intTypePromotion=1
ADSENSE

Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về đối khối lượng của tích các dạng phức."

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

80
lượt xem
5
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh tác giả. 1. Nguyễn Duy Bình, Thái Thị Bích Hường, Về đối khối lượng của tích các dạng phức...Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số." Theo quan điểm chính thống, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng Luận lý học...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về đối khối lượng của tích các dạng phức."

  1. T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 4A-2007 §¹i häc Vinh VÒ ®èi khèi l−îng cña tÝch c¸c d¹ng phøc NguyÔn Duy B×nh (a), (b) Th¸i ThÞ BÝch H−êng Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy chóng t«i chøng minh r»ng ®¼ng thøc vÒ ®èi khèi l−îng cña tÝch hai d¹ng phøc lµ ®óng trong tr−êng hîp khi mét trong c¸c nh©n tö lµ phøc hãa cña mét d¹ng t¸ch ®−îc hoÆc hai nh©n tö lµ c¸c 3-d¹ng phøc. Mét øng dông cña ®¼ng thøc trªn ®· ®−îc chØ ra. 1. Lêi giíi thiÖu Bµi to¸n x¸c ®Þnh h−íng cùc ®¹i cña mét d¹ng vi ph©n vµ ®ång thêi víi nã lµ bµi to¸n tÝnh ®èi khèi l−îng cña mét d¹ng vi ph©n cã vai trß quan träng trong viÖc t×m ®a t¹p con cùc tiÓu trong líp c¸c ®a t¹p cïng biªn hoÆc cïng líp ®ång ®iÒu trong mét ®a t¹p Riemann theo nguyªn lý d¹ng cì (xem [1]). Víi viÖc phøc hãa mét d¹ng thùc chóng ta nhËn ®−îc d¹ng trªn kh«ng gian cã sè chiÒu gÊp ®«i. C©u hái vÒ ®èi khèi l−îng cña d¹ng phøc hãa cã b»ng ®èi khèi l−îng cña d¹ng thùc ban ®Çu hay kh«ng, tËp c¸c h−íng cùc ®¹i cña phÇn thùc d¹ng phøc hãa quan hÖ víi tËp c¸c h−íng cùc ®¹i cña d¹ng thùc ban ®Çu nh− thÕ nµo vÉn cßn lµ mét bµi to¸n më. Trong [4] ®· cho mét sè kÕt qu¶ vÒ vÊn ®Ò trªn trong tr−êng hîp phøc hãa cña c¸c d¹ng t¸ch ®−îc. Trong viÖc kh¶o s¸t ®èi khèi l−îng cña c¸c d¹ng phøc hãa, tæng qu¸t h¬n lµ cña c¸c d¹ng phøc, bµi to¸n vÒ ®èi khèi l−îng cña tÝch c¸c d¹ng ®−îc ®Æt ra: liÖu ®èi khèi l−îng cña tÝch cã thÓ tÝnh qua ®èi khèi l−îng cña c¸c nh©n tö hay kh«ng? Trªn c¸c d¹ng thùc, ®¼ng thøc vÒ ®èi khèi l−îng cña tÝch c¸c d¹ng cã ý nghÜa quan träng trong viÖc chøng tá tÝch §Ò C¸c cña hai ®a t¹p con cùc tiÓu lµ cùc tiÓu trong ®a t¹p tÝch vµ ®· ®−îc chøng minh trong mét sè tr−êng hîp. §èi khèi l−îng cña tÝch hai d¹ng b»ng tÝch c¸c ®èi khèi l−îng cña c¸c nh©n tö trong c¸c tr−êng hîp sau: mét trong hai nh©n tö cã bËc 2 hoÆc ®èi bËc 2; c¶ hai nh©n tö ®Òu cã bËc lµ 3; mét trong hai nh©n tö lµ d¹ng xuyÕn; mét trong hai nh©n tö lµ d¹ng E-t¸ch ®−îc; c¶ hai nh©n tö ®Òu cã bËc lµ 3; mét nh©n tö lµ d¹ng bËc 3 trªn kh«ng gian 6 chiÒu (xem [5]). Môc ®Ých cña bµi b¸o nµy lµ kh¶o s¸t ®èi khèi l−îng cña mét sè tÝch hai d¹ng phøc, ®Æc biÖt khi chóng lµ c¸c d¹ng phøc hãa. KÕt qu¶ chÝnh thu ®−îc ë ®©y lµ ®èi khèi l−îng tÝch c¸c d¹ng phøc hãa b»ng tÝch c¸c ®èi khèi l−îng cña c¸c nh©n tö khi mét trong hai d¹ng lµ phøc hãa cña mét d¹ng E- t¸ch ®−îc (§Þnh lý 3.1, §Þnh lý 3.2) hoÆc hai nh©n tö lµ c¸c 3-d¹ng phøc trªn c¸c kh«ng gian phøc trùc giao (§Þnh lý 4.2) vµ ¸p dông c¸c ®¼ng thøc tÝch nµy chóng ta nhËn ®−îc tÝnh chÊt cña ®èi khèi l−îng vµ tËp c¸c h−íng cùc ®¹i cña mét líp c¸c 6-d¹ng thùc (HÖ qu¶ 4.3). NhËn bµi ngµy 18/9/2007. Söa ch÷a xong 07/12/2007. 5
  2. ... cña tÝch c¸c d¹ng phøc, tr. 5-14 NguyÔn D. B×nh, Th¸i T. B. H−êng 2. D¹ng thùc t¸ch ®−îc v phøc hãa mét d¹ng thùc Trong môc nµy chóng ta nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ cÇn thiÕt cho c¸c phÇn sau. Cho ω lµ mét k-d¹ng (k-c«vect¬) trªn kh«ng gian vect¬ ¥clit »n víi tÝch v« ∑a b h−íng tiªu chuÈn = , ë ®©y a = (ai), b = (bi). ChuÈn ®èi khèi l−îng cña ii * ω , ký hiÖu ω , x¸c ®Þnh bëi * ω =max{ ω ( ξ ), ξ ∈ G(k, »n)}, ë ®©y G(k, »n) lµ tËp tÊt c¶ c¸c kh«ng gian con ®Þnh h−íng k chiÒu trong »n vµ cã thÓ ®ång nhÊt víi tËp tÊt c¶ c¸c k-vect¬ ®¬n, ®¬n vÞ trong »n. TËp G( ω ) c¸c h−íng cùc ®¹i cña ω ®−îc cho bëi * G( ω )= { ξ ∈ G(k, »n ), ω ( ξ )= ω }. Trªn kh«ng gian »n xÐt tÝch v« h−íng Hecmit = ∑z w , ë ®©y z=(zi), i i w=(wi). Khi ®ã »n lµ kh«ng gian ¥clit 2n chiÒu víi tÝch v« h−íng thùc R = vµ kh«ng gian »n ={(wi) ∈Cn, wi ∈»} víi tÝch v« h−íng tiªu ∑z w Re=Re i i chuÈn lµ kh«ng gian con cña kh«ng gian ¥clit »n. HÖ vect¬ trùc chuÈn ®èi víi tÝch v« h−íng thùc vµ ®èi víi tÝch v« h−íng Hecmit trªn »n ®−îc gäi gän lµ trùc chuÈn thùc vµ trùc chuÈn phøc t−¬ng øng. Trªn kh«ng gian vect¬ ¥clit »n, kh«ng gian con thùc V ⊂ »n ®−îc gäi lµ kh«ng gian con ®¼ng h−íng nÕu iu ⊥ V víi mäi u ∈V. Mét k- vect¬ ®¬n, ®¬n vÞ ξ trªn kh«ng gian vect¬ thùc »n ®−îc gäi lµ k-vect¬ ®¼ng h−íng nÕu kh«ng gian con liªn kÕt víi