chÊt cña nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®· ®−îc chóng t«i nghiªn cøu vµ tr×nh bµy trong [1]. Bµi b¸o nµy tiÕp tôc nghiªn cøu mét sè tÝnh chÊt cña nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng nh−: tËp hîp c¸c phÇn tö compact cña nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng, mét sè líp nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng ®Æc biÖt, nhãm con xo¾n trõu t−îng cùc ®¹i cña nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng. Nhãm t«p« G ®−îc nghiªn cøu ë ®©y lµ nhãm compact ®Þa ph−¬ng, ta dïng ký hiÖu G0 lµ thµnh phÇn liªn th«ng cña ®¬n vÞ e∈G. I. phÇn tö compact cña nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng Trong phÇn nµy ta nghiªn cøu tËp hîp c¸c phÇn tö compact cña nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng. §Þnh lý 1. Gi¶ sö G lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng vµ B lµ tËp hîp c¸c phÇn tö compact cña G. Khi ®ã i) B lµ −íc chuÈn cña nhãm G; ii) Nhãm th−¬ng G B lµ nhãm phi xo¾n t«p«; iii) NÕu N=B.G0 th× G N lµ nhãm rêi r¹c, phi xo¾n trõu t−îng, ®ång thêi N lµ −íc chuÈn cùc tiÓu cã tÝnh chÊt ®ã. Chøng minh. i) Tr−íc hÕt ta chøng minh r»ng bao ®ãng cña nhãm con sinh bëi h÷u h¹n c¸c phÇn tö compact cña G lµ nhãm compact. ThËt vËy, gi¶ sö g1, g2,...,gk lµ c¸c phÇn tö compact cña nhãm G. §Æt H:= {g 1 , g 2 , ... , g k } . V× G lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng nªn H= lim (Hβ,ϕβα,β >α) lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh, trong ®ã ←  . NhËn bµi ngµy 8/8/2007. Söa ch÷a xong 10/9/2007. 5
  2. §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 3A-2007 { } lµ nhãm luü linh, g β β β β Hβ= g1 , g 2 , ... , g k = ϕβ(gi) lµ phÇn tö compact (i = 1, k ) víi i ϕβ:H→Hβ lµ ®ång cÊu chÝnh t¾c cña nhãm H lªn Hβ. Theo bæ ®Ò 3.5 [2], Hβ lµ compact, suy ra H lµ nhãm compact. V× vËy tËp hîp B c¸c phÇn tö compact cña nhãm t«p« G luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng t¹o thµnh nhãm con cña nhãm trõu t−îng G. Ta ®· biÕt r»ng B lµ nhãm con xo¾n t«p« víi t«p« c¶m sinh. MÆt kh¸c theo ®Þnh lý Cartan- Maltsev- Iwasawa [3], ta cã B = C.H1 ... Hm, trong ®ã Hi lµ nhãm vect¬ mét chiÒu, C lµ nhãm compact cùc ®¹i. V× B lµ nhãm xo¾n t«p« nªn Hi=〈e〉. VËy B lµ nhãm compact bÊt biÕn cña G. ii) N=B.G0 lµ nhãm con më. Gi¶ sö g*=gB lµ phÇn tö compact cña G*= G B . Khi G0 G0 ®ã N*= N B lµ nhãm con bÊt biÕn më trong G*, ®ång thêi N*≅ B0 . V× G0 = G0 ∩ B lµ nhãm compact sinh ra nªn H*:={g*} lµ nhãm compact cña G*. Suy ra * * * H * .N * ≅H lµ nhãm compact rêi r¹c v× H*∩N*⊂H* lµ , do ®ã H .N N* * * * H ∩N N * * nhãm con më trong H*. Suy ra H .N lµ nhãm h÷u h¹n. V× vËy g* k ∈N* hay gk∈N N* G0 = N B = N* lµ nhãm Lie, phi xo¾n vµ hiÓn nhiªn g* k lµ phÇn tö compact. Khi ®ã B0 t«p«. V× B0 lµ nhãm compact nªn N* lµ giíi h¹n x¹ ¶nh cña c¸c nhãm Lie liªn th«ng. Suy ra g* k =e* tøc gk∈B. Do ®ã g lµ phÇn tö compact. §iÒu nµy tr¸i víi gi¶ thiÕt g∉B. VËy G B lµ nhãm phi xo¾n t«p«. iii) Ta chøng minh G’= G lµ nhãm rêi r¹c, phi xo¾n trõu t−îng. Gi¶ sö h’=hN N lµ phÇn tö compact. V× N më nªn nhãm con {gN } lµ nhãm compact rêi r¹c. Suy ra m m {gN } lµ nhãm xyclic h÷u h¹n, do ®ã h’ =e’. V× vËy hm∈N. §Æt h* :=h.Bm, ta cã m G0 h* ∈N* víi N*= * * * B0 ≅ G0 tøc K :={h , N } lµ më réng bëi h÷u h¹n nhãm liªn th«ng. * Theo ®Þnh lý Cartan- Maltsev- Iwasawa [3] suy ra K*=D*.N* víi D* lµ nhãm h÷u h¹n. V× G B lµ nhãm phi xo¾n t«p« nªn D*=〈e*〉 hay h’=e’. V× ®èi víi bÊt kú mét nhãm con bÊt biÕn F mµ nhãm th−¬ng G F lµ nhãm phi xo¾n t«p« th× F ph¶i chøa G0 vµ B nªn N lµ nhãm con nhá nhÊt cña G0 chøa G0 vµ B. VËy N lµ −íc chuÈn cùc tiÓu ®Ó nhãm th−¬ng G N lµ nhãm rêi r¹c, phi xo¾n trõu t−îng. ii. nhãm con xo¾n trõu t−îng cùc ®¹i cña nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng Trong nhãm trõu t−îng còng nh− trong nhãm t«p«, tËp hîp c¸c phÇn tö cã cÊp h÷u h¹n nãi chung kh«ng lµm thµnh mét nhãm con. V× vËy bµi to¸n nghiªn cøu c¸c 6
  3. §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 3A-2007 nhãm con xo¾n trõu t−îng cùc ®¹i cña nhãm t«p« ®−îc nhiÒu nhµ to¸n häc quan t©m, ®Æc biÖt lµ vÊn ®Ò: khi nµo tËp hîp c¸c nhãm con xo¾n trõu t−îng cùc ®¹i chia ra mét sè h÷u h¹n líp liªn hîp. Trong phÇn nµy chóng t«i chøng minh r»ng nÕu G lµ nhãm compact, luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng sao cho G G h÷u h¹n th× trong G chØ cã 0 mét líp nhãm con xo¾n trõu t−îng cùc ®¹i liªn hîp. Bæ ®Ò 1. Gi¶ sö trong nhãm trõu t−îng G cã −íc chuÈn gi¶i ®−îc R cã chØ sè h÷u h¹n vµ c¸c phÇn tö cã cÊp h÷u h¹n cña R lµm thµnh −íc chuÈn R* sao cho nhãm th−¬ng R R lµ nhãm phi xo¾n, ®Çy ®ñ, luü linh. Khi ®ã c¸c nhãm xo¾n trõu t−îng * cùc ®¹i trong G liªn hîp víi nhau. Chøng minh. XÐt nhãm th−¬ng G*= G R . V× R*= R R lµ nhãm luü linh phi xo¾n * * * lµ nhãm h÷u h¹n nªn G*=D*.R*, D*∩ R*=〈e*〉 vµ tÊt c¶ c¸c D* liªn trõu t−îng vµ G R* hîp víi nhau trong G*. Gi¶ sö P1, P2 lµ hai nhãm con xo¾n trõu t−îng cùc ®¹i trong P P2 G. Ta cã R*⊂ P1∩P2. Do ®ã P1 * = R* , P2 = R* lµ c¸c nhãm con xo¾n trõu t−îng cùc 1 * ®¹i trong R*, suy ra chóng liªn hîp víi