TÝnh rèn cña mÆt ®èi chiÒu hai spacelike trong
Ln+1
§Æng V¨n Cêng
(a)
Tãm t¾t.
Trong bµi bµo nµy chóng t«i giíi thiÖu ph¬ng ph¸p sö dông c«ng cô
n±
r
-¸nh x¹ Gauss ®Ó kh¶o s¸t tÝnh rèn cña mÆt ®èi chiÒu hai spacelike trong kh«ng
gian Lorent-Minkowski
Ln+1
.
I. Më ®Çu
B»ng c¸ch ®Æt t¬ng øng mét ®iÓm trªn mét mÆt ®èi chiÒu hai spacelike chÝnh
quy trong kh«ng gian Lorentz-Minkoski
Ln+1
víi mét cÆp vect¬ chØ ph¬ng cña 2-
ph¼ng ph¸p trong
n
-kh«ng gian hyperbolic t©m
v
b¸n kÝnh 1, trong ®ã
v= (0,0, ..., 0,1) ∈
Ln+1
, ta cã kh¸i niÖm
n±
r
-¸nh x¹ Gauss. Tõ kh¸i niÖm nµy chóng ta cã c¸c kh¸i niÖm:
n±
r
-¸nh x¹ Weigarten,
n±
r
-®é cong chÝnh,
n±
r
-®é cong Gauss-Kronecker, ®iÓm
n±
r
-rèn,
mÆt
n±
r
-rèn ...vµ th«ng qua c¸c kh¸i niÖm nµy chóng t«i tiÕn hµnh kh¶o s¸t tÝnh rèn
cña mÆt.
II. KiÕn thøc c¬ së
2.1. Kh«ng gian Lorentz-Minkowski
Kh«ng gian Lorentz-Minkowski
n
-chiÒu
Ln+1
lµ kh«ng gian vect¬
Rn+1
cïng víi
mét d¹ng song tuyÕn tÝnh ®îc x¸c ®Þnh bëi
hx, yi=
n
X
k=1
xkyk−xn+1yn+1,
víi
x= (x1, x2, . . . , xn+1), y = (y1, y2, . . . , yn+1)∈Rn+1
. D¹ng song tuyÕn tÝnh trªn ®îc
gäi lµ gi¶ tÝch v« híng trªn
Ln+1
.
Víi
x∈Ln+1
, ®é dµi cña vect¬
x
®îc x¸c ®Þnh theo (gi¶) tÝch v« híng
||x|| =p|hx, xi|.
2.2. C¸c lo¹i vect¬
Cho
x∈Ln+1
,
x6= 0
. Khi ®ã
x
®îc gäi lµ
spacelike
nÕu
hx, xi>0
,
timelike
nÕu
hx, xi<0
vµ
lightlike
nÕu
hx, xi= 0
.
Hai vect¬
x, y ∈Ln+1
®îc gäi lµ trùc giao víi nhau nÕu
hx, yi= 0.
2.3. NhËn xÐt
(i) Hai vect¬ lightlike phô thuéc tuyÕn tÝnh th× trùc giao víi nhau.
(ii) HÖ vect¬ gåm hai vect¬ kh¸c lo¹i th× ®éc lËp tuyÕn tÝnh.
1
NhËn bµi ngµy 30/7/2009. Söa ch÷a xong 10/9/2009.
2.4. C¸c lo¹i ph¼ng
Cho
Π
lµ
m
-ph¼ng trong
Ln+1
.
(+)
Π
®îc gäi lµ
m
-ph¼ng spacelike
nÕu kh«ng gian chØ ph¬ng cña
Π
chØ chøa c¸c
vect¬ spacelike hoÆc vect¬
0
;
(+)
Π
®îc gäi lµ
m
-ph¼ng timelike
nÕu kh«ng gian chØ ph¬ng cña
Π
cã chøa Ýt
nhÊt mét vect¬ timelike ;
(+)
Π
®îc gäi lµ
m
-ph¼ng lightlike
nÕu kh«ng gian chØ ph¬ng cña
Π
chøa Ýt nhÊt
mét vect¬ lightlike vµ kh«ng chøa vect¬ timelike nµo.
2.5. NhËn xÐt
(1) Cho
Π
lµ mét
m
-ph¼ng trong
Ln+1
. Khi ®ã
Π
chØ cã thÓ lµ
m
-ph¼ng spacelike,
hoÆc
m
-ph¼ng timelike, hoÆc lµ
m
-ph¼ng lightlike.