nã, spanR ξ , lµ kh«ng gian con ®¼ng h−íng. §Ó ý r»ng mét hÖ vect¬ u1, u2,...,uk ∈»n lµ trùc chuÈn phøc nÕu vµ chØ nÕu hÖ u1, u2,...,uk lµ trùc chuÈn thùc vµ spanR{ u1, u2,...,uk} lµ kh«ng gian con ®¼ng h−íng cña »n. Víi mét k-d¹ng trªn »n, d¹ng phøc hãa cña nã trªn »n (xem [4]) ®−îc x©y dùng nh− sau: Gi¶ sö e1, e2,...en lµ mét c¬ së trùc chuÈn cña »n. Khi ®ã e1, e2,...en, ie1, ie2,..., ien lµ c¬ së trùc chuÈn thùc cña »n = »n + i»n . Ký hiÖu dx1, dx2,..., dxn, dy1, dy2,...,dyn lµ c¬ së ®èi ngÉu cña c¬ së e1, e2,...en, ie1, ie2,..., ien. Cho ω lµ mét k-d¹ng trªn »n, khi ®ã ω = ∑ a J dx J , J = (i1, i2,...,ik), 1 ≤ i1< i2
  3. T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 4A-2007 §¹i häc Vinh XÐt k-d¹ng phøc ω c = ∑ a J dz J , ë ®©y dz α = dx α +idy α v dz J = dz i1 Λ dz i2 Λ...Λ dz ik . ω c ®−îc gäi lµ phøc hãa cña d¹ng ω . §èi víi mét k-d¹ng phøc ϕ bÊt kú trªn kh«ng gian »n, ®èi khèi l−îng vµ tËp c¸c h−íng cùc ®¹i cña nã ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau: * ϕ = max{ ϕ (ξ ) , ξ ∈G(k, »n ≅ »2n ) }, * G( ϕ )= { ξ ∈ G(k, »n ≅ »2n ): ω c (ξ ) = ϕ }. D−íi ®©y lµ kh¸i niÖm c¸c d¹ng t¸ch ®−îc, ®−îc ®Þnh nghÜa bëi Hoµng Xu©n HuÊn (xem [3]). D¹ng ω = dxV Λ ω 1 + ω 2 trªn »n, trong ®ã dxV lµ d¹ng thÓ tÝch ®¬n vÞ trªn mét kh«ng gian con ®Þnh h−íng p chiÒu V ⊂ »n (p ≥ 2) vµ ω 1 , ω 2 lµ c¸c d¹ng trªn V ⊥ ®−îc gäi lµ c¸c d¹ng t¸ch ®−îc ®èi víi V. Tæng qu¸t, gi¶ sö »n= V1 ⊕ V2 ⊕ ... ⊕ Vp+1, k-d¹ng ω trªn »n ®−îc gäi lµ t¸ch ®−îc ®èi víi (V1,..., Vp) nÕu tån t¹i c¸c d¹ng ω 1 , ..., ω p +1 víi ω i lµ d¹ng trªn Wi (Wi = ⊕ Vt víi i ≤ p vµ Wp+1 = Vp+1) sao cho t >i ω = ω 1 +dx V Λ ω 2 + ... + dx V Λ ... Λ dx V Λ ω p +1 . 1 1 p B©y giê gi¶ sö »n cã sù ph©n tÝch thµnh tæng trùc tiÕp »n = V1 ⊕ V2 ⊕ ... ⊕ Vp. ∑ dim V Víi mäi ®a chØ sè I = (i1,..., iq), 1 ≤ i1
  4. ... cña tÝch c¸c d¹ng phøc, tr. 5-14 NguyÔn D. B×nh, Th¸i T. B. H−êng 2.1. Bæ ®Ò ([4, Lemma 2.1]). Gi¶ sö ξ ∈ GR(k, »n) lµ mét k-vect¬ ®¼ng h−íng, V lµ mét kh«ng gian con phøc cña »n vµ V ⊥ lµ phÇn bï trùc giao cña v ®èi víi tÝch v« h−íng Hecmit trong »n. Khi ®ã tån t¹i hai hÖ trùc chuÈn phøc e1,..., er ∈ V vµ 2 2 f1,...,fs ∈ V ⊥ vµ c¸c sè 0 ≠ aα , bα ∈ » tháa m·n aα = 1 , α =1,..., p, sao cho + bα ξ =(a1e1 + b1f1) Λ ... Λ (apep + bpfp) Λ ep+1 Λ ... Λ er Λ fp+1 Λ ... Λ fs, ë ®©y p ≤ r , s ≤ k vµ r+s-p = k. Chó ý: §èi víi tr−êng hîp dimV = q ≤ k, ta cã thÓ lÊy r = q, s = k sao cho ξ = (a1e1 + b1f1) Λ ... Λ (aqeq + bqfq) Λ fq+1 Λ ... Λ fk (nÕu ai = 0 (hoÆc bi = 0) th× fi (hoÆc ei) chØ lµ ký hiÖu h×nh thøc). 