nhau. VËy P1, P2 liªn hîp víi nhau trong G. §Þnh lý 2. Gi¶ sö G lµ nhãm compact, luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng sao cho nhãm th−¬ng G G h÷u h¹n. Khi ®ã c¸c nhãm con xo¾n trõu t−îng cùc ®¹i liªn hîp 0 víi nhau trong G. Chøng minh. V× G0 lµ nhãm compact, luü linh, liªn th«ng nªn G0 lµ xuyÕn. Ta xn, n lµ sè tù chøng minh G0 lµ nhãm ®Çy ®ñ. ThËt vËy, xÐt ¸nh x¹ ϕ : G0 → G0, x nhiªn. Do G0 lµ nhãm Abel nªn ϕ lµ ¸nh x¹ ®ång cÊu vµ ϕ(G0) lµ nhãm liªn th«ng. V× G0 G0 * ϕ (G0 ) =〈e 〉. Suy ra G0=ϕ(G0) hay ϕ (G0 ) kh«ng thÓ lµ nhãm xo¾n liªn th«ng nªn G0 lµ nhãm ®Çy ®ñ. Gi¶ sö T lµ tËp hîp c¸c phÇn tö cã cÊp h÷u h¹n trong G0. Ta cã G T lµ nhãm ®Çy ®ñ, phi xo¾n, Abel nªn G T lµ nhãm ®Çy ®ñ, phi xo¾n, luü linh. Khi ®ã theo bæ ®Ò 1, c¸c nhãm con xo¾n trõu t−îng cùc ®¹i trong G liªn hîp víi nhau. III. mét sè líp nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng Nhãm t«p« luü linh ®Þa ph−¬ng, nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Òu lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng. Nh−ng ®iÒu ng−îc l¹i kh«ng ph¶i bao giê còng ®óng. Trong phÇn nµy ta xÐt mét sè líp nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng cã chiÒu ng−îc l¹i. §Þnh lý 3. Gi¶ sö G lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng Lie. Khi ®ã G lµ nhãm t«p« luü linh ®Þa ph−¬ng. 7
  4. §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 3A-2007 Chøng minh. Gi¶ sö g1, g2, ..., gk lµ c¸c phÇn tö cña G. Ta cÇn chøng minh r»ng H= {g 1 , g 2 , ..., g k } lµ nhãm t«p« luü linh. ThËt vËy, v× G lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng mµ H lµ bao ®ãng cña nhãm con h÷u h¹n sinh cña G nªn H lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh. MÆt kh¸c trong nhãm Lie H kh«ng cã nhãm con nhá tuú ý nªn tån t¹i l©n cËn ®ñ nhá cña ®¬n vÞ e mµ trong ®ã chØ cã nhãm con ®¬n vÞ 〈e〉 lµ −íc chuÈn tÇm th−êng duy nhÊt. Do H lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh nªn H e lµ nhãm t«p« luü linh hay H lµ nhãm t«p« luü linh. VËy G lµ nhãm t«p« luü linh ®Þa ph−¬ng. §Þnh lý 4. Gi¶ sö G lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng, liªn th«ng. Khi ®ã G lµ nhãm t«p« luü linh. Chøng minh. V× G lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng, liªn th«ng nªn tån t¹i −íc chuÈn compact F cña G ®Ó nhãm th−¬ng G F lµ nhãm Lie. Nh− vËy nhãm th−¬ng G F lµ liªn th«ng, luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng, Lie, do ®ã theo ®Þnh lý 3 ta cã G F lµ nhãm luü linh. Gäi F0 lµ thµnh phÇn liªn th«ng cña ®¬n vÞ cña nhãm compact