TÍNH CHẤT CO RÚT TUYỆT ĐỐI CỦA CÁC TẬP LỒI, GIỚI NỘI TRONG KHÔNG GIAN pl (0 < P < 1) THE AR- PROPERTY OF BOUND CONVEX IN THE SPACE pl (0 < P < 1)

LÊ HOÀNG TRÍ Trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng

TÓM TẮT Dugundji chứng minh rằng mỗi tập lồi trong một không gian metric tuyến tính lồi địa phương bất kỳ đều là một co rút tuyệt đối. Người ta đặt ra bài toán rằng Định lý Dugundji còn đúng hay không nếu bỏ đi giả thiết về tính lồi địa phương của không gian metric tuyến tính. Cho pl (0 < p < 1) là các không gian metric tuyến tính không lồi địa phương; Nội dung của bài báo này là chứng minh mỗi tập lồi, giới nội trong không gian pl (0 < p < 1) đều là co rút tuyệt đối. ABSTRACT Dugundji proved that a convex subset of a locally convex linear metric space is an absolute retract. However, it is not known, whether a convex subset of a non-locally convex linear pl (0 < p < 1) are non-locally convex linear metric space is an absolute retract? The space metric spaces. The aim of this paper is to prove the AR-property of bound convex subsets in the space pl (0 < p < 1).

1. Mở đầu

Cho X là một không gian topo khả metric, X được gọi là một co rút tuyệt đối (Viết tắt là AR (absolute retract)) (xem [1]) nếu mỗi không gian topo khả metric Y nhận X làm một tập con đóng đều tồn tại một ánh xạ liên tục r: Y  X mà r(x) = x với mỗi x  X. (Ánh xạ r thỏa mãn các tính chất này được gọi là một phép co rút).

Cho X là một không gian topo khả metric, X được gọi là một thác triển tuyệt đối (viết tắt là AE (absolute extensor)) nếu mỗi không gian metric Y, mỗi tập con đóng A của Y và mỗi ánh xạ liên tục f: A  X đều tồn tại ánh xạ liên tục F: Y  X mà F(a) = f(a); a A   . (xem [1]).

Ta thấy rằng một không gian topo là co rút tuyệt đối khi và chỉ khi không gian topo đó là thác triển tuyệt đối.

Năm 1951 Dugundji chứng minh được định lý sau:

Định lý Dungundji

Cho A là một tập con đóng của một không gian metric X và E là một không gian topo tuyến tính lồi địa phương. Khi đó mỗi ánh xạ liên tục h: A  E đều có một thác triển liên tục H: X  E mà H(X)  convh(A) ( ở đây convh(A) là bao lồi của tập h(A) trong không gian topo tuyến tính E). (Xem Định lý 3.1 trang 58 của [1]).

Từ đó mỗi tập lồi trong một không gian metric tuyến tính lồi địa phương bất kỳ đều là một AR.

p

ny )  pl ; ta

n

 1

| | x n Với mỗi p  (0,1); cho pl = {x = ( nx ) / < +  }.  x = ( nx ), y = (

y

| p

n

 | x n

n

 1

đặt d(x,y) = . Khi đó ( pl ,d) là một không gian metric tuyến tính không lồi địa

p

phương .

ny )

n

 1

pl .

Ta đặt ||x|| = | | x n ;  x = ( nx ) pl . Khi đó d(x,y) = ||x – y||;  x = ( nx ), y = (

Kết quả chính của bài báo này là Định lý sau:

Định lý 1. Mỗi tập lồi, giới nội trong không gian pl (0 < p < 1) đều là một AR. Cho X là một không gian topo, X được gọi là có tính chất điểm bất động (xem[2]) nếu

với mỗi ánh xạ liên tục f từ X vào X đều có ít nhất một phần tử xX sao cho f(x)=x. Năm 1935, Schauder chứng minh rằng mỗi tập lồi compact trong một không gian metric tuyến tính lồi địa phương bất kỳ đều có tính chất điểm bất động và đặt ra bài toán rằng kết quả trên còn đúng hay không nếu bỏ giả thiết về tính lồi địa phương của không gian metric tuyến tính. Trong bài báo này ta cũng chứng minh được Định lý sau:

Định lý 2. Mỗi tập lồi, compact trong không gian pl đều có tính chất điểm bất động.