2.2. Bæ ®Ò ([4, Lemma 2.2]). Cho ω c lµ k-d¹ng phøc trªn »n ®−îc sinh ra bëi mét k-d¹ng ω trªn »n vµ gi¶ sö ξ ∈ G( ω c ). Khi ®ã ξ lµ mét k-vect¬ ®¼ng h−íng trªn »n. Chó ý: Bæ ®Ò 2.2 vÉn ®óng cho k- d¹ng phøc bÊt kú trªn »n, phÐp chøng minh kh«ng thay ®æi. 2.3. MÖnh ®Ò ([4, Proposition 2.3]). Gi¶ sö ω c lµ k-d¹ng phøc trªn »n ®−îc sinh ra bëi mét k-d¹ng ω trªn »n . Khi ®ã * * (i) Re ω c = ωc ; (ii) G (Re ω c ) ⊂ G (ω c ) . NhËn xÐt. Tõ mÖnh ®Ò trªn, ta cã nÕu ξ ∈ G (Re ω c ) th× Im ω c (ξ ) = 0 . * * , ThËt vËy, = Re ω c (ξ ) ≤ (Re ω c (ξ )) 2 + (Im ω c (ξ )) 2 = ω c (ξ ) ≤ ω c Re ω c v× * * nªn c¸c dÊu b»ng cña bÊt ®¼ng thøc x¶y ra, do ®ã Im ω c (ξ ) = 0 . Re ω c = ωc Khi ω lµ k-d¹ng t¸ch ®−îc ®¬n gi¶n trªn »n, ta cã k-d¹ng Re ω c trªn »n ≅ »2n * * víi Re ω c ([4,Theorem 2.5]). =ω 2.4. MÖnh ®Ò ([4, Proposition 2.4]). Gi¶ sö ω c =dz V c Λ ω 1c + ω 2 lµ d¹ng phøc c hãa ®−îc c¶m sinh bëi d¹ng t¸ch ®−îc ω =dx V Λ ω 1 + ω 2 trªn »n. Khi ®ã * * * ωc = max{ ω 1c , ω 2 }. c 8
  5. T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 4A-2007 §¹i häc Vinh §¼ng thøc vÒ ®èi khèi khèi l−îng cña tÝch hai d¹ng thùc trªn hai kh«ng gian * * * trùc giao: ϕΛψ = ϕ . ψ , ®· ®−îc chøng minh trong mét sè tr−êng hîp (xem [2],[5]). D−íi ®©y chóng ta kh¶o s¸t ®¼ng thøc nµy ®èi víi c¸c d¹ng phøc hãa. 3. §èi khèi l−îng cña tÝch hai d¹ng phøc hãa khi mét nh©n tö l phøc hãa cña d¹ng t¸ch ®−îc §¼ng thøc vÒ ®èi khèi khèi l−îng cña tÝch hai d¹ng thùc trªn hai kh«ng gian trùc giao khi mét nh©n tö lµ d¹ng t¸ch ®−îc ®· ®−îc chøng minh trong [3]. Môc nµy chóng ta chøng minh ®¼ng thøc trªn c¸c d¹ng phøc ho¸ khi mét nh©n tö lµ phøc hãa mét d¹ng t¸ch ®−îc. Cho V lµ mét kh«ng gian con cña »n, ký hiÖu Vc=V+iV ⊂ »n = »n +i»n . Khi ®ã nÕu »n =V1 ⊕ V2 ⊕ ... ⊕ Vq th× »n =V 1 ⊕ V c ⊕ ... ⊕ V c . XÐt hai kh«ng gian vect¬ ¥clit c 2 q trùc giao »n , »m vµ c¸c kh«ng gian phøc hãa t−¬ng øng »n, »m. 3.1. §Þnh lý. Gi¶ sö ω c lµ k-d¹ng phøc trªn »n ®−îc c¶m sinh tõ k-d¹ng ω trªn »n t¸ch ®−îc ®¬n gi¶n ®èi víi (V1, V2,...,Vq) vµ ϕ c lµ mét p-d¹ng phøc hãa bÊt kú trªn »m. Khi ®ã ®èi khèi