F. Khi ®ã F0 lµ nhãm luü linh, compact, liªn th«ng. V× vËy F0 lµ xuyÕn bÊt biÕn thuéc t©m cña G. Suy ra F0 thuéc t©m cña F. Ta cã nhãm th−¬ng F F lµ −íc chuÈn hoµn toµn kh«ng liªn th«ng cña nhãm 0 liªn th«ng G G . Suy ra F F thuéc t©m cña G F . Do ®ã F F lµ nhãm Abel. V× vËy 0 0 0 0 F F0 lµ nhãm luü linh. Nh− vËy F lµ më réng trung t©m cña nhãm luü linh F0 bëi nhãm luü linh F F , do ®ã F lµ nhãm luü linh. 0 G F0 ≅ G F trong ®ã G F lµ nhãm luü linh, F F thuéc t©m cña G F . Do Ta cã F 0 0 F0 ®ã G F lµ më réng trung t©m cña nhãm luü linh F F bëi nhãm luü linh G F . V× vËy 0 0 G F0 lµ nhãm luü linh. V× F0 thuéc t©m cña G nªn G lµ më réng trung t©m cña nhãm luü linh F0 bëi nhãm luü linh G F . Do ®ã G lµ nhãm luü linh. 0 Trong lý thuyÕt nhãm t«p«, ®èi víi líp nhãm sinh bëi mét tËp compact th× khi lÊy t«p« rêi r¹c nã lµ nhãm trõu t−îng h÷u h¹n sinh. Ta gäi líp nhãm ®ã lµ líp nhãm t«p« compact sinh ra. Bæ ®Ò 2. NÕu ∆ lµ nhãm con ®ãng cña nhãm luü linh, liªn th«ng Lie G th× ∆ lµ nhãm compact sinh ra. Chøng minh. Ta chøng minh b»ng quy n¹p theo sè chiÒu cña G. NÕu dim G=1 th× G≅» mµ » lµ nhãm compact ®Þa ph−¬ng nªn G lµ nhãm compact ®Þa ph−¬ng. Do ®ã ∆ lµ nhãm compact sinh ra. 8
  5. §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 3A-2007 Gi¶ sö kÕt luËn cña bæ ®Ò ®óng ®Õn dim G=n-1, ta chøng minh kÕt luËn cña bæ ®Ò ®óng víi dim G=n. ThËt vËy, v× G lµ nhãm liªn th«ng Lie nªn trong G cã nhãm con liªn th«ng A kh«ng tÇm th−êng thuéc vµo t©m cña G. Theo ®Þnh lý Cartan- Maltsev- Iwasawa tæng qu¸t ta cã A=H.V, trong ®ã H lµ nhãm compact liªn th«ng tèi ®¹i cña A, V=H1. H2 ... Hn víi Hi(i=1, 2, ... , n) lµ c¸c nhãm vect¬ mét chiÒu. Ta lÇn l−ît xÐt hai tr−êng hîp sau: Tr−êng hîp 1: H ≠ e . §Æt G * = G H , ta cã dim G * = dim G H < dim G . Theo gi¶ thiÕt quy n¹p, ∆* = ∆H H lµ nhãm compact sinh ra. MÆt kh¸c, v× ∆* = ∆H H ≅ ∆ ∆ ∩ H nªn ∆ lµ më réng cña nhãm compact ∆ ∩ H bëi nhãm compact sinh ra ∆ ∆ ∩ H . Do ®ã ∆ lµ nhãm compact sinh ra. Tr−êng hîp 2: H = e . V× G lµ nhãm compact ®Þa ph−¬ng, liªn th«ng nªn G lµ nhãm compact sinh ra. Khi ®ã, trong G tån t¹i l©n cËn ®èi xøng compact V cña ®¬n vÞ ®Ó G = { } . Ta xÐt nhãm xyclic cÊp v« h¹n sinh bëi phÇn tö v ∈ V . Nhãm {v} lµ V nhãm con rêi r¹c cÊp v« h¹n cña V. Nhãm V {v} cã chøa phÇn tö compact kh«ng tÇm th−êng nªn {∆, V }{v} lµ nhãm compact sinh ra. Do ®ã ∆' = {∆, V } lµ nhãm compact sinh ra. ' V× vËy ∆ lµ nhãm luü linh h÷u h¹n sinh. Cã hai kh¶ n¨ng sau: ∆'0 NÕu ∆’=G th× ∆ lµ −íc chuÈn cña G, tøc ∆ ∆ lµ −íc chuÈn rêi r¹c cña G G . V× 0 