2. Chứng minh các kết quả Trước khi chứng minh Định lý 1, ta đưa ra và chứng minh một số bổ đề cần dùng.

2a , …,

ka ) <  và điều này tương đương với px }  X sao cho a A,  k  {1, 2, …, p}: d(a,

2x , …,

Bổ đề 1. Cho A là một tập con lồi, giới nội bất kỳ trong pl thì A hoàn toàn giới nội.

(Chú ý rằng một tập con A của một không gian metric (X,d) được gọi là hoàn toàn giới nội pa }  A hay hoàn toàn bị chặn nếu với mỗi  > 0 thì tồn tại một tập hữu hạn { 1a , * > 0 thì sao cho  a  A,  k  {1, 2, …, p}: d(a, tồn tại một tập hữu hạn { 1x , kx ) < * ).

pl . Khi đó tồn tại M > 0 sao cho A là một tập con của tập B’(0,M) = {x  pl / ||x||  M}.

Chứng minh: Giả sử ngược lại rằng A là tập con lồi, giới nội nhưng không hoàn toàn giới nội trong

ju ||  2 với mỗi i, j  ¥ mà i  j.

Không giảm tổng quát, (bằng cách nhân A với một hằng số khác không), ta có thể giả

iu - nu ,…} là tập không giới nội.

(1)

(1)

(2)

(2)

nu ,…  A mà || 2u ,…, 2u ,…), 2u ,…),

sử rằng tồn tại 1u ,

nu ( ) 2

2u ,…, Ta sẽ chỉ ra rằng conv{ 1u , 1u = ( 1u , Ta viết: 2u = ( 1u , ………… nu ( ) nu = ( , 1 …………

(0)

,…).

nu Do A  B’(0,M), ta có thể rút ra một dãy con {1n} của dãy {n} mà dãy { (1 ) 1 nu 1u  ¡ , ta tiếp tục rút ra một dãy con {2n} của dãy {1n} mà dãy { (2 ) 2

} hội tụ } hội tụ đến một số

(0)

2u  ¡ , cứ tiếp tục quá trình này và lấy dãy đường chéo { nnu } là dãy con của

đến một số { nu }.

(0)

(0)

Bằng cách thay dãy { nu } bởi dãy { nnu }, không giảm tổng quát, ta có thể giả thiết

nu ( ) 1

nu ( ) 2

2u , …

1u , lim

n

n

(0)

(0)

p

p

= = thêm rằng dãy { nu } có tính chất: lim

1u ,

(0) u 1

(0) 2

p

p

2u , …), khi đó  |

|

0u  cl B’(0,M) (thật vậy, giả sử p u | |

  ...

M

u

.

|

|

| | u | | … > Ta đặt: 0u = (

(0) u 1

(0) 2

(0) n 0

p

p

p

|

|

|

u

|

M

.

M, khi đó tồn tại Do đó tồn tại n đủ lớn để

n ( ) u 1

n ( ) n 0

|| 2

u

n ( ) 2 u

Từ đây ta suy ra được ||

nu || > M. Đây là điều vô lý).  ta được u

n ¥ Ta đặt .

u i

j

0n ¥ mà | u   ... | nu

0

n

n

0

||

f

f

 với mỗi i,j  ¥ mà i  j. || 2

i

Do đó || ||  2M; với mỗi f  u  ; do ||

|| 1  . Không

j Từ lập luận trên ta suy ra rằng không thể có nhiều hơn một nf

nf mà || nf nf có tính chất:

giảm tổng quát ta có thể giả sử rằng ||  với mỗi n  ¥ và || 1

Nếu viết:

f ,...), ( 

(1) 2 f

(1) f , 1 (2) f 1

(2) 2

,

f

,...),

n ( ) f 1

n ( ) 2

, ,...),

f 1 f  ( 2 …… nf  ( …… Thì

0,

0,...