l−îng cña d¹ng phøc ω c Λ ϕ c trªn »n ⊕ »m ≡ »m+n tháa m·n * * * ω c Λϕ c = ωc ϕc . Chøng minh. Ta chøng minh ®Þnh lý b»ng ph−¬ng ph¸p qui n¹p theo q. Víi q=1. Khi ®ã ω c = λ dz1 Λ ... Λ dzk, λ ∈ », ta chøng minh * * * * ω c Λϕ c = λ ϕ c = ω c . ϕ c . Gi¶ sö η ∈ G( ω c Λϕ c ), tõ chó ý sau Bæ ®Ò 2.1 ta cã thÓ biÓu thÞ η d−íi d¹ng η =(a1 ε 1 +b1f1) Λ ... Λ (ak ε k +bkfk) Λ fk+1 Λ ... Λ fk+p, 2 2 = 1 , ε 1 ,..., ε k lµ c¬ së trùc chuÈn phøc cña »k vµ f1,..., fk+p trong ®ã ai, bi ∈ », a i + bi lµ hÖ trùc chuÈn phøc cña »m. Ta cã ( ω c Λϕ c )( η )= λ a1...akdz1 Λ ... Λ dzk( ε 1 Λ ... Λ ε k ). ϕ c (fk+1 Λ ... Λ fk+p), do ®ã * ω c Λϕ c = (ω c Λϕ c )(η ) = λ a1 ... a k .ϕ c ( f k +1 Λ...Λf k + p ) * ≤ λ ϕ c ( f k +1Λ...Λf k + p ) ≤ λ ϕ c . * * * Tõ ®ã ω c Λϕ c = λ ϕc v (ω c Λϕ c )(η ) = λ ϕ c nÕu v chØ nÕu a i = 1 víi i = 1,...,k (tõ ®ã bi = 0) vµ fk+1 Λ ... Λ fk+p ∈ G( ϕ c ) . §Þnh lý ®óng víi q = 1. 9
  6. ... cña tÝch c¸c d¹ng phøc, tr. 5-14 NguyÔn D. B×nh, Th¸i T. B. H−êng Gi¶ sö ®Þnh lý ®óng víi q = t-1. Ta chøng minh ®Þnh lý ®óng ®èi víi q = t. V× ω t¸ch ®−îc ®¬n gi¶n trªn »n = V 1 ⊕ V c ⊕ ... ⊕ V tc nªn ω c cã thÓ biÓu diÔn c c 2 ω c =dz V Λ ∑ a I ' dz I ' + ∑ a I dz I , c 1 1∈I 1∉I trong ®ã I' = (i2,...,ik) khi I = (1, i2,...,ik). ∑ ∑ §Æt ω 1c = a I ' dz I ' vµ ω 2 = a I dz I , thÕ th× ω 1c , ω 2 lµ t¸ch ®−îc ®¬n gi¶n ®èi víi c c 1∈I 1∉I (V c ,...,V tc ). Theo gi¶ thiÕt qui n¹p ta cã 2 * * * * * * ω 1c Λϕ c = ω 1c . ϕ c , ω 2 Λϕ c = ω 2 . ϕ c . c c Tõ MÖnh ®Ò 2.4 ta cã * * ω c Λϕ c = dzV Λω 1c Λϕ c + ω 2 Λϕ c c c 1 * * = max{ ω 1c Λϕ c , ω 2 Λϕ c c } * * * * * = max{ ω 1c , ω 2 }. ϕ c c = ωc .ϕc . §Þnh lý ®−îc chøng minh víi q = t. TiÕp theo, khi mét nh©n tö cña tÝch c¸c d¹ng phøc trªn hai kh«ng gian trùc giao lµ phøc hãa cña mét d¹ng E- t¸ch ®−îc, ®¼ng thøc nh− trong ®Þnh lý trªn còng ®óng. 3.2. §Þnh lý. Gi¶ sö ω c lµ phøc hãa cña k-d¹ng E- t¸ch ®−îc ®èi víi (V1,...Vq) trong »n vµ ϕ c lµ phøc hãa cña mét p-d¹ng tïy ý trªn kh«ng gian »m trùc giao víi * * * »n. Khi ®ã ω c Λϕ c ϕc . = ωc Chøng minh. Ta chøng minh b»ng ph−¬ng ph¸p qui n¹p theo q. Víi q =1. Ta cã ω c = ω 1c + dz V c Λω 2 , c 1 ⊥ trong ®ã ω 1, 2 lµ phøc hãa cña c¸c d¹ng t¸ch ®−îc ®¬n gi¶n trªn V 1 . Sö dông c c ω MÖnh ®Ò 2.4 vµ §Þnh lý 3.1 ta cã * * * ω c Λϕ c = max{ ω 1c Λϕ c , ω 2 Λϕ c c * * * * * = max{ ω 1c , ω 2 }. ϕ c c = ωc .ϕc . VËy ®Þnh lý ®óng víi q = 1. Gi¶ sö ®Þnh lý ®óng ®èi víi q = t-1, ta chøng minh ®óng víi q = t. Ta cã ω c Λϕ c = ω 1c Λϕ c +dz V Λω 2 Λϕ c +...dz V Λ...Λ dz V Λω tc+1 Λϕ c c c c c 1 1 t = ω 1c Λϕ c +dz V c Λϕ1c Λϕ c , 1 10