0 mäi nhãm Lie liªn th«ng ®Òu lµ h÷u h¹n sinh nªn ∆ ∆ lµ nhãm h÷u h¹n sinh, mµ 0 nhãm liªn th«ng ∆0 lµ compact sinh ra nªn ∆ lµ nhãm compact sinh ra. ' NÕu ∆’ ≠ G th× ∆ ∩ ∆'0 lµ nhãm compact sinh ra. Ta cã ∆ ⋅ ∆ 0 . Nhãm ≅∆ ∆'0 ∆ ∩ ∆ '0 ' h÷u h¹n sinh ®−îc coi nh− nhãm luü linh h÷u h¹n sinh ∆ . Suy ra ∆ lµ ∆ ∆'0 ∆ ∩ ∆ '0 nhãm compact sinh ra. Bæ ®Ò 3. Gi¶ sö H lµ nhãm con ®ãng cña nhãm compact sinh ra, luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng G. Khi ®ã H lµ nhãm compact sinh ra. Chøng minh. Ta cã H ⋅ B B ≅ H H ∩ B . V× H ⋅ B B lµ nhãm con ®ãng cña nhãm luü linh, liªn th«ng Lie G B nªn theo bæ ®Ò 2 ta cã H ⋅ B B lµ nhãm compact sinh ra. Do ®ã còng lµ nhãm compact sinh ra. Nh− vËy H lµ më réng cña nhãm compact H H ∩B H∩B bëi nhãm compact sinh ra H H ∩ B nªn H lµ nhãm compact sinh ra. §Þnh lý 5. NÕu G lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng, compact sinh ra th× G lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh. 9
  6. §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 3A-2007 Chøng minh. §Æt H=B.G0, trong ®ã B lµ tËp tÊt c¶ c¸c phÇn tö compact cña G. Theo ®Þnh lý 1 ta cã G H lµ nhãm rêi r¹c, compact sinh ra nªn nã h÷u h¹n sinh. Suy ra G={g1, g2, ... , gk, H} víi gi (i = 1, 2, ... , k) lµ c¸c phÇn tö ®¹i diÖn cña c¸c líp ghÐp h÷u h¹n sinh cña G H . Ta xÐt Fh= {g 1 , g 2 , ..., g k , h1 , h2 , ..., hm } víi h=〈h1, h2,...,hm〉, hj∈H, j=1, 2, ... , m. V× G lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng nªn Fh lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh. Do ®ã Fh lµ nhãm Lie x¹ ¶nh. Gi¶ sö V lµ mét l©n cËn cña ®¬n vÞ e∈G. Ký hiÖu Vh=V∩Fh. Do Fh lµ nhãm Lie x¹ ¶nh nªn tån t¹i −íc chuÈn Rh⊂Vh Fh Rh lµ nhãm Lie x¹ ¶nh. ë ®©y ta cã thÓ lÊy V lµ l©n cËn compact cña e∈G. sao cho H¬n thÕ n÷a, theo kÕt qu¶ cña Iwasawa- Yamabe, ta cã thÓ chän trong G mét hÖ l©n cËn ®Çy ®ñ cña ®¬n vÞ e mµ mçi l©n cËn Vα lµ tÝch trùc tiÕp cña nhãm compact vµ nhãm Lie ®Þa ph−¬ng kh«ng cã nhãm con kh«ng tÇm th−êng. Nhê vËy thµnh phÇn compact cã thÓ chän ®Ó sao cho nã lµ −íc chuÈn cña nhãm con më Lie x¹ ¶nh. §Æc biÖt ta cã thÓ gi¶ thiÕt l©n cËn V=BV.LV, trong ®ã BV lµ −íc chuÈn compact cña H, LV lµ nhãm Lie compact ®Þa ph−¬ng. Ta cã thÓ gi¶ thiÕt nhãm LV lµ nhãm Lie ®Þa ph−¬ng ®Ó sao cho bÊt kú nhãm con trong V ®−îc chøa trong BV. ThËt vËy, gi¶ sö W lµ l©n cËn cña ®¬n vÞ thuéc LV sao cho W2⊂LV. Ta xÐt tËp V’=BV.W. NÕu {v’} lµ nhãm xyclic sinh bëi v’∈V’ th× v’=bV.w víi bV∈BV, w∈W. Gi¶ sö w≠e. Ta ký hiÖu n lµ sè nhá n nhÊt sao cho wn∉W. Khi ®ã v’ =bVn . wn =b.w0, b∈BV, w0∈W. Do wn, w0 thuéc LV nªn n wn=w0. V× v’ biÓu diÔn ®−îc mét c¸ch duy nhÊt nªn vn=v0, tr¸i víi gi¶ thiÕt c¸ch chän n. Suy ra w=e. Do ®ã tÊt c¶ c¸c −íc chuÈn RV, Vh thuéc BV. { } lµ nhãm t«p« sinh bëi tÊt c¶ c¸c −íc chuÈn Ta ký hiÖu R = RVh RVh . Suy ra { } víi b ∈B. Ta cã B −1 R⊂BV. §Æt R’= bi R, bi lµ nhãm con bÊt biÕn trong B tøc R’ thuéc i V BV vµ râ rµng R’ còng lµ nhãm con bÊt biÕn trong B. V× gi. RVh . gi-1= RVh , i= 1, k nªn gi.R. gi-1=R, i= 1, k , mµ gi. R’. gi-1=R’ suy ra G0∈ZG(R’). VËy R’ lµ −íc chuÈn cña G thuéc V. Ta chøng minh G lµ nhãm luü linh ®Þa ph−¬ng. ThËt vËy, gi¶ sö R' . lµ nhãm con h÷u h¹n sinh. Khi ®ã F≅ { f1 , f 2 , ..., f k } F= { f1 , f 2 , ..., f k }. R ' . { f1, f 2 , ..., f k } ∩ R ' ' R Suy ra F lµ nhãm luü linh v× Rf⊂R’ víi f=〈f1,f2,...,fk〉 vµ B= lim (Bβ,ϕβ α,β >α), trong ®ã Bβ ←  lµ nhãm compact Lie luü linh. Nh− vËy ta t×m ®−îc mét thµnh phÇn Zk cña d·y t©m d−íi cña nhãm B sao cho Z k ⊂V tøc Z k ⊂BV. Râ rµng Z k lµ nhãm con bÊt biÕn trong G. Do ®ã F’:=R’. Z k còng bÊt biÕn trong G vµ F’⊂BV. Tõ cÊu tróc cña F’ suy ra phÇn xo¾n t«p« cña B lµ nhãm luü linh ®Þa ph−¬ng, compact sinh ra cña nhãm luü linh F' 10
  7. §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 3A-2007 G . V× G lµ l©n cËn tuú ý cña V nªn G lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh. F' §Þnh lý 6. Gi¶ sö G lµ nhãm compact sinh ra, trong G cã −íc chuÈn luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng trï mËt L. Khi ®ã G lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh. Chøng minh. Gi¶ sö M lµ nhãm con më cña nhãm G sao cho M G lµ nhãm 0 compact. Khi ®ã theo ®Þnh lý Yamabe [6], M lµ nhãm luü linh x¹ ¶nh Lie. Víi tr−êng hîp G lµ nhãm Lie, ®Þnh lý ®· ®−îc chøng minh trong [4]. NÕu G G lµ nhãm 0 L G0 compact hoµn toµn kh«ng liªn th«ng th× ®Þnh lý ®óng ®èi víi G G v× trï mËt G0 0 trong G G . Do G G lµ compact sinh ra nªn tËp hîp c¸c phÇn tö compact cña G t¹o 0 0 thµnh nhãm compact B*. Ta cã thÓ gi¶ thiÕt r»ng B* = M G . Khi ®ã M lµ nhãm con 0 bÊt biÕn trong G vµ G M lµ nhãm luü linh, rêi r¹c, h÷u h¹n sinh. V× L M M trï mËt trong G M nªn ta cã thÓ chän c¸c phÇn tö ®¹i diÖn cho c¸c phÇn tö sinh cña thuéc L. Gi¶ sö f1, f2,..., fr∈L. Ký hiÖu V lµ l©n cËn compact bÊt kú cña ®¬n vÞ e ∈ G M G. Theo kÕt qu¶ cña Iwasawa- Yamabe [6], ta cã thÓ chän trong M mét hÖ l©n cËn ®Çy ®ñ cña ®¬n vÞ e mµ mçi l©n cËn Uα ph©n tÝch ®−îc thµnh tÝch trùc tiÕp cña nhãm compact vµ nhãm Lie ®Þa ph−¬ng kh«ng chøa nhãm con kh«ng tÇm th−êng. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ thiÕt Uα =V. XÐt nhãm con h÷u h¹n sinh, compact sinh ra { f1 , f 2 , ... , f r , h1 , h2 , ... , ht } víi hi∈L. Lý luËn t−¬ng tù c¸ch chøng minh ®Þnh lý 5, trong V cã −íc chuÈn HV cña nhãm G sao cho L. HV H lµ nhãm luü linh ®Þa ph−¬ng. V víi Z k lµ thµnh phÇn cña d·y t©m d−íi cña M ®−îc B»ng c¸ch th−¬ng ho¸ G Zk chøa trong G, ta cã thÓ gi¶ thiÕt M lµ nhãm luü linh. Khi ®ã G H lµ nhãm luü linh V ®Þa ph−¬ng v× nã lµ nhãm sinh bëi −íc chuÈn luü linh ®Þa ph−¬ng L. HV H vµ V M . HV . Suy ra G H lµ nhãm luü linh. VËy G lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh. HV V §Þnh lý 7. Gi¶ sö H lµ −íc chuÈn luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng cña nhãm t«p« G. Khi ®ã H lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng. Chøng minh. BÊt kú mét nhãm con h÷u h¹n sinh nµo cña H còng ®−îc chøa trong mét nhãm con më compact sinh ra D cña G, mµ H∩D lµ nhãm con bÊt biÕn trï mËt trong D. Do ®ã theo ®Þnh lý 6 ta cã D lµ nhãm luü linh x¹ ¶nh. VËy H lµ nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh ®Þa ph−¬ng. 11
  8. §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 3A-2007 T I liÖu tham kh¶o [1] NguyÔn ThÞ Ngäc DiÖp, Mét sè tÝnh chÊt cña nhãm t«p« luü linh x¹ ¶nh, T¹p chÝ khoa häc, Tr−êng §¹i häc Vinh, TËp XXXIII, Sè 4A (2004), 5-10. [2] B. M. Γлущков, Локaльно нильпонmенmные локaльно бикомпакmные груnпы, Труды Мосk Матем, об – ва, 4 (1955), 291- 332. [3] B. П. Платонов, Периодические и компакmные подгрупы mопологическиx групп, Cиб. Maтем., VII, N04 (1966), 854- 877. [4] B. П. Платонов, Энгелевы элеменmы и радикал в PI- алгебраx и mопологическиx группаx, ДOKЛ. AH CCCP, 161 N02 (1965), 288- 271. [5] H. Yamabe, On conjecture of Iwasawa and Gleason, Ann of Math., 58, N01 (1953), 48- 54. [6] H. Yamabe, A generalization of a theorem of Gleason, Ann of Math., 58, N02 (1953) 351-365. Summary Topological locally projective nilpotent groups In this paper we proved that the set of compact elements of a topological locally projective nilpotent group is a normal subgroup; give sufficient conditions such that a topological locally projective nilpotent group is a topological locally nilpotent group or a topological projective nilpotent group; also present conjugacy of maximum twisting abstract subgroups of a topological locally projectively nilpotent group. (a) cao häc 13 ®¹i sè, tr−êng ®¹i häc vinh. 12
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD


intNumView=98

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2