(1)

lim

lim

f

n ( ) f 1 

n

n ( ) 2 

n

Bằng phương pháp qui nạp và sử dụng (1) ta xây dựng các dãy số nguyên dương

p

m n

(

)

  n

3

r n

f

|

2

|

{ nm } và { nr } thỏa mãn các điều kiện sau: (2) { nm } là dãy tăng nghiêm ngặt,

i

i

1  

(

)

p

  n

3

r n

(3) ,

i

 1

 1

1m = 1, tiếp đến sử dụng (1) ta chọn 1r thỏa mãn (3), sau đó chọn

i m  n (Thật vậy đầu tiên ta chọn m m 2 1

(4) | f |  2 .

)

)

r n

r n

f

,...,

f

, 0,...0, 0...),

1

r n

( m n

)

r n

( f 1( (0,..., 0,

f

f

,...,

f

, 0,...),

2

( m

) r n  1

r n

n

( m n

f

,...).

f

(0,..., 0, 0,...0,

( m

3

1  ) r n   1 1

n

r n

thỏa mãn (4) và cứ tiếp tục như vậy…) Với mỗi n  ¥ , ta đặt

f

f

f

f

1

r n

r n

r n

r n   n

3

  n

3

,

||

3,  || 2

||

 || 2

3

2 rf

rf

1

n

n

Khi đó

  n

2

||

f

  || 1 ||

f

||

||

f

  || 1 2

.

2

1

3

r n

r n

r n

3 4

n

n

n

n

n

) ||

||

(

f

(||

f

||)

(||

f

f

f

||)

1

2

3

r i

r n

r i

r i

r i

và

1 p n

1 p n

i

 1

i

 1

 1

i

 1

i

 1

n

n

n

n

n

n

(||

f

||

||

f

||

||

f

||)

f

||

||

f

||

||

f

||)

(||

2

1

3

2

1

3

r i

r i

r i

r i

r i

r i

Với mỗi n  ¥ , ta xét 1 n

1 p n

i 1 p n

i

 1

i

 1

i

 1

i

 1

i

 1

i

 1

n

n

n

n

n

  i

3

  3 i

(||

f

||

2

2

)

(||

f

||

2

2

r i

r i

  2 2 ).

1 p n

1 p n

i

 1

 1

 1

i

i

 1

i Do định nghĩa của các phần tử

1  i ta được

2 ,

irf

n

n

||

f

||

||

f

||

n

.

2

2

r i

r i

3 3 n  4 4

i

 1

i

 1

p

n

3

||

(

f

) ||

 2 2 )

p

r i

1 n

1 3 n ( p n 4

 1 n 4

1 n

4

i

 1

n

f

) ||

 

Từ đó ta có

,

f

,...

f hay tập conv{ 1

2

r i

nên } không thể giới nội có nghĩa là tập

lim||

1

i

1  ( n 

n



,u u ,…} không thể giới nội. Điều mâu thuẫn này chứng tỏ rằng A là tập hoàn toàn giới

2

conv{ 1 nội W Cho K là một tập lồi trong một không gian tuyến tính X, một ánh xạ f từ K vào một

không gian tuyến tính Y được gọi là một ánh xạ affine nếu ¥      , mà ,...,  n 0 , ,...,   ...   1n

1 f x ( 1

1  n

2 1K ) 1K qua ánh xạ f là một tập con lồi của không gian tuyến

x n   ) thì f  rõ ràng ta thấy rằng nếu   ... ), ) x x , 2 1   x ... 2 2 x n n K    , n f x ( 2  1    ( x 1 1    2 f x ( n  2

(0

1)

là một tập con lồi của K thì ảnh của tính Y. Ta có

p  thì đồng phôi affine

pl

Bổ đề 2. Mỗi tập con lồi, compact trong không gian

   

với một tập con lồi, compact của không gian metric tuyến tính lồi địa phương ¡ ¡ ¡ ...