  7. T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 4A-2007 §¹i häc Vinh trong ®ã ϕ 1c = ω 2 +...+dz V c Λ...Λ dz V c Λω tc+1 . c 2 t c* * * * * * Theo gi¶ thiÕt qui n¹p ϕ 1c Λϕ = ϕ 1c . ϕ c , ω 1c Λϕ c = ω 1c . ϕ c . Tõ MÖnh ®Ò 2.4 ta cã * * * * * * * ω c Λϕ c = max{ ω 1c Λϕ c , ϕ 1c Λϕ c = max{ ω 1c . ϕ c , ϕ 1c . ϕ c } * * * * * = max{ ω 1c , ϕ 1c }. ϕ c = ω c . ϕ c . §Þnh lý ®−îc chøng minh. 4. §èi khèi l−îng cña tÝch khi hai nh©n tö l c¸c 3-d¹ng phøc trªn hai kh«ng gian trùc giao §¼ng thøc vÒ ®èi khèi l−îng cña tÝch c¸c 3-d¹ng thùc trªn hai kh«ng gian trùc giao ®· ®−îc kh¶o s¸t trong [2]. Sö dông mét tÝnh chÊt cña hai k- vect¬ ®¼ng h−íng cã quan hÖ ®Æc biÖt khi xÐt c¸c d¹ng phøc, víi phÐp chøng minh t−¬ng tù nh− trong tr−êng thùc chóng ta còng nhËn ®−îc ®¼ng thøc vÒ ®èi khèi l−îng cña tÝch cho c¸c 3-d¹ng phøc. 4.1. Bæ ®Ò. Gi¶ sö ξ 0 , ξ 1 lµ c¸c k-vect¬ ®¼ng h−íng trong »n tháa m·n * dim(spanR ξ 0 ∩ spanR ξ 1 ) = k-1, vµ ϕ lµ k-d¹ng phøc trªn »n sao cho ϕ (ξ 0 ) = ϕ . Khi ®ã ϕ (ξ1 ) =0. Chøng minh. Gi¶ sö ng−îc l¹i: ϕ (ξ1 ) =b ≠ 0. Trong »n cã hÖ trùc chuÈn phøc ε 1 ,..., ε k −1 , ε k , ε k +1 sao cho ξ 0 = ε 1 Λ...Λε k −1Λε k , ξ 1 = ε 1 Λ...Λε k −1 Λε k +1 . Víi η = ε 1Λ...Λε k −1Λ (cos t.eiθ ε k + sin t.ε k +1 ) , eiθ ε k = cos θ .ε k + sin θ .iε k , 0 ≤ θ ≤ 2π , π 0≤ t ≤ , ta cã 2 ϕ (η ) = cos t.eiθ .ϕ (ε1Λ...Λε k −1Λε k ). + sin t.ϕ (ε1Λ...Λε k −1Λε k +1 ). ≤ cos t.ϕ (ε 1Λ...Λε k −1 Λε k ) + sin t.ϕ (ε 1 Λ...Λε k −1Λε k +1 ) 1 *2 * 2 + sin t. b ≤ ( ϕ = cos t. ϕ +b ) . 2 Chän θ sao cho e iθ .ϕ (ε 1 Λ...Λε k −1 Λε k ) vµ ϕ (ε 1 Λ...Λε k −1 Λε k +1 ) cã cïng acgumen, vµ b sin t chän t sao cho , khi ®ã c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn dÊu b»ng x¶y ra vµ ta cã = cos t ϕ * 11