(2) Cho
HP (q, c) = {x∈Ln+1 | hx, qi=c}
(víi
q
lµ vector cè ®Þnh vµ
c
lµ h»ng sè)
lµ mét siªu ph¼ng trong
Ln+1
. Khi ®ã
HP (q, c)
lÇn lît lµ siªu ph¼ng spacelike,
siªu ph¼ng timelike, siªu ph¼ng lightlike nÕu vµ chØ nÕu
q
t¬ng øng lÇn lît lµ
vect¬ timelike, vect¬ spacelike, vect¬ lightlike.
2.6.
n
-kh«ng gian hyperbolic
(i)
Siªu mÆt hyperbolic
n
-chiÒu
, ký hiÖu
Hn(−1)
, ®îc x¸c ®Þnh nh sau
Hn(−1) = {x∈Ln+1 | hx, xi=−1}.
(ii)
n
-kh«ng gian hyperbolic
, ký hiÖu
Hn
+(−1)
, ®îc x¸c ®Þnh nh sau
Hn
+(−1) = {x∈Ln+1 | hx, xi=−1, xn+1 >0}.
(iii)
n
-kh«ng gian hyperbolic t©m
a∈Ln+1
, b¸n kÝnh
r∈R+
, ký hiÖu
Hn
+(a, r)
, ®îc
x¸c ®Þnh nh sau
Hn
+(a, r) = {x∈Ln+1 | hx−a, x −ai=−r, xn+1 ≥0}.
2.7. C¸c lo¹i siªu mÆt trong
n
-kh«ng gian hyperbolic
LÊy siªu ph¼ng
HP (q, c)
giao víi
n
-kh«ng gian hyperbolic
Hn
+(−1)
(nÕu kh¸c rçng
vµ kh¸c mét ®iÓm) ta nhËn ®îc c¸c lo¹i siªu mÆt trong
n
-kh«ng gian hyperbolic.
HP (q, c)∩Hn
+(−1)
lÇn lît ®îc gäi lµ siªu cÇu (hypersphere), siªu mÆt c¸ch ®Òu
(equidistant hypersurface), siªu cùc h¹n (hyperhorosphere) trong hyperbolic nÕu t¬ng
øng
HP (q, c)
lµ siªu mÆt spacelike, siªu mÆt timelike, siªu mÆt lightlike.
T¬ng tù, lÊy siªu ph¼ng
HP (q, c)
giao víi
n
-kh«ng gian hyperbolic
Hn−1
+(a, r)
t©m
a
b¸n kÝnh
r
ta còng nhËn ®îc c¸c lo¹i siªu mÆt trong
Hn−1
+(a, r)
. Trêng hîp ®Æc biÖt
siªu ph¼ng lµ
{xn+1 =c}
víi
c
lµ mét h»ng sè, c¾t mét hyperbolic
H(a, r)
ta ký hiÖu
SH(a, r, c) = H(a, r)∩ {xn+1 =c}
, vµ ®îc gäi lµ siªu cÇu ®Æc biÖt.
DÔ dµng kiÓm tra ®îc, c¸c siªu mÆt trong
n
-kh«ng gian hyperbolic lµ c¸c ®a t¹p
tr¬n
(n−1)
-chiÒu. Trong phÇn nghiªn cøu tÝnh rèn (umbilic) cña mÆt ®èi chiÒu hai
chóng ta sÏ quan t©m nhiÒu ®Õn c¸c lo¹i siªu mÆt nµy.
2.8.
n±
r
- ¸nh x¹ Gauss
Trong môc nµy, chóng t«i giíi thiÖu kh¸i niÖm mÆt ®èi chiÒu hai spacelike trong
Ln+1
, giíi thiÖu c¸ch x©y dùng
n±
r
-¸nh x¹ Gauss vµ c¸c kh¸i niÖm liªn quan. Cuèi cïng
chóng t«i giíi thiÖu mét tÝnh chÊt cña
n±
r
-¸nh x¹ Gauss t¬ng tù nh ¸nh x¹ Gauss
trong h×nh häc vi ph©n cæ ®iÓn. C¸c kÕt qu¶ nµy ®· ®îc chøng minh chi tiÕt trong [5].
Cho
M=X(U)
lµ mét mÆt tham sè hãa ®èi chiÒu hai trong
Ln+1
.
M
®îc gäi lµ
mÆt spacelike
(spacelike surface) nÕu tÝch v« híng trªn
Ln+1
c¶m sinh mét metric
Riemann
g
trªn
M
, x¸c ®Þnh nh sau
gp(w1, w2) = hw1, w2i,∀w1, w2∈TpM, ∀p∈M.
Nãi c¸ch kh¸c,
M
®îc gäi lµ mÆt spacelike nÕu mäi vect¬ trªn
TpM
®Òu lµ vect¬
spacelike. Víi mçi
p∈M
, kh«ng gian ph¸p cña
M
t¹i
p
, ký hiÖu lµ
NpM
, ®îc x¸c ®Þnh
nh sau
NpM=©N∈Ln+1 | hN, Xui(p)i= 0, i = 1,2, . . . , n −1ª.