   

n

Chứng minh: ¡ Không gian ¡ ¡ ... là không gian topo với topo tích Tykhonoff của các đường

n

 n 2 |  1 |

n

 1

n

n

d x y ( ,   x  ),   y y ) ( ( ) ¡ ; x n thẳng thực. Đây là một không gian topo tuyến tính với topo có thể xác định bởi metric  y  y | | x n x n (Xem [1], trang 36).

0n  ¥ sao cho

n n

  0 1

|

|

;

  n

1, 2,...,

Với mỗi r > 0, ta chọn . Khi đó V = {x = ( nx )   2 r 2

¡

¡

x n

n 0

n

r 2.2

/ } là một lân cận mở lồi của 0 trong nằm trong quả cầu mở

tâm tại 0 bán kính r.

¡ Như vậy Với mỗi n  ¥ , cho

p l  ¡ là ánh xạ được xác định bởi :n

p

là một không gian metric tuyến tính lồi địa phương.

x

(

,...,

,...)

l

p x ( ) n x n

 và metric trong ¡ là metric thông thường. ta có với mỗi

x x , 1 2

p

x

(

,...,

,...)

y

y

,...

x x , 1 2

x n

 , l p

y y 1,

2 ,...,

n

 ; l p

x n 

Ở đây

p

p

d x y ( ,

)

|

|

|

|

.

x i

y i

x n

y n

i

 1

p l  ¡ liên tục, ánh xạ :n

p

 ¡

: pP l

Do đó mỗi

được xác định bởi

2

x

(

,...,

,...)

l

P x ( )  ( ( ), ( ),..., ( ),...) p x p x 1 p x n

 ; là ánh xạ tuyến tính liên tục.

x x , 1 2

x n

p

¡

với mỗi

Bây giờ cho K là một tập lồi, compact bất kỳ trong pl , khi đó hạn chế của ánh xạ P trên K là một ánh xạ affine liên tục, đơn ánh mà K compact nên ánh xạ này là một phép nhúng , từ đó K đồng phôi affine với tập lồi, compact f(K) trong đồng phôi affine của K vào ¡ W

Chứng minh Định lý 1.

Cho A là một tập lồi, giới nội bất kỳ trong pl , theo Bổ đề 1, A là tập hoàn toàn giới nội, từ đó K = clA là tập con lồi, compact của pl , Cho B là một tập con đóng trong một khôngt gian metric X và g là một ánh xạ liên tục bất kỳ từ B vào A. Khi đó P g là ánh xạ liên

(

)

 P g B

P A ) (

¡

)H X  conv

P g B

(

 convP(A) = P(A).

mà (ở đây P là ánh xạ được xác định trong chứng minh Bổ

) *( )

*

tục từ B vào đề 2). Sử dụng Định lý Dugundji ta tìm được một ánh xạ liên tục  ¡ ( là thác triển của P g và  P x P x P K ( là phép đồng phôi được xác định bởi H:X * P K ) ( );   . Khi đó x K

 là thác triển liên tục của g. Vậy A là thác triển tuyệt đối, từ đó A là co rút A P )

Gọi  1 ( H X : tuyệt đốiW

Chứng minh Định lý 2.

Borsuk chứng minh được rằng mỗi không gian co rút tuyệt đối, compact đều có tính chất điểm bất động. Do đó theo Định lý 1, mỗi tập lồi compact trong pl đều có tính chất điểm bất độngW

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]

[2]

[3] C. Bessaga anh A.Pelczynski, Selected topics in infinite dimensional topology, PWN, Warszawa, 1975. R.H.Bing, The elusive fixed point property, The Amer. Monthly 76 (1969) pp.119 – 131. J.Dugundji and A.Granas, Fixed point property, I, Warszawa, 1982.