  8. ... cña tÝch c¸c d¹ng phøc, tr. 5-14 NguyÔn D. B×nh, Th¸i T. B. H−êng 1 *2 2 * ϕ (η ) = ( ϕ + b ) 2 > ϕ , ®iÒu nµy m©u thuÉn. VËy ϕ (ξ1 ) = 0. 4.2. §Þnh lý. Gi¶ sö »m+n lµ tæng trùc giao cña »n vµ »m. ϕ vµ ψ lµ c¸c 3- d¹ng phøc trªn c¸c kh«ng gian »n vµ »m t−¬ng øng. Khi ®ã * * * ϕ Λψ = ϕ .ψ . Chøng minh. Gi¶ sö ξ ∈ G( ϕΛψ ), theo Bæ ®Ò 2.2 ta cã ξ lµ 6-vect¬ ®¼ng h−íng. Ký hiÖu spanC ξ =spanR ξ +ispanR ξ . Gi¶ sö σ lµ 3-vect¬ ®¼ng h−íng sao cho * ϕ ( σ )= ϕ span ξ . LÊy vect¬ ®¬n vÞ ε 1 trong kh«ng gian spanC σ vµ hÖ trùc chuÈn C phøc { ε 5 , ε 6 } trong kh«ng gian {spanC σ } ⊥ (bï vu«ng gãc trong spanC ξ ) ®Ó ϕ (ε 1Λε 5 Λε 6 ) ®¹t cùc ®¹i. TiÕp theo lÊy ε 2 , ε 3 trong spanC σ sao cho { ε 1 , ε 2 , ε 3 } lµ c¬ së trùc chuÈn phøc cña spanC σ vµ ε 4 trong {spanC σ } ⊥ sao cho { ε 4 , ε 5 , ε 6 } lµ c¬ së trùc chuÈn phøc cña {spanC σ } ⊥ . Khi ®ã { ε 1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 , ε 5 , ε 6 } lµ c¬ së trùc chuÈn phøc cña spanC ξ vµ ξ =detA. ε 1 Λ...Λε 6 , víi A lµ phÐp biÕn ®èi unita trªn spanC ξ . Theo Bæ ®Ò 4.1 ta cã ϕ (ε 1 , ε 2 , ε i ) = ϕ (ε i , ε 2 , ε 3 ) = ϕ (ε 1 , ε i , ε 3 ) = 0, víi mäi i = 1,..., 6. Víi phÐp chøng minh nh− trong Bæ ®Ò 4.1, ta còng cã ϕ (ε 2 , ε 5 , ε 6 ) = ϕ (ε 3 , ε 5 , ε 6 ) = ϕ (ε 1 , ε 4 , ε 5 ) = ϕ (ε 1 , ε 4 , ε 6 ) = 0. Do ®ã trªn spanC ξ , ϕ cã ∑ a dz thÓ biÓu thÞ d−íi d¹ng ϕ = Λdz 2+ β Λdz 3+γ , trong ®ã dz1,...,dz6 lµ c¸c d¹ng 1+α I phøc ®èi ngÉu víi c¬ së phøc { ε 1 ,..., ε 6 }cña spanC ξ vµ tæng ®−îc lÊy víi mäi tËp chØ sè { α , β , γ } ⊂ {0,3}, (ë ®©y a126 = a153 = 0 ). Tõ ®ã * ϕΛψ = (ϕΛψ )(ξ ) = det A.(ϕΛψ )(ε 1 Λ...Λε 6 ) = (ϕΛψ )(ε 1Λ...Λε 6 ) ∑ (−1)α + β +γ ϕ (ε 1+α Λε 2+ β Λε 3+γ ).ψ (ε 4−α Λε 5− β Λε 6−γ ) = ∑ (−1)α β γ ϕ ( Pε α ΛPε β ΛPε γ ).ψ (Qε α ΛQε β ΛQε ++ ) = 6 −γ 1+ 2+ 3+ 4− 5− ≤ ∑ ϕ ( Pε α ΛPε β ΛPε γ ) .ψ (Qε α ΛQε β ΛQε γ ) 1+ 2+ 3+ 4− 5− 6− * * = ϕ . ψ .∑ Pε α . Pε β . Pε γ . Qε α . Qε β . Qε γ 1+ 2+ 3+ 4− 5− 6− 3 * * ∏ ( Pε = ϕ .ψ . . Qε i +3 + Pε i +3 . Qε i ) i i =1 3 * * * * 2 2 2 2 ≤ ϕ . ψ .∏ ( Pε i + Qε i ).( Pε i + 3 + Qε i + 3 ) = ϕ . ψ , i =1 ( P, Q t−¬ng øng lµ c¸c phÐp chiÕu »n+m lªn c¸c thµnh phÇn trùc giao »n, »m). 12
  9. T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 4A-2007 §¹i häc Vinh BÊt ®¼ng thøc ng−îc l¹i ®óng v× víi υ ∈G( ϕ ) vµ ζ ∈ G(ψ ), ta cã * * * ϕ . ψ = ϕ (υ ) .ψ (ζ ) = ϕ (υ ).