NÕu
M
lµ mét mÆt spacelike th× víi mçi
p∈M
kh«ng gian tiÕp xóc
TpM
lµ
(n−1)
-
ph¼ng spacelike vµ kh«ng gian ph¸p
NpM
lµ 2-ph¼ng timelike.
§Ó x©y dùng
n±
r
-¸nh x¹ Gauss ®èi víi mÆt ®èi chiÒu hai spacelike
M
ta quan t©m
®Õn
n
-kh«ng gian Hyperbolic t©m
v
, b¸n kÝnh
1
®îc x¸c ®Þnh
Hn
+(v, 1) = {x∈Rn+1 | hx−v, x −vi=−1, xn+1 ≥0},
víi
v= (0,0,...,0,−1) ∈Ln+1
.
Hn
+(v, 1)
nhËn ®îc b»ng c¸ch tÞnh tiÕn
n
-kh«ng gian
hyperbolic däc theo trôc
xn+1
®Õn vÞ trÝ cã ®Ønh n»m ë gèc to¹ ®é.
2.9. Bæ ®Ò
([5])
Cho
Π
lµ 2-ph¼ng timelike ®i qua gèc to¹ ®é. Khi ®ã, víi mçi
r > 0
cho tríc, tËp
hîp
{x= (x1, x2, . . . , xn+1)∈Π∩Hn
+(v, 1) |xn+1 =r}
chøa ®óng hai vect¬. Cho
M
lµ mÆt ®èi chiÒu hai spacelike trong
Ln+1
, khi ®ã víi
mçi
p∈M
siªu ph¼ng
{xn+1 =r},(r > 0)
c¾t hyperbola
NpM∩Hn
+(v, 1)
t¹i hai ®iÓm
n±
r(p)
, ta quy íc chän c¸c vect¬
n±
r(p)
sao cho
det(Xu1, Xu2, . . . , Xun−1, n+
r(p), n−
r(p)) >0.
Ký hiÖu
HSr
+(v, 1) = Hn
+(v, 1) ∩ {xn+1 =r}, r > 0
.
2.10. §Þnh nghÜa
([5])
Víi c¸c ký hiÖu trªn, ¸nh x¹
n±
r:M→HSr
+(v, 1)
p7→ n±
r(p)
®îc gäi lµ
n±
r
-¸nh x¹ Gauss cña mÆt tham sè hãa ®èi chiÒu hai spacelike
M
trong
Ln+1
. Cho
p=X(u1, u2, . . . , un−1)
lµ mét ®iÓm cña
M
, khi ®ã
n±
r(p)
®îc x¸c ®Þnh tõ hÖ
ph¬ng tr×nh
hXui, ni= 0, i = 1,2, . . . , n −1,
hn−v, n −vi=−1,
nn+1 =r > 0.
(0.1)
§Æt
Nn±
r
pM=NpM∩Tn±
r(p)Hn
+(v, 1)
, ta cã ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh
dn±
r¯¯p:TpM→Tn±
r(p)Hn
+(v, 1) = TpM⊕Nn±
r
pM.
XÐt c¸c phÐp chiÕu trùc giao
πn±
r(p)
T:TpM⊕Nn±
r
pM→TpM, πn±
r(p)
N:TpM⊕Nn±
r
pM→Nn±
r
pM⊂NpM,
ta cã tù ®ång cÊu tuyÕn tÝnh
An±
r
p:TpM→TpM
víi
An±
r
p=−πn±
r(p)
T◦dn±
r¯¯p
.
Khi ®ã:
(i) ¸nh x¹
An±
r
p
®îc gäi lµ
n±
r
-¸nh x¹ Weingarten
cña
M
t¹i ®iÓm
p
;
(ii) c¸c gi¸ trÞ riªng
kn±
r
1(p), kn±
r
2(p), . . . , kn±
r
n−1(p)
cña
An±
r
p
(nÕu tån t¹i) ®îc gäi lµ c¸c
n±
r
-®é cong chÝnh cña
M
t¹i
p
;
(iii)
n±
r
-®é cong Gauss - Kronecker cña
M
t¹i
p
, ký hiÖu
Kn±
r
p
, ®îc ®Þnh nghÜa tõ
n±
r
-¸nh x¹ Weingarten nh sau
Kn±
r
p= det(An±
r
p).
(iv)
n±
r
-¸nh x¹ Gauss ®îc gäi lµ song song nÕu
πn±
r(p)
N= 0,∀p
, khi ®ã ta cã
dn±
r¯¯p≡An±
r
p.
