Báo cáo nghiên cứu khoa học: "TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ COMPACT CỦA ĐƠN HÌNH CHUẨN TRONG KHÔNG GIAN"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Nguyễn Phương Hà Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

72
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập báo cáo nghiên cứu khoa học của trường đại học Đà Nẵng đề tài: TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ COMPACT CỦA ĐƠN HÌNH CHUẨN TRONG KHÔNG GIAN...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ COMPACT CỦA ĐƠN HÌNH CHUẨN TRONG KHÔNG GIAN"

TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ COMPACT CỦA ĐƠN HÌNH CHUẨN TRONG KHÔNG GIAN l p (0
ε0 >0 : d(x, f(x)) ε0 ; x X (*). Giả sử ngược lại ε 0, x X : d(x,f (x)) ε; 1 1 , chọn ε x n X : d(x n , f (x n )) ;n . Do {f(xn)} K , do K compact nên n n n tồn tại dãy con f (x m n ) của dãy f (x n ) và tồn tại y0 K : lim d(f (x mn ), y 0 ) 0 (1) n 1 Do d(f (x n ), x n ) ;n n 1 1 d(f (x mn ), x mn ) ;n mn n lim d(f (x mn ), x mn ) 0 (2) n vô lí.  Từ (1), (2) lim d(x mn , y 0 ) 0 lim d(f (x mn ), f (y 0 )) 0 y0 f (y 0 ) n n Định nghĩa. Cho A là một tập lồi trong một không gian metric tuyến tính (X,d), A được gọi là có tính chấp nhận được nếu ε 0 , với mỗi tập compact K A thì tồn tại hàm A liên tục mà d(h(x), x) ε; x K và h(K) nằm trong một không gian tuyến tính con h:K hữu hạn chiều của X. Ta có Bổ đề 2. Cho A là một tập lồi trong một không gian metric tuyến tính (X,d). Nếu A có tính chấp nhận được thì A có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ compact. Chứng minh. Giả sử ngược lại f : A A là ánh xạ compact mà không có điểm bất động ε0 0 : d(f (x), x) ε0 ; x A . Gọi K là tập compact trong A mà f (A) K . ε0 Do A có tính chấp nhận được nên g : K A liên tục mà d(g(x), x) ; x K và 4 g (K) nằm trong 1 không gian tuyến tính con hữu hạn chiều L của X g(K) L A L A là tập lồi trong không gian metric tuyến tính hữu hạn chiều L Xét g  f |A L:A L A L Ta biết rằng mỗi không gian metric tuyến tính hữu hạn chiều là một không gian metric tuyến tính lồi địa phương L A là một AR L A có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ compact mà g  f |A L (A L) g(K), mà g(K) là tập compact ε0 ε0 x0 A L : g  f (x 0 ) x 0 d(g(f (x 0 )), f (x 0 )) d(x 0 , f (x 0 )) 4 4 vô lí.  mà d(x0 ,f (x0 )) ε0 Trong l p (0
e1 (1, 0, 0,..., 0,...) e2 (0,1, 0,..., 0,...) e3 (0, 0,1,..., 0,...) ... en (0, 0,...,1, 0,...) Đặt A conv e1, e 2 , e3 ,..., e n ,... , A là đơn hình chuẩn trong l p (0
p Ta thấy x (q) x n x (q) x n 0(khi q ) n n n1 n1 p  x (q) x (q) ) x (q) x n x (q) x n mà q ; xn (x n n n n n n1 n1 n1 n1 n1 p p x (q) x (q) x n x (q) x (q) x n xn n n n n n1 n1 n1 n1 n1 p p x (q) x n x (q) x n 1 xn 1 n n n1 n1 n1 Qua giới hạn khi q 1 xn 1 xn 1 n1 n1 p p p p p 2d(p n (x), x) . d(f n (x), x) xk xk xk xk 2 xk kn1 kn1 kn1 kn1 kn1 Do đó ta cần chứng minh d(pn0 (x), x) ε; x K thì A có tính chấp nhận được.Giả sử ngược lại, ε 0; n0 : p ε0 0: n ,x (x1 , x 2 ,..., x n , x n 1,...) K : d(p n (x), x) ε 0 xk ε 0 (*) kn1 p p Sử dụng (*) ε0 .Do chuỗi x (1) hội tụ nên x(1) (x1 , x(1) ,..., x(1) , x(1)1,...) K mà (1) x (1) 2 k k k k k1 k1 ε0 p  x (1) n1 : k 4 k n1 1 ε0 p p ε0 và n 2 x (2) (x1 , x (2) ,..., x (2) , x (2) 1,...) K : (2) x (2) x (2) . , n2 n1 : 2 n1 n1 k k 4 k n1 1 k n2 1 Tiếp tục quá trình này ta tìm được dãy {x } K mà với mọi l>k thì ( k) 3ε 0 d(x(k),x(l)) K không hoàn toàn giới nội K không compact vô lí. Vậy định lý được 4 chứng minh xong.  TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] C.Bessaga and A.Pelczynski, Selected topics in infinite dimensional topology, PWN, Warszawa,1975. [2] J.Dugundji and A.Granas, Fixed point theory I, Warszawa, 1982. [3] Lê Hoàng Trí, "The AR-property of bound convex in the space lp (0