ψ (ζ ) = (ϕΛψ )(υΛζ ) ≤ ϕΛψ . §¼ng thøc ®−îc chøng minh. NhËn xÐt. Tõ ®Þnh lý trªn chóng ta nhËn ®−îc ®¼ng thøc vÒ ®èi khèi l−îng khi ϕ ,ψ lµ c¸c d¹ng phøc hãa cña c¸c 3-d¹ng thùc trªn hai kh«ng gian trùc giao. 4.3. HÖ qu¶. Gi¶ sö ϕ , ψ lµ c¸c 3-d¹ng trªn hai kh«ng gian trùc giao »n, »m vµ ϕ c ,ψ c lµ c¸c d¹ng phøc hãa t−¬ng øng. Khi ®ã 6-d¹ng Re(ϕ c Λψ c ) trªn »n+m ≅ »2(n+m) cã * * * * i) Re(ϕ c Λψ c ) = (Re ϕ c )Λ (Reψ c ) , = Re ϕ c . Reψ c ii) G (Re ϕ c ) ΛG (Reψ c ) ∪ − G (Im ϕ c ) ΛG (Imψ c ) ⊂ G (Re(ϕ c Λψ c )) . Chøng minh. i) Sö dông MÖnh ®Ò 2.3 vµ §Þnh lý 4.2 ta cã * * * * Re(ϕ c Λψ c ) = Re(ϕΛψ ) c = (ϕΛψ ) c = ϕ c Λψ c * * * * = ϕ c . ψ c = Re ϕ c . Reψ c * = (Re ϕ c ) Λ(Reψ c ) (®¼ng thøc sau cïng ®óng v× c¸c nh©n tö lµ 3-d¹ng thùc trªn hai kh«ng gian trùc giao, xem [1]). ii) Gi¶ sö ξ ∈ G (Re ϕ c ) vµ η ∈ G (Reψ c ) , theo nhËn xÐt sau MÖnh ®Ò 2.3 Im ϕ c (ξ ) = Imψ c (η ) = 0 . Suy ra Re(ϕ c Λψ c )(ξΛη ) = (Re ϕ c Λ Reψ c )(ξΛη ) − (Im ϕ c Λ Imψ c )(ξΛη ) = Re ϕ c (ξ ). Reψ c (η ) − Im ϕ c (ξ ). Imψ c (η ) * * = Re ϕ c . Reψ c * = Re(ϕ c Λψ c ) VËy ξΛη ∈ G (Re(ϕ c Λψ c )) , do ®ã G (Re ϕ c ) ΛG (Reψ c )⊂ G (Re(ϕ c Λψ c )) . Nh− ®èi víi phÇn thùc cña mét d¹ng phøc hãa, ®èi víi mäi d¹ng ϕ x¶y ra * * vµ nÕu ξ ∈ G (Im ϕ c ) th× Re ϕ c (ξ ) = 0 . Im ϕ c = ϕc Lý luËn t−¬ng tù nh− trªn ta cã nÕu ξ ∈ G (Im ϕ c ) vµ η ∈ G (Imψ c ) th× − ξΛη ∈ G (Re(ϕ c Λψ c )) , tøc lµ − G (Im ϕ c )ΛG (Imψ c ) ⊂ G (Re(ϕ c Λψ c )) . Tõ ®ã cã ®iÒu ph¶i chøng minh. 13
  10. ... cña tÝch c¸c d¹ng phøc, tr. 5-14 NguyÔn D. B×nh, Th¸i T. B. H−êng T i liÖu tham kh¶o [1] R. Harvey and H. B. Lawson, Calibrated geometries, Acta Math., 148, 1982, 47-157. [2] F. Morgan, The exterior algebra Λk R n and area minimization, Linear Algebra Appl., 66, 1985, 1-28. [3] Hoang Xuan Huan, Separable calibrations and minimal surfaces, Acta Math.,. Vietnam, 19, 1994, 77-96. [4] Dao Trong Thi and Nguyen Duy Binh, On an expansion of the special Lagrangian form, Acta Math., Vietnam, 22, 1997, 527-540. [5] Dao Trong Thi and Doan The Hieu, Some recent Trends in Calibrated Geometries, Vietnam J. Math., 31 (1), 2003, 1-25. Summary On the comass of complex forms-products In this paper we prove that the equality on the comass of complex forms- products holds when one of factors is the complexification of a separable form or both factors are complex 3-forms. An application of the above equality is given. (a) Khoa To¸n, tr−êng §¹i häc Vinh (b) Cao häc 11 h×nh häc, Tr−êng §¹i häc Vinh. 14
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2