C¸c hÖ sè cña d¹ng c¬ b¶n thø nhÊt cña
M
®îc x¸c ®Þnh nh sau
gij =hXui, Xuji, i = 1,2, . . . , n −1.
C¸c hÖ sè cña d¹ng c¬ b¶n thø hai cña
M
t¹i
p∈M
®îc x¸c ®Þnh nh sau
bn±
r
ij (p) = h∂2X
∂ui∂uj
(p), n±
r(p)i, i, j = 1,2, . . . , n −1.
2.11. MÖnh ®Ò
([5])
Cho
p
lµ mét ®iÓm tuú ý cña mÆt ®èi chiÒu hai spacelike
M
trong
Ln+1
, khi ®ã ta cã
(1)
n±
r
- ¸nh x¹ Weingarten lµ mét to¸n tö tù liªn hîp cña
TpM
;
(2) c¸c
n±
r
-®é cong chÝnh
kn±
r
i(p), i = 1,2, . . . , n −1
cña
M
t¹i
p
lµ c¸c nghiÖm cña
ph¬ng tr×nh (Èn
k
)
det(bn±
r
ij (p)−kgij (p)) = 0;
(0.2)
(3)
n±
r
-®é cong Gauss-Kronecker
Kn±
r
p
®îc x¸c ®Þnh
Kn±
r
p=kn±
r
1(p).kn±
r
2(p). . . kn±
r
n−1(p) = det(bn±
r
ij (p))
det(gij (p)) .
III. TÝnh rèn cña mÆt ®èi chiÒu hai spacelike
Trong môc nµy chóng t«i ®a ra c¸c kh¸i niÖm rèn, tõ ®ã t×m c¸ch ph©n biÖt c¸c
kh¸i niÖm vµ chØ ra khi nµo th× c¸c kh¸i niÖm ®ã trïng nhau. Chóng t«i chøng minh
®îc c¸c siªu mÆt trong c¸c hyperbolic lµ c¸c mÆt rèn vµ mét mÆt
n+
r
-rèn cã
n+
r
-¸nh x¹
Gauss song song tháa m·n ®iÒu kiÖn (0.3) khi vµ chØ khi nã chøa trong mét siªu cÇu
®Æc biÖt (
SH(a, r, c)
).
3.1. §Þnh nghÜa
Cho
M
lµ mét mÆt tham sè hãa ®èi chiÒu hai spacelike.
1.
p∈M
®îc gäi lµ ®iÓm
n+
r
-rèn (
n+
r
-umbilic) nÕu
An+
r
p=kn+
r
pidTpM
, trong ®ã
kn+
r
p=
kn+
r
1(p) = kn+
r
2(p) = ··· =kn+
r
n−1(p)
lµ c¸c
n+
r
-®é cong chÝnh cña
M
t¹i
p
(
r
cè ®Þnh).
T¬ng tù víi kh¸i niÖm ®iÓm
n−
r
-rèn.
2.
M
®îc gäi lµ mÆt
n+
r
-rèn (
n−
r
-rèn) nÕu mäi ®iÓm thuéc
M
®Òu
n+
r
-rèn (
n−
r
-rèn)
(
r
cè ®Þnh).
M
®îc gäi lµ mÆt
n±
r
-rèn nÕu
M
võa
n+
r
-rèn võa
n−
r
-rèn.
3.
M
®îc gäi lµ mÆt
H+
-rèn (
H−
-rèn), nÕu víi mäi
p∈M
tån t¹i
rp
sao cho
p
lµ
®iÓm
n+
rp
-rèn (
n−
rp
-rèn).
M
®îc gäi lµ mÆt
H±
-rèn nÕu
M
võa
H+
-rèn võa lµ
H−
-rèn. Khi kh«ng cÇn ph©n biÖt râ, mét trong c¸c trêng hîp nµy ta sÏ gäi
M
lµ mÆt
H
-rèn.
4.
M
®îc gäi lµ mÆt hoµn toµn rèn nÕu nã lµ mÆt
n+
r
-rèn (
n−
r
-rèn) víi mäi
r
.
3.2. NhËn xÐt
NÕu
M
lµ mÆt
n+
r
-rèn hoÆc
n−
r
-rèn th× suy ra
M
lµ mÆt
H
-rèn.
§iÒu ngîc l¹i nãi chung kh«ng ®óng, vÝ dô sau sÏ lµm râ kh¼ng ®Þnh nµy.
3.3. VÝ dô
XÐt mÆt tham sè hãa
X: (0,π
2)×(−π
2,0) →L4; (u, v)7→ (u, sin v, v, cos u).